(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της; Μονάδες Α. Αν,,, ν είναι οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν και w, w,, w ν είναι οι αντίστοιχοι συντελεστές στάθµισης (βαρύτητας), να ορίσετε τον σταθµικό µέσο της µεταβλητής Χ. Μονάδες Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν για τη συνάρτηση ισχύουν ( ) 0 0 για 0 (α, β), ()>0 στο (α, 0 ) και ()<0 στο ( 0, β), τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο διάστηµα (α, β) για 0. β) Ένα τοπικό ελάχιστο µιας συνάρτησης στο πεδίο ορισµού της µπορεί να είναι µεγαλύτερο από ένα τοπικό µέγιστο. γ) Η διακύµανση των παρατηρήσεων µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ εκφράζεται µε τις ίδιες µονάδες µε τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. δ) Αν για τους συντελεστές µεταβολής των δειγµάτων Α και Β ισχύει CV B >CV A, τότε λέµε ότι το δείγµα Β εµφανίζει µεγαλύτερη οµοιογένεια από το δείγµα Α. ε) Αν Α, Β είναι ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω, τότε η έκφραση «η πραγµατοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγµατοποίηση του Β» δηλώνει ότι Α Β. Μονάδες 0 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Β Έστω Α, Β και Γ ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες των ενδεχοµένων Α, Α Β και Α Β ανήκουν στο σύνολο λύσεων της 8 6+ 0. εξίσωσης ( )( ) Η πιθανότητα του ενδεχοµένου Γ ανήκει στο σύνολο λύσεων της εξίσωσης 9 ---0. Β. Να αποδείξετε ότι Ρ( Α), Ρ( Α Β) και Ρ( Α Β). Μονάδες Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα Ρ(Α -Β ), καθώς επίσης και την πιθανότητα του ενδεχοµένου : «πραγµατοποιείται το πολύ ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β». Μονάδες 8 Β. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχοµένου Ε: «πραγµατοποιείται µόνο ένα από τα ενδεχόµενα Α και Β». Μονάδες 6 Β. Να εξετάσετε αν τα ενδεχόµενα Β και Γ είναι ασυµβίβαστα. Μονάδες 6 ΘΕΜΑ Γ Θεωρούµε ένα δείγµα ν παρατηρήσεων µιας συνεχούς ποσοτικής µεταβλητής Χ, τις οποίες οµαδοποιούµε σε ισοπλατείς κλάσεις, όπως παρουσιάζονται στον Πίνακα Ι, όπου i %, i,,,, είναι οι σχετικές συχνότητες επί τοις εκατό των αντιστοίχων κλάσεων. Θεωρούµε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένες. ίνεται ότι: Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που είναι µικρότερες του 0 είναι 0% Το ποσοστό των παρατηρήσεων του δείγµατος που είναι µεγαλύτερες ή ίσες του 6 είναι 0%. Στο κυκλικό διάγραµµα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τοµέα που αντιστοιχεί στην η κλάση είναι 08 ο. Η µέση τιµή των παρατηρήσεων του δείγµατος είναι ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Γ. Να αποδείξετε ότι %0, %0, %0, %0, %0. εν είναι απαραίτητο να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συµπληρωµένο. Μονάδες 6 Γ. Να εξετάσετε αν το δείγµα των παρατηρήσεων είναι οµοιογενές. ίνεται ότι 6,6,7 Μονάδες 7 Γ. Έστω,, και τα κέντρα της ης, ης, ης και ης κλάσης αντίστοιχα και v, v, v και v οι συχνότητες της ης, ης, ης και ης κλάσης αντίστοιχα. Αν i παρατηρήσεων του δείγµατος. v 780, να βρείτε το πλήθος v των i i Μονάδες Γ. Έστω α, α, α, α, α πέντε τυχαία επιλεγµένες παρατηρήσεις διαφορετικές µεταξύ τους από το παραπάνω δείγµα v παρατηρήσεων. Ορίζουµε ως α τη µέση τιµή των πέντε αυτών παρατηρήσεων και S α την αi α τυπική τους απόκλιση. Εάν βi, για i,,,, να δείξετε ότι S α η µέση τιµή β του δείγµατος β i, i,,,, είναι ίση µε 0 και η τυπική απόκλιση S β είναι ίση µε. Μονάδες 7 ΘΕΜΑ ίνεται ο κύκλος (Ο, ρ) µε κέντρο Ο και ακτίνα ρ και ορθογώνιο ΑΒΓ εγγεγραµµένο στον κύκλο αυτόν µε πλευρά ΑΒ, όπως φαίνεται στο Σχήµα Ι. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ, ως συνάρτηση του, δίνεται από τον τύπο ( ) 0<<0. 00, Μονάδες. Να βρείτε την τιµή του για την οποία το εµβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓ γίνεται µέγιστο. Για την τιµή αυτήν του, δείξτε ότι το ορθογώνιο ΑΒΓ είναι τετράγωνο. Μονάδες. Να υπολογίσετε το όριο ( ) + lim. 0 98 Μονάδες 8. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω. Αν Ρ(Α-Β)>0, να ( A ( A) δείξετε ότι 00 ( A) 00. ( A Μονάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 87 Α. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Λάθος,ε) Σωστό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΘΕΜΑ Β Β. Ισχύει ( Β) Α ( Α Β) Α τότε Ρ( Α Β) Ρ( Α) Ρ( Α Β) ( )( 8 6+ ) 0 ή ή. Ρ Α Β Αρα Ρ ( Α Β), Ρ ( Α) και ( ) Β. Ισχύει Ρ ( Α Β) Ρ( Α) +Ρ( Β) Ρ( Α Β) αρα Ρ ( Β) επίσης Ρ ( Α Β) Ρ( Α Β) ( Β ) Ρ ( Α Β ) [ ] Ρ ( ) Ρ( Α Β) - ( Α Β) Ρ 6 Ρ Β. Αφου ( Α Β) ( Β Α) τότε Ρ ( Ε) Ρ[ ( Α Β) ( Β Α) ] Ρ ( Α Β) + Ρ ( Β Α) Ρ ( Α) + Ρ( Β) - Ρ( Α Β) Β. 9 0 ή και αφου 0 Ρ( Γ) τότε Ρ ( Γ) Αν τα Β και Γ ηταν ασυµβίβαστα, από τον απλό προσθετικό νόµο των πιθανοτήτων θα είχαµε : Ρ ( Β Γ) Ρ( Β) +Ρ( Γ) + > Άτοπο. Άρα τα Β, Γ δεν είναι ασυµβίβαστα. ΘΕΜΑ Γ 0 08 Γ. Έχουµε % 0, % 0και % 00 0 0 60 Ισχύει + + + +, οπότε + 0. () i i i + + + + 9 7 0 0 0 0 + 0 (). Από () και() έχουµε 0. % και % 0 Αρα 0 και 0. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Γ. ν i i ι i vi i i 0.6 6.6 ν i v i Αρα 6.6. 7.7 CV 8.% > 0%, οπότε το δείγµα των παρατηρήσεων δεν είναι οµοιογενές ivi ivi + v ivi + v i i i 0 Γ. v v v Αρα 780+ 7 v 0 v 00 v Γ. i β i i Οπότε : β 0 α και β ΘΕΜΑ. Από το πυθαγόρειο θεώρηµα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: ( ΒΓ) ( ΑΓ) ( ΑΒ) 00 αρα ( ΒΓ) 00,0< < 0 Το ορθογώνιο ΑΒΓ εχει εµβαδον ( ) ( A( ΒΓ) 00,0< < 0. 00 ( ),0< < 0 00 Εχουµε ( ) 0 ( ) > 0 0< < ( ) < 0 < < 0 0 0 () + - () Μ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 6

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 Άρα στο 0 η παρουσιαζει µέγιστο, οποτε για το εµβαδον του ορθογωνίου ΑΒΓ γίνεται µέγιστο. Επειδή ( ΒΓ) 00 ( ) 0 ( ΑΒ) τετράγωνο, το ορθογώνιο ΑΒΓ είναι. ( + ) lim 0 98 98 ( ) 98 98 ( + ) ( ) ( + ) () lim 0 lim 98 98 0. Αφου ( A Aτότε 0< ( A ( A) και αφου γνησίως αυξουσα στο ( 0, ] τότε ( ( A ) ( ( A) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A ( A) A B 00 A B A 00 A 0< 00 ( A) 00 ( A 00 ( A ( A) 00 ( A) ( A < ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ www.loropoulo.gr ΓΕΩΡΓΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Β. ΚΟΥΣΗΣ Π. - ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 7