ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε συζυγή παράσταση Περιπτώσεις που έχω ίδια υπόριζη ποσότητα και διαφορετικής τάξης ρίζες: Συήθως θέτω το ΕΚΠ τω ριζώ (αλλαγή µεταβλητής) Περιπτώσεις στις οποίες µηδείζοται και οι υπόριζες ποσότητες: Θα παραγοτοποιώ µέσα σε αυτές και θα σπάω τις ρίζα Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται προσθαφαίρεση ή διάσπαση κλασµάτω ώστε α προκύψει εύκολη παράσταση Να βρείτε τα παρακάτω όρια: 5 i) 9 ii) 6 iii) iv) 5 5 Να βρείτε τα παρακάτω όρια: i) ii) iii) iv) 0 6 7 v) Γ Πλευρικά όρια 0 0 < 0 0 0 > 0 Για α υπάρχει το όριο στο 0 της πρέπει τα πλευρικά όρια α είαι ίσα (και = ατίστροφα) δηλ ( ) ( ) 0 0 Γ Περιπτώσεις µε απόλυτα όπου το 0 είαι σηµείο µηδεισµού του απολύτου: ιακρίω περιπτώσεις ΕΙ ΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: Περιπτώσεις µε απόλυτα όπου το 0 δε µηδείζει τη παράσταση που βρίσκεται µέσα στο απόλυτο Πχ ΓΠεριπτώσεις στις οποίες έχω πολλαπλούς τύπους και το 0 είαι σηµείο αλλαγής τύπου Περιπτώσεις εύρεσης παραµέτρω ώστε α έχω ίσα πλευρικά όρια Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
Έστω συάρτηση ( ) = 9 α β 0 () =, α βρεθού οι τιµές τω á, â, R, ώστε Έστω η συάρτηση ( ) 7 ( ) = ( ) ë 7 9 7, α βρεθεί ο ë R, ώστε α υπάρχει το á 5 Να βρεθού οι τιµές τω á, â Rώστε â = 6 Εά ( ) = á ( â ã) ( ) α υπολογιστού οι á, â, ã Rώστε ( ) = ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ Χ 0 Για α υπολογίσουµε όρια της µορφής αριθµός προς µηδέ εργαζόµαστε ως εξής: Παραγοτοποιούµε το παροοµαστή k Αποµοώουµε τη παράσταση ( 0 ) που µηδείζει το παροοµαστή Παίρουµε πλευρικά όρια α κ: περιττός Υπολογίζω το όριο α κ: άρτιος 7 Να υπολογιστού τα παρακάτω όρια: ηµ ηµ i) ii) π 5 συ iii) 0 v) 6 9 6 iv) ( ) ( ) vi) 0 ηµ Σε περιπτώσεις στις οποίες µηδείζεται ο παροοµαστής και ο αριθµητής περιέχει παραµέτρους, εργαζόµαστε ως εξής: ιακρίω περιπτώσεις για το όριο του αριθµητή Εά είαι µηδέ έχουµε µορφή 0 0 στη οποία παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή Εά είαι διάφορο του µηδεός εργαζόµαστε όπως στη προηγούµεη οµάδα ασκήσεω Να υπολογιστού τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιµές τω κ,µ: k m k i) ii) ιοται οι συαρτήσεις,g µε () =, kαι g() = i) Να οριστεί η συαρτηση h = og ii) Να βρεθεί το h() Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
ΟΡΙΑ ΣΤΟ, Όρια πολυωυµικώ συαρτήσεω στο ± α α α α = α ± ( ) ( ) 0 ± ΠΡΟΣΟΧΗ! Εά έχουµε παραµέτρους σα συτελεστές ή σα έκθετες, θα διακρίω περιπτώσεις για τη παράµετρο για α βρω το µεγιστοβάθµιο όρο Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) 5 ii) 5 5 iii) 6 5 Να βρεθού τα όρια: k i) 8 5 iv) ( ) ( 5 0) ii) (k ) 5k Όρια ρητώ συαρτήσεω ± α > µ α α α α 0 α α = = α = µ ± µ µ µ β β β β ± µ µ 0 βµ βµ 0 α < µ ΠΡΟΣΟΧΗ! Εά έχουµε παραµέτρους σα συτελεστές ή σα έκθετες, θα διακρίω περιπτώσεις για τη παράµετρο για α βρω το µεγιστοβάθµιο όρο Να βρεθού τα παρακάτω όρια: 0 0 0 ( ) ( ) ( 00) ( )( ) i) ii) 0 0 0 Να βρεθού τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιµές του κ: (k ) (k ) i) ii) (k ) (k ) k Περιπτώσεις µε ρίζα: Βγάζω µέσα στη ρίζα το µεγιστοβάθµιο όρο κοιό παράγοτα Θυµάµαι ότι: = α > 0 και = α < 0 Περιπτώσεις µε ρίζες στις οποίες προκύπτει ( λ) ιακρίω περιπτώσεις για το ( λ) Α ( λ ) 0 βρίσκω το όριο ± : Α ( λ ) = 0 πολλαπλασιάζω συήθως µε συζυγή παράσταση 5 Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) ( ) iii) ( ) ii) ( 6 ) iv) ( ) 6 Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) ( ) 7 Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) ( 9 ) ii) ( 6 ) ii) ( 9 ) Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
8 Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) 7 ii) 9 9 Να βρεθού τα παρακάτω όρια για τις διάφορες τιµές του κ: k 9 i) ( ) ii) ( k) 0 Να βρείτε τα α,β ώστε α β = α Περιπτώσεις ρητώ παραστάσεω στις οποίες έχω απόλυτα: Βγάζω το απόλυτο αάλογα µε το πρόσηµό του και συεχίζω κατά τα γωστά Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) ii) 5 ηµ συ Περιπτώσεις = 0 και = 0 : ± ± Λύοται µε κριτήριο παρεµβολής Να βρεθού τα παρακάτω όρια: i) ( ηµ 7) iii) ηµ Να βρείτε τους α,β ώστε ( α β) = ii) iv) ηµ ηµ ( ηµ ) Να υπολογιστεί το όριο ηµ ηµ ηµ ηµ, Ν * 5 Έστω η συάρτηση : (0, ) R α () ( ) = () 6 Έστω η συαρτηση : (0, ) R () α ( () ) = α βρεθεί το α βρεθεί το 7 Α,g ορισµέες στο διάστηµα ( 0, ) ισχύει ότι: () g() =, () g() = α βρείτε τα () ( ) ( ) και g() () 8 Α = 5 () µε : (0, ) R Να βρείτε το () Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 Να εξετασθού ως προς τη συέχεια οι συαρτήσεις για τις διάφορες τιµές τω παραµέτρω κ,λ k, < 0, < 0 k i) () = k λ, = 0 ii) () = λ, = 0 k λ, > 0, > 0 9 β, < 0 0 Να βρεθού τα α,β ώστε η συαρτηση () = α, 0 0 = και η C α διέρχεται από το σηµείο (,6) α είαι συεχής στο Να βρεθεί το κ ώστε η α είαι συεχής στο 0 = όπου και το σηµείο Μ(,5) α αήκει στη C µε k λ, () = ( κ λ), < α β 5, < β α, 0 Έστω οι συαρτήσεις () = και g() = α β, α β, χ = 0 δείξτε ότι εά η συαρτηση g είαι συεχής τότε και η είαι συεχής, Έστω η ορισµέη στο R και συεχής στο 0 = 0 α βρεθεί η τιµή (0) ότα ισχύει: ηµ () για * R Έστω η συαρτηση : (,) R α για κάθε (,0) (0,) ισχύει: ηµ () ηµ και (0)= α δείξετε ότι η είαι συεχής στο 0 = 5 Έστω η συάρτηση ορισµέη στο R και ισχύει ότι: () α δείξετε ότι η είαι συεχής στο 0 = 0 ηµ () 6 Α η συαρτηση είαι συεχής στο 0 = 0 και = 5 0 που η C τέµει το άξοα y'y α υπολογιστεί () 7 Έστω η συαρτηση ορισµέη στο R και ισχύει ότι: = 5 από το σηµείο M(,-) α δείξετε ότι η είαι συεχής στο 0 = και η C διέρχεται () συ 8 Έστω η συάρτηση ορισµέη στο R και ισχύει ότι: = 0 συαρτηση είαι συεχής στο 0 = 0 α υπολογιστεί το (0) και η Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 5
9 Οι συαρτήσεις,g είαι ορισµέες στο R και για κάθε ισχύει ότι: ( ()) ( g() ) α δείξετε ότι είαι και οι δυο συεχείς στα 0 = 0 και = π 0 Οι συαρτήσεις,g είαι ορισµέες στο R και για κάθε ισχύει 0 = ηµ ότι: ( ()) ( g() ) ηµ = () g() ηµ α δείξετε ότι είαι και οι δυο συεχείς στο 0 = 0 Α η συαρτηση είαι συεχής στο = 0 και για κάθε,y ισχύει ότι: ( y) = () (y) Να δείξετε ότι είαι πατού συεχής στο R ίεται η συαρτηση : A R µε τη ιδιότητα: () ( ) < i)να δείξετε ότι η είαι συεχής ii)η g() = () είαι γ φθίουσα Α η συαρτηση είαι συεχής στο 0 = και () 0 και για κάθε, y R ισχύει ότι: (y) = ()(y) α βρεθεί το () και α δείξετε ότι η είαι συεχής στο R Να βρεθού τα α,β,γ ώστε η συαρτηση () = α β, γ, = α είαι συεχής 5 Εά η συαρτηση : R R είαι συεχής στο 0 = και για κάθε R ισχύει η σχέση ( ) () α βρεθεί το () α 6 ίεται η συαρτηση: () = α α είαι συεχής στο 0 = ( β ), < β, α βρεθού οι α,β ώστε η συαρτηση ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ότα θέλουµε α δείξουµε ότι µια εξίσωση της µορφής A()=B() έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο (α,β), τότε θεωρούµε τη συάρτηση ( ) = A( ) B( και αποδεικύουµε ότι η ικαοποιεί τις προϋποθέσεις του θ Bolzano στο [α,β] 0 α, β τέτοιο Έτσι σύµφωα µε το θ Bolzano θα υπάρχει τουλάχιστο έα σηµείο ( ) ώστε α ισχύει ( 0 ) 0 A( 0 ) B( 0 ) = 0 A( 0 ) = B( 0 ) εξίσωση A ( ) = B( ) έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο ( α, β) Ότα θέλουµε α δείξουµε ότι η εξίσωση ( ) = κ, ( κ R) διάστηµα αρκεί α δείξω ότι κ ( ) Ότα θέλουµε α δείξουµε ότι η εξίσωση ( ) = κ, ( κ R) =, που σηµαίει ότι η Ότα θέλουµε α δείξουµε ότι η εξίσωση ( ) ( ) έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο έχει το πολύ µία ρίζα στο διάστηµα, αρκεί α δείξω ότι η είαι - ή ότι η είαι γησίως µοότοη στο = κ, κ R έχει ακριβώς µία λύση στο διάστηµα τότε εργαζόµαστε ως εξής: ο ΒΗΜΑ: είχουµε ότι η είαι - (µε το ορισµό ή δείχοτας ότι η α είαι γησίως µοότοη) ο ΒΗΜΑ: είχουµε ότι η εξίσωση ( ) = κ έχει µία τουλάχιστο ρίζα στο δείχοτας προς τούτο ότι κ ( ) ή εφαρµόζοτας το θ Bolzano για τη g( ) = ( ) κ 6 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
σε κατάλληλο διάστηµα [ α, β] ή χρησιµοποιώτας το θεδιάµεσω τιµώ για τη σε κατάλληλο διάστηµα [ α, β] Α θέλουµε α δείξουµε ότι υπάρχει 0 ( α, β) τέτοιο ώστε α ισχύει A ( 0 ) = B( 0 ) θεωρούµε τη συάρτηση ( ) A( ) B( ) = και δοκιµάζουµε α για τη εφαρµόζεται το θ Bolzano στο [α,β] ή σε κάποιο υποδιάστηµα του [α,β] Α όµως δε µπορούµε α δείξουµε ότι είαι ( α ) ( β) < 0, τότε δοκιµάζουµε τη µέθοδο της εις άτοπο απαγωγής 0 α, β τέτοιο ώστε α ισχύει ( 0 ) = κ, µπορούµε α δοκιµάσουµε α εφαρµόζεται για τη συάρτηση το θεώρηµα τω εδιάµεσω τιµώ στο διάστηµα [α,β] δηλ α η είαι συεχής στο [α,β] και το κ είαι µεταξύ τω ( α) και ( β) Α αυτό συµβαίει τότε σύµφωα µε το ΘΕΤ θα υπάρχει έα 0 α, β τέτοιο ώστε ( ) = κ Ότα θέλουµε α δείξουµε ότι υπάρχει ( ) τουλάχιστο ( ) 0 7 Α () = ( α ) ( α ) α, α R α δείξετε ότι η εξίσωση () = 0 έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο διάστηµα ( 0,) 6 8 Έστω οι συαρτήσεις () = 5 και g() = 5 δείξτε ότι η εξίσωση () g() 0, = έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο διάστηµα ( ) 9 Έστω οι συαρτήσεις,g συεχείς στο [,5] α ισχύει ότι ( ) < g( ), g(5) < (5) είξτε ότι οι C, τέµοται σε έα τουλάχιστο σηµείο µε τετµηµέη στο διάστηµα (,5) C g 0 Α () Α συεχής στο,] ξ ( ξ ) = ξ ξ 8 = είξτε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο (, ) [ δείξτε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο (,) * 6 ξ τέτοιο ώστε ( ξ ) = 50 ξ τέτοιο ώστε Να δειχτεί ότι η εξίσωση ( ) = έχει πραγµατική ρίζα στο (,0) α β Να δείξετε ότι η εξίσωση = 0 γ δ ã,ä µια ρίζα στο διάστηµα ( ) * µε α,β, γ,δ R, 0 < γ < δ έχει τουλάχιστο Θεωρούµε τη συεχή συαρτηση : [ α, α] [ α, α] Να δείξετε ότι υπάρχει έα τουλάχιστο 0 [ α, α] τέτοιο ώστε ( 0 ) = 0 5 ίεται η εξίσωση = 0 Να δείξετε ότι έχει τρεις ρίζες στο διάστηµα (,) 6 Α,g συεχείς συαρτήσεις στο [ 0,] για τις οποίες ισχύει: (0) = g() και () = g(0) όπου g(0) g() α δείξετε ότι υπάρχει 0 (0,) ώστε (0 ) = g(0) 7 ίεται η συεχείς συαρτηση :[ α, β] µε ( ) ( β) µ (α) (β) ώστε ( 0 ) = µ α Να δείξετε ότι υπάρχει ( α, β) 0 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7
8 Θεωρούµε τις συεχείς συαρτήσεις,g :[ α, β] ( α, β) µε g ( α ) = β και g( β) = α α δείξετε ότι η εξίσωση () g() á,â = έχει µια τουλάχιστο πραγµατική ρίζα στο ( ) 9 ίοται οι συαρτήσεις,g ορισµέες και συεχείς στο διάστηµα Α για κάθε ισχύει () g() = k µε k R και η εξίσωση () = 0 έχει στο διάστηµα δυο ρίζες ετεροσηµες τις, µε < δείξτε ότι η εξίσωση g () = 0 έχει µια τουλάχιστο ρίζα στο διάστηµα, ] [ 50 Έστω η συαρτηση :[ α, β] R µε α () β τέτοια ώστε () (y) λ y, λ ( 0,),, y R i)να δείξετε ότι η είαι συεχής στο διάστηµα [ α, β] ii)ότι υπάρχει µοαδικός ξ [ α, β] µε (ξ) = ξ 5 Έστω η συάρτηση :[ α, β] R συεχής και,,, αριθµοί που αήκου στο διάστηµα [ α, β] Να δείξετε ότι υπάρχει î R τέτοιος ώστε () ( ) ( ) ( ξ) =, N Για α δείξω ότι η διατηρεί σταθερό πρόσηµο, εργάζοµαι ως εξής: Υποθέτω ότι αλλάζει πρόσηµο και υπάρχου δυο τιµές της ετεροσηµες Εφαρµόζω θεώρηµα Bolzano µεταξύ τω τιµώ αυτώ και καταλήγω σε άτοπο 5 Έστω η συεχής συαρτηση :[,] R µε ( ) () = 9 για κάθε [,] Να, αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα ( ) 5 Έστω :[0, π] R και συεχής για τη οποία ισχύει συ ( ()) =, [0, π] Να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο διάστηµα [ 0, π ] 8 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός