CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1"

Transcript

1 CURS 7 STATICA UNCTULUI MATERIAL CURINS 7. Statica punctului material Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul Generalităţi Echilibrul punctului material liber...3 Test de autoevaluare Legături. Axioma legăturilor Echilibrul punctului material cu legături ideale...7 Test de autoevaluare Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu frecare...9 Test de autoevaluare Bibliografie modul 11 Rezumat modul.11 Rezolvarea testelor de autoevaluare Statica punctului material Introducere modul Cu acest modul începe studiul primei părţi a Mecanicii teoretice, Statica. În acest modul se vor introduce noţiuni importante în Mecanică, cum ar fi: grad de libertate, punct material liber, legătură, punct material cu legături (ideale şi cu frecare). Se vor enunţa axioma legăturilor şi legile frecării de alunecare. Mecanica I 1

2 Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să definească noţiunile: grad de libertate, punct material liber, legătură, punct material cu legături; - să exprime echilibrul punctului material liber; - să exprime echilibrul punctului material cu legături ideale; - să enunţe legile frecării de alunecare; - să exprime echilibrul punctului material cu legături cu frecare (legături reale). 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 7.1. Generalităţi unctul material este unul dintre modelele utilizate de Mecanica teoretică pentru descrierea corpurilor reale. rin punct material se schematizează corpurile cu dimensiunile neglijabile în raport cu dimensiunile problemei studiate sau corpurile pentru care nu interesează geometria în problema studiată. Un punct material ce poate ocupa orice poziţie în spaţiu se numeşte punct material liber. Dacă punctul material nu poate ocupa orice poziţie în spaţiu datorită unor restricţii de natură geometrică (punctul material este obligat să se deplaseze pe o anumită suprafaţă, pe o curbă sau să rămână într-un anumit punct) atunci se va numi punct material cu legături. Fie un punct material liber. oziţia lui în raport cu un sistem de referinţă Oxyz se poate exprima cu ajutorul a trei coordonate scalare, numite parametri de poziţie. Dacă punctul material este liber, cei trei parametri de poziţie variază independent unul în raport cu ceilalţi şi se vor numi parametri de poziţie independenţi. Rezultă, că pentru a caracteriza mişcarea unui punct material liber va fi nevoie de trei parametri de poziţie independenţi pentru problema în spaţiu şi de doi parametri de poziţie independenţi pentru problema plană. entru modificarea poziţiei punctului material liber din poziţia în poziţia 1 (figura 7.1) se pot efectua trei mişcări particulare independente (în spaţiu) şi două mişcări particulare Mecanica I 2

3 independente (în plan). osibilităţile independente de mişcare ale punctului material se numesc grade de libertate. Rezultă că punctul material liber are trei grade libertate în spaţiu şi două grade de libertate în plan. 1 z y 1 (x,y) O (x,y,z) y O x x Fig Modificarea poziţiei punctului material liber Se observă că, pentru un punct material liber, numărul gradelor de libertate este egal cu numărul parametrilor de poziţie independenţi: 7.2. Echilibrul punctului material liber Fie punctul material liber, aflat în repaus. entru ca punctul să rămână în repaus după acţiunea unui sistem de forţe concurente, trebuie ca sistemul de forţe să producă efect nul (sistemul de forţe să fie în echilibru). Cum pentru un sistem de forţe concurente sistemul echivalent cel mai simplu este rezultanta acelui sistem de forţe, condiţia de echilibru se va exprima vectorial astfel: Scalar, condiţiile de echilibru sunt: entru uşurinţa exprimării se va spune că punctul material este în echilibru, deşi sistemul de forţe care acţionează asupra punctului material este de fapt în echilibru. Se diferenţiază trei tipuri de probleme: problema directă fiind dat un punct material liber acţionat de un sistem de forţe concurente se cere determinarea poziţiei de echilibru a acestuia; Mecanica I 3

4 problema inversă se cunoaşte poziţia de echilibru a punctului material şi se cere determinarea sistemului de forţe care determină punctul să ocupe acea poziţie; problema mixtă se cunosc o parte din parametrii de poziţie ce definesc poziţia de echilibru şi o parte din forţele ce acţionează asupra punctului material şi se cere determinarea celorlalte forţe şi a parametrilor de poziţie necunoscuţi pentru acea poziţie de echilibru a punctului material considerat. 1. Câte grade de libertate are un punct material în plan? a) 3 b) 1 c) 2 Test de autoevaluare 1 2. Enunţul,,osibilităţile de mişcare ale unui punct material se numesc grade de libertate este: a) adevărat; b) fals. 3. Exprimaţi vectorial condiţia de echilibru a punctului material liber. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului Legături. Axioma legăturilor Se numeşte legătură orice restricţie impusă punctului material în posibilitatea de a-şi modifica poziţia. Fie punctul material legat de punctul fix O cu un fir ideal (fir fără masă, inextensibil ce nu fir ideal bară rigidă opune rezistenţă la comprimare) din O O figura 7.2.a. Este evident faptul că l l punctul nu se poate deplasa decât în interiorul sferei de rază l. a) b) În figura 7.2.b firul s-a înlocuit cu o bară rigidă ce se poate roti în jurul Fig Legătură simplă punctului fix O. În acest caz se Mecanica I 4

5 observă că punctul material este obligat să se deplaseze pe sfera de rază l. În ambele cazuri, punctului i s-a suprimat posibilitatea de a se deplasa pe direcţia firului şi anume: în primul caz într-un singur sens al acestei direcţii (in afara razei l) respectiv în ambele sensuri ale direcţiei firului în cel de-al doilea caz. Rezultă că punctul se poate deplasa pe două direcţii independente (direcţii perpendiculare pe fir, respectiv pe bară), deci va avea două grade de libertate. Cum un punct liber are trei grade de libertate în spaţiu, este clar că această legătură a suprimat un grad de libertate punctului material. Se va spune că această legătura este o legătură simplă De asemenea, dacă o legătură suprimă deplasarea într-un singur sens al unei direcţii se va numi legătură unilateră, iar dacă suprimă deplasarea punctului în ambele sensuri ale unei direcţii se numeşte legătură bilateră. Dacă se consideră un sistem de referinţă cartezian cu originea în punctul O, coordonatele punctului trebuie să respecte condiţiile: pentru legătura unilateră: pentru legătura bilateră: În general, o legătură unilateră va fi exprimată printr-o inegalitate de forma iar o legătură bilateră printr-o egalitate de forma (egalitate ce reprezintă ecuaţia unei suprafeţe). Deoarece o legătură simplă suprimă un grad de libertate punctului material şi introduce o dependenţă între parametrii de poziţie, relaţia este adevărată şi pentru cazul punctului material cu legături. Din alt punct de vedere, există legături simple (suprimă punctului material un singur grad de liberate) sau legături multiple (suprimă punctului material mai multe grade de libertate). Un caz de legătură multiplă este prezentat în figura 7.3, unde s-a considerat un inel de dimensiuni foarte mici aflat pe un cadru circular în plan vertical. După cum se observă, inelul nu se poate deplasa decât pe direcţia tangentei la cadru (deplasările pe direcţia razei cadrului Mecanica I 5

6 circular şi pe direcţia perpendiculară pe planul cadrului sunt suprimate), adică păstrează un singur grad de libertate (această legătură suprimă punctului material două grade de libertate). O legătură multiplă se exprimă prin mai multe relaţii între Fig Legătură multiplă parametrii de poziţie ai punctului material. Cum fiecare relaţie reprezintă o legătură simplă, se poate spune că o legătură multiplă poate fi considerată ca o combinaţie de legături simple, deci este suficient ca în continuare să se abordeze doar legăturile simple. Fie cadrul circular anterior şi inelul având greutatea. Se observă că punctul rămâne în repaus dacă este aşezat în anumite poziţii de pe cadrul circular. Cum punctul este acţionat doar de forţa de greutate el ar trebui să se deplaseze pe verticală cu o acceleraţie proporţională cu, ceea ce nu se întâmplă, punctul fiind în repaus. Rezultă că acţiunea greutăţii este anulată de o forţă ce provine din răspunsul cadrului circular la acţiunea inelului, adică se poate înlocui cadrul circular cu o forţă (figura 7.4) astfel încât efectul să fie acelaşi (inelul să rămână în repaus). Se poate enunţa astfel axioma legăturilor (sau axioma eliberării): Orice legătură poate fi înlocuită cu o forţă denumită forţă de legătură (sau reaţiune) care să nu modifice starea mecanică a punctului material. Fig Axioma legăturilor Dacă se descompune reacţiunea în două componente (figura 7.4): una pe direcţia normalei la planul tangent în punctul de legătură ( ) şi una în planul tangent ( ) atunci se poate scrie: Mecanica I 6

7 unde se numeşte reacţiune normală şi se numeşte forţă de frecare. În funcţie de existenţa componentei se evidenţiază două tipuri de legături: legături ideale (legături fără frecare) pentru care ; legături reale (legături cu frecare) pentru care Echilibrul punctului material cu legături ideale Fie un punct material acţionat de un sistem de forţe concurente supus unor legături ideale. Se vor determina condiţiile în care acest punct material aflat în repaus va rămâne în repaus sub acţiunea forţelor ce-l acţionează. entru aceasta, în baza axiomei legăturilor, se înlocuiesc legăturile cu reacţiunile corespunzătoare. O astfel de reacţiune va avea caracteristicile: Mărimea este necunoscută şi trebuie determinată din condiţia ca starea mecanică a corpului să rămână aceeaşi (condiţia de echilibru a punctului material); Direcţia reacţiunii este normală la suprafaţa reprezentând legătura, în punctul de legătură (această direcţie este cunoscută, deoarece este direcţia deplasării suprimate de legătura simplă); Sensul reacţiunii este invers sensului deplasării suprimate pentru legături unilatere. entru legături bilatere sensul reacţiunii este nedeterminat, dar nu este o necunoscută independentă, având doar două valenţe. Această necunoscută se rezolvă alegând iniţial un sens arbitrar pentru reacţiunea corespunzătoare legăturii, semnul rezultatului confirmând (semnul +) sau infirmând (semnul -) sensul ales; unctul de aplicaţie este punctul material. rin aplicarea axiomei legăturilor, punctul material devine un punct material liber acţionat de două sisteme de forţe: sistemul de forţe date (forţe active, încărcări) şi sistemul forţelor de legătură (forţe pasive, reacţiuni). Dacă se notează cu rezultanta sistemului forţelor date şi cu rezultanta sistemului forţeor de legătură, atunci punctul material aflat în echilibru trebuie să îndeplinească condiţia vectorială: Mecanica I 7

8 Condiţiile scalare de echilibru sunt: Dacă legăturile sunt cunoscute ca ecuaţii ale suprafeţelor pe care punctul material este obligat să se deplaseze, atunci expresiile reacţiunilor normale pot fi redate cu ajutorul noţiunii de gradient: Condiţiile de echilibru ale punctului material cu legături ideale pot fi scrise sub forma: Ca şi în cazul punctului material liber, se disting cele trei tipuri de probleme: problema directă, problema inversă şi problema mixtă. 1. Enunţaţi axioma legăturilor. Test de autoevaluare 2 2. Enunţul,,O legătură unilateră este exprimată printr-o inegalitate de forma este: a) adevărat; b) fals. 3. Scrieţi condiţia vectorială de echilibru pentru un punct material cu legături ideale. Explicitaţi termenii. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 8

9 7.5. Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu frecare Componenta forţă de frecare a reacţiunii se poate pune în evidenţă dacă se consideră un punct aflat în repaus, situat pe o suprafaţă aspră (figura 7.5.a) astfel: pe un plan orizontal aspru se consideră un punct material cu greutatea. unctul este legat cu un fir care trece peste un scripete punctual, la capătul firului fiind aşezată o greutate. Forţele active care acţionează punctul material sunt şi şi, datorită faptului că punctul este în repaus, aceste forţe şi componentele reacţiunii planului (figura 7.5.b) şi trebuie să fie în echibru. a) b) Fig. 7.5 Experimental se observă că există o valoare limită a forţei pentru care punctul material se pune în mişcare. Această valoare limită corespunde valorii maxime a modulului forţei de frecare. Cel care a enunţat legile frecării de alunecare a fost Coulomb ( ). Acestea sunt: 1) Valoarea forţei de frecare maximă nu depinde de mărimea suprafeţei de contact dintre cele două corpuri, iar dacă se produce mişcarea, nici de viteza relativă a suprafeţelor în contact; 2) Valoarea forţei de frecare maximă depinde de natura suprafeţelor în contact şi de gradul de prelucrare al acestora; 3) Valoarea forţei de frecare maximă este proporţională cu apăsarea normală pe suprafaţa de contact, factorul de proporţionalitate fiind denumit coeficient de frecare de alunecare, notat cu μ: Mecanica I 9

10 Caracteristicile forţei de frecare sunt: Mărimea este necunoscută, dar nu poate depăşi valoarea ; Direcţia este în planul tangent la suprafaţă reprezentând legătura; Sensul este opus sensului deplasării sau tendinţei de deplasare a punctului material; unctul de aplicaţie este punctul material. entru studiul echilibrului punctului material cu legături cu frecare se adaugă la relaţiile obţinute din studiul echilibrului punctului material cu legături ideale condiţiile ca forţele de frecare să nu depăşească valorile lor maxime. Astfel, pentru un punct material cu legături cu frecare, condiţiile de echilibru sunt: În inegalitatea exprimată mai sus, indicele k poate lua valoarea 1 sau 2 pentru un punct material în spaţiu sau 1 pentru un punct material în plan. Se observă că dacă indicele k are valoarea zero atunci nu există frecare iar dacă acest indice are valoarea 3 (respectiv 2 în plan) punctul material este fixat (îi sun suprimate toate gradele de libertate), deci nu mai există nici o tendinţă de mişcare, astfel încât legăturile se comportă ca nişte legături ideale (forţele de frecare nefiind activate). Fie situaţia limită de echilibru, când forţa de frecare are valoare maximă (figura 7.6). Se notează cu unghiul format de direcţia reacţiunii legăturii cu frecare ( ) şi direcţia componentei normale a acestei reacţiuni ( ). Unghiul se numeşte unghi de frecare maximă, iar tangenta acestui unghi este: Fig Unghiul de frecare maximă Din această relaţie rezultă: Mecanica I 10

11 Această relaţie permite determinarea experimentală a coeficientului de frecare la alunecare. 1. Expresia,, este: a) adevărată; b) falsă. Test de autoevaluare 3 2. Indicaţi enunţul corect: a) Direcţia forţei de frecare este în planul osculator al suprafeţei reprezentând legătura; b) Sensul forţei de frecare este opus sensului deplasării sau tendinţei de deplasare a punctului material; c) Mărimea forţei de frecare poate depăşi valoarea. 3. Scrieţi expresia unghiului de frecare maximă. Explicitaţi termenii. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi edagogică, Bucureşti, 1983, pag , 28-33; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. artea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag ; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag În acest modul s-a tratat problema echilibrului punctului material. S- au definit noţiunile de punct material liber, punct material cu legături, grad de libertate şi punct material în echilibru. Rezumat modul S-a introdus noţiunea de legătură şi s-au clasificat aceste legături. entru calculul efectiv şi pentru scrierea condiţiilor de echilibru s-a enunţat axioma legăturilor. S-au exprimat condiţiile de echilibru pentru punctul material liber şi Mecanica I 11

12 pentru punctul material cu legături (ideale şi reale) şi s-au enunţat legile frecării (legile lui Coulomb) pentru frecarea la alunecare. 1. c; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 1 3. Consultare aspecte teoretice pag Consultare aspecte teoretice pag. 6; 2. a; Rezolvare test de autoevaluare 2 3. Consultare aspecte teoretice pag b; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 3 3. Consultare aspecte teoretice pag. 10. Mecanica I 12

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1 CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide........... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 9.1. Generalităţi. Legături intermediare...2

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1

CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1 CURS 8 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 8. Statica solidului rigid.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 8.1. Generalităţi...2 8.2. Echilibrul solidului rigid liber...4 Test de

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale.

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale. Tipuri de forţe 127. Un corp cu masa m = 5 kg se află pe o suprafaţã orizontalã pe care se poate deplasa cu frecare (μ= 0,02). Cu ce forţã orizontalã F trebuie împins corpul astfel încât sã capete o acceleraţie

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

9. Statica solidului rigid...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

9. Statica solidului rigid...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 9 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 9. Statica solidului rigid...1 Curins...1 Introducere...1 9.1. Asecte teoretice...2 9.2. Alicaţii rezolvate...3 9. Statica solidului rigid În acest seminar se

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni

Exemple de probleme rezolvate pentru cursurile DEEA Tranzistoare bipolare cu joncţiuni Problema 1. Se dă circuitul de mai jos pentru care se cunosc: VCC10[V], 470[kΩ], RC2,7[kΩ]. Tranzistorul bipolar cu joncţiuni (TBJ) este de tipul BC170 şi are parametrii β100 şi VBE0,6[V]. 1. să se determine

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1. . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE Scopul lucrării În lucrarea de faţă se determină valoarea coeficientului de frecare la rostogolire, utlizând un dispozitiv ce permite găsirea expresiei

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1.

II. Dinamica (2) Unde F și F sunt forța de acțiune respectiv de reacțiune, Fig. 1. II. Dinamica 1. Principiile mecanicii clasice (sau principiile mecanicii newtoniene, sau principiile dinamicii). 1.1 Principiul I, (al inerției): Un corp își păstrează starea de repaus relativ sau de mișcare

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Note de curs - TIMIŞOARA 2003 Tehnoredactarea în L A TEX 2ε aparţine autorului. Copyright c 2003, B. Demşoreanu Cuprins I Mecanica newtoniană 7 1 Elemente de cinematica

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1.1 Noţiuni fundamentale Mecanica este una dintre ştiinţele fundamentale ale naturii, având ca

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE

UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE 70 Metodica fizicii UNELE APLICAŢII ALE FORŢELOR DE INERŢIE Mircea COLPAJIU, UTM, Chişinău Stefan TIRON, USM, Chişinău În articolul precedent (Revista de fizică, nr. 2, 1995) s-a fost menţionat că atunci

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα