PRELEGEREA VI STATISTICĂ MATEMATICĂ I. Variabile aleatoare 6. Repartiţia şi desitatea de probabilitate a uei variabile aleatoare Caracteristica, variabila studiată di ştiiţele eperimetale se modelează î teoria probabilităţilor cu ajutorul variabilelor aleatoare. De eemplu, îtr-u studiu atropometric, a spue că studetul X are îălţimea de.70 m, îseamă că mai îtîi s-a selectat studetul X (s-a realizat eveimetul) şi apoi s-a făcut măsurarea (o valoare s-a atribuit eveimetului). Această mărime, îălţimea studetului, este o variabilă aleatoare. Pri urmare, o variabilă se umeşte aleatoare dacă, î cazul mai multor eperimete efectuate î aceleaşi codiţii, aceasta primeşte valori diferite. Teoretic, o variabilă aleatoare se caracterizează pri valorile primite şi probabilităţile de apariţie a acestor valori. Mulţimea formată di perechile ordoate valoare probabilitatea corespuzătoare valorii respective defieşte repartiţia (distribuţia) variabilei aleatoare. Vom ota cu majuscule bold variabilele aleatoare, X, Y, Z etc., evetual, cu idici, acolo ude este cazul şi cu litere mici corespuzătoare valorile primite. Vom distige două cazuri: a) Cazul fiit. Fie (Ω, P(Ω), P) u spaţiu de probabilitate fiit, ude Ω = {ω, ω 2,, ω }, ω, ω 2,, ω fiid eveimete elemetare. Defiiţia 5... Orice fucţie defiită pe Ω cu valori reale, X : Ω R, se umeşte variabilă aleatoare discretă (cu prescurtarea v.a.d.). V.a.d. u poate lua decît u umăr fiit de valori îtregi şi eegative. De eemplu, î eperieţa arucării cu u zar ideal, rezultatul pe care îl obţiem este o v.a.d, X : Ω R. X poate lua umai valori discrete, i =, 2, 3, 4, 5, 6, ude i =, 2, 3, 4, 5, 6, iar P(X = i ) =. Suma tuturor probabiulităţilor P(X = i ) este egală cu. 6 Deci, fiecărui eveimet elemetar ωi i se asociază u umăr real X(ω i ). Cum aceste umere u sît î mod ecesar disticte ître ele, vom ota cu, 2,,,, valorile disticte luate de v.a. X. Se otează cu: Ai = {ω X(ω) = i }, i =, 2,, acele eveimete, u eapărat elemetare, petru care v.a.d. X primeşte valori diferite. Altfel spus, A i coţie toate eveimetule a căror realizare coduce la luarea valorii i de către v.a.d. X. Familia {A, A 2,, A } formează o partiţie a mulţimii de bază Ω, umită partiţia idusă de v.a.d. X. Orice eveimet elemetar aparţie uui eveimet A i şi umai uuia sigur. Plecîd de la u eveimet A, după cum se observă î figura de mai jos, se pot evideţia cele două oţiui studiate, legate de acesta, probabilitatea eveimetului A, P(A) şi valoarea X(A), asociată pri itermediul v.a.d. X.
eveimet A P probabilitatea lui A, P(A) X f valoarea v.a.d. X, X(A) Figura 6... Tipuri de corespodeţă Legătura marcată pri liie puctată precizează că v.a.d. X ia valori cu aumite probabilităţi, şi aume cu probabilităţile cu care se realizează eveimetele asociate valorilor lui X. Astfel, se poate cosidera fucţia de probabilitate (sau legea de probabilitate, repartiţia de probabilitate) a v.a.d. X, care se defieşte î modul următor: f : {, 2,, } [0, ], ude f( i ) = P(A i ), i =, 2,,. Fucţia de probabilitate a v.a.d. X se otează fie 2... X:, ude p( i ) = f( i ) reprezită probabilitatea cu p p2 p care X ia valoarea i, fie pi = P(X = i ), i =, 2,,. Reprezetarea grafică a repartiţiei de probabilitate se face î felul următor: pe abscisă se reprezită valorile posibile ale v.a.d., iar pe ordoată probabilităţile corespuzătoare. De eemplu, fucţia de probabilitate a variabilei X defiită, î eperieţa arucării cu u zar ideal, se prezită î tabelul6.., iar reprezetarea ei grafică î figura 6..2. i 2 3 4 5 6 P(X = i) 6 6 6 6 6 6 Tabelul 6... Distribuţia variabilei discrete X Dacă se cosideră lăţimea dreptughiurilor formate egală cu uitatea, atuci suma ariilor dreptughiurilor este egală cu, după cum se observă î figura de mai jos. 6 0 2 3 4 5 6 i Figura 6..2. Reprezetarea grafică a fucţiei de probabilitate a v.a.d. X Următoarele proprietăţi ale fucţiei de probabilitate rezultă imediat di defiiţia şi proprietăţile probabilităţii: ) f( i ) 0, i =, 2,, ;
2) f ( i ) = P( X = i ) = P(Ω) =. Iterpretarea celor două relaţii este asemăătoare cu cea de la frecveţe relative, adică de a fi eegative şi de a avea suma egală cu. Noţiuii de frecveţă relativă cumulată îi corespude fucţia de repartiţie a v.a.d. X, defiită astfel: F : R R, F() = P(X ), ude pri X s-a otat eveimetul: {ω X(ω) }, adică reuiuea acelor eveimete elemetare petru care v.a.d. ia valori mai mici sau egale cu. Fucţia de repartiţie a v.a. X are ca valoare, îtr-u puct oarecare, probabilitatea ca v.a.d. să ia valori mai mici sau egale cu. Di relaţia P(X ) = P ( Ai ), rezultă că suma tuturor probabilităţilor i eveimetelor A i determiă valorile v.a.x mai mici sau egale cu. Altfel spus, itervi probabilităţile cumulate. Grafic, fucţia de repartiţie a variabilei X defiită mai sus, î eperieţa arucării cu u zar ideal, se prezită ca o fucţie î trepte care coţie pucte de salt: F() 3/6 2/6 /6 0 2 3 6 Figura 6..3. Reprezetarea grafică a fucţiei de repartiţie a v.a.d. X Probabilitatea ca umărul pe care îl obţiem la arucarea uui zar să fie mai mică decît este zero, F() = P(X < ) = 0. Cotiuîd, vom avea: F(2) = P(X < 2) = P(X = ) = f() = 6 ; F(3) = P(X < 3) = P(X = ) + P(X = 2) = 6 + 6 = 3 ; F(4) = P(X < 4) = 3 4 F(5) = P(X < 5) = 5 F(6) = P(X < 6) = 6 F(>6) = P(X < ) = P(X = i) = 2 ; P(X = i) = 3 2 ; P(X = i) = 6 5 ; P(X = i) = ;
F(- ) = 0 şi F(+ ) =. Deci, suma tuturor salturilor este egală cu. Defiiţia 6..2. Două variabile aleatoare discrete X şi Y defiite pe o aceeaşi mulţime de bază Ω sît idepedete dacă eveimetele partiţiilor iduse de X şi Y sît idepedete două cîte două, adică petru orice i şi j are loc: P(X = i Y = y j ) = P(X = i ). P(Y = y j ). Se observă că, v.a.d. X şi Y iau valori idepedete ua de alta. Defiiţia se poate geeraliza la u umăr edetermiat de v.a.d. b) Cazul ifiit umărabil. Fie (Ω, K, P) u spaţiu de probabilitate. Defiiţia 6..3. Orice fucţie defiită pe Ω cu valori reale, X : Ω R, care satisface codiţia {ω X(ω) } K, oricare ar fi R, se umeşte variabilă aleatoare cotiuă, sau, pe scurt, variabilă aleatoare sau v.a. Codiţia pusă î defiiţie eprimă faptul că mulţimea eveimetelor elemetare petru care v.a X are valori mai mici decît, oricare ar fi, trebuie să fie tot u eveimet. Î cazul ifiit, are ses să cerem că v.a. X să aparţiă uui iterval, şi u probabilitatea să ia o aumită valoare. Această iterpretare este apropiată de practica eperimetală, deoarece, de eemplu, şasa de a găsi u idivid cu îălţimea de eact.75 m este aproape ulă dacă măsurarea se face cu eroare zero. De obicei, pritr-o asemeea valoare se îţelege u îtreg iterval de îălţimi, toate acelea care pri rotujire la două zecimale devi.75m. Această variabilă fiid susceptibilă de a lua o ifiitate umărabilă de valori, u se poate reprezeta pritr-o diagramă cu bare, ci pritr-o curbă de distribuţie. Fucţia de repartiţie a v.a. X se defieşte la fel ca î cazul fiit: F() = P(X ), ude pri X s-a otat eveimetul {ω X(ω) } (aici, eveimetele elemetare, fiid o ifiitate, ele u se pot decît cel mult eumera). Probabilitatea ca v.a. X să fie cuprisă îtr-u iterval foarte mic d cetrat î 0 este : d d P((0 - ) < X < ( 0 + )) = f( 0 )d = df( 0 ), 2 2 ude f(0) este ordoata curbei î puctul de abscisă 0. Se observă că, f() este derivata fucţiei de repartiţie. Ivers, F() este itegrală di f(). Dacă eistă, fucţia f se umeşte desitatea de probabiliate a v.a. X. Pri coveţie, P( mi X < ma ) =, ude mi şi ma sît valorile etreme ale lui X. De cele mai multe ori, acestea sît - şi +. Defiiţia 6..4. Fucţia de repartiţie este absolut cotiuă, dacă eistă o fucţie reală f : R R, astfel îcît F() = f ( u) du.
Grafic, fucţia de repartiţie se iterpretează ca fiid: mărimea graficul fucţiei f di figura de mai jos: ariei de sub d f f( 0 ) mi 0 2 ma Figura 6..4. Reprezetarea grafică a fucţiei de repartiţie a uei v.a.cotiue Deci, F( 0 ) = (X 0 ) este porţiuea haşurată de arie de sub graficul fucţiei f() şi î stîga dreptei = 0. Ca şi î cazul fiit, desitatea de probabilitate a v.a. X are următoarele două proprietăţi: + ) f() 0, oricare ar fi ; 2) f ( u) du =. Pricipalele proprietăţi ale fucţiei de repartiţie sît: ) 0 F() ; 2) F este edescrescătoare (dacă < 2, atuci F( ) F( 2 )); 3) lim F() = 0, cîd - şi lim F() =, cîd + ; 4) P( X < 2 ) = P(X < 2 ) P(X ) = F(2) F( 2 ) = f ( u) du, dacă F este fucţia de repartiţie absolut cotiuă a v.a. X. Prima proprietate rezultă di defiiţia uei probabilităţi, a doua arată că probabilitatea uui eveimet u poate să scadă dacă se reueşte cu u alt eveimet, a treia precizează probabilitatea eveimetului sigur şi respectiv a celui imposibil, iar ultima egalitate se utilizează la calculul probabilităţilor, atuci cîd se cuoaşte fucţia de repartiţie. Î situaţia variabilelor aleatoare cotiue, repartiţia cu largi aplicaţii î domeiul practicii este repartiţia ormală, care va fi studiată mai tîrziu, împreuă cu repartiţiile ormal ormată, log-ormală, χ 2, Fisher-Sedecor, Studet, biomială, etc. II. Repartiţii teoretice Repartiţia (distribuţia) uei v.a. costituie caracteristica de bază a v.a. respective, îţelegîd pri aceasta fie repartiţia ei de probabilitate, fie desitatea ei de repartiţie. De aceea, uele repartiţii teoretice au o mare importaţă î practică, deoarece pot costitui modelul comportării uor date observabile di care, utilizîd calculul de probabilităţi, pot fi trase cocluzii foarte probabile şi luate decizii corecte î domeiul eplorat. Cele mai importate rămî repartiţia Beroulli şi etesiile ei petru cazul discret şi repartiţiile Gauss-Laplace şi ormal ormată petru cazul cotiuu.
6.2.. Repartiţia biomială Repartiţia biomială (repartiţia Beroulli sau repartiţia ewtoiaă sau legea alterativei simple) se defieşte petru o variabilă aleatoare discretă şi are ca puct de plecare schema bilei reveite: Îtr-o ură se află î total N bile albe şi egre. Probabilitatea de a etrage o bilă eagră este p (eveimetul E) şi rămîe aceeaşi pe toată perioada eperimetului. O bilă etrasă se repue î ură (adică, o etragere eeahustivă sau o ehaustivă). Se cere probabilitatea ca î urma a etrageri să se obţiă bile egre (desigur, - vor fi albe), adică eveimetul E să apară (să se realizeze) de ori şi de - să u apară (v.a X). Valoarea maimă a lui fiid. Operaţia de obţiere a uui rezultat îtr-o astfel de schemă, şi u umai, poartă deumirea de îcercare (o probă), iar o suită de îcercări formează u eperimet. Î modelarea uei v.a. discrete după o repartiţie biomială trebuie să se respecte codiţiile: - variabila trebuie să fie dihotomică, adică să primească doar două valori (alb/egru, bu/rău, bărbat-femeie, rece/cald, cifra /tot ceea ce u este cifra/, etc.), otate cu succes/isucces; - procedura de obţiere a îcercărilor (probelor, etragerilor) trebuie să fie aceeaşi pe toată durata eperimetului; - îcercările trebuie să fie idepedete ître ele (probele u se pot iflueţa reciproc); - probabilităţile asociate valorilor succes/isucces trebuie să fie aceleaşi de-a lugul eperimetului. Se otează cu p = P(succes) (adică, probabilitatea obţierii uei valori de succes), iar cu q = P(isucces) = p (deci, p + q = ). Fie X o variabilă aleatoare repartizată biomial. Valorile ei posibile reflectă umărul de succese apărute îtr-u eperimet cu îcercări succesive. Acestea pot fi: 0,,,. Î codiţiile date, se demostrează că probabilităţile ca X să primească aceste valori sît date de epresia: P(X = ) = C p q -, = 0,, 2,,. De eemplu, presupuîd că î îcercări de etragere a bilei di ură s-au obţiut î ordiea: NANNAAAN. Fiecare di cele etrageri succesive fiid idepedete, probabilitatea etragerii complete î această ordie este egală cu produsul probabilităţilor elemetare (pricipiul probabilităţii compuse), adică: p.q.p.p.q.q.q.p = p.q -. Tiîd cot că umărul de permutării cu repetiţii î arajarea a două tipuri de obiecte, bile egre şi bile albe, este umarul de combiări C. Probabilitatea căutată este: P(X = ) = C p (-p) -, = 0,, 2,,. Se otează P(X = ) cu P(; ) sau P(), iar repartiţia biomială cu parametrii şi p, Bi(; p), ude, p şi q au semificaţiile de mai sus. Observaţii.. Cîd p = q = 0.5, formula se simplifică şi devie: P(X = ) = C 0.5. Este cazul jocului cap sau pajură; 2. Dacă N este suficiet de mare, (N > 0.), atuci e putem dispesa de codiţia de a repue î ură bila etrasă, etragerea fiid cosiderată ehaustivă; 3. Dacă etragerea este ua ehaustivă, atuci se aplică legea hipergeometrică.
4. Valorile repartiţiei biomiale sît tabelate petru diferite valori ale lui şi p. Proprietăţi.. M(X) = µ = p. Epresia mediei se obţie plecîd de la dezvoltarea biomului lui Newto şi cosiderîd idetitatea: (p + q) C p q = P ( ). = 0 = 0 Derivîd idetitatea î raport cu se obţie: = 0 = 0 P ( ).p. (p + q) -. Apoi, egalîd pe cu, avem: P ( ) =.p. Fucţia (p + q) se umeşte fucţia geeratoare a legii biomiale. 2. D 2 (X) = σ 2 = µ 2 = pq = p( p); 3. σ = pq ; 4. Petru calculul mai uşor al probabilităţii P () se foloseşte formula de p recureţă: P (+) =. P (); + p 5. Moda (valoarea domiată sau valoarea cea mai probabilă) este partea îtreagă a epresiei p.(+) : p.(+) < Mo < p.(+). Această valoare se obţie ţiîd cot de defiiţia modei: Mo > P(Mo ) şi Mo > P(Mo + ); 6. Fucţia de probabilitate este: 0 2... X:. 0 0 2 2 0 C p q C p q C p q... C p q Se observă că î liia a doua apar epresiile termeilor di dezvoltarea biomului (p + q) ; 7. Fucţia de repartiţie (sau probabilităţile cumulate) este: F() = P( ; ) = C = 0 = 0 p q, R. Graficul fucţiei de repartiţie este specific uei distribuţii î trepte (o histogramă). Dacă p = q = 0.5, graficul este simetric. Î caz cotrar, este asimetric, asimetria fiid dictată de disproporţia ditre p şi q. P(8; ) P(5; ) 0.3 0.2 0. 0 0 2 3 4 5 6 7 8 0 2 3 4 5 Figura 6.2... Distribuţiile biomiale Bi(8; 0.5) şi Bi(5; 0.8) 8. Petru aplicaţii, valorile celor două fucţii sît tabelate.
Aplicaţii.. Care este probabilitatea ca să se obţiă 2 de 3 şi o altă cifră, atuci cîd se arucă 3 zaruri? Î arucarea uui zar, eistă două posibilităţi: a) să se obţiă faţa 3 cu probabilitatea de p = 6 ; b) o altă cifră diferită de 3 cu probabilitatea de p = 6 5. Se aplică legea biomială petru = 3 şi = 2: P(X = 2) = = 0.07, µ =.p = 3. = 0.5, 2 C 3. (/6) 2 (5/6) 6 σ 2 5 =.p.q = 3.. = 0.08. 6 6 2. Ştiid că u lot de produse coţie 8% piese defecte. Care este probabilitatea ca etrăgîd 0 piese să se obţiă mai mult de 2 (mai mult de 20%) piese defecte? De fapt, se cere să se afle P( > 2) sau P( 3) sau îcă P( 2). Etrăgîd di tabela cu probabilităţi cumulate corespuzătoare legii biomiale petru = 0 şi p = 8%, se obţie: P( 2) =0.9599. Deci, probabilitatea ca etrăgîd 0 piese să se obţiă mai mult de două piese defecte este egală cu: 0.9599 = 0.040. Observaţie. Petru u umăr suficiet de mare de observaţii, repartiţia biomială Bi(, /2) poate fi folosită, mai ales, î două tipuri de aplicaţii; - verificarea apropierii măsurătorilor efectuate de o repartiţie ormală, î situaţia î care datele sît grupate îtr-u umăr de clase; - gradarea uei scale cotiue petru o variabila care se presupue ca este cotiuă şi petru care eistă u umăr suficiet de mare de observaţii, itervalele claselor fiid cosiderate egale ître ele. Aplicaţie. Repartizarea î clase se face ţiîd cot de umerele coţiute î triughiul lui Pascal: o clasă: 2 clase: 3 clase: 2 4 clase: 3 3 5 clase: 4 6 4. Trei reguli stau la baza costrucţiei triughiului: - prima liie are u sigur ; - o liie ulterioară îcepe şi se îcheie cu ; - u umăr itermediar se obţie ca suma celor două umere situate pe liia aterioară deasupra şi la stîga. De eemplu, 250 de observaţii petru o variabilă repartizată ormal pot fi distribuite î 5 clase, astfel: a b c d e a + b + c + d + e = = = = = = 4 6 4 + 4 + 6 + 4 + efectivele căutate. Se obţi: a = e = 5.62 = 5.62; b = d = 4 5.62 = 62.48; 250 6 = 5.62, otîd cu a, b, c, d şi e
c = 6 5.62 = 93.72. Pri rotujire cu adaos, avem: a = 6, b = 62, c = 94, d = 62, e = 6. Aceste rezultate pot fi utilizate î teste de comparare petru a decide dacă repartiţia variabilei studiate se ajustează pritr-ua ormală. 6.2.2. Repartiţia biomială modificată Dacă se cosideră ca v.a. umărul de defecte () ditr-u eşatio, ude frecveţa (f) de defecte ditr-u eşatio de dimesiue este: f =, atuci v.a f urmează o lege biomială cu media: µ = p şi abaterea medie pătratică: σ = 6.2.3. Etesii ale legii biomiale p.q. 6.2.3.. Repartiţia multiomială Am văzut că v.a care urmează o lege biomială trebuie să fie dihotomică. Lărgirea acestei codiţii se adresează etragerilor o ehaustive efectuate asupra uor populaţii cu mai mult de 2 categorii de obiecte. Fie o populaţie cu categorii î proporţiile p, p 2, p 3,, p asupra căreia se efectuează o etragere o ehaustivă de obiecte.. Evidet: p + p 2 + p 3 + + p = şi + 2 + 3 + + =. Probabilitatea ca cele obiecte să fie repartizate î: - obiecte di categoria (), - 2 obiecte di categoria (2),.. - obiecte di categoria () este dată de legea multiomială:! 2 P(, 2,, ) = p p 2 p.! 2!...! Aplicaţie. O ură coţie 30% bile egre, 20% bile albe şi 50% bile roşii. Care este probabilitatea ca, efectuîd o etragere o ehaustivă de 6 bile, să se obţiă 3 bile egre, 2 bile albe şi o bilă roşie? Se utilizează legea multiomială: 6! P(3 N, 2 A, R ) = 0.3 3. 0.2 2. 0.5 = 0.0324. 3!2!!