1 Orkuumbreyting milli raforku og hreyfiorku Electromechanical energy conversion principles
Umbreyting milli raforku og hreyfiorku Umbreytingin getur almennt gengið í hvora áttina sem er: Umbreyting úr hreyfimerki með línulegri hreyfingu í rafrænt merki á sér stað t.d. í mælibreytum (transducers). Dæmi er hátalarar, míkrófónar, skynjarar Línuleg umbreyting úr rafrænu merki í hreyfimerki á sér stað í liðum og rafseglum Rafalar og mótorar er dæmi um samfellda umbreytingu oftast með snúningshreyfingu t = t 1 Raforka etitdt ()() λ λ 1 idλ t = t 1 Hreyfiorka f () tvtdt () x x 1 fdx Rafalar: Umbreyta hreyfiorku í raforku Hreyflar (mótorar): Umbreyta raforku í hreyfiorku Raforka Raforka rafali mótor Hreyfiorka Hreyfiorka
Orkuumbreyting kraftur er verkar á 3 hleðslu er hreyfist í segulsviði Skoðum nú grundvöll kraftáhrifa: Lorenz kraftur F á hleðslu hegðar sér samkvæmt jöfnu, þar sem hleðslan q fer með hraða v í sviði B og E. F mælist í Newton, B ítesla, q í coulomb og E í volt/m Höfum mestan áhuga á hreinu segulsviði hér: F er alltaf hornréttur á planið sem vektorarnir v og B mynda. Stærðin áf ræðst af horninu α á milli v og B, þ.e. F = q( E+ v B) í hreinu rafsviði: F = qe í hreinu segulsviði: F = q( v B) F = q v B sinα...í planinu sem vektorarnir v og B mynda
4 Orkuumbreyting og krafverkun Við getum einnig skilgreint hleðsluþéttleika, ρ, þ.e. hleðslu á rúmmálseiningu (C/m 3 ) og fæst þá kraftur á rúmmálseiningu F v (N/m 3 ). Unnt er að skilgreina straumþéttleika ( (C/(s m )) = A/m ) á flatarseiningu sem margfeldi hleðsluþéttleika (C/m 3 ) og hraða (m/s) og er krafturinn áfram á rúmmálseiningu, F v. (N/m 3 ). Kraftur á lengdareiningu á leiðara er leiðir rafstraum (F l ) (N/m) fæst með því að margfalda með þverskurðarflatarmáli leiðarans, A (m ) Heildarkraftur (N) fæst með því að margfalda með lengd leiðarans, l (m) Stærð kraftsins miðast við hornið, α, á milli vektoranna I og B Þessar jöfnur má nota í einfaldri rafmagnsvél (mótor) sem einingu þar sem rafafl fer inn öðru megin (e i) og hreyfiafl kemur út hinum megin (f x) sbr næstu mynd Fv = ρ( E+ v B) J = ρv Fv = J B Fl = I B F = l F = l I B F l = l I B sinα I = JA F l = Fv A
5 Sýnidæmi 3.1 kennslubók, bls 114 Fv = J B F = li B Gefið er B-svið, B=, T, I= 1 A Gefið R=,5 m, l=,3 m Finnið vægið á rafmagnsvélina sem fall af α. Munum að vægi er sama sem kraftur sinnum armur Kraftur: = IBl Armur = Rsinα T1 = IBlRsinα T = IBlRsinα FR sinα = IB Rl sinα T = heildarvægi = T T = IB Rlsinα = (1)(,)(,5)(,3)sinα =,6sinα Ath. að hornið milli I og B vektoranna er 9 gráður og sínus af því er 1 (ekki sama og sin α í þessu dæmi)
6 Rafafl og hreyfiafl í segulrás Lögmálið um viðhald orkunnar (aflsins): Orka frá rafkerfi = Aukning í sviðsorku + hreyfiorka út eða Afl frá rafkerfi = Aukning í sviðsorku á tímaeiningu + hreyfiafl út Einfalt rafsegulkerfi með hreyfingu: Orkujafnvægi fyrir eitthvert rafsegulkerfi sem umbreytir raforku í hreyfiorku er þá þannig: Rafsegulorka inn = Hreyfiorka út Aukin + orka í segulsviði + Orkutöp
7 Kraftáhrif segulsviðs Skoðum orkujafnvægi fyrir eitthvert rafsegulkerfi sem umbreytir raforku í hreyfiorku: Rafsegulorka inn = Hreyfiorka út Aukin + orka í segulsviði + Orkutöp dw = dw + dw + dw e m f töp
8 Tapalaust rafsegulkerfi Orkujafnvægi fyrir rafsegulkerfi sem umbreytir raforku í hreyfiorku án orkutapa: Orkuinnihaldið í sviðinu í loftbili milli hins hreyfanlega hluta vélar og fasts hluta er n.k. orkumiðill er flytur orku á milli og geymir í skamman tíma.. dw = dw + dw e m f Raforka inn í rafsegulkerfið Aukið orkuinnhald í segulsviði kerfisins Hreyfiorka út úr kerfinu
9 Rafafl og hreyfiafl í segulrás Ef engin töp eru fæst: Rafsegulorka inn = Hreyfiorka út dw = dw + dw e m + Aukin orka í segulsviði Lítum því á segulrás sem getur verið hreyfanleg, þ.e. breytileg í rúmi samkvæmt mynd og háð t.d. breytunni x Aflið dw e /dt sem fer inn í segulrásina frá rafkerfinu t.v. á myndinni er ei Aukning á sviðsorku á tímaeiningu er Hreyfiafl út er dw dt Ef engin töp eru fæst: m = f dx dt dw = dw + dw e m dw ei dx = f + dt dw dt dw dt = ei f dx dt
1 Raforkuflæði inn í kerfið et () it () Rafsegulkerfi Raforkuflæði inn í rafsegulkerfið dwe dwm dw= P dt= it () etdt () = () itdλ e e e = dλ dt dw = idλ f dx
11 Orka í breytilegri línulegri segulrás Lítum aftur á segulrás sem getur verið hreyfanleg, þ.e. breytileg í rúmi samkvæmt mynd og háð t.d. breytunni x Almennt er orka í segulrás aðallega geymd í loftbilinu og að einhverju (litlu) leyti í kjarnanum. Orkuþéttleiki er margfaldur í loftbilinu ávið kjarnann, þar sem μ r er margfalt stærra í kjarna og eftirfarandi jafna gildir Ef rásin er línuleg má skrifa flúxvafningana sem fall af x og i, samkvæmt jöfnunni. Fallið er línulegt í straumnum, i, og við fáum beinar línur í λ-i línuriti eina línu fyrir hvert gildi á x w 1 1 = μμ r λ = λ L( x) B i i
Orka í breytilegri 1 línulegri segulrás () Nú má líta á λ og x sem nokkurs konar ástandsbreytur sem ákvarða einhliða gildið á orku sem geymd er í segulrásinni, W (λ,x) Ekki skiptir máli hvaða leið er farin í λ, x línuriti (t.d. nr 1 eða á mynd) þar sem niðurstaðan er sú sama, orkan er fall af λ og x Á leið a á mynd er λ = og dλ = og þar með f = þar sem enginn kraftur er þar sem ekkert segulsvið λ er. Þess vegna dugar að heilda jöfnuna efst fyrir leið b og fæst þá: Fyrir línulegt kerfi þar sem λ=l(x) i fæst: Í ólínulegu kerfi verður heildin aðeins annars eðlis og lítið eitt flóknari (sjá síðar) dw = idλ f dx W ( λ, x) = i( λ, x) dλ λ λ' 1 λ 1 W ( λ, x) = dλ' = = L( x) i Lx ( ) Lx ( ) λ
Orka í breytilegri 13 línulegri segulrás (3) Auk jöfnunnar hér til hliðar er vert að hafa til samanburðar aðrar jöfnur sem lýsa orkuinnhaldi tiltekins rúmtaks út frá orkuþéttleika. Þá fæst eftirfarandi jafna úr rafsegulfræði W (, x ) i(, x ) d W λ λ = λ λ ( B ) V H db = dv Þar sem B = μ H fæst einnig eftirfarandi jafna W B = dv V μ
14 Sýnidæmi 3. bls 11 Reikna skal orku í þessu kerfi sem fall af x, <x<d h>>g, N=1 snún., g= mm, d=,15 m, l=,1 m, i=1 A
15 Sýnidæmi 3. bls 11 () Reikna skal orku í þessu kerfi sem fall af x, <x<d h>>g, N=1 snún., g= mm, d=,15 m, l=,1 m, i=1 A 1 μ A gap W ( λ, x) = L( x) i L = N g x Agap = l( d x) = ld(1 ) d Lx ( ) W x μ ld(1 ) = N d g x (1 ) 1 μ ld W d = N i g 7 x 4 1 (,1)(,15)(1 ) 1 π 1 d 1 x = = 36(1 ) (,) d
Orka í breytilegri 16 línulegri segulrás (4) Eins og áður er rakið, gildir jafna um orkujafnvægi tapalausrar segulrásar er tengir breytingu á orkuinnhaldi við tilfærslu dx einhvers hluta rásarinnar og breytt segulflæði dλ Þar sem orkan í sviðinu er fall af λ og x, má einnig skrifa hliðstæða almenna jöfnu Á samanburði á þessum jöfnum sjást eftirfarandi tengsl: W W W i = f λ = x ( λ, x) þar sem þ.e. fall af x og λ. Táknin þýða, að við verðum að halda x og λ föstu meðan hlutdiffrunin er tekin Unnt er að reikna út krafta í stillanlegri segulrás með notkun á ofangreindum jöfnum x λ dw = idλ f dx W W dw = dλ + dx λ x
Orka í breytilegri 17 línulegri segulrás (5) Í línulegri segulrás með línulegri hreyfingu, x gildir λ=l(x) i Með notkun á fyrri jöfnu, fæst eftirfarandi niðurstaða um segulrás með breytilegu spani Einnig er unnt að tákna kraftinn sem fall af spani, L og straumi, i með notkun λ=l(x) i λ λ ' 1 λ W ( λ, x) = dλ' = L( x) L( x) f f W dl x = = x ( ) dx i dl( x) == dx 1 λ ( ) ( Lx) Hér að framan var miðað við línulega hreyfingu, x. Unnt er í staðinn að miða við snúningshreyfingu θ. Þá fást niðurstöðurnar á næstu skyggnu
Orka í línulegri segulrás með 18 snúningshreyfingu Í línulegri segulrás með snúningshreyfingu, θ gildir eftirfarandi samband um litlar breytingar Einnig gildir Því fæst eftirfarandi jafna um vægi írás með snúningshreyfingu Fyrir línuleg kerfi með snúningshreyfingu gildir jafna ef um snúningshreyfinguna gildir sambandið: λ=l(θ) i T dw ( λ, θ) = idλ T dθ W W dw = dλ + dθ λ θ T W = ( λ, θ ) θ W dl = = θ ( ) dθ λ 1 λ ( θ ) ( L θ ) Einnig er unnt að tákna vægið sem fall af spani, L og straumi, i með notkun λ=l(θ) i T i dl( θ ) = dθ
19 Dæmi 1.5 FKU Gefin er rásin á meðfylgjandi mynd Gefin er jafna fyrir segullekt, μ sem fall af B m. Teikna skal með Matlab upp B m sem fall af H m á bilinu B m. Tesla Þá fæst eftirfarandi Matlab forrit: μ = μ 1+ A c l c = = 1.8 1 m.6 m g = 3499 ( B ) 1+.47 m 3 3.3 1 m 7.8 bm=:.1:.; mu=4e-7*pi; mu=mu.*(1+3499./sqrt(1+.47.*bm.^(7.8))); hm=bm./mu; plot(hm,bm) grid on title(' Dæmi 1.5a FKU ') xlabel('h_m') ylabel('b_m') print -deps daemi1_5a.eps N=83; g=.3e-3; lc=.6; Ac=1.8e-3; lambda=n*ac*bm; i=(lc*bm./(n*mu))+(bm*g/(n*mu)) plot(i,lambda) grid on title(' Dæmi 1.5c FKU ') xlabel('current (A)') ylabel('flux Linkage, Lambda') print -deps daemi1_5c.eps
Dæmi 1.5 FKU () Einnig skal teikna upp flúxvafninga, λ sem fall af straumi, i fyrir rásina. Við fáum eftirfarandi jöfnur: Þá fæst seinni hluti Matlab forrits og myndir Bm Bm Ni = Hclc + H gg = lc + g μ( Bm ) μ Bl m c Bm i = + g Nμ( B ) Nμ m Nú er φ m = ABm og λ = Nφm eða ( B ) λ = m NAB m