Gradivo pripravila: Klara Golja LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. Program: EKONOMSKI TEHNIK (SSI) prejšnji program. POSLOVNA MATEMATIKA 3.

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA Program: EKONOMSKI TEHNIK (SSI) prejšnji program POSLOVNA MATEMATIKA 3. Letnik Program: EKONOMSKI TEHNIK (SSI) prenovljen program EKONOMIKA POSLOVANJA 2. 1. Sklop: Poslovno računstvo in statistična analiza pojavov Gradivo pripravila: Klara Golja 1

I. POSLOVNA MATEMATIKA 1 1. RAZMERJA, SORAZMERJA RAZMERJE JE NAKAZANO DELJENJE ŠTEVILA a S ŠTEVILOM b. ŠTEVILI a IN b STA ČLENA RAZMERJA. RAZMERJE a : b = a b = k (razmerski števili ali razmerska člena) (količnik) PRAVILA RAČUNANJA Z RAZMERJI IN SORAZMERJI 1. PRAVILO: KRAJŠANJE IN RAZŠIRJANJE (VSE ČLENE RAZMERJA DELIMO ALI MNOŽIMO Z ISTIM OD 0 RAZLIČNIM ŠTEVILOM) PRIMER: POENOSTAVIMO RAZMERJE 3 4 : 2 9 6 12 : 4 12 9 : 4 (RAZMERJE JE DOKONČNO OKRAJŠANO) ŠTEVILI RAZŠIRIMO S SKUPNIM VEČKRATNIKOM IMENOVALCEV (12), TAKO ODPRAVIMO ULOMEK DVE RAZMERJI STA ENAKI, KADAR IMATA ENAK KOLIČNIK. SORAZMERJE ENOSTAVNO SORAZMERJE DOBIMO, ČE IZENAČIMO DVE ENAKI RAZMERJI. 2

Zunanji člen sorazmerja a :b = c : d Zunanji člen sorazmerja notranji člen sorazmerja notranji člen sorazmerja a : b = c : d zapišemo kot a b = c d 2. PRAVILO: PRODUKT ZUNANJIH ČLENOV JE ENAK PRODUKTU NOTRANJIH ČLENOV. PRAVILO NAJVEČKRAT UPORABLJAMO, KO JE EDEN OD ČLENOV SORAZMERJA NEZNAN. PRIMER: DOLOČI NEZNANI ČLEN IZ SORAZMERJA: X : 4 = 2 : 7 7X = 2 4 7X = 8 (pomnožimo notranje in zunanje člene in izrazimo neznanko) X = 8 7 3. PRAVILO: SORAZMERJE SE NE SPREMENI V PRIMERU, DA NOTRANJI ALI ZUNANJI ČLEN DELIMO ALI MNOŽIMO Z ISTIM (OD NIČ RAZLIČNIM) ŠTEVILOM. PRIMER: 2 1 3 : 4 1 3 = 3 2 : 4 7 7 3 : 13 3 =3 2 : 4 7 7 : 13 = 3 2 : 4 7 7 : 13 = 21: 8 prva dva člena pomnožimo s 3 tretji in četrti člen pomnožimo s skupnim imenovalcem 14 sorazmerje smo izrazili z naravnimi števili 4. PRAVILO: ČLENE SORAZMERJA LAHKO POLJUBNO ZAMENJAMO, PRI ČEMER OSTANETA PRODUKTA ZUNANJIH ALI NOTRANJIH ČLENOV NESPREMENJENA. a : b = c : d b : a = d : c : = : 3

PRIMER: 2 : 3 = 6 : 7 3 : 2 = 7 : 6 3 : 7 = 2 : 6.. LAHKO PA IZENAČIMO VEČ ENAKIH RAZMERIJ-PODALJŠANO SORAZMERJE c : q = b, d : w= l, e : o = z zapišemo c : d : e = q : w PREMO IN OBRATNO SORAZMERJE PREMO SORAZMERJE DVE KOLIČINI STA PREMO SORAZMERNI, ČE SE OB POVEČANJU (ZMANJŠANJU) PRVE KOLIČINE ZA 2-KRAT, 3-KRAT, 4-KRAT,.POVEČA (ZMANJŠA) TUDI DRUGA KOLIČINA ZA NATANKO 2-KRAT, 3-KRAT, 4-KRAT. y = k x ALI y/x = k k JE PREMO SORAZMERNOSTNA KONSTANTA PRIMERI Poraba goriva (ena količina), prevoženi kilometri (druga količina) Za 1x, 2x,.. daljšo pot porabimo ustrezno 1x, 2x,. več goriva Velikost površine barvanja (ena količina), poraba barve (druga količina) Za 2x, 3x, večjo površino porabimo 2x, 3x,. večjo ustrezno količino barve Masa premoga (ena količina), plačilo (druga količina) Za 2x, 3x, večjo količino premoga, moramo plačati 2x, 3x,.večjo ceno GRAF PREMEGA SORAZMERJA JE PREMICA-LINEARNA FUNKCIJA LINEARNA FUNKCIJA PREMO SORAZMERJE 4

OBRATNO SORAZMERJE DVE KOLIČINI STA OBRATNO SORAZMERNI, ČE SE OB POVEČANJU (ZMANJŠANJU) PRVE KOLIČINE ZA 2-KRAT, 3-KRAT, 4-KRAT, ZMANJŠA (POVEČA) TUDI DRUGA KOLIČINA ZA NATANKO 2-KRAT, 3-KRAT, 4-KRAT. SPREMENLJIVKI X IN Y STA OBRATNOSORAZMERNI, ČE JE NJUN PRODUKT KONSTANTEN. y = k 1/k ALI y x = k k JE SORAZMERNOSTNA KONSTANTA PRIMERI Število delavcev (ena količina), število ur v katerih je opravljeno delo (druga količina). Za 2x, 3x,.več delavcev, bo ustrezen čas, kos se delo opravi 2x, 3x, krajši. Hitrost avtomobila (ena količina), in čas (druga količina), v katerem prevozimo. Za 2x, 3x, večjo hitrost bo ustrezen čas, da se prevozi pot 2x, 3x, krajši. GRAF OBRATNEGA SORAZMERJA JE KRIVULJA-HIPERBOLA. 5

SESTAVLJENO SORAZMERJE ENAČBA DVEH SESTAVLJENIH RAZMERIJ A : B : C = D : E : F SISTEM ENOSTAVNIH SORAZMERIJ A : B = C : D E : F = G : H I : J = K : L Sistem enostavnih sorazmerij lahko pretvorimo v eno samo sorazmerje tako, da tvorimo produkte istoležnih členov sorazmerij v sistemu. (A E I) : (B F J) = (C G K) : (D H L) A E I B F J = C G K D H L VAJE 1. IZRAČUNAJ NEZNANI ČLEN! A) X : 4 = 5 : 12 B) 12 : C = 5 : 9 = 3 : 8 = 1 : 3 (R: X=5/3) (R: 172,8) C) X : 28 = Y : 13 = 4 : 8 (R: X:Y = 14:13) 6

2. IZRAČUNAJ! NOTRANJI KOTI TRIKOTNIKA SO V RAZMERJU 2 : 3 : 5. IZRAČUNAJ VELIKOST NOTRANJIH KOTOV IN ZAPIŠI RAZMERJE ZUNANJIH KOTOV ISTEGA TRIKOTNIKA! R: α=36º, β=54º, γ=90º,, α`:β`: γ`=24:21:15) 3. IZRAČUNAJ! V STANOVANJSKEM BLOKU JE 28 STANOVANJ. ENO, DVO IN TROSOBNA STANOVANJA SO V RAZMERJU 1 : 2 : 4. KOLIKO JE ENO, DVO IN TROSOBNIH STANOVANJ IN KOLIKŠNO JE V TEM BLOKU SKUPNO ŠTEVILO SOB? 4. IZ DANIH SORAZMERIJ IZRAČUNAJ NEZNANI ČLEN! A) 3,4 : K = 13,8 : 27 = 0,8 : 23 2 = 3 : 4,2 B) Z : 5 = 12 : 8,4 = 3 : 10 VAJE IZRAČUNAJ NEZNANI ČLEN! a) 4 : x = 6 : 18 b) 9 : 5 = y : 8 c)(x + 2) : 4 = 3 : 2 d) x : 3 = 10 : 20 = 12 : 14 = 8 : 22 OKRAJŠAJ NASLEDNJA RAZMERJA. ČLENI SO CELA ŠTEVILA. a) 6 : 4 =b) 12 : 18 =c) 9 : 15 = d) 1,4 : 0,4 = 7

2. SKLEPNI RAČUN SKLEPNI RAČUN JE POSTOPEK, S POMOČJO KATEREGA IZRAČUNAMO NEZNANO VREDNOST ENE SPREMENLJIVKE NA PODLAGI VREDNOSTI OSTALIH ZNANIH SPREMENLJIVK. DA PA LAHKO TO STORIMO SO POTREBNI POGOJI: med proučevanimi spremenljivkami mora obstajati bodisi prema sorazmernost bodisi obratna sorazmernost ter da so vrednosti vseh proučevanih spremenljivk nenegativne. SKLEPNI RAČUN JE LAHKO : ENOSTAVEN : PRI ENOSTAVNEM SKLEPNEM RAČUNU OBRAVNAVAMO DVE SPREMENLJIVKI, KI STA MED SEBOJ PREMO ALI OBRATNO SORAZMERNI. V NJEM NASTOPAJO TRI ZNANE IN ENA NEZNANA KOLIČINA. SESTAVLJEN: PRI SESTAVLJENEM SKLEPNEM RAČUNU NASTOPA VEČ SPREMENLJIVK, KI SO MED SEBOJ BODISI V PREMEM BODISI V OBRATNEM SORAZMERJU. V NJEM NASTOPA VSAJ PET ZNANIH IN ENA NEZNANA KOLIČINA. 2. 1. NAČINI REŠEVANJA SKLEPNEGA RAČUNA S SKLEPANJEM NA ENOTO PRIMER: Pet delavcev opravi neko delo v 12 urah. V kolikšnem času bi isto delo opravilo 8 delavcev? Čas, ki ga zahteva dano delo, je obratno sorazmeren številu delavcev: dvakrat več delavcev opravi delo dvakrat hitreje, torej v dvakrat krajšem času. Zato lahko sklepamo: 5 delavcev opravi delo v 12 urah (POGOJ) 1 delavec opravi delo v 5 12 = 60 urah (potrebuje 5-krat več časa kot 5 delavcev) (SKLEP NA ENOTO) 8 delavcev opravi delo v (5 12):8 = 7,5 urah (potrebujejo 8-krat manj časa kot 1 delavec.) Odg:8 delavcev opravi delo v 7,5 urah. (SKLEP NA 8 DELAVCEV) 8

S SORAZMERJI PRIMER: Naj bo spremenljivka x število delavcev in spremenljivka y čas, ki ga zahteva dano opravilo. Spremenljivki sta obratno sorazmerni y 1 : y 2 = x 2 : x 1 Upoštevajmo, da je x 1 = 5, y 1 = 12 in x 2 = 8. Dobimo: 12 : y 2 = 8 : 5 8 y 2 = 12 5 y 2 = 7,5 Odg:8 delavcev opravi delo v 7,5 urah. (SKLEP NA 8 DELAVCEV) UPORABA LINEARNIH ENAČB Določenih problemov ni mogoče reševati po omenjenih sistemih, zato količine, ki nastopajo v teh nalogah, poskušamo povezati v neko linearno enačbo, nato pa iz te izluščimo neznano količino. Ponavadi dobimo množico rešitev enačbe, iz katere nato izberemo tisto, ki ustreza postavljenemu problemu. PRIMER: 15 delavcev bi neko delo končalo v 22 dneh. Prvih 8 dni pride na delo vseh 15 delavcev, zaradi bolezni preostale dni delata dva delavca manj. V koliko dneh bo delo končano? 330=120+ 13 x 104 330=120+ 13 x 104 13x= 120 104 330 x= 314 13 x=24,2 25 dni Odgovor: Delo bo končano v 25 dneh. 9

PRIMER V zavetišču za živali je trenutno 12 psov. Zaloga hrane za njih zadostuje za 20 dni. Za koliko dni bo sedaj zadoščala hrana, če so po štirih dneh dobili v oskrbo bernardinca, ki na dan poje hrane za dva povprečna psa iz zavetišča? 12 20=12 4+ 14 x 240 = 48 + 14 x 240-48 = 14 x 192 = 14 x x = 13,7 Od tod dobimo x=13,7, torej je hrane dovolj še za 13 dni, kar pomeni, da nam trenutna zaloga skupno zadošča za 4 + 13 dni, to je 17 dni. S SKLEPNO SHEMO POSTOPEK REŠEVANJA: 1. Preberemo besedilo 2. Napišemo pogojni stavek v prvo vrstico (tako se odločimo, v drugo vrstico pa trdilni stavek. Pazimo na enote, ki morajo biti podpisane ena pod drugo) 3. Narišemo puščico od x stran 4. Ugotavljamo odnose med količinami in če sta količini premosorazmerni narišemo puščico v isto smer kot pri x. Če sta obratnosorazmerni narišemo v nasprotno smer 5. Zapišemo sorazmerje kot kažejo puščice začenši pri x 6. Zapišemo z ulomkom, pokrajšamo 7. Izračunamo vrednost in zapišemo odgovor PRIMER: V posodi, dolgi 16 cm in široki 12 cm, stoji voda 9 cm visoko. Kako visoko seže gladina vode, če jo prelijemo v 20 cm dolgo posodo, ki pa je 1 cm ožja? 16 cm 12 cm 9 cm 20 cm 11 cm x cm bolj dolga posoda manj visoko seže voda (obratnosorazmerje) bolj široka posoda manj visoko seže voda (obratnosorazmerje) x :9 = 12 : 11 16 : 20 10

x= 9 16 12 =7,85 20 11 Odgovor: V drugi posodi voda seže do višine 7,85 cm. VAJE 1. IZ 39 kg RŽI DOBIMO 30 kg MOKE. KOLIKO MOKE BI DOBILI IZ 26 kg RŽI? (R:20kg) 2. 5 DELAVCEV IZKOPLJE JAREK V 6 URAH. V KOLIKŠNEM ČASU IZKOPLJE ISTI JAREK, SKUPINA, KI IMA 4 DELAVCE VEČ? (R: 3 URE, 20 MINUT) 3. V TOVARNI SO IZDELALI V 2 MESECIH 14.000 TON BLAGA. KOLIKO BLAGA BI V TEJ TOVARNI IZDELALI V 3 MESECIH? (R:22.500 TON ) 4. KOLIKO DVOLITRSKIH STEKLENIC POTREBUJEMO ZA DOLOČENO KOLIČINO VINA, ČE SMO LANSKO LETO Z ENAKO KOLIČINO VINA NAPOLNILI 235 STEKLENIC, KI SO MERILE PO 7 dl? (R:82,25) 5. 22 DELAVCEV BI DELO KONČALO V 35 DNEH. KOLIKO DELAVCEV BI BILO POTREBNO, DA BI ISTO DELO OPRAVILI 15 DNI PREJ? (R:39 DELAVCEV) 6. 7 kg BLAGA STANE 434 D.E. KOLIKO TEGA BLAGA DOBIMO ZA 310 D.E.? (R:5kg) 7. ČE SO ZVEZKI PO 95 D.E., JIH DOBIMO ZA DOLOČEN ZNESEK 32. KOLIKO ZVESKOV DOBIMO ZA ISTI ZNESEK, ČE SO PO 115 D.E.? (R:26) 8. PEŠEC DOSEŽE CILJ V 7 URE, ČE PREHODI VSAKO URO 4 km. V KOLIKEM ČASU BI PREHODIL ISTO POT, ČE BI VSAKO URO PRHODIL SAMO 4,2 km? (R:8,2 h) 9. ZALOGO KURIVA PORABIMO V 2 MESECA, ČE KURIMO 4 PEČI. KOLIKO ČASA BI TRAJALA ISTA ZALOGA KURIVA, ČE BI KURILI 3 PEČI? (R:3,2 MESECA) 10. KOLIKO OVOJNIC DOBIMO ZA 600 D.E., ČE ZA 405 D.E. DOBIMO 18 ENAKIH OVOJNIC (R:26) VERIŽNI RAČUN Shemo sklepnega računa lahko skrajšamo s shemo, imenovano veriga. Vendar pri tem velja pogoj, da vse količine, ki nastopajo v nalogah, morajo biti premosorazmerne. Predvsem je primeren za naloge v katerih nastopajo tuje merske ali denarne enote. Za reševanje uporabljamo tečajno listo banke Slovenije. POSTOPEK REŠEVANJA 1. Postavimo vprašanje z enoto. 2. V naslednjo vrstico na levi strani pa zapišemo količino z isto mersko enoto, kot je bila v prejšnji vrstici desno. 3. Postopek nadaljujemo tako, da imamo v vsaki vrstici zapisan odnos enakosti oz. enakovrednosti dveh količin, mersko enoto količine na desni, ponovljeno v naslednji vrstici na levi, veriga pa je 11

zaključena, ko prispemo do merske enote, ki jo vsebuje vprašanje na začetku verige 4. Izračunamo neznano količino, delimo produkt iz desnega stolpca s produktom znanih količin iz levega stolpca. Zapišemo odgovor. PRIMER: 1. Koliko bomo plačali za 10 kg kostanja, če smo za eno melono plačali 1,80 EUR in veljata 2 meloni toliko kot 1 kg kostanja? X EUR 10kg kostanja 1 kg kostanja 2 meloni 1 melona 1,80 EUR x= 10 2 1,80 =36,00 1 1 EUR Odgovor.: Za 10 kg kostanja bomo plačali 36 EUR. Pri reševanju nalog z verižnim računom, bomo potrebovali tečajnico Banke Slovenija in pretvorbo merskih enot. TEČAJNICA BANKE SLOVENIJA DRŽAVA TEČAJ ZDA AMERIŠKI DOLAR USD 1,3742 JAPONSKA JAPONSKI JEN JPY 107,30 BOLGARIJA BOLGARSKI LEV BGN 1,9558 ČEŠKA REPUBLIKA ČEŠKA KRONA CZK 24,996 DANSKA DANSKA KRONA DKK 7,4438 HRVAŠKA HRVAŠKA KUNA HRK 7,4975 MADŽARSKA MADŽARSKI FORINT HUF 306,71 NORVEŠKA NORVEŠKA KRONA NOK 7,7475 POLJSKA POLJSKI ZLOT PLN 4,3634 ROMUNIJA NOVI ROMUNSKI LEV RON 4,3523 ŠVEDSKA ŠVEDSKA KRONA SEK 9,0845 ŠVICA ŠVICARSKI FRANK CHF 1,2342 VELIKA BRITANIJA BRITANSKI FUNT GBP 0,85655 AVSTRALIJA AVSTRALSKI DOLAR AUD 1,3296 JUŽNA AFRIKA JUŽNOAFRIŠKI RAND ZAR 10,9430 KANADA KANADSKI DOLAR CAD 1,3981 Vir: Internet, 2011 12

PREGLED NEKATERIH TUJIH MERSKIH ENOT V svetu še vedno uporabljamo različne enote za merjenje dolžin. Npr. Angleži in Američani še vedno uporabljajo enote, ki jih je predpisal angleški kralj Henrik Angleški (vladal od leta 1100 do leta 1135). Po legendi je za enoto imenovano yard določil razdaljo od vrha svojega nosu do konca palca na iztegnjeni roki. Druga legenda pa pravi, da je bila to dolžina njegove sablje. Karkoli je že bilo, yard se je uveljavil šele 100 let pozneje, ko je dal kralj Edward I. narediti železno palico dolžine enega yarda. Ta palica je sluzila za izdelavo in primerjavo vseh nadaljnih priprav za merjenje. Ostale mere, ki se še vedno uporabljajo v Angliji in ZDA, so: slovenski prevod angleška enota (oznaka) = manjša enota izraženo v: palec (po domace tudi cola) 1 inch (in) = 1/12 ft=0,0254m = 2,5399 cm dlan 1 palm (palm) = 3 in = 7,6 cm ped 1 span (span) = 22,5 cm čevelj 1 foot (ft) =12 in=0,3048m = 30,48 cm jard 1 yard (yd) = 3 ft = 36 in=0,9144m = 91,4399 cm milja 1 mile (mile) = 5 280 ft = 1 760 yd = 1 609 m ZA MASO unca 1 ounce = 28 g =oz=16 dr 0,0283kg funt libra 1 pound =Ib=16 oz = 0,45359 kg ton 1 ton =It=20cw=2240 Ib = 1016,048 kg quarter gtr=28 Ib 12,7006kg hundredweight cwt=4qtr=112 lb 50,802 kg Vir: http://www2.arnes.si/~sspsfran/enote/nivo2_ndpspomoc.html, 2011 Osnovna enota je libra. Pomebna enota je tudi cental=100 lb=45,36 kg VAJE 1. KOLIKO EUR STANE 25 KG BLAGA, ČE STANE 18 KG TEGA BLAGA 225 EUR?(R: 312,50 EUR) 2. 12 METROV BLAGA KUPIMO ZA 1440 EUR. KOLIKO METROV BLAGA DOBIMO ZA 480 EUR? (R:4 METRE) 3. 8 DELAVCEV ZASLUŽI 10 000 EUR. KOLIKO EUROV ZASLUŽI 18 DELAVCEV V ENAKEM ČASU IN ENAKEM DELU? (R:22.500 EUR) 4. 5 DELAVCEV OPRAVI DELO V 8 DNEH. V KOLIKO DNEH ISTO DELO OPRAVI 50 DELAVCEV? (R:4/5 DNEVA) 5. KOLIKO STANE V LJUBLJANI 20 KG BLAGA, ČE STANE V ZDA 36 KG ISTEGA BLAGA 50 USD? 6. 3 yd BLAGA STANE V LONDONU 5 GBP. KOLIKO STANE 10 m ENAKEGA BLAGA V LJUBLJANI? 13

7. V LONDONU STANE 10 lb BLAGA 2 GBP. KOLIKO KUN STANE 27 kg TAKEGA BLAGA NA HRVAŠKEM? Pri nalogah z obračuni stroškov moramo paziti: da bo cena blaga višja za vse stroške, ki smo jih imeli ob nabavi (100 +p) EUR s stroški Pri prodaji pa bo iztržek manjši, če moramo poravnati stroške (100-p) EUR s stroški 1. V NORVEŠKO IZVOZIMO 40 hl PIJAČE. KOLIKŠEN JE IZTRŽEK, ČE STANE 1 LITER TE PIJAČE PRI NAS 50 EUR, STROŠKI OB IZVOZU PA SO 8 % GLEDE NA VREDNOST BLAGA? 2. 30 yd BLAGA STANE V NEW YORKU 88 USD. KOLIKO STANE 40 m TEGA BLAGA NA ŠVEDSKEM, ČE UPOŠTEVAMO 20 % CARINO, KI JO NOSI ŠVEDSKI UVOZNIK? 3. IZ ŠVICE UVOZIMO 25 t BLAGA. PRI UVOZU IMAMO 25 % STROŠKE. PO ČEM BO PRI NAS ¼ kg BLAGA, ČE NA ŠVEDSKEM STANE 0,5 KG TEGA BLAGA 2 KRONI (SEK) 4. KOLIKO kg BLAGA DOBIMO ZA 1.250 EUR, ČE STANE 10 oz TEGA BLAGA V NEW YORKU ¾ USD IN SMO IMELI PRI UVOZU 8 % STROŠKE? 5. KOLIKO EUR BOMO IZTRŽILI PRI PRODAJI DVEH t BLAGA, ČE POL kg ZAVITEK TEGA BLAGA PRODAJAMO PO 35 EUR IN SMO MORALI PLAČATI 3,5 PROMILA PROVIZIJE? SESTAVLJENI SKLEPNI RAČUN NA VREDNOST ISKANE KOLIČINE VPLIVA VEČ KOLIČIN. POZORNI MORAMO BITI PRI SKLEPANJU VEČ-MANJ. PRIMER Skupina osmih delavcev opravi neko delo v 23 delovnih dneh, če delajo po 8 ur na dan. Koliko delavcev bo opravilo podobno delo v 18-ih delovnih dneh, če bodo delali po 10 ur na dan in če bo obseg dela za približno 20 % večji? 8 delavcev 23 dni 8 ur/dan 100 % X delavcev 18 dni 10 ur/dan 120 % x= 8 23 8 120 18 10 100 =9,8 Odgovor.: Podobno delo bo opravilo 10 delavcev. 14

VAJE 1. 8 DELAVCEV ZASLUŽI V 3 MESECIH 576.000 D.E. KOLIKO ZASLUŽI 6 DELSVCEV V 5 MESECIH? (R:720.000 D.E.) 2. 4 METRE 110 cm ŠIROKEGA BLAGA STANE 5.000 D.E. KOLIKO ISTOVRSTNEGA BLAGA, KI PA JE ŠIROKO 1,4 m, DOBIMO ZA 6.650 D.E.? (R: 4,18m) 3. 15 DELAVCEV OPRAVI DELO V 12 DNEH, ČE DELAJO PO 8 H/DAN. KOLIKO DELAVCEV BI OPRAVILO ISTO DELO, ČE DELAJO PO 9 H/DAN? (R:16 DELAVCEV) 4. ZA 3 ENAKE UČILNICE RABIMO 6.300 PARKETNIH DEŠČIC, KI SO DOLGE 20 CM, ŠIROKE 5 CM IN VISOKE 2 CM. KOLIKO PARKETNIH DEŠČIC, KI SO DOLGE 19 CM, ŠIROKE 6 CM IN VISOKE 2,5 CM, RABIMO ZA 5 ENAKIH UČILNIC? (R:9210,5 DEŠČIC) 5. KANAL DOLG 576 M, ŠIROK 24 M IN 1,3 M GLOBOK, BI IZKOPALO 768 DELAVCEV V 48 URAH, ČE BI DELALI PO 6 H/DAN. KOLIKO DELAVCEV ŠE MORA PRITI NA DELO, ČE JE KANAL DOLG 400 M, GLOBOK 260 CM IN JE ZA 4 M OŽJI, DELO PA JE POTREBNO OPRAVITI V 40 DNEH PRI 8-URNEM DELAVNIKU? (R:ŠE 32 DELAVCEV) 6. 3 DELAVCI NAREDIJO POVPRČNO 135 KOSOV BLAGA V 9 URAH. V KOLIKO URAH BI 7 DELAVCEV, PRI KATERIH JE DELAVNA STORILNOST ZA 10 % NAD POVPREČJEM, NAREDILO 308 ENAKIH KOSOV BLAGA? (R:8 URAH) ŠE VAJE 1. 8 METROV PLATNA STANE, ČE JE ŠIROKO 1,10 METRA 25, 3 D.E. KOLIKO BI STALO 24, 5 M TAKŠNEGA PLATNA, ČE BI BILO ŠIROKO 135 CM? (R.: 95,09 D.E.) 2. NEKA KNJIGA IMA 235 STRANI, NA VSAKI STRANI JE POVPREČNO 26 VRSTIC IN V VSAKI VRSTICI POVPREČNO PO 35 ZNAKOV. KOLIKO TANJŠA BI BILA KNJIGA, ČE BI POVEČALI NJEN FORMAT TAKO, DA BI BILO NA VSAKI STRANI POVPREČNO PO 36 VRSTIC IN V VSAKI VRSTICI PO 45 ZNAKOV? (R.: 103 STRANI) 3. 6 DELAVCEV ZASLUŽI V 5 DNEH PRI 8-URNEM DELOVNIKU 1650 D.E.. KOLIKO BI ZASLUŽILO 9 DELAVCEV V 8 DNEH, ČE BI DELALI SAMO 6 UR IN 40 MINUT NA DAN? (R.: 3.300,00 D.E.) 4. 12 STROJEV JE TKALO 6 TEDNOV PO 5 DNI NA TEDEN IN PO 10 UR DNEVNO TER STKALO 14 KOSOV BLAGA Z DOLŽINO 60 M IN ŠIRINO 120 CM. KOLIKO KOSOV Z DOLŽINO 86 M IN ŠIRINO 0,46 M BI STKALO 12 STROJEV V 9 TEDNIH, ČE BI DELALI PO 6 DNI NA TEDEN IN PO 9 UR 50 MINUT DNEVNO? (R.: 45 KOSOV) 5. ZA 5 KG BLAGA PLAČAMO 2000 EUR. KOLIKO PLAČAMO ZA 30 KG BLAGA? R: [1200 SIT] 6. 10 DELAVCEV OPRAVI NEKO DELO V 15 URAH. KOLIKO ČASA BI ZA ISTO DELO POREBOVALO 8 DELAVCEV? R:[18,75 UR] 7. NA KMETIJI IMAJO HRANE ZA 60 KRAV ZA 30 DNI. ČEZ 10 DNI DOBIJO ŠE 40 KRAV. ZA KOLIKO DNI BODO ZADOŠČALE ZALOGE? R: [60(30 10) = (60 + 40)X, X = 12] 8. DELAVEC A OPRAVI DELOV 16 URAH, DELAVEC B PA V 12H. PRVI ZAČNE Z DELI 10 JUNIJA, DRUGI PA 12. JUNIJA. KDAJ BO DELO KONČANO? [A DELA X DNI, B PA X 2 DNI, X = 8, KONČATA 17.6.] 9. ZOBATO KOLO S 24 ZOBMI POGANJA DRUGO ZOBATO KOLOS 60 ZOBMI. KOLIKOKRAT SE ZAVRTI DRUGO KOLO, ČE SE PRVO ZAVRTI 100-KRAT? R: 40 KRAT 15

10. NEKO DELO OPRAVIJO 4 DELAVCI V 10 DNEH, ČE DELAJO PO 10 UR DNEVNO. KOLIKO DELAVCEV BI POTREBOVALI, DA BI OPRAVILI DELO V 5 DNEH, ČE BI DELALI 8 UR DNEVNO? [R: 10 DELAVCEV] 3. RAZDELILNI RAČUN Z razdelilnim računom rešujemo naloge, ko gre za delitev neke mase med različne upravičence. Delimo po ključu, ki določa delitvene deleže posameznih upravičencev v celotni masi. LOČIMO TRI OSNOVNE DELITVE, glede na vrsto ključa: DELITEV NA ENAKE DELE DELITEV V RAZMERJU (premosorazmerna ali obratnosorazmerna) DELITEV Z ULOMKI IN PROCENTI DELITEV Z RAZLIKAMI Glede na število razdelilnih ključev pa ločimo: ENOSTAVNI RAZDELILNI RAČUN SESTAVLJENI RAZDELILNI RAČUN POSTOPEK REŠEVANJA NAPIŠEMO PODATKE IZPIŠEMO RAZMERSKA ŠTEVILA RAZMERSKA ŠTEVILA OKRAJŠAMO DELEŽE ZAPIŠEMO KOT PRODUKT OKRAJŠANIH RAZMERSKIH ŠTEVIL IN ISKANIM OSNOVNIM DELEŽEM X SEŠTEJEMO DELEŽE Z DELJENJEM IZRAČUNAMO OSNOVNI DELEŽ IZRAČUNANI OSNOVNI DELEŽ POMNOŽIMO Z OKRAJŠANIMI RAZMERSKIMI ŠTEVILI S SEŠTEVANJEM DELEŽEV PREVERIMO PRAVILNOST REZULTATOV 3.1. ENOSTAVNI RAZDELILNI RAČUN Delitev mase je predpisana z enim samim ključem. 16

DELITEV NA ENAKE DELE NA ENAKE DELE DELIMO KOLIČINE TEDAJ, KO SO LASTNOSTI OSEB, GLEDE NA KATERE OPRAVIMO DELITEV, ENAKE. PRIMER: 1 KG ČOKOLATINOV RAZDELIMO PETIM ENAKO STARIM OTROKOM. KOLIKO DOBI VSAK? Količino razdelimo na enake dele:1kg:5=0,2kg Odg: Vsak otrok dobi 20 dag čokolatinov. VAJE: 1. OSMIM USTVARJALCEM SKUPNEGA PROJEKTA RAZDELIMO NAGRADO 13 000 EVROV. KOLIKO DOBI POSAMEZNI USTVARJALEC? (R: 1625) 2. TRI SKUPINE DELAVCEV SO PREVZELE DELO NA TRASI, DOLGI 2800 m. SKUPINE SO ENAKE, TEREN POVSOD ENAKO TEŽAVEN. KOLIKŠNE ODSEKE PREVZAME DOLOČENA SKUPINA? (R: 933,3 m) 3. SINDIKALNI BOŽIČEK JE OBDAROVAL OTROKE SVOJIH SODELAVCEV. RAZDELIL JIM JE 60 kg SLADKARIJ. V ORGANIZACIJI JE ZAPOSLENIH 6 DELAVCEV, KATERI IMAJO PO 3 OTROKE, 24 DELAVCEV, KI IMAJO PO DVA OTROKA IN 9 DELAVCEV, KI IMAJO PO ENEGA OTROKA. KOLIKO SLADKARIJ DOBI POSAMEZNI OTROK? (R: 80 Kg) 4. RAZDELI 2 t 75 kg BLAGA MED 4 POSLOVALNICE, KI SO ENAKO VELIKE IN SO VSE NA ENAKO PROMETNIH KRAJIH! (R:518,75kg) DELITEV V RAZMERJU DELITEV V SORAZMERJU PRIDE V POŠTEV, KO LASTNOSTI POSAMEZNIH OSEB SORAZMERNO VPLIVAJO NA DELITEV. DELITEV V RAZMERJU JE LAHKO: PREMO SORAZMERNA: VEČJE RAZMERSKO ŠTEVILO, VEČJI DELEŽ PRI DELITVI 17

OBRATNO SORAZMERNA: VEČJE RAZMERSKO ŠTEVILO, MANJŠI DELEŽ PRI DELITVI PRIMER: IMAMO TRI SKUPINE DELAVCEV IN SICER V SKUPINI A 18 DELAVCEV, V SKUPINI B 36 DELAVCEV IN SKUPINI C 30 DELAVCEV. OPRAVITI MORAJO DELO NA TRASI DOLGI 2,8 km. KOLIKŠNE ODSEKE BO PREVZELA POSAMEZNA SKUPINA? A : B : C = 18 : 36 : 30 = 3: 6 : 5 = 3x : 6x : 5x DELITEV DELA BO OPRAVLJENA SORAZMERNO GLEDE NA ŠTEVILO DELAVCEV. PREMOSORAZMERNA DELITEV 3x + 6x + 5x = 14x = 2800 x = 2800 : 14 = 200 sledi; skupina A: 3 200 m = 600 m, skupina B: 6 200 m = 1200 m, skupina C:5 200 m = 1000 m ali členi pri delitvi razmerska števila Skupina Število delavcev Okrajšana Delimo Odgovor števila A 18 3 3x 600 m (3 200) B 36 6 6x 1200 m(6 200) C 30 5 5x 1000 m(5 200) Enačba s sklepom: 14x = 2800 x = 2800:14 x = 200 Velikost dela, ki ga pomnožimo z ustreznim krajšanim razmerskim številom. OBRATNOSORAZMERNA DELITEV členi pri delitvi razmerska števila Skupina Število delavcev Okrajšana števila Deli mo Odgovor A 18 3 1/3x 10/30 10x 1330,3 m (10 133,33) B 36 6 1/6x 5 /30 5x 666,65m(5 133,33) C 30 5 1/5x 6 /30 6x 799,98m(6 133,33) Enačba s sklepom: 21x = 2800 x = 2800 : 21 x = 133,33 (poiščemo skupni imenovalec) (seštejemo X) 18

VAJE 1. TRGOVINSKA ORGANIZACIJA JE RAZDELILA MED 3 POSLOVALNICE 819 kg BLAGA V RAZMERJU 4 : 7 : 10. KOLIKO BLAGA JE DOBILA POSAMEZNA POSLOVALNICA? 2. NABAVILI SMO BRUTO 3500 kg SLADKORJA, 2500 kg KAVE IN 4 t MOKE. SKUPNI STROŠKI PREVOZA PRI TEJ NABAVI SO 2400. RAZDELITE PREVOZNE STROŠKE NA POSAMEZNO BLAGO! 3. PRI IZVOZNEM PODJETJU SO SODELOVALA 4 PODJETJA Z VLOGAMI: PRVO S 16.000, DRUGO S 14000, TRETJE S 18600 IN ČETRTO Z 18600. RAZDELITE 24482 DOBIČKA MED TA PODJETJA! (R: 6421,51, 5618,82, 7465,00, 4976,67 ) RAZDELI 660 kg BLAGA NA TRI DELE V RAZMERJU : 2 : 4. KOLIKO BLAGA SMO RAZDELILI V RAZMERJU 3 : 1 1 3 UPRAVIČENEC DOBIL 70 kg BLAGA? : 1,5 : 2, ČE JE DRUGI 5. TRIJE SOSEDJE SO SKUPAJ NAROČILI PREMOG IN SE DOGOVORILI, DA BODO PREVOZNE STROŠKE PORAVNALI V ENAKEM RAZMERJU, KOT JE RAZMERJE NAROČENIH KOLIČIN, TO JE 2 : 4 : 5. KOLIKO STROŠKOV PRIDE NA POSAMEZNEGA NAROČNIKA, ČE SKUPNI PREVOZNI STROŠKI ZNAŠAJO 5500 D.E. 6. PODJETNIK ŽELI DEL DOBIČKA (65000 D.E.) RAZDELITI TREM DELAVCEM V OBRATNEM SORAZMERJU S ŠTEVILOM NJIHOVIH IZOSTANKOV Z DELA. PRVI DELAVEC IMA 12, DRUGI 18 IN TRETJI 24 IZOSTANKOV Z DELA. KOLIKO ZNAŠAJO DELEŽI POSAMEZNIH DELAVCEV? NALOGE ZA UTRJEVANJE 1. RAZDELITE 1 TONO BLAGA V RAZMERJU 5 : 7: 2 : 6! (R: 250, 350, 300,) 2. STROŠKE 112000 D.E. RAZDELITE MED 4 UDELEŽENCE V RAZMERJU 2 : 5 : 3 : 6! (R:14000, 35000, 21000, 42000) 3. IZTRŽEK 18900 D.E. RAZDELI MED 3 PODJETJA, KI SO V POSEL VLOŽILA: A: 7000 D.E., B: 8400 D.E., C: 9800 D.E.! (R: 5250, 6300, 7350, ) 4. TRI DELOVNE SKUPINE GRADIJO 4 km DOLG CESTNI ODSEK. V PRVI SKUPINI JE 20 DELAVCEV, V DRUGI 25 DELAVCEV IN V TRETJI 19 DELAVCEV. KOLIKŠNE ODSEKE GRADIJO POSAMEZNE SKUPINE? (R: 1250, 1562,5, 1187,5 ) 19

5. RAZDELI 3t 910 kg BLAGA MED 4 POSLOVALNICE V RAZMERJU PROMETA, KI SO GA IMELE PREJŠNJE LETO: PRVA 72 mio D.E., DRUGA 120 mio D.E., TRETJA 144 mio D.E., ČETRTA PA 216 mio D.E. (R: 510, 850, 1020, 1530) 6. RAZDELI 1316 D.E. PREVOZNIH STROŠKOV NA POSAMEZNO BLAGO, ČE SMO NABAVILI 8 TON POMARANČ, 3,6 TON LIMON IN 7,2 TONI BANAN! (R: 560, 252, 504) 7. SKUPNA ZAVAROVALNINA PRI PREVOZU BLAGA A, B IN C JE 1746 D.E. RAZDELI ZVAROVALNINO NA POSAMEZNO BLAGO, ČE JE VREDNOST BLAGA A: 600 000 D.E., B: 720 000 D.E. IN C: 1,08 MILIJONA D.E. ( R: 436,5, 523,8, 785,7) 8. ZA PREVOZ SADJA SMO PLAČALI 2480 D.E. KOLIKŠNI SO PREVOZNI STROŠKI ZA POSAMEZNO VRSTO SADJA, ČE SMO PREPELJALI 2460 kg JABOLK, 2220 kg HRUŠK, 900 kg BRESKEV IN 1860 kg MARELIC? (R: 819,18, 739,26, 299,7, 619,38) 9. 208 D.E PRISPEVKA ZA KOMUNALNE STORITVE PLAČAJO 4 STRANKE, KI IMAJO STANOVANJA S POVRŠINAMI: 81m 2 ; 46,2 m 2 ; 57 m 2 IN 65,4 m 2. KOLIKO PLAČA POSAMEZNA STRANKA? (R: 67,50, 38,50, 47,50, 54,50) DELITEV Z ULOMKI IN PROCENTI ZA DELITEV Z ULOMKI MORA BITI IZPOLNJEN POGOJ: VSOTA VSEH ULOMKOV JE ENAKA 1 VSOTA VSEH PROCENTNIH DELEŽEV JE ENAKA 100% PRIMER RAZDELI 720 D.E. MED TRI ČLANE TAKO, DA DOBI PRVI OSTANEK! 2 5, DRUGI 3 8, TRETJI PA 20

A: DOBI 2 5 OD 720 2 720 5 288 D.E. B: DOBI 3 8 OD 720 3 720 8 270 D.E. C: DOBI OSTANEK 720 - (288 + 270) 162 D.E. ALI SKUPNI IMENOVALEC DOBIJO A 2/5 16/40 16x 16 18=288 D.E. B 3/8 15/40 15x 15 18=270 D.E. C OSTANEK 9/40 9x 9 18=270 D.E. 40x =720 x = 720/40 x =18 VAJE: 1. BLAGO RAZDELIMO 4 POSLOVALNICAM, TAKO DA PRVA DOBI 2 9, DRUGA 3 8, TRETJA 1 6, ČETRTA PA PREOSTALIH 544 kg BLAGA. KOLIKO DOBI POSAMEZNA POSLOVALNICA IN KOLIKO BLAGA SMO RAZDELILI? 2. PET POSLOVNIH PARTNERJEV JE PRISPEVALO ZA SKUPNO NALOŽBO: PRVI 1 8, DRUGI 3 10, TRETJI 4 15, ČETRTI 1 6 DOBIČKA!, PETI PA JE KRIL POTREBNI OSTANEK. RAZDELI 90 000 D.E. 3. STROŠKE PRI GRADNJI MOSTU SO PLAČALE TRI VASI. PRVA VAS JE PRISPEVALA 3 7, DRUGA 1 4, TRETJA PA 46800 D.E. KOLIKŠNI SO STROŠKI PRI GRADNJI TEGA MOSTU IN KOLIKO SO PLAČALE POSAMEZNE VASI? 4. RAZDELI SKUPNE STROŠKE, ČE PRVA DVA ČLANA PLAČATA VSAK PO 20 %, TRETJI 3 8, KAR JE 16 200 D.E., ČETRTI ČLAN PA OSTANEK! KOLIKO JE STROŠKOV? 21

NALOGE ZA UTRJEVANJE 1. 7 TON BLAGA RAZDELI MED 4 ČLANE TAKO, DA DOBI A OSTANEK! (R: 2000, 1400, 1750, 1850) 2 7, B 1 5, C 1 4, D PA 2. KOLIČINO BLAGA SO RAZDELILI MED 4 POSLOVALNICE: A DOBI 1 5, B 3 8, C 3 10, D PA DOBI PREOSTALIH 400 KG. KOLIKO BLAGA SO RAZDELILI IN KOLIKO DOBI POSAMEZNA POSLOVALNICE? (R: 640, 1200, 960, 400, SKUPAJ 3200) 3. 8 t 640 kg BLAGA RAZDELI MED 5 ČLANOV TAKO, DA DOBI PRVI 1 4, DRUGI 1 6, TRETJI 5 24, ČETRTI 3 16, PETI PA OSTANEK! (R:2160, 1440, 1800, 1620, 1620) 4. NEKO KOLIČINO BLAGA RAZDELIMO ŠTIRIM POSLOVALNICAM TAKO, DA DOBI PRVA 2 7, DRUGA 1 5, TRTJA 3 14, ČETRTA PA PREOSTALIH 168 kg. KOLIKO BLAGA SMO RAZDELILI IN KOLIKO DOBI POSAMEZNA POSLOVALNICA? (R:160, 112, 120, 168, 560) 5. DOLOČEN ZNESEK RAZDELI TAKOLE: A DOBI 3 7, B DOBI 2 5, KAR JE 1040 D.E., C PA DOBI OSTANEK. KATERI ZNESEK SI RAZDELIL? (R:1114,29, 1040, 445,71, SKUPAJ 2600) DELITEV Z RAZLIKAMI VČASIH SE ZGODI, DA POSAMEZNI UPRAVIČENEC DOBI TOLIKO VEČ ALI TOLIKO MANJ KOT DRUGI UDELEŽENEC. MED DELEŽI POSAMEZNIKOV SO DANE RAZLIKE. PRIMER 12. 000 D.E. RAZDELIMO MED 3 NAGRAJENCE, TAKO DA JE VSAKA NASLEDNJA NAGRADA ZA 600 D.E. MANJŠA OD PREJŠNJE. NAGRAJENCI DELI NAGRADE I X 4600 D.E. II X-600 4600 600 = 4000 D.E. III X-1200 4600 1200 =3400 D.E. VSOTA DELOV: 3X-1800 = 12000 3X = 13800 X = 13800 : 3 = 4600 (VSTAVIMO X) 22

VAJE 1.4 km BLAGA RAZDELI MED 4 POSLOVALNICE TAKO, DA VSAKA NASLEDNJA DOBI PO 200 m VEČ OD PREJŠNJE! 2. 830 D.E. RAZDELI TAKO, DA DOBI B 40 D.E. VEČ KOT A, C PA 60 D.E. VEČ KOT A! 3. RAZDELI 1 t 300 kg BLAGA TAKO, DA DOBI DRUGI 200 kg MANJ KOT PRVI, TRETJI 100 kg VEČ KOT PRVI, ČETRTI PA 100 kg VEČ KOT TRETJI. 4. 100 kg POTROŠNIŠKEGA MATERIALA RAZDELI MED 4 POSLOVALNICE TAKO, DA DRUGA DOBI 5 kg MANJ KOT PRVA, TRETJA 10 kg VEČ KOT DRUGA, ČETRTA PA 10 kg MANJ KOT PRVA IN TRETJA SKUPAJ! 5. PETER, JANEZ IN TONE DOBIJO SKUPAJ 1000 D.E. RAZDELIJO JIH TAKO, DA DOBI JANEZ 50 D.E. MANJ KOT PETER, OZIROMA 100 D.E. VEČ KOT TONE. KOLIKO DOBI VSAK? 6. MED PRVE TRI TEKMOVALCE SO PODELJENE NAGRADE V SKUPNI VREDNOSTI 2520 D.E. PREDPIS PRAVI, DA SE VSAKA NAGRADA ZMANJŠA ZA 100 D.E. ZA VSAKO IZGUBLJENO TOČKO. DOSEGLI PA SO: PRVI 18 TOČK, DRUGI 16 TOČK IN TRETJI 11 TOČK. KOLIKŠNE SO NAGRADE? 7. VZEMIMO ŠE, DA JE TUDI PRVAK IZGUBIL NA PRIMER 2 TOČKI. TEDAJ JE DRUGI IZGUBIL 4 TOČKE IN TRETJI 9 TOČK. NALOGE ZA UTRJEVANJE 1. RAZDELI 2400 D.E. MED 5 ČLANOV TAKO, DA VSAK NASLEDNJI DOBI PO 30 D.E. VEČ KOT PREJŠNJI! (R: 420, 450, 480, 510, 540) 2. 8t 60 kg BLAGA RAZDELIMO 4 POSLOVALNICAM TAKO, DA VSAKA NASLEDNJA DOBI PO 150 kg MANJ OD PREJŠNJE! (R: 2240, 2090, 1940, 1790) 3. RAZDELI 5000 D.E. MED 6 OSEB TAKO, DA DRUGA DOBI 50 D.E VEČ KOT PRVA, TRETJA 40 D.E. MANJ KOT PRVA, ČETRTA 100 D.E. MANJ KOT PRVA, PETA 30 D.E. MANJ KOT PRVA IN ŠESTA 10 D.E. MANJ KOT PRVA! (R: 845, 895, 805, 745, 875, 835) 4. 3750 kg BLAGA RAZDELI MED TRI ORGANIZACIJE TAKO, DA DOBI DRUGA 50 kg VEČ KOT PRVA, TRETJA PA 10 kg MANJ KOT DRUGA! (R: 1220, 1270, 1260) 5. 7700 D.E. RAZDELI TAKO, DA PRVI DOBI 900 D.E. VEČ KOT ČETRTI, DRUGI 400 D.E. MANJ KOT PRVI, TRETJI PA 200 D.E. MANJ KOT DRUGI! (R: 2400, 2000, 1800,180) 23

6. NAGRADO 1000 D.E. RAZDELIJO MED 4 TEKMOVALCE TAKO, DA DOBI PRVI 2-KRAT TOLIKO KOT ČETRTI, TRETJI 20 D.E. MANJ KOT DRUGI, ČETRTI PA 40 D.E. MANJ KOT TRETJI. KOLIKŠNE SO NAGRADE? (R: 360, 240, 220, 180) 7. RAZDELI PO POSLOVALNICAH 3 TONE BLAGA, ČE MORA DOBITI: A 3 KRAT TOLIKO KOT B, B 200 kg MANJ KOT C, C 10 KG VEČ KOT D, E PA 100 kg MANJ KOT D! (R: 1080, 360, 560, 550, 450) 8. PODJETJE RAZDELI 4,5 HEKTOLITROV VINA V TRI POSLOVALNICE. DRUGA DOBI 50 LITROV VEČ KOT PRVA, TRETJA PA 20 LITROV MANJ KOT PRVA. KOLIKO DOBI POSAMEZNA POSLOVALNICA? (R: 140, 190, 120) 9. RAZDELI 350 kg BLAGA TAKO, DA DOBI A DVAKRAT TOLIKO KOT D, C 10 kg VEČ KOT B, D 20 kg MANJ KOT B, E PA TOLIKO KOT B IN D SKUPAJ! (R: 80,60, 70, 40, 100) 10. 3000 D.E. DOBIČKA SO RAZDELILI TAKO, DA JE DOBIL A 3500 D.E., B 500 D.E. VEČ KOT D OZIROMA 700 D.E. MANJ KOT E, C 300 D.E. MANJ KOT E IN F POL TOLIKO KOT A, B IN C SKUPAJ. KOLIKO DOBI VSAK? (R: 3500, 4790, 5190, 4290, 5490, 6470) 3.2. SESTAVLJENI RAZDELILNI RAČUN NA DELITEV VPLIVA VEČ PREDPISOV HKRATI. PRIMER SKUPINA 5 DELAVCEV JE ZA PREDČASNO OPRAVLJENO DELO DOBILA 95500 D.E. NAGRADE. RAZDELIJO SIJO V RAZMERJU OPRAVLJENIH DELOVNIH UR. PRVI DELAVEC JE DELAL 6 DNI PO 7 UR, DRUGI 7 DNI PO 7 UR, TRETJI 5 DNI PO 8 UR, ČETRTI 6 DNI PO 6,5 UR IN PETI 3 DNI PO 7 UR. KOLIKO NAGRADE DOBI VSAK? Nagrade morajo biti premosorazmerne s številom dni in ur, ki jih je posamezni delavec opravil. Razmerje I, razmerje II Sestavlejno razmerje Končno razmerje ODGOVOR A 6 dni po 7 ur 42 ur 42 x 42 500 = 21000 d.e. B 7 dni po 7 ur 49 ur 49 x 49 500 = 24500 d.e. C 5 dni po 8 ur 40 ur 40 x 40 500 = 20000 d.e. D 6 dni po 6,5 ur 39 ur 39 x 39 500 = 19500 d.e. E 3 dni po 7ur 21 ur 21 x 21 500 = 10500 d.e. ( Seštejemo x) 191 x = 95500 x = 95500 : 191 x = 500 (x vstavimo) 24

VAJE 1. 4 DELOVNE SKUPINE PREVZAMEJO DELO ZA 124250 D.E. KOLIKO BO DOBILA POSAMEZNA SKUPINA, ČE SODELUJEJO PRI DELU: I. SKUPINA S 15 DELAVCI 14 DNI PO 6 UR NA DAN, II. SKUPINA S 27 DELAVCI 10 DNI PO 7 UR, III. SKUPINA Z 28 DELAVCI 12 DNI PO 8 UR IN IV. SKUPINA Z 20 DELAVCI 7 DNI PO 8 UR? 2. MED 5 POSLOVALNIC RAZDELI POŠILJKO 560 kg BLAGA TAKO, DA PRVI DVE PREJMETA 3 8 CELOTNE POŠOLJKE IN SI JO RAZDELITA V RAZMERJU 4 : 3, OSTALE TRI POSLOVALNICE PA SI OSTANEK RAZDELIJO TAKO, DA DOBI TRETJA 20 kg VEČ OD ČETRTE, PETA PA 30 kg VEČ KOT ČETRTA! Najprej razdelimo blago na dve skupini. Delitev opravimo v vsaki skupini posebej 3. RAZDELI 2730 D.E. MED 4 TEKMOVALCE TAKOLE: 1 3 NA ENAKE DELE, 1 3 V RAZMERJU OSVOJENIH TOČK, OSTANEK PA TAKO, DA DOBI VSAK NASLEDNJI PO 10 D.E. MANJ. OSVOJENE TOČKE: I. 12 TOČK, II. 8 TOČK, III. 6 TOČK, IV. 0 TOČK. Kaj je ekstrem? 25 Če se poročita policaj in blondinka!

Tek. I Osvojene točke Delitev v razmerju Delitev na enake dele Delitev z razlikami Nagrade II III IV 4. PARTICIPACIJA STROŠKOV JE ZA TRI VASI ZNAŠALA 760000 D.E. STROŠKE KRIJEJO GLEDE NA ODDALJENOST IN GLEDE NA ŠTEVILO PREBIVALCEV: B Z 1100 PREBIVALCI IN 22 km ODDALJENA, A Z 800 PREBIVALCI IN 4 km ODDALJENA, TER C S 1200 PREBIVALCI IN 18 km ODDALJENA. KOLIKO PRISPEVA POSAMEZNA VAS? NALOGE ZA UTRJEVANJE 1. RAZDELI 11200 D.E. MED 8 DELAVCEV, KI SO DELALI: PRVI 3 DNI PO 2 URI, DRUGI 4 DNI PO 1 URO, TRETJI 7 DNI PO 3 URE, ČETRTI 1 DAN PO 5 UR, SEDMI 10 DNI PO 1 URO IN OSMI 6 DNI PO 2 URI! (R: 840, 560, 2940, 700, 1960, 1120, 1400, 1680) 2. RAZDELI 3000 kg BLAGA MED 5 POSLOVALNIC TAKO, DA PRVE TRI SKUPAJ DOBIJO 750 kg VEČ BLAGA KOT ZADNJI DVE. PRVE TRI POSLOVALNICE DELIJO BLAGO TAKO, DA VSAKA NADALJNA DOBI 150 kg VEČ, PREOSTALI DVE PA BLAGO DELITA V RAZMERJU 3 : 2 (R: 475, 625, 775, 675, 450) 3. 3 ZADRUGE SO IMELE PRI SKUPNI NALOŽBI 23400 D.E. DOBIČKA. DOBIČEK 1 RAZDELIJO TAKOLE: 3 NA ENAKE DELE, OSTANEK PA SORAZMERNO GLEDE NA VLOŽENA SREDSVA. VLOŽILE SO: A 19600D.E., B 25200 D.E. IN C 28000 D.E. (R: 6800, 8000, 8600) 4. 3 PODJETJA SO PRI SKUPNEM DELU USTVARILA 138000 D.E. DOBIČKA. RAZDELIJO SI GA GLEDE NA VLOŽENA SREDSTVA IN GLEDE NA ŠTEVILO DELAVCEV. PRVO PODJETJE JE SODELOVALO S 50000 D.E. IN 5 DELAVCI, DRUGO Z 80000 D.E. IN 3 DELAVCI, TRETJE PA S 100000 D.E. IN 2 DELAVCEMA. KOLIKO DOBIČKA DOBI POSAMEZNO PODJETJE? (R: 50000, 48000, 40000) 5. ŠPORTNO DRUŠTVO RAZPOLAGA S 3750 D.E.. ORGANIZIRA TEKMOVANJE IN ZA TO PORABI 1 5 CELOTNEGA ZNESKA. OSTANEK RAZDELI MED 5 PRVOUVRŠČENIH TAKOLE: 26

PRVI DOBI 1 3, DRUGI 1 4, TRETJI 1 5 DA DOBI PETI SAMO (R: 1000, 750, 600, 400, 250) 5 8, ČETRTI IN PETI PA SI RAZDELITA OSTANEK TAKO, ZNESKA, KI GA DOBI ČETRTI. RAZDELI! 6. 6600 D.E. RAZDELI TAKO, DA PRVI DOBI POLOVICO TISTEGA, KAR DOBITA DRUGI IN TRETJI SKUPAJ, TRETJI PA DOBI 400 D.E. MANJ KOT DRUGI! (R: 2200, 2400, 2000) 1 7. RAZDELI 24000 D.E. ZA NAGRADE TAKOLE: 4 NA ENAKE DELE, 2 5 V RAZMERJU OSVOJENIH TOČK, OSTANEK PA TAKO, DA DOBI VSAK NASLEDNJI PO 20 D.E. MANJ KOT PREJŠNJI. OSVOJILI PA SO: I. 15 TOČK, II. 9 TOČK, III. 6 TOČK IN IV. O TOČK. (R: 8430, 6490, 5510, 3570) 8. 4 DELAVCI SO USTVARILI 54750 D.E. DOBIČKA. 1 5 CELOTNEGA ZNESKA ODVEDEJO ZA GRADNJO OTROŠKEGA VRTCA, OSTANEK PA SI RAZDELIJO GLEDE NA ŠTEVILO OPRAVLJENIH DELOVNIH UR. PRVI JE DELAL 7 DNI PO 6 UR, DRUGI 5 DNI PO 7 UR, TRETJI 6 DNI PO 8 UR IN ČETRTI 3 DNI PO 7 UR. RAZDELI! (R: 12600, 10500, 14400, 6300) 9. PRI SKUPNEM PROJEKTU SO SODELOVALI 4 PODJETNIKI. PRVI JE VLOŽIL V PRO-JEKT 84000 D.E., DRUGI 60000 D.E., TRETJI 72000 D.E. IN ČETRTI 96000 D.E. ČISTI DOBIČEK 26,52 MILIJONOV D..E SI RAZDELIJO PO SPORAZUMU TAKOLE: POLOVICO NA ENAKE DELE, POLOVICO PA V RAZMERJU VLOG. KOLIKO PRIDOBI VSAK PODJETNIK? (R: 6885000, 5865000, 6375000, 7395000) 10. POSLOVALNICA A DOBI 1 5 NABAVLJENEGA BLAGA, OSTALE 4 POSLOVALNICE PA SI PREOSTALIH 4000 kg RAZDELIJO TAKO, DA DOBI: C 100 kg MANJ KOT B, B 50 kg VEČ KOT D IN E 100 kg MANJ KOT D. KOLIKO BLAGA SO RAZDELILI IN KOLIKO DOBI POSAMEZNA POSLOVALNICA? (R: 1000, 1075, 975, 1025, 925, SKUPAJ 5000) 4. PROCENTNI RAČUN Pojem procent ali odstotek srečujemo skoraj vsak dan. Z odstotki izražamo na primer podražitve ali pocenitve blaga, razne načine vplačil pri nakupih in podobno. Zapis z odstotki zasledimo pogosto v dnevnih časopisih, na primer v tabelah in grafikonih, s katerimi so ilustrirane gospodarske novice. Naloge odstotnega (promilnega) računa lahko rešujemo na različne načine oziroma po različnih metodah: s sklepnim računom 27

z nastavitvijo sorazmerij z obrazci (formulami) z oblikovanjem enačb oziroma sistema enačb. Pri računanju z odstotki (procenti) rešujemo naloge, ki jih lahko razvrstimo v tri skupine. V vsaki nalogi nastopajo tri med seboj povezane količine (števila): CELOTA, DELEŽ in zapis DELEŽA S PROCENTI. RAZMERJE MED DELOM IN CELOTO IMENUJEMO DELEŽ. DELEŽ OBIČAJNO ZAPIŠEMO V OBLIKI ULOMKA, MOŽEN PA JE TUDI ZAPIS V DRUGIH OBLIKAH. DELEŽ IZRAŽEN V STOTINAH IMENUJEMO PROCENTNI (ODSTOTNI) DELEŽ ALI NA KRATKO PROCENT = 1/100 (OZNAKA %), DELEŽ IZRAŽEN V TISOČINAH PA IMENUJEMO PROMILNI DELEŽ ALI NA KRATKO PROMIL = 1/1000 (OZNAKA ). pro centum = za sto-stotina pro mille-za tisoč-tisočina PRIMER 6 % = 6/100 = 0,06 6 % 0 = 6/1000 = 0,006 5,3 % = 5,3/100 = 0,053 5,3 % 0 =5,3/1000 = 0,0053 42 % = 42/100 = 0,42 800 % 0 = 800/1000 =0,8 622,3 % = 622,3/100 = 6,223 1015,5 % 0 =1015,5/1000 = 1,0155 0,5 = 5/10 = 50/100 = 50 % 0,004 = 4/1000 = 4 % 0 0,050 = 0,050/1000 = 5,0 % 0,43 = 430/1000 = 430 % 0 3 = 300/100 = 300 % 1,5 = 1500/1000 = 1500 % 0 2, 987 = 298,7/100 = 298,7 % 0, 03456 = 34,56/1000 = 34,56 % 0 Vsakokrat sta znani dve števili ali količini, tretje število (količino) pa izračunamo. Računamo lahko: z direktnim sklepanjem 100 %... C (100% je celota) 1 %... C/100 (je 100 X manjši delež kot C) P %... (Cxp)/100 (p % je p-krat večji delež kot 1%) 28

z obrazci IZRAČUN ODSTOTKA : p = (d 100)/C Odstotek nam pove, koliko stotin celote predstavlja določen del. IZRAČUN DELEŽA: d = (C p)/100 Delež je količina, za katero računamo procente. IZRAČUN CELOTE: C = (d 100)/p Celota je količina od katere računamo procente. PRIMER S sklepanjem 4 % OD 210 kg = najprej: 1% od 210 kg = 2,10 kg 4% = 2,10 kg 4 = 8,40 kg Odgovor: 4% od 210 kg je 8,40 kg. Ali z obrazcem: p = 4% C = 210 kg d =? d = (C p)/100 d = (210 4)/100 = 8,40 kg VAJE 1. IZRAČUNAJ 3,5 % 0 OD 15.750 EUR! 2. CENA BLAGA ZA Kg JE BILA 35,60 EUR. KOLIKŠNA JE NOVA CENA BLAGA, ČE SE JE BLAGO PODRAŽILO ZA 8%? (R:38,45 EUR) 3. BANKA ZARAČUNA 1 2 % 0 PROVIZIJE. KOLIKO EUR PROVIZIJE PLAČAMO PRI 3 NAKAZILU 2.460 EUR? (R:4,10 EUR) 4. VREDNOST BLAGA BREZ PROMETNEGA DAVKA ZNAŠA 5.607 EUR. KOLIKŠEN JE GLEDE NA TO VREDNOST 25% PROMETNI DAVEK? (R:1.401,75 EUR) 5. ZA KOLIKO % SE JE POVEČALA PROIZVODNJA, ČE SMO LANSKO LETO IZDELALI 2000 t BLAGA, LETOŠNJA PA JE ZA 3000 t VEČJA? (R: 15%) 29

6. BLAGO, KI IMA VREDNOST 125,40 EUR SMO USPELI PRODATI LE ZA 120 EUR. KOLIKO % JE BILA IZGUBA? (R: 4,31% 7. V RAZREDU JE PRISOTNIH 32 UČENCEV. NEKEGA DNE JE IZOSTALO 5 UČENCEV. KOLIKO % UČENCEV JE PRISOTNIH IN KOLIKO ODSOTNIH OD POUKA? (R:84,375 %) ŠE VAJE 1. OD 362 ZAPOSLENIH DELAVCEV JIH DELA 28 NA TERENU. KOLIKO % JIH DELA NA TERENU? (R:7,73 % ) 2. OD 280 ZAPOSELNIH DELAVCEV JE ZBOLELO 12 DELAVCEV. KOLIKO % DELAVCEV JE NAVZOČIH PRI DELU? (R:95,71 %) 3. PRI PREVOZU 520 kg BLAGA SE GA JE RAZSULO 41 kg. KOLIKO % JE TO? (R:7,88 %) 4. CENA ZA METER BLAGA JE 600 EUR. CENO ZNIŽAMO ZA 15 %. KOLIKŠNA JE NOVA CENA TEGA BLAGA? (R:510 EUR) 5. BLAGO SE JE POCENILO OD 1.600 EUR NA 1.400 EUR. KOLIKO % JE TO? KAJ PA, ČE SE PODRAŽI OD 1.400 NA 1.600, ALI JE TO ISTO? (R: 12,5 %, 14,29%) 6. V 4 kg ZLITINE JE 80 dag BAKRA. KOLIKO % BAKRA JE V TEJ ZLITINI? (R:20 %) 7. ČISTINA ZLATA JE 800 % 0. KAJ TO POMENI ZA 10 g TAKEGA ZLATA? (R: 8 g) 8. V 2 g ZLATE ZLITINE JE 0,4 g BAKRA (OSTALO JE ZLATO). KOLIKO % ZLATA JE V ZLITINI? (R: 800 % 0 ) 9. 426 kg BLAGA SE JE V SKLADIŠČU NAVZELO 15 % 0 VLAGE. KOLIKŠNA JE PRODAJNA KOLIČINA BLAGA? (R:432,39 kg) 10. PRI PREVOZU 4000 OPEK SE JE RAZBILO ZA 2,75 % 0. KOLIKO OPEK JE TO? (R:11 OPEK) 11. PRAZEN VOZ TEHTA 328 kg, NALOŽEN Z BLAGOM PA 1 t 536 kg. KOLIKO % CELOTNE MASE JE MASA VOZA IN KOLIKO MASA BLAGA? (R:VOZ:21,35 %, BLAGO:78,65 %) 12. ŽELEZOVA RUDA VSEBUJE 45 % ŽELEZA. KOLIKO ŽELEZA DOBIMO IZ 5 t RUDE, ČE JE TEHNIČNO MOGOČE IZKORISTITI SAMO 80 % ŽELEZA, KI JE TEJ RUDI? (R:1,8 t ŽELEZA) 13. KOOPERANTI SO PRIDELALI KROMPIR: PRVI 6t, DRUGI 5,4t, TRETJI 1,8t, ČETRTI 7,6t IN PETI 3,9t. IZRAZI PRIDELKE V % GLEDE NA SKUPNI PRIDELEK! (R: 24,29%, 21,86%, 7,29%, 30,77%, 15,79%) POVEČANA CELOTA (C+ d), POMANJŠANA CELOTA (C - d) Ločimo: Povečano celoto (C + ) k celoti prištejemo delež in dobimo C + = C + d Zmanjšano celoto (C - ) od celote odštejemo delež in dobimo C - = C d. 30

OBRAZCI (knjiga) PRIMER 10 % POPUST NAKUP NEKEGA BLAGA JE ZNAŠAL 25.000 D.E. KOLIKO JE BILA MALOPRODAJNA CENA BREZ POPUSTA IN KOLIKO SMO PLAČALI ZA BLAGO? 10% = DELEŽ OD MALOPRODAJNE CENE, KAR ZNAŠA 25.000 D.E. P = 10 % C = (d 100)/p = (25.000 100)/10 = 250.000 D.E. d = 25.000 D.E. C - = C-d = 250.000-25.000 = 225.000 D.E. Odgovor: maloprodajna cena brez popusta je znašala 250.000 d.e., plačali pa smo 225.000 d.e. VAJE 1. KOLIKO JE ZNAŠALA PRVOTNA CENA BLAGA, ČE SMO ZA TO BLAGO PLAČALI S 5% POPUSTA 1.330 D.E.? (R: 1.400 D.E.) 2. ZNESEK 5.832,75 D.E. VKLJUČUJE 5 % ZAVAROVALNINO. KOLIKŠNA JE ZAVAROVALNINA? (R: 277,75 D.E.) 3. ČE BI SE BLAGO PODRAŽILO ZA 4%, BI STALO 72,80 D.E. VENDAR PA SE JE PODRAŽILO ZA 7%. KOLIKO SEDAJ STANE TO BLAGO? (R:74,90 D.E.) 4. PODJETJE JE PRIČAKOVALO IZDELAVO 4.386 TON BLAGA IN S TEM PRESEŽEK NAČRTA ZA 2%. VENDAR PA SO ZARADI TEŽAV ZAOSTALI ZA NAČRTOM ZA 3%. KOLIKO BLAGA SO IZDALI? (R: 4.171 TON) ŠE VAJE 1. KOLIKŠNA JE VREDNOST BLAGA BREZ PROMERNEGA DAVKA, ČE JE 14 % DAVEK 760,20 D.E.? (R:5.430 D.E.) 2. KOLIKO BLAGA SMO PREJELI, ČE SE JE MED PREVOZOM RAZSULO 18,2 kg BLAGA, KAR JE 2,6% POŠILJKE? (R:681,8 kg) 3. 3% PODRAŽITEV BLAGA ZNAŠA 5,25 D.E. ZA kg. KOLIKŠNA JE NOVA CENA? (R:180,25 kg) 4. ČEZ POLETJE JE ŠLO NA DOPUST 28,57% DELAVCEV. KOLIKO DELAVCEV JE ZAPOSLENIH V TEM PODJETJU, ČE JIH JE V SLUŽBI 250? (R: 350 DELAVCEV) 5. IZTRŽEK 29.400 D.E. JE ZA 5% VEČJI OD NAČRTOVANEGA. KOLIKŠEN JE BIL NAČRTOVAN? (R:28.000 D.E.) 6. BLAGO SE POCENI ZA 2% IN STANE SEDAJ 320 D.E.. KOLIKŠNA JE BILA STARA CENA? (R:326,53 D.E.) 7. Z 12% STROŠKI SMO PLAČALI ZA BLAGO 3.928 D.E. KOLIKŠNI SO STROŠKI? (R:420,86 D.E.) 31

5. OBRESTNI RAČUN Uporaba navadnega obrestnega računa je predvsem značilen za kratkoročne vloge (depozite) in podobne posle. Uporablja se pri meničnih poslih, pri osebnih računih in različnih hranilnih vlogah. Izhajamo iz predpostavke, da obresti ves čas računamo od prvotne (začetne, osnovne) glavnice, ne glede na to, koliko kapitalizacijskih obdobij je medtem preteklo. 5.1. OBRESTNE KOLIČINE in POJMI GLAVNICA ALI KAPITAL (G) Je denarni znesek, ki smo si ga izposodili ali posodili (finančna sredstva), v določenem časovnem trenutku. Vloga je znesek, ki ga vložimo v finančno ustanovo. Dolg pa znesek, ki si ga sposodimo od finančne ustanove. Povečana glavnica ( G + ): Če h glavnici prištejemo obresti, dobimo povečano glavnico. Torej velja: G + =G+o Pomanjšana glavnica (G - ): Če pa od glavnice obresti odštejemo, dobimo pomanjšano glavnico. Postopek zmanjšanja glavnice za obresti imenujemo diskontiranje, obrestno mero pa diskontna obrestna mera. Velja: G =G o OBRESTI (o) So nadomestilo (cena, nagrada, kazen) za uporabo finančnih sredstev v določenem časovnem obdobju. Odvisne so od zneska, ki si ga sposodimo ali ga posojamo, obrestne mere in časa obrestovanja. OBRESTNA MERA (p) Je v relativni obliki izraženo nadomestilo (cena) za uporabo finančnih sredstev. Pomemben je način obračunavanja. Lahko rečemo, da je obrestna mera merilo za določanje obresti (v procentih %). Obrestna mera je številsko enaka obrestim za vsakih 100 d.e. glavnice za čas enega leta. ČAS OBRESTOVANJA (n) (l, m, d) (leta, meseci, dnevi) je tisto časovno razdobje, za katerega se obračunavajo obresti. To časovno 32

obdobje je običajno eno leto, tako da najpogosteje govorimo o letni obrestni meri. Najkrajše obdobje za obračunavanje obresti je en dan. KAPITALIZACIJSKA DOBA Je čas med dvema zaporednima pripisoma obresti. KAPITALIZACIJA (m) Je število, ki pove, kolikokrat pripišemo obresti v obdobju, za katerega velja dogovorjena obrestna mera. Pripisi obresti so lahko letni (1x letno), polletni (2x letno m=2), četrtletni (4x letno m=4), mesečni (12x letno m=12), dnevni (365/366/360x letno m=365). Predpisanemu kapitalizacijskemu obdobju se prilagodi tudi obrestna mera, ki se reducira na dolžino kapitalizacijskega obdobja. To se zgodi na dva načina: relativno ali proporcionalno in konformno. KREDIT je pravno razmerje med kreditodajalcem in kreditojemalcem. DEKURZIVNO IN ANTICIPATIVNO OBRESTOVANJE Glede na pripis obresti ločimo dekurzivno in anticipativno obrestovanje. Dekurzivno obrestovanje je postopek pripisa obresti ob koncu časovnega obdobja (»za nazaj«. Tako dobimo dekurzivne obresti. Obrestni meri pa pravimo dekurzivna obrestna mera (p). G Slika: Dekurzivno obrestovanje G+o Anticipativno obrestovanje je postopek pripisa obresti ob začetku časovnega obdobja "v naprej"). Anticipativne obresti ob začetku obdobja odvzamemo od osnovne glavnice. Osnova za izračuna anticipativnih obresti je končna vrednost glavnice posameznega kapitalizacijskega obdobja, kar pomeni, da obresti plačamo v naprej. Tako dobimo anticipativne obresti. Obrestni meri pa pravimo anticipativna obrestna mera ( π ). Omenjena obrestna mera je smiselna le pri kreditnih poslih, za kreditojemalca je neugodna. G-o G Slika: Anticipativno obrestovanje 33

DOSPETJE ZNESKOV Znesek dospeva (valutira ) na nek termin (trenutek, datum), ko ga je potrebno v računu upoštevati, npr. ko ga je potrebno vrniti. Zneskom, ki dospevajo ob začetku posameznega obdobja, pravimo PRENUMERANDO zneski. Zneskom, ki dospevajo ob koncu vsakega obdobja, pravimo POSTNUMERANDO zneski. NAVADNI IN OBRESTNO OBRESTNI RAČUN Glede na kapitalizacijo obresti v obračunskem obdobju ločimo: Navadni obrestni račun (n. o. r.) pri navadnem obrestnem računu je obrestna osnova ves čas obrestovanja enaka. Nominalna vrednost obresti je pri ostalih konstantnih pogojih ves čas enaka, saj se stalno obrestuje prvotna (začetna) vrednost glavnice. Glavnica raste linearno. Gre za princip aritmetičnega zaporedja, kjer je diferenca med sosednjimi členi zaporedja konstanta (obresti). Obrestno obrestni račun (o. o. r.) pri obrestno obrestnem računu se obresti v vsakem kapitalizacijskem obdobju sproti pripišejo h glavnici. Govorimo o kapitalizaciji obresti, saj se poleg začetne vrednosti glavnice obrestujejo tudi obresti iz predhodnih kapitalizacijskih obdobij. Slika: Navadni obrestni in obrestnoobrestni račun(vir: Domjan, 2008) 34

ŠTETJE DNI (30, 360) Predpostavimo, da ima leto 360 dni, vsak mesec pa 30 dni. Izračuni niso popolnoma G p d natančni, vendar napake niso velike. o= 36000 (K, 360) Predpostavimo, da ima leto 360 dni, dneve pa štejemo po koledarju. Izračuni niso G p d natančni. o= 36000 (K, 365) Predpostavimo, da ima leto 365 dni, dneve pa štejemo po koledarju. Izračunane obresti so natančne. o= G p d G p d 36500 ali o= 36600 Pri nas je v veljavi računanje obresti po sistemu (K, 365/366). Časovno mejo dviga in pologa premaknemo (dogovor) na konec dneva (četudi je sredi dneva), zato pri obrestovanju prvi dan ne šteje, zadnji pa šteje v celoti. Vaja Preštejte na vse tri načine: (30, 360), (K, 360), (K, 365) in opazujte razliko! Koliko dni se obrestuje glavnica, ki je vložena v banko 20. marca in ste jo dvignili 20. maja istega leta?! 5.2. RAČUNANJE POSAMEZNIH OBRESTNIH KOLIČIN o= p G l 100 OBRESTI so številsko enake obrestni meri za vsakih 100 d.e. vložene glavnice in so enake za vsako leto obrestovanja. So premo sorazmerne od glavnice in časa (v letih) Izpeljava obrazca za obresti s sklepnim računom Za 100 d.e...dobimo za 1 leto p d.e. obresti Za G d.e..dobimo za l let o d.e. obresti (x). o : p = G : 100 = l : 1 o= p G l 100 35

Izpeljava ostalih količin iz osnovnega obrazca (GLAVNICA, OBRESTNA MERA, ČAS OBRESTOVANJA) o 100 o 100 o 100 G=... p=... l = p l G l G p Ker pa časa ne merimo vedno v letih, ga moramo primerno prilagoditi. Obrazci so prikazani v spodnji preglednici. leta o= p G l 100 Meseci o= p G m 1200......G= o 100 p l Dnevi (365/366/360)............... G= o 1200 p m o= p G d o 36500..............G= 36500 p d............ p= o 100...............l= o 100 G l G p....................... p= o 1200 G m......................... m= o 1200 G p................... p= o 36500.................. d= o 36500 G d G p Pri računanju časa moramo paziti: Če so o G 10 računamo leta Če so o G 10 računamo dneve Mesece računamo, ko je to v nalogi posebej navedeno. 36

PRIMERI IN VAJE Primer: Koliko smo lahko dvignili iz banke po 4 letih, če smo vložili 200 d.e. in je bila obrestna mera 2%? l = 4 G = 200 p= 2% G + o =? o= p G l 100 = 2 200 4 100 =16 Odg.: Dvignili smo lahko 200 + 16 =216 d.e. Primer: Koliko smo vložili na račun pred 7 meseci, če imamo danes pri 5 % obrestni meri na računu 1.200,00 d.e. več? o= 1. 200, 00 m=7 p=5 G=? G= o 1200 p m 1.200,00 1200 = =41.142,86 5 7 Odg.: Vložili smo 41.142,86 d.e. Primer: Glavnica je v 150 dneh narasla iz 500,00 d.e. na 550,00 d.e.e. Kolikšna je bila obrestna mera? G=500,00 G+o= 550,00 d= 15 p= o 36500 G d 50,00 36500 = =24, 33 500,00 150 p=? Odg.: Obrestna mera je 24,3%. VAJE 1. Koliko obresti dobimo v 3 letih, če smo vložili 1.200 d.e. in je obrestna mera 4%? (R: 144 d.e. ) 2. Koliko bomo vrnili čez 5 let, če smo si izposodili 500 d.e. in je obrestna mera 4 1 3 %? (R=608,33 d.e.) 37

3. Po 6 letih, želimo dobiti 400 d.e. obresti. Koliko moramo vložiti v banko, če je obrestna mera 3,5%? (R:1904,76 d.e.) 4. Koliko časa potrebuje glavnica 7000 d.e., da se pri 1 2 3 2,3 leta 2 leti, 3 mesece, 18 dni) obrestovanju, naobresti za 800 d.e.? (R: 5. Katera obrestna mera glavnico v 15 letih potroji? (R: 13,33%) 6. Izposodili smo si 7000 d.e. in sicer od 12. III. do 14. VI. istega leta. Koliko obresti smo prejeli, če je obrestna mera 5%, uporabi (K, 365)? (R: 90,14 d.e.) 7. Vložili smo 900 d.e. in po 6 letih dvignili skupaj z obrestmi 1.200 d.e. Kolikšna je bila obrestna mera? (R: 5,56%) 8. 10. VI. smo vložili v banko, ki obrestuje po 4,2% obrestni meri 1.000 d.e. Kdaj (datum) lahko dvignemo, skupaj z obrestmi, znesek 1.050 d.e.? R: 30. I. naslednje leto) 9. Koliko časa potrebuje znesek 2000 d.e., da pri 1 2 3 let) obrestni meri naraste na 3000 d.e.? (R: 30 10. V kolikšnem času se glavnica, pri 5% obrestovanju, podvoji? (R: 20 let) 4.3. RAČUNANJE SKUPNIH OBRESTI ZA VEČ GLAVNIC Komitenti imajo lahko, v banki, vloženih več različnih glavnic. Banka v tem primeru, če je obrestna mera ves čas enaka, obračuna obresti za vse glavnice hkrati. Vsota obresti za več glavnic je enaka vsoti produktov glavnic in pripadajočih let, pomnoženo s p 100. o= p G l 100 38

PREGLEDNICA OBRAZCEV G Leto G l Mecec G m Dan G d oziroma KOŠ (l) (m) (d) G 1 l 1 G 1 l 1 m 1 G 1 m 1 d 1 G 1 d 1 KOŠ 1 G 2 l 2 G 2 l 2 m 2 G 2 m 2 d 2 G 2 d 2 KOŠ 2 G 3 l 3 G 3 l 3 m 3 G 3 m 3 d 3 G 3 d 3 KOŠ 3 G l G m G d G d KOŠ = 100 o= p G l 100 o= p G m 1200 p G d o= 36500/36600/36000 o= p KOŠ 365/366/360 Primer: Izračunaj skupne obresti za 1.000 d.e. za 2 leti, 1.200 d.e. za 3 leta ter 1.700 d.e. za 1 leto. Obrestna mera je bila 2%! Glavnica leta 1.000 2 2.000 G l= 7. 300 1.200 3 3.600 Odg: Skupne obresti znašajo 146 d.e. 1.700 1 1.700 o= p G l 100 2 7.300 = =146 100 VAJE 1. V banko smo vložili 300 d.e. za 9 mesecev, 1.200 d.e. za 1 leto, 500 d.e. za 1 2 leta ter 1.500 d.e. za 1,5 leta. Obrestna mera je bila 2 3 4. Koliko znašajo skupne obresti? 2. Izračunaj skupne 5% obresti za: 2.000 d.e. za 20 dni, 2.500 d.e. za 50 dni ter 1.650 d.e. za 22 dni! 39

3. Koliko obresti bomo zaslužili ob koncu leta, če smo vlagali naslednje zneske z 4% obrestno mero: 4.300 d.e....dne 1.1 2.500 d.e.dne 2.3 1.900 d.e.dne 1.12 4. Glavnica 500 d.e. se je obrestovala 3 mesece, glavnica 300 d.e. 2 meseca in glavnica 700 d.e. 1 mesec. Izračunajte skupne obresti, če je obrestna mera 3,5 %, obrestovanje dekurzivno, navadno! (R: 8,17 d.e.) 5. Izračunajte skupne obresti za naslednje podatke! Obrestna mera je 3 1 5 % 1.350 d.e 3 leta 4.000 d.e 1 leto 4 mesece 2.500 d.e...8 mesecev 5.4. RAČUNANJE GLAVNICE, OBRESTI IZ POVEČANE, POMANJŠANE GLAVNICE Včasih imamo pri obrestovanju znano povečano ali pomanjšano glavnico ter moramo izračunati obresti in glavnico. Znesek ima valuto pomeni, da moramo plačati po določenem času. Glavnico zmanjšano za obresti (pomanjšano glavnico) imenujemo diskontirana vrednost. Po predhodno izpeljanih obrazcih izračunamo: GLAVNICO (G) G= (G+o) 100 100 +p l G= (G+o) 1200 1200 +p m G= (G+o) 36500/36600/36000 36500/36600/ 36000 +p d G= (G o) 100 100 p l G= (G o) 1200 1200 p m G= (G o) 36500/36600/36000 36500/36600/ 36000 p d 40