Ταυτότητες (α β) α αβ β " αναπτύγματα τετραγώνων " (α β) αβ β (α β) α α β αβ β " αναπτύγματα κύβων " (α β) α α β αβ β " παραγοντοποίηση τριωνύμου " (α β) αβ ( α)( β) (α β) αβ ( α)( β) α β = (α β)(α + β) "διαφορά τετραγώνων" α β = (α β)(α + αβ + β ) "διαφορά κύβων" Γενικότερα: α ν β ν = (α β)(α ν1 + α ν β + + αβ ν + β ν1 ) πχ: α 6 β 6 = (α β)(α 5 + α 4 β + α β + α β + αβ 4 + β 5 ) α 7 β 7 = (α β)(α 6 + α 5 β + α 4 β + α β + α β 4 + αβ 5 + β 6 ) α + β = (α+β) αβ = (α β) + αβ "άθροισμα τετραγώνων" (ΔΕΝ παραγοντοποιείται) α + β = (α + β) (α αβ + β ) " άθροισμα κύβων" Γενικότερα: α ν + β ν = (α + β)(α ν1 α ν β + αβ ν + β ν1 ) (μόνο αν ν: περιττός) πχ: α 7 + β 7 = (α + β)(α 6 α 5 β + α 4 β α β + α β 4 αβ 5 + β 6 ) Ταυτότητα του Euler: 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) εάν α + β + γ = 0 ή α = β = γ, τότε: 1
Διάταξη στο IR (1) α > β α β > 0 () α, β ομόσημοι αβ > 0 () α, β ετερόσημοι αβ < 0 (4) (5) α β α + γ β + γ (6) α β αγ βγ, αν γ > 0 (7) α β αγ βγ, αν γ < 0 Απόλυτη τιμή Ορισμός: Ιδιότητες: (1) α 0 για κάθε αir () α = α () αβ = (αβ) (4) α = α (5) α β = β α (6) α α α, αν 0, αν 0 (8) (9) 0 0 (10) αν αβ > 0 τότε, (11) αν α β τότε α ν β ν (δεν ισχύει αντίστροφα!!!) 1 1 (1) αν α,β > 0 και νιν * τότε: α ν > β ν α > β (7) (8) αβ = α β (9) (10) επίλυση εξισώσεων: = α = α ή = α αν θ > 0, = θ = θ ή = θ επίλυση ανισώσεων: αν θ > 0, θ θ θ αν θ > 0, θ θ ή θ
Ρίζες πραγματικών αριθμών Ορισμός: για α 0 είναι:. Ιδιότητες: (σε κάθε περίπτωση είναι α, β 0) (1) () () (4) (5) (6) (7) (8) ΠΡΟΣΟΧΗ: για κάθε α ισχύει ότι: ενώ, για κάθε α 0 ισχύει ότι: [αυτό που έχουμε μάθει ως, τετράγωνο και ρίζα, φεύγει, πρέπει να το εφαρμόζουμε με προσοχή.] Εξισώσεις Ανισώσεις ου βαθμού () = α + β + γ, α0 Λύσεις της ()=0 Πρόσημο του () Γινόμενο του () Δ>0 1, 1 + () ομόσημο ετερόσημο ομόσημο του α του α του α () = α( 1 )( ) Δ=0 0 + 0 (διπλή λύση) () = α( 0 ) Δ<0 Δεν έχει ρίζες στο ΙR () ομόσημο ομόσημο του α του α + () ομόσημο του α για κάθε Δεν παραγοντοποιείται
Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικός κύκλος Ορισμός τριγωνομετρικών αριθμών γωνίας θ: ' M 0 y y' y 0 θ O OM ˆ συνθ = 0 ημθ = y 0 y0 εφθ 0 σφθ y 0 0 Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων: σε μοίρες Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί ημω συνω εφω σφω σε ακτίνια (rad) 0 o 0 0 1 0 δεν ορίζεται 0 o 1 6 45 o 4 60 o 90 o 1 1 1 1 0 δεν ορίζεται 0 μνημονικός κανόνας: i η στήλη των ημιτόνων προκύπτει απ' τον τύπο:, για i = 0, 1,,, 4. η στήλη των συνημιτόνων προκύπτει απ' την στήλη των ημιτόνων αν την αντιστρέψουμε. η στήλη των εφαπτομένων προκύπτει αν διαιρέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των ημιτόνων και συνημιτόνων. η στήλη των συνεφαπτομένων προκύπτει απ' την στήλη των εφαπτομένων αν την αντιστρέψουμε. 4
αντίθετα τόξα Αναγωγή στο 1 ο τεταρτημόριο: παραπληρωματικά τόξα τόξα που διαφέρουν κατά π ημ(ω)=ημω ημ(πω)=ημω ημ(π+ω)=ημω συν(ω)=συνω συν(πω)=συνω συν(π+ω)=συνω εφ(ω)=εφω εφ(πω)=εφω εφ(π+ω)=εφω σφ(ω)=σφω σφ(πω)=σφω σφ(π+ω)=σφω συμπληρωματικά τόξα π ημ ω =συνω π συν ω =ημω π εφ ω =σφω π σφ ω =εφω τόξα που διαφέρουν κατά π/ π ημ ω =συνω π συν ω = ημω π εφ ω = σφω π σφ ω = εφω Τριγωνομετρικές Ταυτότητες: (1) () () 1 ημ 1 1 ημω εφω συνω συνω σφω ημω (4) εφωσφω = 1 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις: ημ = ημθ = kπ+θ ή = kπ+πθ, k συν = συνθ = kπ+θ ή = kπθ, k εφ = εφθ = kπ+θ, k σφ = σφθ = kπ+θ, k Μία βασική τριγωνομετρική εξίσωση: αημ=βσυν εφ = εφθ = kπ+θ, k 5
Αριθμητική Πρόοδος Μία ακολουθία (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω ανν α ν+1 = α ν + ω Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου ανν β = α + γ Το άθροισμα των ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου (α ν ) με διαφορά ω είναι: ν ν S ν = α 1 + αν ή Sν α1 ν 1 Γεωμετρική Πρόοδος Μία ακολουθία (α ν ) είναι γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ 0 ανν α ν+1 = α ν λ Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου ανν β = α γ Το άθροισμα των ν πρώτων όρων γεωμετρικής προόδου (α ν ) με λόγο λ 1είναι: ν S = α λ 1 ν 1 λ 1 Η εκθετική συνάρτηση f() = α, 0 < α 1 α > 1 έχει πεδίο ορισμού το IR έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ) είναι γνησίως αύξουσα στο IR η γραφική της παράσταση τέμνει τον y'y στο σημείο (0, 1) ο αρνητικός ημιάξονας των είναι ασύμπτωτη y Α(0, 1) ' Ο 0 < α < 1 έχει πεδίο ορισμού το IR έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ) είναι γνησίως φθίνουσα στο IR η γραφική της παράσταση τέμνει τον y'y στο σημείο (0, 1) ο θετικός ημιάξονας των είναι ασύμπτωτη ' y Α(0, 1) Ο 6
Οι λογαριθμικές συναρτήσεις f() = log, f() = ln έχουν πεδίο ορισμού το (0, + ) έχουν σύνολο τιμών το διάστημα IR είναι γνησίως αύξουσες στο (0, + ) η γραφική τους παράσταση τέμνει τον ' στο σημείο (1, 0) ο αρνητικός ημιάξονας των y είναι ασύμπτωτη y ' Α(1, 0) Ο Οι λογάριθμοι Ορισμοί: y' logαθ = logθ = lnθ = ορσ ορσ ορσ α = θ 10 = θ e = θ Εφαρμογές του ορισμού: log α α = 1 log α 1 = 0 log α α = logα θ α θ log10 = 1 log1 = 0 log10 = logθ 10 θ lne = 1 ln1 = 0 lne = lnθ e θ Ιδιότητες: log α (θ 1 θ ) = log α θ 1 + log α θ θ 1 log α = logαθ1 logαθ θ log α θ κ = κlog α θ lnθ logθ logαθ lnα logα lnθ logθ, ln10 logθ lnθ = loge 7
ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ f() = α + β α > 0 α < 0 f() = α + β + γ α > 0 α < 0 8
f() = α α > 0 α < 0 f() f() 9
f() = α α > 1 0 < α < 1 f() = ln f() = log 10
f() = ημ f() = συν f() = εφ f() = σφ 11