GOSPODARSKA IN FINANČNA MATEMATIKA skripta

Transcript

1 GOSPODARSKA IN FINANČNA MATEMATIKA skripta Nataša Pustotnik, univ. dipl. ekon. Lublana, april 2008

2 1 POSLOVNI RAČUNI SKLEPNI RAČUN VERIŽNI RAČUN RAZDELILNI RAČUN PROCENTNI RAČUN 16 2 OBRESTNI RAČUN Osnovni pomi Dekurzivno in anticipativno obrestovane Navadni in obrestnoobrestni račun Metode navadnega obrestnega računa 23 3 OBRESTNOOBRESTNI RAČUN Kapitalizacia obresti in rast glavnice Računane neznanih količin Anticipativno obrestovane Pogosteša kapitalizacia 36 4 KREDITNI POSLI OSNOVNI POJMI OBROČNI NAČIN ANUITETNI NAČIN 45 5 DONOSNOST INVESTICIJ DONOSNOST INVESTICIJ CENA DENARJA 49 6 TEMELJNI POJMI V STATISTIČNI ANALIZI OPREDELITEV POJMOV 52 7 STATISTIČNO RAZISKOVANJE Načrtovane statističnega raziskovana Statistično opazovane Obdelava zbranih podatkov Prikazovane statističnih podatkov 59 8 RELATIVNA ŠTEVILA STRUKTURE STATISTIČNI KOEFICIENTI INDEKSI Razlika in relativna razlika za relativna števila 82 1

3 9 FREKVENČNE PORAZDELITVE POJEM IN OBLIKOVANJE FREKVENČNIH PORAZDELITEV OPIS FREKVENČNIH PORAZDELITEV GRAFIČNO PRIKAZOVANJE FREKVENČNIH PORAZDELITEV SREDNJE VREDNOSTI ARITMETIČNA SREDINA MEDIANA MODUS ODNOSI MED ARITMETIČNO SREDINO, MEDIANO IN MODUSOM_ HARMONIČNA SREDINA GEOMETRIJSKA SREDINA IZRAČUNAVANJE POVPREČIJ IZ RELATIVNIH ŠTEVIL POMEN SREDNJIH VREDNOSTI V STATISTIČNI ANALIZI REŠITVE VAJ 117 2

4 1 POSLOVNI RAČUNI 1.1 SKLEPNI RAČUN Sklepni račun e metoda, po kateri izračunamo neznano količino iz množice drugih znanih količin, ki so z no v premem ali obratnem sorazmeru. (a) Spremenlivki x in y sta premo sorazmerni, če vela enačba y = kx pri čemer k imenuemo sorazmernostni faktor. V praksi to pomeni, da npr. trikratno povečane (zmanšane) ene spremenlivke povzroči tudi trikratno povečane (zmanšane) druge spremenlivke. Npr.: za dvakrat, trikrat,... večo količino blaga plačamo dvakrat, trikrat,... več. Premo sorazmere lahko zapišemo še drugače: y 1 = kx 1 y 2 = kx 2 oziroma y x 1 1 = y x 2 2 = k razmere med ustreznimi vrednostmi obeh spremenlivk e konstantno, tore e y 1 : x 1 = y 2 : x 2 in y 1 : y 2 = x 1 : x 2 ZGLED 1: Za 2000 kg sladkora smo plačali 1.600,00 EUR. Koliko stane 700 kg sladkora? Količina blaga (x) in znesek (y) sta premo sorazmerni količini, tore vela x 1 : x 2 = y 1 : y 2, kar v našem primeru pomeni 2000 : 700 = 1600 : y 2. Odtod izračunamo y 2 = = Za 700 kg sladkora bomo plačali tore 560,00 EUR. V zgornem primeru e sorazmernostni faktor cena na enoto blaga, zato bi nalogo rešili lahko tudi na drug način s preprostim sklepanem bi ugotovili, kakšna e cena 1 kg sladkora (dvatišočkrat man kot za 2000 kg), cena za 700 kg skladkora pa e potemtakem sedemstokrat viša. Vseeno e, na kakšen način rešimo podobne naloge, kot e zgorni zgled, pomembno pa e vprašane, kda lahko način sklepana po premem sorazmeru sploh uporabimo. 3

5 Opozoriti e potrebno, da premo sorazmere v realnosti vela na določenih intervalih, na trgu pa so razmere lahko tudi drugačne: ob veči količini določenega blaga, po katerem povprašue kupec, bo zelo veretno trgovec moral razmišlati o rabatih in drugih popustih, s tem pa bo premo sorazmere porušeno. (b) O obratnem sorazmeru pa govorimo, če dvakratno, trikratno,... povečane (zmanšane) ene spremenlivke povzroči dvakratno, trikratno,... zmanšane (povečane) druge spremenlivke. Matematično to zapišemo xy = k ali k y = ; za pare spremenlivk, ki so v obratnem sorazmeru, tore vela x x 1 y 1 = x 2 y 2 ZGLED 2: Neko delo bi opravilo 10 delavcev v 9 urah. V kakšnem času bi isto delo opravilo 15 delavcev? Število delavcev (x) in število potrebnih ur za dokončane dela (y) sta obratno sorazmerni spremenlivki, kar pomeni, da več delavcev potrebue za dokončane dela man ur. Tore vela x 1 y 1 = x 2 y 2, tako po naših podatkih izračunamo 10 9 = 15 y y 10 9 = 15 2 = delavcev bi tore isto delo opravilo v 6 urah. V nalogah, ki ih rešuemo s pomočo sklepnega računa neznanko izračunamo bodisi z neposrednim sklepanem ali pa ih zapišemo v obliki ustreznega sorazmera. Glede na to, koliko e spremenlivk, od katerih e odvisna neznana količina, razlikuemo: enostavni sklepni račun v nem nastopao tri znane in ena neznana količina in sestavleni sklepni račun v nem nastopa vsa pet znanih količin in ena neznana količina Enostavni sklepni račun Naloge lahko rešuemo na dva načina s sklepanem na enoto ali z nastavitvio ustreznega sorazmera. Poglemo si enostavna primera za premo in obratno sorazmere. ZGLED 3: Za sod kurilnega ola (252 l) smo plačali 156,24 EUR. Koliko stane manši sodček s 150 l kurilnega ola? 4

6 a) Pri reševanu s sklepanem napre ugotavlamo, koliko bi stal en liter ola (sklep s prvotne množine na enoto), nato pa izračunamo vrednost za novo množino: če 252 l ola stane 156,24 EUR, stane 156, 24 1 l ola EUR (252 krat man kot 252 litrov ola) 150 l ola , EUR (150-krat več kot 1 liter) Tako dobimo rezultat x = 93 EUR. b) Količina ola (x) in znesek (y) sta premo sorazmerni količini, cena ola pa ima vlogo sorazmernostnega faktora. Za premo sorazmere vela enačba x 1 : x 2 = y 1 : y 2, kar v našem primeru pomeni 252 : 150 = 156,24 : y 2. Odtod izračunamo ,24 y 2 = = Za 150 l kurilnega ola bomo plačali 93,00 EUR. ZGLED 4: 12 gradbenih stroev opravi v 20-ih delovnih dneh neko delo na gradbišču. Koliko delovnih dni bi bilo potrebnih za dokončane istega dela, če bi imeli na volo le 8 enakih delovnih stroev? a) V tem primeru sklepamo, da bi za to, da bi isto delo opravili z manšim številom gradbenih stroev, potrebovali več delovnih dni. Gre tore za obratno sorazmere, sklepamo pa takole: če 12 stroev dela 20 dni, dela 1 stro dni (12-krat man stroev dela 12-krat več dni) 8 stroev dela dni (8-krat več stroev dela 8-krat man dni) x = 30 dni b) Število gradbenih stroev (x) in število potrebnih delovnih dni za dokončane dela (y) sta obratno sorazmerni spremenlivki, tore vela x 1 y 1 = x 2 y 2, tako po naših podatkih izračunamo y = 8 2 = 30 Z 8 delovnimi stroi bo isto delo opravleno v 30-ih dneh. 5

7 1.1.2 Sestavleni sklepni račun Logika reševana sestavlenih sklepnih računov e enaka kot pri enostavnih sklepnih računih, razlika e le v številu spremenlivk, zato e postopek reševana dalši. Ker e sklepane na enoto lahko zamudno, predlagam reševane na dva načina s sistemom sorazmeri ali s pomočo sklepne sheme. Poglemo si primer. ZGLED 5: V pivovarni na 6 stroih napolnimo v 5 dneh pri 8-urnem delavniku polliterskih steklenic piva. Koliko steklenic piva prostornine tretine litra lahko napolni 5 stroev v 8 dneh pri 7-urnem delavniku? a) Napre nastavimo sklepe, iz katerih ugotovimo, za kakšno sorazmere gre: Količina napolnenih steklenic piva e premo sorazmerna številu stroev (več stroev napolni več steklenic piva) premo sorazmerna številu delovnih dni (več dni pomeni več napolnenih steklenic) premo sorazmerna dolžini delavnika (več delovnih ur pomeni več napolnenih steklenic) obratno sorazmerna prostornini steklenice (manša prostornina veče število steklenic) z besedami to pomeni: S 1 : S 2 = 1. število stroev : 2. število stroev = 1. število delovnih dni : 2. število delovnih dni = 1. dolžina delovnika : 2. dolžina delovnika = 2. prostornina steklenice : 1. prostornina steklenice kar za konkretne podatke pomeni: : x 2 = 6 : 5 = 5 : 8 = 8 : 7 = 1/3 : 1/ : x 2 = ( / 3) : ( / 2) ( / 2) x = ( / 3) 2 = b) Drug način reševana naloge e s pomočo sklepne sheme. Navodila: 1. V prvo vrstico sheme zapišemo količine iz prvega dela naloge (iz t.i. pogonega stavka) 2. V drugo vrstico podpišemo pripadaoče količine iz drugega dela (iz t.i. vprašalnega stavka), neznano količino običano označimo z x 3. Ob vsakem paru količin narišemo puščico, ki stoi pokonci, če sta količini v tem stolpcu premo sorazmerni z neznano količino, v nasprotnem primeru obrnemo puščico navzdol. (pokončna puščica bo v našem primeru za npr. število stroev, obrnena pri prostornini steklenice) 6

8 4. Neznano količino dobimo kot vrednost ulomka, ki ima v števcu količino, ki leži nad no v prvi vrstici sheme, in vse količine, ki so zapisane ob začetkih posameznih puščic, v imenovalcu pa produkt vseh ostalih količin, to e tistih, ki so v shemi zapisane ob konicah puščic. Poglemo si to tudi za naš primer: pogoni stavek 6 stroev 5 dni 8 ur kos 1/2 l vprašalni stavek 5 stroev 8 dni 7 ur x 1/3 l in po 4. točki navodila: / 2 x = / 3 2 = Uporaba linearnih enačb Zahtevneše sklepne naloge lahko rešuemo le z neposredno nastavitvio logične enačbe ali sistema enačb, iz katere izračunamo želeno količino ali več količin (sistem). Naveča težava tovrstnih nalog e, da ni na volo ustalenih»receptur«za reševane in da e potrebno odnose med spremenlivkami izluščiti iz besedila, k vsaki nalogi pa e nabole pristopiti z znatno mero logičnega razmišlana. Dostikrat se zgodi, da dobimo pri reševanu več kot en rezultat, tore več rešitev matematične enačbe. Zato e pametno, da vse doblene rešitve preizkusimo na osnovnem problemu, da vidimo, katere od rešitev mu tudi vsebinsko ustrezao. ZGLED 6: Za neki znesek dobimo pri grosistu 8 pralnih stroev po redni ceni. Grosist ponua akcio, in sicer da na»redno«ceno 60,00 EUR popusta, zato lahko za isti znesek dobimo dva pralna stroa več. Izračuna ceno pralnega stroa brez popusta! Izhaamo iz destva, da za isti znesek kupimo različno število pralnih stroev po različnih cenah. Iskano ceno označimo z x, tore e akciska cena x pralnih stroev po redni ceni stane enako kot 10 pralnih stroev po akciski ceni: 8 x= 10 ( x 60) Odtod dobimo x =300. Cena pralnega stroa brez popusta e tore 300,00 EUR. ZGLED 7: Prvi delavec bi delo opravil v 10 dneh, drugi pa isto delo v 12 dneh, če bi vsak od niu delal sam. Prvi delavec začne z delom 10. oktobra, drugi pa se mu pridruži 14. oktobra. Kda bo delo končano? 7

9 Oba delavca skupa morata skupa opraviti celotno delo (eno enoto).»hitrost«prvega delavca e 1 / 10 enote dela na dan,»hitrost«drugega delavca pa 1 / 12 enote dnevno. Če dela prvi delavec x dni, dela drugi štiri dni man, tore x 4 dni. Prvi opravi v x dneh x (1/10) enote dela, drugi (x 4) (1/12) enote dela, oba skupa pa celo delo: x ( x 4) 1 12 = 1 Iz enačbe dobimo x = , kar pomeni, da bo delo opravleno 17. oktobra. VAJE 1. Koliko bomo plačali za 30 l mleka, če smo za 8 l vina plačali 16,80 EUR in vela, da e 3 l vina toliko kot 9 l mleka? 2. Dnevno porabimo 22,5 litrov kurilnega ola, v tem primeru nam zaloga zadošča za 92 dni. Koliko dni traa zaloga kurilnega ola, če se zaradi hudega mraza dnevna poraba poveča na 26 litrov? 3. Neko delo opravi 6 delavcev v 6 urah in 30 minutah. V kakšnem času bi isto delo opravilo 10 delavcev? 4. Enotno količino piva, ki bi o sicer v pivovarni razdelili na pločevink po pol litra, morao razdeliti v pločevinke po tretino litra. Koliko pločevink morao nabaviti? delavcev napravi v 10 mesecih pri 7-urnem delavniku m blaga. Koliko takega blaga bi napravilo 35 delavcev v 6 mesecih pri 8-urnem delavniku? m blaga stane, če e široko 90 cm, 585,00 EUR. Koliko bi stalo 45 m takšnega blaga, če bi bilo široko 110 cm? 7. Na 6 stroih izdelamo v 12 dneh pri 8-urnem delavniku m blaga širine 100 cm. Koliko metrov blaga širine 80 cm lahko proizvede 5 stroev v 15 dneh pri 7-urnem delavniku? delavcev bi neko delo opravilo v 12 dneh. Prve 4 dni dela samo 20 delavcev. Koliko delavcev mora delati preostalih 8 dni, da bo delo vendarle pravočasno opravleno (v 12 dneh)? 9. Za neki znesek dobimo 12 kosov blaga. Če se cena poveča za 10,00 EUR, dobimo za isti denar 3 kose blaga man. Izračuna sedano ceno blaga! 10. Ko e prvi delavec, ki bi sam izkopal arek v 15 dneh, delal že štiri dni, se mu e peti dan pridružil drugi delavec, ki bi sam izkopal arek v 9 dneh. V kakšnem času e bilo delo končano? 8

10 1.2 VERIŽNI RAČUN Posebna oblika sklepnega računa e verižni račun, ki ga uporablamo takrat, ko v sklepnem računu nastopao samo premo sorazmerne količine. Pri reševanu si pomagamo s preprosto računsko shemo, ki i rečemo veriga, postopek pri reševanu pa verižni račun. Verižni račun e nabol uporaben predvsem v trgovinskih kalkulaciah, v katerih nastopao različne merske enote, različne denarne enote, ali takrat, ko e treba obračunati neke dodatne stroške prodae oziroma nakupa. Poudariti e potrebno, da s tehniko verižnega računa ne moremo reševati nalog, v katerih nastopao količine, ki med sebo niso premo sorazmerne, zato e treba naloge dobro prebrati, preden se odločimo za način reševana. Da bomo laže (in enotno) reševali vae, podaam tabele nekaterih merskih enot, s katerimi se bomo srečevali pri vaah (povzeto po učbeniku Poslovna matematika 1). ANGLEŠKE IN AMERIŠKE DOLŽINSKE MERE ANGLEŠKE IN AMERIŠKE VOTLE MERE ZA TEKOČINE mile (mi) = 1760 yd 1609,35 m VB ZDA yard (yd) = 3 ft 0,91440 m galon (gl) = 4 qt 4,543 l 3,7853 l foot (ft) = 12 in 0,30480 m quart (qt) = 2 pt 1,1365 l 0,9463 l inch (in) = 12 ln 0,02540 m pint (pt) = 4 gi 0,5683 l 0,4732 l line (ln) 0,00212 m gill (gi) 0,0143 l 0,0118 l Za preračunavane valut uporabimo tečanico Banke Slovenie v vaah so upoštevani tečai valut na dan , ki so prikazani v nasledni tabeli. x enot nacionalne valute na 1 EUR Država Valuta Oznaka teča Japonska aponski en JPY 158,63 Švica švicarski frank CHF 1,64 Velika Britania britanski funt GBP 0,68 ZDA ameriški dolar USD 1,37 Švedska švedska krona SEK 9,37 Danska danska krona DKK 7,44 Tehniko verižnega računa si oglemo na naslednem zgledu. ZGLED 1: 75 kg nekega blaga stane 1.120,00 EUR. Koliko bo stalo 200 kg istovrstnega blaga, če bomo plačilo izvedli v USD? Verigo shemo pričnemo tako, da začnemo z vprašanem (koliko USD...?), nadaluemo s količino, na katero se vprašane nanaša, to e 200 kg blaga, v nasledno vrstico na levi strani pa zapišemo z no povezano količino z isto mersko enoto, v našem primeru e to 75 kg blaga. 9

11 Postopek nadaluemo tako, da imamo v vsaki vrstici zapisan odnos enakosti oz. enakovrednosti dveh količin, mersko enoto količine na desni ponovimo v nasledni vrstici na levi, veriga pa e zaklučena, ko prispemo do merske enote, ki o vsebue vprašane na začetku verige (v našem primeru e to USD). Da izračunamo neznano količino, delimo produkt količin iz desnega stolpca s produktom znanih količin iz levega stolpca. x USD 200 kg (blaga) 75 kg (blaga) 1.120,00 EUR 1 EUR 1,37 USD ,00 1,37 x = = 4091,73 USD 75 Za 200 kg istovrstnega blaga bi plačali 4.091,73 USD. V verižnem računu lahko zelo enostavno upoštevamo tudi vse popuste na ceno blaga in vse dodatke na ceno, ki običano nastopao pri nakupih oz. prodaah blaga (npr. carina, prevoz, skladiščene...). ZGLED 2: 50 yardov neke tkanine stane v Anglii 365,80 GBP. Koliko e stal uvoznika v Slovenii en meter te tkanine, če e moral plačati še 20% carine od vrednosti uvoženega blaga? x EUR 1 m 0,9144 m 1 yd 50 yd 365,80 GBP 0,68 GBP 1 EUR 100 EUR 120 EUR Posebnost v te verigi e zadna vrstica, ker nazorno pokažemo, da mora uvoznik za vsakih 100 EUR vrednosti zaradi dodane 20% carine plačati 120 EUR. Račun zapišemo tako kot pre: , x = = 14,12 EUR 0, , Uvoznik e za en meter tkanine plačal 14,12 EUR. Podobno kot v tem zgledu ravnamo tudi v primeru, ko e potrebno ceno (ali kako drugo kategorio) zmanšati za določen delež. 10

12 ZGLED 3: Na Švedsko smo izvozili blago, ki smo ga pri nas prodaali v 10 kilogramskih zavitkih po 1,50 EUR. Koliko SEK smo dobili za 5 t tega blaga, če smo plačali posredniku 3% provizie? x SEK 5 t 1 t 1000 kg 10 kg 1,50 EUR 1 EUR 9,37 SEK 100 SEK 97 SEK ,50 9,37 97 x = = 6.816, 68 SEK Za 5 t tega blaga nam e po plačilu provizie ostalo 6.816,68 SEK. VAJE 1. Koliko blaga bi dobili pri nas za 130,00 EUR, če stane 4 kg takšnega blaga v Švici 3,8 CHF? 2. Koliko metrov blaga dobimo pri nas za 200 EUR, če stane 15 yd enakega blaga v Anglii 65 GBP? 3. Za 62 l vina smo plačali 167,40 EUR. Koliko bi dobili za 180 l istega vina, če bi ga prodali s 5% dobička? kg blaga stane na Danskem 469,00 DKK. Koliko bi stal pri nas polkilogramski zavitek tega blaga, če imamo pri uvozu 25% stroške? 5. Italiansko podete prodaa 1450 kg blaga za 3.860,00 EUR. Koliko dolarev mora iztržiti za polovično količino enakega blaga ameriško podete, ki hoče ustvariti 12% dobiček? 6. 20kg blaga stane na Japonskem ,00 JPY. Koliko EUR nas stane trikilogramski zavitek tega blaga, če nam e dobavitel pri nakupu 3 ton blaga priznal 2% rabata, stroški uvoza v Slovenio pa so 20%? 7. Uvoznik e uvozil iz Švice 4 tone blaga, ki ga tam prodaao po 25,50 CHF za petkilogramski zavitek. Dobavitel e uvozniku priznal 3% rabat na celotno količino. Koliko stane kilogram tega blaga pri nas, če e moral uvoznik plačati 10% carine in želi realizirati tudi 15% dobička? 8. Koliko stane uvoznika liter čistila, ki ga e uvozil iz Velike Britanie v posodah po 3,5 galone, če e osnovna cena za galono čistila 14,00 GBP, na to ceno e izvoznik odobril 10% promociski popust, čistilo pa e ob uvozu v Slovenio ocarineno s 25%? 11

13 1.3 RAZDELILNI RAČUN Z razdelilnim računom rešuemo probleme delitve neke mase med t.i. upravičence. Razdelitev zadošča nekemu pogou ali sistemu pogoev, napogosteša zahteva e predpisano razmere med deleži. V poslovni praksi se tako srečuemo s količinami, ki ih po dogovorenem»kluču«delimo. Tako delimo npr. ustvareno realizacio, dobiček, nagrade, stroške transporta, zavarovana, carine... Udeleženci v delitvi so lahko fizične osebe ali podeta, pa tudi različne vrste blaga (če želimo npr. deliti transportne stroške na posamezne izdelke). Kadar na razdelitev vpliva en sam pogo oziroma»kluč«, imamo enostavni razdelilni račun. Če e pogoev, po katerih določamo deleže posameznih udeležencev v delitvi, več, pa govorimo o sestavlenem razdelilnem računu Enostavni razdelilni račun V praksi se navečkrat srečamo s primeri, ko e odnos med deleži posameznih udeležencev opisan z razmerem, tako kot e to v naslednem zgledu. ZGLED 1: Transportne stroške v višini 132,00 EUR e trgovsko podete razdelilo med tri poslovalnice, in sicer v enakem razmeru, kot e bilo razmere naročenih in dobavlenih količin, to e 2 : 4 : 5. Koliko stroškov pride na posamezno poslovalnico? Neznane dele označimo z x 1, x 2, in x 3. Naloga zahteva, da sočasno vela x 1 : x 2 : x 3 = 2 : 4 : 5 in x 1 + x 2 + x 3 = 132 Zaradi prvega pogoa lahko pišemo x 1 = 2x, x 2 = 4x in x 3 = 5x, in nato iz druge zahteve dobimo 2x + 4x + 5x = x = 132 x = 12 tako da so ustrezni deleži potem enaki x 1 = 2x = 24, x 2 = 4x = 48 in x 3 = 5x = 60, skupa 132 EUR. Zaradi preglednosti podatkov in izračunov razdelitve e priporočeno, da naloge razdelilnega računa rešuete v preprostih in pregledno ureenih tabelah ZGLED 2: Denarno nagrado v višini 1.128,00 EUR moramo razdeliti med tri upravičence v razmeru 3 : 4 : 5, in sicer: a) premo sorazmerno in b) obratno sorazmerno danemu razmeru 12

14 a) Računski postopek lahko podobno kot v prešni nalogi tokrat izvedemo kar v tabeli: upravičenci delilno razmere deleži zneski A 3 3x 282,00 B 4 4x 376,00 C 5 5x 470,00 12 x x 1.128,00 94,00 b) Če želimo dobiti obratno sorazmere, napre obrnemo osnovno razmere, pomnožimo z namanšim skupnim imenovalcem, nato pa e postopek enak zgornemu. upravičenci osnovno delilno razmere A 3 B 4 C 5 obratno in ureeno delilno razmere deleži Zneski 1, 3 1, x 288,00, x 1.128,00 x 24, Sestavleni razdelilni račun Pri sestavlenem razdelilnem računu na delitev mase vpliva več razdelilnih klučev hkrati. Ločimo lahko dve obliki sestavlenega razdelilnega računa, in sicer: razdelilni račun z združlivimi razdelilnimi kluči in razdelilni račun s parcialnimi razdelilnimi kluči Združlive razdelilne kluče sestavimo v en sam razdelilni kluč tako, da vsa razmerska števila posameznih delilnih upravičencev med sebo zmnožimo. S tem oblikuemo skupen delilni kluč, račun pa nadaluemo po zgledu enostavnega razdelilnega računa. Parcialni razdelilni kluči pa delio posamezne dele celotne delilne mase. Eden izmed klučev napre razdeli celotno maso, ostali kluči pa delio nastale dele te mase. V tem primeru e delitev sestavlena iz več samostonih enostavnih razdelilnih računov. 13

15 ZGLED 3: Kako moramo razdeliti znesek 3.174,00 EUR med tri skupine delavcev pri naslednih podatkih o opravlenem delu: Skupina Število Dni Delovni čas prva skupina 8 delavcev 5 dni po 8 ur dnevno druga skupina 10 delavcev 4 dni po 9 ur dnevno treta skupina 6 delavcev 9 dni po 7 ur dnevno Deliti moramo po treh kriteriih hkrati: premo sorazmerno številu delavcev v posamezni skupini premo sorazmerno številu delovnih dni premo sorazmerno dolžini delovnega dne Za deleže posameznih skupin mora tako velati: x 1 : x 2 : x 3 = 8 : 10 : 6 = 5 : 4 : 9 = 8 : 9 : 7 x 1 : x 2 : x 3 = ( 8 5 8) : (10 4 9) : (6 9 7) oziroma x 1 : x 2 : x 3 = 320 : 360 : 378 Gre za razdelilni račun z združlivimi razdelilnimi kluči, sa z množenem števila delavcev, števila delovnih dni in dolžine delovnega časa za vsako skupino izračunamo število delovnih ur. To število predstavla razmersko število za enostavno delitev po načelu preme sorazmernosti zaslužka in števila opravlenih delovnih ur. Nalogo rešimo do konca po znanem načinu: skupina delilno razmere Deleži zneski (glede na izračunane delovne ure) prva skupina x 960,00 druga skupina x 1.080,00 treta skupina x 1.134, x x 3.174,00 3,00 Poglemo še zgled razdelilnega računa s parcialnimi kluči. ZGLED 4: Trie grosisti (A, B, C) so se dogovorili, da bodo skupne stroške uvoza nekega blaga, ki so znašali 3.780,00 EUR, razdelili po naslednem kluču: 1/9 stroškov na tri enake dele 5/9 stroškov premo sorazmerno količini dobavlenega blaga (te so v razmeru 5 : 3 : 2), 14

16 preostanek pa obratno sorazmerno številu opravlenih delovnih ur komercialistov posameznega grosista pri sklepanu posla (20, 30 oziroma 15 delovnih ur) Izračunate stroške, ki bremenio posameznega grosista! Naloge se nalaže lotimo tako, da stroške razdelimo na tri dele, ki ustrezao posameznemu načinu delitve, nato pa opravimo predpisano razdelitev. Ti deli stroškov so 420,00, 2.100,00 in 1.260,00 EUR, glede na postavlene kriterie pa se delio takole: I. del II. del III. del Skupa A B C Skupa Grosist A tako plača 1.610,00 EUR stroškov, grosist B 1.050,00 EUR, grosist C pa 1.120,00 EUR. VAJE 1. Med tri prodaalne razdelimo 972 t blaga v premem sorazmeru z velikosto prodaalne. Kakšni bodo deleži, če e prva prodaalna velika 152 m 2, druga 114 m 2, treta pa 58 m 2? 2. Denarno pomoč v višini 1.450,00 EUR razdeli med tri delavce, ki imao plače v višini 600,00 EUR, 800,00 EUR in 900,00 EUR, obratno sorazmerno z nihovimi dohodki! 3. Grosist e trem trgovinam dobavil blago in obračunal skupne prevozne stroške 640,00 EUR. Trgovine si bodo stroške razdelile po dveh klučih: premo sorazmerno količini blaga (20t, 50t, 60t) in premo sorazmerno oddalenosti od grosističnega skladišča (30, 20 in 40 km). Izračuna deleže za posamezne trgovine! 4. Tri vasi so se odločile, da bodo skupa financirale izgradno mostu, ki bo stal ,00 EUR, nihovi deleži pri te investicii pa so premo sorazmerni številu prebivalcev posamezne vasi in obratno sorazmerni z neno oddalenosto od mostu. Izračuna deleže pri naslednih podatkih: prebivalcev, oddalenost 18 km prebivalcev, oddalenost 5 km prebivalcev, oddalenost 10 km. 5. Trie delavci so zaslužili skupa 583,00 EUR. Kako na si razdelio ta znesek, če e prvi delal 10 dni po 7 ur dnevno, drugi 12 dni po 8 ur dnevno, treti 8 dni po 7 ur dnevno, pri tem pa e urna postavka tretega delavca za petino veča od urnih postavk prvega in drugega delavca? 6. Poplave so prizadele različna evropska mesta, škoda e bila ocenena na 60 mio EUR v prvem mestu, 25 mio EUR v drugem mestu, 5 mio EUR v tretem mestu in 45 mio EUR v četrtem mestu. Prvotne vrednosti poškodovanih obektov v teh mestih so bile ocenene na 500 mio EUR, 250 mio EUR, 100 mio EUR oziroma 300 mio EUR. Pomoč Evropske Skuposti v znesku 108 mio EUR razdeli na tri načine: premo sorazmerno nastali škodi; obratno sorazmerno vrednosti obektov pred poplavo; po obeh kriteriih hkrati. 15

17 1.4 PROCENTNI RAČUN Osnovni pomi V ekonomii nas dostikrat zanima primerane nekih količin v relacii do celote. Če na primer ugotavlamo velikost stroškov, ki nastaao v podetu, nas včasih celo bol kot nihova absolutna velikost zanima, kolikšen del celotnih stroškov predstavla posamezna vrsta stroškov. Tako nas zanima, kolikšen delež predstavlao stroški delovne sile, kolikšen delež predstavlao materialni stroški ipd. Pri primeravi stroškov med posameznimi podeti v isti deavnosti povedo podatki o deležih stroškov običano več kot le podatki o absolutni vrednosti stroškov. Vzemimo, da ima prvo podete 1 mio EUR celotnih stroškov, od tega predstavlao stroški delovne sile ,00 EUR, drugo podete pa ima vseh stroškov ,00 mio EUR, od tega stroškov delovne sile ,00 EUR. Napačno bi trdili, da ima drugo podete više stroške delovne sile, sa e potrebno upoštevati razmere med stroški delovne sile in celotnimi stroški (kompleksna ekonomska analiza zahteva seveda tudi druge podatke npr. o realiziranih prihodkih, dobičku in še čem, preden bi odgovorili, katero podete ima ugodnešo strukturo stroškov; nas v tem trenutku zanimao samo stroški). Kot se bomo naučili v nadalevanu, e razmere ugodneše pri drugem podetu, kar pomeni, da ima drugo podete relativno niže stroške delovne sile kot prvo podete. Procent vedno odraža delež neke količine, zato takorekoč v vseh izrazih stoi skupa samo z osnovo, na katero se nanaša! Če prevedemo besedilo naloge»če neznano količino povečamo za 20%,...«iz slovenščine v matematično simboliko, potem to zapišemo z izrazom: 20 x + x (napogosteši napačni zapis e x Osnovne količine, ki se poavlao v nalogah procentnega računa, so: C celota, osnovna vrednost (predstavla vedno 100%) p procentna mera (stopna) D procentni delež Med temi osnovnimi količinami vela nasledna zveza: C p D = (kar z besedami pomeni: delež e p% od celote) 100 Iz osnovnega sorazmera lahko izrazimo tudi preostali dve količini: ), še preprostee pa kar: x + 0,20x. D 100 p =, C C = D 100 p Probleme procentnega računa rešuemo predvsem na nasledne tri načine: s sklepanem ali z verigo s sorazmeri z linearnimi enačbami. 16

18 Izbiro načina prepuščamo vsakemu posamezniku. Poglemo si neka zgledov, nekateri od nih bodo rešeni na več načinov, vsak pa na si za reševane izbere tistega, ki mu e nabliži. ZGLED 1: Blago, ki e stalo 750,00 EUR, se e podražilo za 12%. Koliko EUR e znašala podražitev in kolikšna e nova cena blaga? a) Ker nas posebe zanima, koliko e znašala podražitev, to pomeni, da izračunamo delež cene, ki pomeni povečane zaradi podražitve. Če si pomagamo z obrazcem, napre zapišemo znane količine: C p C=750, p=12% od tod D = = = 90, nova cena = stara cena + podražitev = = 840 EUR Podražitev e znašala 90,00 EUR, nova cena pa e 840,00 EUR. b) s sklepanem bi se naloge lahko rešili na nasledni način: 100% % (stokrat man kot 100%) % (12-krat več kot 1%) zato e znesek podražitve x = = 90, nova cena e = 840 EUR; 100 če ne bi posebe zahtevali odgovora, kolikšna e bila podražitev, bi direktno lahko sklepali: 100% % (112 krat več kot 1%, sredno vrstico smo izpustili!) in od tod x = = ZGLED 2: Delničar dobi ob delitvi dobička družbe 4% dobička. Kolikšen e bil dobiček družbe, če e delničar dobil 420,00 EUR? a) Za razliko od prešne naloge, ker smo iskali delež, tokrat delež poznamo, iščemo pa celoto (dobiček družbe). S pomočo obrazca nalogo rešimo: 17

19 D = 420, p = 4%, od tod D C = = = EUR p 4 b) s pomočo sklepnega računa se naloge lotimo: 4% % (100-krat več kot 1%) x = = EUR. 4 Celotni dobiček družbe e tore znašal ,00 EUR. ZGLED 3: Pri plačilu računa v višini 685,00 EUR so nam priznali 20,55 EUR popusta. Koliko procentov popusta od prodane cene so nam priznali? a) če se naloge spet napre lotimo z obrazcem: C = 685,00, D = 20,55, od tod D , p = = = 3% C 685 Priznali so nam 3% popusta na prodano ceno. b) sklepni račun: % 20,55... x% 20, x = = 3% Računane z neznano osnovo V praksi se pogosto dogaa, da ni znana celota (ki ustreza 100%), ampak veča ali manša količina, ki pomeni za neki delež D (ta ustreza p% od celote C) povečano ali zmanšano celoto, C ± D, znana e tore količina, ki ustreza ( 100 ± p)%. Pri reševanu tako postavlenih nalog se poavla naveč napak, zato si ih bomo podrobnee ogledali. Glavno opozorilo, ki ga moramo upoštevati, e: procentna mera p% pomeni p/100 od celote C (in od nobene druge osnove!). Tovrstne naloge nalaže rešuemo s pomočo sklepnega računa, lotimo pa se ih lahko tudi z uporabo linearnih enačb. 18

20 ZGLED 4: Prodana cena TV spreemnika v trgovini e 360,00 EUR. Cena vklučue 20% davek na dodano vrednost. Kakšna e cena brez davka na dodano vrednost (DDV)? Pri takšnih nalogah e napogosteša napaka sklepane, da 20% davek računamo od 360,00 EUR, kar bi zneslo 72,00 D.E., tore bi bila cena brez davka = 288 EUR. Takšno sklepane e popolnoma napačno, sa procentna mera izraža, koliko stotin celote (osnovne vrednosti) predstavla delež. V našem primeru nas tore zanima 20% od neznane prvotne prodane cene. Zato sklepamo takole: 360 pomeni (100+20)%, kolikšna e celota, ki ustreza 100%? a) sklepni račun: =120% % (120-krat man) 100% (100 krat več) cena brez DDV e bila x = = 300 EUR 120 b) S pomočo linearne enačbe bi nalogo reševali takole: neznani ceni (x) prišteemo 20% 120 x DDV ( ) in dobimo prodano ceno (360): x x + = Po pravilih za reševane linearnih enačb rešimo enačbo in pridemo do rezultata x = 300 EUR. Cena brez DDV tore znaša 300,00 EUR. ZGLED 5: Prodaalec nam e za plačilo z gotovino odobril 3% popust, tako da smo za čevle plačali 87,20 EUR. Koliko bi plačali, če bi morali plačati polno ceno? a) Sklepni račun: (100-3)%=97%... 87,20 100%... 87, tore e iskana prodana cena b) linearna enačba: 87, x = = 89,90 EUR 97 3 x x = 87,20, od tod pa x = 89,90 EUR. 100 Cena brez popusta na takošne plačilo znaša 89,90 EUR. 19

21 Tisti, ki procentni račun dovol obvladao, se nalog veretno lotio s priemi, ki prece skrašao čas reševana nalog iz procentnega računa. Ker p% pomeni po definicii odstotka p/100, lahko namesto ulomka kar tako v številu p premaknemo decimalno veico za dve mesti v levo (delene s 100!) in s tako doblenim številom pomnožimo osnovno vrednost celoto. Na ta način rešuemo vse naloge, ker poznamo osnovno vrednost, računamo pa delež. ZGLED 6: Koliko e 23,34% od ? Delež izračunamo tako, da celoto pomnožimo s p/100 oziroma, da pomnožimo z 0,2334: ,2334 = 5251,50 ZGLED 7: Liter neosvinčenega bencina e 13. februara stal 0,954 EUR, nato e sledila 1,36% podražitev, mesec dni kasnee 1,2% pocenitev, 14 dni kasnee pa ponovno podražitev za 1,43%. Kakšna e cena bencina po zadni podražitvi? 0,954 1, ,988 1, 0143 = 0,969 EUR Če iz danega deleža želimo izračunati celoto, potem delež delimo z ulomkom p/100, zato ta postopek opravimo tako, da delež delimo s številom, ki ga iz procentne mere dobimo s pomikom decimalne veice za dve mesti v levo. ZGLED 8: Po odbitku 5% popusta smo plačali 59,28 EUR. Kakšna e bila osnovna prodana cena? Prvi del, 100% - 5% = 95% izračunamo brez pripomočkov, napre pa s kalkulatorem: 59,28 : 0,95 = 62,40 EUR. ZGLED 9: Koliko stane blago brez davka na dodano vrednost, če stane skupa z 20% DDV 1.698,00 EUR? 100% + 20% = 120% 1698 : 1,20 = 1415 EUR. VAJE 1. Trgovski potnik dobi 20% provizie pri prodai posode. Kolikšna e bila vrednost prodane posode v mesecu septembru, če e negova provizia v tem mesecu znašala 657,30 EUR? 20

22 2. Lansko leto e naša realizacia v prvih devetih mesecih znašala ,00 EUR, letos pa v istem obdobu ,00 EUR. Za koliko % e narasel promet? 3. Koliko e znašala bruto plača delavca, če e po odbitku 34,7% vseh prispevkov in davkov dobil neto plačo 970,36 EUR? 4. Kakšna e tovarniška cena avtomobila, če znaša cena avtomobila v trgovini z vsemi daatvami vred, ki ih e 23% od tovarniške cene, 9.690,00 EUR? 5. Blago smo skupa z vračunanimi 18% stroški prodali za 264,00 EUR. Kolikšni so bili stroški? 6. Letos so imeli v nekem hotelu na Obali gostov, kar e za 15% več od pričakovanega števila. Koliko gostov lahko pričakuemo v prihodnem letu, če računamo, da ih bo 20% več, kot smo ih načrtovali za letos? 7. Blago se e podražilo za 2,75% in stane seda 1.746,75 EUR. Za koliko % bi se moralo poceniti (od prvotne cene), da bi stalo 1.649,00 EUR? 8. Prvotna cena blaga e znašala 175,00 EUR. Blago se e nato napre podražilo za 5%, nato še za 3%, kasnee pa pocenilo za 2%. Kakšna e cena blaga zda? 9. Blago se e pocenilo za 25%. Za koliko procentov več blaga dobimo za isti denar? 10. Če prvemu številu prišteemo 30%, dobimo drugo število, če pa obe števili sešteemo, dobimo 276. Kateri dve števili sta to? 11. V neki državi vračao tucem 18% davek na dodano vrednost. Kolikšno povračilo lahko pričakuemo, če e celotni račun (z vklučenim davkom) znašal ,00 denarnih enot? 12. Če se bo država odločila povečati stopno davka na dodano vrednost iz 20% na 22%, za kakšno povečane gre? (izrazi v odstotkih!) 13. Andre se e odločil, da bo za drugi pokoninski steber mesečno namenil 120,00 EUR, kar predstavla 7% negove bruto plače. Država priznava kot olašavo pri izračunu dohodnine vplačane zneske za dodatno pokonino v višini 5,84% od bruto plače. Kakšen bo mesečni znesek, ki ga bo država upoštevala kot davčno olašavo pri letni napovedi negove dohodnine? 14. Celotni stroški podeta znašao ,00 EUR. Uprava se e odločila, da bo v prihodnem letu znižala stroške pisarniškega materiala, ki trenutno predstavlao 5% vseh stroškov, za 30%. Kakšen absolutni znesek stroška pisarniškega materiala bo zapisan v letnem planu za prihodne leto? Kolikšni bodo planirani celotni stroški podeta, če na bi po novem stroški pisarniškega materiala predstavlali le 4% vseh stroškov? 15. Veliko farmacevtsko podete e letos 35% svoih prihodkov iz prodae na tuih trgih ustvarilo na ruskem tržišču. V prihodnem letu načrtueo 20% povečane izvoza na ruski trg, kar bo delež izvoza v Rusio v strukturi celotnega izvoza povečalo na 40%. Kakšne prihodke na celotnem tuem trgu e podete ustvarilo letos, če e predviden celotni izvoz podeta v prihodnem letu ,00 USD? 21

23 2 OBRESTNI RAČUN 2.1 OSNOVNI POJMI Definicia obresti: obresti so cena denara, oziroma so nadomestilo za uporabo določenega zneska denara, ki ga e kreditodaalec za določen čas prepustil kreditoemalcu. Znesek obresti e funkcia treh spremenlivk: izposoenega zneska (glavnice, G, ali kapitala), časa obrestovana (v dneh d, mesecih m, letih l) in obrestne mere p, ki pove, koliko denarnih enot nadomestila plačamo za vsakih 100 denarnih enot glavnice, ki smo o uporablali eno kapitalizacisko obdobe, to e obdobe med dvema zaporednima pripisoma oziroma obračunoma obresti. Postavimo lahko dve trditvi: veči znesek posoenega denara veča glavnica mora pri nespremenenih drugih okoliščinah prinesti posoilodaalcu (upniku) višo ceno (obresti); dalši čas uporabe denara mora posoiloemalca (dolžnika) obremeniti z večimi obrestmi. 2.2 DEKURZIVNO IN ANTICIPATIVNO OBRESTOVANJE Pomembno e razlikovane med dvema v osnovi povsem različnima načinoma obrestovana, med dekurzivnim in anticipativnim obrestovanem. Načina se razlikueta z vidika trenutka, v katerem obračunavamo obresti, oz. se razlikueta glede na to, kda dospeva (zapade) glavnica, ki e osnova za celotni izračun obresti. Shematično to prikazuemo na nasledni skici. DEKURZIVNO ANTICIPATIVNO G G + o G o G osnovna glavnica Pri dekurzivnem obrestovanu, ki e pogosteše, obresti obračunamo po preteku določenega obdoba, tore za naza. Take obresti imenuemo dekurzivne obresti. Primer: za leto dni si po 10% obrestni meri izposodimo 100 denarnih enot; ob koncu leta bomo zato plačali 10 d.e. obresti. Pri anticipativnem obrestovanu se obresti obračunao in odvzameo od glavnice že na začetku obrestovalnega obdoba (kapitalizaciske dobe). Ta postopek se uporabla nabol pri kreditnih poslih. Primer: izposodimo si 100 d.e. po 10% ob. meri; znesek obresti bo 10 d.e., ki pa nam ih bodo odtegnili že ob naetu posoila; tako bomo za enako odškodnino deansko uporablali le 90 d.e. 22

24 Tako vidimo, da e pri nominalno enaki obrestni meri za kreditoemalca anticipativno obrestovane v splošnem bistveno draže kot dekurzivno. Izhodišče za računane obresti e tore: pri dekurzivnem obrestovanu začetna vrednost glavnice pri anticipativnem obrestovanu pa nena končna vrednost, to e vrednost ob koncu kapitalizaciskega obdoba. 2.3 NAVADNI IN OBRESTNOOBRESTNI RAČUN Pri navadnem obrestnem računu obresti ves čas računamo od prvotne (začetne) glavnice, ne glede na to, koliko kapitalizaciskih dob e preteklo od nastanka dolga do vračila denara. Tako vsako kapitalizacisko obdobe prinese upniku enake obresti, dolžni znesek narašča kot aritmetično zaporede. Osnova za obrestnoobrestni račun pa e kapitalizacia obresti: obresti ne računamo samo od prvotne glavnice, ampak tudi od vseh obresti, nastalih v preteklih kapitalizaciskih obdobih. Dveh zneskov, ki dospevata oz. valutirata v različnih trenutkih, ne moremo neposredno primerati, ampak u naredimo primerliva s tem, da oba preračunamo (reduciramo) na isti trenutek ali termin; znesek, ki dospeva pre, naobrestimo za čas dospeta drugega zneska (glavnici dodamo ustrezne obresti) ali znesek, ki dospeva kasnee, razobrestimo za isti čas. 2.4 METODE NAVADNEGA OBRESTNEGA RAČUNA Metodo navadnega obrestnega obračuna uporablamo za kratka kapitalizaciska obdoba (tem kraša, čim močneša e inflacia), posebe v tuini pa e značilen za klasično hranilniško poslovane in podobne posle, uporabla se pri računanu meničnih obresti, pri tekočih računih in različnih hranilnih vlogah, pa tudi pri obračunu obresti iz obveznosti, ki nastaao med kupci in prodaalci pri tekočem poslovanu. Rekli smo že, da pri navadnem obrestnem računu vsako kapitalizacisko obdobe prinese enake obresti, zato glavnica narašča kot aritmetično zaporede. V času to pomeni, da glavnica narašča linearno, in da so obresti premo sorazmerne začetni glavnici in času. Če e letna obrestna mera p% (= p/100), znašao letne obresti, ki ih da glavnica G G p o = 100 Iz načela preme sorazmernosti obresti s časom izpelemo še obresti za kraša kapitalizaciska obdoba od enega leta. Tako za primer, ko e čas obrestovana izražen v mesecih, obresti izračunamo kot 23

25 G p m o = 1200 za čas obrestovana, izražen v dnevih, pa G p d o =, oziroma v prestopnem letu G p d o = Pri nalogah, ki zahtevao izračunavane obresti do dneva natančno, si postavlamo vprašane, kako šteemo dneve. Če se stranki ne dogovorita drugače, v splošnem vela, da prvega dneva (npr. ko vložimo denar v banko) ne šteemo v interval, zadnega (npr. dan, ko denar dvignemo iz banke) pa upoštevamo. Obrestna mera vela za leto dni kot osnovno časovno enoto, če ni posebe zahtevano drugače. V praksi lahko srečamo posebne oznake, s katerimi navedemo, na kakšno časovno obdobe se nanaša obrestna mera: p.a. za leto (per anno) p.s. za pollete (per semetris) p.q. za četrtlete (per quartus) p.m. za mesec (per mese) p.d. za dan (per dies) Poglemo si neka zgledov uporabe navadnega obrestnega računa, napre si bomo pogledali dekurzivno obrestovane. ZGLED 1: Nekdo nam e 1. marca posodil 750,00 EUR, po letni obrestni meri p=8%, pri navadnem obrestovanu in dekurzivnih obrestih. Koliko mu moramo vrniti 15. unia istega, neprestopnega leta? Nalogo bomo reševali s pomočo obrazca za izračun obresti po dnevih, zato moramo napre izračunati, koliko dni bo traalo posoilo: d= =106 G p d o = = = 17,42 EUR, G + o = ,42 = 767,42 EUR unia moramo tore vrniti 767,42 EUR. ZGLED 2: Kolikšna e obrestna mera, če od glavnice 4.500,00 EUR dobimo v treh mesecih 67,50 EUR obresti? iz obrazca G p m o = izpelemo 1200 o , p = = = 6, G m Obrestna mera e tore 6%. 24

26 ZGLED 3: Koliko dni se mora pri 6% obrestni meri obrestovati glavnica ,00 EUR, da bo narasla na ,00 EUR? Tovrstne naloge se nalaže lotimo na način, da zapišemo, da e»glavnica + obresti = povečana glavnica«, kar bomo s pomočo simbolov zapisali kot G + o = G +, z našimi konkretnimi podatki pa to zapišemo s pomočo nasledne linearne enačbe, v kateri kot neznanka nastopa d kot neznano število dni: d = enačbo razrešimo, rezultat, ki ga dobimo, pa e d = 304,17 dni, kar pomeni, da se mora glavnica ,00 EUR obrestovati 305 dni, da bo narasla na ,00 EUR. ZGLED 4: Katera glavnica pri obrestni meri 5,8% v 7 mesecih naraste na 9.600,00 EUR? Naloge se lotimo podobno kot v prešnem zgledu, le da e neznanka tokrat začetna glavnica G: +, G + o = G G 5,8 7 G + = 9600, in rešitev e G = 9.285,83 EUR 1200 Iskana začetna glavnica, ki v 7 mesecih naraste na 9.600,00, e 9.285,83 EUR. Analogno nalogo izpelemo tudi v primerih, ko imamo za neznanko obrestno mero. ZGLED 5: V začetku maa, unia in septembra smo trikrat vložili enak znesek in konec septembra z obrestmi vred dvignili 4.159,33 EUR. Kolikšna e bila posamezna vloga, če e obrestna mera 7%? Imamo p=7%, G 1 = G 2 = G 3 = x, m 1 =5, m 2 =4, m 3 =1, vsota vseh treh vlog s pripadaočimi obrestmi e 4.159,33 EUR, tore x 75 x 74 x 71 x+ + x+ + x+ = 4159, in po ureanu enačbe x = 1360 EUR. Posamezna vloga e tore znašala 1.360,00 EUR. Omenili smo že, da anticipativno obrestovane uporablamo pri kreditnih poslih, ker kreditodaalec vnapre odbie obresti od končne glavnice in izroči kreditoemalcu tako 25

27 zmanšano začetno glavnico. V praksi dostikrat tak postopek imenuemo diskontirane, ustrezno obrestno mero pa diskontna obrestna mera. ZGLED 6: Do dolžnika imamo teratev ,00 EUR, ki dospe 31. avgusta. Kda lahko dolžnik to teratev poravna z zneskom ,60 EUR, če e diskontna obrestna mera 12%? Ker smo uporabili izraz diskontna obrestna mera, gre za anticipativno obrestovane, obresti izračunamo od končne glavnice ,00 EUR. Izraz»končna glavnica obresti = zmanšana glavnica«zapišemo kot G o = G - v našem primeru e to: d = 19572, 60, odtod dobimo d = 65 dni Zmanšano glavnico ,60 bi morali vrniti 65 dni pre, kot dospeva osnovna glavnica ,00 EUR, tore 27. unia istega leta. ZGLED 7: Izposodimo si ,00 EUR za šest mesecev pri banki, ki posoa 8% p.a., anticipativno, uporabla pa navadni obrestni račun. Koliko gotovine prememo na račun tega kredita in kolikšen kredit bi morali naeti, če bi želeli dobiti ,00 EUR gotovine? Ker gre za anticipativni način, e ,00 EUR končna vrednost glavnice, deansko izplačani znesek pa dobimo tako, da od ne odšteemo navadne obresti za obdobe 6 mesecev, tako da e Gpm G = G o= G = = 9600 EUR Diskont v tem primeru znaša 400,00 EUR. Po prešnem (dekurzivnem) načinu, pri katerem bi v znesku ,00 videli naobresteno neznano glavnico G 0, bi dobili rezultat 9.615,38 EUR oziroma zmanšani znesek diskonta (384,62EUR), kar se uema s tem, da e anticipativno obrestovane man ugodno za posoiloemalca kot dekurzivni obračun obresti. Odgovor na drugo vprašane dobimo tako, da iščemo končno glavnico G, Gpm G o = G 1200 = G, od tod pa enačbo razrešimo na iskano G: 1200 G G = = = 10416,67 EUR 1200 p m

28 ZGLED 8: Nekdo e v banki dobil kredit po anticipativni obrestni meri 11% za dobo 9 mesecev. Koliko bo moral vrniti, če mu e banka izplačala 5.630,00 EUR kredita? G o = G - G 11 9 G = 5630, od tod G = 6136,24 EUR 1200 Kreditoemalec bo moral banki vrniti 6.136,24 EUR. VAJE: 1. Koliko dni se e morala obrestovati glavnica 3.650,00 EUR pri 3% obrestni meri, dekurzivno obrest., da e narasla na 3.686,00 EUR? 2. Izposodili smo si 820,00 EUR po obrestni meri 9,5%, dekurzivno. V koliko dneh moramo vrniti dolg, da obresti ne bodo presegle 5% izposoene glavnice? 3. Katera glavnica pri obrestni meri 6% v 4 letih naraste na 9.300,00 EUR? 4. V banki, ki obrestue hranilne vloge po 4,5%, se e glavnica 4.200,00 EUR obrestovala 7 mesecev, glavnica 6.000,00 4 mesece in glavnica 7.450,00 EUR 5 mesecev. Koliko imamo v banki z obrestmi vred? 5. Kateri znesek naraste v 6 mesecih za 85,00 EUR pri 4% obrestni meri in dekurzivnem obrestovanu? 6. V začetku aprila smo v banko vložili 600,00 EUR. Koliko moramo vložiti še v začetku avgusta, da bomo pri 4% obrestni meri konec leta lahko z obrestmi vred dvignili 1.350,00 EUR? aprila vložimo 450,00 EUR, 10. unia 320,00 EUR in 12. septembra 560,00 EUR. Koliko moramo še vložiti 15. novembra, če želimo pri obrestni meri 3,5% do konca leta imeti v banki 2.000,00 EUR? 8. Zavarovalnica obračunava za vloge živlenskega zavarovana 3,25% obresti na letni ravni. Kakšne obresti e ob koncu prvega koledarskega leta pripisala vlogi zavarovanca, ki e premio v višini 150,00 EUR mesečno pričel plačevati v mesecu septembru? 9. V banki smo dobili kredit ,00 EUR za dobo 8 mesecev. Banka nam e izplačala ,00 EUR kredita. Po kakšni anticipativni obrestni meri so nam ga obrestovali? 10. Kolikšna e diskontirana vrednost glavnice 2.240,00 EUR, ki dospeva čez 92 dni, če e letna obrestna mera 8% in uporablamo navadni obrestni račun, anticipativno obrestovane? 11. Nekdo e v banki dobil kredit po anticipativni obrestni meri 8%. Koliko bo moral vrniti čez 7 mesecev, če mu e banka izplačala ,50 EUR kredita? 27

29 12. Pri banki, ki posoa denar po 9% obrestni meri, anticipativno, smo si izposodili 4.000,00 EUR. Kredit moramo vrniti čez 8 mesecev. Koliko gotovine prememo na račun tega kredita? Kolikšen kredit bi morali naeti, če bi želeli dobiti 4.000,00 EUR gotovine? 13. Banka nam e ob odobritvi kredita izplačala 8.500,00 EUR kredita, ki ga moramo vrniti čez 6 mesecev. Koliko bomo morali vrniti banki, če e bila anticipativna obrestna mera 9,8%, banka pa e iz kredita poplačala tudi stroške odobritve kredita v višini 20,00 EUR? Kolikšna e tore realna obrestna mera za ta kredit, ki o e plačal kreditoemalec? 28

30 3 OBRESTNOOBRESTNI RAČUN 3.1 KAPITALIZACIJA OBRESTI IN RAST GLAVNICE Osnovna značilnost obrestnoobrestnega računa e kapitalizacia obresti: obresti ne računamo samo od prvotne glavnice, ampak tudi od vseh obresti, nastalih v preteklih kapitalizaciskih obdobih. Ker se pri obrestnoobrestnem računu osnova za izračun obresti iz obdoba v obdobe povečue, se seveda povečueo tudi obrestni zneski. Rast glavnice pri obrestnoobrestnem računu ni linearna; dvakrat, trikrat... dalši čas obrestovana ne dae (samo) dvakrat, trikrat... večih obresti. Če želimo izpelati obrazec za obrestnoobrestni račun, poglemo napre, ka se zgodi z današno glavnico G 0 po enem letu: G 0 p G 1 = G 0 + = G 0( p 100 ) izraz p 1+ se pogosto poavla, zato mu damo posebno oznako 100 p r = 1+ in ga imenuemo dekurzivni obrestovalni faktor. 100 Iz gornega obrazca tako dobimo novo obliko G 1 =G 0 r. Za vrednost po dveh letih analogno dobimo G G p 100 p = G1 + = G1(1 + ) = G1 r = ( G 0r) r = Z nadalevanem izpelave pridemo do splošnega obrazca za glavnico po n letih obrestnega obrestovana: G 0 r 2 n G n = G 0 r, (n = 1, 2,...) Obrazec pove, da pri obrestnem obrestovanu glavnica narašča kot geometrisko zaporede. Da so obresti veče, če namesto navadnega obrestnega računa uporablamo obrestnoobrestni račun, bomo ugotovili na naslednem zgledu. ZGLED 1: Podete si na banki sposodi ,00 EUR, ki ih mora vrniti čez 4 leta, obrestovane e dekurzivno, obrestna mera 12%. Koliko bo moralo vrniti, če uporablamo navadni obrestni račun in koliko, če uporabimo obrestnoobrestni račun? a) navadni obrestni račun: o = Gpl = = 72000, G + =G+o= = EUR 29

31 4 4 b) obrestnoobrestni račun: G = G r = , , 90 EUR p 12 ( r = 1 + = 1+ = 1+ 0,12 = 1, 12 ) = Obrazec uporablamo v negovi osnovni obliki ali razrešenega na enega od drugih treh podatkov, ki nas utegneo zanimati (dolžino obdoba n, začetno glavnico G 0, obrestovalni faktor r oziroma obrestno mero p). Poglemo si primere. 3.2 RAČUNANJE NEZNANIH KOLIČIN Iskane začetne glavnice G 0 e enostavno, sa le obrnemo obrazec n G n = G 0 r G 0 = G r n n ZGLED 2: Koliko e treba pri običanih pogoih (letna kapitalizacia, dekurzivno obrestovane) danes vložiti, da čez 40 let (npr. ob odhodu v poko) dobimo ,00 EUR, a) če e obrestna mera 5% b) če e obrestna mera 10% c) če želimo pri obrestni meri 5% dobiti končno glavnico že po 20 letih? G G = = = 2840,91EUR r 1, a) G G = = = 441,90 EUR r 1,10 40 b) G G = = = 7537, 79 EUR r 1, c) Neznano obrestno mero p, ki e skrita v obrestovalnem faktoru r, nademo na nasledni način: G n = G 0 r n = G p p n n n 0 ( 1 + ) (1 + ) = 1 + = G G p n G G n 0, od tod pa dobimo p G n = 100 n 1 G 0 ZGLED 3: V banko smo vložili 1.250,00 EUR, nato pa čez 4 leta ugotovili, da e vloga narasla na 1.764,48 EUR. Po kakšni obrestni meri e banka obrestovala našo vlogo? Z uporabo zgornega obrazca dobimo 30

32 p G 1764,48 = = = G n 100 n odgovor e tore, da e banka vlogo obrestovala po 9%. Malo več (pred)znana zahteva računane časa obrestovana n oziroma število kapitalizaciskih obdobi, ki so minila med valutama začetne in končne glavnice. Tokrat e neznanka v eksponentu, zato enačbo napre logaritmiramo, nato pa razrešimo na n: Gn = G0 r n log = logg0 + nlog r G n loggn logg0 n = log r V obrazcu lahko uporabimo načeloma kakršnekoli logaritme, zaradi uporabe žepnega kalkulatora pa na bodo to bodisi desetiški ali naravni logaritmi. ZGLED 4: Koliko let se e obrestovala glavnica 2.800,00 EUR, da e pri celoletni kapitalizacii in 5% obrestni meri narasla na 3.087,00 EUR? n log G log G log 3087 log 2800 log r log1, 05 n 0 = = = 2 Glavnica 2.800,00 EUR se e po obrestni meri 5% obrestovala 2 leti, da e narasla na 3.087,00 EUR. ZGLED 5: Glavnica ,00 EUR se e pri dekurzivnem obrestnem obrestovanu in celoletni kapitalizacii obrestovala prvi dve leti po 9% letno, nato e bila obrestna mera 5 let 8%, zadna tri leta obrestovana e padla na 6% letno. Kolikšna e bila nena končna vrednost? Pri tovrstni nalogi e napogosteša napaka, da želimo izračunati obresti za posamezno obdobe od začetne glavnice to bi lahko storili v primeru navadnega obrestnega računa, pri obrestnoobrestnem pa se obresti pripisueo glavnici, zato začetno glavnico pomnožimo z vsemi ustreznimi potencami vseh ustreznih obrestovalnih faktorev! Letni obrestovalni faktori v našem zgledu so po vrsti 1,09, 1,08 in 1,06, velali pa so 2, 5 oziroma 3 leta, zato e G = G r r r = = EUR n1 n2 n , 09 1, 08 1, ,35 31