ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού Βιβλίου Σελ. 86-87 : Στις περιπτώσεις που δίνεται διαφορετική βαρύτητα στις τιμές x,x,,xν ενός συνόλου δεδομένων, τότε αντί του αριθμητικού μέσου χρησιμοποιούμε τον σταθμικό μέσο. Εάν σε κάθε τιμή x,x,,xν δώσουμε διαφορετική βαρύτητα που εκφράζεται με τους λεγόμενους συντελεστές βαρύτητας w,w,,w, τότε ο σταθμικός βρίσκεται από τον τύπο : ν xw + xw + + xw x = = ν ν = ν w+ w + + wν ν = xw Α. Θεωρία σχολικού Βιβλίου Σελ. : Έστω η συνάρτηση Fx ( ) = f( x) + gx ( ). Έχουμε F x+ h F x = f x+ h + g x+ h f x + g x = w ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) = f( x+ h) f( x) + g( x+ h) g( x), και για h F( x+ h) F( x) f( x+ h) f( x) g( x+ h) g( x) = +. h h h ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Επομένως ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) F x h F x f x h f x g x h g x lm = lm + lm. h h h h h h ( f x + g x ) = f ( x) + g ( x) Άρα ( ) ( ) Α.. Λ,. Λ,. Σ, 4. Σ, 4. Λ. Α4. ΘΕΜΑ Β. Αν lm f ( x) =, τότε ( ) x x. ( συνx). ( ) = ημx. ( cf x ) c f ( x) R = x x 4. 5 =. lm[κ f x] = κ. x x Β. Αφού η γωνία είναι 9 ο ν έχουμε 6 9 ν = = 5 και άρα 5 f % = = 5%. f % + f % + f % + f % + f % = % f % = % 95% = 5%. Ακόμα 4 5 5 Άρα ο πίνακας γίνεται Κλάσεις κ ν f f % N F F % ν κ - 6, 6, 6-4 4,,5 5 4-6 5 5,5 5 5,75 75 5 6-8 7 4, 9,95 95 8 8-9,5 5 9 Σύνολο 8 Β. Το ποσοστό των χρηστών που είναι μέχρι 4 ετών είναι 5%. Το ποσοστό των χρηστών που είναι από 4 ως 8 ετών είναι 5%+%=45%. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Β. Επειδή θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις σε κάθε κλάση είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες έχουμε: Το πλήθος των χρηστών από έως 6 είναι : 4 5 7 + =. Το πλήθος των χρηστών από 5 έως 7 είναι : 5 + 4 = 45. Β4. Η μέση τιμή είναι 5 Για την διακύμανση έχουμε : Άρα ΘΕΜΑ Γ Τέλος, κv 8 ν = x = = = 4 Κλάσεις κ ν κ x ( κ ) x ν κ x - 6-9 54-4 4-4 4-6 5 5 5 6-8 7 4 9 6 8-9 5 5 5 Σύνολο 4. ( ) 5 ν( κ x) = 4 s 6 s 6 5 = = = = ν s 5 CV = = =,65 = 6,5% > %, δηλαδή δεν είναι ομοιογενές. x 4 Γ. Πρέπει x + x - και x + Θα λύσουμε την εξίσωση x + -= x + = επειδή και τα δυο μέλη της ισότητας είναι μη αρνητικοί αριθμοί έχουμε διαδοχικά: ( x + ) = x + = 4 x=. Άρα πρέπει x Άρα Δ=[,) (. + ) Είναι Α=Δ } { =[, + ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 6 + λ 6 Γ. Αφού η f διέρχεται από το σημείο Α(6,4) έχουμε 6+ 6 + 6λ = 4 4 + 6 λ =4 4 + 6λ = 4 6λ=6 λ= 9 Γ. Για x έχουμε f( x) = παραγοντοποίηση: x + x f( x) = x + ( x + x )( x+ + ) ( x ) + x x x x + = ( )( + ) x + x = x β 4αγ 4 ( ) 8 9 = = = + = Άρα οπότε ( x )(x+ )( x+ + ) f( x) = = (x+ )( x+ + ) x ( x + x )( x+ + ) f( x) = ( x+ )( x+ + ) f(x) 4, x= x x, x,, Αφού η f συνεχής στο x o = πρέπει x x, x lm f( x) = lm(x+ )( x + + ) = 4 = Οπότε, a a a a + 4 = + = = β αγ = = = α, Γ4.. Είναι 4 ( ) 4 9 8 β ± ( ) ± ± = = = = α = 4 β ± ± 9 ± = = = = α lm f( x) = f() f(x), x= x x, x,, Παρατηρούμε ότι από τον πρώτο κλάδο έχουμε f()=. Επομένως ff(xx) = (xx + )( xx + + ), x H f τέμνει τον xxxx στo σημείο x o για το οποίο ισχύει : ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 f( x ) = (x + )( x + + ) = x + = ή x + + = x x + = Αδύνατη. = Άρα η C f τέμνει τον xxxx στο σημείο (-,). ' ' ' ' f ( x) = [(x+ )( x+ + )] = (x+ ) ( x+ + ) + (x+ )( x+ + ) = ' x + = ( x+ + ) + (x+ ) ( x+ ) = x+ + + x+ x+ ' + f ( ) = + + + = + + = + Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της συνάρτησης f στο σημείο (-,) είναι η : y = (x (-)) y = x + 6. ' f( x) ( x+ ) ( x+ + ) gx ( ) = + 8 = = 8 = x+ + 8 = x+ x+ + x+ + Είναι ΘΕΜΑ Δ g ' ( x ) = για κάθε x -. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g σε οποιοδήποτε σημείο της ' x - σχηματίζει με τον xxxx γωνία ω τότε : g ( x ) = εϕω εφω = ω = 45 Δ. Αφού οι παρατηρήσεις ακολουθούν την κανονική κατανομή, έχουμε x = δ = 8. Δ. Θα υπολογίσουμε την παράγωγο της συνάρτησης f. x 8x ( ) ( ) ( ) ( ) () 8 f x = + x + = x + x. f ( x) = x + 8x = 4 8 4( )( ) 64 48 6 = β αγ = = = β ± 8 ± 6 8 ± 4 x, = x, = x, = α ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 5 ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 x = και x = 6 x - 6 + f (x) - + - f(x) T.E T.M Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (-,] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [,6] Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [6,+ ) Η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x = το : 8 8 8 9 f () = + 8 + = + 6 4 + = 7 = = H f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x = 6 το : 6 6 f (6) = + 8 6 + = 7 + 44 7 + =. Άρα s =. Δ. Το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (4,6) που αντιστοιχεί στο (xx - s, xx + s) είναι: 95 68 = 7 =,5 % και στο (8,) αντιστοιχεί το (xx, xx + s) και είναι: 68 4 = % Οπότε συνολικά 47,5% των παρατηρήσεων βρίσκονται στα δοσμένα διαστήματα. Το μέγεθος του δείγματος είναι: v v 95 95 f = v= v= = = v f 47,5, 475 Δ4. Το ποσοστό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα (,) που αντιστοιχεί στο (xx + s, xx + s) είναι: 95 68 = 7 =,5 %. Το πλήθος των παρατηρήσεων είναι:,5,5 7 = =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 6 ΑΠΟ 7
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 8 Δ5. Για να είναι το δείγμα ομοιογενές θα πρέπει CV% % CV, Αν προσθέσουμε την ίδια σταθερά c σε κάθε τιμή μεταβλητής, θα έχουμε: s' s και x' x c, οπότε: s' s CV,,,,, x' x c 8 c 8 c 8 c,8,c,,c,,c,c, 8 c 8 c, c c., ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑΔΑΣ ΣΕΛΙΔΑ: 7 ΑΠΟ 7