HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

HÌNH HỌC 9 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Biên soạn: Email: Nguyễn Duy Phúc ndphuc910@gmail.com Mobile: 0169.668.9392 HÀ NỘI - 8/2015

Mục lục Chương 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông................................. 2 1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông...................................... 2 1.1.1. Định lý Py-ta-go trong tam giác vuông......................................... 2 1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông.......................................... 3 1.1.3. Công thức tính diện tích một số hình.......................................... 4 1.1.4. Các cách để chứng minh một tam giác là tam giác vuông...................... 4 1.1.5. Các ví dụ..................................................................... 4 1

Chương 1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1.1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông 1.1.1. Định lý Py-ta-go trong tam giác vuông. C A B Hình 1.1: *Định lý Py-ta-go: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh góc vuông. ABC vuông tại A BC 2 = AB 2 + AC 2. *Định lý Py-ta-go đảo: Nếu một tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông. ABC có BC 2 = AB 2 + AC 2 ABC vuông tại A. 2

1.1.2. Hệ thức lượng trong tam giác vuông Cho ABC vuông ở A, AH là đường cao A c h b B c b H a C Hình 1.2: a. Các định lí thuận +Các hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông, hình chiếu của nó trên cạnh huyền và độ dài đường cao: +Các hệ thức liên quan đến cạnh và góc: BC 2 = AB 2 + AC 2 ( định lí Pitago ) (1.1) BA 2 = BH.BC;CA 2 = CH.CB (1.2) AH 2 = HB.HC (1.3) AB.AC = BC.AH (1.4) 1 AH 2 = 1 AB 2 + 1 AC 2 (1.5) sin B = b a,cos B = c a tan B = b c,cot B = c b (1.6) (1.7) b = a.sin B = a.cosc,c = a.sinc = a.cos B, (1.8) b = ctan B = ccotc;c = btanc = bcot B (1.9) b. Các định lý đảo Xét một tam giác ABC bất kỳ, đường cao AH. Ta có: AB 2 = BH.BC Tam giác ABC vuông tại A. AC 2 = CH.BC Tam giác ABC vuông tại A. 3

AH 2 = BH.CH Tam giác ABC vuông tại A. AH.BC = AB.AC Tam giác ABC vuông tại A. 1 = 1 + 1 Tam giác ABC vuông tại A. AH 2 BH 2 CH 2 c. Lưu ý áp dụng Các định lý thuận thường được sử dụng trong các bài toán về tính độ dài các cạnh, các bài tập chứng minh các đẳng thức về cạnh trong tam giác. Các định lý đảo được coi là các dấu hiệu để nhận biết các tam giác vuông; thường được sử dụng để chứng minh các tam giác vuông, chứng minh hai đường thẳng vuông góc,... 1.1.3. Công thức tính diện tích một số hình * ABC vuông ở A: S = 1 2 AB.AC * ABC đều cạnh a: S = a2 3 4 * Diện tích hình vuông: S = cạnh cạnh *Diện tích hình chữ nhật: S = dài rộng. *Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = 2 1 ( chéo dài chéo ngắn ). *Diện tích hình thang: S = 1 2 ( đáy lớn + đáy nhỏ ) chiều cao *Diện tích hình tròn: S = π.r 2 1.1.4. Các cách để chứng minh một tam giác là tam giác vuông *Chỉ ra tam giác có một góc vuông. *Chỉ ra tam giác thỏa định lí Pytago đảo tức là :BC 2 = AB 2 + AC 2 thì tam giác vuông tại A. *Chỉ ra một trung tuyến AM = BC 2. Thì tam giác vuông tại A. 1.1.5. Các ví dụ Ví dụ 1. Tính x và y trong hình sau: Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC ta có : AC 2 = CH.CB 10 2 = 8.(8 + x) x = 9 2 = 4,5 (đơn vị độ dài) 4

A y 10 B x H 8 C Hình 1.3: Lại có : AB 2 = BH.BC y 2 = 4,5.(8 + 4,5) y = 15 2 = 7,5 (đơn vị độ dài) Ví dụ 2. Cho tam giác ABC cân tại A với hai đường cao AH và BK. Chứng minh rằng : 1 = 1 + 1. BK 2 BC 2 4AH 2 K C A H D B Hình 1.4: (1) (2) Dựng đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng AC tại D AH // BD. Tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến của BC HB = HC. Từ (1) và (2) suy ra AH là đường trung bình của tam giác BDC BD = 2AH. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông DBC, ta có: 1 = 1 + 1 = 1 + 1 (vì BD = 2AH). BK 2 BC 2 BD 2 BC 2 4AH 2 Ví dụ 3. Cho tam ABC vuông tại A có AB = a. Các đường trung tuyến AM và BN vuông góc với nhau. Tính AC và BC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC BG = 2 3 BN. 5

Hình 1.5: Xét tam giác ABN vuông tại A có: AB 2 = BN.BG a 2 = 2 3 BN2 BN = a 6 2. Cũng trong tam giác ABN ta có: AN 2 = BN 2 AB 2 = ( a 6 2 ) 2 a 2 = a2 2 AN = a 2 2. Lập luận tương tự ta dễ dàng tính được BC = a 3. Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại A, đường cao AH. Biết BC = 25cm, AB = 20cm. a. Tính độ dài cạnh AC, đường cao AH, các đoạn thẳng BH và CH. b. Kẻ từ H đường thẳng (d) song song với AB, đường thẳng (d) cắt cạnh AC tại điểm N. Tính độ dài các đoạn thẳng HN, AN và CN. Giải Hình 1.6: a. Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py-ta-go ta có: BC 2 = AB 2 + AC 2 AC 2 = BC 2 AB 2 = 225 AC = 15 (cm). 6

Theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có: AH.BC = AB.AC AH = AB.AC BC = 12 (cm). AC 2 = CH.CB CH = AC2 BC = 9 (cm). BH = BC CH = 16 (cm). b. Theo đề bài ta thấy HN vuông góc AC. Xét tam giác AHC vuông tại H, đường cao HN ta có: HN.AC = AH.HC HN = AH.HC AC = 7,2 (cm). Xét tam giác ANH vuông tại N ta có: AH 2 = AN 2 + HN 2 (định lý Py-ta-go) AN 2 = AH 2 HN 2 AN = 9,6 (cm). NC = AC AN NC = 5,4 (cm). Ví dụ 5. Cho tam giác ABC, đường cao AH biết AB = 11cm, AC = 15cm, BC = 20cm. a) Chứng minh hệ thức: HC 2 HB 2 = AC 2 + AB 2. b) Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC và đường cao AH. Hình 1.7: a) Áp dụng đính lí Py-ta-go cho tam giác vuông ABH ta có: AB 2 = AH 2 + BH 2 AH 2 = AB 2 HB 2. (1) Tương tự với tam giác vuông ACH ta có: AH 2 = AC 2 HC 2. (2) Từ (1) và (2) ta có: AB 2 HB 2 = AC 2 + HC 2 HC 2 HB 2 = AC 2 + AB 2. Ta có điều phải chứng minh. b) Theo câu a) ta có: (HC HB).(HC + HB) = AC 2 AB 2 = 15 2 11 2 = 104. Mặt khác: HB + HC = BC = 20 HB HC = 104 : 20 = 5,2. 7

Từ đây dễ dàng suy ra: HC = 12,6 (cm), HB = 7,4 (cm). Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABH ta có: AH 2 = AB 2 HB 2 AH 2 = 121 54,76 = 66,24 AH = 66,24 (cm). Ví dụ 6. Cho hình vuông ABCD và điểm I thay đổi nằm trên cạnh AB. Tia DI cắt đường thẳng BC tại E. Đường thẳng kẻ qua D vuông góc với DE cắt đường thẳng BC tại F. Chứng minh rằng tổng 1 DI 2 + 1 DE 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. Giải. Hình 1.8: Xét AID và CFD có: Â = D = 90 ; AD = DC; ÂDI = ĈDF (cùng phụ với ĈDI) AID = CFD DI = DF. Xét tam giác EDF vuông tại D có DC vuông góc với EF ta có: 1 DC 2 = 1 DF 2 + 1 DE 2. Mà DF = DI 1 DC 2 = 1 DI 2 + 1 DE 2. Ta nhận thấy độ dài DC không phụ thuộc vào vị trí của điểm I trên cạnh BC giá trị 1 DC 2 không đổi. Vậy 1 DI 2 + 1 DE 2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm I. Ví dụ 7. Cho tam giác ABC, các đường cao AH, BM, CN. Chứng minh rằng nếu 1 = AH 2 1 + 1 thì tam giác ABC vuông tại A. BM 2 CN 2 Gọi S là diện tích tam giác ABC, ta có: S = 1 2.S 2.AH.BC BC = AH BC2 = 4.S2. (1) AH 2 8

Hình 1.9: minh. Tương tự ta cũng có: AC 2 = 4.S2 ; AB 2 = 4.S2. BM 2 CN ) 2 Suy ra: AC 2 + AB 2 = 4.S.( 2 1 + 1. BM 2 CN 2 Theo đề bài ta có: 1 AH 2 = 1 BM 2 + 1 CN 2 AC 2 + AB 2 = 4.S2 AH 2. (2) Từ (1) và (2) BC 2 = AC 2 + AB 2. Theo định lý Py-ta-go đảo suy ra tam giác ABC vuông tại A, ta có điều phải chứng Ví dụ 8. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AD = 6cm, CD = 8cm. Đường thẳng kẻ từ D vuông góc với AC tại E, cắt cạnh AB tại F. Tính độ dài các đoạn thẳng DE, AE, CE, AF, BF. Hình 1.10: Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: AC = AD 2 + DC 2 = 6 2 + 8 2 = 10 (cm) AD.CD = DE.AC DE = AD.DC AC = 6.8 10 = 4,8 (cm) 9

AD 2 = AE.AC AE = AD2 AC = 10 62 = 3,6 (cm). Từ đây suy ra EC = AC AE = 10 3,6 = 6,4 (cm). Xét tam giác ADF vuông tại A, ta có: AD 2 = DE.DF DF = AD2 DE = 4,8 62 = 7,5 (cm). Suy ra EF = FD ED = 7,5 4,8 = 2,7 (cm). AF 2 = FE.FD = 2,7.7,5 = 20,25 AF = 4,5 (cm). Suy ra BF = AB AF = 8 = 4,5 = 3,5 (cm). Ví dụ 9. Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2.BI.CI. Tam giác ABC là tam giác gì? vì sao? Hình 1.11: Theo đề bài ta có BD.CE = 2.BI.CI, suy ra: BI BD. CI CE = 1 2. (1) Đặt BC = a,ca = b, AB = c. Theo tính chất đường phân giác ta có: IB ID = AB AD BI BI+ID = AB+AD AB BI. Hay BD = Mặt khác ta lại có: AD DC = AB BC AD AC = Thay vào (*) ta được: BI BD = c c+ bc a+c AB AB+AD. (*) AB AB+BC = c+a a+b+c (2) Tương tự ta cũng thu được kết quả: CI CE = AD = bc a+c b+a a+b+c (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: (a+c)(a+b) (a+b+c) 2 = 1 2 a2 = b 2 + c 2 Vậy theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A. Ví dụ 10. Cho hình thang ABCD có Â = D = 90 0, B = 60 0, CD = 30cm, CA CB. Tính diện tích hình thang. 10

Hình 1.12: Ta có: ĈAD = ÂBC = 60 0 (cùng phụ với ĈAB). Vì thế trong tam giác vuông ACD ta có AC = 2AD. Theo định lí Py-ta-go thì AC 2 = AD 2 + DC 2 hay (2AD) 2 = AD 2 = 30 2 3AD 2 = 900 AD 2 = 300 AD = 10 3 (cm). Kẻ CH AB. Tứ giác AHCD là hình chữ nhật nên AH = CD = 30 (cm), CH = AD = 10 3 (cm). Xét tam giác ACB vuông tại C ta có: CH 2 = HA.HB HB = CH2 HA = (10 3) 2 30 = 10 (cm). Do đó AB = AH + HB = 30 + 10 = 40 (cm). S ABCD = 1 2 CH.(AB + CD) = 1 2.10 3.(40 + 30) = 350 3 (cm 2 ). Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3 cm 2. Ví dụ 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = 2a, đường cao AH. Kẻ HD AC, HE AB. Tìm giá trị lớn nhất của: a) Độ dài đoạn thẳng DE. b) Diện tích tứ giác ADHE. a) Gọi O là trong điểm của BC thì AO = 1 2 BC = a. ADHE là hình chữ nhật nên DE = AH AO = a. Khi AH = AO thì ABC là tam giác vuông cân. Vậy MaxDE = a ABC vuông cân tại A. 11

Hình 1.13: b) Xét tam giác ABH vuông tại H có AH 2 = AE.AB AE = AH2 AB. Tương tự ta cũng có AD = AH2 AC. Do đó S AEHD = AE.AD = AB.AC AH4 = AH.BC AH4 = AH3 BC OA3 BC = a3 2a = a2 2. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC vuông cân tại A. Vậy MaxS AEHD = a2 2 ABC vuông cân tại A. Ví dụ 12. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao CK, H là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho ÂMB = 90 0. Gọi S,S 1,S 2 theo thứ tự là diện tích các tam giác AMB, ABC và ABH. Chứng minh rằng S = S 1.S 2. Hình 1.14: Tam giác AMB vuông tại M, có AM AB nên MK 2 = AK.BK. (1) Xét hai tam giác AHK và CBK có: ÂKH = ĈKB = 90 0 ; KAH = KCB (cùng phụ với 12

ÂBC). Suy ra CK AK = HK BK AK.KB = CK.KH. (2) Từ (1) và (2) suy ra MK 2 = CK.HK MK = CK.HK. S AMB = 1 2.AB.MK = 1 2.AB. 1 CK.HK = 2.AB.CK. 2 1.AB.HK = S 1.S 2. Vậy S = S 1.S 2. Ta có điều phải chứng minh. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài tập 1.1. Cho tam giác ABC, biết AB = 27cm, BC = 45cm, AC=36cm. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH. Bài tập 1.2. Cho ABC có BAC = 90 o,ab=3cm,ac=4cm (a) Tính BC, B,Ĉ (b) Phân giác trong của B cắt cạnh AC tại D.Tính AD? (c) Kẻ AE BD tại E, AE kéo dài cắt BC tại G. Tính GC? Bài tập 1.3. Cho tam giác ABC vuông tại B, có BE là đường cao. Biết AB=9cm;BC=12cm. a) Tính AC,BE,EA,EC? b) Gọi BK là phân giác của ÂBC. Tính BK?. Bài tập 1.4. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao. Biết AB=12cm, BC=20cm. a) Tính AC,AH,HB,HC? b) Gọi CD là phân giác của ÂCB, CD cắt AH tại K. Tính CD,CK?. Bài tập 1.5. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AH=2,4cm và HB HC = 9 16. Tính HB,HC,AB,AC? Bài tập 1.6. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB=6cm và S ABC = 24cm 2. Tính HB,HC,AC,BC? Bài tập 1.7. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB=6cm và AH BC = 12 25. Tính HB,HC,AC,BC? Bài tập 1.8. Cho ABC, BAC = 90 o, AH vuông góc với BC biết AH= 12 cm, BH-HC= 7 cm. Tính BC?. Bài tập 1.9. Cho ABC vuông tại A có AB = 9cm, BC = 15cm. a) Giải tam giác vuông ABC? 13

b) Kẻ đường cao AH. Tính AH và HC. c) Kẻ phân giác AD của ĤAC. Tính AD. d) Kẻ DK AC và DM BC (M AC). Chứng minh BM //HK. Bài tập 1.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM,Cho biết ABM là tam giác đều có độ dài cạnh 3. a) Tính độ dài AC và đường cao AH của ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC. Bài tập 1.11. Cho ABC có AB=AC= 5cm, độ dài đường cao AH= 3cm. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của HC và AC. Tính độ dài đoạn thẳng AM và BN. Bài tập 1.12. Cho ABC vuông tại A có BC=12,5cm và diện tích là 31,25cm 2. Tính AB và AC. Bài tập 1.13. Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC=10cm, đường cao AH=4cm. Tính AB,AC? Bài tập 1.14. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết chu vi của ABC = 25cm, chu vi của ABH = 15cm. Tính chu vi ACH. Bài tập 1.15. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 7, AC = 9, tính AH, BH, CH Bài tập 1.16. Cho ABC vuông tại A có AB/AC = Ö3. Biết BC = 10. Tính AB, AC Bài tập 1.17. Cho ABC vuông tại C có AB = 5, góc ABC = 600. Tính độ dài đường cao CH và HA. Bài tập 1.18. Cho ABC vuông tại B có AB = a, góc ACB = 600. Tính độ dài đường cao BH, AH. Bài tập 1.19. Cho ABC vuông tại C có đường cao CH = a, BH =a 3. Tính độ dài AC, AH. Bài tập 1.20. Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 4, CH = 9. Tính AH, AB, AC. Bài tập 1.21. Cho ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4. Tính độ dài đường cao AH, góc ABC. Bài tập 1.22. Cho ABC vuông tại A có AH là đường cao, AM là trung tuyến. Biết AM = 4cm, ÂBC = 30 o. Tính AH diện tích ABC. 14

Bài tập 1.23. Cho ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH. a. Chứng minh: AH = a.sinb.cosb, BH = a.cos 2 B,CH = a.sin 2 B. b. Từ đó suy ra AB 2 = BC.BH và AH 2 = BH.HC Bài tập 1.24. Cho hình thang cân ABCD có AB//CD,AD=6cm, CD=10cm, và ADC vuông tại A. a) Tính AC,AB? b) Tính ÂBC. Bài tập 1.25. Cho cosα = 4 5,(α là góc nhọn ) Tính các giác trị lượng giác còn lại của góc α (tức là tính sinα,tgα,cotgα) Bài tập 1.26. Cho tgα = 3 4,(α là góc nhọn ) Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc α. Bài tập 1.27. Rút gọn biểu thức sau: A = (1 + cosα)cot g 2 α (1 cosα) B = ( 1 + cot g 2 α ) ( 1 cos 2 α ) ( 1 + tg 2 α ) ( 1 sin 2 α ) Bài tập 1.28. Sắp xếp các giá trị lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn,có giải thích: a) sin12 o ;cos32 o ;sin48 o ;cos75 o ;sin80 o b) cot35 o ;tan48 o ;cot44 o ;tan53 o ;cot39 o Bài tập 1.29. Không dùng máy tính. Hãy tính: a) sin 2 25 o + tan27 o + sin 2 65 o cot63 o cot37o tan53 o b) cos 2 20 0 + cos 2 30 0 + cos 2 60 0 + cos 2 70 0 + tg35 0 cotg55 0. tg40o cotg50 o c) sin6 x cos 6 x sin 4 x cos 4 x Bài tập 1.30. Đơn giản biểu thức: a) 1 sin 2 α b) (1 cosα)(1 + cosα) c) 1 + sin 2 α + cos 2 α d) sinα sinα.cos 2 α e) sin 4 α + cos 4 α + 2sin 2 α.cos 2 α Bài tập 1.31. Tính diện tích của hình thang cân. Biết hai cạnh đáy dài 12cm và 18cm, góc kề với đáy lớn bằng 75 o. Bài tập 1.32. Cho ABC có BAC = 20 o ; ÂBC = 30 o ; AB = 60cm. Kẻ đường cao CP của ABC. Tính AP,BP,CP? Gợi ý: Kẻ AH BC. Xét AHB AH; Xét AHC AC 15

Bài tập 1.33. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm của BC. Biết tam giác ABM là tam giác đều có cạnh bằng 3 cm. Tính diện tích tam giác ABC. Bài tập 1.34. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 25 cm, đường cao ứng với cạnh huyền bằng 12 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông đó. Bài tập 1.35. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng AH 3 = BC.BE.CF. Bài tập 1.36. Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54cm 2 và 96cm 2. Tính độ dài cạnh huyền. Bài tập 1.37. Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài BC. Bài tập 1.38. Cho một tam giác vuông có đường cao thuộc cạnh huyền là 12cm và hiệu các hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền là 7cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông. Bài tập 1.39. Cho tam giác ABC, trực tâm H. Chứng minh hệ thức: AB 2 + HC 2 = BC 2 + HA 2 = CA 2 + HB 2. Bài tập 1.40. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Kẻ các đường cao AH, BK, CI. a. Chứng minh hệ thức: 1 BK 2 = 1 4AH 2 + 1 BC 2 b. Chứng minh hệ thức: 3BK 2 + 2AK 2 + CK 2 = BC 2 + CA 2 + AB 2. Xét trường hợp tam giác ABC là tam giác đều, từ đó suy ra công thức tính chiều cao của một tam giác đều ttheo các cạnh của nó c. Một đường thằng qua C và song song với BK, cắt tia AB tại điểm M. Chứng minh rằng: AB 2 = AI.AM Bài tập 1.41. Cho hình thang vuông ABCD có Â = D = 90 và AD = DC (AB < DC). Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng DA và CB. Chứng minh rằng 1 AD 2 = 1 BC 2 + 1 EC 2 Bài tập 1.42. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác CD đồng quy tại O. a. Chứng minh rằng BH = AC. b. Cho biết BC = x. Tính độ dài AB, AC theo x. 16

Bài tập 1.43. Cho tam giác ABC có AB = 1, Â = 90, B = 60. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho BE =1. Vẽ ED song song với AB ( D thuộc AC ). Chứng minh rằng 1 AC 2 + 1 AD 2 = 4 3. Bài tập 1.44. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 4cm, AC = 5cm. Đường cao, đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đình B chia tam giác thành bốn tam giác không có điểm trong chung. Tính diện tích của mỗi tam giác đó. Bài tập 1.45. Một tam giác vuông có độ dài một cạnh bằng trung bình cộng của độ dài hai cạnh kia. a) Độ dài ba cạnh của tam giác vuông đó tỉ lệ với ba số nào? b) Nếu độ dài các cạnh của tam giác vuông đó là các số nguyên dương thì số nào trong các số sau có thể là độ dài một cạnh của tam giác đó : 17, 13, 35, 41, 22? Bài tập 1.46. a) Một tam giác vuông có tỉ số các cạnh góc vuông bằng k. Tính tỉ số các hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền. b) Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền của một tam giác vuông, biết rằng tỉ số hai cạnh góc vuông bằng 5 : 4 và cạnh huyền dài 82cm. Bài tập 1.47. Tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác BD. Tia phân giác của góc A cắt BD ở I. BiếtIB = 10 5cm,ID = 5 5 cm, tính diện tích tam giác ABC. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm a) Tính các cạnh của tam giác ABC; b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH. Bài tập 1.48. Trong một tam giác vuông tỉ số giữa đường cao và đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông bằng 40 : 41. Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác đó, biết cạnh huyền bằng 41cm. Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác, M là trung điểm của BC. a) Biết AB = 6cm, AC = 8cm. Tính BIM. b) Biết BIM = 90 0. Ba cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với ba số nào? Bài tập 1.49. Chứng minh rằng trong một tam giác : a) Bình phương của cạnh đối diện với góc nhọn bằng tổng bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. b) Bình phương của cạnh đối diện với góc tù bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia cộng với hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh kia trên nó. Bài tập 1.50. Cho tam giác ABC có B = 60 0, BC = 8cm, AB + AC = 12cm. Tính độ dài AB, AC. 17

Bài tập 1.51. Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI. Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao? Bài tập 1.52. Cho hình bình hành ABCD có Â = 45 o, AB = BD = 18cm. a)tính độ dài cạnh AD; b) Tính diện tích hình bình hành ABCD Bài tập 1.53. Cho hình bình hành ABCD có Â = 45 o, AB = BD = 18cm. a)tính độ dài cạnh AD; b) Tính diện tích hình bình hành ABCD a) Kẻ BH AD, ta có AD = 2AH BH = AB.sinA = 18.sin45 o = 18. 2 2 = 9 2(cm) AHB vuông cân tại H nên AH = BH = 9 2(cm) AD = 2.AH = 18 2 Bài tập 1.54. Cho hình chữ nhật ABCD có BAC = 30 o, AC = 10cm. Tính chu vi và diện tích của hình chữ nhật đó. Tam giác ABC có AB =16, AC = 14 và B = 60 o a) Tính độ dài cành BC; b) Tính diện tích tam giác ABC Bài tập 1.55. Tam giác ABC có Â = 105 0, B = 45 0, BC = 4cm. Tính độ dài AB, AC. Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai đường trung tuyến AE và BD vuông góc với nhau. Biết AB = 1 (đơn vị độ dài ). Tính diện tích tam giác ABC. a) Tính tg15 o ( không dùng bảng số, máy tính). b) Cho tam giác ABC có ÂBC + ÂCB = 105 o và AB + AC 2 = 2BC. Tính số đo các góc ABC và ACB. Bài tập 1.56. Tam giác ABC có Â = B + 2Ĉ và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. a) Tính độ dài các cạnh của tam giác. b) Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tính số đo của các góc A, B, C. Bài tập 1.57. Cho tam giác ABC, biết AB = 8cm, AC = 7cm và ÂBC = 30 o. Tính cạnh và các góc còn lại của tam giác. 18

Bài tập 1.58. Cho một hình vuông có cạnh 1dm. Người ta cắt đi ở mỗi góc của hình vuông một tam giác vuông cân để được một bát giác đều. Tính tổng diện tích của bốn tam giác vuông cân bị cắt đi Bài tập 1.59. Ở độ cao 920m, từ một chiếc máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A và B của hai đầu một chiếc cầu những góc so với phương nằm ngang lần lượt là α = 27 o và β = 31 o.tính chiều dài AB của chiếc cầu. Bài tập 1.60. Cho tam giác nhọn ABC, BC = a,ca = b, AB = c. Chứng minh rằng b 2 = a 2 + c 2 2accosB Kẻ AH BC. Tam giác AHC vuông tại H, ta có: AC 2 = AH 2 + HC 2 = AH 2 + (BC HB) 2 = (AH 2 + HB 2 ) + BC 2 2BC.HB = AB 2 + BC 2 2BC.AB.cosB = a 2 + c 2 2accosB. 19