Densitatea spectrală de putere şi trecerea semnalelor aleatoare prin sisteme liniare Constantin VERTAN Densitatea spectrală de putere a unui proces (semnal aleator ξ(t este definită ca: F ξ T (t} (ω q ξ (ω lim, ( T T unde ξ T (t este restricţia semnalului aleator ξ(t la intervalul [ T ; T ], iar Fx(t}(ω este transformata Fourier a semnalului x(t. Teorema Wiener-Hincin afirmă că pentru un proces aleator ξ(t, staţionar în sens larg, funcţia de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere sunt perechi Fourier: respectiv q ξ (ω F B ξ (τ} (ω B ξ (τ exp( jωτdτ, ( B ξ (τ F q ξ (ω} (τ q ξ (ω exp(jωτdω. π În cazul trecerii semnalelor aleatoare prin sisteme liniare, principala relaţie de interes (suplimentară faţă de legătura de tip convoluţie între semnalul de ieşire şi semnalul de intrare (η(t ξ(t h(t şi derivată din aceasta este cea care exprimă densitatea spectrală de putere a semnalului de la ieşirea sistemului faţă de densitatea spectrală de putere a semnalului de la intrarea sistemului (3: q η (ω q ξ (ω H(ω. (3 O clasă particulară de sisteme liniare sunt filtrele adaptate la forma semnalului. Un filtru adaptat la forma semnalului (sau, pe scurt, la semnalul s(t are o funcţie pondere definită ca: h(t ks ( (t τ. ( Proprietatea remarcabilă a filtrului adaptat ( este aceea că răspunsul său la un semnal oarecare aplicat la intrare este o variantă scalată şi decalată în timp a funcţiei de corelaţie a semnalului de intrare şi a semnalului la care filtrul a fost adaptat: y(t ξ(t h(t kr ξs (t τ. (5 Ex.. Fie un semnal aleator ergodic, a cărui densitate spectrală de putere este: A + Cδ(ω, pentru ω ω, q(ω Să se calculeze funcţia de autocorelaţie a procesului aleator, valorile sale medii, şi să se determine componenţa acestuia. Teorema Wiener-Hincin ( leagă densitatea spectrală de putere de funcţia de autocorelaţie prin: ( ω B(τ q(ω exp(jωτdω A exp(jωτdω + π π ω ω + Cδ(ω exp(jωτdω A ω ω π jτ exp(jωτ + C π ω C π + A πτ sin ω τ C π + ω A π sinc ω τ. Din proprietăţile funcţiei de autocorelaţie avem că: ξ(t C B( π, ξ (t B( C π + ω A π, σ ξ B( B( ω A π. Din gama de frecvenţe ocupate de densitatea spectrală de putere se poate deduce faptul că procesul aleator este un proces de zgomot de bandă limitată
(ω suprapus peste un semnal constant C π. Variind valorile lui ω între şi, cazurile extreme sunt: semnal constant ξ(t C π pentru ω şi un zgomot alb suprapus peste un semnal constant pentru ω. Ex.. Fie procesul aleator γ(t ξ(t + η(t, unde ξ şi η sunt procese aleatoare staţionare şi independente. Să se calculeze densitatea spectrală de putere a procesului γ în funcţie de densităţile spectrale de putere a celor două procese aleatoare, ştiind că cel puţin unul dintre procesele ξ şi η are media nulă. Densitatea spectrală de putere căutată este: q γ (ω F B γ (τ} (ω. Funcţia de autocorelaţie a procesului aleator γ este B γ (τ γ(tγ(t τ (ξ(t + η(t (ξ(t τ + η(t τ ξ(tξ(t τ + η(tη(t τ + ξ(tη(t τ + ξ(t τη(t B ξ (τ + B η (τ. Deoarece procesele ξ şi η sunt procese aleatoare independente, ξ(tη(t τ ξ(t η(t τ şi ξ(t τη(t ξ(t τ η(t. Deoarece procesele ξ şi η sunt procese aleatoare staţionare, ξ(t ξ(t τ şi η(t η(t τ. Atunci: B γ (τ B ξ (τ + B η (τ + ξ(tη(t B ξ (τ + B η (τ + B ξ ( B η (. Atunci transformata Fourier a funcţiei de autocorelaţie este (ţinând cont că F}(ω πδ(ω: q γ (ω F B γ (τ} (ω F B ξ (τ} (ω + F B η (τ} (ω + } + F B ξ ( B η ( (ω q ξ (ω + q η (ω + π B ξ ( B η ( δ(ω. Dacă măcar unul dintre procesele aleatoare este de medie nulă, atunci produsul B ξ ( B η ( şi, deci: q γ (ω q ξ (ω + q η (ω. Ex. 3. Procesul aleator de timp discret x(n este obţinut ca o medie mobilă din procesul aleator de zgomot ξ(n prin x(n (ξ(n + ξ(n. Să se determine densitatea spectrală de putere a procesului aleator x(n, folosind teorema Wiener-Hincin. Mai întâi trebuie determinată funcţia de autocorelaţie a procesului aleator x(n: B x (k x(nx(n k (ξ(n + ξ(n (ξ(n k + ξ(n k ( ξ(nξ(n k + ξ(nξ(n k + ξ(n ξ(n k+ + ξ(n ξ(n k (B ξ(k + B ξ (k + + B ξ (k + B ξ (k B ξ(k + B ξ(k + B ξ(k +. Cum procesul aleator ξ(n este un zgomot alb, funcţia sa de autocorelaţie este un impuls Dirac, B ξ (k δ(k. Atunci B x (k δ(k + δ(k + δ(k +. Pentru determinarea densităţii spectrale de putere, teorema Wiener Hincin va trebui aplicată sub forma discretă: q x (ω k B x (k exp( jkω, + exp( jω + exp(jω + cos ω. Ex.. La intrarea unui filtru trece jos ideal cu frecvenţa de tăiere f T khz se aplică semnalul aleator ξ(t sin(π t+ϕ+n(t, unde n(t este un zgomot alb şi ϕ este o variabilă aleatoare repartizată uniform în intervalul [, π]. Să se calculeze funcţia de autocorelaţie statistică a semnalului ξ(t şi densitatea spectrală de putere a acestuia. Dacă η(t este semnalul de la ieşirea filtrului, să se calculeze funcţia sa de autocorelaţie şi densitatea spectrală de putere. Definiţia zgomotului alb precizează că acesta este necorelat cu semnalul pe care îl afectează. Funcţia de autocorelaţie statistică pentru semnalul ξ(t
este: B ξ (t, t ξ(t ξ(t ( sin(π t + ϕ + n(t ( sin(π t + ϕ + n(t sin(π t + ϕ sin(π t + ϕ + n(t n(t + + sin(π t + ϕn(t + sin(π t + ϕn(t ( cos(π (t t cos(π (t + t + ϕ + + B n (t t + sin(π t + ϕ n(t + sin(π t + ϕ n(t cos(π (t t + + B n (t t + + cos(π (t t + B n (t t B ξ (t t În dezvoltarea de mai sus, s-a ţinut cont de faptul că zgomotul n(t este de medie nulă (n(t, t şi că cos(π (t + t + ϕ π cos(π (t + t + xf ϕ (xdx π cos(π (t + t + xdx π sin(π (t + t + x Semna lul ξ(t este staţionar în sens larg, şi deci se poate aplica teorema Wiener-Hincin ( pentru a calcula funcţia de densitate spectrală de putere din funcţia de autocorelaţie: π q ξ (ω FB ξ (τ}(ω Fcos(π τ}(ω + Fδ(τ}(ω ( δ(ω + π + δ(ω π +. Funcţia de transfer a filtrului trece jos ideal este dată de:, dacă ω πft π H(ω 3, Funcţia de densitate spectrală de putere a semnalului de la ieşirea filtrului este determinată conform (3: q η (ω q ξ (ω H(ω. Efectuând înmulţirea, se obţine: q η (ω H(ω, dacă ω πft π 3, (adică un semnal de bandă limitată, cu densitate spectrală de putere constantă, deci un zgomot de bandă limitată. Funcţia de autocorelaţie a semnalului de ieşire este, conform (, transformata Fourier inversă a funcţiei de densitate spectrală de putere: B η (τ F q η (ω}(τ π sinc (π3 τ. A, dacă t T Ex. 5. Se dă un filtru adaptat la semnalul s(t,. Să se determine răspunsul filtrului la semnalele de intrare s(t şi ξ(t (unde ξ(t este un semnal aleator de tip zgomot alb. Conform definiţiei filtrului adaptat (, funcţia sa pondere este dată de: h(t ks ( (t τ. Atunci funcţia pondere în cazul particular studiat este: ka, dacă t [ T h(t + τ, T + τ ], Pentru ca filtrul să fie cauzal este necesar ca T + τ, deci τ T. Semnalul de la ieşirea filtrului adaptat este produsul de convoluţie a intrării cu funcţia pondere. Dacă la intrare să aplicat semnalul s(t, la ieşire vom avea: y(t s(t h(t k h(τs(t τdτ k s(τ t + us(udu k kr s ( (t τ kr s (t τ. s(τ τs(t τdτ s (u (t τ s(udu Deci ieşirea este funcţia de autocorelaţie temporală a semnalului de intrare, translatată cu τ. Funcţia de autocorelaţie a semnalului s(t este calculată 3
ca: R s (t A (t + T, dacă t [ T, ], s(us(u + tdu A (T t, dacă t [, T ], Atunci semnalul de ieşire y(t este: ka (t + T + τ, dacă t [ T + τ, τ ], y(t ka (T + τ t, dacă t [τ, T + τ ], Dacă la intrarea filtrului se aplică semnalul de zgomot alb ξ(t, la ieşirea sistemului vom obţine: y(t s(t h(t h(τξ(t τdτ k s(τ τξ(t τdτ k s(uξ(t τ + udu ka T/ T/ ξ(t τ + udu. Acest semnal de ieşire este o variantă mediată a semnalului de intrare (mediere realizată pe perioada T. Cu cât T va creşte, acest semnal de ieşire se va apropia de media temporală a zgomotului alb de intrare, deci de. Ex. 6. La intrarea unui filtru trece jos realizat cu o celulă de filtrare RC se aplică un zgomot de bandă largă (proces aleator cu densitatea spectrală de putere constantă în intervalul de frecvenţă [ ω, ω ] şi nulă în rest, staţionar. Să se calculeze (utiliznd aproximările densitatea spectrală de putere şi funcţia de autocorelaţie a zgomotului filtrat în cazurile în care banda filtrului este mult mai mare, respectiv mult mai mică decât banda zgomotului. Celula de filtrare RC este un divizor de tensiune format dintr-un rezistor de rezistenţă R şi un condensator de capacitate C înseriate; semnalul de intrare se aplică întregii grupări serie; semnalul de ieşire se culege de pe condensator. Funcţia de transfer în frecvenţă a filtrului este: H(ω jωc R + jωc + jωrc. Modulul pătrat al funcţiei de transfer este atunci: H(ω + (ωrc. Frecvenţa de tăiere ω T a filtrului este definită ca frecvenţa la care puterea la ieşirea filtrului este jumătate din puterea de intrare; puterea la ieşire este proporţională cu puterea la intrare prin modulul pătrat al funcţiei de transfer a filtrului, şi atunci: H(ω ω T RC ω T RC. Zgomotul alb aplicat la intrarea filtrului are o densitate spectrală de putere descrisă de: k, dacă ω [ ω, ω q ξ (ω ], Densitatea spectrală de putere a semnalului de la ieşirea filtrului este dată de (3, adică: q η (ω q ξ (ω H(ω. Cazul I: dacă banda de trecere a filtrului este mult mai mare ca banda zgomotului, adică ω T ω, putem aproxima funcţia de transfer a filtrului pe intervalul [ ω ; ω ] cu : şi atunci: de unde H(ω ω [ ω,ω] H(, q η (ω q ξ (ω B η (τ B ξ (τ. B η (τ F q ξ (ω}(τ q ξ (ω exp( jωτdω (6 π k ω exp( jωτdω kω π ω π sinc (ω τ. Cazul II: dacă banda de trecere a filtrului este mult mai mică ca banda zgomotului, adică ω ω T, putem aproxima: q η (ω q ξ (ω H(ω k H(ω k + (ωrc ; ( k kω T q η (ω (. ω jω + ω + T jω ω T ω T
Calculul transformatei Fourier inverse a acestei funcţii se face prin intermediul transformatei Laplace bilaterale (înlocuind formal jω s şi conduce la: B η (τ kω T (U(τ exp( τω T + U( τ exp(τω T kω T exp( τ ω T k RC exp( τ ω T. Ex. 7. Fie ξ(t un semnal aleator ergodic a cărui densitate spectrală de putere este q ξ (ω N, ω şi fie semnalul determinist s(t δ(t. Să se calculeze funcţiile de autocorelaţie a celor două semnale şi să se interpreteze. Ex. 8. Funcţia de autocorelaţie a unui proces aleator ergodic este dată de: T τ R X (τ T, dac a τ T, Să se reprezinte funcţia de autocorelaţie şi să se verifice grafic proprietăţile acesteia; să se determine componenta continuă, puterea medie şi varianţa procesului aleator. Să se calculeze densitatea spectrală de putere a procesului aleator şi să se comenteze influenţa parametrului T asupra lăţimii funcţiei de autocorelaţie şi asupra lărgimii de bandă a densităţii spectrale de putere. Ex. 9. Procesul aleator y(t este construit din procesul aleator x(t ca y(t x(t + a x(t a. Să se calculeze funcţia de densitate spectrală de putere a procesului aleator y(t. (Soluţie: q y (ω q x (ω sin aω. Ex. Ieşirea unui sistem liniar, y(t, este determinată în funcţie de semnalul de intrare, x(t prin y(t kx(t + x(t t. Dacă semnalul de intrare x(t este distribuit gaussian în jurul valorii nule şi are densitatea spectrală de putere q x (ω Q sinc ( ω B, care este densitatea spectrală de putere a semnalului de la ieşirea sistemului? Ce semnal de ieşire se obţine pentru k şi t B? Ex. Un proces aleator staţionar ξ(t cu funcţia de autocorelaţie statistică B ξ (τ cos(π 3 τ+exp ( τ, cu τ R se aplică la intrarea unui filtru trece bandă ideal, acordat pe frecvenţa de khz şi cu banda de trecere de Hz. Fie η(t rezultatul filtrării lui ξ(t. Să se calculez puterea medie şi densitatea spectrală de putere a semnalului aleator ξ(t; să se calculeze (cu o cât mai bună aproximare densitatea spectrală de putere şi funcţia de autocorelaţie pentru semnalul de la ieşirea filtrului trece bandă. [] A. T. Murgan, I. Spânu, I. Gavăt, I. Sztojanov, V. E. Neagoe, A. Vlad: Teoria Transmisiunii Informaţiei - probleme, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 983. [3] C. Vertan, I. Gavăt, R. Stoian: Variabile şi procese aleatoare: principii şi aplicaţii, Ed. Printech, Bucureşti, 999. Bibliografie [] Al. Spătaru: Teoria Transmisiunii Informaţiei, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 983. 5