Materiāls ņemts o grāmatas: Adžās Agis, Bērziņa Aa, Bērziņš Aivars "Latvijas Republikas 26.-5. matemātikas olimpiādes" LATVIJAS REPUBLIKAS 35. OLIMPIĀDE UZDEVUMI 8. klase 35. Atrisiāt vieādojumu x + 2x = 2. Atbildi cetieties pierakstīt parastajā decimālajā pierakstā, eizmatojot pakāpes, sakes zīmes utt. 35.2. Četras riņķa līijas ar vieādiem rādiusiem krustojas vieā puktā O. Četrstūra ABCD malas katra pieskaras divām riņķa līijām (35..zīm.). Pierādīt, ka ap četrstūri ABCD var apvilkt riņķa līiju. A B O C D 35.. zīm. 35.3. Trijstūrī ABC ovilkti ogriežņi AM u CN, kas krustojas puktā O. Dots, ka trijstūra AON laukums ir S, trijstūra MOC laukums ir S 2, bet trijstūra AOC laukums ir S 3 (35.2.zīm.).. Pierādīt, ka trijstūra MON laukums ir 2. Aprēķiāt trijstūra ABC laukumu. S S S 3 2.
B N M O A C 35.2.zīm. 35.4. Doti 985 dažādi akmeņi, kuru svars ir kg, 2 kg, 3 kg,, 984 kg, 985 kg. Vai tos var sadalīt 5 kaudzītēs tā, lai akmeņu skaits visās kaudzītēs būtu vieāds u visu kaudžu svars arī būtu vieāds? 35.5. Uz tāfeles uzrakstīti 2 skaitļi L 2 3 4 2 a) Pierādīt, ka evar katram skaitlim priekšā pierakstīt + vai - zīmi tā, lai iegūtās summas vērtība būtu 0. b) Kādu mazāko daudzumu skaitļu jāodzēš, lai, atlikušajiem priekšā pierakstot + vai - zīmes, varētu iegūt summu 0? 9. klase 35.6. Izliektā četrstūrī ABCD malas BC u AD ir paralēlas. Ir ziāms, ka uz četrstūra malām u tā diagoālēm var izvēlēties virzieus (pārvēršot malas u diagoāles par vektoriem) tā, ka iegūto 6 vektoru summa ir 0 r. Kāda var būt malu BC u AD garumu attiecība? 35.7. Fukcija f ( x) defiēta visām reālām x vērtībām. Ziāms, ka ( ) = 0 x u y ir spēkā vieādība f ( x) f ( y) = x y. f u visiem Noteikt fukciju f ( x). (Mēģiiet atrast visas iespējas u pierādīt, ka citu bez atrastajām av.) 2
35.8. Kvadrāts sagriezts 5 taisstūros, kā parādīts 35.3. zīmējumā. Ziāms, ka to četru taisstūru laukumi, kas piekļaujas kvadrāta malām, ir vieādi. Pierādīt, ka iekšējais taisstūris ir kvadrāts. 35.3. zīm. 35.9. Uz tāfeles uzrakstīja visus aturālos skaitļus o līdz, katru vieu reizi. Pēc tam vieu odzēsa. Atlikušo skaitļu vidējais aritmētiskais ir odzēsa? 602. Kādu skaitli 7 35.0. Ap galdu sēž matemātiķi Z, A u B. Matemātiķis Z saka: Es esmu iedomājies divus aturālus skaitļus (varbūt vieādus). To summa ir (iečukst ausī matemātiķim A), bet to kvadrātu summa ir (iečukst ausī matemātiķim B). Pēc tam starp B u A otiek šāda sarua. B: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. A: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. B: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. A: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. B: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. A: Es eziu u evaru ziāt iedomātos skaitļus. B: Tagad es ziu iedomātos skaitļus. Kādus skaitļus Z iedomājies? (Visi saruā izdarītie apgalvojumi ir patiesi.) 0. klase 35.. Atrisiāt vieādojumu si 4 4 x + cos x =. 35.2. Kāds mazākais skaits kuba šķautņu jāpārgriež, lai pa atlikušajām šķautēm e o vieas virsotes evarētu aiziet uz pretējo virsoti? 3
35.3. Istabā atrodas 0 cilvēki. Vai var gadīties, ka viņiem ir šāds paziņu skaits šajā istabā: a) 9; 9; 9; 8; 8; 8; 7; 6; 4; 3; b) 9; 9; 9; 8; 8; 8; 7; 6; 4; 4? 35.4. Dota trijstūra piramīda u pukts M tās iekšpusē. Pierādīt, ka uz piramīdas šķautēm var izvēlēties 4 puktus tā, lai tie būtu tāda izliekta četrstūra virsotes, kura diagoāles krustojas puktā M. Cik dažādos veidos var izvēlēties šos puktus? 35.5. Fukcija f ( x) defiēta veselām pozitīvām x vērtībām, u tās vērtības arī ir veseli pozitīvi skaitļi. Ziāms, ka vielaikus ir spēkā šādas trīs īpašības: ) f ( ) < f ( 2) < f ( 3) < L < f ( ) < f ( + ) < L, t.i., fukcija ( x) 2) f ( 985 ) = 985 ; f ir stigri augoša; 3) ja veseliem pozitīviem skaitļiem m u k lielākais kopīgais dalītājs ir, tad f Aprēķiāt ( m k) = f ( m) f ( k ). a) f ( 000) ; b) f ( 3599) ; c) f ( ) patvaļīgam pozitīvam.. klase 35.6. Pierādīt, ka log 0 ir iracioāls skaitlis. 35.7. a) Pierādīt, ka taisleņķa trijstūrī ar leņķiem α, β u γ, ievilktās riņķa līijas rādiusu r u apvilktās riņķa līijas rādiusu R, pastāv sakarība r cosα + cos β + cosγ = +. R b) Vai taisība, ka šāda sakarība pastāv patvaļīgā trijstūrī? 35.8. a) Atrast kaut vai vieu daudzskaldi M ar šādu īpašību: lai kuru M skaldi izvēlētos, visiem M šķēlumiem ar plakēm, kas paralēlas šai skaldei, ir vies u tas pats perimetrs. b) Atrast divas šādus daudzskaldņus ar dažādu skaldņu skaitu. 35.9. Doti 5 reāli skaitļi. Pierādīt, ka o tiem var izvēlēties divus u x u y tā, lai būtu spēkā evieādība 4
x y 0 < <. + xy 35.20. Dots, ka A, B u C ir aturāli skaitļi, kas epārsiedz 00. Pierādīt, ka var atrast tādus veselus skaitļus a, b u c, kas visi reizē av 0, ka aa + bb + cc = 0. Turklāt jābūt spēkā evieādībām a 8, b 8, c 8. PAPILDSACENSĪBAS PAR VIETU REPUBLIKAS IZLASĒ 8. u 9. klases 35.2. Dots, ka a u b ir racioāli skaitļi, pie tam a 0. Pierādīt, ka var atrast tādus četrus racioālus skaitļus (starp tiem var būt arī vieādi), kuru summa ir a, bet reiziājums ir b. 35.22. Cik kvadrātos var sagriezt kvadrātu? 35.23. Pierādīt, ka katru aturālu skaitli, kas lielāks par 7, var izsacīt kā triju tādu aturālu skaitļu summu, o kuriem katriem diviem lielākais kopīgais dalītājs ir. 35.24. Izliektā piecstūrī ABCDE apzīmējam ar A, B, C, D, E attiecīgi diagoāļu EB, AC, BD, CE, DA viduspuktus. Dots, ka taises AA, BB, CC, DD krustojas puktā O. Pierādīt, ka arī taise EE iet caur puktu O. 35.25. Fukcijas f ( x) argumeta x vērtības var būt aturāli skaitļi ; 2; 3;, bet f ( x) vērtības ir eegatīvi veseli skaitļi. Dots, ka f ( 2 ) = 0, f ( 3) > 0, f ( 9999) = 3333. Bez tam dots, ka katriem diviem aturāliem skaitļiem m u (varbūt m = ) izteiksmes f ( m + ) f ( ) f ( m) vērtība ir 0 vai. Aprēķiāt f ( 985). 0. klase 35.26. Regulārs trijstūris S pilīgi pārklāts ar pieciem mazākiem vieādiem regulāriem trijstūriem (mazie trijstūri varbūt pārsedz arī kādu plakes daļu ārpus S). Pierādīt, ka S var pārklāt ar četriem tāda paša izmēra regulāriem trijstūriem. 5
35.27. Skaitļu virki ( x ) veido šādi: a) x = ; b) ja k, tad k + x ir skaitļa 985 xk ciparu summu. Pierādīt, ka, sākot o kādas vietas, virke ( x ) kļūst periodiska. 35.28. Trīs vieādas riņķa līijas krustojas viea puktā O. Trijstūra ABC malas katra pieskaras divām riņķa līijām (35.4. zīm.). Pierādīt, ka trijstūrī ABC ievilktās riņķa līijas cetrs, trijstūrim ABC apvilktās riņķa līijas cetrs u pukts O atrodas uz vieas taises. B A O C 35.4. zīm. 35.29. Trīs draugi opirkuši torti. Katram o viņiem ir savs ieskats par dažādu tortes daļu vērtību; domas ir tik dažādas, ka izsacīt atsevišķu daļu vērtību ar vieotu kritēriju, piemēram, audā, av iespējams. Kā viņiem sadalīt torti, lai katrs uzskatītu, ka evies cits av saņēmis vērtīgāku daļu ekā viņš? 35.30. Dots, ka p, q u r ir pozitīvi skaitļi u p + q + r =. Pierādīt evieādību 5 5 5 5 5 5 ( p ) + ( q ) + ( r ) > 2.. klase 35.3. Kā piešķirt skaitļiem x ; x2; x3; K ; x985 vērtības ; 2; 3; ; 985 (katram skaitlim citu vērtību) tā, lai izteiksmes x x2 + x2x3 + x3x4 + L + x984 x985 + x985 x vērtība būtu lielākā iespējamā? 35.32. Pierādīt, ka eksistē 985 pēc kārtas ņemti aturāli skaitļi, o kuriem evies av aturāla skaitļa pakāpe, augstāka par pirmo. 6
35.33. Ziedu pilsētā ir 25 dārziņi; tie ir kvadrāti ar izmēriem u kopā veido lielu kvadrātu ar izmēriem 5 5. Dārziņi jāpiešķir 25 rūķīšiem. Katrs o viņiem sastrīdējušies ar e vairāk kā trim. Pierādīt, ka dārziņus var piešķirt tā, lai ekādiem diviem rūķīšiem, kas sastrīdējušies, ebūtu piešķirti dārziņi ar kopēju malu. 35.34. Sfērā, kuras rādiuss ir, ievilkta trijstūra piramīda; sfēras cetrs atrodas piramīdas iekšpusē. Pierādīt, ka piramīdas šķautņu garumu summa ir lielāka par 6. 35.35. Skaitļu virki ( x ) veido pēc likuma a) šī virke ir eierobežota; b) x 000 > 44 ; x c) lim = 2. x x = +. Pierādīt, ka x ; x = x + 7