Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010

Matematika BF Lesarstvo Matjaž Željko Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 009/00 Izpis: 9 januar 00

KAZALO Kazalo Števila 5 Naravna števila 5 Cela števila 6 3 Racionalna števila 6 4 Realna števila 7 5 Urejenost realnih števil 8 6 Omejene množice realnih števil Množice 3 Množice 3 Operacije z množicami 3 3 Preslikave med množicami 5 3 Matrike 8 3 Operacije z matrikami 8 3 Permutacije 3 33 Determinante 4 34 Računanje determinant 6 35 Razvoj po vrstici ali stolpcu 8 36 Cramerjevo pravilo 30 37 Gaussova metoda 33 38 Inverz matrike 40 4 Vektorji 45 4 Vektorji v prostoru 45 4 Koordinatni sistem v prostoru 49 43 Premica in ravnina v prostoru 59 44 Razdalje med točkami, premicami in ravninami 6 45 Presečišča premic in ravnin 63 5 Zaporedja 65 5 Zaporedja 65 6 Funkcije 80 6 Splošni pojem funkcije 80 6 Limita funkcije 85 63 Zveznost 90 64 Lastnosti zveznih funkcij 95 65 Pregled elementarnih funkcij 98 66 Zveznost elementarnih funkcij 09 7 Diferencialni račun 0 7 Definicija odvoda 0 7 Geometrični pomen odvoda 4 73 Pravila za odvajanje 4 74 Odvodi elementarnih funkcij 6 75 Diferencial funkcije 76 Lastnosti odvedljivih funkcij 4 77 Konveksnost, konkavnost, prevoji 30

KAZALO 3 78 Ekstremi funkcij 3 79 Risanje grafov funkcij 39 70 L Hôpitalovo pravilo 44 8 Integralski račun 47 8 Nedoločeni integral 47 8 Pravila za integriranje 48 83 Integral racionalne funkcije 53 84 Integracija trigonometričnih funkcij 57 85 Integracija korenskih funkcij 58 86 Določeni integral 59 87 Geometrijski pomen integrala 60 88 Lastnosti določenega integrala 6 89 Zveza med določenim in nedoločenim integralom 6 80 Računanje določenega integrala 64 8 Uporaba integrala 68 9 Vrste 77 9 Številske vrste 77 9 Funkcijske vrste 88 93 Potenčne vrste 89 94 Talorjeva vrsta 90 0 Funkcije več spremenljivk 98 0 Splošni pojem funkcije 98 0 Odprte množice in okolice 00 03 Zveznost 0 04 Parcialni odvodi 04 05 Verižno pravilo 06 Talorjeva formula 3 07 Lokalni ekstremi 4 08 Metoda najmanjših kvadratov 9 09 Vezani ekstremi 00Vektorske funkcije 5 Diferencialne enačbe 7 Splošen pojem diferencialne enačbe 7 Diferencialne enačbe prvega reda 9 Enačba z ločljivima spremenljivkama 9 3 Radioaktivni razpad 3 4 Naravna rast 3 5 Problem mešanja raztopin 33 6 Bartalanffev model rasti 34 7 Linearna diferencialna enačba I reda 35 8 Diferencialne enačbe višjih redov 36 9 Homogene linearne diferencialne enačbe II reda 37 9 Enačbe s konstantnimi koeficienti 38 0Nehomogene linearne diferencialne enačbe II reda 39 Nihanje 43 Sistemi diferencialnih enačb 47 3Sistem dveh diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti 47

KAZALO 4 Kombinatorika 5 Preštevanja 5 3 Verjetnost 57 3 Osnovni pojmi in računanje z dogodki 57 3 Osnovne lastnosti verjetnosti 59 33 Algebra dogodkov 60 34 Lastnosti verjetnosti 60 35 Pogojna verjetnost 6 36 Zaporedje neodvisnih dogodkov 65 37 Slučajne spremenljivke 68 38 Številske karakteristike slučajnih spremenljivk 7 4 Primeri vprašanj za teoretični del izpita 74

ŠTEVILA 5 Števila Naravna števila Naravna števila so števila, s katerimi štejemo:,, 3, 4, Množico naravnih števil {,,3,} označimo z N Naravna števila lahko med seboj seštevamo in množimo Vrstni red pri seštevanju in množenju ni pomemben, člene (pri seštevanju) ali faktorje (pri množenju) lahko poljubno združujemo Torej za vsaka tri naravna števila a, b in c velja a + b b + a, ab ba, (a + b) + c a + (b + c), (ab)c a(bc) Prvi dve lastnosti imenujemo komutativnost seštevanja oz množenja, drugi dve lastnosti pa imenujemo asociativnost seštevanja oz množenja Če naravna števila seštevamo in množimo, se moramo držati dogovora o vrstnem redu operacij Ker ima množenje prednost pred seštevanjem, je a + b c a + (b c), a b + c (a b) + c Če želimo najprej izračunati a+b in nato rezultat pomnožiti s c, zapišemo (a+b) c V splošnem velja pravilo o distributivnosti množenja: (a + b)c ac + bc, a(b + c) ab + ac Načelo matematične indukcije Naravna števila so induktivna množica: če je S N taka podmnožica, da je S in velja sklep: če n S, potem n + S, je S N Tej lastnosti pravimo tudi načelo matematične indukcije Zgled Za vsako naravno število n velja + + + n n(n + ) () Rešitev Označimo S {n N; + + + n n(n+) } Množica S je torej množica tistih naravnih števil, za katera drži enakost () (Induktivna hipoteza je, da formula () drži za dano število n) Najprej preverimo, da je S Privzemimo sedaj, da je n S Tedaj je + + + n n(n+) Torej je ( + + + n) + (n + ) n(n+) + (n + ) (n+)(n+), kar pomeni, da je tudi n + S Po načelu matematične indukcije je S N Torej velja formula + + + n n(n+) za vsako naravno število n Matematično indukcijo lahko uporabimo tudi na množici N {0}

ŠTEVILA 6 Zgled Naj bo q Za vsako število n N {0} velja a + aq + + aq n a qn+ q Rešitev Za n 0 seveda velja a a q0+ q a V dokazu induktivnega koraka pa opazimo, da je a + aq + + aq n + aq n+ a qn+ q + aq n+ a qn+ + (q )q n+ q a qn+ q Peanovi aksiomi Naravna števila aksiomatično vpeljemo s pomočjo Peanovih aksiomov: je naravno število Vsakemu naravnemu številu n pripada natančno določeno naravno število n +, ki ga imenujemo naslednik števila n Število ni naslednik nobenega naravnega števila [Načelo indukcije] Če je S N taka podmnožica, da je S in velja sklep: če n S, potem n + S, je S N S Peanovimi aksiomi lahko v množico naravnih števil vpeljemo tudi seštevanje in množenje Cela števila V množici naravnih števil lahko seštevamo in množimo, ne moremo pa odštevati Da bi lahko naravna števila odštevali, vpeljemo število 0 in negativna števila Število 0 je tako število, da zanj velja a + 0 a za vsako naravno število a K naravnemu številu a pa pridružimo tako nasprotno število a, da zanj velja a + ( a) 0 Množico celih števil označimo z Z N {0} { n; n N} To je najmanjša množica števil, v kateri je za vsaki naravni števili a in b rešljiva enačba a b + 3 Racionalna števila V množici celih števil ne moremo deliti Če želimo število a razdeliti na b, b 0, enakih delov, bo vsak del velik a b Racionalno število a b je torej tako število, za katero velja a b b a Množico racionalnih števil označimo z Q { a b ; a,b Z,b 0} To je najmanjša množica števil, v kateri je za vsaki celi števili a in b, b 0, rešljiva enačba a b

ŠTEVILA 7 Pri računanju s številom 0 je potrebno biti previden Jasno je a + 0 a, a 0 a, a 0 0 Racionalno število a 0, a 0, pa ne obstaja (oz deljenje z 0 ni dopustno), saj ne obstaja tako število, za katerega bi bilo 0 a 4 Realna števila Številska premica Racionalna števila si lahko ponazorimo s točkami na številski premici Številska premica je poljubna premica, na kateri smo si izbrali dve različni točki, ki predstavljata O in E Točko O imenujemo koordinatno izhodišče in upodablja število 0 Točka E upodablja število 0 O E Z nanašanjem daljice OE v eno ali v drugo stran od koordinatnega izhodišča dobimo slike celih števil 0 3 4 Z enostavno geometrijsko konstrukcijo (razmerja) lahko upodobimo racionalna števila 0 3 3 5 Izkaže se, da na premici obstajajo števila, ki niso upodobitve racionalnih števil 0 Pojem števila zato še enkrat razširimo in rečemo, da so realna števila vsa števila, ki jih lahko upodobimo na številski premici Množico realnih števil označimo z R Med množicami naravnih, celih, racionalnih in realnih števil velja zveza kjer so vse inkluzije prave N Z Q R,

ŠTEVILA 8 Decimalni zapis realnega števila Naj bo X točka na številski premici Številu X bomo priredili decimalno število Ker cela števila razdelijo številsko premico na enotske intervale, obstaja celo število a 0, da leži točka X med a 0 in a 0 + (Če X ne upodablja celega števila, je število a 0 določeno enolično) Interval med a 0 in a 0 + razdelimo na deset enako dolgih delov Potem obstaja število a {0,,,9}, da leži točka X med a 0 + 0 in a 0 + 0 a + 0 Postopek ponavljamo Točki X na številski premici smo tako priredili neskončno zaporedje števk a 0,a, Pravimo, da je a 0 a a a 3 decimalni zapis števila a 0 a0 + a 0 + a 0 a 0 + a + 0 a 0 + a 0 + a 00 a 0 + a 0 + a + 00 Decimalni zapis ni nujno enoličen Število 5 4 49999 49 lahko zapišemo kot 5000 50 ali Cela števila in racionalna števila oblike a m 5 n imajo končen decimalni zapis Vsa druga racionalna števila imajo neskončen periodičen decimalni zapis 5 3 7 666 6, 048574857 04857 Iracionalna števila imajo neskončen neperiodičen decimalni zapis π 34596535897933846643383795 443563730950488068874097 5 Urejenost realnih števil Realna števila lahko primerjamo po velikosti Pravimo, da je število a na številski premici pozitivno, če leži desno od točke 0 (torej na istem poltraku kot točka ) Pravimo, da je število a na številski premici negativno, če leži levo od točke 0 (torej na drugem poltraku kot točka ) negativna števila 0 pozitivna števila

ŠTEVILA 9 Pravimo, da je število a manjše od b in označimo a < b, če je število b a pozitivno (tj b leži desno od a) Pravimo, da je število a večje od b in označimo a > b, če je število b a negativno (tj b leži levo od a) Število 0 ni ne pozitivno ne negativno Simbol < lahko tudi obrnemo Pravimo, da je število a večje od b, oznaka a > b, če je b < a Če je a < b ali a b, na kratko označimo a b in pravimo, da je a manjše ali enako b Če je a > b ali a b, na kratko označimo a b in pravimo, da je a večje ali enako b Pri računanju s pozitivnimi oz negativnimi števili moramo biti nadvse pazljivi iz a < b sledi a + c < b + c za vsak c R, iz a < b in c > 0 sledi ac < bc, iz a < b in c < 0 pa sledi ac > bc Zadnja lastnost enostavno pove, da se pri množenju z negativnim številom neenakost obrne Absolutna vrednost Vsakemu realnemu številu lahko priredimo nenegativno realno število s predpisom {, če je 0, če je < 0 Število imenujemo absolutna vrednost števila Velja + + trikotniška neenakost Geometrijsko pomeni razdaljo od točke X, ki upodablja število, do točke O na številski premici Če sta, realni števili, je razdalja med njunima slikama na številski premici Intervali in okolice Naj bosta a in b, a b, poljubni realni števili Definirajmo: [a,b] { R; a b} (a,b] { R; a < b} [a,b) { R; a < b} (a,b) { R; a < < b} zaprt interval od a do b polodprt interval od a do b polodprt interval od a do b odprt interval od a do b a a a a [a,b] (a,b] [a,b) (a,b) b b b b

ŠTEVILA 0 Pri a b je [a,a] {a} in (a,a] [a,a) (a,a) Definiramo lahko tudi neskončne intervale, ki so pri vedno odprti, saj sploh ni število: Za vsak a R in ε > 0 imenujemo interval ε-okolica točke a (,b] { R; b} (,b) { R; < b} [a, ) { R; a } (a, ) { R; a < } (, ) R (a ε,a + ε) { R; a ε < < a + ε} a ε a a + ε Zgled 3 Poišči vsa realna števila, za katera je + > Rezultat zapiši z intervalom Rešitev Ker je 0 za, ločimo dva primera Če je <, je + Neenakost postane + > +, kar lahko preoblikujemo v 3 > oz > 3 Torej ( 3, ) Če pa je, je Neenakost postane + >, kar lahko preoblikujemo v < 3 Torej [,3) Rešitev je ( 3, ) [,3), kar lahko krajše zapišemo kot ( 3,3) + 3 O 3 Zgled 4 Poišči vsa realna števila, za katera je 3 Rešitev Ker je 0 za in 3 0 za 3, ločimo 3 primere Če je < 3, neenakost preoblikujemo v 3, kar nam da 3 Torej [ 3, 3 ) Če je >, neenakost preoblikujemo v 3, kar nam da Torej v tem primeru ni rešitev Če pa je 3, velja 3 in 5 4 Torej [ 3, 5 4 ] Rešitev je [ 3, 3 ) [ 3, 5 4 ], kar lahko krajše zapišemo kot [ 3, 5 4 ]

ŠTEVILA 3 O 5 4 3 Zgled 5 Poišči vsa realna števila, za katera je < + Rešitev Ker je 0 za ±, ločimo 3 primere, ki pa ji lahko združimo v : in > Če je, velja < + Torej + > 0 Ker je + 0 za 0 in, mora biti > 0 ali < Ob pogoju to pomeni [, ) (0, ] Če pa je >, velja < + Torej 4 < 0 Ker je 4 0 za, ± 7, ob pogoju > to pomeni ( 7, ) (, + 7 ) Rešitev je torej ( 7, ) (0, + 7 ) + 7 O + 7 6 Omejene množice realnih števil Naj bo A neprazna množica realnih števil Če obstaja število M, da je a M za vsak a A, pravimo, da je M zgornja meja množice A Pravimo, da je množica A navzgor omejena, če obstaja kakšna zgornja meja množice A Če obstaja število m, da je m a za vsak a A, pravimo, da je m spodnja meja množice A Pravimo, da je množica A navzdol omejena, če obstaja kakšna spodnja meja množice A m A a M

ŠTEVILA Množica A je omejena, če je omejena navzgor in navzdol Število M je natančna zgornja meja množice A, če je zgornja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a > M ε (Natančna zgornja meja je torej najmanjša zgornja meja množice A) A M ε a M Natančno zgornjo mejo množice A označimo s supa in poimenujemo supremum množice A Natančna zgornja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število b Število m je natančna spodnja meja množice A, če je spodnja meja množice A in če za vsak ε > 0 obstaja a A, da je a < m + ε (Natančna spodnja meja je torej največja spodnja meja množice A) m a m + ε A Natančno spodnjo mejo množice A označimo z inf A in poimenujemo infimum množice A Natančna spodnja meja vsakega (odprtega, zaprtega, polodprtega) intervala med a in b je število a Zgled 6 Določi natančno spodnjo in zgornjo mejo množic inf(a), sup(a) inf(b) 0, sup(b) inf(c) 3, sup(c) 3 A {n + ; n Z} B { n ; n N}, C { R; < 3} Dedekindov aksiom Vsaka neprazna navzdol omejena podmnožica realnih števil ima natančno spodnjo mejo Dedekindov aksiom je ekvivalenten trditvi, da ima vsaka neprazna navzgor omejena podmnožica realnih števil natančno zgornjo mejo Ta aksiom razloči med realnimi in racionalnimi števili Množica A {; > in > 0} v množici racionalnih števil namreč nima natančne spodnje meje, v množici realnih števil pa je natančna spodnja meja (iracionalno) število Zgled 7 Število je iracionalno Rešitev Dokaz s protislovjem Recimo, da je p q, kjer je p q okrajšan ulomek Potem je p q Torej p p in p q Sledi q q in p q p q v resnici ni okrajšan ulomek

MNOŽICE 3 Množice Množice Množica A je določena, če obstaja pravilo, po katerem je mogoče za vsako reč odločiti ali je v A ali ne Če a spada v množico A, pravimo, da je a element množice A in označimo a A Če a ni element množice A, označimo a / A Množico lahko podamo tako, da zapišemo njene elemente: A {,,3}, B { modra, zelena } Množico lahko podamo tudi tako, da povemo lastnost L, ki jo imajo natanko vsi njeni elementi Torej A {a; L(a)} C {; < }, D {n; n deli število } Možno je, da noben element nima lastnosti L; tedaj je A prazna množica, kar zapišemo A Operacije z množicami Množica A je podmnožica množice B, z oznako A B, če vsak element množice A leži tudi v množici B Če je A B in B A, imata množici A in B iste elemente in sta enaki Oznaka: A B A B Unija množic A in B je množica A B, definirana z A B {; A ali B} A B A B Presek množic A in B je množica A B, definirana z A B {; A in B} A B Za poljubne množice A, B in C velja Komutativnost in A B B A, A B B A A B Asociativnost in (A B) C A (B C), (A B) C A (B C) Idempotentnost in A A A, A A A Absorbcija A (A B) A, A (A B) A Lastnost A A, A A B

MNOŽICE 4 Izrek (Distributivnostna zakona) Za poljubne množice A, B in C velja A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) A A A (B C) A (B C) B C B C Razlika množic A in B je množica A \ B, definirana z A \ B {; A in / B} Množici A \ B pravimo tudi komplement množice B glede na A A \ B A B Včasih obravnavamo le podmnožice neke fiksne, dovolj velike množice U, ki jo v tem primeru imenujemo univerzalna množica Komplement množice A (glede na univerzalno množico U) je množica A c, definirana z A c U \ A A U U, A U A lastnost univerzalne množice U A A c U, A A c lastnost komplementa (A c ) c A involutivnost komplementa U c, c U komplementarnost U in Izrek (De Morganova zakona) Za poljubne množice A, B in C velja (A B) c A c B c (A B) c A c B c A B A B (A B) c (A B) c Zgled 3 Izračunaj A B, A B in A\B za A {n ; n,,,7} in B {3n ; n,,,7} Rešitev Ker je A {,3,5,7,9,,3} in B {,4,7,0,3,6,9}, je A B {,3,4,5,7,9,0,,3, 6,9}, A B {,7,3} in A \ B {3,5,9,}

MNOŽICE 5 Naj bo A in B Urejeni par elementov in je množica ki jo krajše označimo z (,) {{}, {,}}, Iz (,) (, ) sledi, da je in V urejenem paru je vrstni red zapisa pomemben Za je (,) (,), vendar pa {,} {,} Kartezični produkt množic A in B je množica urejenih parov A B {(,); A, B} A B natanko tedaj, ko je vsaj ena izmed množic A in B prazna Za različni neprazni množici A in B velja A B B A Če je A B, pišemo namesto A A kar A Potenčna množica množice A je množica vseh podmnižic množice A in jo označimo s P(A) Torej P(A) {X; X A} P( ) { } P(P( )) {, { }} P({,,3}) {, {}, {}, {3}, {,}, {, 3}, {,3}, {,, 3}} Za končno množico A z n elementi velja, da ima potenčna množica P(A) natanko n elementov 3 Preslikave med množicami Preslikave med množicami Naj bosta A in B množici Preslikava f : A B je pravilo f, ki vsakemu elementu a množice A priredi natančno določen element f(a) množice B (Preslikavo pogosto imenujemo tudi funkcija, zlasti, če je A R in B R) f A a f(a) B Množica A je lahko tudi prazna, saj za vsako množico B obstaja prazna preslikava B Če pa je množica B prazna, obstaja preslikava A, le če je tudi množica A prazna Množico A imenujemo definicijsko območje ali domena, množico f(a) {f(a); a A} B pa zaloga vrednosti ali kodomena preslikave f Definicijsko območje funkcije f označimo tudi z D f, zalogo vrednosti pa z Z f

MNOŽICE 6 f Z f A D f B Zgled 4 Ali sta funkciji f () in f () enaki? Ali sta funkciji g () in g () enaki? Preslikava f : A B je injektivna, če za vsaka a,a A, a a, velja f(a ) f(a ) (Ekvivalentno: f je injektivna, če za vsaka a,a A iz f(a ) f(a ) sledi a a ) f(a a ) a f(a ) A f f Preslikava f : A B je surjektivna, če je Z f B (Ekvivalentno: f je surjektivna, če za vsak b B obstaja tak a A, da je f(a) b) B a A f Preslikava f je bijektivna, če je injektivna in surjektivna Graf preslikave f : A B je množica b B Γ(f) {(a,f(a)); a A} A B B f(a) Γ(f) a A B Funkcija f je injektivna, če vsaka vodoravna premica v A B seka graf Γ(f) največ enkrat Funkcija f je surjektivna, če vsaka vodoravna premica v A B seka graf Γ(f) vsaj enkrat Zgled 5 Nariši graf funkcije f : [,] [,4], podane s predpisom f() Ali je funkcija injektivna oz surjektivna? Rešitev A

MNOŽICE 7 4 O Funkcija ni ne injektivna ne surjektivna Zgled 6 Funkcija f : R R, definirana s predpisom f() 3, je bijektivna Funkcija f : R R, definirana s predpisom f() 3, je surjektivna, a ni injektivna Funkcija f : R R, definirana s predpisom f(), ni injektivna in ni surjektivna Funkcija f : R R R, definirana s predpisom f() (, ), je injektivna Funkcija f : R R R, definirana s predpisom f(, ), je surjektivna Naj bosta f : A B in g: B C preslikavi Kompozitum preslikav f in g je preslikava g f : A C, definirana z (g f)(a) g(f(a)) g f f g a A Zgled 7 Naj bo f : A B in g: B C f(a) B g(f(a)) C Če sta f, g injektivni, je g f injektivna Če sta f, g surjektivni, je g f surjektivna Če je g f injektivna, je f injektivna Če je g f surjektivna, je g surjektivna Rešitev Če a a, potem f(a ) f(a ) in g(f(a )) g(f(a )) Za c C obstaja b B, da g(b) c Obstaja a A, da f(a) b Torej g(f(a)) c Če a a, potem g(f(a )) g(f(a )) in zato f(a ) f(a ) Za c C obstaja a A, da je g(f(a)) c Torej je g(b) c za b f(a) B Preslikavo f : A A, definirano z f(a) a, imenujemo identična preslikava množice A in označimo id A Naj bo f : A B preslikava Če obstaja taka preslikava g: B A, da je g f id A in f g id B, pravimo, da je g inverz preslikave f in označimo f g

3 MATRIKE 8 f A a g f(a) B Trditev 8 Preslikava f : A B je bijektivna natanko tedaj, ko ima inverz Zgled 9 Naj bo A {,,3,4} in f(n) n za n A Določi množico B in preslikavo g: B A, ki je inverz preslikave f Rešitev Po vrsti izračunamo f(), f() 3, f(3) 5 in f(4) 7 Torej je množica B {, 3, 5, 7} zaloga vrednosti preslikave f Ker iz f(n) n m sledi n m+ m+, je preslikava g: B A, podana z g(m), inverz preslikave f f : n n 3 4 3 5 7 g: m m+ Naj bo f : A B poljubna preslikava in à A podmnožica Zožitev preslikave f na podmnožico à je preslikava f à : à B, definirana z f Ã(a) f(a) Zgled 0 Funkcija f : R R, podana s predpisom f() +, ni bijektivna Za A {; 0} in B {; } je zožitev f A : A B funkcije f bijektivna Rešitev Funkcija f ni injektivna, saj je f() f( ) za vsak R Funkcija f ni surjektivna, saj je f() za vsak R Injektivnost zožitve Če je f A( ) f A ( ), je + +, od koder sledi oz ( )( + ) 0 Če je + 0, je zaradi 0 in 0 lahko le 0 Če je + 0, mora biti 0 oz Surjektivnost zožitve Vzemimo poljuben Tedaj za velja f A () 3 Matrike 3 Operacije z matrikami Matrika je pravokotna tabela (shema) realnih števil, sestavljena iz vrstic in stolpcev: [ ] 3 5 4 ali 0 0 3 4 3 Množico vseh realnih matrik z m vrsticami in n stolpci označimo z R m n V splošnem označimo a a a n a a a n A a m a m a mn

3 MATRIKE 9 ali krajše A [a ij ] R m n (Torej i,,m in j,,n) Število a ij imenujemo (i,j)-ti element matrike A Matrika A [a ij ] R m n je kvadratna, če je m n Kvadratna matrika A [a ij ] R n n je diagonalna, če je a ij 0 za i j A a 0 0 0 a 0 0 0 a nn Zgled 3 Zapiši matriko A [a ij ] R 3, kjer je a ij ( ) i + j Rešitev [ ( ) A + ( ) + ( ) + 3 ( ) + ( ) + ( ) + 3 ] [ 3 7 3 5 9 ] Enakost matrik Matriki A R m n in A R m n sta enaki, če je m m, n n ter a ij a ij za i,,m in j,,n Enostavno povedano: matriki sta enaki, če sta enakih razsežnosti in se ujemata v istoležnih elementih Vsota matrik Za matriki A,B R m n definiramo vsoto matrik A + B Če je a a a n a a a n A in B a m a m a mn b b b n b b b n b m b m b mn, je A + B a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n a m + b m a m + b m a mn + b mn Produkt matrike s skalarjem Za matriko A R m n in število λ R definiramo produkt s skalarjem λ Če je a a a n a a a n A, a m a m a mn je λa λa λa λa n λa λa λa n λa m λa m λa mn

3 MATRIKE 0 Zgled 3 Izračunaj 5A 3B za matriki A Rešitev Računajmo [ ] 5A 3B 5 4 [ 5 0 0 0 [ 4 [ 0 3 3 ] [ 3 0 6 9 ] in B ] ] [ 0 3 [ 8 0 4 9 Navedimo glavne lastnosti seštevanja in množenja matrik s skalarjem asociativnost seštevanja (A + B) + C A + (B + C) za vse A,B,C R m n obstoj nevtralnega elementa za seštevanje Za ničelno matriko 0 0 0 R m n 0 0 velja A + 0 0 + A A za vsak A R m n obstoj nasprotnega elementa za seštevanje Za matriko A R m n ima nasprotna matrika A ( )A lastnost A + ( A) 0 komutativnost seštevanja A + B B + A za vse A,B R m n distributivnost v skalarnem faktorju (λ + µ)a λa + µa za vse A R m n in λ,µ R, distributivnost v matričnem faktorju λ(a + B) λa + λb za vse A,B R m n in λ R, multiplikativnost v skalarnem faktorju (λµ)a λ(µa) za vse A R m n in λ,µ R, množenje s skalarjem A A za vse A R m n Produkt matrik Če ima matrika A toliko stolpcev kot ima matrika B vrstic, lahko matriki A in B zmnožimo Produkt matrik A R m n in B R n p označimo z AB in je matrika C [c ij ] z elementi n c ij a ik b kj a i b j + a i b j + + a in b nj k za i,,m, j,,p Skratka a a n b b p a m a mn b n b np }{{}}{{} A B n a k b k k n a mk b k k ] n a k b kp k ] n a mk b kp k } {{ } AB Element v i-ti vrstici in j-tem stolpcu matrike C AB R m p je skalarni produkt i-te vrstice matrike A R m n in j-tega stolpca matrike B R n p : c ij a i b j + a i b j + + a in b nj

3 MATRIKE j j i i A B AB [ Zgled 33 Izračunaj produkt matrik A 3 0 in B 3 0 Rešitev AB 3 0 [ 0 3 ] + ( ) ( 3) 0 + ( ) ( 3) + ( 3) ( 3) 0 + 0 + ( 3) 0 0 + 7 3 Zgled 34 Izračunaj AB in BA za A [ 4 ] in B [ 0 3 Rešitev Računajmo [ ] [ ] 0 AB 4 3 [ ] ( ) + ( ) 0 + ( ) ( 3) ( ) + 4 0 + 4 ( 3) [ ] [ ] 0 BA 3 4 [ ] ( ) + 0 ( ) ( ) + 0 4 + ( 3) ( ) + ( 3) 4 ] ] [ 5 6 6 [ 4 6 Račun torej kaže, da je AB BA Pravimo, da je množenje matrik nekomutativno (Še več, razsežnosti matrik A in B so lahko take, da obstaja le eden od produktov AB in BA) Množenje matrik zadošča pogojem asociativnost (AB)C A(BC) za vse A R m n, B R n p in C R p q, ] ], obstoj enote za množenje 0 0 0 0 0 0 I n 0 0 0 0 0 0 0

3 MATRIKE Za vsako matriko A R m n velja I m A AI n A Kvadratno matriko I n imenujemo identična matrika Pogosto namesto I n pišemo kar I, ko je iz besedila razvidno, kakšne razsežnosti je matrika I leva distributivnost (A + B)C AC + BC za vse A,B R m n in C R n p, desna distributivnost A(B + C) AB + AC za vse A R m n in B,C R n p, homogenost λ(ab) (λa)b A(λB) za vse A R m n, B R n p in λ R Izrek 35 Za matrike A R m n, B R n p in C R p q velja (AB)C A(BC) Dokaz Označimo A [a ij ], B [b ij ] in C [c ij ] Izračunajmo (i,j)-ti element matrike (AB)C: ((AB)C) ij p p n (AB) il c lj ( a ik b kl )c lj l p l k l n a ik b kl c lj n p a ik ( b kl c lj ) k n k l k l k p a ik b kl c lj n a ik (BC) kj (A(BC)) ij Transponirana matrika Za matriko A a a a n a a a n a m a m a mn definiramo transponirano matriko k A a a a m A T a a a m a n a n a mn Za A R m n je torej A T R n m Zgled 36 Zapiši transponirano matriko k matriki A 3 0 0 4 Rešitev Velja A T 0 0 4 3 Za transponiranje matrik velja (A T ) T A za vse A R m n

3 MATRIKE 3 (A + B) T A T + B T za vse A,B R m n (λa) T λa T za vse A R m n in λ R (AB) T B T A T za vse A R m n in B R n p Izrek 37 Za A R m n in B R n p velja (AB) T B T A T Dokaz Označimo A [a ij ] in B [b ij ] Izračunajmo (i,j)-ti element matrike (AB) T : n ((AB) T ) ij (AB) ji a jk b ki Ker pa je res velja (AB) T B T A T 3 Permutacije (B T A T ) ij k n n Bik T AT kj b ki a jk k k n a jk b ki, Permutacija reda n je bijektivna preslikava σ: {,,3,,n} {,,3,,n} Množico vseh permutacij reda n označimo z S n Permutacijo običajno zapišemo v obliki ( ) n σ, a a a n kjer gornja oznaka pomeni, da je σ() a, σ() a,, σ(n) a n Zgled 38 Zapiši permutacijo σ S 4, ki preslika 3, in 4 Rešitev Ker je preslikava σ bijekcija, mora veljati še σ: 3 4 Torej je ( ) 3 4 σ 3 4 Permutacija ι je identična permutacija, če je ι(i) i za vsak i (To je pravzaprav identična preslikava) Permutacija τ je transpozicija, če za neka i in j, i j, velja τ(i) j, τ(j) i in τ(k) k za vsak k / {i,j} Zgled 39 Zapiši transpozicijo σ S 4, ki zamenja števili in 4 Rešitev Iskana transpozicija je σ ( 3 4 4 3 Dokazati je možno, da za vsako permutacijo σ obstajajo transpozicije τ, τ,, τ m, da je ) τ m τ m τ σ ι Število transpozicij, ki uredijo σ v identično permutacijo, ni enolično določeno Dokazati je možno, da iz τ m τ m τ σ ι in τ m τ m τ σ ι sledi, da je m m (mod ) (tj števili m in m sta iste parnosti), kar pomeni, da je ( ) m ( ) m Število ( ) m imenujemo predznak permutacije in ga označimo s sign(σ) Permutacije s predznakom so sode, permutacije s predznakom pa lihe k

3 MATRIKE 4 33 Determinante Naj bo A R n n kvadratna matrika: A a a a n a a a n a n a n a nn Determinanta matrike A je število det(a), ki je vsota vseh možnih produktov po enega števila iz vsake vrstice in stolpca z upoštevanjem ustreznih predznakov Natančneje: det(a) σ S n sign(σ)a σ() a σ() a nσ(n), () kjer S n označuje množico vseh permutacij reda n, število sign(σ) pa predznak permutacije σ Običajno pišemo a a a n a a a n det(a) a n a n a nn Opozoriti velja, da je za velike n izračun vrednosti determinante po definiciji zelo zamuden, saj ima množica S n natančno n! n elementov Torej je potrebno za izračun determinante reda n sešteti n! členov in pri vsakem od njih je potrebno pravilno določiti predznak ustrezne permutacije Oglejmo si sedaj vrednost det(a) za majhne razsežnosti matrike A Pri n je V vsoti () imamo je en člen, torej je A [a ] det(a) a Pri n je [ ] a a A a a ( ) ( ) V množici S imamo le dve permutaciji ι in τ Permutacija ι je identična in ima predznak ( ) 0, permutacija τ pa je transpozicija in ima predznak ( ) Torej je ali krajše det(a) sign(ι)a ι() a ι() + sign(τ)a τ() a τ() a a a a a a a a Zgled 30 Izračunaj vrednost determinante a a a a 3 5

3 MATRIKE 5 Rešitev Po pravilu za izračun determinante reda je 3 5 3 ( ) 5 ( ) 3 + 0 7 Pri n 3 je A a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 V množici S 3 je natančno 3! 3 6 permutacij Te so σ σ σ 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 σ 4 σ 5 σ 6 ( ) 3 3 ( ) 3 3 ( ) 3 3 Hitro se vidi, da imajo permutacije σ, σ 4 in σ 5 predznak, ostale pa predznak Torej je det(a) a a a 33 + a a 3 a 3 + a 3 a a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 To formulo si lahko enostavno zapomnimo tako, da k matriki A na desni pripišemo prva dva stolpca matrike A matrika A {}}{ a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a a a 3 a 3 ter seštejemo produkte na glavnih diagonalah (polne črte) in odštejemo produkte na stranskih (črtkane črte) Opozorilo Zgoraj opisani prijem s pripisovanjem dveh stolpcev na desni (Sarrusovo pravilo) velja samo za izračun determinant razsežnosti 3 3 Metoda za splošen n, n 3, ne drži in je tudi ni možno ustrezno prirediti Zgled 3 Izračunaj vrednost determinante Rešitev Po Sarrusovem pravilu je 3 0 3 3 0 0 3 + ( ) ( ) + ( ) 0 ( ) ( ) 3 0 ( ) 3 + + 0 4 0 + 3

3 MATRIKE 6 34 Računanje determinant Lastnosti determinant Matrika A in njej transponirana matrika A T imata enako determinanto: det(a) det(a T ) Torej a a a n a a a n a n a n a nn a a a n a a a n a n a n a nn Če pomnožimo vse elemente v kakšni vrstici (ali stolpcu) z istim faktorjem k, se vrednost determinante pomnoži s k a a a n ka i ka i ka in a n a n a nn k a a a n a i a i a in a n a n a nn Če pomnožimo vse elemente v matriki z istim faktorjem k, se vrednost determinante pomnoži s k n Za A R n n torej velja det(ka) k n det(a) Če v determinanti dve vrstici (ali stolpca) zamenjamo med sabo, determinanta spremeni predznak a a a n a j a j a jn a i a i a in a n a n a nn a a a n a i a i a in a j a j a jn a n a n a nn Če sta v determinanti dve vrstici enaki (ali dva stolpca enaka), je vrednost determinante enaka 0 a a a n a j a j a jn a i a i a in a n a n a nn 0 Če so vsi elementi, ki ležijo na eni strani glavne diagonale, enaki 0, je vrednost determinante enaka produktu diagonalnih elementov a a a 3 a n 0 a a 3 a n 0 0 a 33 a 3n 0 0 0 a nn a a a nn

3 MATRIKE 7 Vrednost determinante se ne spremeni, če k eni vrstici prištejemo večkratnik druge vrstice (ali če k enemu stolpcu prištejemo večkratnik drugega stolpca) a a a n a a a n a i + ka j a i + ka j a in + ka jn a i a i a in a j a j a jn a j a j a jn a n a n a nn a n a n a nn Zgled 3 Izračunaj vrednost determinante 3 0 0 5 Rešitev Rešimo nalogo na načina Po Sarrusovem pravilu je 3 0 3 0 5 0 5 6 + 0 + 5 0 0 ( ) 0 Z vrstičnimi operacijami izračunamo 3 0 0 5 3 0 0 5 3 0 0 5 0 0 0 0 Zgled 33 Izračunaj vrednost determinante 3 3 0 0 5 0 5 Rešitev Z vrstičnimi operacijami izračunamo 3 0 0 3 5 0 ( ) ( ) 0 0 Zgled 34 Izračunaj vrednost determinante 0 0 0 3

3 MATRIKE 8 Rešitev Z vrstičnimi operacijami izračunamo 0 0 0 0 0 3 0 3 0 5 3 0 0 0 0 5 3 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 5 3 5 3 Zgled 35 Izračunaj vrednost determinante 0 3 0 0 4 0 4 Rešitev Z vrstičnimi operacijami izračunamo 0 0 3 0 0 4 0 0 4 0 4 0 4 0 0 0 0 0 3 8 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 4 ( ) 3 8 3 8 Zgled 36 Določi vrednost parametra tako, da bo vrednost determinante enaka 0 Rešitev Po Sarrusovem pravilu izračunamo + + 4 ( ) ( ) 4 + 3 + Ker je + 3 + ( + )( + ), je vrednost determinante enaka 0 le za in 35 Razvoj po vrstici ali stolpcu Poddeterminanta Fiksirajmo indeksa i, j {,,, n} in iz primernih (n )! členov v izrazu det(a) σ S n sign(σ)a σ() a σ() a nσ(n), (3) izpostavimo a ij Izraz, ki nam ostane (torej vsota (n )! členov, od katerih je vsak produkt n elementov determinante), označimo z A ij in imenujemo poddeterminanta elementa a ij v determinanti det(a)

3 MATRIKE 9 Poddeterminanto A ij izračunamo tako, da iz matrike A a a a n a a a n a n a n a nn pobrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec in izračunamo determinanto dobljene matrike razsežnosti (n ) (n ) Razvoj po vrstici ali stolpcu Naj bo i katerakoli vrstica determinante A Ker je v vsakem členu v (3) po en faktor iz i-te vrstice, je možno zapisati det(a) ( ) i+ a i A i + ( ) i+ a i A i + + ( ) i+n a in A in (4) Tej formuli pravimo razvoj determinante po i-ti vrstici Naj bo j katerikoli stolpec determinante A Ker je v vsakem členu v (3) po en faktor iz j-tega stolpca, je možno zapisati tudi det(a) ( ) +j a j A j + ( ) +j a j A j + + ( ) n+j a nj A nj (5) Tej formuli pravimo razvoj determinante po j-tem stolpcu 3 Zgled 37 Izračunaj 0 s pomočjo razvoja po drugi vrstici 3 Rešitev Računajmo 3 0 3 Zgled 38 Izračunaj ( ) + 0 3 +( ) + 3 3 + }{{}}{{} 4 8 +( ) +3 3 0 + ( 8) + 8 0 }{{} 4 s pomočjo razvoja po tretjem stolpcu 3 0 3 3 0 Rešitev Zaradi dveh ničel v tretjem stolpcu je potrebno izračunati le 3 det(a 3 ) ( ) ( 4) + 3, 3 3 det(a 33 ) 3 ( 8) + 3 ( 5) 5 3 Torej je det(a) ( ) +3 + ( ) 3+3 ( 5) 38

3 MATRIKE 30 Označimo Ãij ( ) i+j A ij Če v formuli (4) zamenjamo koeficiente a i,, a in z a k,, a kn, kjer je i k, dobimo det(a ) a k à i + a k à i + + a kn à in (6) To je ravno determinanta matrike A, v kateri smo vse elemente v i-ti vrstici nadomestili z elementi k-te vrstice in nato izračunali vrednost det(a ) s pomočjo razvoja po i-ti vrstici Ker sta v matriki A i-ta in k-ta vrstica enaki, je det(a ) 0 Torej za vsak k i velja Podobno sklepamo, da tudi za vsak k j velja a k à i + a k à i + + a kn à in 0 (7) a k à j + a k à j + + a nk à nj 0 (8) 36 Cramerjevo pravilo Oglejmo si sistem n linearnih enačb z n neznankami a + a + + a n n b, a + a + + a n n b, a n + a n + + a nn n b n Koeficieti sistema so lahko poljubna realna števila Smiselno je predpostaviti, da je v vsaki vrstici in vsakem stolpcu vsaj en koeficient neničeln, saj sicer ne bi imeli sistema n enačb z n neznankami Če je b b b n 0, pravimo, da je sistem homogen, sicer pa je nehomogen Rešitev gornjega sistema je taka n-terica (X,,X n ), da je a X + a X + + a n X n b, a X + a X + + a n X n b, a n X + a n X + + a nn X n b n Privzemimo sedaj, da je (X,,X n ) rešitev gornjega sistema Če pomnožimo prvo enačbo sistema z Ã, drugo z Ã,, in n-to z Ãn, dobimo a à X + a à X + + a n à X n b Ã, a à X + a à X + + a n à X n b Ã, a n à n X + a n à n X + + a nn à n X n b n à n Ko dobljene enačbe seštejemo in izpostavimo X, X,, oziroma X n, dobimo X (a à + a à + + a n à n ) + X (a à + a à + + a n à n ) + X n (a n à + a n à + + a nn à n ) b à + b à + + b n à n

3 MATRIKE 3 Izraz a à +a à ++a n à n je enak det(a), saj gre za razvoj determinante po prvem stolpcu (glej formulo (5) za j ) Vsi izrazi a k à + a k à + + a nk à n, k, pa so enaki 0, saj gre za razvoj matrike po prvem stolpcu, v kateri je k-ti stolpec enak prvemu (glej formulo (8) za j ) Torej dobimo X det(a) b à + b à + + b n à n Če označimo A b a a n b a a n b n a n a nn, opazimo, da je det(a ) b à + b à + + b n à n, saj je to ravno razvoj po prvem stolpcu matrike A Torej je X det(a ) det(a), kjer smo privzeli, da je det(a) 0 V splošnem torej ugotovimo, da je X j det(a j) det(a), kjer je A j matrika, ki jo dobimo iz matrike A tako, da v njej j-ti stolpec zamenjamo s stolpcem desnih strani; torej s stolpcem [b,,b n ] T Gornja izpeljava je temeljila na predpostavki, da je sistem sploh rešljiv Dokazati pa je možno, da je ob predpostavki det(a) 0 sistem vedno rešljiv Velja namreč Izrek 39 (Cramerjevo pravilo) Če ima sistem n linearnih enačb z n neznankami determinanto koeficientov različno od 0, je sistem enolično rešljiv in rešitve so det(a ) det(a),, n det(a n) det(a), kjer je det(a) determinanta sistema, det(a j ) pa determinanta matrike A j, ki jo dobimo tako, da v matriki A zamenjamo j-ti stolpec s stolpcem desnih strani Zgled 30 Reši sistem + 3 4 + 3 + + 3 4 s pomočjo Cramerjevega pravila Rešitev Determinanta sistema je det(a) zato res smemo uporabiti Cramerjevo pravilo 4 3,

3 MATRIKE 3 Po vrsti izračunamo det(a ) det(a ) det(a 3 ) 4 4 4 4 4 3, 6,, det(a ) det(a) 3 3, det(a ) det(a) 6 3, 3 det(a 3) det(a) 4 3 Zgled 3 Reši sistem s pomočjo Cramerjevega pravila Rešitev Determinanta sistema je det(a) + 4 3 + 8 + 3 3 3 4 8 3 0 8, zato res smemo uporabiti Cramerjevo pravilo Po vrsti izračunamo 4 det(a ) 8 3 0 0, det(a ) 3 0, 4 det(a 3 ) 8 0, det(a ) det(a) 0 8 5 7 det(a ) det(a) 0 8 0 3 det(a 3) det(a) 8 3 7

3 MATRIKE 33 37 Gaussova metoda Iščemo vse rešitve sistema m linearnih enačb z n neznankami a + a + + a n n b a + a + + a n n b a m + a m + + a mn n b m V tem sistemu so a ij, b i dana realna števila,,, n pa neznanke Običajno zapišemo koeficiente tega sistema v matriko sistema a a a n a a a n A a m a m a mn z m vrsticami in n stolpci Stolpcu desnih strani lahko priredimo matriko b b b, neznankam pa matriko b m n V matrični obliki lahko sistem enačb zapišemo kratko kot A b Če matriki A dodamo še stolpec b, dobimo matriko reda m (n+), ki ji pravimo razširjena matrika sistema: a a a n b a a a n b à a m a m a mn b m Razširjena matrika sistema popolnoma popiše sistem, zato lahko pri reševanju sistema računamo samo z matriko à Sistem linearnih enačb rešujemo tako, da s pomočjo operacij, ki na rešitve sistema ne vplivajo, spreminjamo enačbe, dokler niso zapisane v takšni obliki, iz katere lahko rešitev kar preberemo Takšne operacije so: Enačbo lahko pomnožimo z neničelnim številom Eno enačbo lahko prištejemo drugi enačbi

3 MATRIKE 34 Dve enačbi lahko med seboj zamenjamo Na matriki à se te operacije odražajo takole: Vrstico lahko pomnožimo z neničelnim številom Eno vrstico lahko prištejemo drugi vrstici Dve vrstici lahko med seboj zamenjamo Gornje operacije imenujemo elementarne vrstične operacije Pravimo, da sta matriki A in A vrstično ekvivalentni, če lahko eno preoblikujemo v drugo z zaporednjem elementarnih vrstičnih operacij Dve vrstično ekvivalentni razširjeni matriki predstavljata sistema z enakima množicama rešitev Izrek 3 (Gaussova eliminacija) Vsaka matrika A je vrstično ekvivalentna matriki A, ki ima na prvem mestu neničeln element kvečjemu v prvi vrstici, v vsaki naslednji vrstici pa ima na začetku vsaj eno ničlo več kot v prejšnji Dokaz V matriki A najprej poiščemo vrstico, ki ima na skrajni levi neničeln element (lahko se zgodi, da ima matrika v prvih i stolpcih same ničle in je ta element šele v i-tem stolpcu) in jo z zamenjavo vrstic postavimo na vrh Če ima druga vrstica pod tem neničelnim elementom ničlo, jo pustimo, sicer pa od nje odštejmo prvo vrstico, pomnožemo s kvocientom obeh prvih členov S tem dosežemo, da bo na tem mestu v drugi vrstici ničla Na podoben način naredimo ničle na preostalih mestih v i-tem stolpcu Prva vrstica in prvih i stolpcev so tako v pravi obliki, na preostalem delu matrike pa postopek ponovimo Če je npr a 0, se korak Gaussove eliminacije glasi a a a n a a a n a k a k a kn 0 a k a kn, kjer je a kj a kj a j ak a za j,,,n Celo prvo vrstico pomnožimo z a k in prištejemo h k-ti vrstici Koeficient a k a a je izbran ravno tako, da je a k a k a ak a 0 Zgled 33 Reši sistem enačb: Rešitev Razširjena matrika sistema je + 3z 4 + 3 + z 9 3 + 4 + z 6 à 3 4 3 9 3 4 6

3 MATRIKE 35 Računajmo: à 3 4 3 9 3 4 6 0 3 4 0 8 9 0 0 6 3 4 0 8 9 0 0 6 0 0 0 0 3 0 0 Dobljena razširjena matrika ustreza sistemu enačb Zgled 34 Poišči vse rešitve sistema Rešitev Razširjena matrika sistema je, 3, z + 3z, 6 + 7z 0, + 5z à 0 3 6 7 0 5 Računajmo: à 0 3 6 7 0 5 5 0 3 0 3 5 6 7 0 0 3 5 0 3 0 0 0 3 Zadnja vrstica dobljene razširjene matrike ustreza enačbi 0 + 0 + 0z 3, kar pomeni, da sistem ni rešljiv Zgled 35 Reši sistem enačb + z + z Rešitev Razširjena matrika sistema je [ à ]

3 MATRIKE 36 Računajmo: à [ ] [ ] 0 5 3 0 3 [ 0 3 3 ] Dobljena razširjena matrika sistema ustreza enačbama + z 5 3 in z 3 Tu lahko vrednost spremenljivke z poljubno izberemo Potem je rešitev enaka 5 3 z in 3 + z Zgornji trije primeri kažejo, da je lahko sistem linearnih enačb enolično rešljiv, nerešljiv ali pa je rešljiv, vendar je rešitev neskončno Naj bo à razširjena matrika sistema m enačb z n neznankami S pomočjo Gaussove eliminacije lahko à preoblikujemo v tako matriko Ã, ki ima na prvem mestu neničeln element kvečjemu v prvi vrstici, v vsaki naslednji vrstici pa ima na začetku vsaj eno ničlo več kot v prejšnji Recimo, da je v matriki à natanko r vrstic neničelnih Če med neničelnimi vrsticami obstaja kakšna, kjer je neničeln le zadnji element v tej vrstici, je sistem protisloven V nasprotnem pa mora biti r n Če je r n, je sistem enolično rešljiv Če pa je r < n, lahko r neznank enolično izrazimo s pomočjo preostalih n r neznank, katerih vrednosti so lahko poljubne V tem primeru pravimo, da ima sistem enačb (n r)-parametrično družino rešitev r n r r neničelne vrstice r n izražene rešitve parametri 0 r+ m enačb m r 0 0 0? n neznank

3 MATRIKE 37 izražene rešitve parametri r neničelne vrstice 3 4 0 n n m enačb m r 0 n neznank Rang matrike Rang matrike je red največje kvadratne matrike v pravokotni matriki A, ki ima determinanto različno od 0 Če je A matrika razsežnosti m n, je rang(a) min{m,n} Če je A kvadratna matrika razsežnosti n n, je rang(a) n natanko tedaj, ko je det(a) 0 Rang matrike se pri elementarnih vrstičnih operacijah ohranja Zgled 36 Določi rang matrike A 3 0 4 0 4 Rešitev Po vrsti izvajamo elementarne vrstične operacije: 3 0 3 0 0 3 7 3 4 0 4 0 3 7 3 3 0 0 3 7 3 0 0 0 0 0 Ker so vse determinante razsežnosti 3 3 ničelne, je rang(a) Ker je označena determinanta 0 3 neničelna, je rang(a) Torej je rang(a) Izrek 37 (Izrek o rešljivosti sistema linarnih enačb) Sistem m linearnih enačb z n neznankami A b z razširjeno matriko sistema à je rešljiv natanko tedaj, ko imata matriki A in à enaka ranga; tj rang(a) rang à r Če je r n, je sistem enolično rešljiv Če je r < n, lahko za n r neznank izberemo poljubne vrednosti, ostalih r pa je z njimi natanko določenih

3 MATRIKE 38 Zgled 38 Poišči vse rešitve sistema enačb +3 +5 3 +7 4 +9 5, +3 3 4 4 +5 5, + + 3 +5 4 + 5 4 Rešitev Razširjena matrika sistema je 3 5 7 9 à 3 4 5 5 4 S pomočjo Gaussove eliminacije jo preoblikujemo v 3 5 7 9 à 3 4 5 5 4 3 5 7 9 0 5 4 0 5 4 3 5 7 9 0 5 4 0 0 0 0 0 3 Ker je rang matrike A sistema enak, rang razširjene matrike à pa 3, sistem ni rešljiv Zgled 39 Poišči vse rešitve sistema enačb +5 +4 3 +3 4, + 3 4 0, 5 +3 +8 3 4 Rešitev Razširjena matrika sistema je 5 4 3 à 0 5 3 8 S pomočjo Gaussove eliminacije jo preoblikujemo v 5 4 3 5 4 3 à 0 0 6 7 5 3 8 0 6 4 5 4 3 0 6 7 6 0 0 0 0 0 4 5 4 0 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 4 3 7 0 0 0 0

3 MATRIKE 39 Torej je 4 0 0 à 6 0 0 0 0 0 0 Iz 3 vrste razberemo, da je 4 0 Iz vrste razberemo, da je + 6 3 Torej lahko izrazimo 6 3 + Podobmo lahko zapišemo, da je 4 3 + Rešitve sistema so torej kjer je 3 poljubno realno število 4 3 +, 6 3 +, 4 0, Rang matrike A je enak r 3 in je enak rangu razširjene matrike à Ker imamo n 4 neznanke, smo lahko r 3 med njimi izrazili s pomočjo n r parametrov Zgled 330 Poišči vse rešitve sistema enačb +3 +4 3, +4 +5 3 3, 3 +3 7 3 5 Rešitev Razširjena matrika sistema je 3 4 à 4 5 3 3 3 7 5 4 5 3 3 4 3 3 7 5 kjer smo zaradi računske ugodnosti zamenjali in vrstico S pomočjo Gaussove eliminacije jo preoblikujemo v 4 5 3 4 5 3 à 3 4 0 5 6 8 3 3 7 5 0 5 8 4 4 5 3 0 5 6 8 0 0 0 0 4 0 7 4 0 0 5 0 0 Sistem je torej enolično rešljiv, rešitve pa so 4 5 3 6 0 5 8 5 0 0 9 5, 4 5, 3 0 0 9 5 0 0 4 5 0 0,

3 MATRIKE 40 38 Inverz matrike Če za matriko A R n n obstaja taka matrika B R n n, da je AB BA I n, pravimo, da je matrika A obrnljiva, matrika B pa inverz matrike A Inverz matrike A označimo z A Matrika A R n n je obrnljva natanko tedaj, ko je det(a) 0 Če je matrika A Rn n obrnljiva, je obrnljiva tudi matrika A in velja (A ) A Če sta matriki A,B Rn n obrnljivi, je obrnljiva tudi matrika AB R n n in velja (AB) B A Za poljubni matriki A,B R n n velja produktna formula za determinante det(ab) det(a) det(b) Če je A obrnljiva matrika, velja det(a ) det(a) Računanje inverza s pomočjo Gaussove eliminacije Naj bo A R n n dana matrika Iščemo matriko X R n n, da bo AX I Skratka a a n n 0 } a n a nn {{ }} n nn {{ } } 0 {{ } A X I Če z j označimo j-ti stolpec matrike X, z b j pa j-ti stolpec matrike I, vidimo, da je v gornji matrični enačbi pravzaprav skritih n sistemov enačb: A j b j, j,,,n Ker imajo sistemi enačb A j b j, j,,,n, isto matriko koeficientov, jih lahko rešujemo hkrati Če torej matriko A razširimo desno z identično matriko I, tj a a a n 0 0 a a a n 0 0 [A I], a n a n a nn 0 0 in s pomočjo Gaussove eliminacije preoblikujemo to matriko v 0 0 b b b n 0 0 b b b n [I B] 0 0 b n b n b nn, je B A

3 MATRIKE 4 Zgled 33 Izračunaj inverz matrike A [ 4 3 ] Rešitev Razširjena matrika je [A I] [ 4 0 3 0 ] Sledi Torej je [A I] [ 4 0 0 5 ] [ 4 0 0 5 5 [ A 3 5 4 5 5 5 0 Zgled 33 Izračunaj inverz matrike A 3 ] ] [ 0 3 5 4 5 0 5 5 Rešitev Računajmo 0 0 0 0 0 0 [A I] 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 Torej je A 3 0 3 ] Računanje inverza s pomočjo Cramerjevega pravila Vrnimo se še enkrat k sistemu enačb A j b j, j,,,n Če pišemo j j j, lahko po Cramerjevem pravilu zapišemo nj ij det(b ij) det(a), kjer je matrika B ij enaka matriki A, v kateri smo i-ti stolpec zamenjali s stolpcem b j Torej je det(b ij ) ( ) i+j det A ji, kjer je A ji poddeterminanta elementa a ji v matriki A Izrek 333 Če je det(a) 0, je A det A (Ã)T, kjer je à prirejenka matrike A, torej matrika z elementi à [( )i+j det A ij ], kjer je A ij matrika, ki jo dobimo iz matrike A, tako, da v njej odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec

3 MATRIKE 4 Opomba V računski praksi skoraj vedno računamo inverz matrike s pomočjo Gaussove eliminacije, saj bi morali pri računanju inverza s pomočjo prirejenke izračunati n + determinant reda (n ) (n ) Zgled 334 Izračunaj inverz matrike A Rešitev Za matriko A je det(a) 5 in [ Ã [ 4 3 ] 3 4 ] Torej je A [ 5 3 4 ] T [ 5 3 4 0 Zgled 335 Izračunaj inverz matrike A 3 Rešitev Za matriko A je det(a) 0 3 ( ) + ( ) 3 ] [ 3 5 4 5 5 5 + 3 ] Torej je 3 3 Ã 0 3 0 3 3 3 0 0 0 A 3 3 0 3 0 3 T 3 0 3 Inverz matrike je tesno povezan z reševanjem sistemov enačb Recimo, da imamo linearen sistem n enačb z n neznankami, ki ga v matrični obliki zapišemo kot A b Če je deta 0, obstaja A Torej je A A A b oziroma A b Sistem je torej enolično rešljiv Njegovo rešitev izračunamo tako, da najprej izračunamo A, nato pa matriko A R n n pomnožimo z matriko b R n in dobimo R n

3 MATRIKE 43 [ Zgled 336 Naj bo A 5 3 ] in B [ 3 AX + B 7I Rešitev način Enačbo najprej preoblikujemo Po vrsti izračunamo Torej je B 7I B 7 det(a) [ A X A (7I B ) AX + B 7I, AX 7I B, [ 3 [ 0 0 5 3 X A (7I B ) 5 3 [ 3 5 ] [ 3 ], ] [ 4 3 ] Reši matrično enačbo ] [ 4 3 ] [ 3 5 ] [ 4 4 4 ] ], [ 4 4 4 ], ] [ 8 8 4 [ a b c d ], lahko enačbo AX 7I B zapišemo v obliki način Matrika X je razsežnosti Označimo jo z X [ a 5c b 5d a + 3c b + 3d [ a 5c b 5d a + 3c b + 3d ] Iz enakosti gornjih matrik razberemo dva sistema enačb: a 5c 4, a + 3c ; b 5d 4, b + 3d 4 [ 4 4 4 ] ] ] Ker je AX Iz prvih [ dveh enačb ] sledi c 8 in a, iz drugih dveh pa d 4 in b 8 Torej je 8 X 8 4 Zgled 337 Naj bo A [ 3 ] in B [ 5 0 5 AX + XA B ] Reši matrično enačbo

3 MATRIKE 44 Rešitev Ker matrično množenje ni komutativno, iz [ izraza AX ] + XA ne moremo izpostaviti a b matrike X Torej nam preostane le, da zapišemo X in iz enakosti AX + XA B c d razberemo sistem 4 linearnih enačb s 4 neznankami Računajmo [ ][ ] [ ][ ] a b a b AX + XA + 3 c d c d 3 [ ] [ ] a c b d a + 3b a + b + 3a + c 3b + d c + 3d c + d [ ] [ ] a + 3b c a + b d 5 0, 3a + c + 3d 3b c + d 5 od koder sledi a + 3b c 5 a + b d 0 3a + c + 3d 5 3b c + d Uporabimo Gaussovo eliminacijo na razširjeni matriki sistema: 3 5 3 0 5 0 Ã 0 0 3 0 3 5 0 5 5 0 9 5 3 5 Torej je 0 3 0 5 3 5 0 5 5 6 6 0 0 5 5 0 0 4 6 5 5 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 X 0 3 0 0 3 5 4 4 0 0 5 4 4 3 5 0 0 8 8 7 0 0 0 7 [ Simultano reševanje sistemov Matrična enačba AX B, kjer sta A,B R n n dani matriki, det(a) 0, ima rešitev X A B Ali lahko do te rešitve pridemo brez množenja matrik A in B? Matrika B sestoji iz n stolpcev b,,b n in le neznanke iz prvega stolpca matrike X so zajete v tistih enačbah iz AX B, ki vsebujejo elemente prvega stolpca matrike B Torej lahko sistem AX B obravnavamo kot n sistemov oblike A i b i, kjer je i ravno i-ti stolpec matrike X, b i pa i-ti stolpec matrike X Gaussov postopek lahko v tem primeru shematično zapišemo kot [A b i ] [I i ] ] Ker pa pri vseh sistemih na levi strani nastopa ista matrika, lahko rešitve združimo in dobimo [A B] [I X]

4 VEKTORJI 45 Zgled 338 Naj bo A 3 3 Uporabimo prijem [A B] [I X] in B AX B 0 3 4 7 3 5 5 4 3 Reši matrično enačbo Torej je X 0 3 [A B] 0 3 4 3 7 3 5 3 5 4 3 0 3 4 0 7 7 9 3 0 5 5 3 9 0 5 7 6 9 0 7 7 9 3 0 0 6 4 0 0 0 0 0 [I X] 0 0 3 4 Vektorji 4 Vektorji v prostoru Urejen par (A,B) točk v prostoru določa vektor, ki ga označimo z AB Vektor ponazorimo z usmerjeno daljico od točke A do točke B Smer vektorja označimo s puščico Usmerjeni daljici AB in CD določata isti vektor natanko tedaj, ko sta vzporedni, enako dolgi in kažeta v isto smer B B D A Dolžina vektorja AB, z oznako AB, je dolžina daljice AB Torej AB AB A Vsota vektorjev Naj bosta a in b poljubna vektorja Vektorja a in b lahko premaknemo tako, da konec vektorja a sovpada z začetkom vektorja b Potem je vektor a + b usmerjena daljica od začetka vektorja a do konca vektorja b C

4 VEKTORJI 46 C a + b b A a B Drugače povedano: če imata vektorja a in b skupno začetno točko, je njuna vsota a + b usmerjena diagonala paralelograma, ki ima vektorja a in b za stranici, in sicer tista usmerjena diagonala, ki ima začetek v skupni točki vektorjev a in b Iz te definicije je tudi razvidno, da je a + b b + a D a C b a + b b A a B Vsoto treh vektorjev izračunamo tako, da vsoti dveh prištejemo tretjega Vrstni red seštevanja ni pomemben, saj za seštevanje vektorjev velja asociativnostni zakon ( a + b) + c a + ( b + c) D a + b a + b + c b + c c C A a B b Vektor, ki se začne in konča v isti točki, imenujemo ničelni vektor in ga označimo z 0 Za vsak vektor a torej velja a + 0 a Naj bo AB vektor Vektor BA je nasprotni vektor k vektorju AB in ga označimo z AB AB A B A BA AB B

4 VEKTORJI 47 Nasprotni vektor k vektorju a označimo z a Tedaj velja a + ( a) 0 Razlika vektorjev a in b je tak vektor, da je a + b Razliko vektorjev a in b označimo z b a in velja b a b + ( a) C b b a A a B Povzemimo osnovne lastnosti seštevanja vektorjev Komutativnost seštevanja: a + b b + a za poljubna vektorja a in b Asociativnost seštevanja: ( a + b) + c a + ( b + c) za poljubne vektorje a, b in c Obstoj nevtralnega elementa za seštevanje: Obstaja vektor 0, da je a + 0 a za vsak vektor a Obstoj nasprotnega elementa za seštevanje: Za vsak vektor a obstaja vektor a, da je a + ( a) 0 Te štiri lastnosti povemo na kratko takole: Množica vektorjev je Abelova grupa Seštevanje vektorjev zadošča trikotniški neenakosti a + b a + b Množenje vektorja s skalarjem Naj bo λ R Produkt λ a je vektor z dolžino λ a Če je λ > 0, ima vektor λ a enako smer kot vektor a Če je λ < 0, ima vektor λ a enako smer kot vektor a Če je λ 0, je λ a ničelni vektor a a 3 a Množenje vektorja s skalarjem zadošča zahtevam (λµ) a λ(µ a) (λ + µ) a λ a + µ a λ( a + b) λ a + λ b a a

4 VEKTORJI 48 Linearna odvisnost in neodvisnost Naj bodo a, a,, a n vektorji v prostoru Izraz λ a + λ a + + λ n an imenujemo linearna kombinacija vektorjev a, a,, a n Ti vektorji so linearno neodvisni, če iz enakosti sledi λ λ λ n 0 λ a + λ a + + λ n an 0 Ti vektorji so linearno odvisni, če niso linearno neodvisni Torej obstajajo števila λ, λ,, λ n, ki niso vsa enaka 0, da je λ a + λ a + + λ n an 0 Vektor 0 je linearno odvisen, saj je 0 0 Naj bodo A 0, A in A nekolinearne točke v ravnini Potem sta vektorja A 0 A in A 0 A linearno neodvisna A A A 0 A A 0 A 0 A Naj bodo A 0, A, A in A 3 nekomplanarne točke v prostoru Potem so vektorji A 0 A, A 0 A in A 0 A 3 linearno neodvisni A 0 A0A A 0 A A 0 A 3 A 3 A A Zgled 4 Naj bo točka E razpolovišče stranice AB kvadrata ABCD Označimo s F preseščišče daljic BD in CE V kakšem razmerju deli točka F daljico BD? Rešitev Vektorja a AB in b AD sta linearno neodvisna Ker leži točka F na daljici BD, velja BF λbd λ( b a) in je AF AB + BF a + λ( b a) Ker leži točka F tudi na daljici EC, velja EF µ EC µ( a+ b) in je AF AE + EF a + µ( a + b) Sledi a + λ( b a) a + µ( a + b), b D b A E a a F a C b B