ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] f(α) f(β) τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθµό η µεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον (α, β), τέτοιος ώστε f( )η. Α. Έστω µια συνάρτηση f και ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της. Πότε θα λέµε ότι η f είναι συνεχής στο ; Μονάδες 4 Α3. Έστω µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α. Πότε λέµε ότι η f παρουσιάζει στο Α τοπικό ελάχιστο; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτε ότι foggof. β) Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αβi και γδi είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους. γ) Για κάθε R ισχύει ότι (συν) ηµ. δ) Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α, β]. Αν ισχύει ότι f() για κάθε [α, β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού µηδέν στο διάστηµα αυτό, τότε β f d>. α ε) Αν lim f και f()> κοντά στο, τότε lim f. Μονάδες ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΘΕΜΑ Β Θεωρούµε τους µιγαδικούς αριθµούς z για τους οποίους ισχύει: z-4 z-. Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων αυτών των µιγαδικών αριθµών z είναι κύκλος µε κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ. z z Β. Έστω w z z, όπου z, z δύο µιγαδικοί αριθµοί του ερωτήµατος Β. Να αποδείξετε ότι: α) ο w είναι πραγµατικός και (µονάδες 4) β) -4 w 4. (µονάδες 7) Μονάδες Β3. Αν w -4, όπου w είναι ο µιγαδικός αριθµός του ερωτήµατος Β, να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους µιγαδικούς αριθούς z, z και να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές τις εικόνες Α(z ), Β(z ), Γ(z 3 ) των µιγαδικών αριθµών z, z και z 3, µε z 3 iz, είναι ισοσκελές. ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f, R. Γ. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και να αποδείξετε ότι το σύνολο τιµών της είναι το διάστηµα (, ). Μονάδες 6 3 Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( ) πραγµατικών αριθµών µία ακριβώς ρίζα. έχει στο σύνολο των 5 Μονάδες 8 Γ3. Να αποδείξετε ότι f() t dt< f( 4) 4 για κάθε >. Μονάδες 4 Γ4. ίνεται η συνάρτηση g 4 >, f() t dt,. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιµη συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύουν: f f f ' για κάθε R και f().. Να αποδείξετε ότι l ( ) f n, R. Μονάδες 5. α) Να βρείτε τα διαστήµατα στα οποία η συνάρτηση f είναι κυρτή ή κοίλη και να προσδιορίσετε το σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. (µονάδες 3) β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, την ευθεία y και τις ευθείες και. (µονάδες 4) 3. Να υπολογίσετε το όριο: f () t dt lim n f 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση: l. () 3 f t dt 8 3 f t dt 3 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, 3). Μονάδες 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 94. Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 88. Α3. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελ. 59. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 3
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 Α4. α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Έστω zyi,,y R. Έχουµε z-4 z- z-4 4 z- (z-4)( z 4) 4( z )( z ) zz 4z 4z 6 4zz 4z 4z 4 3zz zz 4 z 4 z. Άρα ο γ.τ. είναι κύκλος µε κέντρο Ο(, ) και ακτίνα ρ. z z Β. α) w z z 4 4 Έχουµε z z και z z z z 4 4 z z z z Είναι w z z 4 4 z z z z w. Άρα w R z z z z β) Έχουµε w, οπότε z z 4 w 4 4 w 4. z z Β3. w 4 4 z z z z z z w z z z z z z 4z z z z z z z z z z z -z. ( ΑΓ) z3 z iz z i z 5 3 ΒΓ z z iz z i z 5 Επειδή (ΑΓ)(ΒΓ) τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 4
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για κάθε R έχουµε ( ) f '( ) ' ( ) > είναι γνησίως αύξουσα στο R. για κάθε R {} και αφού η f είναι συνεχής στο, τότε η f Το σύνολο τιµών της f είναι το διάστηµα f( IR) lim f( ), lim f lim f lim lim αφού lim και lim lim f lim D.L.H. lim ( ) ' lim ' D.L.H Άρα f( IR) (, ) Γ. Για κάθε R έχουµε: ( ) 3 f 5 3 f f ( ) f 3 f R 3 3 3 lim f() (). 3 Επειδή f( IR) και η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, τότε η εξίσωση () έχει ακριβώς µια πραγµατική ρίζα. Γ3. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο R, τότε F' f για κάθε R. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 5
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 4 Έχουµε f() t dt F( 4) F (). Η F είναι συνεχής στο [, 4] και παραγωγίσιµη στο (, 4) µε >, οπότε σύµφωνα µε το Θ.Μ.Τ. υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, 4) τέτοιο ώστε: F( 4) F F( 4) F F' ( ξ). 4 Οπότε F(4)-F()f(ξ) (). Από (), () έχουµε: 4 f() t dt f() ξ. Επειδή <<ξ<4 και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε f(ξ)<f(4) ή f(ξ)<f(4). 4 Άρα f() t dt< f( 4) 4 4 () () () f t dt f t dt f t dt Γ4. Για κάθε (, ) έχουµε g Αφού η f είναι συνεχής στο (, ) τότε η συνάρτηση f() t dt είναι παραγωγίσιµη στο (, ). 4 H g () f (t)dt είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως σύνθεση των παραγωγίσιµων συναρτήσεων f() t dt και 4. Η g () f() t dt είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως σύνθεση των παραγωγίσιµων συναρτήσεων f() t dt και. Άρα η g είναι παραγωγίσιµη στο (, ) ως πηλίκο παραγωγίσιµων συναρτήσεων, οπότε η g είναι και συνεχής στο (, ). Για κάθε (, ) έχουµε ' 4 f() t dt f() t dt g' 4 ( 4f( 4) f ) f() t dt f() t dt 4 f( 4) f f( 4) f() t dt ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 6
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 4 Για κάθε (, ) από το Γ3 ισχύει () f 4 f t dt> Επειδή <<4 και η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε f < f 4 f( 4) f > > f 4 f g' > για κάθε (, ). Άρα Έχουµε lim g 4 () f t dt lim D.L.H 4 f() t dt ' lim lim 4f( 4) f ( )' g() αφού f συνεχής στο τότε 4 u u u limf (4) limf (u) f () και limf () limf (u) f () u Εποµένως η g είναι συνεχής στο. Επειδή η g είναι συνεχής στο [, ) µε g ()> για κάθε (, ) τότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). ΘΕΜΑ. Για κάθε IR έχουµε: f f f ' f f f ' f ' f f ' ()'. Άρα υπάρχει σταθερά c IR ώστε Για από () προκύπτει: f f c c. f f () Άρα, R. Για κάθε R έχουµε: f () f () f () f f () f () f () f () f () f f c, IR () ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 7
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 Θέτουµε f () φ, R οπότε φ (), R. Επειδή η φ είναι συνεχής στο IR και φ() για κάθε IR, τότε η φ διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R f () Αφού φ() > Τότε φ()> για κάθε IR. Άρα φ() f (), IR f (), IR. Επειδή για κάθε IR ισχύει Τότε f () l n( ), IR >., IR.. α) Η f είναι συνεχής στο ΙR αφού η f παραγωγίσιµη στο IR. Για κάθε IR έχουµε f ' l n( ) ' ( )' ( ) ' f ''( ) ' Έχουµε f ' f ' > < f ' < > - Η f είναι κυρτή στο (-, ] αφού η f είναι συνεχής στο (-, ] µε f ()> στο (-, ) µε f ()> στο (-, ). - Η f είναι κοίλη στο [, ) αφού η f είναι συνεχής στο [, ) µε f ()< στο (, ). Το σηµείο (, ) είναι σηµείο καµπής της C f αφού η f µηδενίζεται στο και εκατέρωθεν αυτό αλλάζει πρόσηµο. β) Η εφαπτοµένη ε της Cf στη σηµείο της Ο(, ) έχει εξίσωση ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 8
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ε: y-f()f ()(-) y Επειδή η f είναι κοίλη στο [, ) τότε f () για κάθε [, ) (η ισότητα ισχύει µόνο για ). Άρα Ε(Ω) [ ] d f ()d f () d ()' n( )d l l n d l n( ) n( ) l l n( ) τ./µ. 3. lim f f Επειδή η f είναι συνεχής στο τότε Αφού η συνάρτηση f (t) είναι συνεχής στο IR, τότε η () παραγωγίσιµη στο IR και άρα είναι συνεχής στο IR. είναι h f t dt Επειδή η h συνεχής στο τότε lim f () t dt lim h() h() f (t)dt Είναι f()> για κάθε (, ). Οπότε f() f() για κάθε (, ). f () t dt f () t dt Έχουµε lim n f lim f () nf l l f () αφού f () t dt h() u h() u lim lim lim u f () t dt lim f () D.L.H ' f () t dt f () t dt o o f lim lim, αφού f ' f ' limf '() lim ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 9
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 l lim f () nf lim lnf D.L.H f () f ' ( lnf( ))' f lim lim lim( f ) f '() ' f () f f Αφού u lim lnf liml nu και u f()> για >). 4. Για κάθε (, 3) έχουµε () lim f (Είναι ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα 3 f t dt 8 3 f t dt 3 ( ) 3 f( t) dt ( 3) 8 3 f () t dt Θεωρούµε τη συνάρτηση g ( ) 3 f( t) dt ( 3) 8 3 f () t dt, [,3] Οι συναρτήσει - και -3 είναι συνεχείς στο [, 3] ως πολυωνυµικές Οι συναρτήσεις f(t) και t lim f και είναι συνεχείς στο [, 3] ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Εποµένως η συνάρτηση f( t) dt είναι παραγωγίσιµη στο [, 3] και επειδή η συνάρτηση - είναι παραγωγίσιµη στο [, 3] τότε η συνάρτηση f( t) dt είναι παραγωγίσιµη στο [, 3] ως σύνθεση παραγωγίσιµων συναρτήσεων και άρα είναι συνεχής στο [, 3]. Η συνάρτηση f (t) είναι συνεχής στο [, 3] οπότε η συνάρτηση f (t)dt είναι παραγωγίσιµη στο [, 3] και άρα είναι συνεχής στο [, 3]. Εποµένως η g είναι συνεχής στο [, 3] ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών συναρτήσεων g() f () t dt 8 g(3) 3 f (t )dt Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, αφού f ' >, IR. Άρα f() f(), [, ). Οπότε f(), [, ) Ισχύει f() για κάθε [, ) (Η ισότητα ισχύει µόνο για )
ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 Η συνάρτηση K(t)t -f (t), t [, ] είναι συνεχής στο [, ] µε K(t) για κάθε t [, ] και η Κ δεν είναι παντού µηδέν στο [, ] ( ()) Άρα Κ() t dt> t f t dt> 3 () t dt f t dt> t f () t dt> 3 8 f () t dt 3 > 3 f (t)dt 8< g() < Η συνάρτηση Η(t)t -f(t ) t [, ] είναι συνεχής στο [, ] µε Η(t), για κάθε t [, ] και η Η δεν είναι παντού µηδέν στο [, ], άρα Η(t)dt t f (t ) dt > > t dt f (t )dt> 3 t f (t )dt> f (t )dt> 3 3 3 f (t )dt >. Εποµένως g() g(3) <, οπότε σύµφωνα µε το g(3)> θεώρηµα Bolzano η εξίσωση g() έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο (, 3) ΤΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΗΘΗΚΕ Ο ΤΟΜΕΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ www.floropoulos.gr ΚΟΥΣΗΣ Π. - ΤΖΩΡΤΖΙΝΗΣ Γ. ΦΙΛΙΟΓΛΟΥ Β. ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΣ Α. ΦΩΤΟΥ Φ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΟΜΟΚΕΝΤΡΟ» ΦΛΩΡΟΠΟΥΛΟΥ Σελίδα