IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE

IV. STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE 4.1 Consideraţii generale În numeroase probleme de echilibru corpurile rigide interacţionează mecanic, formând sisteme de corpuri rigide între care există legături exterioare şi legături interioare. Studiul echilibrului sistemelor de corpuri se efectuează ţinând seama că în legăturile exterioare apar reacţiuni care, împreună cu forţele direct aplicate, constituie forţe exterioare pentru sistemul respectiv. În legăturile interioare, datorită interacţiunii dintre corpurile sistemului, apar forţe (cupluri de forţe) de legătură interioare. Conform principiului egalităţii între acţiune şi reacţiune forţele de legătură interioare au module egale şi sensuri opuse, deci suma lor la nivelul întregului sistem este nulă. 4.2 Metode folosite la studiul echilibrului sistemelor de corpuri Pentru studiul echilibrului sistemelor de corpuri se folosesc următoarele metode : a. Metoda izolării (separării) corpurilor Această metodă se bazează pe constatarea că dacă sub acţiunea unui sistem de forţe, sistemul de copuri este în echilibru atunci fiecare corp din sistem se află în echilibru. Sistemul se separă în corpuri componente iar pentru fiecare corp se introduc forţele exterioare direct aplicate, reacţiunile exterioare şi forţele de legătură interioare, sub acţiunea cărora corpul respectiv trebuie să fie în echilibru. 120

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE Pentru fiecare corp se scriu apoi ecuaţiile de echilibru static, din care se determină necunoscutele problemei: parametrii geometrici care determină poziţia de echilibru a sistemului; reacţiunile exterioare şi cele interioare. Este de remarcat faptul că forţele de legătură interioare au, două câte două, module egale şi sensuri opuse pentru corpurile care înaintea separării au fost în interacţiune. Dacă sistemul este compus din n corpuri, atunci se pot scrie 6n ecuaţii de echilibru în cazul forţelor spaţiale şi 3n ecuaţii în cazul forţelor coplanare, din care se pot determina 6n, respectiv 3n necunoscute. În cazul când numărul necunoscutelor depăşeşte numărul ecuaţiilor, problema devine static nedeterminată. Aplicarea metodei izolării corpurilor are dezavantajul că sistemul obţinut are multe ecuaţii şi un număr mare de necunoscute. b. Metoda solidificării (rigidizării) corpurilor Această metodă se bazează pe principiul solidificării conform căruia, dacă un sistem alcătuit din corpuri rigide se află în echilibru sub acţiunea unui sistem de forţe direct aplicate, el rămâne în echilibru sub acţiunea acestor forţe şi în cazul în care ar deveni rigid (nedeformabil) păstrându-se legăturile exterioare iniţiale. În metoda solidificării întregul sistem se consideră ca un singur corp rigid în echilibru sub acţiunea forţelor direct aplicate şi a reacţiunilor din legăturile exterioare (forţele de legătură interioare nu se iau în considerare deoarece corpurile din sistem nu sunt izolate). În acest fel se pot scrie un număr de 6 ecuaţii de echilibru în spaţiu şi 3 ecuaţii de echilibru în plan. Aceste ecuaţii de echilibru nu sunt însă întotdeauna suficiente pentru determinarea forţelor de legătură exterioare (reacţiunilor) ori a poziţiei de echilibru şi, de aceea, metoda nu este aplicabilă oricărui sistem de corpuri. De asemenea, se remarcă faptul că forţele de legătură interioare nu se pot determina, deoarece ele nu intervin în ecuaţiile de echilibru. 121

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii c. Metoda mixtă (echilibrul părţilor) Această metodă se bazează pe teorema echilibrului părţilor, conform căreia dacă un sistem de corpuri se găseşte în echilibru atunci şi o parte oarecare din sistem, considerată ca rigid, este de asemenea în echilibru sub acţiunea forţelor ce acţionează asupra ei. În cazul unor sisteme care conţin mai multe corpuri, metoda mixtă, rezultată din combinaţia celor două metode expuse anterior, presupune mai întâi separarea unor grupuri de corpuri asupra cărora se aplică metoda izolării, apoi asupra acestor grupuri se aplică metoda solidificării. Metoda mixtă se utilizează de obicei pentru determinarea mai comodă a unor necunoscute sau, în scopul verificării valorilor acestora. Observaţii : * Se remarcă faptul că ecuaţiile de echilibru obţinute prin metodele prezentate nu sunt independente. Astfel, ecuaţiile de echilibru rezultate prin aplicarea teoremei solidificării şi echilibrului părţilor, reprezintă combinaţii liniare ale ecuaţiilor obţinute prin aplicarea metodei izolării. * Numărul total de ecuaţii independente pentru un sistem de n corpuri este de 6n în cazul sistemelor spaţiale şi de 3n pentru sistemele plane. Dacă în rezolvarea anumitor probleme ecuaţiile de echilibru nu sunt suficiente, acestora li se adaugă relaţii suplimentare, independente, de natură geometrică, relaţii din care rezultă mărimea forţelor şi momentelor de frecare, etc. Dacă şi în această situaţie numărul necunoscutelor depăşeşte numărul ecuaţiilor, sistemul se numeşte static nedeterminat. 122

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE 4.3 Grinzi cu zăbrele 4.3.1 Aspecte generale Dintre sistemele particulare de corpuri, frecvent întâlnite în practică, fac parte sistemele de bare articulate. Aceste sisteme, alcătuite din bare rigide legate între ele prin articulaţii în nodurile situate la extremităţi, sunt numite grinzi cu zăbrele. În funcţie de modul lor de alcătuire, grinzile cu zăbrele pot fi : - plane, când toate barele sunt situate într-un plan iar forţele exterioare ce acţionează asupra lor se află în acelaşi plan ; - spaţiale, când barele articulate ale sistemului au nodurile poziţionate în spaţiu. În continuare se vor studia numai grinzi cu zăbrele plane (cum sunt, de exemplu, cele din fig.4.1a-d) pentru care se acceptă următoarele ipoteze simplificatoare : a. b. 123

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii c. d. Fig.4.1 Tipuri de grinzi cu zăbrele plane barele sunt drepte, au secţiunea neglijabilă în raport cu lungimea lor şi au extremităţile articulate în noduri; articulaţiile sunt punctiforme şi astfel frecările din articulaţii sunt neglijabile (în practică, barele unei grinzi cu zăbrele sunt îmbinate prin sudură sau nituire); forţele exterioare acţionează numai în noduri ; legăturile cu exteriorul ale unei grinzi cu zăbrele se realizează numai prin noduri; greutatea barelor este neglijabilă în comparaţie cu forţele exterioare ( dacă în anumite cazuri se cere să se ţină seama şi de greutatea proprie a barei, aceasta se repartizează în părţi egale în nodurile de la extremităţile barei respective ). În condiţiile ipotezelor simplificatoare prezentate, forţa care acţionează fiecare bară are direcţia coliniară cu bara respectivă, adică barele unei grinzi cu zăbrele sunt solicitate numai la eforturi axiale. În funcţie de orientarea efortului, bara poate fi solicitată la : - întindere, când efortul are sensul marcat în fig.4.2a, adică efortul iese din nod; - compresiune, când efortul are sensul indicat în fig.4.2b, adică efortul intră din nod. a. b. Fig.4.2 Solicitări în barele unei grinzi cu zăbrele. Convenţii de notare La rezolvarea grinzilor cu zăbrele se întâlnesc două tipuri de necunoscute : forţele de legătură exterioare (reacţiunile); eforturile din bare, care sunt forţe interioare. Pentru calculul forţelor de legătură exterioare se aplică metoda solidificării: se consideră grinda cu zăbrele ca un singur corp rigid, încărcat cu forţele exterioare şi supus forţelor de legătură din reazeme. Se scriu apoi ecuaţiile de echilibru, din rezolvarea cărora rezultă forţele de legătură căutate. 124

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE Pentru determinarea eforturilor din barele unei grinzi cu zăbrele se pot aplica atât metode analitice cât şi metode grafice. Dintre metodele analitice, mai des utilizate sunt: metoda izolării nodurilor şi metoda secţiunilor (Ritter), precum şi metodele de calcul automat iar dintre metodele grafice: planul (epura) Cremona şi metoda Culmann. Oricare ar fi metoda folosită pentru aflarea eforturilor din bare, în prima etapă de calcul este necesar să se verifice dacă grinda cu zăbrele este static determinată. În acest scop, se consideră că grinda are un număr b de bare şi n noduri. Deoarece pentru echilibrul fiecărui nod se pot scrie 2 ecuaţii de proiecţii, rezultă că pentru nodurile întregii grinzi se vor putea scrie 2n ecuaţii independente de echilibru. Dintre acestea, un număr de 3 ecuaţii sunt necesare determinării forţelor de legătură (reacţiunilor). În consecinţă, pentru determinarea eforturilor necunoscute din barele grinzii, rămân la dispoziţie un număr de (2n-3) ecuaţii independente. Cum fiecare bară introduce câte o necunoscută - efortul din bara respectivă - iar grinda cu zăbrele are b bare, vor trebui determinate b necunoscute. Din acest raţionament, rezultă condiţia ca grinda cu zăbrele să fie static determinată : (4.1) b = 2n - 3 4.3.2 Metoda izolării nodurilor Această metodă reprezintă aplicarea la studiul grinzilor cu zăbrele a metodei separării corpurilor. Astfel, se consideră că dacă întreaga grindă este în echilibru, atunci fiecare nod al ei trebuie să fie de asemenea în echilibru. Metoda constă în izolarea succesivă a tuturor nodurilor şi studierea echilibrului acestora, ca puncte materiale supuse la legături fără frecare în plan. Ordinea de izolare a nodurilor se alege astfel, încât pe nodul izolat să fie necunoscute cel mult două eforturi din bare ( deoarece pe fiecare nod se pot scrie două ecuaţii de echilibru). Forţele care acţionează într-un nod sunt : a) forţele exterioare direct aplicate şi reacţiunile din legăturile exterioare, (forţe cunoscute) ; b) eforturile în bare (forţe necunoscute) care se introduc pe direcţia barelor secţionate, ca forţe ce ies din nod. Prin aceasta se face ipoteza că toate eforturile din bare sunt de întindere. 125

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii În consecinţă, eforturile care se obţin din calcule ca fiind pozitive sunt eforturi de întindere, iar cele care din calcul rezultă negative, sunt eforturi de compresiune (deoarece în realitate sensul lor corect din punct de vedere mecanic este opus celui presupus iniţial). După aplicarea principiului acţiunii şi reacţiunii pentru eforturile calculate, se trece la izolarea următorului nod, urmărind ca numărul de necunoscute să fie 2. În acest fel, se scriu cele 2n ecuaţii din care un număr de (2n-3) ecuaţii se utilizează efectiv pentru calculul eforturilor din bare iar celelalte 3 se folosesc pentru verificare. Astfel, la penultimul nod studiat, una dintre ecuaţii va putea fi utilizată pentru verificare iar la ultimul nod, ambele ecuaţii sunt de verificare. Ca dezavantaje ale metodei izolării nodurilor se menţionează : - volumul relativ mare de calcule necesare, îndeosebi la grinzile cu zăbrele de dimensiuni mari, care au mai multe noduri; - posibilitatea transmiterii de la un nod la altul a unor eforturi calculate eronat, fapt ce poate deveni evident doar pe penultimul, sau pe ultimul nod al grinzii cu zăbrele studiate. Aplicaţie: Exemplificarea aplicării metodei izolării nodurilor este prezentată în continuare pentru grinda cu zăbrele din fig.4.3, prin parcurgerea următoarelor etape : 126 Fig.4.3 Grinda cu zăbrele plană

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE Verificarea condiţiei ca grinda cu zăbrele (care are un număr de b =7 bare şi n =5 noduri ) să fie static determinată: b = 2n - 3, şi, deoarece 7=2. 5-3, rezultă că această condiţie este îndeplinită. * Determinarea reacţiunilor şi verificarea acestora : ΣFix = 0 ; -3 F + F + HB = 0 ; HB = 2 F ΣMA= 0 ; ΣMB = 0 ; 3 F. a - F. 2 a - 2 F. 2 a + VB. a - 2 F. a = 0 ; VB = 5 F - VA. a - 3 F. a = 0 ; VA = -3 F Observaţie: Pentru reacţiunea VA, ce a rezultat din calcul ca fiind negativă, este necesar a se modifica sensul presupus iniţial, aşa cum este marcat în fig.4.3. Ecuaţia de echilibru pentru verificarea reacţiunilor: ΣFix = 0 ; - VA + VB - 2 F = 0 ; - 3 F + 5 F - 2 F = 0 ; Determinarea eforturilor axiale din barele grinzii cu zăbrele Ordinea de izolare a nodurilor este stabilită după cum urmează : - nodul A, din izolarea căruia se calculează eforturile din barele 1 şi 2; - nodul D, din izolarea căruia se calculează eforturile din barele 3 şi 4; - nodul C, din izolarea căruia se calculează eforturile din barele 5 şi 6; - nodul E, penultimul nod, din izolarea căruia se calculează efortul din bara 7 şi se poate verifica efortul din bara 6; - nodul B, ultimul nod, din izolarea căruia se pot verifica eforturile din barele notate 4,5 şi 7, concurente în acest nod. Observaţie: Pe fiecare nod izolat, eforturile deja cunoscute din izolarea precedentă a altui nod, sunt marcate în paranteză. 127

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii ΣFix = 0 ; N2 cos 45 o = 0 ; N2 = 0 ΣFiy = 0 ; - 3 F + N1 = 0 ; N1 = 3 F ΣFix = 0 ; F + N4 = 0 ; N4 = - F ΣFiy = 0 ; - N3 = 0 ; N3 = 0 ΣFiy = 0 ; - 3 F + N5 sin 45 o = 0 ; N5 = 6 F 2 ΣFix = 0 ; - 3 F + N5 cos 45 o + N6 = 0 ; N6 = 0 ΣFix = 0 ; N6 = 0 ( ecuaţie de verificare ) ΣFiy = 0 ; N7-2 F = 0 ; N7 = 2 F 128

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE ΣFix = 0 ; N4 + HB - N5. cos 45 o = 0 ; 6 F 2 F + 2 F -. = 0 ; 2 2 0 = 0 ΣFiy = 0 ; VB - N7 - N5. cos 45 o = 0 ; 6 F 2 5 F - 2 F -. = 0 ; 2 2 0 = 0 Eforturile calculate prin izolarea succesivă a nodurilor, sunt marcate pe barele grinzii cu zăbrele în fig.4.4. Fig.4.4 Grinda cu zăbrele plană. Eforturi în bare 129

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Observaţie: determinate prin metoda izolării nodurilor Barele unei grinzi cu zăbrele în care efortul axial a rezultat nul nu se pot suprima, deoarece, în funcţie de configuraţia grinzii, pot apare situaţiile : - nu se mai îndeplineşte condiţia ca grinda să fie static determinată; - grinda cu zăbrele se transformă într-un mecanism ; - condiţiile de verificare la stabilitate ale altor bare din grinda cu zăbrele impun menţinerea barelor în care efortul este nul. 4.3.3 Metoda secţiunilor (Ritter) Această metodă reprezintă aplicarea teoriei echilibrului părţilor la studiul grinzilor cu zăbrele: se secţionează grinda în două părţi şi se studiază echilibrul uneia dintre ele, ca un rigid în plan. Traseul de secţionare se alege în aşa fel, încât acesta să nu traverseze mai mult de 3 bare cu eforturi necunoscute, deoarece, sistemul fiind plan, se pot scrie doar 3 ecuaţii de echilibru. Prin urmare se pot determina maxim 3 necunoscute, şi acestea cu condiţia ca barele secţionate să nu fie toate concurente ( în acest caz obţinându-se izolarea nodul respectiv) ori toate paralele între ele. Studiul echilibrului se efectuează asupra uneia din cele două părţi obţinute prin secţionare, în locul barelor secţionate fiind introduse eforturile necunoscute respective, presupuse ca fiind eforturi de întindere. Se scriu apoi cele trei ecuaţii de echilibru, iar din rezolvarea sistemului algebric obţinut rezultă eforturile din barele secţionate. În scopul simplificării calculelor şi obţinerii unor ecuaţii cu o singură necunoscută, se recomandă ca dintre cele trei ecuaţii de echilibru se scrie mai întâi ecuaţia de momente în raport cu punctul în care sunt concurente două dintre barele secţionate ( cu eforturi necunoscute ). Se menţionează că atât metoda izolării nodurilor cât şi metoda secţiunilor se aplică după ce au fost calculat reacţiunile exterioare din reazeme. Aplicaţie: Exemplificarea utilizării metodei secţiunilor este prezentată în continuare pentru grinda cu zăbrele din fig.4.5a, pentru care verificarea 130

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE condiţiei ca grinda să fie static determinată precum şi calculul reacţiunilor, au fost efectuate în paragraful 4.3.2., astfel încât: Grinda cu zăbrele, care are un număr de b =7 bare şi n =5 noduri, este static determinată, deoarece cu b = 2n - 3 rezultă 7=2. 5-3 şi condiţia dată este îndeplinită. * Reacţiunile din reazemele grinzii, fig. 4.5a, sunt: HB = 2 F, orientată spre dreapta; VB = 5 F, orientată în sus; VA = 3 F, orientată în jos Pentru determinarea eforturilor axiale din cele 7 bare ale grinzii cu zăbrele, se stabilesc traseele de secţionare, prezentate în fig. 4.5b - d, după cum urmează: 131

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Fig.4.5 Grinda cu zăbrele plană. Trasee de secţionare pentru determinarea eforturilor axiale în bare - traseul marcat I-I, care secţionează grinda cu zăbrele astfel încât se pot determina eforturile din barele 1, 6 şi 7 ; 132

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE - traseul marcat II-II, care secţionează grinda cu zăbrele astfel încât se pot determina eforturile rămase necunoscute din barele 2, 4 şi 5; - traseul marcat III-III, care secţionează grinda cu zăbrele astfel încât se poate determina efortul rămas necunoscut, respectiv cel din bara 3, şi se pot verifica eforturile determinate anterior în alte două dintre barele 2, 5, 6. Observaţie: Pentru fiecare secţiune efectuată, eforturile deja cunoscute din condiţia de echilibru a unei părţi secţionate printr-un traseu anterior, sunt marcate în paranteză. ΣME = 0 ; - N1. a + 3 F. a = 0 ; N1 = 3 F ΣFix = 0 ; - N6 = 0 ; N6 = 0 ΣFiy = 0 ; - 3 F + N1 + N7-2F= 0 ; N7 = 2F ΣMB = 0 ; N2. d = 0 ; N2 = 0 ΣFiy = 0 ; 5 F - N5. cos45 o - 2F = 0 ; 6 F N5 = 2 ΣFix = 0 ; - N4 +HB -N5. cos45 o -N2. cos45 o -N6 = 0 N4 = - F 133

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii ΣFiy = 0 ; N3 + N5. cos45 o - N2. cos45 o -3 F = 0 N3 = 0 Eforturile din alte două bare, de exemplu din barele 2 şi 5, se pot verifica din ecuaţiile de echilibru : ΣMC = 0 ; N2. d = 0 ; N2 = 0 ΣFix = 0; N5. cos45 o + N6 + N2. cos45 o - 3 F = 0 6 F N5 = 2 Eforturile calculate sunt marcate în fig.4.6. Fig.4.6 Grinda cu zăbrele plană. Eforturi în bare determinate prin metoda secţiunilor 134

4.3.4 Metode grafice STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE Dintre metodele grafice care au fost frecvent utilizate în analiza statică a structurilor plane alcătuite din bare articulate se menţionează planul (epura) Cremona şi metoda Culmann. Metoda grafică (epura) Cremona reprezintă corespondentul grafic al metodei izolării nodurilor şi constă în studierea succesivă, pe cale grafică, a echilibrului fiecărui nod. În metoda Culmann, se aplică interpretarea grafică a metodei secţiunilor. Odată cu dezvoltarea şi perfecţionarea mijloacelor de calcul automat dedicate, metodele grafice de rezolvare sunt actualmente mai puţin utilizate în analiza structurilor şi sistemelor. 4.3.5 Metode de calcul automat Evoluţia sistemelor de calcul automat şi a produselor de software a condus la includerea rapidă a programelor informatice în categoria mijloacelor eficiente de utilizare a calculatoarelor în rezolvarea aplicaţiilor inginereşti din mecanica structurilor. În acest sens, analiza comportării structurilor în general şi, în particular, a celor alcătuite din elemente sub formă de bare, beneficiază de numeroase programe de calcul automat elaborate, în cea mai mare parte, pe baza metodei elementelor finite. Utilizarea unor astfel de programe permite calculul eforturilor şi al deplasărilor în secţiunile şi punctele caracteristice ale structurii, precum şi dimensionarea şi alcătuirea elementelor structurale. Ca element comun programelor de calcul, se menţionează necesitatea alcătuirii blocului datelor de intrare, care trebuie să conţină elemente referitoare la : * topologia structurii analizate : geometria structurii propriu-zise şi poziţionarea prin coordonate a nodurilor şi elementelor componente; * date referitoare la acţiunile exterioare: modulul, direcţia, sensul şi poziţia în care sunt aplicate; * date care definesc din punct de vedere mecanic elementele structurale: - caracteristicile de material, ca de exemplu modulul de elasticitate longitudinal şi transversal, coeficientul de contracţie transversală ; 135

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii - caracteristicile geometrice: aria secţiunii transversale a elementelor analizate, momentele de inerţie, modulele de rezistenţă ; * elementele definitorii pentru legăturile exterioare ale elementelor (reazeme) precum şi pentru legăturile dintre elementele structurii, prin declararea gradelor de libertate, libere respectiv blocate, de la nivelul fiecărei legături. Dintre programele de calcul automat de o mai mare complexitate se pot enumera : SAP-05, COSMOS, ALGOR, ANSYS, PEP-MICRO, ROBOT- STRUCTURE. Alte programe, ca de exemplu MDSolids, GRIDCAD-FRAMES, GRIDCAD-TRUSS, necesitând un volum mai redus de informaţii în blocul datelor de intrare, permit calculul mai rapid al structurilor plane alcătuite din bare cu diverse tipuri de legături exterioare, precum şi calculul structurilor din bare articulate. Utilizarea unui astfel de program este exemplificată în continuare, pentru cazul unei grinzi cu zăbrele plane. Aplicaţie: a. Utilizarea programului de calcul automat MDSolids pentru calculul eforturilor din barele unei grinzi cu zăbrele plane, static determinate. MDSolids este un program educaţional pentru studiul solidelor deformabile. Modulele de analiză sunt grupate tematic şi dedicate unor tipuri particulare de probleme de mecanică şi rezistenţă. MDSolids conţine 12 module, pentru rezolvarea grinzilor cu zăbrele utilizându-se modulul Truss Analysis Module. Declararea geometriei structurii şi a acţiunilor mecanice se efectuează după accesarea comenzii New Truss (fig.4.7a) şi definirea caroiajului în caseta de dialog Define Grid (fig.4.7b). Declararea barelor grinzii cu zăbrele (Create;Members), a reazemelor (Create;Supports) şi a încărcărilor exterioare (Create;Loads) se realizează cu ajutorul opţiunilor de desenare selectând succesiv, prin intermediul mouse-ului, butoanele radio aferente prezentate în partea stângă a ecranului de lucru (fig.4.8a, b, c). Dacă se doreşte ştergerea unei bare, unui reazem sau a unei încărcări, se activează butonul Erase şi apoi una din opţiunile Members, Supports sau Loads (fig.4.8d) şi mouse-ul, cu butonul stâng menţinut apăsat, se trece peste elementul care se doreşte a fi şters. 136

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE b. a. c. Figura 4.7 Programul MdSolids. Ecran demarare. Modul Truss Analysis a. b. c. d. Fig.4.8 Opţiuni de desenare a barelor (a), reazemelor (b), încărcărilor exterioare (c) şi de ştergere a acestora (d) Pentru a crea reazemele grinzii cu zăbrele, se declară prin tragere cu mouse-ul direcţiile deplasărilor blocate de reazeme, programul alegând apoi tipul acestuia (fig.4.9a). Definirea încărcărilor exterioare se face desenându-le pe fiecare în parte în nodul dorit, specificând direcţia, sensul şi valoarea acestora în caseta exemplificată în fig.4.9b. 137

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii a. b. Figura 4.9 Tipuri de reazeme (a). Declararea încărcărilor exterioare (b). După introducerea completă a datelor iniţiale ale problemei, se obţine schema geometrică şi de încărcare a grinzii şi se poate solicita programului efectuarea calculelor, prin acţionarea comenzii Compute devenită activă în bara de opţiuni afişată în partea stângă a ecranului de lucru. În urma acestei operaţiuni se realizează analiza statică a grinzii cu zăbrele, iar pe grindă vor fi afişate (fig. 4.10a,b): eforturile în bare, colorate în funcţie de natura acestui efort, astfel: barele supuse la compresiune, (C), în roşu, cele supuse la tracţiune, (T), în magenta, iar cele cu efort nul (0), cu verde. reacţiunile din reazeme, colorate în albastru. Valorile reacţiunilor şi a eforturilor din bare pot fi vizualizate şi in cele două casete derulante din partea de sus a ecranului de lucru. casetă eforturi în casetă reacţiuni a. b. Fig.4.10 Afişarea rezultatelor analizei statice a unei grinzi cu zăbrele, în programul MdSolids 138

STATICA SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE. GRINZI CU ZĂBRELE b. Rezolvarea unui exemplu de calcul a eforturilor în barele unei grinzi cu zăbrele cu ajutorul programului MdSolids. Se cere determinarea eforturilor din barele grinzii cu zăbrele reprezentată în fig.4.11 utilizând programul MdSolids. Încărcările exterioare, marcate Fi (i=1,...,4), au valorile: F1 = 280kN; F2 = 210kN ; F3 = 280kN ; F4 = 360kN. Fig. 4.11 Grinda cu zăbrele plană. Geometrie şi încărcări Efectuând operaţiunile de introducere a datelor geometrice ale problemei conform procedurilor detaliate în paragraful anterior, se obţine schema geometrică şi de încărcare din fig.4.12 iar în bara de comenzi din partea stângă a ecranului butonul Compute devine activ: Fig.4.12 Schema geometrică şi de încărcare a grinzii cu zăbrele, în programul MdSolids 139

FUNDAMENTE DE MECANICĂ - Teorie şi Aplicaţii Analiza statică a structurii este efectuată la acţionarea butonului Compute (fig. 4.13) : Fig. 4.13 Analiza statică a structurii grinzii cu zăbrele Ca rezultat al rulării, (fig.4.14), eforturile sunt afişate pe bare şi înscrise în caseta derulantă Member Forces, iar reacţiunile, în nodurile de reazem A şi G, respectiv în caseta Reactions. 140 Fig. 4.14 Rezultatele analizei statice efectuate în programul MdSolids