Matematika, 997, Jilid 3, hlm. 9 4 c Jabatan Matematik, UTM. Penyelesaian Kamiran Nyata Bagi Persamaan Resapan Kompleks Berpotensi Kuadratik Teritlak Kompleks Shaharir Mohamad Zain Jabatan Matematik, Fakulti Sains Matematik Universiti Kebangsaan Malaysia 36 UKM Bangi, Selangor, Malaysia Zainal Abdul Aziz Jabatan Matematik, Fakulti Sains Universiti Teknolgi Malaysia Karung Berkunci 79, 899 Johor Bahru, Johor, Malaysia Abstrak Penyelesaian persamaan resapan kompleks berpotensi kuadratik teritlak kompleks diperoleh menerusi kaedah mekanik analisis. Penyelesaian kamiran nyata itu didapati sesuai dengan gagasan kamiran lintasan Feynman. Katakunci Persamaan resapan kompleks, kamiran lintasan Feynman, potensi kuadratik teritlak kompleks, penyelesaian kamiran nyata, fungsi Green. Abstract We obtain solution of a complex diffusion equation with generalised complex quadratic potential, via method of analytical mechanics. The real integral solution conforms to the idea of the Feynman path integral. Keywords Complex diffusion equation, Feynman path integral, generalised complex quadratic potential, real integral solution, Green function. Pengenalan Makalah ini menganjurkan penyelesaian tepat berkamiran nyata berbentuk kamiran Feynman rujuk Feynman [,3]) dalam ruang Euklidan N n, bagi persamaan resapan kompleks R t q,t)=α Rq,t) βv q)rq,t), Rq, ) = φq).) berpotensi kuadratik teritlak kompleks V q) = qt Ω q + L q + P
3 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz Lambang q mewakili vektor kedudukan titik pada N n dengan koordinat q j ), j =,, 3,,n α,β, α dan β K nombor kompleks Subskrip menandakan terbitan separa dan melambangi Laplacean. Simbol L menandakan suatu vektor, P adalah pemalar kompleks manakala /)q T Ωq berupa suatu bentuk kuadratik dengan Ω adalah matriks simetri nyata bersaiz n. Lihat Finkbeiner [4] dan Prasolov [8], untuk teori terperinci berkaitan konsep bentuk kuadratik itu dan Goldstein [5], bagi penggunaan perwakilan potensi ini bagi masalah sistem dengan darjah kebebasan n. Adalah menjadi kelaziman untuk menyekutukan bentuk kuadratik itu kepada matriks simetri Ω sahaja oleh sebab bahagian simetri pencongnya K tiada sumbangan, q T Kq =.) Pertimbangan suatu bentuk Hermitean dengan Ω Hermitean dibincangkan dalam Zainal []. Berasaskan kepada kaedah umum mekanik analisis yang dilaksanakan terhadap masalah yang sama bagi kasus potensi afin kompleks dalam Zainal [], maka makalah ini mengemukakan keputusan penting yang bersangkutan bagi potensi kuadratik teritlak kompleks. Kasus matra satu pun dilaporkan dalam Shaharir & Zainal [,]. Keputusan Lema berikut digunakan dalam keputusan utama makalah ini. Lema Jika suatu sistem dinamik dapat diwakili oleh Lagrangean L γs),γs)) = m γ s) V γs)) γ) = q,γt) =q, dengan γ sebagai lintasan yang dilalui zarah berjisim m tersebut yang dipengaruhi potensi V yang boleh pisah iaitu V γ) = n i= V iγ i ), maka secara komponen Bukti γ i s) t γ i s) q i s = γs) = γs) s / γ i τ)) / γ i γ i τ)) t) ) γ i τ)),.) γ i τ)),.) Keputusan di atas diperlihatkan bagi kasus matra satu dan selanjutnya keputusan untuk matra-n diperolehi dengan memperluaskan keputusan dalam matra satu ini secara komponen demi komponen. Daripada persamaan tenaga T γs),γs)) = m γ s)+v γs)), T = m γ ) + V q ),q = γ),.) dengan T adalah fungsi tenaga dan γ s) = ) T V γ)) m
Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks 3 atau t = q q dz /m)t V z)) ) /,γt) =q.3) Jika diambil terbitan.3) terhadap q dan t, maka masing-masingnya menghasilkan hubungan, iaitu d dq : q [4αβT V q))] αβt q dz =, / [4αβT V z))] 3/ dan / γt)) T q m d dt : T t m ds γ s) =, q Jika dipertimbangkan.3) dalam bentuk s = q αβt t dz =, q [4αβT V z))] 3/ ds γ s) +=, γs) q dz /m)t V z)) ) / maka terbitan di atas sebaliknya menghasilkan hubungan.4).5) γ q s) =T q /m) γs) γ t s) =T t /m) γs) s s Jelas daripada.4) dan.6), diperolehi hubungan s / γ q s) = γs) γ γt) τ dan juga daripada.5) dan.7), diperoleh γ t s) = γs) s γ τ) γ τ) / γ τ) γ τ γ τ Dalam kasus matra n persamaan tenaga.) dapat ditulis semula sebagai n n T γs)) = T i γ i,γ i m )= γi s)) + V i γ i s)), dengan i= i= γ i s)) = m T i γ i,γ i ) V i γ i ) )..6).7).8).9)
3 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz Seterusnya diulang hujah.3) hingga.7) untuk mendapat Lema. Sistem dinamik dengan potensi afin kompleks dan kuardratik kompleks adalah sistem terkenal yang memenuhi pernyataan Lema di atas. Hubungan berikut dalam matra n) adalah kesimpulan penting yang terjelma daripada Lema itu : γs) A. γs) t = γt), s=t t =, γs) = n, γs) =.) s= s=t s= B. Daripada.4) dan.5), didapati q T γt) = nt t, q kecer. terhadap q, dan seterusnya daripada.), diperoleh persamaan terbitan berikut γt) = q γt)) γt)+ t m qv ).) dengan q kecap. terhadap q. Seterusnya dikemukakan keputusan utama subseksyen ini. Teorem kasus potensi kuadratik teritlak kompleks menerusi kaedah mekanik analisis) ) Fungsi Green bagi persamaan resapan kompleks.) ialah Gq, t; q, ) = ) ϑt) β L γs),γs)) ds.) dengan L γs),γs)) = m γ s) V γs)) V γs)), Vq) = qt Ωq + L q + P, m = /)αβ jisim zarah yang dipengaruhi V potensi kuadratik teritlak kompleks dengan Ω suatu matriks simetri nyata, L vektor, P skalar kompleks, γ mewakili lintasan klasik yang memenuhi persamaan Euler-Lagrange d ds γl) γ L =, γ) = q, γt) =q manakala 4α sin[ ) n/ Ωt] ; Ω,t,t minim),t minim = minim bagi Ω λj ϑt) = αβ N dengan αβ < ; atau t> bagi αβ > { dan t minim = minim kh bagi αβ K}, dan matriks α Ω) tan[ Ωt]) ) simetri tentu positif; juga Ω) =Ω, 4αt) n/ ; Ω=,t>, Nyα).
Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks 33 ) Lebih jelas lagi fungsi Green ini ialah ) n/ [ Ω 4α sin[ X + Y ) T Ω tan [ Ωt])X + Y ) Ωt] 4α X T Ωsin [ Ωt]+tan [ ) Ωt]))Y βt Gq,t; q, ) = [LT ] Ω) L P ].3a) Ω, Ω), X = q + Ω) L, Y = q + Ω) L ) n/ [ 4αt 4αt q q) + βt q + q ) L + βαl t +βpt]; Ω=.3b) dengan syarat ke atas α, β dan t yang tersebut dalam di atas. 3) Penyelesaian persamaan resapan teritlak dalam sebutan lintasan klasik yang menampakkan proses stokastik yang melapikinya ialah ) n/ [ Y kos [ T Ωt]X) Σ Y Σt) kos [ )] Ωt]X [ β ] t V γs))ds + EX, Y,t) φq )dq..4a) Ω, Ω) =Ω, Σt) =4tan[ Ωt]) Ωtan[ Ωt] + Ω) t), α Ω) tan[ ) Ωt] matriks simetri semitentu positif dengan ) t,t minim ), t minim = minim bagi αβ N dengan αβ < ; j λj Rq,t)= atau t> bagi αβ > { dan t minim = minim ) j kh bagi αβ K}, dan EX, Y,t)= 8α XT Ω tan[ Ωt]))X + ty T Ω) )+ tan[ Ωt]kos [ Ωt]tan[ Ωt]+ ) Ωt) atau versi lainnya, ln ) n/ 4αt [ 4αt q q) ] [ β V γs))ds β αl t 3 ] φq ) dq Ω=,t>, αβl N n, Nyα).4b)
34 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz Rq,t)= ) n/ Λt) [ β [ Y kos [ T Ωt]X) Λ Y kos [ )] Ωt]X ] V γs))ds + βfq,t) φq )dq. Ω, Ω) =Ω, Λt) = t tan[ Ωt]) Ω) ),.5a) α Ω) tan[ Ωt] matriks simetri semitentu positif dengan t,t minim ),t minim = minim. ) j bagi αβ N dengan αβ < ; atau t> bagi λj ) αβ > { dan t minim = minim j kh bagi αβ K} dan F q,t)= V q )t + β ln t Ω) tan[ Ωt] kos [ ) Ωt]) ) n/ [ ] 4αt 4αt [q q αβt L)] [ ] β V γs))ds + tβv q ) φq )dq Ω=,t>, αβl N n, Nyα).5b) dengan I matriks identiti. Bukti ) G dalam Teorem di atas memenuhi persamaan resapan kompleks.) mengimplikasikan ϑt) ϑt) = 4α γ t) α γ γ t s=t ) γ γ s=t s= 4α s= + γ γ s=t s= ),, kecap. terhadap q,.6) apabila γ memenuhi persamaan Euler-Lagrange bagi L dalam hipotesis Teorem itu. Seterusnya daripada Lema dengan.) dan.) yang membuahkan syarat sama ada mengira bulat-bulat γ ataupun menggunakan persamaan tenaga.)) berupa hubunganhubungan.).
Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks 35 Persamaan.6) dan.) memberikan ϑt) ϑt) = γt) = D Ḋt), Ω, Ω) =Ω D t) =sin [ Ωt], iaitu dengan t,t minim ),t minim = minim ) j bagi αβ N dengan αβ < ; λj atau t> bagi αβ > { dan ) t minim = minim. j kh bagi αβ K }.7) t, Ω=,t>. Persamaan di bahagian akhir.7) diperolehi dengan menghisab γt) daripada lintasan klasik sistem ini dengan bulat-bulatnya atau dengan menyelesaikan persamaan terbitan untuk h = γt) yang memenuhi persamaan nh t = h h +αβωq + L).8) Yang boleh diterbitkan menerusi ungkapan tenaga.). Persamaan.7) atau.8) memberikan ungkapan ϑ setelah pemalarnya ditentukan dan apabila disyaratkan supaya G pada t = semestinya fungsi delta δq q ) yang juga memberikan syarat-syarat seperti dalam Teorem. Bukti ) Ungkapan G dalam sebutan q, q,t secara bulat-bulat dalam Teorem boleh didapati dengan menghitung G dalam sebutan Lagrangean itu dengan menggunakan lintasan klasik sistem γ yang dipertimbangkan ini, malah seseorang boleh mendapatkan X + Y ) T Ω tan [ Ωt] X + Y ) X T Ωsin [ Ωt] + tan [ ) Ωt])Y + t X + Y ) T Ω sin [ Ωt]) X + Y ) γ s)ds = X T kos[ Ωt]+I) Ωsin [ ) Ωt]) Y jika Ω, Ω) =Ω, X = q + Ω) L, Y = q + Ω) L..9a) t U t/m)u L +/3) Lt/m) ), jika Ω =, dan tu =q q +/m)l)..9b) Y kos [ ) T Ωt]X Ω Y kos [ ) Ωt]X + XT Ω tan[ωt]x + Y T Ω) Y + t Y kos [ ) T Ωt]X = Ω tan [ Ωt]) Y kos [ ) Ωt]X, Ω, Ω) =Ω.a) q q) + L t 3, Ω=.b) t m
36 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz V γs))ds = X + Y ) T tan [ Ω]X + Y ) X T sin [ Ωt] +tan [ ) Ωt])Y + X + Y ) T sin [ Ωt]) ΩX + Y ) X T kos[ Ωt]+I) sin [ Ωt]) ) ΩY LT Ω) L + P, Ω, Ω) =Ω..a) 4 tq + q) L + L t 3 + Pt, Ω=.b) m Persamaan.9)-.) dan.) memberikan G dalam.3) dengan pilihan pemalar kamiran itu supaya Gt =)=δq q )). Bukti 3) Penyelesaian dalam sebutan lintasan klasik diperoleh dengan mengira bahagian tenaga kinetik daripada ungkapan G, iaitu [ βm t ] γ ds daripada persamaan.9)-.). Versi lain diperoleh menerusi hubungan m γ s) V γs)) = m γ ) + V q ) V γs)) dan γ) boleh dihisab terus daripada lintasan klasik atau daripada penyelesaian u = γ) kepada persamaan yang diterbitkan daripada ungkapan tenaga.) : nu t = u u αβωq + L),, kecap. terhadap q. Jelas daripada Teorem, fungsi Green seperti bentuk.4a)) tidak tertakrif apabila t bersamaan dengan punca persamaan fungsi matriks sin[ Ωt] =, khususnya yang terjadi apabila nilai eigen Ω berupa nombor nyata sebagaimana terjadi buat kasus persamaan Schrödinger. Dalam kasus ini, fungsi Green tidak tertakrif pada pilihan t bersamaan dengan punca persamaan sin[ Ωt] =. Teorem berikut memberikan fungsi Green yang menjadi pelengkap kepada fungsi Green dalam Teorem, iaitu disediakan G yang tertakrif pada pilihan t sehinggakan fungsi matriks sin[ Ωt] =, yang tentunya benar untuk kasus persamaan Schrödinger. Teorem pelengkap fungsi Green.3)) Gq,t; q,t )= ϑτ) β ) L γs),γs))ds, t>t, τ = t t ialah fungsi Green bagi persamaan resapan kompleks.) dengan syarat awal Rq,t )= φq ), manakala L dan γ seperti dalam Teorem, tetapi dengan syarat sempadan lintasan klasik γt )=q, γt) =q,
Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks 37 dan ϑτ) = sin[ ) n/ Ωt] βm, Ω, Ω) =Ω, τ,t minim), Ω ) t minim = minim j bagi αβ N dengan αβ < ; atau t> bagi ) αβ > {dan t minim = minim j bagi αβ K} ) n/, 4ατ Ω=,τ> Dalam sebutan q, q,τ secara terang-terangnya, dengan τ,t minim ), t minim. = minim. / λj ) ) j ) bagi αβ N dengan α<; atau τ>bagi αβ > {dan t minim = minim. /kh λj j bagi αβ K}, βm ) n/ [ Ω βm sin[ X + Y ) T Ωtan [ Ωτ]X + Y ) Ωτ] X T Ωsin [ Ωτ]+tan [ ) Ωτ])Y βτ[ LT ] Ω) L P ], Gq,t: q,t )= Ω, Ω) =Ω X = q + Ω) L, Y = q + Ω) L, matriks α Ω) tan[ ) Ωτ] simetri semitentu positif;.a) ) n/ [ 4ατ 4ατ q q) + βτ q + q ) L + βαl τ 3 ] + βpτ,.b) Ω=,τ>, αβl N n, Nyα). Bukti Serupa dengan pembuktian Teorem.
38 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz 3 Ulasan a) Secara terang-terang, fungsi Green.3a) boleh ditulis sebagai ) n/ Ω [ 4α sinh[ 4α X + Y ) T Ωtan [ Ωt]X + Y ) Ωt] X T Ωsin [ Ωt]+tan [ ) Ωt])Y βt [LT ] Ω) L P ], matriks α Ω) tan[ ) Ωt], Ω, Ω) =Ω, ) dengan t,t minim ); t minim = minim j λj Gq,t; q, ) = bagi αβ N dengan αβ < 3.a) ) {dan t minim = minim bagi αβ K}, atau j khλj ) n/ µ [ 4α sinh[ X + Y ) T µitanh [ µit]x + Y ) µt] 4α X T µisinh [ µit] + tanh [ ) µit])y βt [LT ] µi) L P ], bagi Ω = µi, dengan matriks α µi) tanh[ ) µit]), µ N dan t> bagi αβ >. 3.b) untuk kasus Ω, X = q + Ω) L, Y = q + Ω) L. Bagi kasus Ω = µi, µ N, kasus resapan klasik teritlak) penyelesaian persamaan resapan kompleks.4a) diberikan oleh Rq,t)= Σt) ) n/ [ )] [ β Y kosh [ µit]x Y kosh [ ) T µi] X Σ ] V γs))ds + EX, Y,t) φq )dq, µi, Σt) =4αtanh[ µit]) µitanh[ µit]+ µi) t), matriks α µi) tanh[ µit], t> bagi αβ >, dan EX, Y,t)= 8α XT µitanh[ µit]x + ty T µiy ) ln tanh[ µit]kosh [ µit]tanh[ µit]+ µit) ) 3.) Ungkapan 3.) menyerupai bentuk kamiran lintasan Feynman lihat Feynman [3]), cuma berbeza daripada segi domain kamiran sahaja. Sementara itu, persamaan 3.) juga boleh ditulis semula sebagai rumus Feynman-Kac atau kamiran Weiner lihat Nagasawa [7] ). Jika dipertimbangkan α = i /m) dan β = i/, khayal tulen, dalam fungsi Green 3.a),
Penyelesaian Persamaan Resapan Kompleks 39 maka diperoleh fungsi Green bagi kasus persamaan Schrödinger teritlak). Melalui penyelesaian.4a) dengan pertimbangan yang dinyatakan diperoleh penyelesaian persamaan Schrodinger teritlak) yang menyerupai bentuk kamiran lintasan Feynman. b) Secara formalnya, kita masih boleh mengungkapkan keputusan.4) itu sebagai [ J N[kos [ Ωt]X,Σt)] β ) t ]E, V γs))ds X,t)φ )), Rq,t)= Ω, Ω) =Ω,.3a) [ J N[q,Σt)] β V γs))ds ]Et)φ ) ), Ω=,.3b) yang masing-masing merupakan jangkaan formal terhadap taburan multinormal kompleks lihat Kingman & Taylor [6], Shaharir [9], Andersen et al []), N[kos [ Ωt]]X, Σt)] dan N[q, αt], dengan min bersamaan dengan kos [ Ωt]X dan q, dan matriks varianskovarians Σt) bersamaan dengan matriks 4α Ω) tan[ Ωt]) tan[ Ωt]+ Ωt) dan αti masing-masingnya. Secara formal juga, kedua-dua ungkapan.3a,b) sejajar dengan perspektif Nagasawa [7], dan sayugianya membayangkan adanya proses stokastik yang melapiki resapan kompleks.) berpotensi kuadratik teritlak kompleks itu, walaupun kami belum dapat mengecam secara terperinci bentuk proses stokastik itu. Khususnya, bagi kasus resapan klasik teritlak didapati resapan dilapiki oleh proses Wiener tidak piawai. Manakala kasus persamaan Schrödinger teritlak), tidak formalnya keputusan kami membayangkan adanya proses stokastik Schrodinger yang melandasi resapan kompleks itu. Kami berharap dapat memperincikan lagi hal-hal ini dalam penerbitan-penerbitan kami seterusnya. Walau apapun hasil.5)-.6) itu adalah realisasi penyelesaian kamiran Feynman yang tepat dalam sebutan kamiran nyata bukan kamiran fungsian) berlintasan klasik bagi persamaan resapan kompleks.) berpotensi kuadratik teritlak kompleks, yang berupa suatu penyatuan penyelesaian yang baru. c) Keputusan-keputusan di atas bagi kasus potensi afin kompleks dan kuadratik teritlak kompleks mengesyorkan betapa fungsi Green dalam sebutan Lagrangean ialah Lagrangean yang ada sebutan df ds, tegasnya [ Gq,t; q, ) = β Ls, γs), γs)) + d ) ] ds F s, γs), γs)) ds, dengan F t) = β ln ) n/, Σt) Ω, Ω) ) =Ω,t,t minim ),t minim = minim bagi αβ N dengan αβ < ; j λj atau t>bagi αβ > { dan t minim = minim j kh ) bagi αβ K}, untuk potensi kuadratik; dan F t) = n ln 4αt)
4 Shaharir Mohamad Zain & Zainal Abdul Aziz Ω=,t>, αβl N n, bagi potensi afin kompleks. Keputusan ini akan dihalusi lagi dalam penerbitan lain. Rujukan [] H.H. Andersen, M. Højbjerre, D. Sorensen & P.S. Eriksen, Linear and graphical models for the multivariate complex normal distribution, Springer-Verlag, New York 995. [] R.P. Feynman, Space-time approach to non-relativistic quantum mechanics, Rev. of Mod. Phys. 948), 367-387. [3] R.P. Feynman & A.R. Hibbs, Quantum mechanics and path integrals, McGraw-Hill, New York, 965. [4] D.T. Finbeiner II, Introduction to matrices and linear transformations, W.H. Freeman, New York, 966. [5] H. Goldstein, Classical mechanics. Edisi kedua, Addison-Wesley Pub., Reading, 98. [6] J.F.C. Kingman & S.J. Taylor, Introduction to measure and probability, Cambridge univ. Press, 966. [7] M. Nagasawa, Schrödinger equations and diffusion theory, Birkhauser Verlag, Basel, 993. [8] V.V. Prasolov, Problems and theorems in linear algebra American Mathematical Soc., Providence, 989. [9] M.Z. Shaharir, On complex normal distribution, Sains Malaysiana, 6, 987), 397-48. [] M.Z. Shaharir & A.A. Zainal, On the exact integral solution of the generalised linear diffusion equation, Sing. J. Phys. 995), 8-9. [] M.Z. Shaharir & A.A. Zainal, Real integral solution in term of classical path for a diffusion model with quadratic potential in one-dimensional Euclidean space, J.Fiz. Mal. 6 995), 43-58. [] A.A. Zainal, Penyelesaian persamaan resapan kompleks yang sesuai dengan gagasan kamiran lintasan Feynman, Tesis Dr. Fal., Jab. Matematik, UKM, Bangi, 997.