ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Ποι ρολήμτ οδήγησν στην νάγκη ορισμού της ρχικής συνάρτησης ; Δώστε τον ορισμό της ρχικής συνάρτησης ή ράγουσς f στο Δ κι έν ράδειγμ Πολλές φορές στην ράξη ρουσιάζοντι ρολήμτ, ου η λύση τους ιτεί ορεί ντίστροφη της ργώγισης Τέτοι ρολήμτ είνι γι ράδειγμ τ ρκάτω: Η εύρεση της θέσης S (t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστή η τχύτητά του υ (t) ου, όως γνωρίζουμε, είνι η ράγωγος της συνάρτησης θέσης S(t) Η εύρεση της τχύτητς υ (t) ενός κινητού τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστή η ειτάχυνσή του γ (t) ου, όως γνωρίζουμε, είνι η ράγωγος της συνάρτησης υ υ(t) Η εύρεση του ληθυσμού N (t) μις κοινωνίς κτηριδίων τη χρονική στιγμή t, ν είνι γνωστός ο ρυθμός ύξησης N (t) του ληθυσμού Το κοινό χρκτηριστικό των ρολημάτων υτών είνι ότι, δίνετι μι συνάρτηση f κι ζητείτι ν ρεθεί μι άλλη συνάρτηση F γι την οοί ν ισχύει F ( ) f ( ) σε έν διάστημ Δ Οδηγούμστε έτσι στον ρκάτω ορισμό ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αρχική συνάρτηση ή ράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F ου είνι ργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F ( ) f ( ), γι κάθε Δ (Αοδεικνύετι ότι κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημ Δ έχει ράγουσ στο διάστημ υτό) Γι ράδειγμ, η συνάρτηση F( ) είνι μι ράγουσ της f ( ) στο, φού ( ) 7
Δώστε έν ράδειγμ το οοίο ν οδηγεί στο θεώρημ των ργουσών συνρτήσεων κι κτόιν διτυώστε κι οδείξτε το θεώρημ υτό Γι ράδειγμ, η συνάρτηση F( ) είνι μι ράγουσ της f ( ) στο, φού ( ) Πρτηρούμε ότι κι όλες οι συνρτήσεις της μορφής G( ) c F( ) c, όου c, είνι ράγουσες της f στο, φού ( c) ΘΕΩΡΗΜΑ Γενικά ισχύει το ρκάτω θεώρημ: Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Αν F είνι μι ράγουσ της f στο Δ, τότε όλες οι συνρτήσεις της μορφής G( ) F( ) c, c, είνι ράγουσες της f στο Δ κι κάθε άλλη ράγουσ G της f στο Δ ίρνει τη μορφή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε συνάρτηση της μορφής f στο Δ, φού G( ) F( ) c, c G( ) F( ) c, όου c, είνι μι ράγουσ της G ( ) ( F( ) c) F( ) f ( ), γι κάθε Δ Έστω G είνι μι άλλη ράγουσ της f στο Δ Τότε γι κάθε F ( ) f ( ) κι G ( ) f ( ), οότε G ( ) F( ), γι κάθε Δ Άρ, σύμφων με το όρισμ της 6, υάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G( ) F( ) c, γι κάθε Δ Δ ισχύουν Τι κλείτι όριστο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f στο Δ ; Δώστε έν ράδειγμ Ποιο συμέρσμ συνάγετι άμεσ ό τον ορισμό υτό ; Τι κλείτι ολοκλήρωση κι τι στθερά ολοκλήρωσης ; Το σύνολο όλων των ργουσών μις συνάρτησης f σ έν διάστημ Δ ονομάζετι όριστο ολοκλήρωμ της f στο Δ, συμολίζετι f ( ) d κι διάζετι ολοκλήρωμ εφ του ντε Δηλδή, όου F μι ράγουσ της f στο Δ Γι ράδειγμ, 8 f ( ) d F( ) c, c, συν d ημ c, φού ( ημ) συν
Αό τον τρόο ου ορίστηκε το όριστο ολοκλήρωμ ροκύτει ότι: Γι κάθε συνάρτηση f, ργωγίσιμη σε έν διάστημ Δ, ισχύει f ( ) d f ( ) c, c Η διδικσί εύρεσης του όριστου ολοκληρώμτος είνι ντίστροφη ορεί της ργώγισης κι λέγετι ολοκλήρωση Η στθερά c λέγετι στθερά ολοκλήρωσης Ν γρφεί ίνκς όριστων ολοκληρωμάτων Αό τον ίνκ των ργώγων σικών συνρτήσεων ρίσκουμε τον ρκάτω ίνκ όριστων ολοκληρωμάτων Οι τύοι του ίνκ υτού ισχύουν σε κάθε διάστημ στο οοίο οι ρστάσεις του ου εμφνίζοντι έχουν νόημ ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d c 6 ημd συν c d c 7 d εφ c συν d ln c 8 d σφ c ημ d 5 συνd c, 9 d ημ c d c c ln 5 Ποιες είνι οι δύο ιδιότητες του όριστου ολοκληρώμτος ου ροκύτουν ό τον ορισμό του κθώς κι ό τους κνόνες ργώγισης ; Συνέει του ορισμού του όριστου ολοκληρώμτος κι των κνόνων ργώγισης είνι οι εξής δύο ιδιότητες: Αν οι συνρτήσεις f κι g έχουν ράγουσ σ έν διάστημ Δ, τότε * λ f ( ) d λ f ( ) d, λ ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d 6 Ν υολογισθούν τ : d, ( ημ ) d, d d c d 9
( ημ ) d ημd ημd συν c d d d d d d c c d 7 N ρεθεί συνάρτηση f τέτοι, ώστε η γρφική της ράστση ν διέρχετι ό το σημείο A (, ) κι ν ισχύει f ( ), γι κάθε ΛΥΣΗ Εειδή f ( ), έχουμε διδοχικά: ( ) d ( f f ) d, c, c ( ) c c f ( ) c c, c, c f ( ) c, c Γι ν διέρχετι η f ό το σημείο A (,) ρέει κι ρκεί f ( ) ή, ισοδύνμ, c, δηλδή c Εομένως, f ( ) 8 Η είσρξη E (), ό την ώληση μονάδων ενός ροϊόντος ( ) μις ιομηχνίς, μετάλλετι με ρυθμό E( ) (σε χιλιάδες δρχμές νά μονάδ ροϊόντος), ενώ ο ρυθμός μετολής του κόστους ργωγής είνι στθερός κι ισούτι με (σε χιλιάδες δρχμές νά μονάδ ροϊόντος) Ν ρεθεί το κέρδος της ιομηχνίς ό την ργωγή μονάδων ροϊόντος, υοθέτοντς ότι το κέρδος είνι μηδέν ότν η ιομηχνί δεν ράγει ροϊόντ ΛΥΣΗ Αν P () είνι το κέρδος κι K () είνι το κόστος ργωγής γι μονάδες ροϊόντος, τότε P( ) E( ) K( ), Οότε Δηλδή Οότε P( ) E( ) K( ) 98 P( ) 98, P ( ) d (98 ) d
κι άρ P( ) 98 c, c Οτν η ιομηχνί δεν ράγει ροϊόντ, το κέρδος είνι μηδέν, δηλδή ισχύει P ( ),οότε c Εομένως, P( ) 98 Άρ, το κέρδος ό μονάδες ροϊόντος είνι 98 5 8 (σε χιλιάδες δρχμές) P() 98
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αόριστο ολοκλήρωμ Ασκήσεις σχολικού ιλίου A Oμάδς Ν ρείτε τη συνάρτηση f, με εδίο ορισμού το διάστημ (, + ), γι την οοί ισχύει f () κι f(9) Το σύνολο των ρχικών συνρτήσεων της f () είνι f() + c, (, + ) κι οοιοδήοτε cϵr () Γι 9, η () f(9) 9 + c + c c 5 () f() 5, (, + ) Ν ρείτε την συνάρτηση f γι την οοί ισχύει f (), f () 6 κι f() f () f () + c () f () + c 6 + c c () f () + f() + + c () f() + + c () f() + + c
Ν ρείτε την συνάρτηση γι την οοί ισχύει f () + κι η γρφική της ράστση στο σημείο της Α(, ) έχει κλήση Αό υοθέσεις έχουμε f() κι f () f () + f () + + c () f () + + c 6 + c c - Η () γίνετι f () + f() + + η () Η () γίνετι f() + + η + η η f() + +, ϵr O ληθυσμός Ν(t), σε εκτομμύρι, μις κοινωνίς κτηριδίων, t υξάνετι με ρυθμό Ν (t) νά λετό Ν ρείτε την ύξηση του ληθυσμού στ 6 ρώτ λετά t t Ν (t) Ν(t) + c 6 Ζητούμενη ύξηση του ληθυσμού : Ν(6) Ν() ( c) ( c) c c εκτομμύρι 5 Μί ιομηχνί έχει διιστώσει ότι γι την εδομδιί ργωγή εξρτημάτων έχει ορικό κόστος + 5 ( ευρώ νά μονάδ ροϊόντος ) Ν ρείτε την συνάρτηση κόστους της εδομδιίς ργωγής, ν είνι γνωστό ότι τ στθερά εδομδιί έξοδ της ιομηχνίς, ότν δεν ράγει κνέν εξάρτημ είνι ευρώ Θυμίζουμε την έννοι του ορικού κόστους : Αν Κ() είνι η συνάρτηση κόστους τότε η Κ () λέγετι ορικό κόστος γι μονάδες ροϊόντος Κ () + 5 Κ() 5 K() 5 + c c Η () γίνετι 5 K() + +, + c ()
6 Μι νέ γεώτρηση εξόρυξης ετρελίου έχει ρυθμό άντλησης ου δίνετι ό τον τύο R (t) t t, όου R(t) είνι ο ριθμός σε χιλιάδες των ρελιών ου ντλήθηκν στους t ρώτους μήνες λειτουργίς της Ν ρείτε όσ ρέλι θ έχουν ντληθεί τους 8 ρώτους μήνες λειτουργίς της R (t) t t Η () γίνετι R(t) t + 5t R(t) t 5t t R() 5 + c c t + c () R(8) 8+5 6 8 5 χιλιάδες ρέλι
Β Oμάδς Η θερμοκρσί Τ ενός σώμτος ου εριάλλετι ό έν ψυκτικό υγρό, ελττώνετι με ρυθμό κ κt, όου, κ είνι θετικές στθερές κι t ο χρόνος Η ρχική θερμοκρσί Τ() του σώμτος είνι Τ ο +, όου Τ ο η θερμοκρσί του υγρού, η οοί με κτάλληλο μηχάνημ διτηρείτι στθερή Ν ρείτε τη θερμοκρσί του σώμτος την χρονική στιγμή t Δίνετι ότι Τ (t) κ κt Αλλά ( κt ) κ κt, άρ Τ(t) κt + c () () Τ(t) κt + T o Τ() κ + c Τ ο + + c c T o Ένς ιομήχνος, ο οοίος εενδύει χιλιάδες ευρώ στη ελτίωση της ργωγής του εργοστσίου του, νμένει ν έχει κέρδος Ρ() χιλιάδες ευρώ ό την εένδυση υτή Μι νάλυση της ργωγής έδειξε ότι ο ρυθμός μετολής του κέρδους Ρ(), ου οφείλετι στην εένδυση υτή δίνετι ό τον - τύο Ρ () 5,8 Ν ρείτε το συνολικό κέρδος ου οφείλετι σε ύξηση της εένδυσης ό ευρώ σε 6 ευρώ Εειδή 5,8 5,8 Ρ() 5,8 + c Είνι ευρώ χιλιάδες ευρώ κι 6 ευρώ 6 χιλιάδες ευρώ Το ζητούμενο συνολικό κέρδος θ είνι Ρ() 6 + c () Ρ(6) Ρ() 6 ( 6 c) ( 6 c) - - 6 6 χιλιάδες ευρώ 5
Αό την ώληση ενός νέου ροϊόντος μις ετιρείς διιστώθηκε ότι ο ρυθμός μετολής του κόστους Κ(t) δίνετι ό τον τύο Κ (t) 8,6t (σε ευρώ την ημέρ), ενώ ο ρυθμός μετολής της είσρξης Ε(t) στο τέλος των t ημερών δίνετι ό τον τύο Ε (t) +,t ( σε ευρώ την ημέρ ) Ν ρείτε το συνολικό κέρδος της ετιρείς ό την τρίτη έως κι την έκτη ημέρ Έστω Ρ(t) η συνάρτηση του κέρδους, όου t το λήθος των ημερών Είνι Ρ(t) Ε(t) - Κ(t) Ρ (t) E (t) K (t) Ρ (t) +,t 8 +,6t Ρ (t) +,9t Ρ(t) t + To ζητούμενο συνολικό κέρδος θ είνι,96 Ρ(6) Ρ() ( + 6 c ) ( 6 t,9 + c,9 + c ) 8, ευρώ Έστω f, g δύο συνρτήσεις με f() g(), f() g() + κι f () g () γι κάθε ϵr Ν οδείξετε ότι : i) f() g() +, γι κάθε ϵr ii) Αν η συνάρτηση g έχει δύο ρίζες, με < <, τότε η συνάρτηση f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, ) i) f () g () f () g () + c γι κάθε ϵr f() g() + c + c γι κάθε ϵr () f () g() + c + c άρ c ( φού f() g() ) () f() g() + c γι κάθε ϵr () f() g() + c, λλά f() g() + g() + g() + c άρ c () f() g() + γι κάθε ϵr () ii) Εειδή η f είνι δύο φορές ργωγίσιμη στο R, θ είνι συνεχής σ υτό κι εομένως συνεχής στο διάστημ [, ] Είσης φού τ κι είνι ρίζες της g θ είνι g() g() () f() g() + κι f() g() + Οότε f()f() < φού < < Με το θεώρημ Bolzano συμερίνουμε ότι η f έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο (, )
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ερωτήσεις θεωρίς ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ : Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ Πως εκφράζετι η μέθοδος ολοκλήρωσης κτά ράγοντες ; Ν δοθεί ο τύος της μεθόδου κι ν οδειχθεί Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες εκφράζετι με τον τύο: f ( ) g( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d ου είνι συνέει του κνόν ργώγισης του γινομένου δύο ργωγίσιμων συνρτήσεων f, g σε έν διάστημ Δ Πράγμτι, γι κάθε Δ, έχουμε ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) f ( ) g( ), Οότε f ( ) g ( ) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) Εομένως ( ) g( ) d ( f ( ) g( )) d f f ( ) g( ) d ή, ισοδύνμ, ) g( ) d f ( ) g( ) c f f ( ( ) g( ) d () Εειδή το ολοκλήρωμ του δεύτερου μέλους της () εριέχει μι στθερά ολοκλήρωσης, το c μορεί ν ρλειφθεί, οότε έχουμε τον ράνω τύο Δώστε έν ράδειγμ υολογισμού ολοκλήρωσης κτά ράγοντες στο οοίο ν φίνετι όσο κρίσιμη είνι η ειλογή της σωστής ράγουσς Ο τύος f ( ) g ( ) d f ( ) g( ) f ( ) g( ) d χρησιμοοιείτι γι τον υολογισμό ολοκληρωμάτων με την ροϋόθεση ότι το ολοκλήρωμ του μέλους υολογίζετι ευκολότερ Γι ράδειγμ, ς υολογίσουμε το ολοκλήρωμ d Έχουμε: d ) d d ( c Αν, τώρ, δοκιμάσουμε ν υολογίσουμε το ράνω ολοκλήρωμ, λλάζοντς τους ρόλους των κι, ρίσκουμε d d Το τελευτίο, όμως, ολοκλήρωμ είνι ιο σύνθετο ό το ρχικό d 7
Σε οιες κτηγορίες ολοκληρωμάτων χρησιμοοιείτι η ργοντική ολοκλήρωση ; Η ργοντική ολοκλήρωση χρησιμοοιείτι σε : Α) ολοκληρώμτ της μορφής : όου P () ολυώνυμο του κι R* Β) ολοκληρώμτ της μορφής : P( ) όου P () ολυώνυμο του κι R* Γ) ολοκληρώμτ της μορφής : όου P () ολυώνυμο του κι R* Δ) ολοκληρώμτ της μορφής όου, R* d P ( )ημ( ) d, P ( )συν( ) d ) P ( ) ln( ) d, ) ημ ( d, συν ( d N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ i) d ii) ημ d ΛΥΣΗ iii) ( )lnd iv) d ημ i) Έχουμε d ( ) d ( ) d ( ) d c Με τον ίδιο τρόο υολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής * όου P () ολυώνυμο του κι ii) Έχουμε P( ) d ημd ( συν) d συν συνd συν ημ Με τον ίδιο τρόο υολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής * όου P () ολυώνυμο του κι P ( )ημ( ) d, P ( )συν( ) d d d c 8
iii) Έχουμε ( ) ln d ( ) ln d ( ) ln ( ) d ( ) ln ( ) d ( ) ln c Με τον ίδιο τρόο υολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής * όου P () ολυώνυμο του κι P ( ) ln( ) d, iv) Θέτουμε I ημ () d I ημ (), οότε έχουμε ( ) ημ() d ημ() ( ) συν( ) d ημ () συν() ημ() συν() I ημd συν() d Εομένως, 5I ημ() συν() c, Οότε I ημ() συν() c 5 5 Με τον ίδιο τρόο υολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής * όου, ) ) ημ ( d, συν ( d 5 Ο ληθυσμός P (t), t, μις όλης, ου ροέκυψε ό συγχώνευση κοινοτήτων, υξάνετι με ρυθμό (σε άτομ νά έτος) ου δίνετι ό t/ τον τύο P ( t) t, t, όου t είνι ο ριθμός των ετών μετά τη συγχώνευση Ν ρεθεί ο ληθυσμός P (t) της όλης t χρόνι μετά τη συγχώνευση, ν γνωρίζουμε ότι ο ληθυσμός ήτν κάτοικοι κτά τη στιγμή της συγχώνευσης ΛΥΣΗ Έχουμε P t) dt Οότε / ( t dt ( t ) tdt / t / t t / t / t / P( t) t c, γι κάοιο c Ότν t, ο ληθυσμός είνι Συνεώς: dt t / t / t c, P () c c Αρ, ο ληθυσμός της όλης, t χρόνι μετά τη συγχώνευση, είνι t / t / P ( t) t 9
6 Ποι ολοκληρώμτ υολογίζοντι με την μέθοδο της ολοκλήρωση με ντικτάστση ; Με οιον τύο εκφράζετι υτή κι ως οδεικνύετι ο τύος της ; Με τη μέθοδο της ολοκλήρωση με ντικτάστση υολογίζουμε ολοκληρώμτ ου έχουν ή μορούν ν άρουν τη μορφή f ( g( )) g( ) d Η μέθοδος ολοκλήρωσης με ντικτάστση εκφράζετι με τον κόλουθο τύο: f ( g( )) g( ) d f ( u) du, όου u g() κι du g( ) d Ο ράνω τύος χρησιμοοιείτι με την ροϋόθεση ότι το ολοκλήρωμ f ( u) du του δευτέρου μέλους υολογίζετι ευκολότερ Η όδειξη του τύου υτού στηρίζετι στο γνωστό κνόν ργώγισης σύνθετης συνάρτησης Πράγμτι, ν F είνι μι ράγουσ της f, τότε F ( u) f ( u), () Οότε F ( g( )) f ( g( )) κι άρ ( g( )) g( ) d F( g( )) g f ( ) d ( F ( g( )) ) d (φού ( F( g( )) F( g( )) g( ) ) F( g( )) c F( u) c, (όου u g() f u) du ( (λόγω της ()) 7 Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d ΛΥΣΗ Γι το ολοκλήρωμ d Θέτουμε u κι du ( ) d d d udu u / du u / c, οότε το ολοκλήρωμ γράφετι: ( ) / c ( ) c 8 N υολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) ( ) d ii) εφ d 5
ΛΥΣΗ i) Θέτουμε u, οότε du ( ) d d Εομένως, du d ( ) u ημ ii) Έχουμε εφd d συν du ( συν) d ημd, έχουμε: u du c u c Εομένως, ν θέσουμε u συν, οότε εφd du ln u c ln συν c u 9 Ν υολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) ημ( ) d ii) d 6 ΛΥΣΗ i) Θέτουμε Εομένως, u 6 6, οότε du ( ) d d ημ( ) d 6 ημ( ) 6 99 iii) ) d d ( συνu c συν( ) c 6 ii) Θέτουμε u, οότε du ( ) d d Εομένως, d du ln u u iii) Θέτουμε u, οότε du d Άρ ημudu c ln c 99 99 u ( ) d u du c ( ) c Ν υολογισθούν τ ολοκληρώμτ 7 i) d ii) d 5 6 5 6 ΛΥΣΗ i) Η συνάρτηση ( ) 5 6 f έχει εδίο ορισμού το R {,} κι γράφετι f ( ) ( )( ) Ανζητούμε ργμτικούς ριθμούς Α, Β έτσι, ώστε ν ισχύει 5
A B ( )( ) Με λοιφή ρονομστών έχουμε τελικά:, γι κάθε {, } ( A B ) A B, γι κάθε {, } Η τελευτί ισότητ ισχύει γι κάθε {, }, ν κι μόνο ν A B A B ή, ισοδύνμ, A B 5 7 Εομένως, 5 7 5 d d 5 6 7 d 5 ln 7 ln c Με τον ίδιο τρόο εργζόμστε γι τον υολογισμό ολοκληρωμάτων της μορφής κ λ d, με γ γ ii) Αν εκτελέσουμε τη διίρεση του ολυωνύμου 7 με το ολυώνυμο 5 6, ρίσκουμε ότι Εομένως, 7 5 6 7 d 5 6 d d 5 6 5 6 5 ln 7 ln c (λόγω του (i)) Mε τον ίδιο τρόο υολογίζουμε ολοκληρώμτ της μορφής P( ) d, γ όου P () ολυώνυμο του θμού μεγλύτερου ή ίσου του κι γ 5
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μέθοδοι ολοκλήρωσης ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ : Η ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ ΕΙΝΑΙ ΕΚΤΟΣ ΥΛΗΣ Ασκήσεις σχολικού ιλίου A Oμάδ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) d ii) ( ) d iii) ln d iv) ημd v) συν d vi) d ln, ln vii) d viii) συν d i) ημ d ΛΥΣΗ i) ( ) c ii) (6 7) c iii) ln c 6 iv) ( / )συν ημ c v) ημ συν c vi) ln c vii) ln c viii) 5 (συν ημ) c i) (ημ συν ) c N υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ημ d ii) ( 6 7) ( ) d iii) ( 6) d iv) d v) d ΛΥΣΗ i) συν c ii) ( 6 7) c iii) 6( 6) c iv) ( ) / c / v) ( ) ( ) c 5 5
N υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) ημ d ii) d iii) d ln iv) ΛΥΣΗ ( ) ln( d ) ημ v) d i) συν c ii) ln( ) c iii) ln c iv) ln(ln( )) c v) συν c 5
Β Oμάδ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ΛΥΣΗ ημ i) d συν ημ ii) εφ ln(συν ) d iii) d i) ln( συν ) c ii) [ln(συν)] c iii) συν ημ c Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) d ii) d ΛΥΣΗ iii) ) d ln( / i) c 9 ii) c iii) ( )[ln( ) ] c N υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ΛΥΣΗ i) ln d ii) (ln t) dt iii) συν d i) (ln ) c ii) t(lnt) tlnt t c iii) ημ συν c N υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ΛΥΣΗ i) εφ d κι d συν συν ii) d ημ κι συν d ημ iii) ημ d κι d συν i) ln συν c κι εφ ln συν c ii) c ημ κι σφ c ημ iii) συν συν c κι ημ ημ c 55
5 Με τη οήθει των τύων ΛΥΣΗ συν ημ κι ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: συν συν i) ημ d ii) συν d iii) συν d ημ i) ημ c ii) ημ c iii) ημ c 8 6 Mε τη οήθει των τύων ημσυν ημ( ) ημ( ), συν συν συν( ) συν( ) ημημ συν( ) συν( ) ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: ΛΥΣΗ i) συν d ημ ii) συν 5d συν iii) ημ ημd i) συν συν c 6 ii) ημ 6 ημ8 c iii) ημ ημ6 c 7 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) d ii) d iii) d iv) d ΛΥΣΗ i) ln c ii) 5 ln 8ln c iii) ln ln c iv) ln c 56
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ορισμένο Ολοκλήρωμ Ερωτήσεις θεωρίς Πως ρίσκουμε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( ), τον άξον των κι τις ευθείες κι (Προλικό χωρίο) ; Έστω ότι θέλουμε ν ρούμε το εμδόν του χωρίου Ω (Εμδόν ρολικού χώρου) ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f ( ), τον άξον των κι τις ευθείες κι (Προλικό χωρίο Σχ 5) 5 6 Ω O O v v v v Μι μέθοδος ν ροσεγγίσουμε το ζητούμενο εμδόν είνι η εξής: Χωρίζουμε το διάστημ [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ, μήκους άκρ τ σημεί:,, ν ν,, ν ν ν, ν ν ν Δ ν Σχημτίζουμε τ ορθογώνι με άσεις τ υοδιστήμτ υτά κι ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε κθέν ό υτά (Σχ 6) Μι ροσέγγιση του εμδού ου ζητάμε είνι το άθροισμ, ε ν, των εμδών των ράνω ορθογωνίων Δηλδή, το:, με ν ε ν f ( ) f f f ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ( ν ) ν(ν ) ν ν [ ( ν ) ] ν ν 6 6ν 57
Αν, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώνι με άσεις τ ράνω υοδιστήμτ κι ύψη την μέγιστη τιμή της f σε κθέν υτά (Σχ 7), τότε το άθροισμ 7 ν Ε ν f f f ν ν ν ν ν ν των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι μι κόμη ροσέγγιση του ζητούμενου εμδού Είνι όμως, ν Ε ν f f f ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ( ) ν ν ν ν( ν )(ν ) ν ν ν 6 6ν Το ζητούμενο, όμως, εμδόν Ε ρίσκετι μετξύ των ισχύει εν Ε Εν, οότε lim εν Ε limεν Εειδή limε ν ν lim Ε ν ν ν, έχουμε ν Ε v v O v v ε ν κι E ν Δηλδή Αν, τώρ, σχημτίσουμε τ ορθογώνι με άσεις τ ράνω υοδιστήμτ [ κ, κ ], κ,,, ν κι ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οοιοδήοτε ενδιάμεσο σημείο ξ κ, κ,,,,, ν, κθενός διστήμτος, (Σχ 8), τότε το άθροισμ S ν f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ν ν ν ν των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι μι κόμη ροσέγγιση του ζητούμενου εμδού Εειδή f ( κ ) f ( ξκ ) f ( κ ) γι κ,,, ν, θ είνι ) 8 f(ξ k ) O ξ ξ ξ k ξ v f ( ν ) f ( ξ ν ) f ( ν ), οότε θ ισχύει εν Sν Εν κ κ κ Είνι όμως, lim ε lim E Ε Άρ θ ισχύει lim Ε ν ν ν ν S ν ν Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ], με f ( ) γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της f, τον άξον των κι τις ευθείες, Ν υολογισθεί το εμδόν του χωρίου Ω Γι ν ορίσουμε το εμδόν του χωρίου Ω (Σχ 9) εργζόμστε όως στο υολογισμό του ρολικού χωρίου γμ Δηλδή: 58
Χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ, μήκους σημεί ν Δ ν, με τ Σε κάθε υοδιάστημ [ κ, κ ] ειλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι ου έχουν άση Δ κι ύψη τ f ( ξ κ ) Το άθροισμ των εμδών των ορθογωνίων υτών είνι Yολογίζουμε το Sν f ( ξ) Δ f ( ξ ) Δ f ( ξν ) Δ [ f ( ξ) f ( ξν )] Δ lim S ν Αοδεικνύετι ότι το ν lim S υάρχει στο κι είνι νεξάρτητο ό την ν ν ειλογή των σημείων ξ κ Το όριο υτό ονομάζετι εμδόν του ειέδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε (Ω) Είνι φνερό ότι Ε ( Ω) O f(ξ ) f(ξ ) Ω Δ f(ξ k) a v f() f(ξ ν) k ν ξ ξ k- ξk ν- ξν 9 Πως ορίζετι το ορισμένο ολοκλήρωμ ; Πως εεκτείνετι ο ορισμός υτός κι τι ροκύτει ό τον ορισμό υτό ; Έστω μι συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς στο [, ] Με τ σημεί ν χωρίζουμε το διάστημ [, ] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ μήκους Δ ν f Στη συνέχει ειλέγουμε υθίρετ έν ξ κ [ κ, κ ], γι κάθε κ {,,, ν}, κι σχημτίζουμε το άθροισμ Sν f ( ξ) Δ f ( ξ ) Δ f ( ξ κ ) Δ f ( ξν ) Δ το οοίο συμολίζετι, σύντομ, ως εξής: Aοδεικνύετι ότι, S ν ν κ Το όριο του θροίσμτος S ν, δηλδή το f ( ξ ) Δ κ () ν lim f ( ξ κ ) Δ () υάρχει στο R κι ν κ είνι νεξάρτητο ό την ειλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ Το ράνω όριο () ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f ό το στο, συμολίζετι με f ( ) d κι διάζετι ολοκλήρωμ της f ό το στο Δηλδή, O a ξ f() ξ k v- ξ v v ξ () Το άθροισμ υτό ονομάζετι έν άθροισμ RIEMANN 59
f ( ) d lim f ( ξ κ ) Δ ν ν κ Το σύμολο οφείλετι στον Libniz κι ονομάζετι σύμολο ολοκλήρωσης Αυτό είνι ειμήκυνση του ρχικού γράμμτος S της λέξης Summa (άθροισμ) Οι ριθμοί κι ονομάζοντι όρι της ολοκλήρωσης Η έννοι όρι εδώ δεν έχει την ίδι έννοι του ορίου του ου κεφλί ου Στην έκφρση f ( ) d το γράμμ είνι μι μετλητή κι μορεί ν ντικτστθεί με οοιοδήοτε άλλο γράμμ Έτσι, γι ράδειγμ, οι εκφράσεις f ( ) d, f ( t) dt συμολίζουν το ίδιο ορισμένο ολοκλήρωμ κι είνι ργμτικός ριθμός, σε ντίθεση με το συνρτήσεων f ) d ( ου είνι έν σύνολο Είνι, όμως, χρήσιμο ν εεκτείνουμε τον ράνω ορισμό κι γι τις εριτώσεις ου είνι ή, ως εξής: f ( ) d f ( ) d f ( ) d Αό τους ορισμούς του εμδού κι του ορισμένου ολοκληρώμτος ροκύτει ότι: Αν f ( ) γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωμ f ( ) d δίνει το εμδόν E (Ω) του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f τον άξον κι τις ευθείες κι (Σχ ) Δηλδή, f() Ω O Εομένως, f ( ) d E( Ω) Αν f ( ), τότε f ( ) d N οδειχθεί ότι c d c( ), γι οοιοδήοτε c R ΑΠΟΔΕΙΞΗ i) Αν, τότε cd c( ) c( ) ii) Αν, τότε, εειδή η f ( ) c είνι συνεχής στο [, ], έχουμε cd f ( ) d lim[( f ( ξ) Δ f ( ξ ) Δ f ( ξ ν )) Δ] ν lim [ f ( ξ ) f ( ξ ) f ( ξ ν ν 6 ν )]
lim ( c c c) ν ν lim νc c( ) ν ν c iii) Αν, τότε cd cd c( ) c( ) O ΣΧΟΛΙΟ Αν c κι ύψος c, τότε το cd εκφράζει το εμδόν ενός ορθογωνίου με άση 5 Ποι θεωρήμτ δίνουν τις ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος ; Με τη οήθει του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώμτος οδεικνύοντι τ ρκάτω θεωρήμτ ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω f, g σ υ ν ε χ ε ί ς συνρτήσεις στο [, ] κι λ, μ Τότε ισχύουν κι γενικά f ( ) d λ λ f ( ) d [ ( ) g( )] d f ( ) d f g( ) d [ f ( ) μg( )] d λ f ( ) d μ λ g( ) d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν η f είνι σ υ ν ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι,, γ Δ, τότε ισχύει γ f ( ) d f ( ) d f ( ) d Γι ράδειγμ, ν f ( ) d κι f ( ) d 7, τότε f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d 7 γ 6
ΣΗΜΕΙΩΣΗ Αν f ( ) κι γ η ράνω ιδιότητ δηλώνει ότι: Ε( Ω) Ε( Ω ) Ε( Ω ) φού κι Ε ( Ω ) f ( ) d, Ε ( Ω ) f ( ) d γ Ε ( Ω) f ( ) d γ O Ω γ f() Ω ΘΕΩΡΗΜΑ ο Έστω f μι σ υ ν ε χ ή ς συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] Αν f ( ) γι κάθε [, ] κι η συνάρτηση f δεν είνι ντού μηδέν στο διάστημ υτό, τότε f ( ) d 6
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Αν Ορισμένο Ολοκλήρωμ Ασκήσεις σχολικού ιλίου A Oμάδ 8 f()d 9, f()d, f()d, ν ρείτε τ ολοκληρώμτ i) i) ii) iii) iν) iii) f()d 8 f()d f()d 8 f()d Ν οδείξετε ότι f()d ii) f()d iν) f()d 8 f()d + f()d f()d + f()d 9 8 f()d + f()d + 5 lntdt ln dt lnt dt lntdt t ln dt t lntdt 8 f()d 8 f()d 8 f()d + f()d 9 + lnt dt Ν υολογίσετε το κ έτσι ώστε 5 d d κ κ 5 κ d d κ κ κ 5 d d κ κ d 5 5 d 6
Αν i) κ κ d d (κ ) κ f() d 5 κι g()d ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ( f() 6 g()) d κι ii) i) ( f() 6 g()) d ( f() g()) d f() d 6 g() d 5 6 ( ) + ii) ( f() g()) d ( f() g()) d f() d g() d 5 + ( ) 6
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση F() f ( t) dt Ερωτήσεις θεωρίς Ν διτυωθεί το θεώρημ, το οοίο μς εξσφλίζει την ύρξη ράγουσς μις συνεχούς συνάρτησης f σε έν διάστημ Δ κι ν γίνει γεωμετρική ερμηνεί-όδειξη Ποι είνι η άμεση συνέει του θεωρήμτος υτού σε συνδυσμό με το θεώρημ ργώγισης της σύνθετης συνάρτησης; θεώρημ Αν f είνι μι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F ( ) f ( t) dt, Δ, είνι μι ράγουσ της f στο Δ Δηλδή ισχύει: Γι ράδειγμ f ( t) dt f ( ) a ημ tdt ημ, γι κάθε Δ κι lntdt ln Εοτικά το συμέρσμ του ράνω θεωρήμτος ροκύτει ως εξής: h F ( h) F( ) f ( t) dt Άρ, γι μικρά h είνι οότε Εμδόν του χωρίου Ω f ( ) h, γι μικρά F( h) F( ) f ( ) h h F( h) F( ) F ( ) lim f ( ) h h, Αό το ράνω θεώρημ κι το θεώρημ ργώγισης σύνθετης συνάρτησης ροκύτει ότι: f ( t) dt f ( g( )) g( ) g(), με την ροϋόθεση ότι τ χρησιμοοιούμεν σύμολ έχουν νόημ Γι ράδειγμ, lntdt (ln ) ( ) (ln ) 9 ln O F() f() f() 65
Ν διτυωθεί κι ν οδειχθεί το Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού) Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [, ] Αν G είνι μι ράγουσ της f στο [, ], τότε ΑΠΟΔΕΙΞΗ f ( t) dt G( ) G( ) Σύμφων με το ροηγούμενο θεώρημ, η συνάρτηση F ( ) f ( t) dt είνι μι ράγουσ της f στο [, ] Εειδή κι η G είνι μι ράγουσ της f στο [, ], θ υάρχει c G( ) F( ) c () Αό την (), γι Εομένως,, έχουμε G ) F( ) c f ( t) dt c c (, οότε c G() G( ) F( ) G( ), οότε, γι, έχουμε κι άρ G ( ) F( ) G( ) f ( t) dt G( ) ΣΧΟΛΙΟ f ( t) dt G( ) G( ) Πολλές φορές, γι ν λοοιήσουμε τις εκφράσεις μς, συμολίζουμε τη διφορά G( ) G( ) με [ G ( )], οότε η ισότητ του ράνω θεωρήμτος γράφετι Γι ράδειγμ, d 9 ημ d [ συν] συν συν d [ln ] ln ln f ( ) d [ G( )] [ f ( ) d] 66
ΛΥΣΗ Δίνετι η συνάρτηση F( ) t dt i) Ν ρεθεί το εδίο ορισμού της F ii) Ν μελετηθεί ως ρος τη μονοτονί κι τ κρόττ η F i) Η συνάρτηση f ( t) t έχει εδίο ορισμού το σύνολο (, ] [, ) Γι ν ορίζετι η F, ρέει τ άκρ, του ολοκληρώμτος ν νήκουν στο ίδιο διάστημ του εδίου ορισμού της f Άρ, ρέει [, ), οότε το εδίο ορισμού της F είνι το σύνολο [, ) ii) Γι [, ) έχουμε: F ( ) t dt Εειδή η F είνι συνεχής στο [, ) κι ισχύει F ( ) γι κάθε (, ), η συνάρτηση F είνι γνησίως ύξουσ στο [, ), οότε ρουσιάζει ελάχιστο το F ( ) Ποιες μεθόδους ολοκλήρωσης γνωρίζετε ; Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ο τύος της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ ίρνει τη μορφή όου [, ] ) g( ) d [ f ( ) g( )] f f ( ( ) g( ) d, f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις στο Γι ράδειγμ, ς υολογίσουμε το ολοκλήρωμ I Ι / / / ( ημ) d [ ημ] ( ) [ ημ ] / / [ ημ] συν ημd / / [ ] / ημd συνd Έχουμε: 67
Ο τύος ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ ίρνει τη μορφή f ( g( )) g( ) d f ( u) du, όου f, g είνι συνεχείς συνρτήσεις, u g(), du g( ) d κι u g( ), u g( ) u u Γι ράδειγμ, ς υολογίσουμε το ολοκλήρωμ Έχουμε: I ln d Aν θέσουμε I ln (ln ) d u ln, τότε du (ln ) d, ln u κι u ln Εομένως, u I udu ΛΥΣΗ 5 N υολογισθούν τ ολοκληρώμτ i) d ii) d i) Εχουμε d d d d d iii) d d 5 - d ii) Έχουμε d d 5 [ ] [ ln ] ln ln d / d / d / / / / [ ] iii) Εειδή,,, έχουμε 5 d ( ) d 5 ( ) d 5 9 9 9 68
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Η συνάρτηση F() f ( t) dt Ασκήσεις σχολικού ιλίου 5 A Oμάδ Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ i) iii) ( ) d ii) (συν ημ) d iν) + d d i) ( ) d [ + ] ( + ) ( + ) 8 + 6 ii) + d + d + d + d ln ln ln (ln ) 69
iii) iν) (συν ημ) d d (ημ συν) + d 8 9 6 Ν οδείξετε ότι 7 d d 5 5 7 7 d + d d d 5 5 5 5 7 5 +5 7 d 5 d 5 d 5 ( 5 5) d d Ν οδείξετε ότι f() f () d f() f () d (f()) (f()) ' f() f () d (f()) (f()) (f()) d f () 7
Αν η γρφική ράστση της συνάρτησης f διέρχετι ό τ σημεί Α(, ) κι Β(, ), ν ρείτε την τιμή του ολοκληρώμτος είνι συνεχής στο [, ] f () d, εφόσον η f Αφού η γρφική ράστση της f διέρχετι ό τ σημεί Α(, ) κι Β(, ) ισχύουν f() κι f() f() f() Είσης f () d f () 5 Ν ρείτε τις ργώγους των συνρτήσεων i) F() συν t dt ii) F() συν i) ' ' F () t dt συν (συν) ημ ( ημ ημ ημ) συνθ dθ θ ii) F() συνθ συνθ dθ θ dθ F () θ συνθ dθ θ ' συν ( ) συν συν 6 i) Ν ρείτε την ράγωγο της συνάρτησης f() ln ii) Ν οδείξετε ότι d ln ' i) f () ln( ) 7
ii) + d ( i ) f ()d f() f() ln( ) ln ln( ) 7
Αν Β ομάδς 6 t g(t) dt + γι κάθε χϵr, ν ρείτε το g() 6 t g(t) dt + ' 6 ' t g(t) dt ( + ) g() + 6 5, Γι έχουμε g () + 6 Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση Πεδίο ορισμού : D f R + συνt συνt f() dt + dt Άρ f () + συνt + συνt, είνι στθερή f() dt dt + dt συν συν(+) ' + (+) συν + συν(+) συν συν + Εομένως η f είνι στθερή στο R + συνt συνt dt + dt ' συνt t Αν f() τοικά κρόττ της f Πεδίο ορισμού : dt, ν ροσδιορίσετε τ διστήμτ μονοτονίς κι τ t D f R f (), f () Πρόσημο της f κι μονοτονί της f + f + f Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, ] κι γνησίως ύξουσ στο [, + ) t Προυσιάζει ελάχιστο γι, το f() dt t 7
Aν F() f(t) dt, ν ρείτε την F () F() f(t) dt F() f(t) dt F () f(t) dt + ( f(t)dt + f() ' f(t)dt) 5Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση F() dt dt t t στθερή στο (, + ) κι ν ρείτε τον τύο της Γι κάθε (,+ ) έχουμε F () + + Άρ F() c Η δοσμένη ισότητ γι δίνει F() dt + t t dt Οότε F() γι κάθε (, + ) είνι + 6Ν ρείτε το h h lim 5 t dt h h h lim 5 t dt h lim h h 5 t dt h h 5 t dt lim h lim h ' h 5 ( h) 9 7Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ 6 i) d ii) [ημ(συν )ημ ημ(συν )] d 7
6 i) Ι d Θέτουμε u d du d du Γι u Γι 6 u 6 Οότε το Ι γράφετι Ι du u u ii) Ι [ημ(συν )ημ ημ(συν )] d Θέτουμε συν + u ( ημ + )d du Γι u συν + [ημ(συν )(ημ )] d (ημ )d du Γι Οότε Ι u συν + ημu ( du) ημu du [συνu] συν συν συν 8i Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ d Είνι ν κι + ν οότε Ι d d + d ( + d + ( ) d ( )d + ( ) d [ ] + [ ] 8 ( ) ( ) ( ) 5 5 6 6 6 8ii Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ Εειδή lim f() lim f() κι f() d, ν f(),, lim f() lim ημ f(), η f είνι συνεχής στο ο, άρ συνεχής κι στο [, ] 75
Οότε f() d - d + - ημ d + [ συν] ( ) + ( συν συν) 8iii Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ d Πρόσημο του τριώνυμου : Οότε + + + + d ( ) d ( ) d ( ) d + + 8 7 7 8 6 6 9i Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ ln d ln d ' ln ( ) d ln d ln d ln ln ln ( ) ln + + 76
9ii Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ d ( ) d d ( ) ( ) d 9iii Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ ln(9 + ) d Θέτουμε 9 + u d du d du Γι u 9 + 9 Γι u 9 + Οότε ln(9 + ) d lnu du 9 lnu du 9 u lnu du 9 u ln u u du 9 9 u u ln u du 9 9 u ln u - 9 u 9 ( ln 9ln 9) ( 9) 9 5ln ln 9 9iv Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ Ι συν d συν d ' ( ) συν d ( ημ) d 77
συν συν + ( ) + + ημ d ( ) ημ d (ημ) d + + I I συν d Αοδείξμε ότι Ι I 5Ι Ι 5 ημ d Αν Ι, J συν d, ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ I + J, I J, I, J I + J ημ d + συν d ( ημ + συν )d Ι J ημ d συν d (ημ + συν )d d 8 ( ημ συν ) d (ημ συν ) d ( συν) d συν d d + d () 78
+ ημ d ( ) () () + () Ι () () Ι 8 + 8 Ι 6 + Ι 6 Έστω μί συνάρτηση f με συνεχή την f κι γι την οοί ισχύει (f() + f ()) ημ d Αν f(), με την οήθει της ολοκλήρωσης κτά ράγοντες, ν υολογίσετε το f() [ συν f() ] + (f() + f ()) ημ d f()ημ d + f () ημ d f()( συν) d + (f ()) ημ d f () συν d + [f ()ημ] f () συν d ( συν f() συν f() ) + ( f () ημ f () ημ ) + f()+ f() Έστω οι συνρτήσεις f, g με f, g συνεχείς στο [, ] Αν f() g() κι f () g (), ν οδείξετε ότι Ι Ι (f() g () f () g()) d g () (f() g()) (f() g () f () g()) d f()g ()d f ()g()d f()g ()d f ()g()d f()(g ()) d (f ()) g())d 79
[f() g ()] f ()g () d [f () g()] + f () g ()d (f()g () f()g ()) (f ()g() f ()g()) f()g () f ()g() + f()g () g ()g() g () (f() g()) 8
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εμδόν είεδου χωρίου Ερωτήσεις θεωρίς Αν f είνι συνεχής συνάρτηση σε έν διάστημ [, ] κι f ( ) γι κάθε [, ], τότε το ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της f, τις ευθείες, κι τον άξον Αφού η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, ] κι f ( ) γι κάθε [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ορίζετι ό τη γρφική ράστση της f, τις ευθείες, κι τον άξον είνι E ( Ω) f ( ) d O f() Ω Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f ( ), τον άξον κι τις ευθείες, (Σχ 7) είνι ίσο με 7 d / d / O Αν δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] με f ( ) g( ) γι κάθε [, ] τότε ν ρεθεί το χωρίο Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Οι δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] με f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι f() f() 8 Ω g() O () Ω O () 8 g() Ω O (γ)
Πρτηρούμε ότι Εομένως, ( f ( ) d g( ) d ( f ( ) Ε Ω) Ε( Ω ) Ε( Ω ) g( )) d E ( Ω) ( f ( ) g( )) d () Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( ) κι g( ) είνι ίσο με: E ( Ω) [ f ( ) g( )] d ( ) d Ω + 9 O Αν δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] με f ( ) g( ) γι κάθε [, ] τότε ν ρεθεί το χωρίο Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Αφού οι συνρτήσεις f, g είνι συνεχείς στο [, ], θ υάρχει ριθμός c R τέτοιος ώστε f ( ) c g( ) c, γι κάθε [, ] Είνι φνερό ότι το χωρίο Ω (Σχ ) έχει το ίδιο εμδόν με το χωρίο Ω (Σχ ) f() Ω f()+c Ω O g() () Εομένως, σύμφων με τον τύο (), έχουμε: g()+c O () Άρ, [( f ( ) c) ( g( ) c)] d ( f ( ) Ε ( Ω) Ε( Ω) g( )) d E ( Ω) ( f ( ) g( )) d 8
Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τον άξον, τη γρφική ράστση μις συνάρτησης g, με g ( ) γι κάθε [, ] κι τις ευθείες κι Πράγμτι, εειδή ο άξονς είνι η γρφική ράστση της συνάρτησης f ( ), έχουμε E ( Ω) ( f ( ) g( )) d [ g ( )] d g( ) d Εομένως, ν γι μι συνάρτηση g ισχύει g ( ) γι κάθε [, ], τότε E ( Ω) g( ) d Γι ράδειγμ, το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της g ( ) κι τον άξον είνι ίσο με E ( Ω) ( ) d ( ) d O - O Ω - Ω g() + 5 Αν δυο συνρτήσεις f κι g, συνεχείς στο διάστημ [, ] γι κάθε [, ] τότε ν ρεθεί το χωρίο Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι Ότν η διφορά f ( ) g( ) δεν διτηρεί στθερό ρόσημο στο [, ], τότε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των f, g κι τις ευθείες κι είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων Ω, Ω κι Ω Δηλδή, O Ω γ g() Ω δ f() Ω Ε( Ω) Ε( Ω ) Ε( Ω ) Ε( Ω ) γ ( f ( ) g( )) d ( g ( ) f ( )) d ( f ( ) g( )) d δ ( ) g( ) d f ( ) g( ) d f ( ) γ γ δ γ δ f g( ) d f ( ) g( ) d Εομένως, E ( Ω) f ( ) g( ) d δ 8
Γι ράδειγμ, ς υολογίσουμε το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( ), g( ) κι τις ευθείες, Αρχικά ρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της διφοράς f ( ) g( ) στο διάστημ [,] Εειδή f ( ) g( ) ( ) ( )( ), έχουμε τον κόλουθο ίνκ: - - Ο f ( ) g( ) + Λμάνοντς, τώρ, υόψη τον ράνω ίνκ, έχουμε f ( ) g( ) ( g( ) f ( )) d ( f ( ) g( )) d E ( Ω) ( g( ) f ( )) d ) d ( ) d ( ( ) d ΣΧΟΛΙΟ Σύμφων με τ ράνω το f ( ) d είνι ίσο με το άθροισμ των εμδών των χωρίων ου ρίσκοντι άνω ό τον άξον μείον το άθροισμ των εμδών των χωρίων ου ρίσκοντι κάτω ό τον άξον Ο a + + 6 N ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f ( ) ημ, g( ) συν κι τις ευθείες κι ΛΥΣΗ Αρχικά ρίσκουμε τις ρίζες κι το ρόσημο της διφοράς f ( ) g( ) στο διάστημ [, ] Στο διάστημ υτό έχουμε f ( ) g( ) ημ συν εφ Ο / ημ συν 5/ ή 5 8
Εομένως, γι το ρόσημο της διφοράς ίνκ: f ( ) g( ) ημ συν έχουμε τον κόλουθο 5 f ( ) g( ) + Λμάνοντς, τώρ, υόψη τον ίνκ υτόν, έχουμε Ε( Ω) f ( ) g( ) d / ( ημ συν) d (ημ συν) d ( ημ 5 / / 5 / [ συν ημ] ημ / 5 / [ συν ημ] / [ συν ] 5 / συν) d 7 Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της f ( ) ln, τον άξον των κι την εφτομένη της C f στο σημείο A (, ) ΛΥΣΗ Η εξίσωση της εφτομένης της σημείο A (,) είνι Εειδή ε: f ( )( ) () f ( ) (ln ), έχουμε Εομένως, η () γράφετι: ( ) f ( ) C f στο Ο ε ln 7 Το ζητούμενο εμδόν Ε είνι ίσο με το εμδόν του τριγώνου μείον το εμδόν του χωρίου ου ορίζετι ό τη άξον κι τις ευθείες κι, δηλδή E d ln d [ ln ] d [ ] ln [ ] C f τον 85
8 Ν υολογιστεί το εμδόν Ε του κυκλικού δίσκου ρ ΛΥΣΗ Το ημικύκλιο C είνι γρφική ράστση της συνάρτησης φού γι είνι f ( ) ρ, [ ρ, ρ], ρ ρ Αν E είνι το εμδόν του ημικυκλίου, τότε E E Εειδή f ( ) γι κάθε [ ρ, ρ], έχουμε ρ E ρ ρ (c ) 8 ρ Ο (c ) ρ ρ Ε ρ ρ d () Εειδή ρ ρ, έχουμε ρ Εομένως, υάρχει θ, τέτοιο, ώστε ημθ () ρ Έτσι, έχουμε ρημθ, θ,, οότε d ρσυνθd θ Ειλέον, γι ρ είνι θ κι γι ρ είνι θ Εομένως, / Ε ρ ρ ημ θ ρσυνθdθ ρ ημ θ συνθdθ / / / / / / / ρ συν θ συνθdθ ρ συν θdθ (Εειδή συνθ ) / / συνθ ημ θ θ ρ ρ dθ ρ / / Άρ Ε Ε ρ Με τον ίδιο τρόο οδεικνύουμε ότι το εμδόν της έλλειψης με είνι ίσο 86
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Εμδόν είεδου χωρίου Ασκήσεις σχολικού ιλίου 7 A Oμάδ Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f() +, τις ευθείες, κι τον άξον των Βρίσκουμε το ρόσημο του τριώνυμου f() + στο διάστημ [, ] Δ <, άρ f() > γι κάθε Το ζητούμενο εμδόν είνι : Ε ( + )d 8 6 Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f, τον άξον των κι τις ευθείες ου δίνοντι κάθε φορά i) f(),, 7 ii) f(),, συν i) Εειδή Ε γι κάθε [, 7] το ζητούμενο εμδόν είνι 7 7 d d 7 7 (7) ( ) ii) Γι κάθε, είνι συν, άρ Ε εφ d συν εφ εφ 87
Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f() κι τoν άξον των Τ σημεί τομής της εξίσωσης f() C f με τον άξον των έχουν τετμημένες τις λύσεις της ( ) ή Το διάστημ ολοκλήρωσης είνι το [, ] Πρόσημο της f : + f() + + Εειδή f() στο [, ], θ είνι Ε f() d ( + )d 7 7 9 Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f() κι g() Βρίσκω τ σημεί τομής των δύο γρφικών ρστάσεων, οι τετμημένες τους είνι οι λύσεις της εξίσωσης f() g() + ( + ) ή ή Διάστημ ολοκλήρωσης είνι το [-, ] Η διφορά f() g() + ( + ) ( + )( ) Πρόσημο της διφοράς f() g() + f() + + : 88
Εομένως Ε (f() g())d ( f() g())d ( + )d + ( )d + + + 8 7 5Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f() κι της ευθείς Η εξίσωση της ευθείς γράφετι g() Οι τετμημένες των σημείων τομής των δύο γρφικών ρστάσεων είνι οι λύσεις της εξίσωσης f() g() + 6 ή Το διάστημ ολοκλήρωσης είνι το [, ] Η διφορά f() g() + + 6 Πρόσημο της διφοράς f() Ε (f() g ( ))d ( )d + f() + g() ( 6)d + 6 8 7 9 8 5 6 89
Β Ομάδς Έστω η συνάρτηση f() i) Ν ρείτε την εξίσωση της εφτομένης της C f στο σημείο της Α(, ) ii) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη εφτομένη της στο Α κι τον άξον των i) f () 6, f() κι f () 6 Άρ η εφτομένη στο Α είνι : 6( ) 6 ii) Ανζητάμε το εμδόν του μικτογράμμου τριγώνου ΟΒΑ, όου το Β είνι το σημείο τομής της εφτομένης με τον άξον των Γι, η 6, άρ Β, Φέρνουμε ΑΓ, οότε Γ(, ) C f, την A P() t 6- Ζητούμενο εμδόν : Ε (Μικτόγρμμο ΟΓΑ) (Τρίγωνο ΒΓΑ) f () d g() d O B Γ d 6 d d (6 )d ( ) + Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, f(),, τις ευθείες, κι τον άξον των 9
lim f() lim ( +), lim f() lim, Α Β Γ κι f(), άρ f συνεχής στο ο, άρ συνεχής στο [, ] - Ο Πρόσημο του κλάδου + : + > < < < ου ισχύει φού [, ) Πρόσημο του κλάδου : Προφνώς > φού [, ] Εομένως Ε f()d ( )d d + - + 8 Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης, f() 5, κι τον άξον των lim f() lim ( ) lim f() lim ( 5) + f() άρ f συνεχής στο ο, άρ συνεχής στο Κοινά σημεί της C f Β Ο Α Δ Γ με τον άξον : + άρ Α(, ) 5 + 5 άρ Δ 5, Πρόσημο του κλάδου + : + > 9
Πρόσημο του κλάδου + 5 : + < + 5 5 < < ου ισχύει φού [, ) 5 Εομένως Ε f( ) d 5 f( ) d + 5 f( ) d 5 ( )d ( 5)d 5 5 8 5 5 8 6 Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f () κι g() Κοινό εδίο ορισμού [, + ) B A C g O Cf 5 Κοινά σημεί των C f, C g : f() g() ( ) 9 9( ) ( + ) 9 9 + + 9
7 + ή 5 Πρόσημο της διφοράς f() g() : f() g() f() g() + 9( ) ( + ) 9 9 + + 7 + 5 E 5 f ( ) g( ) d 5 5 (f () g())d ( )d d d ( ) d ( )d 5 5 5 5 ( ) 5 5 5 5 ( ) ( 5 ) 6 5 5 i) Ν υολογίσετε το εμδόν Ε(λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f (), g() ln, τον άξον των κι την ευθεί λ, λ > ii) Ν ρείτε το όριο lim ( ) λ C f i) C g Κοινό εδίο ορισμού το (, + ) Β Κοινά σημεί των C, C : f() g() Δ f g ln 9 O Α K
Προφνής ρίζ το Άρ Β(, ) Έστω h() f() g() ln με ροφνή ρίζ το h () <, άρ h γνύξουσ το μονδική ρίζ To ζητούμενο εμδόν ερικλείετι ό τη γρμμή ΑΒΔΚΑ Ε(λ) ln d d () Αλλά ln d ln d ln κι d ln lnλ () Ε(λ) lnλ + ii) lim ( ) lim (ln ) + d ( ) ( ) 6 Ν υολογίσετε το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διλνού σχήμτος Ε ( )d + ( )d O χ ln + ln + 9 5 ln + + ln ln 9 (9 ) ( ) - + 7 Ν υολογίσετε το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του διλνού σχήμτος A Η τετμημένη του σημείου Α ροκύτει ό τη λύση της εξίσωσης : + Το σημείο Β έχει τετμημένη τη θετική λύση της εξίσωσης : O Β / - χ 9
Ε ( )d ( )d ( )d 9 ( ) 9 6 7 8 Δίνετι η συνάρτηση f() ημ i) Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτόμενων της C f στ σημεί Ο(, ) κι Α(, ) ii) Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη C f κι τις ράνω εφτόμενες i) f () συν f () κι f () Εφτόμενη στο Ο(, ) : f() f ()( ) Εφτομένη στο Α(, ) : O ημ ( ) f() f ()( ) ημ ( ) + + ii) Σημείο τομής Α των εφτομένων : A / - + Α, Φέρνουμε την κάθετο ό το Α στον άξον, η οοί χωρίζει το ζητούμενο εμδόν σε δύο μέρη Ε ( )d ( )d 95
8 8 9 i) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της συνάρτησης f(), την εφτόμενή της στο σημείο (, ) κι τον άξον των ii) Ν ρείτε την ευθεί η οοί χωρίζει το χωρίο υτό σε δύο ισεμδικά χωρί i) A f () f () Εξίσωση της εφτόμενης στο Α(, ) : - O f() f ()( ) ( ) άρ + Η εφτόμενη στο Α τέμνει τον άξον των στο σημείο με τετμημένη την λύση της εξίσωσης + Το ζητούμενο εμδόν χωρίζετι ό τον άξον των σε δύο μέρη Ε d d ii) Εξετάζουμε ν υάρχει τιμή του με έτσι ώστε ν ισχύει ( )d 6 6 6 + 6 + Αό υτές, στο διάστημ [, ] νήκει η 6 6 Άρ η ευθεί ή χωρίζει το χωρίο σε δύο ισεμδικά τμήμτ 6 Ανζητώντς ευθεί με φθάνουμε σε δύντη εξίσωση, άρ δεν υάρχει τέτοι ευθεί 96
Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου το οοίο ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των συνρτήσεων f() ln, g() ln κι την ευθεί ln Η συνάρτηση g γράφετι g() ln g() ln ln g() ln - ln Α Β ln ln Οότε η γρφική της ράστση είνι συμμετρική της των C f ως ρος τον άξον Τετμημένη του σημείου τομής Α της με την ευθεί ln : ln ln A Τετμημένη του σημείου τομής Β της C f με την ευθεί ln : ln ln B C g O Γ Τετμημένη του σημείου τομής Γ των C f, C g : ln ln ln ln Οι κάθετες στον άξον ό τ Α, Β ορίζουν τ άκρ ολοκλήρωσης Η κάθετος στον άξον ό το Γ χωρίζει το ζητούμενο εμδόν σε δύο μέρη Ε ln d + ln d + (ln ln )d (ln ln )d ln ( ) ln d + + ln d ln d + ln d ln ln d ln d d + ln ( ) ln d ln + [ ln ln ] ( ) + ln [ln ln] + ( ) ln ln + ln ln + ln ln ln 97
i) Ν ρείτε συνάρτηση f της οοίς η γρφική ράστση διέρχετι ό το σημείο Α(, ) κι η κλίση της στο σημείο Μ(, f()) είνι ii) Ποιο είνι το εμδόν του χωρίου ου ορίζουν η i) Είνι f () f () c () C f κι ο άξονς των ; Α(, ) C f f() Η () γίνετι f() + ii) Τ σημεί τομής της c c άρ C f με τον άξον των έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης : + ή Το διάστημ ολοκλήρωσης είνι το [, ], στο οoίο είνι f(), άρ το ζητούμενο εμδόν είνι : Ε ( )d O + 8 + 6 + + 7 + 9 6 6 Έστω η συνάρτηση f() ( )( ) i) Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφτόμενων της γρφικής ράστσης της f στ σημεί Α, Β ου η C f τέμνει τον άξον των ii) Αν Γ είνι το σημείο τομής των εφτομένων, ν οδείξετε ότι η C f χωρίζει το τρίγωνο ΑΒΓ σε δύο χωρί ου ο λόγος των εμδών τους είνι i) Τ σημεί τομής της C f με τον άξον των έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης f() ( )( ) ή Έστω Α(, ) κι Β(, ) Είνι f () f () κι f () Εξίσωση της εφτομένης στο Α : f() f ()( ) 98
+ Εξίσωση της εφτομένης στο Β : f() f ()( ) 6 ii) Η τετμημένη του σημείου τομής των εφτόμενων είνι η ρίζ της εξίσωσης + 6 8 άρ Γ(, ) O Α Ζ Β Φέρνουμε ΓΔΖ - Δ Λόγω συμμετρίς, ρκεί ν οδείξουμε ότι E ά ΑΖΔ E ά ΑΔΓ - Γ E ά ΑΖΔ E ώ ΑΖΓ Είνι E ά ΑΖΔ ( )d ( )d Είνι Αό τις (), () 8 + 8 6 + + 7 + () E ώ ΑΖΓ (ΑΖ)(ΖΓ) το ζητούμενο () 99
Ερωτήσεις κτνόησης σελίδων Σε κθεμιά ό τις ρκάτω εριτώσεις ν κυκλώστε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής ιτιολογώντς συγχρόνως την άντηση σς Ι Ισχύει (f () g())d f ()d + g()d Α Ψ Αιτιολογί Βσική ιδιότητ (f () g())d Αιτιολογί f ()d Έν ντιράδειγμ : Θεωρούμε τις συνρτήσεις f (), g() (f () g())d d f ()d g()d d g()d Α [] d ( )( ) Ψ Αν, τότε Αιτιολογί Βσική ιδιότητ f ()d Ψ Α Αν f ()d, τότε κτ νάγκην θ είνι f() Α γι κάθε [, ] Αιτιολογί Έν ντιράδειγμ : Ψ d [ συν] συν + συν Αλλά δεν είνι ημ γι κάθε [, ] 5Αν f() γι κάθε [, ], τότε Αιτιολογί Βσική ιδιότητ f ()d Α Ψ
6Αν f ()d, τότε κτ νάγκη θ είνι f() Α γι κάθε [, ] Αιτιολογί Έν ντιράδειγμ : d [ συν] συν + συν + > Αλλά ημ < ότν (, ] Ψ ( )d 7 ( )d γι κάθε > Ψ Αιτιολογί Α ( )d ( )d [( ) ( )]d ( )]d d > ό θεώρημ 8 ln( )d ln( )d Α Ψ Αιτιολογί ln( )d ln( )d ln( )d Είνι συν > γι κάθε [, ] Ψ 9 f ()d f () f ()d Αιτιολογί Πργοντική ολοκλήρωση Α ln d ln dt t Α Ψ Αιτιολογί ln dt t dt ln tdt ln tdt ln d Εκτός ύλης Εκτός ύλης
Αν f ()d κι η f δεν είνι ντού μηδέν στο [, ] τότε η f ίρνει δύο τουλάχιστον ετερόσημες τιμές Αιτιολογί Αν ήτν f() ή f() γι κάθε [, ] τότε θ είχμε f ()d > ή f ()d < ντίστοιχ Α Ψ ( )d Το ολοκλήρωμ ριστάνει το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τον άξον των κι την C f Αιτιολογί Γι ν ριστάνει το εμδόν θ έρεε ν είνι γι κάθε [, ], ου δεν ισχύει Α Ψ
ΙΙ Σε κάθε μί ό τις ρκάτω εριτώσεις ν κυκλώσετε την σωστή άντηση Αν f () ημ κι f(), τότε το f() ισούτι με Α Β Γ Δ Το ολοκλήρωμ d στο (, + ) είνι ίσο με Α ln( ) + c B ln( ) + c Γ ln( ) + c Δ ln( ) + c Το ολοκλήρωμ Α d στο (, + ) είνι ίσο με c Β Γ ln c Δ c Ε c Το ολοκλήρωμ Α d είνι ίσο με Β Γ Δ Ε 5 5Το ολοκλήρωμ ln d είνι ίσο με Α c Β ln c (ln ) + c Δ ln Γ c
6Έστω f, g δύο ργωγίσιμες συνρτήσεις με συνεχείς ργώγους στο [, ] Αν f() g() γι κάθε [, ], τότε κτ νάγκη θ ισχύει Α f () g (), [, ] Β f ()d g()d, [, ] Δ f ()d Γ f ()d g()d g()d 7 Το εμδόν του γρμμοσκισμένου χωρίου του ρκάτω σχήμτος είνι ίσο με - Ο 5 Α Γ 5 f ()d Β f ()d 5 5 f ()d f ()d Δ f ()d 5 f ()d 8Αν f () g () γι κάθε [, ] κι f() g() +,, ] ισχύει : Α f() g() Β (f () g())d τότε γι κάθε [ Γ f() g(), [, ] Δ Οι C f, C g έχουν κοινό σημείο στο [, ] 9Έστω η συνάρτηση F() f (t)dt όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Τότε η F () είνι ίση με ψ Ο Α Β Γ Δ Έστω f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Αν Ε(Ω ), Ε(Ω ) κι Ε(Ω ) τότε το f ()d ισούτι με Α 6 Β Γ Δ Ε Ω O Ω γ Ω δ
Έστω η συνάρτηση F() f (t)dt, όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Τότε Α F() Β F(),, ψ Ο Γ F(),, Δ F(),, III Εκτός ύλης Ποι ό τ ρκάτω ολοκληρώμτ είνι κλά ορισμέν ; Α d Β d Γ d Δ ln d Ε d Ζ d Ν εντοίσετε το λάθος στις ρκάτω ράξεις d d d + d Άρ d + d, οότε Αάντηση Κάθε όριστο ολοκλήρωμ είνι σύνολο συνρτήσεων κι όχι μι συνάρτηση Στην τελευτί ισότητ, διγράφετι το ολοκλήρωμ d του ου μέλους με το ολοκλήρωμ d του ου μέλους ου δεν είνι ίσ, λλά διφέρουν κτά στθερά Συγκεκριμέν, ν F() είνι μί ρχική της f(), τότε το συμέρσμ γράφετι F() + c + F() + c c c κι όχι 5
Ν εντοίσετε το λάθος στις ρκάτω ράξεις Ι d du u u du u I (Θέσμε Άρ I I οότε I Αυτό όμως είνι άτοο, φού εειδή Αάντηση Η ντικτάστση Ι d > > γι κάθε [, ] δεν είνι σωστή διότι : u u οότε d du ) u Ότν το ίρνει την τιμή, δεν υάρχει ντίστοιχο u, φού u 5Θεωρούμε τη συνάρτηση F() f (t)dt, όου f η συνάρτηση του διλνού σχήμτος Ν συμληρώσετε τ ρκάτω κενά ψ C f Ο 6 F() F() F() F() 6 F(6) 6
Γενικές σκήσεις i) Ν χρησιμοοιήσετε την ντικτάστση u γι ν οδείξετε ότι f ( )d f ( )d ii) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d i) u du d κι u Έστω Ι f ( )d Ι ( u) f u ( du) ( u) f u ( du) Αλλά ημ( u) ημu, άρ Ι ( u) f u du Ι Ι ( u) f u du [ f u du u f ( u)]du Ι Ι f ( u)du u f ( u)du Ι f ( u)du Ι f ( u)du Ι Ι f ( u)du f ( )d ii) Έστω A d d Θεωρούμε τη συνάρτηση f(u) () A f ( )d ( i ) () u, u, οότε f(ημ) u f ( )d d 7 u
d d () Θέτουμε συν u, οότε du ημd, u - () Α du u du () u Ανζητάμε ριθμούς, έτσι ώστε ν ισχύει u γι κάθε u ± ( + u) + (u ) u u ( + )u + κι + Άρ u (u ) (u ) κι u u () Α u u du ln u ln u 8 8 (ln ln) (ln ln ) ln 8 8 i) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ii) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ d d i) Ανζητάμε ργμτικούς ριθμούς, έτσι ώστε ν ισχύει γι κάθε ± ( + ) + + κι Άρ ( ) ( ) κι 8
d d ln ln (ln ln) ( ln ln ) (ln ln ln ln + ln + ln) ( ln) ln ii) Ι d d d () Θέτουμε συν u, οότε du ημ d κι / / u / () Ι du u du u du u ( i ) ln Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ du (u )(u ) Κι στην συνέχει τ ολοκληρώμτ i) d, ii) d ( )( ) ( )( ) Ανζητούμε ργμτικούς ριθμούς κι έτσι ώστε ν ισχύει γι κάθε u, με u, (u )(u ) u u (u + ) + (u + ) ( + )u + + + κι + κι οότε du (u )(u ) i) ( )du ln u + ln u + + c u u Γι το I d θέτω : ημ u οότε du συνd άρ ( )( ) 9
Ι du ln u + ln u + + c ln ημ + ln ημ + + c (u )(u ) ii) Γι το Ι d θέτω : u οότε du d άρ ( )( ) Ι du ln u + ln u + + c (u )(u ) ln + ln + + c ln( + ) ln( + ) + c t Αν I ν dt, νϵn t i) Ν υολογίσετε το άθροισμ: I ν + Ι ν +, νϵn ii) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: Ι ο, Ι, Ι i) I ν + Ι ν + t t dt + ( ) t t dt t t ( ) dt t t t t ( ) dt t t ( t ) ) dt t ii) Ι ο t dt t dt t t t dt t ln( t ) ln Γι ν (i) Ι ο + Ι Γι ν (i) Ι + Ι Ι Ι ο Ι ln Ι Ι Ι + ln + ln
5 Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, ν δείξετε ότι Θέτουμε g() u f (u)( u)du f (t)dt du Θ οδείξουμε ότι g() h() f (u)( u u)du, κι h() f (t)dt, g() f (u)( u)du [f (u) uf (u)] du f (u)du uf (u)du g () g () g () h () f (u)du + ( f (u)du uf (u)du f (u)du f (u)du + f() f() f (u)du () f (u)du () ) ( uf (u)du) Αό (), () g () h () g() h() + c () Αλλά g() f (u)( u u)du κι h() f (t)dt Η () γι g() h() + c + c c Η () g() h() 6Δίνετι η συνάρτηση F() f (t)dt, όου f (t) u du i) Ν ρείτε το εδίο ορισμού των συνρτήσεων f κι F ii) Ν οδείξετε ότι η F είνι γνησίως ύξουσ κι κυρτή i) Η συνάρτηση g(u) u, u Δ (, ] [, + ) είνι συνεχής στο Δ Γι ν ορίζετι η f, θ ρέει τ άκρ κι t ν ρίσκοντι στο ίδιο διάστημ Κι εειδή [, + ), θ ρέει κι t[, + ) Άρ Ομοίως ii) D F [, + ) F () f (t)dt f() u ' du () t D f [, + )
F () f () > γι κάθε (, + ) () Οότε η F είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) Κι εειδή < F () < F () () H () γι F () u du H () < F () F γνησίως ύξουσ H () F () > στο (, + ) F κυρτή στο [, + ) 7 Δίνοντι τ ολοκληρώμτ F() t t κι G() t dt, i) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ F() + G() κι F() G() κι στην συνέχει τ ολοκληρώμτ F() κι G() ii) Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ Ι t tdt κι J t tdt t i) F() + G() t dt + t t t ( t t)dt t ( t t)dt t dt () F() G() t tdt t tdt t ( t t)dt t t dt () Έστω Α() t t dt τότε Α() t ( ) t dt Α() συν + ημ A() 5A() συν + ημ t t t t dt συν + t ( ) t dt t t συν + t t dt συν + ημ t t dt συν + ημ A()
A() 5 ( συν + ημ ) δηλδή () F() G() 5 ( συν + ημ ) () () + () F() 5 ( συν + ημ ) + F() ( συν + ημ) + 5 () () () G() 5 ( συν + ημ ) G() ii) F() t t dt Άρ Ι ( συν + ημ) 5 F () ' t t tdt Ομοίως J ( ) 5 F (t)dt F(t) tdt F() F() ( ) συν ράξεις ( ) 5 8To χωρίο ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f() + κι την ευθεί 5 χωρίζετι ό την ευθεί +, > σε δύο ισεμδικά χωρί Ν ρείτε την τιμή του Τ σημεί Α κι Β έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης + 5 5 Α ή Άρ Α(, 5) κι Β(, 5) Γ Τ σημεί Γ κι Δ έχουν τετμημένες τις + ρίζες της εξίσωσης + + C f ή Άρ Γ(, +) κι Β(, +) [ ( )]d [ ]d [ ]d [5 ( )]d [5 ]d [ ]d Η Δ Β - - O
( ) ( ) 8 8 8 8 + 8 8 + 6 6 8 8 + 8 6 8 9 i) Ν ρεθεί το εμδόν Ε(λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό την γρφική ράστση της συνάρτησης f(), τον άξον των κι τις ευθείες, λ, λ > ii) Ν ρεθούν οι τις τιμές του λ έτσι, ώστε Ε(λ) iii) Ν ρεθούν τ lim ( ) κι lim ( ) i) Ότν λ > Ε(λ) d Ότν < λ < Ε(λ) d Ότν Αν λ το C f Δ Γ O A() B(λ) Ε(λ) ii) Ε(λ) με λ > ή με λ < λ λ ή λ λ λ ή λ χ iii) lim ( ) lim( ) lim ( ) lim ( ) λ ή λ
Έστω f κι g δύο συνρτήσεις συνεχείς στο [, ] Ν οδείξετε ότι : i) Αν f() g() γι κάθε [, ], τότε f ()d g()d ii) Αν m η ελάχιστη κι Μ η μέγιστη τιμή της f στο [, ], τότε m( ) f ()d M( ) iii) Με την οήθει της νισότητς εφ > γι κάθε,, ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f(), (, ) είνι γνησίως φθίνουσ κι στη συνέχει ν οδείξετε ότι : ) γι κάθε, 6 κι ) d 6 iν) Ν οδείξετε ότι η συνάρτηση f() είνι γνφθίνουσ στο [, + ) κι στην συνέχει με την οήθει της νισότητς + γι κάθε χϵr, ν οδείξετε ότι : ) γι κάθε [, ] κι ) d i) f() g() f() g() γι κάθε [, ], άρ [f () g()]d f ()d g() d f ()d g()d ii) m f() Μ γι κάθε [, ' ( i ) m d f () d d m( ) f ()d M( ) iii) f () () εφ > > ημ > συν συν ημ <,, () f () < στο f γν φθίνουσ στο f ) Είνι f f () f 6 6 5
) 6 6 6 d 6 6 iν) f() f () < στο (, + ) f γν φθίνουσ στο [, + ) ) Έστω τυχίο [, ] f f() f() () Είνι + γι κάθε Θέτοντς όου το ίρνουμε Αό τις (), () ) + ( i ) ( ii ) d 6 6 + () ( ) d d d d d 6