Metode Numerice de Rezolvare a Ecuațiilor Diferențiale

Σχετικά έγγραφα
METODE NUMERICE DE REZOLVARE A ECUAŢIILOR ȘI SISTEMELOR DE ECUAȚII DIFERENŢIALE. Autor: Dénes CSALA

Lucrarea Nr. 5 Comportarea cascodei EC-BC în domeniul frecvenţelor înalte

5.1 Realizarea filtrelor cu răspuns finit la impuls (RFI) Filtrul caracterizat prin: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. 5.1.

8. Alegerea si acordarea regulatoarelor

ANALIZA SPECTRALĂ A SEMNALELOR ALEATOARE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CURS 6 METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Partea I (Rezumat) 6-I METODE NUMERICE PENTRU ECUAŢII DIFERENŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI

VII.3.5. Metode Newton modificate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

Metode numerice pentru probleme Cauchy 1. Ecuaţii diferenţiale. Probleme Cauchy

Fiabilitatea şi indicatori pentru măsurarea nivelului acesteia. Suport de curs master MANAGEMENTUL CALITATII 17 XI 2008

Demodularea (Detectia) semnalelor MA, Detectia de anvelopa

Numere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.

Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.

Seminar 6.Integrarea ecuațiilor diferențiale

tensiunii de intrare. Revãzând rãspunsul circuitului RC trece-sus la semnal sinusoidal se

5.2 Structuri pentru filtre cu răspuns infinit la. impuls. Fie funcţia de transfer: 5. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE

2. Sisteme de ecuaţii neliniare

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

SERII RADIOACTIVE. CINETICA DEZINTEGRĂRILOR Serie radioactivă- ansamblu de elemente radioactive care derivă unele din altele prin dezintegrări α şi β

SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)

Metode numerice pentru probleme Cauchy 1. Ecuaţii diferenţiale. Probleme Cauchy

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

ECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D

Capitolul 4 Amplificatoare elementare

Program: Statistică descriptivă

Integrala nedefinită (primitive)

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC

Statistica descriptivă (continuare) Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate


Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMENTALE

TEMA 12 SERII DE TIMP

Instrumentație electronică de măsură - Laborator 1 rev 8.1 2

4. Criterii de stabilitate

1. INTRODUCERE. SEMNALE ŞI SISTEME DISCRETE ÎN TIMP

Mădălina Roxana Buneci. Optimizări

9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

INTEGRAREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE CU CONDIŢII INIŢIALE. 1. Metode cu paşi separaţi Formularea problemei

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE Diferenţiabilitatea funcţiilor reale de o variabilă reală.

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Curs 10 TRANZISTOARE. TRANZISTOARE BIPOLARE

Amplificatoare. A v. Simbolul unui amplificator cu terminale distincte pentru porturile de intrare si de iesire

Curs 4 Serii de numere reale

Subiecte Clasa a VII-a

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

Legea vitezei se scrie în acest caz: v t v gt

2. Algoritmi genetici şi strategii evolutive

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

STUDIUL REGIMULUITRANZITORIU AL CIRCUITELOR ELECTRICE

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Curs 1 Şiruri de numere reale

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

riptografie şi Securitate

Din figura anterioară, 2 T ω = ω = = 0,636 I m. T 2 π

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

LEC IA 1: INTRODUCERE

CAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

SEMNALE ALEATOARE Definirea semnalului aleator, a variabilei aleatoare, a funcţiei şi a densităţii de repartiţie

MARCAREA REZISTOARELOR

4.2. Formule Biot-Savart-Laplace

ELECTROTEHNICĂ. partea a II-a. - Lucrări de laborator -

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

I X A B e ic rm te e m te is S

2.3. Alte etaje cu TEC, folosite în amplificatoare. Funcţionarea la frecvenţe medii. Figura 2.42: Polarizarea TEC-J

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI. Facultatea de Inginerie a Instalaţiilor. Specializarea: Inginerie termică - Doctorat TEZĂ DE DOCTORAT

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAȚII NELINIARE. 0 Norma unui vector şi norma unei matrici. n n cu elemente scalare (reale, complexe).

Subiecte Clasa a VIII-a

CURS 2 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII NELINIARE

Το άτομο του Υδρογόνου

[ ] 3. Structura mulţimii soluţiilor admisibile ale unei probleme de programare liniară

2. Metoda celor mai mici pătrate

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

3.5. Forţe hidrostatice

Durata medie de studiu individual pentru această prezentare este de circa 120 de minute.

Transcript:

Curs - Meode Numerce de Rezolvare a Ecuațlor Derențale Aplcaț în Ingnera Elecrcă As. Dr. ng. Levene CZUMBIL Laboraorul de Cerceare în Meode Numerce Deparamenul de Elecroencă Ingnere Elecrcă E-mal: Levene.Czumbl@em.ucluj.ro

Comporarea dnamcă a ssemelor zce conduce la modele maemace ormae dn ecuaţ derenţale ordnare sau sseme de ecuaţ derenţale care nu po rezolvae pe cale analcă uncţ complcae ca ormă sau uncţ cunoscue doar pe baza unor valor în punce dae abelar ş obţnue pe cale epermenală. Dn aces mov se recurge la rezolvarea numercă a acesora. Meodele numerce de apromare a soluţlor conduc la abele de valor ale uncţe necunoscue. Valorle abelae se calculează ulzând o valoare deja calculaă cu un pas înane meode unpas sau câeva valor calculae deja meode mulpas.

Crcu R-L sere în regm ranzoru. Se consderă un crcu orma dnr-un rezsor de rezsenţă R ş o bobnă de nducvae L almenae în sere la o ensune elecromooare e E cosω Se sudază varaţa curenulu în crcu la încderea înreruporulu K. cos E R d d L d d L R e e e L R ω ω ω Se scru eoremele lu Krco ş rezulă o ecuaţe derenţală de ordnul I: Crcuul R-L Sere

Ecuaţa lnlor de câmp creae de o sarcnă în mşcare în planul o sub acțunea unu câmp de orțe ese o ecuațe derențală oală eacă; Mşcarea unu elecron supus unu câmp elecrc EE ș a unu câmp magnec HH sasace ecuața derențală vecorală: dv d e m E µ v H Rezolvarea une ecuaţ derenţale asocae unu crcu elecrc de ordn I sau II eca cu un mpuls regm ranzoru; Condensaor de capacae C care se încarcă de la o sursă de ensune connuă E prnr-un rezsor de rezsenţă R. Descărcare unu condensaor de capacae C încărca nţal la ensunea E pe un rezsor de rezsenţă R.

Analza comporăr descarcăoarelor de supraensun daorae comuăr lnlor elecrce cu sarcnă capacvă presupune modelarea lne ca ş crcu ţnând con de prezenţa surse de energe de amplasarea descărcăoarelor surge-arresers ş de naura sarcn elecrce capacvă: Modelul de crcu elecrc Soluţonarea numercă a ecuaţe derenţale corespunzăoare crcuulu cu varablă necunoscuă ensunea la bornele descărcăorulu ndcă varaţle care apar penru dere sarcn capacve:

Modelul maemac cel ma des înâln al enomenelor care sau la baza majorăţ aplcaţlor elecroence ese ecuaţa derenţală. Rezolvarea eacă a ecuaţlor derenţale ordnare ese posblă penru o clasă oare resrânsă de aplcaț!!! O ecuaţe derenţală ese o ecuaţe care conţne pe lângă varablele ndependene ş uncţle necunoscue ş dervaele acesor uncţ sau derenţalele lor până la ordnul n nclusv numărul n repreznă ordnul ecuaţe derenţale. O ecuaţe derenţală se numeşe ordnară dacă conţne o sngură varablă ndependenă ş are orma generală: n ' ''...

Ecuaţle derenţale cu dervae parţale conţn ma mule varable ndependene ş dervaele parţale ale uncţlor necunoscue. Rezolvarea une ecuaţ derenţale de ordn n mplcă mpunerea a n condţ nţale. Esă urmăoarele suaţ: z z z z z z Dacă oae cele n condţ valor sun dae penru aceeaş valoare a varable ndependene negrarea se ace cu condţ nţale mpuse la începu în problemă problema Cauc. Aunc când nervn dverse valor ale varable ndependene rezolvarea se ace cu condţ la lmă

Fe : I R R o uncțe connuă daă care descre ecuața derențală de ordnul I care urmează a rezolvaă unde I ese un nerval real ar ese valoarea nţală a uncțe care sasace acesă ecuațe derențală provenă dn condța nțală a probleme. Se propune deermnaea uncţe : I R care sasace problema cu valor condţ nţale problemă Cauc adcă evaluarea uncţe în nodurle a < < < < n- < n b aparțnând nervalulu de denţe I. ' I a < < < < < b n n [ a b] I

Demonsraa pe ablă n n n R n!...! '! < < n n n n R ξ ξ ξ Apromaţa ese cu aâ ma bună cu câ numărul de ermen luaţ în consderare în dezvolarea Talor ese ma mare. Meoda ese drecă înrucâ penru calculul lu sun necesare normaţ numa despre puncul aneror. Dacă se consderă doar prm re ermen dn descompunerea în sere Talor n Rn aunc se obțne urmăoarea ormulă apromavă de calcul: [ ]

Ese cea ma smplă meodă de negrare numercă a ecuaţlor derenţale ordnare. Se obţne dn meoda Talor penru n adcă se reţn numa prm do ermen dn dezvolare rezulând orma eplcă a meode lu Euler:... ε '' ξ < ξ <! Inerpreare geomercă: se alege un pas de negrare asel încâ nervalul de denţe [ b] să e împărţ în paş egal: b N Asel avem aceeaş problemă de rezolvare a ecuaţlor derenţale cu condţ nţale: ' ș curba soluțe:

Prn meoda lu Euler soluţa în nodul se apromează cu ordonaa punculu de nersecţe a angene la curbă în puncul cu dreapa. Ecuaţa angene: ' ' rezulă ormula de recurenţă a algormulu Euler: Asel meoda lu Euler se numeşe ş meoda lnlor polgonale penru că curba se înlocueşe prn lna polgonală M M conorm gur alăurae. Dreapa care rece prn M cu coecenul ungular - conorm poeze prn care ecuaţa derenţală care ormează problema Cauc dă în orce punc pana curbe!!!

Observaţe: În aplcaţle elecroence ulzarea meode lu Euler duce la unele dculăţ dn punc de vedere a precze meode. De aceea se olosesc varane ale meode lu Euler cu precze ma mare care olosesc relaţ de recurenţă de orma: Φ Meoda lu Euler îmbunăăță ormula Euler-Huen [ ] ' Φ unde în dezvolarea în sere Talor se reţn prm re ermen: '

Meoda lu Euler modcaă ormula Euler-Cauc Φ ' ' În aceasă meodă ʹ nu se ma apromează pe nervalul [ -] cu valoarea de la începuul nervalulu c cu o apromațe a valor de la mjlocul acesu nerval. Meoda lu Euler modcaă predcor corecor Rezulă dn reununea versun meode lu Euler clască relaţa predcor ş a versun modcae relaţa corecor. Cu meoda lu Euler clască se calculează o prmă apromaţe valoarea prezsă a soluţe în puncul urmăor adcă se nţalzează valoarea lu cu o relaţe:

După aceea la un pas 3 al procesulu erav de calcul noua valoare a lu rezulă prn aplcarea une relaţ de recurență de orma: Calculul se consderă ermna când a os deermna cu o precze mpusă aprorc cu ale cuvne eraţle se repeă până când derenţa dnre două apromaţ succesve ş - ese ma mcă decâ o eroare sablă dnane prmnd aunc ulma valoare calculaă. < ε eroarea mamă admsblă mpusă Observaţe: La aceeaş valoare a pasulu de negrare acese meode modcae îmbunăăţe a meode lu Euler asgură o precze ma bună ş o soluţonare ma rapdă a ecuaţlor derenţale.

Fe ecuaţa derenţală de ordnul I: π ' 3 cos 5 9 cu condţa nţală Cauc 76 unde a valor pe nervalul [75]. Să se deermne valorle uncţe olosndu-se meoda lu Euler îmbunăăţă Euler-Heun respecv varana modcaă versunea Cauc. Pasul. Se scre ecuaţa derenţală ce urmează a rezolvaă: Pasul. Se erage dervae uncţe necunoscue: Pasul 3. Se deneşe uncţa asocaă ecuaţe derenţale:

Pasul 4. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: Φ EH : Pasul 5. Denrea uncţe caracersce meode îmbunăăţe Euler-Huen: Φ EC : a : 7 b : 5 N : Pasul 6. Se denesc capeele nervalulu numărul de punce de calcul ş se deermnă pasul de parcurgere al nervalulu de denţe: b a :.8 N Pasul 7. Se deermnă şrul de punce nermedare în care se evaluează valoarea uncţe necunoscue: :.. N : a

Pasul 8. Se mpune condţa nţală Cauc 75: EH : 5 EC : 5 Pasul 9. Se evaluează valorle uncţe necunoscue conorm meode lu Euler îmbunăăţe Euler-Heun : EH : EH Φ EH EH Pasul. Se evaluează valorle uncţe necunoscue conorm meode lu Euler modcaă versunea Cauc : Pasul. Se vzualzează valorle uncţe necunoscue deermnae în puncele : EC : EC Φ EC EC

Pasul. Se repreznă grac alura uncţe deermnae cu cele două meode: Pasul 3. Se evaluează abaerea procenuală dnre cele două meode:

Meodele lu Euler mplcă necesaea evaluăr dervaelor de ordn superor ale uncţe respecv ale uncţe care duc la dculăţ în apromarea numercă a dervaelor de ordn superor. În scmb meodele de p Runge Kua evă în oalae ulzarea dervaelor de ordn superor ele olosnd numa dervaele de ordn I ale uncţe adcă valorle uncţe. Se calculează valorle uncţe înr-un număr de punce nermedare ale nervalulu [ ] penru deermnarea lu cu o eroare mnmă. Cu ale cuvne meodele Runge Kua de negrare numercă a une ecuaţ derenţale înlocuesc calculul dervaelor uncţe prn evaluăr ale sale în dverse punce.

Fe ecuaţa derenţală ordnară cu condţ nţale de orma: ' b a n n < < < < < N a N a b o dvzune ecdsană a nervalulu [a b]!!! Dn raţun de smplcare a calculelor consderăm combnaţ lnare de valor ale uncţe în anume punce ale nervalulu [ ] soluţa calculându-se cu o relaţe unpas de orma: n n a a a... unde dn condţa ca dezvolarea în sere Talor a membrulu drep în uncţe de să concdă cu membrul drep al ormule lu Talor de ordnul n avem ş ormula dedusa ş oţ coecenţ după parcularzăr: Demonsraa pe ablă

Parcularzând paramerul n se deermnă dverse ormule: Runge Kua de ornul I n: -- omula lu Euler clască da Runge Kua de ornul II n: da omula modcaă a lu Euler Euler-Huen [ ]

Runge Kua de ornul III n: 4 6 da Runge Kua de ornul IV n3: 3 6 da 3 Acese ormule sun oare ulzae în aplcaţle dn domenul elecroenc - complcae ş preenţoase dn punc de vedere a precze!!!

Maser anul I Adams Adams Basor Adams Moulon Predcor corecor Mlne Predcor - corecor Hammng Soluţa în puncul se deermnă prn acese meode mulpas olosndu-se valorle calculae ale uncţe în ma mulţ paş aneror. Dacă la meodele unpas uncţa necesă evaluăr penru un număr mare de valor ale varable ndependene la meodele mulpas meode cu paş legaţ nu ese necesar calculul valorlor uncţe în punce nermedare suplmenare aţă de cele corespunzăoare pasulu de dscrezare negrare. Penru acese meode ese preerabl ca puncele luae în consderare penru calculul soluţlor sa e ecdsane. Fnd dae valorle... meodele mulpas olosesc acese normaţ penru calculul lu. Dezavanajul acesor meode ese pornrea ma dclă. Ele nu se auopornesc adcă la prmul pas nu sun dsponble nu se cunosc normaţle dn puncele aneroare necesare adcă prmele valor ale soluţe rebue să e calculae prn ale meode!!!

Să se sudeze conecarea unu crcu alcău dnr-o rezsență r ș o nducanță L la o sursă de ensune connuă U ș scurcrcuarea crcuulu. a Conecarea crcuulu la sursa connuă Teorema a doua a lu Krco devne: U d r L d Curenul ese orma dn două componene una sațonară ș una ranzore: s r d L U r d U d r d L U r A e r L Tnând con de condțle nțale rezulă: U A τ I e τ L r

Componena sațonară a curenulu ese: s U r Componena ranzore a curenulu ese: r U r e τ Se mplemeneză în Macad rezolvarea probleme consderându-se valorle numerce: L :. H r :. Ω U : V L τ : τ. r s U s : r τ r : e U : s r r s au : τ

b Scurcrcuarea crcuulu Dacă scurcrcuăm crcuul r L ensunea U la borne devne egal cu zero curenulpermanen devne egal cu zero: s s r r A e r L Țnând con de condțle nțale rezulă: U I A r I Calcul numerc: sc : U r e τ au s U : ausc : aus aus r τ

Crcuul dn gura de ma jos uncțonează în regm permanen cu înrerupăorul K descs. Să se deermne varața în mp a curenulu dn bobnă în urma scurcrcuăr rezsorulu R. Se preczează valorle numerce ale paramerlor crcuulu ș a surse de almenare. R : Ω R : 3 Ω L :. H E : V : E sn -- uncța care deermnă orma alure de creșere a semnalulu da sursa de ensune u

a : b : -- coecenț pe baza caroră se calculează recvența semnalulu manssa : loor -- uncțle loor ș manssa reurneaza parea înreagă ș parea racțonară a unu număr u a b : manssa u : u a b -- semnalul perodc de ensune elecrcă

Modcarea pozțe înrerupăorulu K conduce la aparța regmulu ranzoru în crcuul elecrc R-L. Modelul maemac reprezena de o ecuae derențală se obțne dn aplcarea eoreme a doua a lu Krco pe ocul de crcu. Condța nțală a ecuațe derențale se deduce dn calculul nensăț curenulu elecrc în regmul permanen aneror aparțe enomenulu ranzoru. d L R u d -- ecuața derențală de ordnul I care se obțne T.5 s -- momenul de mp la care se ace comuața : u T A R R.438 -- condța nțală la momenul T deoarece regmul de uncțonare nu ese alernav c doar perodc Deș soluța analcă a ecuațe derențale descrse aneror se cunoașe problema se va soluțona prnr-o meodă numercă de negrare apromavă meoda Runge-Kua de ordnul IV. Scopul ese de a prezena o alernavă numercă de rezolvare.

Se scre dervaa curenulu în uncțe de celelale mărm dn ecuațe: d u R d L Se aașează membrulu drep al ecuațe o uncțe de do paramer: mpul ș curenul elecrc: u R : L Se condțoneaza peroada de smulare începând de la comuarea înrerupăorulu: T : 6 s :. s -- pasul de dscrezare a mpulu N T T : N 35 -- numărul de punce de calcul olos penru apromarea valorlor de curenulu elecrc :.. N T : T -- puncele nermedare în care se vor deermna valorle curenulu elecrc I : -- nțalzarea condțe mpuse în ecuața derențală

Implemenarea ormulelor aerene meode Runge-Kua de ordnul IV: : : I I I I I I 6 : 3 : : 3 Implemenarea relațe de recurență aerenă meode Runge-Kua de ordnuliv: