EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións Ds seguintes cuterns ( ) ( ) e ( ) indic s que son solucións d ecución linel + + Indic se o seguinte conunto de vlores ( ) ( ) é solución dlgún dos sistems seguintes: ) b) + + Epres en form mtricil e vectoril o sistem Escribe en form de conunto de ecucións e en form mtricil o sistem: + Trnsform os sistems seguintes en sistems equivlentes con dús ecucións: ) b) c) d) Trnsform cd un dos seguintes sistems nun sistem equivlente grdudo clsifícos e no seu cso resólveos 9 ) b) c) d) 9 Estud e resolve os seguintes sistems de ecucións lineis homoéneos: ) b) c) d)
Estud e resolve os sistems: ) b) c) d) Discute e se é posible resolve os sistems seguintes: ) b) c) d) t t Discute segundo os vlores de o seguinte sistem: Un hipermercdo inici unh cmpñ de oferts N primeir dels descont un % nun produto A un % no produto B e un % no produto C Ás dús semns pon en mrch segund ofert descontndo un % sobre o preo inicil de A un % sobre o preo inicil de B e un % sobre o preo inicil de C Se un cliente compr durnte primeir ofert un produto A dous B e tres C forr euros respecto do preo inicil; se compr tres produtos A un B e cinco C n segund ofert o forro é de 9 euros Se compr un produto A un B e un C sen ningún tipo de desconto debe bor euros Clcul o preo de cd produto ntes ds oferts Atop tres números A B e C tles que sú sum se metde d sum do primeiro e do último máis curt prte do outro se 9 e medi dos dous últimos se Resolve o sistem mtricil X Y A sendo A X Y B e B
EXERCICIOS AUTOAVALIABLES: SISTEMAS DE ECUACIÓNS LINEAIS (SOLUCIONARIO) Dds s ecucións seguintes indic s que son lineis: ) + + b) + u c) + d) + As ecucións b) e c) son lineis e s ecucións ) e d) son non lineis Dd ecución linel + comprob que s terns ( ) e ( ) son lgunhs ds sús solucións Substitúense s terns n ecución pr comprobr que cumpren iguldde + ( ) é solución ( ) ( ) + ( ) é solución Ds seguintes cuterns ( ) ( ) e ( ) indic s que son solucións d ecución linel + + Substitúense s cuterns n ecución pr comprobr se cumpren ou non iguldde + + ( ) é solución + ( ) ( ) + ( ) non é solución () + + ( ) ( ) non é solución Indic se o seguinte conunto de vlores ( ) ( ) é solución dlgún dos sistems seguintes: ) b) + + ) A tern ( ) non cumpre segund ecución do sistem polo tnto non é solución b) + + Os termos independentes son combinción linel dos coeficientes medinte tern de vlores ( ) polo tnto é solución
Epres en form mtricil e vectoril o sistem Form mtricil: Form vectoril: + + Escribe en form de conunto de ecucións e en form mtricil o sistem: + Conunto de ecucións: Form mtricil: Trnsform os sistems seguintes en sistems equivlentes con dús ecucións: ) b) c) d) ) A terceir ecución obtense o sumr opost d primeir co segund polo que o sistem ddo é equivlente o seguinte: b) A terceir ecución é sum d primeir e segund polo que o sistem ddo é equivlente o seguinte: c) A terceir ecución é primeir máis segund por menos dous polo que o sistem ddo é equivlente o seguinte: d) A terceir ecución é primeir menos segund polo que o sistem ddo é equivlente o seguinte:
Trnsform cd un dos seguintes sistems nun sistem equivlente grdudo clsifícos e no seu cso resólveos ) b) 9 c) d) ) Utilindo notción mtricil os psos serín: Est é mtri socid o sistem grdudo: Empése resolvendo terceir ecución clquer vlor de cumpre ecución polo que ten infinits solucións que serán s infinits solucións do sistem; trátse dun sistem comptible indetermindo O sistem que result é: Tómse como prámetro λ e substitúese n segund ecución: + λ Substitúense os vlores nteriores n primeir ecución: + λ + λ + λ λ + λ A solución será: ( ) ( + λ + λ λ) Trátse dun sistem comptible indetermindo uniprmétrico b) Utilindo notción mtricil os psos serín: 9 9 Est é mtri socid o sistem grdudo: A terceir ecución non ten solución; clquer número multiplicdo por cero é cero Trátse dun sistem incomptible c) Utilindo notción mtricil os psos serín: ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF + ªF ªF + ªF ªF ªF
Est é mtri socid o sistem grdudo: A terceir ecución ten unh solución O sistem é comptible determindo D terceir ecución: Substitúese n segund ecución: ( ) + Substitúese n primeir ecución: + ( ) + + + A solución do sistem será: ( ) ( ) d) Utilindo notción mtricil os psos serín: Est é mtri mplid socid o sistem: A terceir ecución ten infinits solucións O sistem é comptible indetermindo O número de prámetros vén ddo pol diferen entre o número de incógnits menos o de ecucións; neste cso é un sistem biprmétrico Fise λ μ e substitúese n primeir ecución: λ μ + λ +μ A solución do sistem será: ( ) (λ μ λ + μ) 9 Estud e resolve os seguintes sistems de ecucións lineis homoéneos: ) b) c) d) Os sistems lineis homoéneos sempre teñen solución é dicir son comptibles Estúdnse e resólvense no seu cso polo método de Guss ) Mtri mplid: Est é mtri mplid socid o sistem: A terceir ecución ten solución únic O sistem é comptible determindo Solución trivil: ( ) ( ) ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF + ªF ªF ªF
b) Mtri mplid: Est é mtri mplid socid o sistem: A terceir ecución ten infinits solucións O sistem é comptible indetermindo Fise λ Substitúese n segund ecución: λ λ Substitúese n primeir ecución: λ λ λ A solución do sistem será: ( ) (λ λ λ) c) Mtri mplid: Est é mtri mplid socid o sistem: A segund ecución ten dús incógnits polo tnto infinits solucións O sistem é comptible indetermindo Fise λ Substitúese n segund ecución: λ Substitúese n primeir ecución: + λ A solución do sistem será: ( ) d) Mtri mplid: Est é mtri mplid socid o sistem: A terceir ecución ten solución únic O sistem é comptible determindo Solución trivil: ( ) ( ) ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF ªF
Estud e resolve os sistems: ) b) c) d) Estes sistems teñen o mesmo número de ecucións que de incógnits clcúlse o determinnte d mtri dos coeficientes ) A Trátse dun sistem comptible determindo Resólvese pol mtri invers: X A B Solución: ( ) b) A Resólvese por Crmer: Solución: ( ) c) A Trátse dun sistem comptible determindo determindo Resólvese por Crmer: Solución: ( ) ( ) + + Trátse dun sistem comptible d) A + + Trátse dun sistem comptible determindo
9 Resólvese pol mtri invers: X A B Solución: ( ) ( ) Discute e se é posible resolve os sistems seguintes: ) b) c) d) t t ) Fórmse mtri dos coeficientes e mplid: A A Vese se o rngo d mtri A é tres (máimo que pode lcnr): rngo(a) rngo( A ) Sistem comptible determindo Resólvese por Crmer: Solución: ( ) b) Fórmse mtri dos coeficientes e mplid: A A A mtri A é de orde ctro vése se o seu rngo é ctro en cuo cso o sistem serí incomptible posto que o máimo rngo de A é tres: rngo( A ) Menor de orde dús ds dús mtrices: O rngo ds mtrices é mior ou igul dous
Menor de orde tres ds dús mtrices: rngo ds mtrices é tres igul o número de incógnits; o sistem é comptible determindo Fórmse o sistem cos ecucións que formn o menor de orde tres nterior: Resólvese por Crmer: Solución: ( ) ( ) c) Fórmse mtri dos coeficientes e mplid: A A Vese se o rngo d mtri A é tres (máimo que pode lcnr): rngo(a) Menor de orde dús ds dús mtrices: rngo(a) e rngo( A ) Estudo d mtri A : Menores de orde tres d mtri A : e rngo( A ) Cúmprese rngo(a) rngo( A ) < O sistem é comptible indetermindo uniprmétrico Elíense como ecucións principis s dús primeirs que formn s fils do menor de orde dús distinto de cero As incógnits principis serán e cuos coeficientes formn s columns do menor de orde dús distinto de cero Aplícse regr de Crmer o sistem nterior:
+ + Se se fi λ solución eprésse sí: ( ) d) Trátse dun sistem homoéneo polo tnto é comptible Estudo d mtri dos coeficientes: A A mtri é de orde ctro vése se o seu rngo é ctro: rngo(a) < O rngo d mtri dos coeficientes é menor que o número de incógnits; o sistem é comptible indetermindo Menor de orde dús: rngo(a) Menor de orde tres: rngo(a) O sistem é comptible indetermindo uniprmétrico Fórmse o sistem cos ecucións que formn o menor de orde tres nterior: t t Resólvese por Crmer: t t t t t t t t t Se se fi t λ solución eprésse sí: ( t) (λ λ λ λ)
Discute segundo os vlores de o seguinte sistem: Fórmse mtri dos coeficientes e mplid: A A Clcúlnse os vlores do prámetro que nuln o determinnte d mtri dos coeficientes do sistem A + Aplicndo regr de Ruffini obtense que (rí dobre) e Primeiro cso: e rngo(a) rngo ( A ) Sistem comptible determindo Aplícse regr de Crmer e obtense solución en función do prámetro A solución eprésse sí: ( ) Segundo cso: Pr fórmse o sistem: As tres ecucións son iguis polo tnto o sistem qued reducido á ecución: + + rngo(a) rngo ( A ) O sistem é comptible indetermindo biprmétrico
Fise λ e μ pr epresr ecución: ( ) ( λ μ λ μ) Terceiro cso: Pr fórmse o sistem: Fórmse mtri dos coeficientes e mplid: A A Clcúlse o rngo d mtri A Menor de orde dús d mtri A: rngo(a) Clcúlse o rngo d mtri A O seu rngo é mior ou igul dous o menor de orde dous nterior é tmén d mtri A e órlse co últim column Menor de orde tres de A : sistem é incomptible 9 rngo( A ) rngo(a) O Un hipermercdo inici unh cmpñ de oferts N primeir dels descont un % nun produto A un % no produto B e un % no produto C Ás dús semns pon en mrch segund ofert descontndo un % sobre o preo inicil de A un % sobre o preo inicil de B e un % sobre o preo inicil de C Se un cliente compr durnte primeir ofert un produto A dous B e tres C forr euros respecto do preo inicil; se compr tres produtos A un B e cinco C n segund ofert o forro é de 9 euros Se compr un produto A un B e un C sen ningún tipo de desconto debe bor euros Clcul o preo de cd produto ntes ds oferts Sen respectivmente os preos dos produtos A B e C ntes d ofert As condicións do problem trdúcense no seguinte sistem: 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 Resólvese por Crmer: 9 9 9 9
9 9 9 9 9 9 9 9 9 Os preos iniciis serán: A euros B euros e C euros Atop tres números A B e C tles que sú sum se metde d sum do primeiro e do último máis curt prte do outro se 9 e medi dos dous últimos se Sen A B e C os tres números As condicións do problem trdúcense no seguinte sistem: A B C A B C A C B 9 A B C B C B C Resólvese por Crmer: Os tres números son: A B e C Resolve o sistem mtricil X Y A sendo A X Y B e B Resólvese por redución: X Y A X Y A X Y B X B A ªE ªE Despése X n segund ecución e substitúese n primeir:
X A B; (A B) + Y A A B + Y A Y 9A + B Substitúense A e B polos seus vlores: X Y 9 +