Διάνυσμα δύναμης F Καρτεσιανές Συντεταγμένες / Συνιστώσες F F j j i F Ιδιότητες διανυσμάτων Πρόσθεση B Αφαίρεση ' B ( B) F F i ΔΥΝΑΜΗ ΚΑΙ ΡΟΠΗ F Fcos Νόμος Παραλληλογράμμου: F= F+ F Fi Fj F Fsin Μοναδιαία διανύσματα βάσης: i, j F F F B ή B B ' B B B B ή ' B
Συνιστώσες διανύσματος: : Διάνυσμα θέσης: r i j k k (k ) r j i P (,, ) ( j ) Τριγωνομετρικές ιδιότητες: ( i ) α) Νόμος Ημιτόνων: β) Νόμος Συνημιτόνων: B C sin sin sin C B Bcos β γ C α B
Συντρέχον σύστημα δυνάμεων F F F F F F β F F 3 F 3 Γι αυτήν την περίπτωση (συντρέχουσες δυνάμεις) γίνεται αλγεβρική πρόσθεση των συνιστωσών ώστε να υπολογιστεί η συνισταμένη δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα: F FF F Fi+Fj= F i F j, αφού F F, F F Το μέτρο της δύναμης δίνεται από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο τρίγωνο οαβ: F F F F 3 F Το συνημίτονο κατεύθυνσης της δύναμης δίνεται από τη σχέση: F tan F ο θ F α 3
Γινόμενα διανυσμάτων Εσωτερικό γινόμενο Το εσωτερικό γινόμενο δύο τυχαίων διανυσμάτων είναι βαθμωτό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: B Bcos Ιδιότητες εσωτερικού γινομένου B B B (ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα) B C B C (ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα) B ( i j) (B i B j) B B Με βάση τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου, για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύουν οι εξής σχέσεις: α) i i ()()cos0, β) i j ()()cos90 0 και ομοίως για τα υπόλοιπα μοναδιαία. B Γωνία μεταξύ δύο τυχαίων διανυσμάτων: cos όπου,, B B B B 4
Γινόμενα διανυσμάτων Εξωτερικό γινόμενο Το εξωτερικό γινόμενο δύο τυχαίων διανυσμάτων είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: C B CBBsinn, όπου το διάνυσμα n n είναι μοναδιαίο και κάθετο στο επίπεδο ΑΒ (η φορά του διανύσματος C προσδιορίζεται με το κανόνα του μοχλού του δεξιού χεριού) Ιδιότητες εξωτερικού γινομένου: B B B +BBB i j k B B B i B B j B B k= B B B Για τα μοναδιαία διανύσματα ισχύουν οι εξής σχέσεις: α) i j ()()(sin 90 )k k β) ji k γ) ii 0 και ομοίως για τα υπόλοιπα μοναδιαία. 5
Διάνυσμα Ροπής Δύναμης Μ M o M o Η ροπή είναι διανυσματικό μέγεθος και δίνεται από τη σχέση: Mo rf όπου r διάνυσμα θέσης από το σημείο Ο σε κάθε σημείο της γραμμής δράσης της F. F r O F r d O Η δύναμη F προκαλεί περιστροφή της ράβδου ως προς το σημείο Ο (μέτρο Μ ο ). M rfsin F(rsin ) Fd Το μέτρο της ροπής υπολογίζεται από το τύπο: o όπου d = βραχίονας ροπής (κάθετη απόσταση από το σημείο Ο στη γραμμή δράσης της F). Η κατεύθυνση του M oκαθορίζεται από τον κανόνα του μοχλού όπως εφαρμόζεται και στο εξωτερικό γινόμενο r F. i j k M rf r F r F i r F r F j rf rf k= r r r o F F F 6
Αρχή Μετατόπισης της Δύναμης F Η δύναμη F μπορεί να μετατοπιστεί στη γραμμή δράσης χωρίς να μεταβληθεί η ροπής της ως προς το O. Δηλαδή ισχύει η παρακάτω ισότητα: M r F r F o B Αρχή Ροπών Η ροπή δύναμης ως προς το σημείο Ο είναι ίση με το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της ως προς το σημείο Ο: M rf rf r (F F ) rf o Το μέτρο της ροπής υπολογίζεται από την ήδη γνωστή σχέση, λαμβάνοντας υπόψη και τη γεωμετρία του προβλήματος που φαίνεται στο διπλανό σχήμα: M Fd (F F )d (FsinFcos )d o (k ) O ( i ) r B F r B F ( j ) Γραμμή δράσης της δύναμης F (k ) d O ( i ) F F F r d d ( j ) 7
Ροπή Δύναμης (M e ) ως προς Άξονα e Η ροπή της Δύναμης F ως προς το σημείο Ο δίνεται από τη σχέση: M rf o H ροπή της Δύναμης F ως προς τον άξονα e, είναι η προβολή του διανύσματος Μ ο στον άξονα e. Δηλαδή: M em e (rf) [μεικτό τριπλό γινόμενο] e o i j k e e e (e i e j e k) r r r r r r Μ e [e (rf)]e e e e F F F F F F αα = Γραμμή δράσης ροπής Μ e ά e β M M F e o θ r O α β ββ = Γραμμή δράσης ροπής Μ ο 8
Ροπή Ζεύγους Ζεύγος Δυο παράλληλες δυνάμεις ίσου μεγέθους και αντίθετης φοράς με απόσταση r. Η ροπή παραγόμενη από ζεύγος είναι ίση με το άθροισμα των ροπών και των δυο δυνάμεων ως προς τυχαίο σημείο Ο: Mo rbfr ( F) (rb r ) FMo rf F B r r rb r Το διάνυσμα M o είναι ελεύθερο μιας και εξαρτάται F r B r από το διάνυσμα θέσης, οριζόμενο από δυο τυχαία σημεία Α και Β και μπορεί να ενεργεί σε κάθε σημείο. Η κατεύθυνση του M o καθορίζεται από το κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία (κανόνας του δεξιού χεριού). M Συνισταμένη Ροπών Οι ροπές ζευγών είναι ελεύθερα διανύσματα και μπορούν να μετατοπισθούν σε ένα κοινό σημείο P και να προστεθούν διανυσματικά. Δηλαδή: M M M M M P 9
Μετατόπιση Δύναμης σ ένα Στερεό ) Μετατόπιση της F σε ένα σημείο Ο στη γραμμή δράσης της. Αρχή μετατόπισης: Το αποτέλεσμα δράσης της δύναμης σε ένα στερεό σώμα δεν αλλάζει, όταν η δύναμη εφαρμόζεται σε ένα άλλο σημείο που βρίσκεται στη γραμμή δράσης. Η F είναι ένα μετατοπιζόμενο διάνυσμα. ) Μετατόπιση της F σε ένα σημείο Ο που δεν βρίσκεται στη γραμμή δράσης της. Το μέτρο και η κατεύθυνση της M προσδιορίζονται F υπολογίζοντας τη ροπή ως προς το Ο όταν η δύναμη βρίσκεται στην αρχική της θέση. Το M F είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζουν τα διανύσματα r και F. r F F F F F F M rf F P F 0
Συνισταμένη Συστημάτων Δύναμης Ζεύγους Ροπών F F M r F M F M r O r M F O F M r F O ) 3D (Διανυσματική Ανάλυση) Το μέτρο και η κατεύθυνση της F είναι ανεξάρτητα από τη θέση του Ο. Το M o είναι ένα ελεύθερο διάνυσμα αλλά το μέτρο και η κατεύθυνση του εξαρτώνται από τη θέση του Ο. F F, M M (rf) M o 0 ) D (Βαθμωτή ανάλυση) F F F F F F, tan, M M o F F F o
F 3 3) Ειδική Περίπτωση: Όταν τα F και F M F F r r 3 O r r 4 M o είναι κάθετα. F a b d a b 4 M Και σε αύτη τη περίπτωση οι συνισταμένες F, M 0 προκύπτουν απ τις σχέσεις: F F, M M (rf) M 0 o Η M o μπορεί πάντα να εξαλειφθεί μετακινώντας την F στο σημείο Ρ. Το Ρ βρίσκεται έτσι ώστε η σωστή φορά της M να διατηρείται, δηλ. η ροπή της F ως προς το σημείο Ο είναι ίση με το M o. b' o O M o a' b' F με μέτρο P O F M d o a'
Παράλληλες Δυνάμεις F 3 r 3 O r r F F M (rf) o O F F r, r και M F M F rf M M, M M rf M M 3
ιανεµηµένα Φορτία Σηµειακές υνάµεις οριακή περίπτωση κατανεµηµένων δυνάµεων. Συνισταµένη Γραµµικού Φορτίου. w = w() = df w = w() ύναµη/μήκος d df = w()d = d όπου d είναι το εµβαδό της γραµµοσκιασµένης επιφάνειας. Ολοκληρώνοντας τη παραπάνω σχέση στο µήκος της ράβδου παίρνουµε µια σχέση για το µέτρο της δύναµης: F= w()d = d= 0 0 Η συνισταµένη δύναµη F του κατανεµηµένου φορτίου ασκείται σε ένα σηµείο C που αποτελεί τη τετµηµένη του γεωµετρικού κέντρου C της επιφάνειας Α. d d F = df = d = = F d F C 4
Γεωµετρικό Kέντρο (Γ.Κ.) επίπεδων επιφανειών Αν η γεωµετρική επιφάνεια έχει άξονα συµµετρίας, το Γ.Κ βρίσκεται πάνω στον άξονα συµµετρίας. Αν η γεωµετρική επιφάνεια έχει άξονες συµµετρίας, το Γ.Κ είναι η τοµή τους. d C =, C = d C d Σύνθετη Επιφάνεια Στη περίπτωση σύνθετης επιφανείας, το Γ.Κ. υπολογίζεται από τα επιµέρους Γ.Κ. των επιφανειών της συνολικής επιφανείας. d Σ C d i i Α Σ i C i i C = = = ΣΑi ΣΑi d Σ C d i i Α Σ i C i i C = = = ΣΑ ΣΑ i i,c i i ολ,cολ 5
Παραδείγµατα Υπολογισµού Γ.Κ. επιφανειών Ορθογώνιο Παραλληλόγραµµο Το Γ.Κ. είναι η τοµή των αξόνων συµµετρίας της επιφανείας. Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: b b h h d d d d d 0 0 0 0 h b b C = = = = = = b h b h b h b h C h h h b b d d d d d 0 0 0 0 b h h C = = = = = = b b h b h b h b h Παραδείγµατα άλλων επιφανειών Κύκλος C C = 0 = 0 C Τρίγωνο b a C C a = 3 b = 3 6
Ισορροπία Υλικού Σηµείου Υλικό Σηµείο ~ Σώµα µε µηδενικές διαστάσεις όλες οι δυνάµεις συντρέχουσες. Συνισταµένη Υλικού Σηµείου: ΣF = 0 ΣF X = 0 ΣF Y = 0 Συνδετικά Μέσα ) Καλώδια T ) Ελατήρια o B W B T T W F= k = k( o) 7
Παράδειγµα σε ύο ιαστάσεις Να βρεθούν οι δυνάµεις των καλωδίων D και B, που ασκούνται στο κρίκο Α ώστε αυτός να ισσοροπεί. Τ Β B Τ Β D 0 Τ θ = 30 D W = 00Ν W Η ισορροπία των καθέτων δυνάµεων για το βάρος C µας δίνει: Σ F = 0 T W = 0 T = 00[N] C C Η ισορροπία των καθέτων δυνάµεων για το κρίκο Α µας δίνει: 0 Σ F = 0 T T = 0 T sin(30 ) = 00 T = 00[N] B C B B Η ισορροπία των οριζοντίων δυνάµεων για το κρίκο Α µας δίνει: 0 Σ F = 0 T T = 0 T cos(30 ) = T T = 73[N] B D B D D C ΕΣ... Τ C Τ C Τ Β 8
Παράδειγµα σε Τρεις διαστάσεις Κύλινδρος µάζας 00 Kg αναρτάται από δύο νήµατα και ένα ελατήριο σταθεράς K=,5 ΚΝ/m. Να βρεθούν οι δυνάµεις των νηµάτων και η επιµήκυνση του ελατήριου. Οι γωνίες κατεύθυνσης για το νήµα C είναι: θ X =0 0, θ Y =35 0, θ Z =60 0. θ C θ Z θ Y D(,,) ΕΣ... B M W T B Η ισορροπία των δυνάµεων για το κύλινδρο µας δίνει: Σ F= TB + TC + TD + W= 0 Αναλύουµε τα διανύσµατα του προβλήµατος µε βάση τα µοναδιαία διανύσµατα των κυρίων αξόνων. Έτσι προκύπτει για τα T B, T C, T D και W : T C T D 9
TB = TB i 0 0 0 T C = [TC cos(0 )]i + [TC cos(35 )] j + [TC cos(60 )]ktc = = 0,5TC i 0,707 TC j + 0,5TC k i + j + k TD = TD = 0,33T D i + 0,67 TD j + 0,67 TD k ( ) + + W = 98k Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας του σώµατος, ώστε να υπολογίσουµε τις άγνωστες δυνάµεις και στη συνέχεια την επιµήκυνση του ελατηρίου: Σ FX = 0 TB-0,5TC-0,33TD = 0 T B = 694[N] Σ FY = 0 0,707 T C + 0,67 TD = 0 T C = 83[N] FZ 0 0,5T C + 0,67 TD 98 0 Σ = = T D = 86[N] TB 694[N] TB = K lb l B = = = 0,46[m] 3 K,5 0 [N / m] 0
Ισορροπία Στερεού Σώµατος Η ισορροπία δυνάµεων στο σηµείο i µας δίνει: Σ Fi = 0 Fi +Σ Fij = 0, όπου F i εξωτερική και F ij εσωτερική. Η ισορροπία δυνάµεων σε όλο το σώµα µας δίνει: ΣΣ [ F] =Σ [F +Σ F ] = 0 Σ F +ΣΣ F = 0 Σ F=Σ F = 0 i i ij i ij i 0, νόµος δράσης-αντίδρασης Το συµπέρασµα που προκύπτει από τη παραπάνω σχέση είναι ότι το άθροισµα των εξωτερικών δυνάµεων είναι ίσο µε µηδέν. Οµοίως για τις ροπές ως προς το σηµείο i: ΣΜ =0 r (F +Σ F ) = r F + r Σ F = 0 i i i ij i i i ij Η ισορροπία ροπών για όλο το σώµα µας δίνει: ΣΣΜ [ i] = 0 Σ ri Fi + ri Σ F ij =Σ [ri F] i = 0 Σ MO = 0 δηλαδή το άθροισµα των ροπών ως προς το Ο είναι ίσο µε το µηδέν. O j r i F ij i F j F i
Σύνδεσµοι / Αντιδράσεις συνδέσµων Τύποι συνδέσµων/αντιδράσεις ) Καλώδιο Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι εφελκυστική και στη διεύθυνση του καλωδίου. θ θ F ) εσµική ράβδος Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι στη διεύθυνση της ράβδου. θ θ Ή F θ F 3) Κύλιση Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι κάθετη στην επιφάνεια στήριξης. F Ή F
4) Άρθρωση Προκύπτει ένας άγνωστος η δύναµη F, η οποία είναι παράλληλη στην επιφάνεια στήριξης. Η δύναµη F αναλυόµενη δίνει άγνωστες δυνάµεις. F F θ Ή F θ 5) Πάκτωση Προκύπτουν τρείς άγνωστοι, οι συνιστώσες της δύναµης F και η ροπή M. Μ F θ Ή M F F 3
ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος (.Ε.Σ.) Σχεδιάζουµε το σώµα ελεύθερο από συνδέσµους και στις θέσεις τους βάζουµε άγνωστες αντιδράσεις. Το βάρος του σώµατος ασκείται στο Κ.Β. που για οµογενή σώµατα συµπίπτει µε το Γ.Κ. Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το σώµα: Σ F = 0 Σ F= 0 Σ F = 0 ΣΜ ο = 0 ΣΜ ο = 0 Σε ισοδυναµία µε τις παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας θα µπορούσαµε να γράψουµε: Σ Fa = 0 ΣΜ Α = 0 όπου F a συνιστώσες σε κάποιο τυχαίο άξονα a και Α, Β τυχαία σηµεία έτσι ώστε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ να ΜΗΝ είναι κάθετο στον άξονα a. ΣΜ Β = 0 4
Παράδειγµα ο Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας. Από την ισορροπία στον άξονα : Σ F = 0 Προκύπτει η άγνωστη X X X F F F 3 B F 4 B Y Y Από την ισορροπία των ροπών ως προς το σηµείο Α: ΣΜ = 0 Προκύπτει η άγνωστη Β Α Από την ισορροπία των ροπών ως προς το σηµείο B: ΣΜ = 0 Προκύπτει η άγνωστη Α Β Υ Υ Επίσης θα µπορούσαµε να γράψουµε ισοδύναµα το ακόλουθο σύστηµα εξισώσεων ισορροπίας για το προσδιορισµό των αγνώστων αντιδράσεων: ΣΜ Α = 0 ΣΜ Β = 0, όπου C είναι ένα σηµείο που ΕΝ ανήκει στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. ΣΜ C = 0 5
Παράδειγµα 0 600N 00N 00N 0 θ= 45 B. ΕΣ.. 0 600cos45 0 600sin 45 00 00 m 3m m m 3m m Έχοντας σχεδιάσει σωστά το ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος, γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το προσδιορισµό των αγνώστων αντιδράσεων: 0 Σ F = 0 600cos(45 ) = 0 = 44N 0 Σ MB = 0 (00) + 600sin(45 ) 5 7 = 0 = 33 N Σ F 0 B = 0 33 600sin(45 ) 00 00 B 0 = 393N + = Τα θετικά πρόσηµα για τα µέτρα των αντιδράσεων δείχνουν ότι σωστά υποθέσαµε αρχικά τις φορές τους στο ιάγραµµα Ελευθέρου Σώµατος. Α X Α Y B Y 6
ικτυώµατα ικτύωµα: Κατασκευή που αποτελείται από λεπτές ράβδους που ενώνονται στα άκρα τους. Τα σηµεία ενώσεώς τους καλούνται κόµβοι. Στο διπλανό σχήµα παρουσιάζεται ένα επίπεδο δικτύωµα. Όλες οι δυνάµεις εφαρµόζονται στους κόµβους και το βάρος των ράβδων αµελείται. Οι ράβδοι ενώνονται στους κόµβους µε αρθρώσεις. Κάθε ράβδος δέχεται στα άκρα της ίσες και αντίθετες δυνάµεις κατά τη διεύθυνση του άξονά της. Η εντατική κατάσταση των ράβδων ενός δικτυώµατος είναι είτε εφελκυστική είτε θλιπτική. Οι ράβδοι ενός δικτυώµατος ΕΝ πρέπει να καταπονούνται από στρέψη ή κάµψη. T T T T Εφελκυστική εντατική κατάσταση. Όπου Τ η τάση της ράβδου. Θλιπτική εντατική κατάσταση. Όπου Τ η τάση της ράβδου. 7
Υπολογισµός ικτυωµάτων Το απλό δικτύωµα προκύπτει από απλή παράθεση τριγώνων. Για τα δικτυώµατα ισχύει γενικά η σχέση: ρ = κ 3, όπου ρ = αριθµός των ράβδων του δικτυώµατος και κ = αριθµός των κόµβων. Αν το δικτύωµα είναι απλό τότε οι κ εξισώσεις των κόµβων είναι αρκετές για τον υπολογισµό των ρ = κ 3 τάσεων των ράβδων και των τριών αντιδράσεων. Η µεθοδολογία υπολογισµού έχει ως εξής: ) Αρχικά υπολογίζουµε τις αντιδράσεις του δικτυώµατος. ) Κατόπιν, ξεκινάµε από τον κόµβο µε το πολύ άγνωστες δυνάµεις Από τις εξισώσεις ισορροπίας βρίσκουµε τις άγνωστες δυνάµεις και προχωρούµε. Κόµβος i T 3 T T FX 0 (*) Σ = Σ FY = 0 Αν ο κόµβος εµφανίζει δύο αγνώστους τότε η ( ) είναι αρκετή. Αν ο κόµβος εµφανίζει περισσότερους αγνώστους τότε χρησιµοποιούµε το αποτέλεσµα της ( ) σε γειτονικούς κόµβους. Fi εξωτερική δύναµη 3) Υποθέτουµε συµβατικά όλες τις τάσεις στις ράβδους εφελκυστικές, εποµένως οι δυνάµεις στους κόµβους κατευθύνονται προς τις ράβδους ή αποµακρύνονται από τους κόµβους (όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα). 4) Αν προκύψουν αρνητικές δυνάµεις κατευθύνονται στον κόµβο (θλιπτικές). 8
Παράδειγµα Υπολογισµού Απλού ικτυώµατος 3m B 400N 3m C D 600N 4m. ΕΣ.. Βήµα ο : Υπολογίζουµε τις άγνωστες αντιδράσεις του δικτυώµατος. Οι εξισώσεις ισορροπίας για όλο το δικτύωµα µας δίνουν: Σ FΧ = 0 600 CX = 0 CX = 600 [N] ΣΜ C = 0 Y(6) 400(3) 600(4) = 0 Y = 600 [N] FY 0 Y 400 CY 0 Σ = = CY = 00 [N] () Y 3m B 400N (4) (5) () 3m (3) C C Y C X D 600N 4m + M 9
Βήµα ο : Εφαρµόζουµε τη µέθοδο των κόµβων. Αρχικά εντοπίζουµε το κόµβο ο οποίος να έχει το πολύ άγνωστες δυνάµεις. Υπάρχουν δύο κόµβοι που συγκεντρώνουν άγνωστες δυνάµεις, οι κόµβοι Α και C, ενώ οι κόµβοι Β και D συγκεντρώνουν 3 άγνωστες δυνάµεις. Ξεκινούµε από το κόµβο Α: Σ = + T = 0 5 T = T = = 750[N] FY 0 4 3 Σ FX = 0 T5 + T = 0 T5 + T = 0 3 5 = = 5 T T 450 [N] 5 Γνωρίζοντας τώρα την T 5 ο κόµβος D έχει δύο άγνωστες δυνάµεις: 5 Σ FX = 0 600 T5 T4 = 0 T 4 = (600 T 5) 3 Σ F T Y = 0 3 + T4 = 0 T3 = T4 T4 = 50[N] 4 T3 = T4 = 00 [N] 5 T 5 T T 4 T 4 T T T 3 T 4 D + T 5 + 600 N 30
Τέλος υπολογίζουµε το κόµβο C για να υπολογιστεί και η τελευταία τάση T της ράβδου : Σ FX = 0 C T = 0 T = C = 600[N] C Τ Σ F C Y = 0 T3 = 0 T3 = C = 00 [N] (έλεγχος) Μετά τον υπολογισµό των τάσεων των ράβδων στους κόµβους, σχεδιάζουµε τα διαγράµµατα ελευθέρου σώµατος όλων των ράβδων του δικτυώµατος, σηµειώνοντας αντίστοιχα εφελκυστική ή θλιπτική φόρτιση, έχοντας υπόψη το νόµο της δράσης αντίδρασης µεταξύ των ράβδων και των κόµβων. Ράβδος ) Ράβδος ) Ράβδος 3) Ράβδος 4) Ράβδος 5) T T T3 T4 T5 = 750[N] = 600 [N] = 00 [N] = 50[N] = 450 [N] T T T3 T4 T5 = 750[N] = 600[N] = 00[N] = 50[N] = 450[N] Τ 3 C C Θλιπτική εντατική κατάσταση Θλιπτική εντατική κατάσταση Θλιπτική εντατική κατάσταση + Εφελκυστική εντατική κατάσταση Εφελκυστική εντατική κατάσταση 3
Φορτία ιατοµής οκού Επίπεδο τοµής στον άξονα ΟΟ Ο Ο Ο Ο Ι ΙI Οι εσωτερικές δυνάµεις που αναπτύσσονται µετά τη τοµή σε κάθε ένα από τα τµήµατα I και II είναι ίσες και αντίθετες (νόµος δράσης αντίδρασης). Μεταφέρουµε όλες τις δυνάµεις των τµηµάτων I και II στο γεωµετρικό τους κέντρο (σηµεία C και C πάνω στον άξονα OO ) και τις συνθέτουµε στη συνιστώσα δύναµη και ροπή M που συνεπάγεται η µεταφορά τους. M Ο C I M C II O 3
Εξετάζουµε το τµήµα Ι: Η συνισταµένη δύναµη αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στους άξονες,, : = N (αξονική δύναµη // OC), = V (τέµνουσα δύναµη επίπεδο ), = V (τέµνουσα δύναµη επίπεδο ). Εξετάζουµε το τµήµα Ι: Η συνισταµένη ροπή M αναλύεται σε τρεις συνιστώσες στους άξονες,, : M = T (ροπή στρέψης, // OC), M (ροπή κάµψης, επίπεδο ), M (ροπή κάµψης, επίπεδο ). Ο M I M M T C Μ Μ Μ Μ T Μ Ο V C I Μ T T Μ V T N Κανόνας µοχλού δεξιού χεριού Κανόνας µοχλού δεξιού χεριού Μ 33
Υπολογισµός φορτίων διατοµής σε τυχαία θέση της δοκού Προσδιορίζουµε τις εξωτερικές αντιδράσεις της δοκού. Κάνουµε µια τοµή κάθετη στον οριζόντιο άξονα της δοκού. Σε κάθε ένα από τα δύο τµήµατα της δοκού που προκύπτουν, εφαρµόζουµε ίσα και αντίθετα φορτία της διατοµής µε κάποια υποθετική φορά. Γράφουµε τις εξισώσεις ισορροπίας για το ένα από τα δύο τµήµατα και υπολογίζουµε τα άγνωστα φορτία της διατοµής. Αν τα φορτία προκύψουν αρνητικά έχουν αντίθετη φορά από αυτή που αρχικά υποθέσαµε. 34
-D: ιάτµηση και καµπτική ροπή σε δοκό Θεωρούµε ένα τµήµα της δοκού µεταξύ του άξονα (όπου ασκείται η αντίδραση ) και του άξονα aa, και οµοιόµορφη εντατική κατάσταση στο. Στο επίπεδο του σχήµατος στην τοµή aa (κάθετη στο ) σχεδιάζουµε τις εσωτερικές δυνάµεις V (διάτµηση) και M (καµπτική ροπή). Σύµβαση προσήµων M M M M V V V V Ίνα αναφοράς Εφελκυσµός ίνας αναφοράς Από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της δοκού προκύπτει: V + P+ w = 0 Σ F = 0 M Σ O = 0 M + P( h) + w = 0 h P + b b w a O a Θλίψη ίνας αναφοράς V 35 + M
Σχέσεις µεταξύ φορτίου ιάτµησης και Ροπής Θεωρούµε ένα στοιχειώδες κοµµάτι d µιας ράβδου, στο οποίο ασκείται ένα κατανεµηµένο φορτίο w. Αν στο ένα άκρο του στοιχειώδους τµήµατος d εφαρµόζεται διάτµηση V και ροπή M, υποθέτουµε ότι στο άλλο άκρο θα έχουµε διάτµηση V+ dv και ροπή M+ dm, όπως ακριβώς παριστάνεται στο παρακάτω σχήµα. Από τη στατική ισορροπία του σώµατος w + στο κατακόρυφο άξονα προκύπτει: V Σ F = 0 V + wd (V + dv) = 0 M O M+ dm V dv V w dv V = = = V V V = wd d d V+ dv V Από τη στατική ισορροπία του σώµατος για τις ροπές ως προς το σηµείο Ο προκύπτει: d Σ MO = 0 M Vd wd + (M+ dm) = 0 dm d M M V= dm = M = M M M = Vd M 36
Παράδειγµα ο Να υπολογιστούν τα διαγράµµατα N, V, M [δηλαδή οι συναρτήσεις M()] για τη δοκό του παρακάτω σχήµατος. 00 KN \ m 500 KN 3000 KNm 3m 0m m Γράφουµε τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας της δοκού ώστε να υπολογίσουµε τις άγνωστες αντιδράσεις και. Για να υπολογίσουµε εύκολα µια από τις δύο αντιδράσεις, παίρνουµε την εξίσωση στατικής ισορροπίας των ροπών, ως προς ένα από τα δύο σηµεία που ενεργούν οι αντιδράσεις, για παράδειγµα ως προς το σηµείο που ενεργεί η αντίδραση. 0 Σ M = 0 3000 (0) + 00 0 500 () = 0 = 00 [KN] Σ F = 0 00 (0) + 500 = 0 = 300 [KN] + 37
Υπολογίζουµε τις τέµνουσες δυνάµεις (εγκάρσιες) και τις καµπτικές ροπές στη δοκό. Κάνουµε εγκάρσια τοµή στη δοκό κάθε φορά που έχουµε µεταβολή στη φόρτισή της. Τµήµα ο 0 3 Σ F = 0 V() = 0 Σ M = 0 3000 +Μ () = 0 Μ () = 3000 [KNm] τοµη Τµήµα ο 3 3 Σ F = 0 + 00 ( 3) + V () = 0 V () = 800 00 [KN] ( 3) Σ Mτοµη = 0 3000 ( 3) + 00( 3) + M () = 0 = + M () 00( 3) 00( 3) 3000 [KNm] Στη θέση της τοµής εφαρµόζουµε τις εσωτερικές δυνάµεις 3000 KNm 3000 KNm 3m 3m V M 0m 00 KN \ m V M 38
Τµήµα 3 ο 3 5 Σ F = 0 V () 500 = 0 3 V 3() = 500 [KN] Σ M = 0 Μ () + 500 (5 ) = 0 Μ () = 500( 5) [KNm] 3 τοµη 3 3000 KNm 3m 0m m 00 KN \ m V 3 M 3 500 KN Κάναµε τη τοµή στο τρίτο τµήµα της δοκού και εφαρµόσαµε τις εσωτερικές δυνάµεις στο δεξί κοµµάτι και όχι στο αριστερό, όπως κάναµε στα υπόλοιπα δύο τµήµατα. Οι δυνάµεις που εφαρµόσαµε εδώ ( V,M 3 3) ήταν ίσες και αντίθετες (δράση αντίδραση) µε τις ( V,M ) και ( V,M ). Αυτό έγινε διότι αν κοιτάξουµε τη τοµή από δεξιά έχουµε λιγότερες δυνάµεις να αθροίσουµε στην εξίσωση ισορροπίας δυνάµεων και ροπών. 39
Κατασκευή διαγράµµατος εγκάρσιων δυνάµεων Q() και καµπτικών ροπών M(). 00 KN \ m 500 KN 3000 KNm 3m 0m m Α(3,0), Β(3,00), Γ(9,0) (3, 800), Ε(3,500), Ζ(5,500) V[KN] 00 KN 300 KN B + θ Γ Ε Ζ dv () d(800 00) d d εφθ = = εφθ= 00 θ= 89,7 0 M[KNm] B Γ i i i Ε Ζ Η Α(0, 3000), Β(3, 3000), Γ(3.55,0) (9,600), Ε(8.45,0), Ζ(3, 000) Η(5, 0) 40
Παράδειγµα ο Να υπολογιστούν τα διαγράµµατα V() και M().για τη πρόβολο του παρακάτω σχήµατος. wkn\m + M Στη πρόβολο δεν ασκούνται αξονικές δυνάµεις, οπότε η πάκτωση «αντιδρά» µε µια τέµνουσα δύναµη και µια καµπτική ροπή M. Υπολογίζουµε τις αντιδράσεις της πάκτωσης από τις εξισώσεις στατικής ισορροπίας. w w = 0 = Σ F = 0 Σ M = 0 w w M (+ ) = 0 M = 3 3 4
Υπολογίζουµε τις τέµνουσες δυνάµεις και τις καµπτικές ροπές στη δοκό. Κάνουµε εγκάρσια τοµή στη δοκό κάθε φορά που έχουµε µεταβολή στη φόρτισή της. Τµήµα ο 0 wkn\m + Σ F = 0 V() = 0 w V() = Σ M = 0 Μ + M () = 0 τοµη w w M() = + 3 wkn\m Τµήµα ο M M w ( X) Σ F = 0 V () ( ) = 0 V w V() = ( ) w 3 Σ Mτοµη = 0 Μ () + ( ) ( ) M () = ( ) 3 6 M V M + 4
Κατασκευή διαγράµµατος εγκάρσιων δυνάµεων V() και καµπτικών ροπών M(). wkn\m M + w V + M w 3 w 6 43
ΤΑΣΗ n n s n n n n s
Δι-διάστατη Εντατική Κατάσταση ( D) Ισορροπία ) ΣΜ=0 και τείνουν να περιστρέψουν το στοιχειώδες τετράγωνο ( d) d ( d) d d ) ΣF=0 d d d d d ( d ) d ( d ) d d d 0 d dd d 0 0 d d 0 Εξισώσεις Ισορροπίας d d 0
Μετασχηματισμός Τάσης (,, )? (,, ), d cos d cos d sin d sin d n d nt t n ή n cos sin cos sin nt ( )sin cos (cos sin ) n cos sin nt sin cos 3
ma n? ma nt d n d nt 0 n( p) p, 0 nt ( T ) p d d p T d n 0 ( )sin cos 0 tan p d d nt 0 ( )cossin 0 tant d cos( p T ) 0 tant tan sin cos p p T T p 4 cos p ( )/, sin p p,, p..... κύριες τάσεις p, T..... μέγιστη διατμητική τάση 4
p p, p p p T p 4 d n nt 0 δηλ. διατμητική τάση μηδέν στα επίπεδα p d : (-) θλιπτική ; (+) εφελκυστική : (+) ; (-) : (+) αριστερόστροφη από t n 5
Κύκλος του Mohr: n nt n, nt κύκλος (C, ): C,0 ; nt p H (, ) p C p B p n p, C p (, ) V (, ) n nt p tan tan / BV CB p στο κύκλο του Mohr p στο φυσικό χώρο / p p στο κύκλο του Mohr /4 στο φυσικό χώρο ( ) για στροφή ( ) για στροφή 6
Παραμόρφωση Α Α' ΟΑ ΟΑ' Αλλαγή μήκους και γωνίας Ο Αξονική: n n F n n n n d n d Διατμητική: s s μικρό tan ( ) επιμήκυνση ; ( ) d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d dn dn n dn nt nt 7
( n ) dn B n Δι-διάστατη (-D) Παραμόρφωση ( ) d t d dn B C O d C ( ) d ( OB ) ( OC ) ( C B ) ( OC )( C B )cos ( n) dn ( ) d ( ) d ( ) d ( ) d sin d dn cos, d dn sin, sin,,, Ορθή και διατμητική παραμόρφωση σε τυχαίο επίπεδο, n cos sin sin cos nt ( )sin cos (cos sin ),, 8
Ομοίως, n cos sin nt ( )sin cos Κύριες παραμορφώσεις, Κύκλος Mohr κ.λπ. p,, tan p nt / p / H (, /) p C p B p n p p, C C, p V, / 9
a cos a sin a sin acos a b cos b sin b sin bcos b Επιμηκυνσιόμετρα c c b c cos c sin c sin ccos c,, από τα a, b, c Παράδειγμα c 45 o 45 o b a 0, 3.50, 8 0 4 4 4 a b c 4 a 0,.5 0 4 c 8 0, 4 O a b a o o o o b cos 45 sin 45 sin 45 cos45 nt.65 V (,.5) p 8.35 n H (8,.5) p 8.5 0 3.35 0 4 4.5 p tan p 3.3 5, o C 4 5 0, 8.350 p C.650 3.3 o 0 4, 4
Νόμος του Hooke E G E G Μεταβολή μήκους (παραμόρφωση) στη διεύθυνση d d E E d E E ( ) E G ( ) E G ( ) E G D, E E E ; 0 E E,
p p Καθαρή Διάτμηση H (0, ) / (0, / ) p 0 p p V (0, ) / p 0 / p (0, / ) 45 o E Νόμος του Hooke: p p p ( ) p, / p, / E E ( ) E ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) ( )( ) E ( ) ( ) ( )( ),,, G E ( ) G E ( ) G E ( ) E ( ) E ( ) G ( ) E ( ) E ( ) E Επίπεδη ένταση: 0 E E [ ] ( ) Επίπεδη παραμόρφωση: 0 E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) E ( ) ( )( ) ( )
Αξονική Φόρτιση δ P, E P E P δ C Υπερστατικοί Φορείς CD E 00GPa, 500MPa, 50mm,,,,? Y YB Y B B B YB B E 00GPa, 400 MPa, 00 mm MD 0 P(0.5m) P B(0.5m) P (0.05m) 0 P 3PB 0kN () 00 00 50 c B B c δ B 3 δ B 50 50 50 3 5 P B B P P(0.4m) B P(0.m) 3 3 BEB E (0.m)(0.m) (0.5m)(0.m) P PB () () () P P 30 kn B 3 P 30(0) N 6 00(0) N / m 00MPa ( ), 6 B 50MPa ( ), 50(0) m 3 5 5 P B B 5 30(0) (0.400)Nm 3 C B (0) m mm 6 9 3 3BEB 300(0) (00)(0) m Pa C B 400 mm 00 mm 00 mm 00 mm 50 mm P = 4 kn P B Y YB k.5, kb.67 00 B 50 P 500 400 3 D
Στρέψη r d df d Ασκούμενη Ροπή M Παραμόρφωση M M r d... M 0 B B B D O D r tan BB DD r, tan tan (διατμητική παραμόρφωση) r, B r Τάση G G G r r r M r d r d r d J r d... πολική ροπή αδράνειας Mr ; J J r d 4 3 r J r d r d( r ) r dr 4 0 0 0 4 r M r, r, J M JG rg 4
F 0 M O 0 P O V r M r Κάμψη O d Ουδέτερος άξονας (Ο.Α.) V r d M r d Καμπτική Παραμόρφωση O.. c b b O.. c c c c c c c c O.. c c Στατική: F 0, M 0 F F M c T r 5
Καμπτική Τάση P F c F 0 d0 O.. V r M r F T E Hooke: ( ) ( ) E ( )( ) c c E E c c c c M Mr d d d d I c c M I Και από την d 0 d 0 K.. O.. (Κεντρικός άξονας Ουδέτερος άξονας) d I d Ο. Α. ; I d ; I = ροπή αδράνειας ως προς κεντρικό άξονα O.. 6
Ροπή Αδράνειας h h b h d d( b) bh bh 0 0 h h / 3 h / 3 bh I IO db d 3 h/ h / b 3 3 O.. 3 O.. O.. 3 3 i 3 i i i i O.. d I I d O cm cm h b O.. 3 3 h bh bh I IO bh bh 4 3 3 00mm 0mm 8cm 3cm cm cm i i (8 ) 4 (86) 5 3cm (8) (86) i IO ()(5) ()(3) (8)() 7cm 3 3 3 3 3 3 4 80mm 45mm 80 90mm... άξονας συμμετρίας I (00)(80) (45)(60) 7.88 0 mm 3 3 6 4 7
Διατμητική Τάση P O.. M V d V dv M dm, ( ) ; F 0 d d d0 B O O O Q: B d t M dm M dm dm,, I I ( d) t d I I I d d I t dm V VQ I t ( ) 0 (επειδή d 0 Q d d d d Σύνθετες Διατομές: N Q d i i i ) O.. B d και d d Q α) Q 0 στην κορυφή και στην βάση Q T Q 0 B β) ma Vma Q ma t γ) Q ma στον Ο.Α. αν t σταθ. h h h b h Q ( ) b O.. Q ma Q bh 8 h O.. b 8
Κάμψη Δοκών Ελαστική Γραμμή Σαν ελαστική γραμμή δοκού ορίζεται ο παραμορφωμένος ουδέτερος άξονας της δοκού ή αλλιώς η γραμμή των βυθίσεων της δοκού d () Απειροστό τμήμα της δοκού μεταξύ και d c Κ d d d ακτίνα καμπυλότητας '' ( ') d '' 3/ d d d d d c d d ( c) d d d E EI d M EI d c c Mc d c c d d d Εξισωση ελαστικης γραμμης 0 0 Η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα άνω. d d 0 0 Η ελαστική γραμμή στρέφει τα κοίλα κάτω. d c 9
Κοίλα άνω: Κοίλα κάτω: Κλίση ελαστικής γραμμής: Υπολογισμός ελαστικής γραμμής d M d M M d c ( ) d d c c d EI d EI EI Οι c και c προσδιορίζονται από οριακές συνθήκες: d Πάκτωση: (0) (0) 0 d Άρθρωση ή κύλιση: (0) 0 d d Αν δυο τμήματα της δοκού έχουν διαφορετικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά ή φυσικές ιδιότητες, τότε η βύθιση υπολογίζεται για τα επιμέρους τμήματα και οι πρόσθετες σταθερές ολοκλήρωσης προσδιορίζονται από τις συνθήκες συνέχειας στα κοινά σημεία. Ι I ( ) Α di dii Πρέπει: I( ) II( ) και ( ) ( ) d d ΙΙ II ( ) 0
Παράδειγμα P EI σταθερό P P Φορτίο: dv w d EI 4 d d 4 P P P P P 4 Διάτμηση: V DM d EI 3 d d 3 Ροπή: M d EI d P 6EI P 6EI Παραμόρφωση (Βύθιση): d Κλίση: d 3 P 48EI
Υπολογισμός βύθισης P d P d M EI d P EI c d 4 P 3 EI c c () () Συνοριακές συνθήκες: (0) 0 c 0 d P ( ) 0c d 6 Τελικά: d P 0, (0) 0, (0) 0 d P P 6 3 () d EI P P () 3 P d EI 4 6 d EI 6, ( ), ( ) 0 48EI d