7. PROPAGARA CÂMPULUI LCTROMAGNTIC Sub acest titlu ai geeal eetul caitol a tata câtea tee legate e câuile electoagetice aiabile î ti (t) şi saţiu escis e ăiile e stae e foa (t) sau ( P t) şi ( t) sau ( P t) ue este aa ectoae a uui uct P (oicae) i oeiul Ω e eisteţă a câului electoagetic tee ca: ecuaţia uelo ue electoagetice aiaţia oscilatoaelo oagaea uelo lae î ifeite eii ifacţia uelo electoagetice ghiui e ue caităţi eoate eatiţia câului electoagetic î couctoae asie efectul elicula cueţii tubioai ieeile î fie ecu şi câtea alicaţii iese. 7.. Ue electoagetice La oul cel ai geeal oţiuea e uă oate fi efiită î felul uăto: i uă se îţelege u feoe (o aifestae atuală) aiabil î ti cae se oagă i aoae î aoae ît-o egiue ată a saţiului. Acest fat i oelae se oate efii şi astfel: î oeiul Ω se oagă o uă a ăiii e stae u acă o etubae a lui u eistetă î uctul P î oetul t se egăseşte î oetul t+ t î iese ucte P i eciătatea lui P. Î legătuă iectă cu această efiiţie se itouc oţiuile: fot e uă şi itea fotului. Pi fotul uei se îţelege suafaţa ce seaă la u oet at egiuea etubată e cea eetubată; ea eolueaă atât î ti cât şi î saţiu ceea ce ilică feoeul e oagae a uei î oeiul Ω. Vitea e oagae a fotului (ceea ce este tot ua cu itea e oagae a uei) se efieşte ca fii liita ite istaţa PP ' e cae o acuge u uct P al fotului e uă (faţă e uctul P i uctul e etubaţie) î itealul e ti t şi acest iteal e ti atuci câ t tie căte eo aică: D PP l w li (7.) t t t cae este toteaua fiită. Aceasta coesue fatului eseţial că î coceţia actuală a Fiicii u eistă ecât efecte cae se oaga i acţiui i aoae î aoae (cuoscuta teoie a cotiguităţii) şi cu iteă fiită. De fat această coceţie (aâ totuşi o oigie ai eche: aul 843 câ M. Faaa a itous teeii e câ şi e cotiguitate) stă la baa teoiei acoscoice clasice a feoeelo electoagetice ale lui Mawell. Teoia cotiguităţii cosieă că utătoul acţiuilo electice şi agetice ite couile electiate şi agetiate este câul electoagetic cae le tasite i cotiguitate (aică i aoae î aoae î saţiu şi ti) cu o auită iteă fiită (a foate ae) astfel că ele au eoie e u auit ti se a se oaga. Acţiuile i cotiguitate ei uai e eoluţia e cae stăile fiice au aut-o ît-u ti oicât e scut (cae tocai a tecut!) la o istaţă oicât e ică i juul oţiuii e co asua căeia se eecită e aici eultâ ieiat oţiuea e ue electoagetice î foa i efiiţia ată la îceut. 353
7.. Clasificaea şi eeetaea uelo istă ifeite citeii e clasificae a uelo. Astfel uă atua fiică a ăiii e stae u cosieată se istig uele: elastice etu cae u este o elasae sau o tesiue ecaică oi o esiue etc. (i această categoie fac ate e eelu uele seisice uele hiaulice uele sooe ş.a.) gaifice agetohioiaice electoagetice (la cae ăiile e stae sut î icial itesitatea câului electic şi itesitatea câului agetic ) etc. Iată ouă eele e ue: - uele sueficiale cae aa e suafaţa uui lac aâc câ această suafaţă fii efect laă ît-u uct P al ei cae u obiect geu (o iată). Acest eeiet uce la foaea e suafaţa aei a uo cecui cocetice cae îşi ăesc i ce î ce aa şi cae au cetul î uctul P î cae a căut obiectul geu. Dacă se eeită suafaţa aei î câtea oete succesie i figua 7. ealiate î oetele t t >t şi t 3 >t se ee că aceste oulaţii sueficiale se oagă sub foa cecuilo i figua 7. âă câ ajug la alul aei. Î figua 7. este eeetată Fig. 7. o secţiue eticală i aa lacului la oetul t i cae eultă că etubaţia ousă e obiectul căut î uctul P se tasite î uctul P i oificaea ielului h(p t) al aei faţă e fuul lacului atoită işcăilo oleculelo aei sub iflueţa şocului at e obiectul căut al eegiei iite i acest şoc e olecule şi al fecăii ite oleculele e aă etc.; Fig. 7. - uele electoagetice ot fi ouse aşa ca î figua 7.3 e o susă e eegie electică cu t.e.. e alteatiă (u oscilato electic. cusul Disoitie şi cicuite electoice ) cae îcacă şi escacă alteati cu sacii electice e ue cota ouă sfee etalice (. fig. 7.3) situate la o istaţă l foate ică î aot cu u uct P ( ' ) ue se aalieaă câul electoagetic ous e cele ouă sfee i ăiile lui e stae şi (. 7..6). Î eatiţia lo istataee saciile electice eteiă u câ electic cae aiaă î ti: ( P' t). Cofo legii cicuitului agetic (.88) u câ electic cae aiaă î ti ouce u câ agetic cae Fig. 7.3 D ε atoită fatului că a aia şi el 354
itesitatea lui fii ( P' t). Deoaece şi câul agetic aiaă î ti a ouce B µ cofo legii iucţiei electoagetice (.8) i teeul u ou câ electic aiabil î ti şi aşa ai eate. Reultatul este aaiţia uei succesiui e fotui ale câului electoagetic (etubat / îteţiut e susa alteatiă cu t.e.. e) cae aiaă î ti şi saţiu eci foaea uei ue electoagetice. U alt citeiu e clasificae a uelo ţie seaa e felul e eiae ateatică a ăiii e stae u î fucţie e cae eistă ue: scalae ectoiale şi tesioale eale sau colee. Astfel î caul uelo elastice cae se oagă î gae ăiea e stae a gaelo: esiuea (cae este u scala) costituie o uă scalaă ia itea o uă ectoială (eoaece ăiea fiică iteă se ealueaă it-u ecto w ). Î eelul i figuile 7. şi 7. (al uelo sueficiale e e luciul aei) ăiea sueficială e stae fii elasaea h(p t) a ielului suafeţei aei eci u ecto uele au u caacte ectoial. Î acest ca silu al tasiteii uelo elastice ectoiale e-a lugul uui co (î eelul cosieat suafaţa aei) se istig ouă aietăţi e ue ectoiale uă cu elasaea este aalelă cu iecţia e oagae sau eeiculaă e ea. Piul ca silu e eelificat i ce se îtâlă cu u ac sial (ca cel i figua 7.4) suus uei etubăi iiţiale e-a lugul aei sale costă î aaiţia uei ue logituiale situaţie î cae etubaea se tasite î lugul esotului ectoul eeetati i acest ca fii foţa F (Pt) cae este aalel cu aa esotului (fig. 7.4). Î caul etubăii suafeţei aei (. figuile 7. şi 7.) ăiea cae oate escie acest feoe este elasaea h (Pt) u ecto eeicula e iecţia aială PP ' (. fig. 7.) e oagae a uelo sueficiale ceea ce îseaă că aici este oba e o uă tasesală. Î ceea ce ieşte uele tesoiale u eelu i această categoie este acela al uelo e esiue i fluie âscoase. Fig. 7.4 Uele ai ot fi clasificate şi uă citeii geoetice ca e eelu uăul e iesiui cae itei î oagaea uei cosieate. Tot u citeiu geoetic e clasificae este acela cae ţie seaa e foa suafeţelo e cae se află la u oet at etubaţiile. Duă felul suafeţelo î ale căo ucte ăiea e stae ae aceleaşi aloi î oete succesie eistă uele: lae (fig. 7.5a) ciliice (fig. 7.5b) sfeice (fig. 7.5c) etc.. Î eelul at î figua 7. al uelo sueficiale e e suafaţa uui lac i uctul e eee geoetic aceste ue sut ciculae cocetice. Duă ca se ot folosi ueoase tiui geoetice e uă a cele ai iotate sut totuşi uele lae şi sfeice; cele lae etu fatul că e o oţiue suficiet e ică i saţiu oice uă Σ oate fi aoiată ca fii laă (ceea ce silifică stuiul) ia uele sfeice eită itees eoaece cofo iciiului lui uges (. 7..8) oice uct e e o suafaţă e uă oate fi cosieat ca o susă a uei ue sfeice. 355 Fig. 7.5
Uele se ai ot clasifica şi uă felul cu aiaă î ti ăiea e stae u. Duă cu şi e ti t: s-a ai aătat î geeal această ăie este o fucţie e uct P sau P ( ) u(p t) sau u ( t). Î uele i eelele ate âă î eet (cele ilustate î figuile 7. 7. şi 7.4) uele se atoau fatului că etubaţia ea e foa uei fucţii teată (e şoc) aică: la u oet at î uctul (sau P) aăea busc o etubaţie cae se oaga ai eate î uctele ecie ' (sau P ) făă a ai eei (să ice eioic). Î astfel e caui ua se ueşte uă e şoc. Da eistă şi ulte situaţii (ca aceea i figua 7.3 ue susa e etubaţii este o t.e.. e alteatiă) î cae feoeul etubato eie eioic î ti şi î acest fel ouce o aiaţie eioică a ăiii e stae aică: ( t) u( t T ) u + T ceea ce îseaă a sue că i ' tece o uă eioică î ti e eioaă T. Reeiu-se la eelul ai silu e ituit şi eeetat al uelo sueficiale ce aa e luciul uui lac atuci câ ît-u uct fi P obiectul geu loeşte eioic aa la iteale e ti T (eioaa e eetiţie) se a costata că asectul suafeţei lacului (ăută e sus) este cel iicat î figua 7.6 aică işte guui e cecui cae se succe î ti cu eioaa T şi e iecţia aei cecuilo cu itealul λ. Acest iteal λ uă cae etubaţiile se eiau se ueşte lugie e uă (. 7..3) şi ea eeită î fat istaţa la cae se oagă ua (fotul uei) î tiul uei eioae T. Dacă oagaea uei se face cu itea w atuci: λ w T. Deci uei etubaţii eioice î ti îi coesue o uă eioică î ti şi î saţiu. Acest ca este foate utiliat î tehica couicaţiilo i ue electoagetice; el a fost uai eetat ca eelu î figua 7.3 a asua lui se a eei î toate aagafele ce o ua. Fig. 7.6 Fig. 7.7 U alt ca este acela î cae î oelul ăiii e stae u aiabilele şi t aa seaate î foa: u( t) ρ( ) τ( t) cae eeită oelul tiic al coaei ibate. Vibaţiile coaei sut ouse ecaic e o oă D coaată eioic e u oscilato ecaic O aşa cu se aată î figua 7.7. Î fucţie e tesiuea ecaică i cae este îtisă coaa aae u auit uă e aie (M) şi e iie () cae u se elaseaă î ti î lugul coaei; acest ti e uă se ueşte uă staţioaă. Î ooiţie cu acestea uele la cae se costată o oagae a etubaţiilo se uesc ue ogesie. Aâu-se î eee efiiţia uelo eoaece î caul uelo staţioae u se obseă o elasae a etubaţiilo ibaţiile cae aa u ot fi icluse î categoia uelo. le eită totuşi itees î teoia uelo eoaece aalia feoeelo ibatoii aată că î geeal uele staţioae ot fi cosieate ca o suauee e ue ogesie (. 7..3). 356
Reeetaea gafică a uelo Reeetaea gafică a oceselo oulatoii tebuie să eea ît-o foă catitatiă oul cu este eatiată e Ω ăiea e stae u(pt) sau u ( t) cu P ( ) Ω astfel îcât să eulte eseţa oietăţilo secifice uelo aaliate. Folosiu-se efoaţele e gafică iteactiă e eeetae î 3D (siulâ saţiul tiiesioal) şi facilităţile actuale ale tehicilo e calcul autoat eeetaea ieselo tiui e ue eie foate silă utâ ea i aiaţie şi eoluţia î ti. Î iciiu (chi şi atuci câ se utilieaă eeetaea i aiaţie) eaea gafică a oagăii uelo se face î ouă oui: o se eeită staea oeiului î cae se oagă ua (î ouile uei eţele e iscetiae cae se alică oeiului Ω î 3D sau acă eistă sietii î D) la iese iteale e ti t suficiet e ici etu a se sesia iflueţa tiului î o fluet (âă la eaea aiată fiească); o se eeită î o cotiuu aiaţia î ti a ăiii e stae u(pt) P acelaşi î auite ucte P ale oeiului Ω cosieat etc. Î caul e eeetae ae iotaţă şi alegeea sisteului e efeiţă (e coooate) cae se aotă î fucţie e atua ateatică a ăiilo e stae e foa geoetică (osibilă) a uelo e uăul e iesiui al oeiului Ω etc. Iflueţa eiului asua oagăii uelo Natua eiului şi cauile e euifoitate eteiă î o hotăâto feoeul e oagae a uelo atât î ceea ce ieşte alituiea uei şi itea e oagae a şi aaiţia uo efecte cae sut oocate iect e căte staea eiului. Astfel iscotiuităţile eiului atise e căte o uă ogesiă ouc aaiţia uo oi ue cu cetul î uctele e iscotiuitate. Dacă etubaţiile i eiu sut e iesiui ici î coaaţie cu lugiea e uă (. 7..3) ae loc u feoe e îăştiee a uelo (u astfel e feoe iteie fecet î oagaea uelo electoagetice e aiofeceţă la istaţe foate ai). Atuci câ eiul î cae se oagă uele este foat i ai ulte oe fiecae î ate uifoe a cu ăii e ateial ifeite e la oă la oă (cae sut seaate eci i suafeţe e iscotiuitate) se ouc efecte e efacţie a uelo (. 7.4.) î caul î cae uele ce taeseaă suafeţele e iscotiuitate au lugiea e uă ult ai ică ecât ua i iesiuile suafeţei. Suafeţele e iscotiuitate ite ouă eii uifoe ouc şi feoeul e efleie (. 7.4. şi 7.4.3). U alt feoe oocat e iscotiuităţile i eiu este ifacţia (. 7..8). l se ouce la teceea uelo e lâgă suafeţele î lugul căoa oietăţile e ateial ale eiului aiaă iscotiuu e oţiui e iesiui ai î coaaţie cu lugiea e uă oţiui e cae se află coui oace. U eelu clasic e eiu î cae se ouce ifacţia este eiul ooge î cae se află lasat u eca oac (i uctul e eee al oagăii uelo) seiifiit sau efoat; î acest ca uele (ca eelu tiic cele luioase) ifactă la teceea i oificiul i eca sau la agiea sa. Meiile la cae itea e faă (. 7.4.5) este ieeetă e feceţă se uesc eii eisesie ia cele la cae această iteă eie e feceţă se uesc eii isesie. ele tiice e eii isesie sut (etu uele electoagetice) ioosfea şi ghiuile e uă (. 7..9). Meiile î cae uelo ce se oagă li se icşoeaă alituiea î fucţie e istaţa stăbătută (. 7..) aică eiile cae ateueaă uele ce se oagă i ele se uesc eii isiatie. Î ca cota (î cae uele ce se oagă u sut ateuate) eiile se uesc eisiatie. Acest efect e ateuae a uelo oagate ae o cauă eegetică. Pi oagae ua tasite eiului î cae se află o auită eegie (eluată e la susa ce a ous ca 357
eleet etubato ua) cae i iese feoee î fucţie e atua fiică a sisteului (e eelu i fecae î caul uelo elastice i efect Joule î caul uelo electoagetice i eiile couctoae. 7.3.) tasfoă eegia iită e la uele ce se oagă î căluă (fat oeit e ceşteea teeatuii eiului). Polaiaea uelo Î caul uelo ectoiale cae se oagă it-u eiu oaecae se ouce uătoul feoe: ectoului e stae a uei u ( t) escie î tiul elasăii fotului uei o cubă laă. Acest fat este euit olaiaea uelo ît-u la; acă î aticula ectoul e stae u escie o eată se sue că ua u este olaiată liia (.fig.7.8b). Î caul aticula al uelo aoice (aică al uelo î cae ectoul u aiaă siusoial î ti) ua ectoială este îtoteaua olaiată la âful ectoului u escii o elisă suâu-se ca ua este olaiată elitic. Aceasta este cosieată situaţia geeală eoaece uă ca elisa oate egeea ît-o eată sau ît-u cec. Î legătuă cu acest feoe se euţă uătoaea teoeă: oice uă ectoială este olaiată elitic. Deostaţia acestei teoee este elati silă. Fie u u şi u cooetele ectoului e stae u al uei cooete ce aiaă aoic î ti astfel că ectoul: u u i + uj + uk oate fi scis î foa: (P) u a cos ωt + b si ωt ue: a a i + aj + ak şi b b i + bj + bk sut ectoi ale căo cooete sut costate î ti. Duă cu se ştie (. Mateatica) elaţia (P) eeită ecuaţia ectoială a uei elise şi atuci ecuaţia ată e ousul ectoial it: (P) a b u eeită ecuaţia laului elisei la ce ae oala a b (eoaece a b u a bu ). cuaţia (P) aată că oice uă ectoială oate fi cosieată ca oei i suaueea a ouă ue ectoiale olaiate liia: a cos ωt şi b si ωt efaate î ti cu T π ˆ 4 eoaece fucţiile tigooetice siωt şi cosωt sut î cuaatuă. Cauile tiice eeetate e ecuaţia (P) ce eeită cuba escisă e âful ectoului u î ti sut elisa (caul geeal) cecul şi eata. Da î caul olaiăii elitice şi al celei ciculae sut osibile ouă situaţii eteiate e oul cu aiaă î ti ectoul u : cu succesiue î sesul acelo e ceas (cae eeită olaiaea e eata) sau î sesul tigooetic (aceasta fii olaiaea e stâga) situaţii cae se ot eeeta gafic aşa cu se aată î figua 7.8a. Fig. 7.8 Fig. 7.9 u P t atât î ti (uă u cec) cât şi î saţiu (eâ ocesul e oagae) este aătată î figua 7.9. 358 O eeetae cae să iice olaiaea ciculaă e aiaţie a ectoului ( )
7... cuaţia uelo electoagetice Petu escieea aticulaităţilo uelo electoagetice se foloseşte u oel cae să eteie elaţia eistetă îte ăiile e stae caacteistice câului electoagetic şi aue: itesitatea câului electic ectoul şi itesitatea câului agetic (secifice celo ouă asecte ale acestui câ) ecu şi oul e oagae a câului electoagetic i ue oelul iicâ şi eeeţa e uct şi e ti ale acesto ectoi e stae. Î acest sco se folosesc legile geeale ale teoiei acoscoice a câului electoagetic sub foa lo locală (e uct) eiată e ecuaţiile e baă ale lui Mawell: (.5M) (.5M4) şi ecuaţiile e ateial (.6M5) (.6M7) cae se efeă la electoiaica acoscoică a eiilo cotiue etee (î cae fucţiile sut cotiue şi eiabile) şi iobile aică î caul uo eii î eaus (cu itea w ) liiae oogee şi iotoe făă olaiaţie electică eaetă ( M şi făă câ iiat ( i ) P ) făă agetiaţie eaetă ( ). Deşi u astfel e oeiu este u ca aticula cu ulte esticţii a fost ales etu că eeită situaţia cea ai ăsâită î actica oagăii uelo electoagetice aio î ae sau î i (î ete ) atât e utiliate î telecouicaţii. Cauile e iscotiuitate euifoitate aiotoie etc. cae geeeaă efecte secuae sut tatate aate î coiţiile ate (efleie efacţie ifacţie aiaţii atuci câ sau / şi efectul Dole-Fieau atuci câ eistă itee elatie îte susele e aiaţii obseato eiu etc. eci câ w ateuaea uelo î eiile isiatie etc.). Reaitiu-se ecuaţiile e baă ale lui Mawell (eetate î.4.) şi ecuaţiile e ateial (i.4.) aică: D ot J + (M) B ot (M) i D q (M3) i B (M4) D ε (M5) B µ (M6) J γ (M7) ale căo sibolui sut biecuoscute se oate eteia ecuaţia uelo î felul uăto: i) itoucâu-se eesiile lui D B şi J i elaţiile (M5) (M6) şi esecti (M7) î elaţiile (M) (M4) î coiţiile î cae eiul este eîcăcat electic (aică q [C/ 3 ]) se obţi ecuaţiile uai cu aiabilele şi ale ăiilo e stae ale uelo: i (U) i (U) ot µ (U3) ot γ + ε ; (U4) ii) folosiu-se aceste oi eesii (U) (U4) se ot eteia ecuaţiile (cu eiate aţiale) e cae le satisfac î oice uct al eiului e oagae ăiile e stae şi ale uelo electoagetice i alicaea oeatoului oto elaţiei (U3): 359
(U5) ot ot ot µ µ ot i cae îlocuiu-se ot cu eesia lui (U4) eultă: ot ot µ γ + ε aică: (U6) ot ot µγ µε ; iii) ştiiu-se că ot ot ga i (. 9..) cofo elaţiilo (9.39) şi aâu-se î eee elaţia (U) se obţie i (U6): ot ot µγ µε şi eci: (7.) µε µγ P Ω cae aată că î caul oeiului Ω cu eiul eciat ateio itesitatea câului electic satisface o ecuaţie cu eiate aţiale e oiul oi î ti şi î saţiu; iu) alicâu-se şi elaţiei (U4) oeatoul oto se obţie: ot ot ot γ + ε γot + ε ot t î cae se îlocuieşte ot cu eesia lui (U3) eultâ: (U7) ot ot γµ εµ u) ţiâu-se seaa e egalitatea (9.39) a alicăii eetate a otoului cae aată că ot ot ga i şi aâu-se î eee că î cofoitate cu elaţia (U) i atuci ot ot astfel că eesia (U7) eie: γµ εµ e ue eiese eesia î : (7.3) γµ εµ P Ω aică u oel foal ietic cu (7.) cae aată că î caul oeiului Ω cu eiul eciat iiţial itesitatea câului agetic satisface tot o ecuaţie cu eiate aţiale e oiul oi î ti şi î saţiu ca şi ; ui) etu silificaea scieii cele ouă ecuaţii (7.) şi (7.3) se ot foula aticial eei: (7.4) εµ γµ P Ω cae eeită ecuaţia uelo electoagetice. Duă cu se costată ecuaţia aticeală (7.4) este foată i ecuaţii cu eiate aţiale e oiul oi e ti hiebolic cae esciu i ăiile e stae şi eatiţia câului 36
electoagetic î ti şi î saţiu (ocuat e u eiu liia uifo iobil făă olaiaţie electică eaetă făă agetiaţie eaetă şi făă câ iiat îsă isiati atoită eeţei aaetului e ateial γ/ρ). De la Mateatică se ştie că asociiu-se cu P t ecuaţia (7.4) coiţii iiţiale şi la liită aecate obleei stuiate se obţie o soluţie î ( ) şi ( P t) cae î geeal este o soluţie oulatoie. Soluţiile obţiute etu ecuaţia (7.4) u sut ieeete eoaece îte ectoii şi eistă îtoteaua elaţii e legătuă (U3) şi (U4) astfel îcât se obţi o uă electică şi ua agetică stâs legate îte ele şi cae se coiţioeaă ecioc ît-o uă uică (eultată): ua electoagetică. cuaţia uei electoagetice î eii iolate Î caul aticula al eiilo iolate etu cae actic couctiitatea electică este γ ecuaţia (7.4) ia foa secifică acesto eii şi aue: εµ γ P Ω. (7.5) Deoaece cofo elaţiei (.54) a lui Mawell (...4.5) εµ/c (ue c este itea e oagae a uei î eiul iolat caacteiat e aaetii ε şi µ (. 7.4. şi 7.4.5) ia oeatoul: D εµ c eeită oeatoul Alebet sau alebetiaul eultă că foa ecuaţiei uelo electoagetice ce se oagă î eii iolate este:. (7.5A) cuaţia uei electoagetice î eii couctoae Î eiile couctoae cae au γ 7 S/ şi o eitiitate absolută foate ică ue eci γ>>>ε ecuaţia (7.4) î cae actic εµ î aot cu γµ eie: γµ (7.6) cae este o ecuaţie e oiul oi aabolică ce escie oul cu se oagă uele electoagetice î eiile couctoae electice. cuaţiile uelo electoagetice î eii cu sacii electice Î caul î cae î eiul î cae se oagă uele electoagetice eistă ucte P ue esitatea e olu a saciii electice q [C/ 3 ] este ifeită e eo sau eistă coui uctifoe î oeiul ocuat e eiu cae se elaseaă cu itea w aâ q (aică w J ) ecu şi aiaţia î ti a esităţii e olu a saciii electice q q t (eci ij q t J ) i uae î caul î cae eiul ae oeii Ω etu cae: ( P) J ( P) P Ω q (P) 36
istibuţia q şi J e Ω fii cuoscută ecuaţiile (7.5) şi (7.5A) u ot uce la găsiea soluţiei şi a câului electoagetic (etu că ele au fost eteiate î coiţiile q i elaţia U şi s-a cosieat ot ot ga i eci tot i ). De aceea î cauile iicate e eesia (P) calculul câului electoagetic se oate ealia ai silu i itouceea oteţialelo electoiaice (. 7..4) ca oteţiale (V şi A ) ale uelo electoagetice cae eit şi aalia feoeelo e aiaţie electică (. 7..6) şi agetică (. 7..7). Aceste ăii se ot itouce î itutea euiocităţii oteţialelo (. 7..4). Duă cu se ştie i legile cicuitului agetic (M) şi fluului agetic (M4) iicatoi folosiţi î aagaful 7.. eultă că ectoul iucţiei agetice eeită u câ soleoial (.ca.5) astfel îcât se oate scie: (P) B D ota î cae A este i efiiţie oteţialul electoiaic ecto (î caitolul 5 efeito la câul agetic casistaţioa A a fost uit oteţial agetic ecto). Îlocuiu-se B i legea iucţiei electoagetice (M î 7..) cu efiiţia ateioaă (P) eultă: B A (P3) ot ot ota ot +. A Di ultia elaţie (P3) eultă că teeul + este iotaţioal (eoaece otoul său este ul) astfel că el oate fi eiat it-u gaiet al uei ăii scalae (fie acesta V) aică: A + gav e ue eultă că ectoul itesităţii câului electic oate fi scis î foa: A (P4) D gav î cae V este i efiiţie oteţialul electoiaic scala. Pi utiliaea oteţialelo electoiaice A şi V calculul câului electoagetic se silifică i fatul că î locul eteiăii ăiilo e stae ectoiale şi (cae se face i 6 aloi/cooete scalae) tebuie eteiate uai 4 aloi/cooete scalae: 3 etu oteţialul electoiaic ecto A şi ua etu oteţialul electoiaic scala V. Folosiu-se aceste oteţiale electoiaice ecuaţiile uei electoagetice ei: - se itouc elaţiile (P) şi (P3) î foa locală a legii cicuitului agetic (M) i 7.. î cae şi D se îlocuiesc i elicitaea lo i legile (M6) şi (M5) i 7.. eultâ: D A (P5) ot J + otb J + ε ot ota J + ε gav ; µ µ - eoaece ot ota ga ia A cofo elaţiei (9.39) eesia (P5) eie: V A (P6) ga ia A µ J εµga εµ aică: A V (P7) A εµ µ J + gaia + εµ ; 36
- uă cu s-a aătat î caitolul 5 u câ ectoial A oate fi efiit î o uioc uai acă se ecieaă siulta atât otoul cât şi iegeţa sa (la cae se ai aaugă î fucţie e obleă coiţiile iiţiale şi la liită). Aici i efiiţia (P) s-a iicat aloaea otoului ectoului A iegeţa lui A utâ fi eteiată i etaloae (e eelu î caitolul 5 s-a cosieat i A ). Î acest ca cel ai otiit i uctul e eee al oelăii este ca i A să se etaloee i coiţia lui Loet aică: V V i A εµ (7.7) c etaloae ce silifică ult oelul (P7); - i coiţia e etaloae Loet (7.7) a oteţialului electoiaic ecto A ecuaţia (P7) eie: A A εµ µ J (7.8) aică: A µ J (7.8 ) c sau: A µ J (7.8 ) cae eeită o ouă foă a ecuaţiei uelo electoagetice î eii ue eistă ucte î cae esitatea e cuet este ifeită e eo; - se itouce î cotiuae elaţia (P4) î legea fluului electic sub foă locală (M3) i 7.. eultâ: A i D q ε i q ε i gav q t sau: A q q i gav i gav ia t ε ε aică: q q V ia V ia ; (P8) ε ε -îlocuiu-se î ultia elaţie (P8) i A i coiţia lui Loet (7.7) se a obţie: V V q c ε aică: V q V q V + sau V ; (7.9) c ε c ε - ultia ecuaţie (7.9) eeită o ouă foă a ecuaţiei uelo electoagetice î eii ue eistă ucte î cae esitatea e olu a saciii electice este ifeită e eo. Deoaece ecuaţia (7.9) se ai oate scie şi sub foa: q V (7.9 ) c ε folosiu-se oeatoul lui Alabet ai eultă şi eiaea: V. (7.9 ) ε 363 q
Pi uae oteţialele electoiaice V şi A i ecuaţiile (7.9 ) şi (7.8 ) eeită soluţiile uo ecuaţii Alabet: q V (7.) ε A µ J cae au fost scise sub foa uui siste eoaece î (7.) cele ouă soluţii V şi A u sut ieeete etu că ele sut legate i coiţia lui Loet (7.7) ia teeii i ebul et sut legaţi îte ei i legea coseăii saciii electice (.9) etu eii î eaus (cu w ) aică: q (7.) i J. t Dacă eiul cosieat: liia uifo iobil făă olaiaţie electică eaetă făă agetiaţie eaetă şi î cae u eistă sacii electice şi cueţi electici (q şi J ) eiul fii iolat (γ ) escie oagaea câului electoagetic (î ti şi saţiu) i ua i ăiile e stae ale ulţiii (7.): (7.) f { V A} atuci foa geeală a ecuaţiilo electoagetice este: (7.3) f ştii că ăiile ( şi ) f e e o ate şi (V şi A ) f e e altă ate sut eechi legate i elaţiile (U3) şi esecti (7.). 7..3. Ua electoagetică laă Pi efiiţie (. fig. 7.3) ua laă este u ca aticula al uelo electoagetice etu cae ăiile e stae ( şi ) ei e o siguă coooată saţială şi e ti. Î caul eelului ales i figua7.3 acă uctul P' (i saţiul î cae se oagă uele electoagetice) este ete e îeătat e susa e câ (u oscilato electic iola e lugie l) aică istaţa e la uctul cosieat la susă este foate ae (ai ecis >>> l. fig. 7.3) atuci ua electoagetică eie actic uă laă acesta fii caul cel ai fecet î couicaţiile aio cu ue electoagetice oulate (. cusul Teoia tasiteii ifoaţiei). Atuci o uă electoagetică laă ît-u eiu ielectic cu γ (i ae etc.) esuuâ aa ca iecţie e oagae a uui siste e efeiţă cateia O la cae este aotat eiul este eteiată e ăiile e stae: ( t) (7.4) ( t) { } f f ( t) ue se silificaea scieii i f se subîţelege o cooetă oaecae a ectoilo e stae sau. Î aceste coiţii î caul uei lae ecuaţiile câului electoagetic (7.5) şi (7.5A) ot fi scise sub foa: (7.5) f / c f / cae etu a fi eolată se etascie sub altă foă şi aue: / c / / + c / f (UP.) ( ) ( ). 364
Deteiaea soluţiei Petu eolaea acestei ecuaţii cu eiate aţiale (UP.) se itouc oi aiabile aică: t-/c ξ şi t+/c η (UP.) astfel îcât: t (η+ξ)/ şi c (η-ξ)/. (UP.3). Atuci: ( / c / ) ( / + c / ) / ξ şi / η (UP.4) astfel că ecuaţia (UP.) etu f caătă foa: f / η ξ (UP.5) cae i itegae uă ξ couce la: f / η F (η) (UP.6) ue F(η) este o fucţie abitaă. Itegâu se îcă oată uă η ecuaţia (UP.6) se a găsi: f f (ξ)+f (η) (UP.7) ue f şi f sut fucţii abitae. Î acest fel soluţia ecuaţiei (7.5) eultată i soluţia (UP.7) î cae s-au îlocuit ξ şi η i eesiile lo (UP.) este: ff(t) f (t-/c)+f (t+/c) (7.6) î cae fucţiile abitae f şi f se eteiă i coiţiile iiţiale şi la liită (e fotieă) ale obleei cocete ate. Soluţia (7.6) aată că ua laă soluţie a ecuaţiei (7.5) eultă i suaueea a ouă ue ua isă iectă f (sau f ) şi alta iesă f (sau f i ) cae se oagă cu itee egale (c) î sesui ouse. Ît-aeă esuuâu-se e eelu că f soluţia (7.6) eie f f (t-/c) cae ae uătoaea seificaţie: î fiecae la cost. câul electoagetic aiaă î ti ia î fiecae oet t at câul este ifeit etu aloile lui ifeite. Îsă este eiet că acest câ ae aceeaşi aloae etu coooatele şi tiii t cae satisfac elaţia t-/ccost. aică: cost.+c t sau c tcost. (UP.8) Aceasta îseaă că acă la u oet at t ît-u auit uct al saţiului câului a aea o auită aloae uă u auit iteal e ti T câul a aea aceeaşi aloae la istaţa λct e-a lugul aei e la locul iiţial. Această istaţă λ eeită lugiea e uă (. 7.4.5). Petu a uăi o aloae costată ată a uei iecte f (ξ) f (t-/c)u obseato a tebui să se elasee astfel îcât segetul ξ sau să fie costat cofo elaţiei (UP.8) aică cu itea: /t cost.+ ct /t+c /tc / µε. (7.7) t t Vitea (7.7) fii oitiă eultă că f (ξ) se oagă î sesul cescăto al aei fii i uae uă iectă f. Astfel se oate afia că toate aloile câului electoagetic se oagă î saţiu e-a lugul aei cu itea luiii î i c (. 7.4.5). Î o siila se oate aăta că ua f (η) f (t+/c) este o uă cae se oagă î ses ous lui f f aică î sesul escescăto (egati) al aei fii astfel o uă iesă f i.îtaeă f (η) cost. f (t+/c) cost. (t+/c) cost. cu itea e elasae /t(cost.- ct)/t-c eci cu itea luiii c cu seul ius aică î ses ies uei iecte. Î aagaful eceet s-a aătat că oteţialele electoiaice (V şi A ) ale uei electoagetice ot fi alese astfel îcât acă V i A cofo coiţiei e etaloae a lui Loe (7.7). Se a cosiea î cotiuae această situaţie aică oteţialul electoiaic scala al uei electoagetice lae este ales V ceea ce ilică etu oteţialul electoiaic ecto A etaloaea i A. Coiţia i A ă î acest ca: A / (UP.9) 365
eoaece î ua laă luată uă iecţia toate ăiile u ei e şi eultâ elaţia (UP.9). Ît-aeă: i A ( i / + j / + k / )(A i + A j + A k ) A / + A / + A / şi cu acă ăiile u ei e şi e îseaă că A / şi A / ceea ce îseaă că i A couce şi la A /. Atuci cofo cu (7.5) î cae f eie A a eulta şi elaţia: (UP.) A / aică A /cost. Îsă eiata A/ eteiă câul electic Ē ei elaţia (P4) i aagaful 7.. şi atuci egalitatea (UP.) aată că o cooetă A ifeită e eo a îsea î caul cosieat eeţa uui câ electic logituial costat: cost. Deoaece u astfel e câ u aaţie uei electoagetice se oate sue că A. Aşaa oteţialul electoiaic ecto al uei ue lae oate fi ales toteaua eeicula e aa aică e iecţia e oagae a acestei ue. Dacă se cosieă o uă laă cae se oagă î sesul oiti al aei (ua iectă) atuci î această uă toate ăiile f (î aticula şi A ) sut fucţii uai e t-/c cofo soluţiei (7.6). Di foulele: A şi ota c cae oi i elaţia (P4) i aagaful 7.. cu coiţia V se obţie: (7.8) A' A ( t / c) A' A' c c ue accetul îseaă ifeeţieea uă t-/c ia este esoul e-a lugul iecţiei e oagae a uei electoagetice( k ). Îtoucâu-se ia elaţie (7.8) î ultia se obţie: (7.9) cae aată că î caul uei electoagetice lae câul electic şi agetic sut oietate eeicula e iecţia e oagae a uei (a lui ). Di acest oti uele electoagetice lae se uesc tasesale. Di elaţia (7.9) eultă ai eate că etu ua laă câuile electic şi agetic sut eeiculae îte ele şi egale î ăie absolută (e eelu cu şi cu ). Acest lucu se ai oate aăta si astfel: i) î caul (7.4) al uelo lae otoul şi iegeţa fucţiei f sut: (UP.) ot i f / f / f j k / i f f / + j f i f / k f / eoaece f eie e o siguă coooată saţială si eci: f f ( t) { f / f / f / f / } ia: if ( i / + j / + k / ) ( f i + f j + f k ) (UP.) f / + f / + f / f / eoaece: f f ( t) { f / f / }. Atuci acă f sau f elaţiile (UP.) şi (UP.) aată că: (7.) ot i / k / (7.') i / 366 / + k f / i f / j f / k f /
ot i / k / (7.) i / ; (7.') ii) coaâu-se e cooete elaţiile (U3/ 7..) cu (7.) şi (U4/ 7..) cu (7.) eultă: ot µ / i / k / µ i / µ j / µ k / ceea ce îseaă: / µ / µ / şi / µ / (UP.3) ecu şi: ot γ + ε / i / k / εi / + εj / + εk / γ ceea ce îseaă: / ε / ε / şi / ε / ; (UP.4) iii) coaâu-se îte ele ecuaţiile (U/ 7..) cu (7.') şi (U/ 7..) cu (7.') eultă ieiat: i cu i / / (UP.5) şi i cu i / /. (UP.6) Di aceste elaţii eultă că uele electoagetice lae tasesale e aa au caacteisticile: j) cooetele şi u ei ici e şi ici e t aşa cu aată ecuaţiile oi i eesiile (UP.3) şi (UP.4) ecu şi ecuaţiile (UP.5) şi (UP.6) ceea ce îseaă că ele eeită o istibuţie statică uifoă elegată caual e ocesul e oagae. Aceasta ai îseaă că se ot lăsa e-o ate cooetele şi ăââ uai cooetele cu legate i ia ecuaţie i elaţiile (UP.4) eultâ că ectoii şi sut eeiculai e iecţia aei fat aătat şi e elaţia (7.9); jj) legătua ite cooete: cu (aşa ca î figua 7.) şi cu aată că î ocesul e oagae al uelo electoagetice lae aa ouă ue tasesale ieeete ua iectă şi alta iesă cae ot fi aaliate seaat fat eciat şi ateio i soluţiile (7.6); jjj) eiâu-se ia ecuaţie i (UP.3) î aot cu şi ultia ecuaţie i (UP.4) î aot cu t se oate eliia teeul / astfel: / µ / şi / ε / cae eultă: / ε / sau / µ ε / µ obţiâu-se ecuaţia: / / (7.) c Fig. 7. cae este e foa (7.5) ecuaţie ce a fost eolată elaţia (7.6) aâ î caul cooetei soluţia: (t) (t-/c)+ i (t+/c); (7.3) j) etu eteiaea cooetei se a ocea la fel aică se a eia ia ecuaţie i (UP.3) îsă î aot cu t şi ultia ecuaţie i (UP.4 ) î aot cu : / µ / şi / ε / 367
ite cae eliiâu-se / eultă ecuaţia: (7.) / c / cae este e foa (7.5) ecuaţie ce a fost eolată ateio. elaţia (7.6) aâ î caul cooetei soluţia: (7.3) (t) (t-/c)+ i (t+/c). Iteetaea soluţiei Aşa cu s-a ai aătat î eetate âui şi cu o oeesc aici elaţiile (UP.3) şi (UP.4) câul agetic u este ieeet e câul electic astfel îcât uele şi i i soluţia (7.3) ot fi eiate i şi i ale soluţiei (7.3). Astfel i ia ecuaţie a elaţiilo (UP.3) şi ţiâu-se seaa e schibăile e aiabilă (UP.) se a obţie: (UP.7) / / µ ξ i η i + + µ ξ η µ c ξ c η e ue a eulta i itegae. Astfel: c ( /ξ + i /η)t+ () [ / ( ξ/) - + i / ( η/) - ]t+ () µ c µ c (UP.8) { / [ (t-/c)] - + i / [ (t+/c)] - }t+ () µ c î cae aiabilele ξ şi η s-au îlocuit i eesiile lo î fucţie e t (UP.). Va eulta ai eate i itouceea lui sub itegala (UP.8): { / [ t ] - + i / [ (-t-/c)] - }t+ () µ c c (7.4) [- (-ξ)+ i (-η)]+ () sau [ (ξ)- i (η)] µ c µ c i cae liseşte costata e itegae () eoaece u aaţie uei electoagetice etu că i ultia egalitate a elaţiilo (UP.4) aică - / ε / eultă că ()cost. fiică la t /. Teeul /µc i eesia (7.4) oate fi scis şi sub foa: (7.5) / µ c / µ/(/ εµ ) εµ/µ ε/µ şi µ c µε cae ae iesiuea: [µ c] [µ/ε] / [[] [] - /[F] [] - ] / [/F] / [[V] [s] [A] - /[A] [s] [V] - ] / [[V] /[A] ] / [V]/[A][Ω] aică e ieaţă (.ca.8). De aceea ultiul tee al eesiei (7.5) se efieşte ca fii ieaţa e uă (itisecă) a eiului î cae se oagă ua; ea se oteaă cu ζ şi este: D (7.6) ζ µ/ε µ µ / ε ε µ / ε µ / ε ζ ζ î cae: ζ este ieaţa e uă elatiă a eiului 7 9 ζ 4π // 4π9 4π 3 3768Ω este ieaţa e uă a iului. Atuci soluţiile geeale ale ecuaţiilo (7.) şi (7.) se ot eia şi î uătoaea foă: (7.7) (t) (t-/c)+ i (t+/c) 368
(t) ξ [ (t-/c)- i (t+/c)] (7.7) î cae itei uai ouă fucţii abitae şi i (ce se ot eteia i coiţiile iiţiale şi la liită ale obleei ate). Soluţiile legate (7.7) şi (7.7) ot fi eeetate gafic etu u ca geeal oaecae aşa ca î figua 7. (7.a eeită uele iecte şi 7.b uele iese). Tasfeul e eegie Uele electoagetice lae tasesale ealieaă u tasfe e eegie i suafaţa laă a uei cae se oate eteia i esitatea e suafaţă a PUTRII electoagetice tasfeate (fluul e utee) aică i calculaea ectoului Fig. 7. Potig (..5.3 ue a fost efiit i S ). Astfel etu ua iectă eultă: S k i k i j j (7.8) ζ ia etu ua iesă: S i ki ( i ) i i ki i ji i j i (7.9) ζ abele eiate î [W/ ]. Di aceste eesii (7.8) şi (7.9) eiese că tasotul e eegie electoagetică se face î lugul aei (ce ae esoul j ) ua iectă î sesul oiti al aei (+ j ) ia cea iesă î sesul egati al lui (- j ) cea ce îseaă că oagaea uei electoagetice lae se face tasesal e o siguă iecţie (e eelu aşa cu s-a cosieat iiţial). Ţiâu-se cot e elaţiile (7.7) şi (7.6) îseaă că se ai oate scie (e eelu etu ua iectă): ( / ζ) ε / µ µ ε. (7.3) Desitatea e olu a eegiei electoagetice (..5.3) fii: - etu eegia electică w e ( D ) / ( ε ) / ε / - etu eegie agetică w ( B ) / ( µ ) / µ / abele eiabile î [Ws/ 3 ] îseaă că iicâu-se la ătat abii ebi ai egalităţii (7.3) eultă: µ ε sau ( / )µ (/ )ε w we (7.3) ceea ce eiă egalitatea ite esitatea e olu eegiei electice şi eegiei agetice a uei iecte. Atuci aloaea absolută S a ectoului Potig etu ua iectă se oate eia î fucţie e esităţile e olu ale eegiei electoagetice eteiate î eiul î cae se oagă ua astfel: S ζ ( ε/µ + µ/ε ) ( ε/µ ε/ε + ζ (7.3) ε µ + µ/ε µ/µ ) ( + ) (ε / + µ / ) c( we + w ). εµ εµ εµ 369
Relaţia (7.3) couce la uătoaea iteetae fiică: eegia tasotată e ua electoagetică ît-u iteal ic e ti t it-o oţiue e suafaţă cu aia A oală e iecţia sa e oagae (eci e iecţia iteei e oagae c ) este egală cu eegia electoagetică totală i ciliul cu aiile fotale A şi lugiea lc t (aică egală cu lugiea cu cae s-a oagat suafaţa A î itealul e ti t) aşa cu se eeită scheatic î figua 7.. Mai eultă şi uătoaele iteetăi: - ua electoagetică laă tasotă cu ea o auită utee ceea ce îseaă că i oagaea ei î ti şi saţiu ua electoagetică oagă eegie electoagetică cu esitatea e olu ată e elaţiile (7.3); - ua electoagetică laă eecită o auită foţă asua eeţilo ce o eflectă Fig. 7. (eeiţâ teceea ei ai eate). Î legătuă cu această ultiă iteetae se oue uătoaea obleă eeită clasică. Pobleă Să se eteie foţa cae acţioeaă asua uui eete ce eflectă (cu u coeficiet e efleie ) o uă electoagetică laă ce cae asua eetelui. Reolae. Foţa f î [N/ ] cae acţioeaă asua uităţii e suafaţă a eetelui este ată e iulsul eegiei electoagetice al uităţii e olu aică S/cw ce se eecită asua eetelui e uitatea e suafaţă e iecţia e icieţă ( cu esoul ): ' ' ' ' f w( N ) + w ( N ) î [N/ ] ue N este esoul oalei la suafaţa eetelui w este esitatea e olu a eegiei uei ' eflectate e eete e o iecţie ată e esoul cae se eteiă cu elaţia w w (ce eultă chia i ifeeţa coeficietului e efleie ). Itoucâu-se ughiul e icieţă θ N (cae este egal şi cu ughiul e efleie ' N ) se obţi: - cooeta oală a foţei (cuoscută î Fiică sub uele e esiue luioasă ): f N f cosθ ( wcosθ + wcosθ) cosθ w( + ) cos - cooeta tageţială a foţei: w( )cosθ si θ. f t 7..4. Poteţiale electoiaice etaate S-au efiit î aagaful 7.. oteţialele electoiaice ecto (A) şi scala (V) ecesa stuiului uelo electoagetice î eii î cae eistă ucte ue q sau Ј q şi Ј costitui aşa-uitele suse e câ. Î egi iaic aloaea oteţialelo it-u uct P (e aă ectoae faţă e o oigie e efeiţă O) şi la u oet t este eteiată e aloaea suselo e câ (q şi J ) it-u uct P al oeiului Ω (fig.7.3) la u oet ateio tt -R/c (ue R este aloaea absolută aei ectoae R PP' şi c este itea e oagae a uei electoagetice) ecalajul fii egal cu tiul ecesa uei electoagetice să se oage i uctul P î uctul P (. fig. 7.3) ceea ce este î aco cu coceţia acţiuii i aoae î aoae. Datoită acestei îtâiei a oteţialelo electoiaice faţă e susele 37 θ
câului electoagetic oteţialul ecto (A) şi cel scala V oată euiea e oteţiale (electoiaice) etaate. Î cotiuae se a aalia acest oces al etaăii oteţialelo electoiaice. Mai îtâi se o soluţioa ecuaţiile uelo electoagetice î eii cu sacii e câ (q şi J ) aică ecuaţiile (7.8") şi (7.9") î coiţiile uui eiu ooge şi ifiit etis folosiu-se otaţiile i figua 7.3. Pi oceeele clasice ale Teoiei ecuaţiilo fiicii ateatice se eteiă soluţia ecuaţiei (7.8") aică ٱ A µ J sub foa: µ A( t) [ J ( t R / c) / R] 4π (7.33) Fig. 7.3 Ω î cae OP şi Ω este oluul oeiului Ω î cae sut istibuite susele e câ electoagetic: J (esitatea e cuet) şi q (esitatea e olu a saciii electice) abele ca fucţii e (e uct) şi e ti t (. fig. 7.3). Soluţia ecuaţiei (7.9") aică V - q /ε este e foa: V ( t) [ q ( t R / c) / R] 4πε. (7.34) Ω Î eesiile eceete (7.33) şi (7.34) ăiile q şi J sut ăii etaate fat cae e obicei se iică i scieea lo îte aatee ete; astfel: J ( t R / c) [ J ] şi q ( t R / c) [ q ]. ste e eacat (.ca.5 şi ca.) că soluţia (7.33) este siilaă eesiei eteiată etu oteţialul agetic ecto A efiit etu câul agetic casistaţioa (î caitolul 5 s-a aătat că µ A ( t ) [ J ( t R / c) / R ] 4π ia soluţia (7.34) este ietică cu eesia Ω eteiată î caitolul etu calculul oteţialului electostatic (şi aue uai î caul q eiilo cu istibuţie e olu a saciii elastice: V ( t) 4πε ). De altfel folosiu-se Ω R aceste eesii ale lui A şi V soluţia (7.34) se stabileşte i alicaea teoeei sueoiţiei (eiul fii liia) î coiţii e sietie a istibuţiei e olu a saciii electice î eiu ooge şi ioto. Soluţia (7.33) se eteiă i cooetele lui A (A A A ) tot i suoiţie. Poteţialele etaate A( t) şi V ( t) ecu şi ăiile etaate ca e eelu [q ] şi [ J ] itei î stuiul aiaţiei uelo electoagetice ouse e oscilatoae electice şi agetice (aşa cu se a aata î aagafele 7..6 şi 7..7). 7..5. Poteţialul ecto a lui et Î uele caui cu este acela al eiilo î cae eistă olaiaţie electică teoaă aiabilă î ti P (t) sau agetiaţie teoaă aiabilă î ti M (t) î cae aceste ăii ot ouce ue electoagetice eiile uiu-se eeitae (eoaece eită feoee e eoie î sesul că staea eetă a eiului ei e stăile tecute) stuiul aiaţiei şi oagăii uelo electoagetice se face ai silu acă se utilieaă etoa oteţialului a 37
lui et cae costă î itouceea uui ecto e ti oteţial uit ectoul lui et (sau oteţialului lui et) ce se oteaă cu Π. Poteţialele electoiaice A şi V sut î buă ăsuă abitae; acă se utilieaă coiţiile e etaloae ale lui Loet (7.7) i cae eultă: εµ V A + V sau A + c atuci se justifică ieiat efiiea oteţialului ecto a lui et Π i cae eiă A şi V i elaţiile: Π Π (7.36 ) A µε sau A c şi (7.36 ) V Π aică V iπ ue Π eifică ecuaţia eoogeă a uelo: P (7.37) Π ε î cae P este ectoul olaiaţiei teoae. Ît-aeă cofo ecuaţiei (7.8 ) A µ J şi atuci îlocuiu-se A i efiiţi lui Π (7.36 ) eulta: () µε Π J µ Da aşa cu s-a aătat î subcaitolul 4. î caul î cae susa e câ q aiaă î ti eultă : D D () q () t id q () t D D( t) eci J D aică esitatea cuetului e elasae. Da D ε + P şi atuci: P P (3) J D ε + J D + J î cae J ue J este esitatea cuetului e olaiaţie electică. Dacă î eiul cosieat eistă î o eaet olaiaţie electică teoaă aiabilă î ti (eiul eeita) atuci cooeta J este eoiată şi îlocuiu-se î elaţiile () e J i J P / eultă: Π P µε µ Π P / ε aică ecuaţia eoogeă a uelo (7.37). Alegâu-se o soluţie oaecae a ecuaţiei ectoiale şi eoogee a uelo (7.37) se oate costui e aici u câ electoagetic osibil (ată fii euicitatea soluţiilo ecuaţiei lui Alebet) aică se ietifică aceea soluţie a ectoului Π eteiâu-se aoi ( saub ) şi ( saud). Câul astfel eteiat este accetabil acă eifică şi coiţia e fotieă sau la ifiit. Mai ult se oate itouce şi u aşa-is atioteţial al lui et otat cu Π lecâu-se e la foa locală a fluului electic D (alabilă uai î eii făă esitate 37
e olu a sacii electice eci cu q ( P) î P Ω ). Sciiu-se D A ceea ce cobiat cu foa locală a cicuitului agetic ( J + D / ) ă (esuuâu-se că eiul este lisit şi e susa e câ esitate e cuet aică J ): D / sau ( A )/ aică A/ ceea ce couce la: ( + A / ). Deoaece cofo legii iucţiei electoagetice ot B / şi cofo efiiţiei oteţialului ecto ( B ot A) se scie şi B A eultă: ( A )/ aică ( + A / ). Câul + A / fii iotaţioal oate fi eiat ca u câ e gaiet şi ca uae ectoul itesităţii câului electic oate fi scis î foa:. V A / ( Π ) µε Π / (4) situaţie î cae î coiţia e etaloae Loet etu atioteţiale lui et (Π ) i elaţiile : A ' µε Π' / şi V ' Π' (5) e ue eultă: D µε Π' / şi Π' µε A' / Π' µε Π' Π '. (7.38) De aici eiese că Π ' tebuie să eifice ecuaţia eoogeă a uelo: M Π ' µ (7.39) ue M este agetiaţia. La elaţia (7.39) se ajuge î felul uăto : - eoaece î uctele lisite e suse ( J şi q ) a şi făă olaiaţie electică ( P ) elaţia (7.37 ) eie: Π a şi Π ' Π µε Π ; (6) -atuci i elaţia (6) cobiată cu (5) eiese : ( Π ) Π ( Π ) (7) căci gav ' A' / ga iπ µε Π ; -a ot B / şi B µ( + M ) ia εotd ceea ce îseă i elaţia (7) că se oate scie : Π ' M µ aică elaţia (7.39). Diesioal se costată că atât elaţia (7.37) cât şi elaţia (7.39) au aceleaşi iesiui şi aue [ U ][ L] sau [V/]. 7..6. Raiaţia oscilatoului electic eleeta Dacă ît-u oeiu Ω (fig.7.4) cosieat liia uifo (ooge şi ioto) şi ifiit etis ît-u uct o Ω eistă u oscilato electic eleeta sub foa uui iol electic 373
l q q q + q ce ae oetul electic ql (.fig.7.4) cae aiaă î ti e eelu alteati : ( t) ( t + kt) atuci se foeaă u oscilato electic eleeta (cu l foate ic ) e tiul celui i figua 7.3 cae ouce î Ω u câ electoagetic aiat ce se oagă î Ω sub foa uo ue sfeice (. 7.. şi fig.7.5c). Poblea cae se ue este eiet aceea a eteiăii acestui câ electoagetic aiat î Ω e i calculaea ăiilo e stae ale câului (P) şi (P) ît-u uct P Ω situat la o istaţă faţă e iol ult ai ae ecât lugiea l a acestuia (>>l) ceea ce se face i eteiaea ai îtâi a oteţialelo electoiaice. Di caua sietiei şi uifoităţi î toate utele P situate e o suafaţă sfeică Σ Ω aflate eci la aceeaşi istaţă (P) e O (aică e ) cofo schiţei i figua 7.4 câul electoagetic a aea itesităţile câului electic (e e o ate)şi a celui agetic (e e altă ate) e aceeaşi aloae absolută ( P) cost. şi ( P) cost. P Σ Ω. Poteţialele electoiaice Alicâu-se elaţia (7.34) i cae se Fig. 7.4 eteiă oteţialul electoiaic scala etaat V se a obţie etu caul i figua 7.4: [ ] [ ] [ ] (RO) ( ) D 4πε q q q V P t 4πε + Σ R î cae Σ este oluul îchis e suafaţa sfeică Σ Ω (luate astfel îcât să cuiă îteg iolul ) ia [ q ][ q ] şi [ q ] sut saciile etaate scise cofo coeţiei e otaţie (7.35) itousă î aagaful 7..4. ste eciat fatul că saciile q şi q ale iolului electic fii e coui uctifoe i Ω atuci [ q ] [ q ] şi [ q ] [ q ]. î Deoltâ î seie î Talo î aot cu şi o aiaţie ultiul tee al elaţiei (RO) atuci cu o aoiaţie e oiul (aică ăstâ uai iii oi teei al seiei) se a obţie i foa geeală f ( + ) f ( ) + f '( ) + f ''( ) +...:!! q t q t q t [ q ] (RO) c c + ( ) c +... şi: q t q t q t [ q ] (RO3) c c + ( ) c +... cu justificaea că l fii foate ic ( I ). Di figua 7.4 eultâ: 374
l l + l şi l cos θ (RO4) (etu că l l cos θ l cos θ ) şi itoucâu-se elaţia (RO4) î (RO3) şi aoi eultatul î (RO) se a obţie : ' q t qt l q t q t ( ) ( ) c c c c c V t P 4πε c 4πε c seul eeetâ eiata uă iecţia aei astfel că: [] [] [ ] q l q l q l ql V + + 3 c 3 4πε 4πε c şi eoaece [ q l ] [ ] oetul electic etaat eultă î efiiti : [ ] [ ] V 3 4πε + (7.4) c ue seificaţia uctului este ceea a eiatei î aot cu tiul ( q q / t şi / t) cae se elica astfel: -la u iol electic e lugie ată aiaţia î ti a oetului electic ql îseaă e fat aiaţia saciilo electice q şi q î ti ; -aiaţia î ti a saciilo q şi q se ouce it-u tasfe e sacii electice e-a lugul iolului itu-u caal ciliic cu aia tasesală ică A îte cele ouă eteităţi uctifoe şi ale iolului(fig.7.5); -î acest fel e-a lugul caalului asociat iolului electic aae u cuet electic cae (cofo coeţiei e see i figua7.5) şi legii Fig. 7.5 coseăii saciii electice ae itesitatea: i q / t q şi i J A' JA (RO5) A A aâ esitatea e cuet J l. Î ceea ce ieşte eteiaea oteţialului electoiaic ecto A se leacă e la eesia (7.33) a oteţialului etaat cae î caul oscilatoului electic eleeta i figua 7.4 şi cu otaţiile i figua 7.5 ă: µ ( ) [ J ] µ [ J ] A P t la 4π R 4π A R cae etu uctul P i figua 7.4 etu cae R eie : q l µ µ [ ] A. (7.4) 4π 4π 375
376 Măiile e stae ale uei electoagetice aiate Aceste ăii sut itesitatea câului electic şi itesitatea câului agetic e cae le o eteia etu utele Ω Σ P iicate î figua 7.4 i iteeiul oteţialelo electoiaice etaate (7.4) şi (7.4) stabilite ateio. Câul electic. esia itesităţii câului electic etu caul i figua 7.4 se obţie utiliâ elaţia (P4)/ 7.. aică: ga / V t A D i calculaea teeilo ei î coiţiile ate (oscilatoul electic eleeta.fig.7.4): j) iul tee (aică eiata oteţialului electoiaic ecto etaat A î aot cu tiul t) este eiata î aot cu tiul a elaţiei (7.4): (RO7) [ ] [ ] 4π µ / 4π µ / t t A î cae t (eiata a oua î aot cu tiul t a oetului electic ); jj) la oilea tee este ga V aică V alicat elaţiei (7.4): (RO8) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 3 4πε 4πε 4 3 5 3 + + + c c c V î cae ( ) [ ] se oate calcula i eiata uă eci şi uai uă o siguă aa (. fig.7.4) aică: (RO9) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. c P c i i i i i i c t i + + +. Î o aseăăto : (RO) ; c P jjj) itoucâu-se eesiile (RO9) şi (RO) î (RO8) se obţie ga V : (RO) [ ] [ ] ; 3 3 4πε ga 3 4 3 5 + + c c c V V j) eeiu-se (RO7) cu (RO) se obţie eesia itesităţii câului electic aică:
377 [ ] ( ) [ ]. 3 3 4πε ga 4πε ga µε 4πε ga 4π µ 3 4 5 + + c c V c V V (7.4) Se costată că acă iolul este costat aică () /. cost t t şi / t atuci elaţiile (7.4) şi (7.4) eeită elaţiile oteţialului electostatic şi esecti itesitatea câului electostatic ous e u iol electic.subca.3.6 alicaţia 3.6. elaţiile (3.64) şi esecti (3.66 ). Câul agetic. esia itesităţii câului agetic etu caul i figua 7.4 se obţie utiliâ elaţia (P) 7.. e efiiţie a oteţialului electoiaic ecto A aică A B D ot ştiiu-se că î caul eiului cosieat iiţial B µ şi ca uae: A ot µ. (RO) Da A ae î acest ca eesia (7.4) şi atuci (RO) eie cofo celo aătate î 9.. elaţia (9.3) : [ ] 4π 4π 4π 4π µ µ ot µ 3 A (RO3) î cae : ot c c t c t (RO4) astfel că a eulta itoucâ e (RO4) î (RO3):. 4π 3 + c (7.43) Ieaţa e uă a eiului. Defiită i elaţia (7.6) acest aaetu otat cu ζ oate fii calculat aşa cu aată eesia (7.7) şi i aotul ite aloile itesităţilo câului electic şi câului agetic. Deteiaea aloilo acesto itesităţi ilejuieşte costataea că ăiile e stae şi ale uelo electoagetice aiate e oscilatoul electic eleeta eteiat i ( ) t au eesiile (7.4) şi esecti (7.43) foate i tei esecti oi teei aajaţi uă
oiul eiatei î aot cu tiul a oetului electic etaat aică uă şi. Dite aceştia teeii ce coţi eiata e oiul oi aiaă (sca) î saţiu (î aot cu istaţa e la iolul electic la uctul P Ω ) ult ai let. Di această cauă la istaţe ai (atât e ai îcât să ajugă î oa uelo i Ω ) câul electoagetic este eteiat î o seificati uai e teeii e oiul oi (otaţi cu şi ) aică e: (7.4 ) 3 4πε c şi (7.43 ). 4π c Aceste elaţii aată (.fig.7.4) că liiile e câ electice sut eiiaele e Σ (aică cele etu cae ughiul ϕ cost. ) şi liiile e câ agetic sut aalele a Σ (etu cae ughiul θ cost. ). Valoile absolute ale itesităţiilo câului electoagetic eultă i eesiile (7.4 ) şi(7.43 ) fii: (7.4 ) si θ 4πε c şi: (7.43 ) si θ. 4π c Cu aceste aloi se ot eteia ieiat ieaţa e uă a eiului: si θ 4πε c µ ζ si θ ε c ε ε 4π c εµ aică eact efiiţia (7.6). Puteea aiată La aloi ai ale lui (aică î oa uelo) aiaţia electoagetică se face cu u tasfe sueficial e utee î [W/ ] at e ectoul Potig (efiit uă cu se ştie i S ) cae se calculeaă î această oă i ousul ite ectoii şi aţi elaţiile (7.4 ) şi (7.43 ) fii: ( ) (7.44 ) S 3 5 6π ε c u ecto cu aloae absolută : 378
[ ] si θ S ( ) (7.44 ) 3 π ε c cae fii eeicula e laul foat e şi (abii aceşti ectoii tageţi la sfea Σ i figua 7.4) este oietat eci e iecţia aei ( S S ). Aceasta îseaă că tasotul e eegie electoagetică se ouce e la iolul oscilato căte eteio sub ughiul S l S θ. De aceea uteea istataee totală î [W] aiată e iolul oscilatoului eleeta se oate calcula ca fii fluul ectoului S i suafaţa sfeică Σ (. fig.7.4) ce îcojoaă iolul aică (. fig. 7.4): Π Π si θ [ ] A S A Sϕθ [ ] ϕθ ϕ si θθ Σ Σ 3 Σ 3 S Σ 6π εc 6π εc eoaece ectoii S şi A au aceeaşi iecţie (şi aue aceea a aei sfeei ). Va eulta î fial : D 379 [ ] [ ] 67π. (7.45) 3 3 6π εc 6πεc Reisteţa e aiaţie l Cosieâu-se iolul q q ca fii o ateă ce aiaă cotiuu ue electoagetice cu esitate e suafaţă a uteii aiate S a tebui să se cosiee că oetul electic q l aiaă siusoial î ti : π () t ( t + kt ) qa si t l T (RA) ue s-a cosieat că saciile electice ale caetelo uctifoe ale iolului ( şi i figua 7.5) aiaă siusoial îte aloile + qa şi qa i tasfe e saciă electică e-a lugul iolului cu o eioaă e eetiţie T ceea ce esuue eisteţa uui cuet alteati siusoial i î lugul iolului (. fig.7.5) at e : q π π π i qa si t qa cos t I a cos ωt t t T t T I cos ω t (RA) ce ae aloaea aiă I a πqa / T şi aloaea efectiă I I a / (. ca.8). Uei eioae e eetiţie T îi coesue i efiiţie o feceţă e oscilaţie f D / T şi o ulsaţie (. ca.8): ω π / T πf. (RA3) Deoaece cofo elaţiei (RO5) i iul subaagaf q q q / t i şi eci ' ( ql) l li (RA4) t t eultă că se oate scie: li li a cos ωt li cos ωt (RA5) t şi:
(RA6) ( li a cos ωt) ωi a si ωt ωli si ωt. t t t Atuci eesia (7.45) a uteii istataee aiată e iolul oscilat (o ateă e lugie l) este: ω l I (RA7) [& &] ω l I si ωt si ωt. 3 3 6πεc 6πεc 3πεc Î elaţiile (RA5) (RA6) şi (RA7) s-a îlocuit [ ] cu şi [ ] cu aică u s-a ai ţiut seaa e etaae eoaece ea (etaaea) u face altcea ecât să itoucă oulele e efaaj î fucţie e (aa a sfeei Σ ) efaaj cae îsă u iflueţeaă aloaea eie a uteii isiate (cae se obţie itegâu-se astfel că aloaea itegalei u este iflueţată e acest efaaj at e etaae ). Puteea eie aiată P se obţie cofo efiiţiei (. ca.8) i itegae e o eioaă e ti T a uteii istataee aiată ată e eesia (RA7): T l I l I 4π f l I P π ω t ωt π ω si ωtωt 3 3 3 T π 3πεc 3πεc 6πεc şi eoaece lugiea e uă λ este eteiată e feceţa oscilaţiilo iolului f i elaţia cuoscută : λ ct c / f atuci : c π l I λ π (7.46) l P. 3 3εc 3εc λ Deoaece î caul uui cuet electic cu aloaea efectiă I u eisto cu eisteţa R isiă uteea (actiă. ca.8): P RI eultă fatul că u eisto ce isiă uteea (actiă) P la u cuet cu aloaea efectiă I ae eisteţa : R P / I. Cuoscâu-se această eesie eultă că eisteţa e aiaţiei a uui iol oscilat R se eteiă cu eesia : π l (7.47) R P / I 3εc λ cae s-a obţiut i îlocuiea lui P cu eesia sa (7.46). Aşa cu se aată î aualul Pea M ş.a (98) etu oscilatoul iola eleeta 8 9 situat î i (etu cae itea e oagae este c 3 /s şi ε ε / 4π 9 F/ ) eultă că eisteţă e aiaţie este: (7.47 ) R 79( l / λ) Ω. Di această ultiă elaţie (7.47 ) ecu şi i elaţia (7.46) eultă că uteea aiată P şi eisteţa e aiaţie R a ateei (asiilată iolului oscilat ) au aloii seificatie uai acă l >> λ aică la feceţe îalte : f c / λ (cu λ ic). Da acă l (lugiea ateei e eisie) este ae atuci atea u ai oate fii cosieată u iol (etu că i efiiţie q l l şi q ). Î Pea M ş.a (98) se ă uătoul eelu: e-a lugul uei atee liiae cu îălţie h alietată î cuet siusoial e îaltă feceţă aloae efectiă a cuetului aiaă î lugul ateei aică I() aşa ca î figua 7.6. Fig. 7.6 Atea i figua 7.6 oate fi escousă ît-u şi e 38