Curs mine. ezolvarea circuitelor de curent continuu Metoda teoremelor lui Kirhhoff Se numeşte circuit electric, un ansamblu de surse de tensiune electromotoare şi receptoare, cu legătură conductoare între ele. lementele unui circuit de curent continuu sunt sursele de energie şi rezistoarele electrice. Mărimile care intervin sunt: tensiunea electromotoare (, căderea de tensiune sau tensiunea electrică (U, intensitatea curentului electric (, şi puterea electrică (P. ezistoarele sunt caracterizate prin parametrul, numit rezistenńă electrică. Structura circuitelor se caracterizează prin: ramuri (sau laturi, noduri şi ochiuri (sau bucle. În figura. este reprezentat un circuit care conńine surse ( şi 6 şi rezistoare (,,,, şi 6. Se numeşte latură (sau ramură a unui circuit o porńiune neramificată a sa, de exemplu latura AB, latura BD, etc. Numărul de laturi ale unui circuit se notează cu L. În cazul figurii., L = 6. Se numeşte nod, punctul de intersecńie a cel puńin trei laturi ale circuitului. În figura. nodurile sunt A, B, C şi D. Numărul de noduri ale unui circuit se notează cu N, în figura. avem N =. Se numeşte buclă (ochi a unui circuit, un traseu conductor închis în acel circuit. Numărul de bucle independente ( ochi de plasă, ale unui circuit se Fig.. noteză cu litera B. În figura. pot fi ochiuri următoarele trasee: ABDA, DBCD, ADCA, etc. Teorema a lui Kirchhoff se referă la un nod al unei reńele electrice, şi are următorul enunń: Suma algebrică a intensităńilor curenńilor din cele n laturi care converg într-un nod al unui circuit de curent continuu, este nulă: n ± = = 0 Ca semn al curenńilor se poate considera, de exemplu, semnul plus pentru curenńii care pleacă din nod şi semnul minus pentru curenńii care intră în nod. Teorema a -a a lui Kirchhoff se referă la un ochi de reńea, şi are următorul enunń: Suma algebrică a tensiunilor electromotoare a surselor din cele N laturi ale unui ochi de reńea, este egală cu suma algebrică a produselor dintre rezistenńa totală a fiecărei laturi şi curentul care parcurge latura respectivă. N = ± = N = ± Practic calculul curenńilor într-o reńea se procedează după cum urmează: a Se stabileşte numărul de noduri n şi numărul de laturi l ale reńelei. Se calculează numărul de ochiuri sau bucle fundamentale cu relańia: b = l n +. b Se atribuie în mod arbitrar un sens fiecărui curent din laturile reńelei; se marchează aceste sensuri prin săgeńi. c Se aleg ochiurile independente şi sensul de referinńă (sau de parcurgere în fiecare ochi, care se marchează printr-o săgeată. d Se scrie prima teoremă a lui Kirchhoff pentru n- noduri ale reńelei. e Se scrie a doua teoremă a lui Kirchhoff pentru ochiurile findamentale alese. f Se rezolvă sistemul de ecuańii obńinut. CurenŃii care rezultă din calcul, cu semnul plus (pozitivi circulă în latură în acelaşi sens cu sensul ales la început, în etapa b. CurenŃii care rezultă din calcul negativi (cu semnul minus, circulă în latura corespunzătoare, în sens contrar celui ales inińial.
7 7 0 8 8 6 Circuitul are noduri (n =, şi bucle independente ( care nu se suprapun (b = şi 8 laturi (l = 8. Se verifică că: l = b+n-. 6 V Se scriu teoremele lui Kirchhoff, pentru n = noduri, şi pentru cele bucle independente, rezultând sistemul de ecuańii: - nod : 7 = 0 - nod : + + 8 = 0 - nod : - - - = 0 - nod : + 6 = 0 - bucla : 7 7 8 8 = - bucla : + 6 6 + 7 7 = - bucla : - + + 8 8 = - + - bucla V: - + + 6 6 = = 80 V, = 60 V, = 0 V, = 0 V, = 6 V, = 0 Ω, = Ω, = 0 Ω, = Ω, = Ω, 6 = 0 Ω, 7 = 0 Ω, 8 = 0 Ω. Înlocuind în sistem valorile corespunzătoare coeficienńilor, şi rezolvând sistemul, în care curenńii din laturi sunt neconoscute, prin metoda substituńiei sau folosindu-ne de programul MathCad, se obńin soluńiile: = A, = A, = A, = A, = - A, 6 = A, 7 = A, şi 8 = - A. Sensurile reale ale curenńilor şi 8 sunt inverse, iar sursa de tensiune lucrează în regim de receptor. Metoda curenńilor ciclici În cadrul acestei metode se lucrează cu un număr de b necunoscute, curenńi fictivi, numińi de contur, asociańi câte unul pentru fiecare buclă. Cu alte cuvinte numărul de ecuańii este egal cu numărul de ochiuri (bucle independente. În ecuańiile date de teorema a doua a lui Kirchhoff, se inlocuiesc curenńii din laturi cu curenńii de contur (curentul dintr-o latură reprezintă suma algebrică a curenńilor de contur respectivi şi se obńine un sistem cu b ecuańii şi b necunoscute, de forma: c + c + + b cb = c ( c + c + + b cb = c : : : : : : : b c + b c + + bb cb = cb Metoda curenńilor ciclici constă în scrierea ecuańiilor curenńilor de contur, în rezolvarea acestui sistem de ecuańii (a cărui număr de ecuańii este egal cu numărul de necunoscute şi egal cu numărul de bucle independente şi în calculul curenńilor din laturi în funcńie de curenńii de contur, astfel: a se stabilesc curenńii de contur şi sensurile lor de referinńă, care coincid cu sensurile de parcurgere ale buclelor respective : c, c, c,, cb. b se formează sistemul de ecuańii în care: este rezistenńa proprie a buclei, adică suma rezistenńelor aflate pe laturile buclei respective; v este rezistenńa aflată pe latura comună buclei şi v. Dacă sensurile pozitive ale curenńilor ciclici c şi cv coincid în ramura comună atunci în sistem v are semnul plus, în caz contrar are semnul minus.
c este suma tensiunilor electromotoare din bucla independentă, exprimată fańă de sensul de referinńă al curentului de contur c al buclei. c se rezolvă sistemul de ecuańii (, în care necunoscutele sunt curenńii de contur (ciclici c. d se suprapun în fiecare latură curenńii de contur pentru a obńine curentul real al laturii respective. Ca şi aplicańie se consideră problema prezentată la secńiunea pecedentă, a cărei date ni le reamintim: Să se afle curenńii din laturile circuitului reprezentat în figura.9, în care : = 80 V, = 60 V, = 0 V, = 0 V, = 6 V, = 0 Ω, = Ω, = 0 Ω, = Ω, = Ω, 6 = 0 Ω, 7 = 0 Ω, 8 = 0 Ω. ezolvare: Deoarece circuitul are 8 laturi şi noduri, rezultă că numărul buclelor independente este de, conform relańiei lui uller, deci vom avea curenńi ciclici c, c, c, c, câte unul pentru fiecare buclă independentă, pe care îi notăm pe figură, ei parcurgând bucla corespunzătoare în sensul arbitrar, stabilit pe figură, astfel: c străbate pe,, 8, 7 c străbate pe,, 7, 6 c străbate pe,,,, 8 c străbate pe,,,, 6 Următoarea etapă constă în scrierea sistemului de ecuańii pentru determinarea curenńilor ciclici pentru circuitul de fańă, fiind format din patru ecuańii cu patru necunoscute: c + c + c + c = c c + c + c + c = c c + c + c + c = c c 7 7 8 8 6 c c 6 c Fig..9 c + c + c + c = c Unde coeficienńii sunt: = + 7 + 8 = 60 Ω - reprezintă suma rezistenńelor ochiului = + 6 + 7 = Ω - reprezintă suma rezistenńelor ochiului = + + 8 = 0 Ω - reprezintă suma rezistenńelor ochiului = + + 6 = Ω - reprezintă suma rezistenńelor ochiului = = - 7 = -0 Ω, s-a luat cu minus deoarece prin 7 curenńii c şi c au sensuri contrare = = - 8 = -0 Ω; = = 6 = 0 Ω; = = = Ω; = = = = 0 deoarece ohiurile şi, respectiv şi nu au laturi comune. c = = 80 V; c = = 0 V; c = - + = - 9 V; c = = V; Înlocuind valorile obńinute se obńine: 60 c - 0 c - 0 c = 80-0 c + c + 0 c = 0-0 c + 0 c + c = - 9
0 c + c + c = În urma rezolvării sistemului se obńin soluńiile: c = A; c = A; c = - A; c = - A.; după care se deduc curenńii reali prin aplicarea teoremei supranunerii efectelor, ońinându-se: = c = A; = - c = A; = - c = A; = c = A; = c + c = -A; 6 = c + c = A; 7 = c c = A; 8 = c c = -A. Metoda potenńialelor nodale V V V V 7 0 8 Fig..0 V V V V 6 V V V V Pentru studiul circuitelor prin metoda potenńialelor nodale considerăm exemplul anterior,cu aceleaşi date, parcurgând următoarele etape: - se alege un nod de referinńă simbolizat prin legare la pământ a cărui potenńial se consideră nul, iar restul nodurilor se numerotează; aici se observă că cel mai convenabil este nodul 0.- se introduc potenńialele nodurilor în raport cu nodul de referinńă V, V, V, V acestea fiind potenńialele nodale şi reprezintă necunoscutele sistemului. Pentru determinarea potenńialelor nodale trebuie alcătuit şi rezolvat sistemul următor de ecuańii: G V G V - - G n V n = G( -G V + G V - - G n V n = G(. -G n V G n V - + G nn V n = G(n Fiecare ecuańie corespunde unui nod. În general nr. de ecuańii n = p, unde p este numărul de noduri ale circuitului.se observă că diagonala principală a matricei sistemului, alcătuită din coeficienńii necunoscutelor, este pozitivă, iar restul termenilor sunt negativi. 7 G = + + = S reprezintă conductanńa totală a laturilor legate la nodul (, sau suma 60 7 conductanńelor laturilor legate la nodul (. G = + + = S suma conductanńelor laturilor legate la nodul (. 8 60 G = + + = S suma conductanńelor laturilor legate la nodul (. 0
7 G = + + = S suma conductanńelor laturilor legate la nodul (. 6 60 G = G = = S suma conductanńelor laturilor care leagă direct nodul ( cu nodul (. 0 G = G = = S suma conductanńelor laturilor care leagă direct nodul ( cu nodul (. G = G = = S suma conductanńelor laturilor care leagă direct nodul ( cu nodul (. G = G = = S suma conductanńelor laturilor care leagă direct nodul ( cu nodul (. 0 G = G = G = G =0 deoarece între nodurile şi respectiv şi nu există legătură directă În membrul drept al ecuańiilor apar sume ale produselor G, pentru laturile care se întâlnesc în modul a cărui ecuańie se scrie. Aceste sume se pot scrie şi ca sume de rapoarte între tensiunea electromotoare şi rezistenńa a laturii respective. Aceste rapoarte sunt de fapt curenńii de scurtcircuit ai laturilor şi anume dacă latura ( o deconectăm din schemă şi o punem în scurtcircuit atunci curentul prin această latură va fi: / = G. G pentru nodul ( reprezintă suma algebrică a curenńilor de scurtcircuit ai laturilor ce se întâlnesc în nodul (. În acestă sumă, termenii laturilor pentru care sursele sunt orientate cu borna pozitivă spre nod sunt pozitivi, iar ceilalńi sunt negativi; prin urmare avem: G( = =8; G( = 76 + = ; G( = 6 G( = = ; Înlocuind valorile obńinute mai înainte, se obńine sistemul: 7 V V V = 8 60 0 76 V + V V = 0 60 76 V + V V = 0 0 7 6 V V + V = 0 60 În urma rezolvării acestui sistem, se obńin următoarele soluńii: V = 0 V; V = 0 V; V = -80 V; V = -60 V. Se determină curenńii din fiecare latură, aplicând legea lui Ohm, astfel: + (V V - pentru latura avem: + (V V = => = = A; + (V V - pentru latura avem: - (V V = - => = = A; (V V - pentru latura avem: - (V V = => = = A. + (V V - pentru latura avem: + (V V = => = = A; + V - pentru latura avem: + V = => = = - A 76 = ;
V - pentru latura 6 avem: V = - 6 6 => 6 = 6 = A; - pentru latura 7 avem: V = 7 7 => 7 = 7 V - pentru latura 8 avem: V = - 8 8 => 8 = V = A; 8 = - A;