4 NIULAE MANAFI BAZELE MEANIII APLIATE PARTEA V-a DINAMIA SLIDULUI RIGID NȚINUT 6. MMENTE DE INERȚIE MEANIE... 6 6. Genealități... 6 6. Vaiația oentelo de ineție față de ae paalele... 8 6. Vaiația oentelo de ineție față de ae concuente... 9 6.4 Diecții şi oente pincipale de ineție... 6.5 Moente de ineție uuale... 6 6.5. Relațiile geneale... 6 6.5. Moentele de ineție la baele oogene... 7 6.5. Moentele de ineție la plăcile oogene... 9 6.5.4 Moentele de ineție la voluele oogene... 8 6.5.5 Metode speciale de calcul... 4 7. DINAMIA SLIDULUI RIGID... 7 7. alculul paaetilo dinaici... 7 7.. Genealități... 7 7.. aul işcăii de tanslație... 8 7.. aul işcăii de otație în juul unui punct fi... 9 7..4 aul işcăii de otație în juul unei ae fie... 4 7..5 aul işcăii plan-paalele... 4 7. Teoeele geneale în dinaica solidului igid... 44 7. Teoeele geneale în işcaea elativă a solidului igid față de centul său de asă... 46 7.4 Discuție asupa teoeelo geneale... 49 8. DINAMIA MIŞĂRILR PARTIULARE ALE SLIDULUI RIGID... 5 8. Mişcaea de tanslație... 5 8. Mişcaea de otație față de o aă fiă... 5 8.. Sisteul de ecuații... 5 8.. Echilibaea otoilo... 55 8.. Pendulul fiic... 57 8. Mişcaea de otație față de un punct fi... 6 8.. Sisteul de ecuații... 6 8.. Gioscopul... 6 8.. Efectul gioscopic... 68 8.4 Mişcaea plan-paalelă... 69 9. DINAMIA SISTEMELR DE RPURI... 7 9. Genealități... 7 9. Metoda ipulsului... 7 9. Metoda enegiei cinetice... 77
5. INIRI ŞI PERUȚII... 8. Genealități... 8. Teoeele geneale în studiul ciocniilo... 8. iocniea centica a două sfee... 84.4 iocniea oblică a două sfee... 87.5 iocniea unei sfee cu o supafață fiă... 88.6 iocniea unei sfee cu un cop otito... 89
6 PARTEA V-a DINAMIA SLIDULUI RIGID 6. MMENTE DE INERȚIE MEANIE 6. Genealități Pentu caacteiaea distibuției asei unui cop în apot cu un epe geoetic punct, aă, plan, etc. se utilieaă o ăie nuită oent de ineție ecanic; notația cuentă utiliată pentu acest paaetu asic este sibolul, însoțit de indici efeitoi la epeul geoetic espectiv. În epiaea cuentă atibutul ecanic se oite; el este totuşi necesa atunci când tebuie făcută deosebiea de oentul de ineție geoetic I al secțiunii unei bae ipotant în calculul de eistență sau de oentul eultant al foțelo de ineție. Moentele de ineție sunt utiliate la calculul paaetilo dinaici ai unui cop oentul cinetic, enegia cinetică specifici işcăii de otație a acestuia. lasificaea oentelo de ineție se face în funcție de epeul geoetic în apot cu cae se a calculeaă. onsideând, de eeplu, un punct ateial, oentul său de ineție se obține înulțind asa acestuia cu pătatul distanței la epeul espectiv fig.6.. Se deosebesc: b oentul de ineție pola fig.6., a: 6. în cae este distanța la punctul de epe ; oentul de ineție aial fig.6., b: h c 6. în cae epeintă lungiea pependiculaei pe aa ; P oentul de ineție plana fig.6., c: P h h P d M i P h 6. în cae h este distanța la planul P, ăsuată pe pependiculaa coboâtă pe acesta; oentul de ineție centifugal fig.6., d: P P h h 6.4 în cae şi sunt distanțele la două plane, de egulă Fig.6. pependiculae înte ele. Moentele de ineție ale solidului igid se deteină în special pentu situația în cae epeele geoetice enționate apațin unui siste de efeință cateian. În locul asei punctului ateial se va considea o asă eleentaă d din configuația copului, pin înțelegându-se în acest ca asa totală a acestuia fig.6.. Pentu asa eleentaă d se calculeaă un oent de ineție eleenta d astfel că pentu întegul cop oentul de ineție va fi: d 6.5 h h,
oentul de ineție pola față de oiginea a sisteului de efeință se va calcula cu elația geneală: d d 6.6 în cae ia,, sunt coodonatele asei eleentae. oentele de ineție aiale față de, şi se definesc pin elațiile: P d d d d d d 6.7 oentele de ineție planae au în acest ca epesiile: d d d 6.8 oentele de ineție centifugale au o notație siplificată: d d d 6.9 Sunt evidente egalitățile: 7 6. Moentele de ineție ecanice sunt ăii scalae poitive; fac ecepție cele centifugale cae pot fi şi negative. Se poate obseva cu uşuință că înte oentele de ineție ale unui cop tidiensional eistă uătoaele elații: 6. 6. În caul unei plăci plane, poiționată înt-un siste de efeință fig.6., oice asă eleentaă ae coodonata. Pentu oentele de ineție elațiile d geneale se stabilesc în acest ca paticulaiând epesiile stabilite pentu copul tidiensional, după cu ueaă: oentul de ineție pola: d d 6. oentele de ineție aiale: d d d 6.4 oentele de ineție planae: d d 6.5 Fig.6. Fig.6. d P
8 oentele de ineție centifugale: d 6.6 Şi în acest ca se poate pune în evidență o elație ipotantă înte oentele de ineție ale plăcii: 6.7 Se deduce că oentul de ineție pola al unei plăci este egal cu oentul de ineție față de o aă pependiculaă pe placă în punctul espectiv; totodată, oentul de ineție pola față de punctul de intesecție al uno ae ecipoc pependiculae este egal cu sua oentelo de ineție față de aceste ae. 6. Vaiația oentelo de ineție față de ae paalele Se consideă cunoscute oentele de ineție ale unui cop față de un siste de efeință ; se deteină, în funcție de acestea, oentele de d ineție față de sisteul de efeință cu oiginea în centul său de asă şi ale căui ae sunt paalele cu cele ale sisteului dat fig.6.4. Înte coodonatele asei eleentae d în cele două sistee de efeință eistă elațiile: a b c 6.8 în cae a, b, c sunt coodonatele punctului în Fig.6.4 sisteul. Pentu deteinaea oentului de ineție pola față de punctul se pocedeaă în odul uăto: d d a b [ a c b d a c ] d d b d c d 6.9 Pentu coodonatele centului de asă în sisteul se cunosc elațiile: a d b d c d 6. u obsevația că a b c şi d elația 6.9 ia foa: 6. În od aseănăto se pocedeaă şi pentu oentele de ineție aiale: d d b c [ b d b c ] d d c d 6.
9 Se noteaă pin b c distanța dinte aele şi şi, ținând cont de obsevațiile pecedente efeitoae la centul de asă, elația 6. devine: În od analog, 6. 6.4 Pentu oentele de ineție centifugale se calculeaă: d a b d d ab d a d b d ab 6.5 elelalte oente de ineție centifugale sunt: bc ca 6.6 Revenind asupa oentelo de ineție aiale, se poate face o genealiae: d 6.7 Această epesie, cunoscută în Mecanică sub denuiea de elația lui Steine, pecieaă că oentul de ineție ecanic față de o aă oaecae se poate calcula însuând oentul de ineție față de o aă, paalelă cu şi cae tece pin centul de asă al copului, cu podusul dinte asa acestuia şi pătatul distanței dinte cele două ae fig.6.5. Fig.6.5 Relația 6.7 ai pune în evidență şi faptul că oentele de ineție față de ae cae tec pin centul de asă al unui cop au valoi inie. 6. Vaiația oentelo de ineție față de ae concuente Se consideă cunoscute oentele de ineție aiale şi centifugale ale unui cop față de aele unui siste de efeință fig.6.6; se cee să se deteine oentul de ineție aial față de o diecție poiționată în sisteul espectiv pin unghiuile diectoae,,. Se ataşeaă diecției un veso u a căui devoltae vectoială în funcție de unghiuile d diectoae şi de vesoii aelo de coodonate este: P u cos i cos j cos k 6.8 Înte cosinusuile diectoae eistă elația: cos cos cos 6.9 Moentul de ineție aial față de diecția este definit pin elația geneală: d 6. Fig.6.6 M d
în cae este lungiea pependiculaei pe diecția dusă din punctul P,, în cae se află asa eleentaă d. Din tiunghiul deptunghic PM se deduce: PM P M 6. Pentu teenii acestei elații se pot face uătoaele pelucăi: M P cos cos cos 6. p u i j k cos i cos j cos k cos cos cos Se fac înlocuiile în elația 6. şi se obține: cos cos cos cos cos cos cos cos u această deteinae, oentul de ineție față de diecția devine: cos cos cos d cos d cos cos d cos cos d cos cos d d 6. 6.4 6.5 Se ecunosc în integalele din această epesie elațiile de definiție ale oentelo aiale şi centifugale față de aele sisteului de efeință. Se obține în final: cos cos cos cos cos cos cos cos cos 6.6 Această elație poate fi pusă şi sub o foă aticeală: cos [cos cos cos ] cos 6.7 cos Folosind pentu notaea aticelo şi a vectoilo o siboliae adecvată în caul de față pin caactee îngoşate bold, elația de ai sus se poate scie: u t u 6.8 în cae s-au notat: cos 6.9 u cos 6.4 cos Maticea conține toate oentele de ineție aiale şi centifugale; se obsevă că oentele aiale sunt dispuse pe diagonala pincipală ia cele centifugale, luate cu sen schibat, sunt dispuse sietic față de aceasta; s-a aătat ai înainte el.6. că oentele centifugale cu aceiaşi indici sunt egale înte ele. Maticea se va nui în continuae aticea de ineție a copului față de sisteul de efeință. Eleentele vectoului coloană u, coespunăto vesoului u, sunt cosinusuile diectoae ale diecției ; u t este tanspusa lui u se eainteşte că pin tanspunee liniile unei atici devin coloane ia coloanele devin linii.
6.4 Diecții şi oente pincipale de ineție Relația 6.6 pune în evidență faptul că oentul de ineție față de o diecție oaecae este o ăie vaiabilă în funcție de cele tei unghiui diectoae,,, espectiv în funcție de cosinusuile acestoa: cos,cos,cos 6.4 Pentu aplicații este deosebit de ipotantă deteinaea eteelo acestei funcții, espectiv a valoilo aie şi inie, pecu şi a diecțiilo coespunătoae acesto etee. Se va utilia în acest scop etoda ultiplicatoilo lui Lagange. Se alcătuieşte o funcție auiliaă de foa: Φ 6.4 în cae este un ultiplicato Lagange. Ținând cont de elația 6.9 dinte cosinusuile diectoae, se noteaă: cos cos cos 6.4 ondițiile de ete pentu funcția auiliaă ipun ca deivatele pațiale în apot cu fiecae din cele tei vaiabile să fie nule: Φ Φ Φ 6.44 cos cos cos Pia din aceste deivate ae epesia: Φ cos cos cos cos 6.45 cos În od analog se fac calculele şi pentu celelalte două deivate. Se obține un siste de ecuații liniae oogene având ca necunoscute cosinusuile diectoae: cos cos cos cos cos cos 6.46 cos cos cos Acest siste poate fi pus sub foa aticeală: cos cos 6.47 cos Acelaşi siste ai poate fi pus şi sub foa echivalentă: cos cos cos cos 6.48 cos cos cae, ținând cont de notațiile sibolice din elațiile 6.9 şi 6.4, se ai poate scie concentat: u u 6.49
osinusuile diectoae nu pot fi siultan toate nule astfel încât condiția 6.47 este îndeplinită nuai dacă deteinantul coeficiențilo este nul. Devoltând acest deteinat se obține ecuația caacteistică de gadul în paaetul având foa geneală: a b c d 6.5 Rădăcinile acestei ecuații satisfac fiecae condiția de anulae a valoii deteinantului. Fiind de natua uno oente de ineție aiale, aceste ădăcini se vo nota: 6.5 Înlocuind succesiv aceste valoi în sisteul 6.46 sau 6.47 se pot calcula tei setui de cosinusui diectoae, fiecae set coespunând uneia din diecțiile căutate. Astfel, pentu sisteul ia foa: cos cos 6.5 cos Pin eolvaea acestuia se obțin cosinusuile diectoae ale uneia dinte diecțiile căutate, notată în acest ca. În od analog, pentu şi se obțin cosinusuile diectoae ale uno diecții şi. ele tei diecții, şi se nuesc diecții pincipale de ineție ia oentele, şi se nuesc oente pincipale de ineție. Valoile aiă şi espectiv iniă ale funcției se găsesc pinte aceste valoi. Se poate deonsta că cele tei diecții pincipale de ineție sunt ecipoc pependiculae. Deonstația se face ai cood apelând la cunostințele de analiă aticeală. Astfel, fiecăeia dinte diecții i se poate ataşa câte un veso: u cos i cos j cos k u u cos i cos cos i cos j cos j cos k k 6.5 onfo elației 6.4, vectoii coloană coespunătoi acesto vesoi sunt: cos cos cos u cos u cos u cos 6.54 cos cos cos Luând, de eeplu, vesoii u şi u, aceştia vo fi pependiculai dacă podusul lo scala este nul, espectiv dacă: cos uu u t u cos cos cos cos 6.55 cos cos cos cos cos cos cos
Pentu a deonsta nulitatea podusului scala espectiv se paticulaieaă ai întâi elația aticeală 6.49 pentu şi : u u 6.56 u u 6.57 Pia elație se înulțeşte la stânga cu vectoul ia cea de a doua cu : ut u ut u 6.58 ut u ut u 6.59 În continuae se pocedeaă la tanspuneea elația 6.58. Tebuie făcută peciaea că aticea de ineție este sietică şi în consecință. Se eainteşte că la tanspuneea unui podus de atici odinea acestoa se inveseaă ia tanspusa tanspusei unei atici este aticea espectivă. Se obține: ut u ut u 6.6 opaând această elație cu 6.59 se constată egalitatea: ut u ut u 6.6 sau, tecând totul în patea stângă: u t u 6.6 În caul geneal, astfel că podusul scala u t u, ceea ce ea de deonstat în elația 6.55. În od analog se poate deonsta că vesoul este pependicula pe şi. Se confiă astfel că diecțiile pincipale de ineție sunt pependiculae una pe cealaltă. Pe baa elației geneale 6.8 oentele pincipale de ineție se pot epia sub foă aticeală după cu ueaă: u u u u u u 6.6 u u u t t t t u t t S-a deonstat ai sus că u t u ; se deduce că patea stângă a elației 6.59 este nulă. Genealiând această obsevație pentu toate podusele scalae dinte vesoii u, u u se deduc elațiile aticeale: ut u ut u ut u 6.64 u u u u u u t t Ponind de la aticea de ineție, calculată față de sisteul de efeință dat, se poate calcula o atice de ineție față de un siste de ae alcătuit din cele tei diecții pincpale de ineție, şi. În acest scop se alcătuieşte o atice de tansfoae U cae va conține cosinusuile diectoae ale acesto ae față de cele inițiale: cos cos cos U u u u cos cos cos 6.65 cos cos cos Relația aticeală de tansfoae se poate pune sub foa siblică: * Ut U 6.66 sau, sub foa detaliată: * t u
4 cos cos cos cos cos cos * cos cos cos * cos cos cos cos cos cos cos cos cos 6.67 Eleentele aticii de ineție se obțin aplicând egulile de înulție aticeală. Astfel, ținând cont de elațiile 6.6 şi 6.64 eleentele acesteia sunt: u t u t u t u u u * u t u t u t u u u u t u t u t u u u 6.68 În final, aticea de ineție față de diecțiile pincipale de ineție ae o foă diagonală, eleentele acesteia fiind tocai oentele pincipale de ineție: * 6.69 Recapitulând cele deonstate ai înainte, în caul apotăii copului la un siste de efeință oaecae, se pot pune în evidență câteva concluii: eistă tei diecții pincipale de ineție, ecipoc pependiculae, concuente în oiginea a sisteului de efeință; valoile etee ale oentelo de ineție aiale se află pinte oentele pincipale de ineție; față de diecțiile pincipale de ineție oentele centifugale sunt nule. În caul în cae sisteul de efeință ae oiginea în centul de asă al copului se ai pot face uătoaele peciăi: ținând cont de elația lui Steine 6.7 cae aată că oentele de ineție aiale au valoi inie față de diecții cae tec pin centul de asă al copului, se deduce că în acest ca toate oentele de ineție pincipale au valoi iniale; confo celo aătate în Statică, dacă un cop ae una sau ai ulte ae de sietie, centul lui de asă se va afla pe aa sau la intesecția aelo espective; în consecință aele de sietie se află pinte diecțiile pincipale de ineție; față de aele de sietie ale copului oentele centifugale sunt nule. obsevație deosebit de ipotantă pentu aplicațiile pactice eolvate pe calculato este aceea că oentele pincipale de ineție sunt valoile popii ale aticii de ineție; toate ediile de pogaae cu specific ateatic posedă pogae destinate calculăii acesto valoi.
5 Studiului pivito la diecțiile şi oentele pincipale de ineție i se poate adăuga şi o inteesantă intepetae geoetică, ai puțin utilă însă în aplicațiile pactice. Astfel, pe o diecție oaecae fig.6.7 se acheaă un punct A astfel încât distanța A să fie coelată, făcând abstacție de eleentele diensionale, cu valoaea oentului de ineție față de această diecție pin inteediul elației: 6.7 A A,, Vectoul de poiție al punctului A va fi: cos cos cos A Au i j k 6.7 Fig.6.7 i j k Reultă pentu punctul A coodonatele: cos cos cos 6.7 Din elația de definiție pentu oentul de ineție cos se obține, după îpățiea cu cos cos cos : cos cos cos, stabilită anteio, espectiv: cos cos 6.7 6.74 Se deduce că locul geoetic al punctului A este epeentat de supafața unui elipsoid cu centul în punctul nuit elipsoidul de ineție. În sisteul de efeință foat de diecțiile pincipale de ineție ', ' şi ' fig.6.8, acest elipsoid va avea ecuația: c ' ' ' 6.75 b deoaece, aşa cu s-a aătat ai sus, oentele de a ineție centifugale sunt în acest ca nule. Diecțiile pincipale de ineție sunt aele de sietie ale acestui elipsoid ia seiaele acestuia au epesiile: a b c 6.76 Fig.6.8 În acest siste oentul de ineție față de diecția va fi dat de elația: cos ' cos ' cos ' 6.77 în cae,, sunt unghiuile diectoae ale acesteia față de, şi.
6 6.5 Moente de ineție uuale 6.5. Relațiile geneale Pentu copuile oogene uuale din categoiile de odele bae, plăci şi volue se deteină oentele de ineție polae, aiale şi centifugale în apot cu un siste de efeință convenabil ales. Se eaintesc elațiile geneale: d d 6.78 d d d 6.79 d d d 6.8 u aceste valoi se alcătuieşte aticea de ineție: 6.8 Folosind elațiile stabilite pentu vaiația oentelo de ineție față de ae paalele, espectiv: ab * bc ca 6.8 se va calcula şi aticea de ineție față de un siste de efeință cu oiginea în centul de asă al copului, ale căui ae sunt paalele cu cele ale sisteului : * 6.8 Se vo indica, după ca, diecțiile pincipale de ineție. Moentele de ineție ale copuilo copuse, foate pin alipiea sau decupaea uno copui cu foe geoetice siple, se obțin pin însuaea sau, espectiv, scădeea oentelo acestoa. Fie, de eeplu, un cop copus oaecae foat pin alipiea copuilo şi din cae se decupeaă copul. Masa copului copus va fi: 6.84 Pentu oentul de ineție pola față de un epe se poate scie: d d d d La fel se pocedeaă şi pentu oentele aiale şi centifugale. 6.85
7 6.5. Moentele de ineție la baele oogene a Baa ectilinie fig.6.9 În sisteul asa eleentaă d ae d coodonatele. În funcție de asa şi d,l lungiea baei: d l d d 6.86 l Fig.6.9 unde l este densitatea liniaă a acesteia. Se obsevă că şi. elelalte oente de ineție sunt: d l l d l 6.87 Maticea de ineție se scie concentat: l 6.88 În sisteul, şi. elelalte oente sunt: l l l 6.89 Față de acest siste aticea de ineție ae foa concentată: * l 6.9 Aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție. b Baa în foă de ac de cec fig.6. Baa se aşeaă planul, cu aa de sietie supapusă aei. Masa eleentaă d se calculeaă cu elația: d l ds R d d 6.9 R în cae ds este lungiea acului eleenta ia este seiunghiul la centu al baei. u obsevația că R const. oentul de ineție pola este: d R d R 6.9 Se obsevă că acesta nu depinde de unghiul la centu, elația fiind valabilă pentu oice unghi. R dθ d θ,l Fig.6.
8 oodonatele asei eleentae sunt de aa oentul de ineție este: R d 4 Rsin sin Rcos d R R, Rsin şi sin sin 4 d. Față 6.9 in cae unghiul se intoduce în adiani. În od aseănăto se deteină: sin d Rcos d R 6.94 4 Se veifică cu uşuință elația deonstată anteio. Deoaece şi este aă de sietie se deduce că toate oentele de ineție centifugale sunt nule. Maticea de ineție față de sisteul ae foa: / sin / 4 R / sin / 4 6.95 Față de sisteul de efeință paalel se utilieaă pentu oentele de ineție aiale elațiile: 6.96 în cae Rsin. Moentele de ineție centifugale sunt deaseenea nule. Aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție ia oentele aiale de ai sus sunt oente pincipale de ineție. Poblea 6. Să se deteine aticea de ineție pentu o baă cubă avînd asa şi aa R şi foa în vaiantele din fig.6.; să se indice diecțiile pincipale de ineție şi să se calculee aticea de ineție față de aceste diecții. R R R c a b Fig.6. Reolvae: S-a aătat ai înainte că oentul de ineție pola față de centul geoetic nu depinde de unghiul la centu al acului; în consecință: R 6.97
9 La cecul coplet fig.6., a şi eultă din elația 6.95: / R / 6.98 Este evident că aele,, sunt diecții pincipale de ineție. Pentu seicec fig.6., b şi eultă că aticea de ineție față de este identică cu 6.98; intoducând în 6.96 distanța eultă aticea față de : R / * R / 4 4 6.99 Aele acestui siste sunt diecțiile pincipale de ineție. La sfetul de cec fig.6., c, eaintind că, se obține: Moentul de ineție centifugal liniaă este în acest ca d R 6. se deteină distinct obsevând că densitatea l / : / R R sin cos d sin R 6. Maticea de ineție față de ae foa: / R / 6. Bisectoaea acului este aă de sietie, pe ea aflându-se şi centul de asă al baei; în consecință aele sisteului sunt diecțiile pincipale de ineție. Moentele pincipale de ineție se deteină cu elațiile 6.95 şi 6.96 în cae se intoduce 4 şi R /. Se obține aticea de ineție: / * R / 8 6. 8 6.5. Moentele de ineție la plăcile oogene a Placa deptunghiulaă fig.6. Se cunoaşte asa şi latuile a şi b ale plăcii; notând pin supeficială, se epiă asa eleentaă pin elația: A densitatea
b d Moentul centifugal d Fig.6. d d A da dd 6.4 ab u obsevația că asa eleentaă ae coodonata, oentul de ineție față de se calculeaă în odul uăto: d dd ab 6.5 a b b d d ab În od analog se deteină: a 6.6 a b 6.7 se calculeaă în odul uăto: ab dd ab a b d d ab 4 Se obsevă că. Maticea de ineție în sisteul este: a d 6.8 b ab 4 ab 4 a 6.9 a b Pentu sisteul de efeință se utilieaă elațiile de vaiație a oentelo față de diecții paalele în cae b şi a sunt distanțele înte ae. Pentu diecția se calculeaă: b b b 6. În od analog se fac calculele şi pentu celelalte ae. Moentul centifugal este: ab b a 6. 4 Acest eultat confiă faptul că față de aele de sietie oentele centifugale sunt nule. Maticea de ineție față de este: b * a 6. a b
b Placa tiunghiulaă fig.6. La o placă având foa unui tiunghi deptunghic se cunosc asa şi lungiile b şi h ale catetelo; asa eleentaă se poate epia pin elația: d A da dd 6. bh Liitele de vaiație ale coodonatelo şi sunt h legate pin ecuația deptei AB cae poate fi pusă sub foa: b * b 6.4 h în cae s-a notat AB pentu evitaea confuiei cu coodonata a asei eleentae d. Moentul de ineție aial față de se va deteina în odul uăto: h * d d d d bh bh * abscisa punctului A* de pe d bh h * d 6.5 h 4 b b h h h b d b bh h bh h 4 6 În od analog se deteină: b 6.6 h b 6.7 6 6 Moentul centifugal se calculeaă în od aseănăto: h * h * d dd d d d bh bh bh 6.8 4 h b b h b h h bh b d b bh h bh h 4 h Deoaece, celelalte oente de ineție centifugale sunt nule. Maticea de ineție în sisteul va fi: h bh bh b 6.9 6 h b În sisteul fig.6.4 oentele de ineție se calculeaă cu elațiile de vaiație a oentelo față de diecții paalele în cae: h b 6. B d d b d Fig.6. A* A
În acest siste oentele aiale se vo calcula în odul uăto: h h h 6. 6 8 b 8 6. h b 6. 8 Fig.6.4 Moentul de ineție centifugal se calculeaă cu elația: bh b h bh 6.4 6 elelalte oente centifugale sunt nule. Maticea de ineție ae foa: h bh * bh b 6.5 8 h b Se obsevă că în acest ca nuai aa este diecție pincipală de ineție. Poblea 6.: Să se calculee aticea de ineție a unei plăci tiunghiulae de o foă oaecae, având asa şi diensiunile din fig.6.5. Să se considee şi caul paticula al tiunghiului echilateal. Reolvae: Tiunghiul oaecae poate fi consideat ca fiind foat pin alipiea a două tiunghiui deptunghice şi. Dacă este asa totală a plăcii, asele celo două coponente vo fi popoționale cu aiile acestoa. Din ecuațiile: H bh A b 6.6 h A ah a se deduc asele : b a A a b B 6.7 a b a b Fig.6.5 Moentele de ineție ale plăcii se obțin pin însuaea oentelo celo două plăci: h h h 6.8 6 6 6 b a a b a ab b 6.9 6 6 6 a b 6 h a ab b 6. 6
Pentu tiunghiul oentul de ineție centifugal se va calcula cu elația 6.8 în cae se înlocuieşte pin. La tiunghiul, în sisteul de efeință consideat, vaiabila * coespunătoae latuii AH este dată de elația: a * a h 6. astfel că oentul centifugal se va calcula cu elația, povenită din 6.8: h ah d d dd ah ah A * 6. bh ah h b a 6. elelalte oente de ineție centifugale sunt nule. Maticea de ineție este: h h b a / h b a / a ab b 6.4 6 h a ab b Pentu sisteul de efeință paalel calculele se fac intoducând în elațiile geneale distanțele h şi b a : Nuai / / h h b a / * h b a / a ab b 6.5 8 h a ab b este diecție pincipală de ineție. În caul paticula al unui tiunghi echilateal de asa şi latua a, în aticea de ineție din elația 6.4 se înlocuiesc lungiile h, b şi a cu coespondentele specifice a indicate în fig.6.6. Maticea de ineție față de sisteul va fi: a 4 6.6 Fig.6.6 4 În sisteul se intoduc distanțele a / 6 şi. Se obține: * a 6.7 4 Aele şi, fiind ae de sietie, sunt şi diecții pincipale de ineție. Ştiind că cele tei diecțiile pincipale de ineție sunt ecipoc pependiculae, eultă că şi aa apaține acestoa.
4 c Sectoul cicula fig.6.7 dθ Aia sectoului cicula, dispus cu aa de d sietie supapusă aei, se calculeaă în odul uăto: d A da d d d A oodonatele asei eleentae sunt R d R 4 R sin R 4 4 În od analog se deteină: A A R d A d R R 6.8 În consecință, asa eleentaă se va epia pin elația: d A da da d d 6.9 A R Moentul de ineție pola față de punctul se calculeaă după cu ueaă: R R d d d d 6.4 R R sin cos şi sin ; în consecință: d d R R R sin 4 d sin d 6.4 R sin 6.4 4 este aă de sietie şi în consecință ; deoaece,. Maticea de ineție față de sisteul ae coponența: 4 R / sin / / sin / 4 6.4 Față de sisteul de efeință paalel oentele de ineție se calculeaă cu elațiile: θ Fig.6.7 6.44 Rsin în cae. Moentele de ineție centifugale sunt toate nule ia aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție. Se poate obseva că oentul de ineție dat de elația 6.4 nu depinde de unghiul la centu al sectoului cicula.
5 Poblea 6.: Să se deteine aticea de ineție pentu plăcile plane din fig.6.8 la cae se cunosc asa şi aa R. Să se indice diecțiile pincipale de ineție şi oentele de ineție față de acestea. R R R R a b c d Fig.6.8 La discul coplet fig.6.8, a aticea de ineție ae coponența: R / / 6.45 Este evident că aele sisteului sunt diecții pincipale de ineție. Aceeaşi coponență o ae şi aticea de ineție pentu un seidisc fig.6.9, b. Față de sisteul de efeință aticea de ineție se calculeaă cu elațiile 6.44 în cae se intoduce 4R / : / * R / / 9 6.46 / 9 Aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție pentu seidisc. Pentu sfetul de disc fig.6.8, c oentele aiale au epesiile: R R 6.47 4 Moentul de ineție centifugal se deteină obsevând că în acest ca densitatea supeficială este A 4/ R. Efectuând calculele se obține: 4 d sin cos d d A R 6.48 R / 4 4 4 R R d d sin cos sin R R 4 Maticea de ineție ae foa: R / / / / 6.49
6 Bisectoaea sfetului de disc este aă de sietie, pe ea aflându-se şi centul de asă al baei; în consecință aele sisteului sunt diecțiile pincipale de ineție. Moentele pincipale de ineție se deteină cu elațiile 6.4 şi 6.4 în cae se intoduce 4. Se obține aticea de ineție: * R 8 6.5 8 Discul inela fig.6.8, d este foat pin decupaea cecului de aă din cecul de aă R; aticea de ineție ae foa: / R / 6.5 Aele sisteului sunt şi diecții pincipale de ineție. d Elipsa alculul se efectueaă înt-o piă etapă pentu o placă având foa unui sfet B de elipsă de asă fig.6.9. d d Din ecuația analitică a unei elipse b A* având seiaele a şi b se epliciteaă elația d dinte coodonatele punctului A* aflat pe contuul eteio al plăcii: A a * b 6.5 b a Fig.6.9 Aia sfetului de elipsă este A ab / 4, astfel că asa eleentaă d va fi: 4 d AdA da d d 6.5 A ab Moentul de ineție al plăcii față de aa se calculeaă în odul uăto: 4 4 b * 4 b d d d dd * d ab ab ab 4 ab 4 b a b 4 b b b În od analog se calculeaă: d b 8 b b acsin b b b 4 6.54 a 6.55 4 a b 6.56 4
Pentu oentul de ineție centifugal 4 d ab A 4 d d ab 7 se pocedeaă în odul uăto: 4 b * a b ab d b d ab ab b elelalte oente de ineție centifugale sunt nule. În sisteul de efeință aticea de ineție ae configuația: Se poate obseva că pentu pentu sfetul de disc. b * d d 6.57 b ab / ab / a 6.58 4 a b a b R se obțin valoile din 6.49 calculate b b a a a b Fig.6. Pentu juătatea de elipsă fig.6., a, având asa şi aia A ab /, calculul se face în acelaşi od, liitele integalelo fiind pentu vaiabila şi *, * pentu. Pentu elipsa înteagă fig.6., b de asă şi aie A ab, liitele sunt -b,b pentu şi *, * pentu. În abele caui, datoită sietiei, oentele centifugale sunt nule. Maticea de ineție va fi:, b b a 6.59 4 a b La acelaşi eultat se poate ajunge consideând seielipsa şi elipsa copletă ca figui copuse din şi espectiv 4 sfetui de elipsă. Şi în acest ca, pentu a b R se obțin eultatele calculate la seidisc şi la discul coplet, peentate în elația 6.45. La seielipsă aa este diecție pincipală de ineție. La elipsa copletă toate cele tei ae, şi, sunt diecții pincipale de ineție; oentele de ineție aiale calculate față de aceste diecții sunt şi oente pincipale de ineție deoaece punctul este şi centul de asă al elipsei.
8 6.5.4 Moentele de ineție la voluele oogene a Paalelipipedul fig.6. d abc Se cunoaşte asa a paalelipipedului şi lungiile a, b şi c ale uchiilo acestuia. Masa eleentaă d este dată de elația: d c d V dv 6.6 în cae densitatea voluică va fi: V 6.6 a V abc Voluul eleenta este: dv ddd 6.6 Moentul de ineție pola față de este: d d d I I I 6.6 abc V le tei integale din patea deaptă se calculeaă în odul uăto: I I a b c dd d d d d V a b c dd d d d d V V a b c a ab I dd d d d d abc bc c 6.64 6.65 6.66 Reultă oentul de ineție pola: a b c 6.67 Se calculeaă în continuae oentele de ineție aiale: d dd d I I b c 6.68 abc abc V c a 6.69 a b 6.7 Se veifică elația dinte oentele de ineție aiale ale unui cop tidiensional: 6.7 Moentele de ineție centifugale se calculeaă în odul uăto: b d Fig.6. abc V dd d abc a d b d c d 4 ab 6.7
9 bc 6.7 ca 6.74 4 4 Maticea de ineție a copului în sisteul de efeință ae coponența: b c ab/ 4 c a / bc / 4 6.75 ac / 4 / ab/ 4 bc / 4 a ac / 4 b / La calculul oentelo de ineție față de un siste de efeință, paalel cu acesta şi având oiginea în centul de asă al copului, se aplică elațiile de vaiație după cu ueaă: b c b c b c 6.76 4 În od analog: c a 6.77 a b 6.78 Aele enționate sunt şi ae de sietie astfel că oentele centifugale sunt nule. În final, aticea de ineție coespunătoae este: b c * c a 6.79 a b Aele de sietie sunt şi diecții pincipale de ineție. b ilindul fig.6. d Un cilindu de asă ae aa R şi d înălțiea h. Voluul său este: R V R h 6.8 Densitatea voluică este: V 6.8 V R h h Dept asă eleentaă se alege o poțiune din cilindu de gosie d: Fig.6. d V dv R d d R h h 6.8 Față de aa această asă eleentaă ae oentul de ineție: d R d 6.8 analogă celei stabilite în elația 6.4 la discul plan. Pentu întegul cilindu: d R d R 6.84
d h h d h 6.85 este aă de sietie ia centul asei eleentae ae coodonatele. În consecință toate oentele centifugale sunt nule. Maticea de ineție va fi: R h / 6.86 / Mutând sisteul de efeință în centul de asă al copului, la distanța, se obțin uătoaele oente de ineție: R 6.87 h / h / h h h 6.88 Maticea de ineție ae în acest siste coponența: R / * h / 6.89 h / Aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție. c onul cicula dept fig.6. d Voluul conului este dat de elația: R d V R h 6.9 Voluul eleenta dv este asiilat unui ic cilindu de înălție d, a căui aă este dată de elația: h R 6.9 Fig.6. h Masa eleentaă va fi deteinată de epesia: d V dv d d d 6.9 R h R h h Acestei ase eleentae îi coespunde un oent de ineție eleenta de foa: R 4 d d d 6.9 5 h Reultă oentul de ineție aial față de aa : h R 4 R h d d R 6.94 5 5 h h 5 5
entul asei eleentae ae coodonatele astfel că celelalte oente aiale se vo calcula cu elația: d h h 4 5 h d h 5 5 h 6.95 Din acelaşi otiv, toate oentele centifugale sunt nule. Maticea de ineție față de sisteul de efeință consideat va avea coponența: R h / 5 6.96 / h Pentu sisteul de efeință, paalel cu sisteul dat, se cunoaşte distanța h 4, astfel că: / h h h 6.97 5 4 8 Moentele centifugale sunt nule. Reultă aticea de ineție: * R h / 8 6.98 / h / 5 Aele acestui siste sunt diecții pincipale de ineție. / 8 d Sfea oodonatele cateiene ale asei eleentae d fig.6.4 pot fi epiate în funcție de coodonatele sfeice,, pin elațiile: cos cos cos sin sin 6.99 Voluul eleenta al acesteia este: dv d cos d d 6. unoscând că voluul total al sfeei fig.6.5 se calculeaă cu elația: V V dv R d / / cos d 4 d R 6. eultă densitatea voluică: V 6. V 4 R d φ θ Fig.6.4 R Fig.6.5 d
Pentu asa eleentaă se obține elația: d V dv cos d d d 6. 4 R Moentul de ineție pola se calculeaă în odul uăto: 4 d cos d d d 4 R V 6.4 R / 5 4 R d d d R cos 4 R / 4 R 5 5 Plecând de la elația de legătuă înte oentele de ineție ale copuilo tidiensionale, espectiv: 6.5 se deduc oentele aiale, egale înte ele din otive de sietie: R 6.6 5 Moentele centifugale față de aele de sietie sunt nule, astfel că aticea de ineție va avea foa: R 6.7 5 Aele sisteului sunt diecții pincipale de ineție. Pentu figuile geoetice povenite din sfeă, oentele de ineție se calculeaă în od aseănăto, odificând voluul V şi liitele integalelo. La seisfea din fig.6.6 voluul este: R V R 6.8 Masa eleentaă va avea în acest ca foa: d cos d d d 6.9 Fig.6.6 R Moentul de ineție pola se va calcula în odul uăto: 4 d cos d d d R V 6. R / 5 4 R d d d R cos R R 5 5 Moentul aial față de se calculeaă distinct plecând de la elația: d 6. Utiliând elațiile 6.99 se obține în continuae:
cos cos cos sin cos d d d R V 6. R / 5 4 R d d d R cos R R 5 5 Pe baa elației 6.5 se poate deduce: R 6. 5 Moentul de ineție centifugal se calculeaă în odul uăto: d R R V / cos cos cos sin 4 d d d cos sin cos R Deoaece este aă de sietie,. R cos d d d 5 R 5 6.4 Maticea de ineție pentu seisfeă ae aceeaşi foă ca şi cea pentu sfea copletă, espectiv 6.7, difeența făcând-o asa copului. Mutând sisteul de efeință cu oiginea din în centul de asă, cu peciaea că R 8, odificăile cae apa sunt: / 8 R R R 6.5 5 8 9 R R 6.6 8 64 e Elipsoidul fig.6.7 Deduceea elațiilo specifice unui elipsoid de asă şi seiae a, b şi c este în acest ca laboioasă. cale ai siplă este să se dedublee elațiile siilae stabilite în caul sfeei, espectiv 6. 6.7. Se obțin uătoaele elații: 4 V abc 6.7 a b c 5 6.8 b c c a 5 5 a b 6.9 5 b c c a 6. 5 a b c a Fig.6.7 b
4 6.5.5 Metode speciale de calcul În cap.4.7 din patea I Statica, a fost epusă etoda eleentului finit pentu deteinaea poiției centului de asă în caul copuilo la cae integalele din elațiile de calcul nu au soluții analitice integalele eliptice. Metoda este utiliabilă şi pentu copuile de foă neegulată, espectiv acele copui cae nu pot fi descopuse în figui geoetice siple. Pocedeul de calcul peentat în capitolul enționat ai sus poate fi etins şi pentu calculul oentelo de ineție ecanice. Se eainteşte pincipiul etodei. opul se divieaă în n segente foate ici - eleente finite, având în geneal aceeaşi foă, şi se consideă ca fiind copus din aceste eleente; oentul de ineție al copului va fi sua oentelo de ineție ale eleentelo finite față de epeul geoetic consideat. u cât aceste eleente vo fi ai ici, nuăul lo va fi ai ae, cescând peciia deteinăii. În aceste condiții, elația pentu calculul oentului de ineție pola, de eeplu, va lua uătoaea foă: n n n d i i i j 6. n în cae pin: i n i n i i i j 6. s-a notat un oent de ineție unita, coespunăto unei ase a copului egală cu unitatea kg. În od analog se poate poceda şi pentu celelalte oente de ineție aiale şi centifugale; se obsevă că aceste oente de ineție unitae depind nuai de nuăul eleentelo finite şi de poiția acestoa în sisteul de efeință consideat. Moentele de ineție unitae se pot deteina pin eploaea doeniului ocupat de copul analiat, de egulă utiliând un poga de calculato adecvat; pin înulțiea ulteioaă cu asa se deteină valoile efective ale oentelo de ineție espective. Se eeplifică în continuae acest pocedeu Fig.6.8 de calcul, etins şi pentu deteinaea diecțiilo şi oentelo pincipale de ineție, pentu caul unei plăci plane de foă neegulată fig.6.8. Succesiunea opeațiunilo este uătoaea: se consideă un siste de efeință în planul plăcii şi se calculeaă coodonatele ale centului de asă al acesteia; se calculeaă oentele de ineție, definite de elațiile geneale:, şi d d d 6.
5 se calculeaă aceleaşi oente față de aele şi folosind elațiile de vaiație: 6.4 se calculeaă ; acesta este unul dinte oentele pincipale de ineție, diectia este pependiculaă pe planul plăcii în ; se consideă o deaptă tecând pin cae face unghiul cu valoi ale unghiului în intevalul,, se calculeaă cu elația: ; pentu cos sin cos sin 6.5 povenită din paticulaiaea elației geneale 6.6; se eține valoaea in ; este un alt oent de ineție pincipal; diecția face cu unghiul pentu cae s-a obținut iniul espectiv; se calculeaă, în cae / ; diecția face acest unghi cu aa veificaea calculelo se poate face cu ajutoul elației aticeale cos sin cos cos cos sin sin sin 6.6 povenită din elațiile geneale 6.67 şi 6.69. La ealiaea unui poga de calculato pe baa eleentelo de ai sus, se consideă că placa este epeentată pint-o figuă la scaă pe ecanul onitoului ținând seaa şi de eoluția acestuia. Se fac uătoaele peciăi: sisteul de efeință se alege supapus aginilo ecanului; în geneal sisteul de coodonate al ecanului ae diecțiile indicate în fig.6.9; culoaea de fond a ecanului tebuie să fie difeită de culoile cu cae se epeintă figua plană; Fig.6.9 figua se eploeaă înte nişte liite de încadae, copaând culoaea pielilo acesteia cu cea a fondului; atât poiția centului de asă cât şi oentele de ineție se calculeaă consideând pielii coponenți ai figuii dept eleente finite identice, de aie A şi asă ; pin eploaea figuii se deteină nuăul total n de pieli ai acesteia; i, i sunt coodonatele cuente ale unui piel; coodonatele centului de asă în pieli se calculeaă în odul indicat în cap.4.7, utiliând elațiile: ;
6 n n i i 6.7 n i n i oentele de ineție unitae față de aginile ecanului se calculeaă cu elațiile analoge epesiei 6.: n n n j i j i j i i 6.8 n i n i n i după deteinaea diecțiilo pincipale de ineție confo celo aătate ai înainte, se acheă pe figuă poiția centului de asă şi se taseaă deptele şi cu o culoae distinctă; se afişeaă valoile oentelo de ineție pincipale,, obținute pin înulțiea oentelo unitae cu asa plăcii. Se peintă în continuae o secvența de poga Tubo-Pascal cae include atât deteinaea poiției centului de asă cât şi a oentelo de ineție unitae pincipale... fond:=getbkcolo; n:=; s:=; s:=; s:=; s:=; s:=; fo :=in to a do fo :=in to a do begin culoae:=getpiel,; if culoae <> fond then begin n:=n+; s:=s+; s:=s+; s:=s+*; s:=s+*; s:=s+*; end;{if} end;{fo } end;{fo } c:=s div n; c:=s div n; j:=s div n-c^; j:=s div n-c^; j:=s div n-c*c; j:=j+j; setcoloed; cicle c,c,; j:=j; alfa:=; a:=; fo alfa:= to 8 do begin a:=pi*alfa/8; cs:=cosa; sn:=sina; jd:=j*cs^+j*sn^- *j*cs*sn; if j<jd then begin j:=jd; alfa:=alfa; a:=a; end; {if} end; {fo alfa} alfa:=alfa+9; a:=a+pi/; cs:=cosa; sn:=sina; j:= j*cs^+j*sn^- *j*cs*sn;..
7 7. DINAMIA SLIDULUI RIGID 7. alculul paaetilo dinaici 7.. Genealități Paaetii dinaici geneali, espectiv ipulsul, d oentul cinetic şi enegia cinetică se pot defini în caul solidului igid ponind de la elațiile lo coespunătoae punctului ateial, peentate în cap... Se eainteşte că în caul punctului ateial paaetii dinaici enționați au epesiile: H v 7. H v 7. Fig.7. E v 7. Unei ase eleentae d din configuația copului fig.7., asiilată unui punct ateial, îi vo coespunde paaetii dinaici eleentai: dh v d 7.4 d dh v d 7.5 de v d 7.6 Pentu întegul cop paaetii dinaici enționați se calculeaă făcând integaea pentu toată asa copului. În funcție şi de işcaea pe cae o ae copul aceşti paaeti pot lua foe specifice; se vo tata işcăile uuale cele ai geneale, espectiv tanslația, otația în juul unui punct fi, otația în juul unei ae fie, işcaa plan-paalelă. Pentu nevoile deonstațiilo uătoae se eainteşte elația cunoscută din Statică efeitoae la poiția centului de asă: d 7.7 Ipulsul total al copului se deteină, ponind de la elația 7.4, în odul uăto: d d d d H dh v d d d v dt dt 7.8 dt dt În această elație deivaea în apot cu tipul este independentă față de integaea pe asa copului, astfel că cele două opeațiuni pot fi invesate în epesie. Relația de ai sus pune în evidență că ipulsul unui cop nu depinde de foa şi diensiunile acestuia ci nuai de poiția şi vitea centului său de asă. Vectoul ipulsului, colinia cu vitea centului de asă, ae în sisteul devoltaa analitică şi odulul: H H i H j H k 7.9 H H H H 7. Relațiile pentu calculul ipulsului în funcție de tipul işcăii depind de cele stabilite în ineatică pentu vitee.
8 Moentul cinetic se defineşte, ponind de la elația 7.5, pin: d v d 7. Epesia analitică a vectoului oent cinetic şi odulul acestuia sunt: i j k 7. 7. Enegia cinetică a copului ae definiția stabilită pe baa elației 7.6: E de v d 7.4 7.. aul işcăii de tanslație aacteistic işcăii de tanslație a unui cop fig.7. este faptul că toate punctele lui au aceeați viteă, espectiv v v. a Ipulsul. Relația geneală 7.8 se poate pune sub foa aticeală: d H v H v 7.5 H v În caul unei tanslații ectilinii, la nivel scala: H v 7.6 b Moentul cinetic. Relația geneală 7. se Fig.7. peluceaă în caul tanslației în odul uăto: v d dv d v v v 7.7 Siilitudinea cu 7. aată că în tanslație oentul cinetic este identic cu cel al unui punct ateial având asa copului, poiția şi vitea centului său de asă. Relația de ai sus se ai poate pune şi sub foa deteinantului pin cae se epiă un podus vectoial, din cae, în continuae, se pot calcula poiecțiile: 7.8 v i v j v k v v v v v v 7.9 Relația aticeală echivalentă pentu calculul poiecțiilo este: v v v v 7. v v în cae intevine aticea antisietică asociată viteei centului de asă v.în caul unei tanslații ectilinii, dacă vectoii şi v sunt coliniai, oentul cinetic al copului față de epeul este nul.
9 c Enegia cinetică. Ținând cont de faptul că toate punctele copului au aceeaşi viteă, elația geneală 7.4 ia foa: v d v d v E 7. În tanslație enegia cinetică a copului este identică cu cea a unui punct ateial având asa copului şi cae se deplaseaă cu vitea centului de asă al acestuia. 7.. aul işcăii de otație în juul unui punct fi Punctul fi al copului este constituit de o aticulație sfeică ia oiginea sisteului de efeință se alege, pentu o tatae coodă, chia în acesta fig.7.. a Ipulsul. Vitea centului de asă este: v 7. astfel că ipulsul se poate scie: k j i H 7. Reultă poiecțiile pe ae: H H H 7.4 Relația aticeală coespunătoae este: H H H 7.5 în cae intevine aticea antisietică ataşată viteei unghiulae. Ipulsul este nul dacă centul de asă coincide cu punctul fi. b Moentul cinetic. Vitea asei eleentae d este v astfel că elația geneală 7. devine: ] [ ] [ d d 7.6 în cae s-a intodus şi epesia altenativă a podusului dublu vectoial. Ținând cont de epesiile analiticea ale vectoilo şi, podusele scalae vo fi: 7.7 7.8 Relația 7.6 devine: ] [ d k j i k j i 7.9 Fig.7.
4 u obsevația că vectoul este independent de distibuția asei copului, se gupeaă în continuae teenii acestei elații după vesoii aelo de coodonate. ] [ d d d d 7. Se ecunosc în integalele din patea a doua a elației oentele de ineție aiale şi centifugale efeitoae la aa a sisteului de efeință. Pocedând în od analog şi pentu celelalte ae, se obține: 7. Reultatele obținute pot fi gupate în elația aticeală: 7. în cae se ecunoaşte aticea de ineție a copului față de aele sisteului. Sub foă sibolică această elație se poate scie: ω 7. În caul în cae aele sisteului sunt diecții pincipale de ineție, atunci, şi sunt oente pincipale de ineție ale copului ia toate oentele centifugale sunt nule. Relația 7. devine: 7.4 ia epesia analitică a oentului cinetic ia foa edusă: k j i 7.5 c Enegia cinetică. Vitea asei eleentae d se pune sub foa: v v v k j i v 7.6 Făcând înlocuiile în elația: v v v v v 7.7 se obține: v 7.8
4 Se intoduce această epesie în elația geneală a enegiei cinetice 7.4: ] [ d d d d d d E 7.9 Se obține în final: E 7.4 Această elație poate fi pusă şi sub foa aticeală: E 7.4 Foa concentată a aceastei elații este: ω ω t E 7.4 Dacă aele, şi sunt diecții pincipale de ineție, elația 7.4 devine: E 7.4 sau: E 7.44 7..4 aul işcăii de otație în juul unei ae fie Vitea unghiulaă este coliniaă cu aa de otație; toate punctele copului desciu taiectoii ciculae în juul acesteia. c Ipulsul. Vectoul ipulsului este tangent la cecul descis de centul de asă al copului în sensul viteei acestuia fig.7.4. Vectoul ipulsului şi odulul acestuia se deteină cu elațiile: v H 7.45 H sin 7.46 Dacă centul de asă se află pe aa de otație şi în consecință H. Aceeaşi situație se întâlneşte şi în caul unei oți având o aticulatie cilindică fiă în centul ei geoetic fig.7.5. Fig.7.4
4 b Moentul cinetic. Deonstația efectuată pentu caul işcăii de otație în juul unui punct fi îşi păsteaă valabilitatea şi în acest ca. Deosebiea povine din faptul că vectoul viteei unghiulae este colinia cu aa, supapusă în caul de față aei de otație. 7.47 Relația aticeală 7. ia foa: 7.48 Epesia vectoului oent cinetic este: i j k 7.49 k Relația aticeală 7. îşi păsteaă valabilitatea, cu peciaea că vectoul va conține doa eleentul. Dacă aa de otație este şi aă de sietie, atunci ea este o diecție pincipală de ineție a copului şi în consecință. Relația de ai sus devine: k 7.5 În această situație se deduce că vectoul oentului cinetic este colinia cu aa de otație fig.7.6. Genealiând, față de o aă de otație oaecae cae tece pin şi este şi aă de sietie a copului, oentul cinetic este: 7.5 În caul paticula al unei disc aticulat în centul său de asă fig.7.5, 7.7,, vectoul este pependicula pe planul discului ia odulul său este: 7.5 c Enegia cinetică. Se paticulaieaă elația 7.4 pentu situația şi ; eultă: E 7.5 Genealiând pentu otația în juul unei ae fie oaecae se obține: E 7.54 Se constată că enegia cinetică depinde nuai de oentul de ineție aial față de aa fiă şi de vitea unghiulaă cu cae ae loc otația în juul acesteia. Relația aticeală 7.4 este deaseenea valabilă cu obsevația că vectoul conține nuai eleentul. R Fig.7.5 Fig.7.6 Fig.7.7
4 7..5 aul işcăii plan-paalele S-a aătat în ineatică că işcaea copului poate fi edusă în acest ca la cea a secțiunii acestuia conținută în planul işcăii. Paaetii cineatici vectoul de poiție, vitea şi acceleația sunt vectoi conținuți în acest plan ia paaetii unghiulai şi sunt pependiculai pe acesta. Mişcaea poate fi consideată atât ca o otație în juul centului instantaneu de otație cât şi ca o copunee înte o tanslație cu paaetii cineatici ai unui punct al copului din planul işcăii de egulă centul de asă al acestuia siultană cu o otație în juul acestui punct. a Ipulsul. Vitea a centului de asă, calculată pin pocedeele cunoscute din ineatică, este conținută în planul işcăii; în consecință, vectoul H v va fi şi el conținut în acest plan. Dacă işcaea se apoteaă la centul instantaneu de otație fig.7.8 vitea este pependiculaă pe I Fig.7.8 segentul I şi ae sensul viteei unghiulae ; odulul ipulsului se va calcula cu elația: H v I 7.55 În caul paticula al unei oți aflate în ostogolie făă alunecae fig.7.9 centul instantaneu de otație se R află în punctul de contact cu supafața de spijin. Ipulsul se va calcula cu elația: I H R 7.56 Fig.7.9 b Moentul cinetic. Față de epeul, ținând cont de copuneea işcăilo, se poate utilia elația: v 7.57 în cae este oentul cinetic coespunăto otației copului în juul centului său de asă; se poate obseva că atât cât şi sunt vectoi pependiculai pe planul işcăii. Pentu oata cae se ostogoleşte făă alunecae fig.7.9, elația utilă în aplicații este: Fig.7. R 7.58 c Enegia cinetică. onsideând işcaea plan-paalelă dept o otație în juul unei ae instantanee cae tece pin punctul I, se poate utilia elația: E I 7.59 Pe baa elației de vaiație a oentelo de ineție față de ae paalele: I v v I 7.6
44 Enegia cinetică devine: E I I 7.6 bsevând că I v, se obține elația finală: E v Et Eot 7.6 Enegia cinetică a copului aflat în işcae plan-paalelă se poate calcula însuând enegia cinetică coespunătoae tanslației acestuia cu vitea centului său de asă cu enegia cinetică coespunătoae otației în juul acestui punct. 7. Teoeele geneale în dinaica solidului igid Teoeele geneale au ca scop deteinaea vaiației paaetilo dinaici ai unui solid igid ipulsul, oentul cinetic, enegia cinetică în funcție de foțele aplicate acestuia la un oent dat, vaiații cae se epiă pin deivatele acesto paaeti în apot cu tipul. La punctul ateial foțele aplicate sunt concuente şi se educ la o singuă foță F ; teoeele geneale au fost deonstate în cap..4 şi au foa: dh d F 7.6 M F F 7.64 de dl 7.65 dt dt La solidul igid, aşa cu s-a aătat în Statică, foțele eteioae se pot educe în caul geneal la un toso copus din eultanta foțelo şi din oentul eultant al acestoa în apot cu un punct de educee, espectiv: R Fi 7.6 M M Fi i Fi în cae i este în acest ca un indice de însuae. Foțele enționate sunt foțe concentate aplicate în puncte distincte ale copului; foțele distibuite şi foțele asice sunt şi ele eductibile la foțe concentate. Din acest otiv, pentu o deonstație iguoasă a teoeelo geneale, la taniția de la punctul ateial la solidul igid tebuie intecalat sisteul de puncte ateiale. Se consideă un siste de puncte ateiale fig.7. acționat de foțele eteioae F pecu şi de foțele de inteacțiune inteioae ij i F dinte aceste puncte. Este evident că în baa pincipiului acțiunii şi eacțiunii, foțele inteioae sunt egale, espectiv: F 7.64 ij F ji ateoea ipulsului. Pentu un punct ateial de ang i din siste teoea ipulsului ae foa, povenită din 7.6: H i Fi Fij 7.65 Fig.7.
45 Ipulsul total al sisteului de puncte ateiale este sua ipulsuilo acestoa; însuaea se aplică şi deivatelo acesto ipulsui, astfel că: H H F F 7.66 i În baa elației 7.64, sua totală a foțelo inteioae este: Fint Fij 7.67 şi, în consecință: H F i Fet 7.68 Se deduce că vaiația ipulsului total al unui siste de puncte ateiale este deteinată nuai de foțele eteioae. Solidul igid este copus dint-o infinitate de ase eleentae, analoge punctelo ateiale. Foțele dinte aceste ase eleentae epeintă tensiunile inteioae ale copului cae, dată fiind igiditatea acestuia, nu-i influențeaă işcaea. Relația 7.68 devine în acest ca, d H dh F i Fet 7.69 dt sau, ținând cont şi de elația de definiție 7.8: dh v a Fet R 7.7 dt Teoea ipulsului, epiată de această elație, pecieaă că vaiația ipulsului unui solid igid este dată de eultanta foțelo eteioae aplicate copului. bteoea oentului cinetic. Pentu punctul ateial de ang i, poiționat pin vectoul față de un epe geoetic fi, teoea oentului cinetic se poate pune sub o foă analogă elației 7.64, espectiv: i F F F F 7.7 i i i ij Moentul cinetic total al sisteului față de epeul se obține însuând oentele cinetice ale punctelo ateiale ale acestuia; însuaea se aplică şi la nivel de deivate, astfel că: i F F 7.7 i i i i i i Se obsevă că teenul final al acestei elații este nul deoaece pentu fiecae peeche de foțe inteioae fig.7. eistă o elație de foa: F F 7.7 Se eține în final elația: i ij ij i ij j ji Fig.7. i Fi M Fi M Fet 7.74 Pe baa obsevațiilo de ai sus pivind tensiunile inteioae, elația obținută este valabilă şi pentu solidul igid. Teoea oentului cinetic, epiată de această elație, pune în evidență faptul că vaiația oentul cinetic al unui solid igid este podusă de oentul eultant al foțelo eteioae. ij
46 c Teoea enegiei cinetice. Pentu punctul ateial de ang i din siste, vaiația enegiei cinetice se epiă pin elația difeențială: de dl F F d 7.75 i i în cae este deplasaea eleentaă sub acțiunea foțelo aplicate punctului ia este lucul ecanic eleenta podus de acestea. Pentu întegul siste de puncte ateiale se obține vaiația: de dei Fi di Fij di dlet dlint 7.78 Lucul ecanic al foțelo inteioae nu este nul deoaece deplasăile elative pe diecția acesto foțe eistă. Se deduce că vaiația enegiei cinetice a sisteului este egală cu sua lucuilo ecanice atât ale foțelo eteioae cât şi a celo inteioae. La solidul igid, deplasăile elative înte oicae puncte ale copului sunt nule astfel că lucul ecanic al tensiunilo inteioae este nul, espectiv dl int. Se obține foa difeențială a teoeei enegiei cinetice: de dl et 7.79 la cae se adaugă şi foa finită, coespunătoae teceii copului dint-o poiție A înt-o poiție B: EB EA LAB 7.8 Enunțul acestei teoee pecieaă că vaiația enegiei cinetice a unui cop este egală cu lucul ecanic podus de foțele eteioae cae îi sunt aplicate. dl i d i 7. Teoeele geneale în işcaea elativă a solidului igid față de centul său de asă Teoeele geneale au fost deonstate în capitolul pecedent luând în consideae işcaea solidului igid față de un siste de efeință fi, espectiv işcaea absolută a acestuia. În ulte aplicații inteeseaă însă utiliaea acesto teoee consideând işcaea elativă a copului față de centul său de asă. Se alege un siste de efeință obil cu oiginea în centul de asă al copului, ale căui ae sunt paalele cu cele ale sisteului d de efeință fi fig.7.. Mişcaea absolută a copului față de sisteul fi va fi copusă dint-o işcae de tanspot tanslație a sisteului obil față de cel fi, efectuată siultan cu işcaea elativă otație a copului față de centul său de asă,. În confoitate cu cele aătate în ineatică cap. efeito la işcăile Fig.7. copuse, paaetii cineatici ai unei ase eleentae d în apot cu cele două sistee de efeință sunt legați înte ei pin elațiile: 7.8 v v v 7.8 a a a 7.8 i ij i