ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού της f, ( a, ) (, β ) b. a (, ) + c. (, β ) d. Ουσιαστικά ότα ααζητώ έα όριο,ααζητώ τη συµπεριφορά τω y=f() καθώς, { ± } e. lim f ( ) = l lim f ( ) = l = lim f ( ) δηλαδή το lim f ( ) + υπάρχει και είαι ισο µε l α και µόο α τα πλευρικά όρια της f υπάρχου και είαι ισα µε l. 2. πρι υπολογίσω οποιοδήποτε όριο α βλέπω τι µορφή έχω 3. η f και το όριο της είαι οµόσηµες παραστάσεις 4. ότα έχω απροσδιόριστη µορφή a. κάω παραγοτοποίηση τόσες φορές όσες χρειάζεται για α φύγει ο παράγοτας που δηµιουργεί το πρόβληµα που ότα είαι το ( ) v και στη συέχει βρίσκω το όριο της απλοποιηµέης µορφής της f, α υπάρχει. b. εφαρµόζω καόα De L Hospital c. α εχω τετραγωική ρίζα και πολλαπλασιάζω µε τη συζυγή παράσταση του αριθµητή η του παροοµαστή η και τω δύο εφόσο αυτό είαι απαραίτητο προκειµέου α φύγει το πρόβληµα d. ότα υπολογίζω το όριο σε σηµεία αλλαγής τύπου χρειάζεται πλευρικά όρια e. α ζητώ lim f ( ) και έχω απόλυτες τιµές στο τύπο της f i. τότε α µηδείζεται κάποια από τις απόλυτες τιµές α παίρω πλευρικά όρια ii. α δε µηδείζεται καµιά από τις παραστάσεις που είαι µέσα στα απόλυτα ότα, αφού απαλλαγώ από τις
2 απόλυτες τιµές σύµφωα µε το διάστηµα όπου έχει όηµα το όριο το υπολογίζω,α υπάρχει. iii. Για α φύγου οι απόλυτες τιµές µπορώ α κάω πίακα η α χρησιµοποιήσω ότι η f και το όριο της είαι οµόσηµες παραστάσεις. 5. α εχω µορφή k τότε αποµοώω το παράγοτα που δηµιουργεί το πρόβληµα και υπολογίζω το όριο α υπάρχει a. χρήσιµα είαι lim = -, lim =+ + b. = > =+ c. lim f ( ) και f ( ) κοτα στο τοτε lim f ( ) = < = lim f ( ) και f ( ) κοτα στο τοτε lim f ( ) d. από k η καταλήγω σε όριο που δε υπάρχει η το όριο είαι + η -.πάτως αποκλείεται α πάρω πραγµατικό αριθµό για όριο 6. ότα γωρίζω το όριο µιας παράστασης που περιέχει τη f στο τύπο της και ζητώ α βρω το όριο µιας άλλης παράστασης που περιέχει τη f,η ψάχω το όριο της f τότε a. θέτω η b. προσθαφαιρώ κατάλληλη παράσταση προκειµέου α εµφαιστεί παράσταση που ξέρω το όριο της. 7. ότα στο τύπο της συάρτησης µου υπάρχει ηµ α σκέπτοµαι ηµ a. µήπως µου χρειαστεί το lim = b. η µήπως πρέπει α παρω απόλυτη τιµή και α εκµεταλλευτώ ηµ, η πιο σπάια ηµ, ηµ ηµ c. η πάλι µήπως χρειαστεί το lim = η lim = που όµως + χρειάζοται απόδειξη 8. α εχω σχέση g( ) f ( ) h( ), και lim g( ) = l= lim h( ) τότε παίρω κριτήριο παρεµβολής για α βρω το όριο της f.
3. f συεχής στο ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ D lim f ( ) = f ( ) f a. έτσι η συέχεια µιας συάρτησης f έχει όηµα µόο σε σηµεία του πεδίου ορισµού της f b. ότα γωρίζω ότι f συεχής στο διάστηµα Α τότε η γραφική της παράσταση δε διακόπτεται στο Α. c. ΠΡΟΣΟΧΗ για α βρω το f ( ). πάω στο τύπο της f και ατικαθιστώ η 2. το προσδιορίζω µε τη βοήθεια της συέχειας και µέσα από όριο, lim f ( ) = f ( ) 2. Για α δικαιολογήσουµε τη συέχεια της f σε διάστηµα χρησιµοποιούµε βασικές συεχείς συαρτήσεις και πράξεις µε συεχείς συαρτήσεις η ακόµη και σύθεση συεχώ συαρτήσεω 3. Για τη συέχεια στα σηµεία αλλαγής τύπου η στα άκρα διαστηµάτω δουλεύω πάτα µε ορισµό 4. α γωρίζω ότι f συεχής στο α και θέλω α δείξω ότι f συεχής εώ επιπλέο γωρίζω a. f ( + y) =.... θέτω + a= h = ( a) + h,µε h α οτα b. f ( y ) =.... θέτω a = h = h,µε h α οτα α
4 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ. Α + τότε η ααζήτηση του ορίου lim f ( ) έχει όηµα στο ( a, + ), a + 2. Α τότε η ααζήτηση του ορίου lim f ( ) έχει όηµα στο (, β ), β 3. Α f πολυωυµική f ( ) = α + α +... + a + a, α, α, i=,,... v τότε + α > lim f ( ) = lim ( α ) = α ( ± ) = + + α < P( ) α + α +... a+ a 4. Α f ρητή, f ( ) = =, α, µ µ βµ Q( ) β + β +... + β + β α τότε lim f ( ) = lim. + + µ β µ µ µ 5. Γεικά στα όρια στο άπειρο είαι πολύ συηθισµέο α βγάζω κοιό παράγοτα τη µεγαλύτερη δύαµη του γιατί έτσι εµφαίζοται παραστάσεις της µορφής που έχου lim = = lim + a. Να θυµάµαι i. lim =+ lim = + + + = 2 κ, κ Ν ii. lim = εω παλι lim = 2, κ κ = + Ν 6. Στη µορφή ± βγάζω κοιό παράγοτα τη µεγαλύτερη δύαµη του χ ± και εκµεταλλεύοµαι τα προηγούµεα 7. Α εχω τετραγωική ρίζα f ( ) = P( ) ± Q( ) όπου P(),Q() πολυώυµα,τότε a. συγκρίω τους µεγιστοβάθµιους όρους τω P(),Q() και α προκύψει επιτρεπτή πράξη βγάζω κοιό παραγοτα τη µεγαλυτερη δυαµη του και υπολογίζω το όριο, α υπάρχει. b. Α προκύπτει απροσδιοριστία πολλαπλασιάζω και διαιρώ µε κατάλληλη συζυγή παράσταση και µετά βγάζω κοιό παράγοτα κλπ 8. Απροσδιόριστες µορφές ±,, ( ± ), ( + ) ( + ),( ) ( ),( + ) + ( ) ± i
5 ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. Α f συεχής στο [ a, β ] και f ( α) f ( β ) < τότε υπάρχει ξ ( a, β ) : f ( ξ ) = η ισοδύαµα a. η εξίσωση f ( ) = εχει µια τουλάχιστο λύση στο (α,β) η b. η γραφική παρασταση της c f εχει έα τουλάχιστο κοιό σηµείο Μ(ξ,f(ξ)), ξ ( a, β ),µε το. 2. Α f συεχής στο [ a, β ] και f ( α) f ( β ) τότε υπάρχει ξ [ a, β ]: f ( ξ ) = 3. α θέλουµε ρίζα για τη εξίσωση f ( ) = g( ) τότε θεωρώ συηθως συάρτηση h( ) = f ( ) g( ) και Bolzano για τη h σε κατάλληλο διάστηµα 4. α θέλουµε δύο τουλάχιστο λύσεις στο (α,β) για τη f ( ) =,τότε χωρίζω το (α,β) κατάλληλα, συήθως µε το κέτρο του,η µε χ προηγούµεου ερωτήµατος, η µε άλλο κατάλληλα επιλεγµέο ξ και εφαρµόζω Bolzano στα καιούργια διαστήµατα. 5. α δε έχουµε πληροφορία από τη εκφώηση,τότε όσες ρίζες θέλουµε τόσα διαστήµατα ισου πλάτους παίρουµε. 6. για α δείξω ξ ( a, β ) : f ( ξ ) = k τότε παιρουµε θεώρηµα εδιάµεσω τιµώ για f στο [ a, β ], η Bolzano για τη g, g( ) = f ( ) k στο [ a, β ] 7. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! f συεχής [ a, β ] και f ( ), ( a, β ) τότε f διατηρεί πρόσηµο στο (α,β).