. GRAFURI ŞI MATRICE DE INCIDENŢĂ.. Grafurile circuitelor electrice Graful unui circuit electric este reprezentarea geometrică a configuraţiei acestuia, obţinută prin asocierea câte unui punct (numit nod al grafului) pentru fiecare nod al circuitului şi a câte unui arc de curbă (numit latură a grafului) pentru fiecare latură de circuit. Modul în care laturile sunt legate la noduri este identic pentru circuit şi pentru graful asociat (fig..). Pentru elementele de circuit multiport se asociază fiecărei porţi câte o latură în graf, nodurile terminale ale acesteia corespunzând bornelor porţii. 3 n n 3 I 8 I 9 n 6 4 U 8 U 9 0 5 6 3 n n 4 n 5 n 7 n 8 7 (a) 4 n 3 n 3 4 8 9 n 6 0 n 5 n 4 6 n 5 n 7 3 n 8 7 (b) 4 Fig.. Dacă pentru laturile grafului nu sunt precizate sensuri de parcurs, acesta se numeşte graf neorientat. Dacă se aleg sensuri arbitrare de parcurs pentru laturi, se obţine un graf orientat sau digraf (fig...b). Latura incidentă la un nod al grafului este latura pentru care acel nod constituie una din extremităţi. Un nod la care nu este incidentă nici o latură se 38
. Grafuri şi matrice de incidenţă numeşte nod izolat al grafului. Gradul unui nod este egal cu numărul laturilor care îi sunt incidente. Nodul de grad unitate se numeşte nod suspendat. Subgraful unui graf dat este constituit dintr-o submulţime de laturi şi noduri ale acestuia. Pentru graful din fig...a sunt indicate două subgrafuri ale acestuia (fig...b şi c). n n n n n 3 n 4 n 3 n n n 4 n 3 (a) (b) (c) Fig.. Două subgrafuri ale aceluiaşi graf care, împreună, conţin toate laturile şi nodurile grafului, fără a avea vreo latură comună, se numesc subgrafuri complementare. Bucla este o curbă închisă, formată din laturi ale grafului, ce poate fi parcursă respectând sensurile laturilor şi trecând o singură dată prin fiecare nod al ei. În graful din fig...b, de exemplu, laturile (,, 5), (, 3, 4, 6, 7) şi (, ) formează bucle. O buclă formată dintr-o singură latură se numeşte buclă proprie. Calea este un subgraf fără bucle, format dintr-un ansamblu de laturi ce unesc două noduri, trecerea de la un nod la celălalt presupunând parcurgerea fiecărei laturi o singură dată. De exemplu, în fig...b, laturile (, 6), (3, 8) şi (3, 4, 6) formează căi între nodurile n şi n 5. Graful conex este graful care conţine cel puţin o cale între oricare două noduri ale sale (de exemplu, graful din fig...a). În caz contrar, se numeşte graf neconex (de exemplu, graful din fig...b). Un graf neconex conţine două sau mai multe subgrafuri separate, care nu au elemente (laturi sau noduri) comune. Arborele unui graf este un subgraf conex fără bucle care conţine toate nodurile grafului. Laturile grafului care nu aparţin arborelui se numesc coarde, ansamblul lor alcătuind coarborele. Împărţirea laturilor în ramuri şi coarde nu este unică, în general existând mai mulţi arbori pentru un graf dat. De exemplu, graful din fig...a poate prezenta arbori radiali (fig..3.a şi b) sau arbori de tip cale (fig..3.c şi d). Arborii unui graf conex cu n noduri conţin fiecare ( n ) laturi. (a) (b) (c) (d) Fig..3 39
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE Arborele normal este format selectând, în circuitul considerat, toate sursele ideale independente de tensiune, cât mai multe condensatoare posibil, cât mai multe rezistoare posibil, cât mai puţine bobine şi nici o sursă ideală independentă de curent. Se consideră că fiecare element ideal de circuit constituie o latură... Matrice de incidenţă Se pot defini mai multe categorii de matrice de incidenţă, unele fiind importante pentru caracterizarea completă a unui digraf fără bucle proprii, altele pemiţând formularea matriceală a ecuaţiilor unui circuit dat sau analiza diakoptică (prin secţionare) a circuitelor de mare complexitate. Sistem complet de suprafeţe închise (secţiuni) asociat unui circuit electric este reuniunea tuturor suprafeţelor închise ce nu trec prin dielectricul vreunui condensator, pentru care se obţine un set complet de ecuaţii independente prin aplicarea legii conservării sarcinii electrice. Pentru un circuit conex, numărul suprafeţelor închise ale unui astfel de sistem este egal cu numărul r de ramuri ale unui arbore asociat circuitului. Sistem complet de bucle închise asociat unui circuit electric este reuniunea tuturor curbelor închise, alcătuite în exclusivitate din linii ale tensiunilor la bornele laturilor, pentru care se obţine un set complet de ecuaţii independente prin aplicarea teoremei tensiunilor la borne.... Incidenţa laturi-secţiuni Se consideră un sistem complet de suprafeţe închise asociat unui circuit electric reprezentat prin digraful său. Matricea Σ este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a laturilor digrafului la suprafeţele de secţiune considerate: Σ = σ ]. (.) Această matrice are un număr de linii egal cu numărul r al ramurilor arborelui ( i =, r ) şi un număr de coloane egal cu numărul l al laturilor digrafului ( j =, l ). Elementul 40 [ ij σ ij al matricei Σ are valoarea: 0 - dacă latura j nu traversează suprafaţa Σ i ; + - dacă latura j traversează suprafaţa Σ i în sensul de referinţă ales pentru această suprafaţă; - dacă latura j traversează suprafaţa Σ i în sens contrar sensului de referinţă (pozitiv) ales.
. Grafuri şi matrice de incidenţă Dacă fiecare din suprafeţele Σ i intersectează câte o ramură, dacă se ia sensul de referinţă al ramurii ca sens de referinţă al respectivei suprafeţe şi dacă se ordonează laturile astfel încât primele r laturi să fie ramurile unui arbore al grafului, atunci matricea Σ admite partiţionarea: Σ = Λ, (.) r unde r este matricea unitate de ordinul r. Matricea Λ, numită matricea incidenţelor esenţiale, este matricea coeficienţilor de incidenţă a coardelor digrafului la sistemul complet de suprafeţe considerat astfel încât partiţionarea (.) să fie valabilă. Matricea Λ are dimensiunile r c, unde c este numărul coardelor digrafului. Pentru exemplificare, se consideră schema tiristorizată de comutaţie cu condensatoarele de stingere legate în stea şi diode de corecţie a curentului, utilizată pentru alimentarea prin impulsuri a motoarelor de inducţie (fig..4.a). Σ 8 9 3 5 6 8 3 Σ 3 6 5 Σ 4 9 4 7 0 7 0 Σ 4 (a) Fig..4 Se asociază digraful din fig..4.b, în care s-au trasat cu linie plină ramurile arborelui ales şi cu linie punctată coardele. Deoarece r = 4, numărul suprafeţelor ce formează sistemul complet este patru. Suprafeţele Σ,..., Σ 4 au fost alese astfel încât fiecare intersectează o singură ramură. Se obţine astfel matricea Σ în forma (.), adică (b) Σ = 3 4 5 6 7 8 9 0 Σ - Σ - - Σ 3 - - Σ 4 - unde, pentru simplificarea scrierii, elementele nule nu au mai fost marcate. 4
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE... Incidenţa laturi - bucle Se consideră un sistem complet de curbe închise, asociat digrafului unui circuit electric dat. Matricea Γ este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a laturilor la sistemul complet de curbe închise considerat: Γ = γ ]. (.3) Această matrice are un număr de linii egal cu cel al coardelor digrafului şi un număr de coloane egal cu numărul laturilor l ale acestuia. Elementul γ ij are valoarea: 0 - dacă latura j nu aparţine curbei Γ i ; + - dacă latura j face parte din curba Γ i, existând concordanţă între sensul de referinţă al laturii şi sensul de referinţă al curbei; - dacă latura j face parte din curba Γ i, sensul de referinţă al laturii fiind contrar sensului de referinţă al curbei considerate. Se consideră că fiecare latură a digrafului este asociată unei tensiuni la bornele unei laturi a circuitului. Dacă fiecare din curbele Γ i conţine câte o singură coardă, dacă se alege sensul de referinţă al curbei identic cu sensul de referinţă al coardei şi dacă se ordonează laturile astfel încât primele r să fie ramurile arborelui ales, atunci matricea Γ admite partiţionarea: [ ij Γ = Γ c, (.4) în care c este matricea unitate de ordinul c = numărul coardelor digrafului. Matricele Λ şi Γ satisfac relaţia: t Λ = Γ, (.5) t semnificând transpusa, dacă se consideră un acelaşi arbore la formarea lor. Dacă, pentru graful din fig..4.b, se alege un sistem de bucle astfel încât fiecare să conţină o singură coardă, rezultă: Γ = l 3 4 5 6 7 8 9 0 c 5 6 7 8 9 0 4
. Grafuri şi matrice de incidenţă deci o matrice având structura indicată în (.4). Conform relaţiei (.5), rezultă imediat matricea incidenţelor esenţiale: Λ = Γ t = Se numeşte buclă a circuitului un contur închis format din laturi de circuit. Buclele pentru care, aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff, se obţin ecuaţii liniar independente se numesc ochiuri. Matricea B este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a laturilor circuitului la buclele independente ale acestuia: B = b ]. (.6) Această matrice are un număr de linii egal cu numărul o al ochiurilor circuitului şi un număr de coloane egal cu numărul l al laturilor acestuia. Elementul b ij al matricei B are valoarea: 0 - dacă latura j nu aparţine ochiului i; + - dacă latura j aparţine ochiului i şi sensul laturii coincide cu sensul de parcurs al ochiului; - dacă latura j aparţine ochiului i, dar sensul acestei laturi nu concordă cu sensul ochiului. Se definesc similar matrice de incidenţă asociate grafului curenţilor şi grafului tensiunilor, grafuri ce intervin distinct în analiza circuitelor cu surse comandate. Dacă se adoptă scheme echivalente cu nulori, la construirea acestor două grafuri se consideră că nulatoarele constituie întreruperi, respectiv scurtcircuite, iar noratoarele scurtcircuite, respectiv întreruperi. Astfel, selectând un arbore în graful curenţilor G I, se definesc matricele Λ I şi Γ I. Selectarea unui arbore în graful tensiunilor G U permite definirea matricelor de incidenţă Λ şi Γ. U U [ ij..3. Incidenţa laturi - noduri Se consideră digraful unui circuit electric având n noduri şi l laturi. Matricea A 0 este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a laturilor digrafului la nodurile acestuia: A = [ a ]. (.7) 0 ij Această matrice are un număr de linii egal cu numărul nodurilor, numărul coloanelor matricei fiind egal cu numărul laturilor digrafului. 43
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE Elementul a ij al matricei A 0 are valoarea: 0 - dacă latura j nu este incidentă la nodul i; + - dacă latura j este incidentă la nodul i şi sensul de referinţă al laturii "iese" din nod (latură divergentă); - dacă latura j este incidentă la nodul i şi sensul de referinţă al laturii "intră" în nod (latură convergentă). Matricea A, numită matricea redusă de incidenţă a laturilor la noduri, se obţine, prin definiţie, suprimând o linie a matricei A 0. Nodul căruia îi corespunde linia suprimată se numeşte nod de referinţă. Majorul A n- este, prin definiţie, determinantul format prin luarea în considerare a unui număr de coloane egal cu numărul liniilor din matricea A. Pentru exemplificare, se consideră circuitul cu girator din fig..5.a şi digraful asociat acestuia (fig..5.b). R 5 r R 4 E 5 C 3 L 7 R 6 R 7 5 n n 4 3 n 4 6 7 n 3 n 5 (a) (b) Fig..5 Ţinând seama de modul în care s-a definit matricea A 0, se obţine: 3 4 5 6 7 A 0 = n n n 3 n 4 n 5 Alegând un nod de referinţă, de exemplu n 5, rezultă matricea A prin suprimarea ultimei linii din matricea A 0...4. Sinteza digrafurilor Dată fiind o matrice de incidenţă, se poate sintetiza digraful căruia această matrice îi corespunde. Dacă se dă matricea A, sinteza grafului este imediată. Se marchează nodurile, apoi se desenează laturile grafului, în concordanţă cu poziţia şi semnul 44
. Grafuri şi matrice de incidenţă coeficienţilor a ij. În timpul sintezei digrafului, citirea matricei A se face pe coloane. Fiecare latură este incidentă la două noduri, fapt ce corespunde prezenţei a cel mult doi coeficienţi nenuli pe coloana corespunzătoare laturii, în dreptul liniilor ce corespund nodurilor la care aceasta este legată. Laturile cărora, în matricea A, le corespund coloane cu un singur element nenul sunt incidente în graf la nodul de referinţă. Dacă se dă matricea Σ, se pot înlocui unele linii prin combinaţii liniar independente ale tuturor liniilor matricei, urmărindu-se obţinerea a cel mult doi coeficienţi nenuli (unul +, celălalt ) pe fiecare coloană. Se ajunge astfel la o matrice de incidenţă a laturilor la noduri, problema reducându-se la cea anterior prezentată. De exemplu, dacă se dă matricea de incidenţă: Σ = 3 4 5 6 7 8 9 0 a b c d, scăzând liniile a, respectiv b, din liniile c, respectiv d, se obţine matricea: A = 3 4 5 6 7 8 9 0 a b c d căreia îi corespunde digraful din fig..6. c 8 4 5 a 3 6 e 7 9 0 b d Fig..6 Dată fiind matricea Λ, se poate imediat obţine matricea Σ, ţinând seama de partiţionarea (.), în continuare procedându-se ca în exemplul anterior. 45
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE Astfel, cunoscându-se matricea se obţine imediat 4 5 6 7 8 a Λ = b c 3 4 5 6 7 8 a Σ = b c apoi A, printr-un procedeu similar celui din exemplul anterior, care permite construcţia digrafului căutat. Dacă se dă matricea Γ, se vor permuta coloanele acesteia până când matricea ultimelor c coloane este nesingulară, lucru totdeauna posibil dacă ecuaţiile corespunzătoare sunt independente. Se ajunge la matricea partiţionată: Γ = Γ a Γ c. (.8) În concordanţă cu teorema tensiunilor la borne, se obţine ( Γ ) t c Γ t = a Λ = Γ, (.9) unde s-a ţinut seama de relaţiile (.4) şi (.5). În continuare, problema se reduce la cazul precedent...5. Incidenţe diakoptice Una din metodele de analiză a circuitelor de mare complexitate presupune descompunerea în multipoli, procedeu ilustrat în fig..7. Fie ( p +) numărul polilor de interconexiune (noduri în care se suprapun accesurile multipolilor componenţi). Matricea C pk este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a accesurilor multipolului M k la cei p poli de interconexiune: C = c ]. (.0) pk Această matrice are p linii şi un număr de coloane n k egal cu numărul accesurilor multipolului M k. Elementul c ij are valoarea 0 sau +, după cum accesul j este suprapus ori nu polului de interconexiune i. 46 [ ij
. Grafuri şi matrice de incidenţă M M * * M 3 M 4 M 3 M M 3 5 4 M 4 Matricea C p se constituie, prin definiţie, astfel: C = C... C... C, (.) p p Fig..7 unde m este numărul multipolilor ce rezultă din descompunerea prin secţionare a circuitului analizat. Fie o numărul ochiurilor (buclelor independente) ale ansamblului de multipoli interconectaţi şi b numărul contururilor de acces în multipoli. Matricea C o este, prin definiţie, matricea coeficienţilor de incidenţă a contururilor de acces în multipoli la cele o bucle independente menţionate anterior: pk pm C = [ ]. (.) o c oij Această matrice are o linii şi b coloane. Elementul c o ij are valoarea: 0 - când conturul de acces j nu aparţine ochiului i; + - când conturul de acces j aparţine ochiului i, având acelaşi sens de referinţă cu acesta; 47
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE - când conturul de acces j aparţine ochiului i, dar are sens de referinţă contrar sensului ochiului. Pentru exemplificare, se consideră schema electrică a unui oscilator cu doi tranzistori (fig..8.a) şi descompunerea în multipoli a acesteia (fig..8.b). E R R 5 R C 3 T C 4 C R 3 T C * M * C 5 L L R s R 4 (a) a b c E R R 5 R 3b c C 3 a T 3c C 4 T C M R 3 5a 5b * * C R 4 C 5 L L R s 4a 4b 4c (b) Fig..8 Există 5 poli de interconexiune, în care se suprapun accesurile celor trei cuadripoli rezultaţi prin descompunerea propusă. Se consideră polul 4 ca fiind de referinţă pentru potenţiale. În vederea determinării matricelor C p şi C o, se consideră schema bloc a conexiunii cuadripolilor componenţi (fig..9). 48
. Grafuri şi matrice de incidenţă a b b 5 c U a U 3b b b 3 U c a c U a U b a b c U c 5a 5b 3b 3c U 5a b b 4 U 5b U 3c 4a 4b 4c Fig..9 Matricea C p de incidenţă a accesurilor multipolilor la polii de interconexiune este: C p = a a 4a 5a b 3b 4b 5b c c 3c 4c 3 5 În fig..9 s-au pus în evidenţă cele cinci bucle de acces în multipoli (b,,b 5 ), precum şi tensiunile între accesuri. Conform definiţiei, se obţine matricea: a a 5a b 5b 3b c c 3c b b C o = b 3 b 4 b 5 Descompunerea circuitului în multipoli, în vederea obţinerii formei canonice a ecuaţiei de stare pentru circuite de mare complexitate, presupune selectarea unui arbore normal, despicarea unui număr de noduri ale acestuia şi introducerea unor seturi de surse fictive adecvate. În fig..0 se poate urmări modul în care se despică un nod (k) cu o suprafaţă (S) ce intersectează numai coarde. 49
METODE DE ANALIZĂ ÎN CIRCUITE ELECTRICE COMPLEXE (k) () () () n () (k ) (k ) m (m) m (m) (S) Fig..0 S-a indicat sensul normalei pozitive n la suprafaţa de secţiune. Matricea Σ s de incidenţă a coardelor secţionate la suprafaţa de secţionare se defineşte ca o matrice diagonală, pătratică, de dimensiuni m m, unde m este numărul coardelor secţionate: Σ s = diag.[ σ... σ jj... σ mm ]. (.3) Elementele σ jj ale matricei au valoarea + sau, după cum sensul coardelor secţionate coincide sau nu cu sensul normalei pozitive n. Secţionarea cu o suprafaţă închisă (S) a unui nod (k) din arborele normal conduce la formarea a doi multipoli, coardele secţionate atribuindu-se unuia din ei. Sursele fictive introduse au valorile astfel alese încât ecuaţiile partiţiilor circuitului să nu se modifice. Sursele fictive de curent vor forma bucle cu ramurile arborelui normal ce aparţin multipolului care deţine astfel de surse în urma secţionării (fig..). Matricea Γ s de incidenţă a ramurilor la buclele surselor fictive de curent se defineşte ca o matrice cu m linii şi r s coloane (r s fiind numărul ramurilor adiacente la cel puţin o buclă a surselor fictive de curent): Γ = γ ]. (.4) s 50 [ sij Elementul γ sij are valoarea: + - dacă ramura r j este incidentă la bucla i şi are sensul de referinţă în concordanţă cu sensul de parcurgere a buclei; - dacă ramura r j este incidentă la bucla i şi are sensul de referinţă contrar sensului buclei; 0 - dacă ramura r j nu este incidentă la bucla i.
. Grafuri şi matrice de incidenţă Prin convenţie, sensul de parcurgere a unei bucle va coincide cu sensul în care debitează sursa fictivă conţinută în buclă. Ramurile ce aparţin acestor bucle se consideră orientate, sensul de referinţă fiind ales: - identic cu sensul tensiunii la borne, pentru ramurile formate din surse ideale independente de tensiune sau din condensatoare; - identic cu sensul curentului, pentru ramurile de rezistoare sau de bobine. v (S) v () v (k ) n v (k ) r () m v m v m (m) Fig.. De exemplu, pentru secţionarea ilustrată în fig..0 şi fig.., se obţin matricele de incidenţă Σ s = şi r r r m Γ s = v v v m. 5