4. kafli, dæmi og vör með útreikningum Skrifað út 9..4; :34 4. Maður ekur 7 km. Meðalhraðinn er 6 km/klt fyrtu 5 km og 75 km/klt íðutu 45 km. Hver er meðalhraðinn? S S Sv.: Hér þarf að reikna tímann fyrir hvorn áfanga: ν t t ν t 5 km/6 km/klt 4,7 klt.; t 45 km/75 km/klt 6 klt; amtal S 7 km,7 klt. ν 69 km / klt. t,7 klt 4. Bíll ekur með hraðanum 85 km/klt. Hann hægir jafnt og þétt á ér þar til hraði han verður 4 km/klt. a) Hver er hröðun bílin ef hann fór 4 m við þea hraðabreytingu? b) Hveru lengi var bíllinn að fara þea 4 m? c) Hveru lengi er bíllinn að töðvat ef hann heldur ömu hröðun? Sv.: Við breytum km/klt í m/. m klt mín m klt km 6 mín 6 3,6 km 85 km klt m 3,6 m / og 4 km/klt verða, m/. klt 3,6 km a) Við getum notað a v v o a 4 m [(, m/) (3,6) ] 3,4 m / - 557,4 m / a 4 m 434 m 8m -,6 m/ Einnig er hægt að beita annarri aðferð og finna meðalhraðann eftir líkingu [5]. ν Þá fáum við: + ν 3,6 m / +, m / ν 7,36 m /. Með þear upplýingar getum við fundið tímann em bíllinn er að fara þea 4 m með S S 4 m líkingu []. v 8,6 8, og hér er v 7,36 m / varið við b) lið komið. Auðvelt er nú að finna hröðunina með líkingu [6] v vo 3,6 m /, m / a,55 m / 8,6 b) Við getum notað líkinguna: v vo 3,6m /, m /,5 m / t 8,. a,55 m /,55 m / v vo, m / 3,6 m/ c) t eða 5, a,55 m / 7,. ef miðað er við,55 m/ alla hreyfinguna. Dæmi: Frjált fall og þyngdarhröðun. Hlut er katað lóðrétt upp í loft með 3 m/ hraða. a) Hve hátt fer teinninn? b) Eftir hve langan tíma töðvat teinninn og byrjar að falla til jarðar? Sv.: Hér er bet að byrja á b-lið og finna hvenær hluturinn er í eftu töðu. Til þe má nota líkingu [] v v + at. Í eftu töðu er hraðinn vo að v og þar em hröðun er neikvæð verður þetta vona:
Skrifað út 9..4; :34 vo 3 m / v ateft teft g 9,8 m / 3, 6 Til að reikna þá hæð em hluturinn nær má nota líkingu [3]. Hröðunin er neikvæð og þe vegna verður líking [3] vona: v t at br. mynd 8 á formúlublaði GK. 3 m / 3,6 9,8 m / (3,6 ) 45, 9 m. Ein og ét á mynd 8 á formúlublaði GK er flatarmál þríhyrninganna ½(3 3,6) og ½(9,8 3,6 ) jafn tórt. 4.3 Steinhnullung er leppt framaf 35 m háum hjávarhamri. a) Hve lengi er teinninn að falla til jávar? b) Hver er hraði teinin við jávarflötinn? c) Hve lengi er teinninn að ná til jávar ef teininum er katað lóðrétt niður með hraðanum 8 m/ d) Hver er hraði teinin við jávarflötinn miðað við byrjunarhraðann 8 m/? Sv.: a) Við notum jöfnu [6], v t + at jöfnuna má einfalda vegna þe að v o er. 35 m at t t t a a 9,8 m /, 67 v v v b) Við notum jöfnu: a og einföldum hana: v a t t t v 9,8 m/,67 6,7 m/. Hér borgar ig að reikna d-liðinn fyrt og beita reglunni: a v - v o d) a v v ; 9,8 m / v (8 m / ) v 9,8 m / + (8 m / ) v 75 m / v 75 m / 7,4m / v vo 7,4 m / 8 m / c) Við notum jöfnu: t, 98 a 9,8m / 4. Spretthlaupari hleypur m á 4,5. Hver er meðalhraði han í: a) m/? b) km/klt? S m Sv.: Við getum varað a) liðnum með reglunni: ν 8, m / t 4,5 Til að vara b) liðnum þurfum við aðein að breyta m/ í km/klt. 3,6 km Það er gert með því að margfalda m/ með. (Ef breyta á km/klt í m/ klt m
Skrifað út 9..4; :34 er deilt með þeum ama tuðli.) 3,6 km Svar: 8, m / 9,5 km / klt. klt m 4.3 Þú ekur til Keflavíkur, em er í um 48 km fjarlægð frá tilteknu hverfi í Reykjavík, á 34 mínútum. Hver er meðalhraði þinn á leiðinni til Keflavíkur í km/klt? 48 km Sv.: 85 km / klt. (34 / 6) klt 4.4 Bíl er ekið 96 km í,3 klt. Reiknaðu hraðann í km/klt. og m/. 96 km Sv.: a) 74 km / klt.,3 klt klt m b) 74 km/klt 74 km/klt m /. 3,6 km 4.6 Ökumaður ekur í,3 klt á meðalhraðanum 68 km/klt. og íðan á meðalhraðanum 8 km/klt. í 45 mínútur. Hver er meðalhraða þea ökumann? Sv.: Hér þurfum við að finna tíman em öll ferðin tekur og því er bet að reikna hvern hluta fyrir ig. Við notum reglu [8] v t I) 68 km/klt,3 klt 88,4 km; II) 8 km/klt (45/6) klt 6 km eða amtal 88,4 + 6 48,4 km. Við beitum ömu reglunni 48 km v 7, km / klt. t,3 +,75klt 4.8 Hljóðhraði í jó er um.4 m/. Bergmáldýptarmælir endir frá ér hljóðmerki em koma til baka frá fikitorfu eftir 8 m. Hve djúpt er niður á torfuna? Sv.: Merkið frá dýptarmælinum fer fram og til baka. Við notum regluna S ν S v t.4 m/ 8-3 m. Nú fer t hljóðmerkið fram og til baka þannig að dýptin er ( m) / 56 m. 4.9 Hljóðhraði í lofti er um 34 m/. Þú érð glampa eldingar og heyrir íðan í þrumunni eftir. Hve langt er til eldingarinnar? Sv.: 48 m eða 4 km. 4. Þú leggur af tað að heiman kl. 8:4 og kemur til borgarne 9:55. Hver er meðalhraðinn ef vegalengdin frá heimili þínu til Borgarne er 5 km? Sv.: 8:4 til 9: eru 36 mínútur 55 bætat við eða amtal: (9/6) klt. S ν 5 km/(9/6)klt. 8,4 km. t 4. Bifreið leggur af tað úr kyrrtöðu með hröðuninni,5 m/. a) Hver verður hraði bílin eftir 3,? b) Hveru langt fer bíllinn á þeum 3,? Sv.: Við koðum mynd 8 og reiknum hröðunina fyrir þríhyrninginn ½(at)t. Við fáum að vita hröðunina úr kyrrtöðu,,5 m/. og nýtum því líkingu [6] a) a v v v v a t,5 m / 3 7,5 m t t t / b) Við höfum hraðann og hröðunina en purt er um vegalengd. Við getum nýtt 3
líkingu [7]. Skrifað út 9..4; :34 ν a ν ν ν Upphafhraðinn er og því getur a (7,5 m / ) þetta orðið vona:,5 m.,5 m / 4. Ökutæki hefur byrjunarhraðann og fer 6 m vegalengd á 3,5. Hver er hröðun bílin? Sv.: Við notum líkingu [3]. + 6 m vona: at a 9,8 m / t (3,5 ) v t at og þar em v o verður formúlan 4.3 Bíll fær jafna hröðun þegar hraðinn eykt úr 6, m/ upp í m/ þegar hann fer 4 m. Hver er: a) hröðun bílin? b) tíminn em fer í að fara þea 4 m vegalengd? Sv.: Ef við lítum á mynd 8 jáum við að aðein þarf að nota þríhyrninginn ½(at)t. Við getum byrjað á að finna vegalengdina með líkingu [7]. ( m / ) (6 m / ) a ν ν a 4,55 m. 4 m b) Við notum líkingu þurfum fyrt að finna meðalhraðann: ν + ν 6 m / + m / ν 3 m /. og þá getum við nýtt okkur líkingu [8] 4 m v t t 3,. v 3 m / 4.4 Bíll ekur með hraðanum 3 m/ og hægir jafnt á ér þar til að hann töðvat á 5. Finndu a) hröðunina þegar bíllinn er að töðvat. b) töðvunarvegalengdina. Sv.: a) Við getum notað líkingu [6] a v v t t v 3 m / m / 5 b) Vegalengdina finnum við með líkingu [3] v t + at Ef við. kopum mynd 8 jáum við að aðein er um þríhyrninginn ½(at)t að ræða og hröðunin hlýtur að vera neikvæð. við lögum því líkinguna til og notum hana vona: at / m / (5 ) 5 m. 4.5 Grafið ýnir hreyfingu bíl. a) Hveru langt er hann kominn eftir? b) Hver er meðalhraði bílin þear 5? c) Hver er hröðun bílin? Sv.: a) Við leum af grafinu að hann er kominn 3 m á. b) Við jáum að grafið lýir jöfnum hraða og því nægir að reikna meðalhraðann 4
Skrifað út 9..4; :34 S 3 m fyrir 3 m á og notum líkingu []: v 3 m /. c) Grafið lýir jöfnum hraða og þe vegna er ekki um hröðun að ræða a. 4.6 Grafið ýnir hreyfingu með breytilegum hraða. a) Hve lengt fer hluturinn á fyrtu 4,? b) Hver er hröðunin fyrtu 4,? c) Hver er hröðunin á 8,? d) Hver er hröðun hlutarin þegar hann hægir á ér? f) Hver er meðalhraðinn á tímabilinu? Sv.: Atburðaráin fyrtu 4 er lík og á mynd 8 og er byrjunarhraðinn m/ og lokahraðinn m/ og tíminn 4. Við finnum hröðunina með líkingu [6] a v v v m / m /,5 m / t t 4 Við reiknum vo vegalengdina með líkingu [3] v t + at 4 m / +,5 m / (4 ) 8m + m 8 m b) a,5 m/ fengum við að reikna a-liðinn. c) Samkvæmt grafinu er hraðinn jafn og því er hröðunin a. d) Fyrtu 4 ( m/ 4 ) + ½( m/ 4 ) 8 m. Nætu 8 : (8 ) 96 m. Síðutu 6 : /(6 m/) 96 m Samtal: 8m + 96 m + 96 m m. v v v m / m e) a,75 m / t t 6 6 t m 8 f) v t v 7,9 m /. 4.7 Hlut er katað beint upp í loftið með hraðanum 8 m/. a) hve hátt kemt hluturinn? b) Hver er hraði han eftir? c) Hve lengi er hann að fara upp og niður aftur? Sv.: Við berum dæmið aman við mynd 8 á formúlublaðinu og notum þríhyrninginn með neikvæðu hröðuninni. en fyrt þurfum við að finna hvenær hluturinn töðvat og tekur að falla aftur til jarðar. Til þe að finna eftu töðu notum við líkingu [] v v + at og etjum lokahraða á. v 8 m / v + at t, 84 a 9,8 m / Hluturinn er í eftu töðu eftir,84 og upp og niður aftur tekur þá 3,68. a) Nú getum við reiknað hæðina með því að reikna flatarmál þríhyrningin:,84 8m / 6,56 m. b) Hluturinn komt í hátöðu eftir,84 og eftir hefur hann því fallið,84 S,6. Við finnum hraðann með [6] v v v a v a t 9,8 m /,6,57 m / á leið t t niður. c) Svarið var komið: 3,68. 4.8 Þú leppir teini við op brunn og tekur tímann frá því að þú leppir teininum og þar til þú heyrir kvampið þegar teinninn lendir á yfirborði vatnin í brunninum.. 5
Skrifað út 9..4; :34 a) Hve langt er niður á yfirborð vatnin í brunninum ef þú heyrir kvampið eftir,8? b) Með hvaða hraða lendir teinninn ávatnyfirborðinu? Sv.: a) Við notum þríhyrninginn á mynd 8 og getum leppt neðri hlutanum því að upphafhraðinn er. Til að finna vegalengdina notum við líkingu [3] v t + at og þar em upphafhraðinn er getum við agt: t + 9,8 m / (,8 ),5 9,8 m 3,4 5,9 m. b) Til að reikna hraðan við vatnflötinn notum við líkingu [] v v + at. v + 9,8 m /,8 7,64 m /. 4.9 8 m eru á milli biðtöðva trætivagn. Það tekur vagninn að meðaltali 8 að ná fullri ferð em er 5 km/klt, en 5 að töðvat þegar komið er á fulla ferð. Gert er ráð fyrir að hröðun é jöfn. a) Hver er hröðun vagnin þegar hann eykur hraðann? b) Hve lengi er vagninn á jöfnum hraða? c) Hve lengi er vagninn að komat á milli biðtöðvanna? d) v-t graf af allri hreyfingu vagnin. Sv.: Bet er að byrja á d-lið og teikna v-t grafið yfir hreyfinguna. Gefið er: jafn hámarkhraði 5 km/klt 3,9 m/ ; d 8 ; e? f5 a) Við notum líkingu [6]: v 3,9 m /,77 m /. 8 b) Til að vara þeum lið þurfum við að finna vegalengdina fyrir d og f en til þe þurfum við meðalhraðan á a og c en hann finnum við með líkingu [5]: ν + ν 3,9 m / ν 6,95 m /. Með meðalhraðanum getum við fundið vegalengdina fyrir A og C með líkingu [8] v t 6,95 m/ 8 5, m og v t 6,95 m/ 5 4, 5 m amtal 9,35 m Vegalengdin fyrir B verður þá 8 m - 9,35 m 57,65 m og þá fáum við tímann fyrir e amkvæmt líkingunni: 57,65m v t t 4, 5 3,9 m/ Heildartíminn verður þá 4 + 5 + 8 74. ------------------ 4.37 Hve mikinn kraft þarf til að gefa 6, kg hlut hröðunina,5 m/. Sv.: [] F m a 6, kg,5 m/ 9 kg m/ 9, N. 6
Skrifað út 9..4; :34 4.38 Hlutur er dreginn áfram af 84 N krafti á láréttum núninglauum fleti þannig að hröðun han verður 4, m/. Hver er mai hlutarin? m 84 kg F Sv.: [] F m a m a 4 m / kg. 4.39 Hve mikinn kraft þarf til að lyfta 4, kg maa beint upp með: a) jöfnum hraða? b) hröðuninni,5? Sv.: a) [] F m a ; F 4 kg 9,8 m / 39, kg m / 39, N b) F m a ; F g 4 kg 9,8 m / 39, N ; F 4 kg,5 m / N ; F 39, N + N 4, N. 4.4 6, kg hlutur liggur á láréttum núninglauum fleti. Nú er togað í hlutinn með láréttum N krafti. Hver verður hraðinn eftir 4,? Sv.: Á reglu [] F m a jáum við að getum reiknað hröðunina a út frá þeim tærðum em okkur hafa verið gefnar getum við fundið hröðunina: m kg m / a m /. Nú getum við nýtt okkur líkingu [6] F 6, kg v a v a t ; v m/ 4 8 m/. 4.4 kg hlutur er kyrr. Nú verkar á hann jafn kraftur þannig að hraði hlutarin verður 8 m/ eftir 4,. Hve mikill er krafturinn ef ekki er reiknað með núningkrafti? Sv.: Til að reikna F þurfum við hröðunina og þe vegna þarf að reikna hana út fyrt. a v 8 m / m /. 4 Nú getum við reiknað kraftinn: F kg m / 4 kg m / 4 N. 4,4 Maarnir A og B eru úr ama efni. Krafturinn F em er 5 N dregur maana áfram vo að hröðun þeirra verður, m/. a) Hve tór er torafturinn F t í tauginni á milli kaanna? b) Hve tór er núningkrafturinn em verkar á hvorn kaa ef núningtuðullinn milli maanna og flatarin er,3? Sv.: a) Núningtuðullinn er táknaður með µ og F nún µ F þver. Fyrir A er F þver 4 kg 9,8 m/ 39, N. F nún,3 (4 kg 9,8 m/ ),76 N. Krafturinn em togar í taugina F t þarf því bæði að yfirvinna F nún og hraða maanum. F t ma + F nún (4 kg, m/ ) +,76 N 4,8 N +,76 N 5,976 N. b) fyrir B er F þver,3 (6 kg 9,8 m/ ),764 N. 4.46 g byukúla fær hröðun eftir byuhlaupi og nær hraðanum 7 m/ í enda byuhlaupin em er cm langt. Hve tór er krafturinn em gefur kúlunni hröðunina? (Gert er ráð fyrir að hröðunin é jöfn). Sv.: Byukúlan er, kg og lengd hlaupin er, m. Við gerum ráð fyrir meðalhraðanum út hlaupið 35 m/ og reiknum tímann út frá því:, m 4 v t t 5,7 ek v 35 m / 7
a v v v 7 m / 5 m / 4 t t 5,7 4 F ma, kg 5 m / 47 kg m/ 5kN. Skrifað út 9..4; :34 4.48 5, kg mai hagir í bandi. Finndu toraft bandin þegar mainn fer beint: a) upp með hröðuninni,5 m/ b) niður með hröðuninni,5 m7 c) niður með þyngdarhröðuninni g 9,8 m/ Svar: a) F heild F g 5, kg 9,8 m/ + F 5, kg,5 m/ 56,5 N 57 N b) F heild F g 5, kg 9,8 m/ - F 5, kg,5 m/ 4,5 N 4 N c) Sé hluturinn að falla með þyngdarhröðuninni er hann í frjálu falli án þe að aðrir kraftar komi við ögu og varið hlýtur því að vera:. 4.49 Vagnarnir þrír eru hver um ig 6 kg og tengdir aman í röð ein og myndir ýnir. Gert er ráð fyrir að þeir hreyfit eftir láréttum fleti og núningmóttaðan er engin. Á fremta vagninn verkar 3 N kraftur í hreyfitefnu vagnanna. a) Hver verður hröðun vagnanna ef hver þeirra vegur 6 kg? Svar: Samtal er mai vagnanna 3 6 8 kg og kraftinn er 6 N. Þe vegna getum við ett þetta upp á eftirfarandi hátt: kg m 3kg m 3 8kg a a,667 m /,7 m / 8kg b) Hver er toraftur milli tenglanna á B og C? Svar: Torafturinn á milli B og C verkar á maa A og B, amtal kg og hröðunin er ú ama og við fengum í a)-lið. Þe vegna getum við ett þetta upp á eftirfarandi hátt: N kg,6667 m / N c) Hver er torafturinn á milli A og B? Svar: Torafturinn á milli A og B verkar aðein á ma A eða 6 kg og hröðunin er ú ama og í a)-lið. Þe vegna getum við ett þetta upp á eftirfarandi hátt: N 6kg,6667 m / N. 4.5 Myndin ýnir tvo hluti em hvíla á láréttu borði. 3, og 6, Nnúningkraftar verka á móti hreyfingu maanna em dregnir eru eftir borðinu af,5 kg maa em hangir í taug yfir triu. a) Hver verður hröðun kerfiin? b) Hver er torafturinn í tauginni milli kaanna? c) Hver er torafturinn í tauginni yfir triuhjólið? d) Hver væri hröðun kerfiin ef engir núningkraftar væru fyrir hendi? Svar: a) Gæta þarf þe að mai all kerfiin er kg + 4 kg +,5 kg. F (,5 kg 9,8 m / ) 9kg m / 5,7 kg m / F m a a,76 m / m kg + 4kg +,5 kg 7,5kg b) F m a; F + ( 3 kg m/ ) kg m/,76 m/, F,5 m/ + 3 kg m/ 4,53 kg m/ 4,5 N c) F + ( 9 kg m/ ) 6 kg m/,76 m/ ; F 4,56 m/ + 9 kg m/ 3,56 N (vörin egja N) 8
Skrifað út 9..4; :34 F (,5 kg 9,8 m / ) 4,7 kg m / d) F m a a,96 m / N m kg + 4 kg +,5 kg 7,5 kg 4.5 6, kg mai hvílir á núninglauum láréttum fleti. 3, kg mai togar (lóð) tigar í maann yfir núninglaua triu. a) Hver er hröðun kerfiin? b) Hver er toraftur taugarinnar? c) Hver er harði maanna eftir,5? Svar: a) Við reiknum kraftinn em togar í taugina: F m a 3kg 9,8 m / ; 9,4kg m / 9, 4 N Gæta þarf þe að mai all kerfiin er 9 kg. 9,4kg m / F m a; 9,4 kg m / (6kg + 3kg) a 3,3 m / (6kg + 3kg) b) Við notum hröðun kerfiin og maann á borðinu: F m a; 6kg 3,3m/ 9,8 N N. c) v t a; v,5 3,3 m/ 8,5 m/ 8,3 m/. 9