Univerzitet u Nišu Fakultet zaštite na radu. Dejan M. Petković. Elektromagnetna zračenja Sveska III ELEKTROMAGNETIZAM. Niš, 2016.

Transcript

1 Univezitet u Nišu Fkultet zštite n du Dejn M. Petković Elektomgnetn zčenj Svesk ELEKTROMAGNETZAM Niš, 6. godine

2 Auto D Dejn (Miln) Petković, edovni pofeso Fkultet zštite n du, Niš Nslov Elektomgnetn zčenj, Svesk ELEKTROMAGNETZAM Pvo izdnje, Niš, Apil 6. zdvč Fkultet zštite n du, Niš 8 Niš, Čnojević Z izdvč Dekn fkultet, d Momi Pščević, edovni pofeso Recenzenti D Slvoljub Aleksić, edovni pofeso, Elektonski fkultet, Niš D Dejn Kstić, vnedni pofeso, Fkultet zštite n du, Niš Odlukom Nučno-nstvnog već Fkultet zštite n du u Nišu, kvlifikovno ko osnovni udžbenik. Tehničk obd Auto Koice Rodiljub Avmović Fkultet zštite n du, Niš Štmp Unigf-X-opy, Niš Tiž pimek SN

3 Ljiljni, Milici i Mijni

4

5 Sdžj MAGNETOSTATKA Uvod u mgnetizm 5 Öestedovi ekspeimenti 6 Ampèeovi ekspeimenti 7 Mgnetn sil i mgnetno polje 9 Zkon sile Moment sil n stujnu kontuu 4 Mgnetni dipol 5 Mgnetni dipolni moment 6 Obitlni mgnetni moment elekton 4 7 Mgnetni moment kužne kontue 5 8 Mgnetni dipolni moment kužne ploče 5 9 Mgnetni moment sfene ljuske 6 Mgnetni moment msivne sfee 6 Elektomgnetn ili Loentzov sil 8 Elektomgnetn sil i Hllov efekt 9 Nlektisn čestic u homogenom mgnetnom polju 4 Elekton u ukštenom elektomgnetnom polju 5 Thompsonov ekspeiment i mseni spektomet 6 Fluks vekto mgnetnog polj 4 7 Zkon o konzevciji mgnetnog fluks 4 8 Mgnetne sile ne vše d? 5 9 Ampèeov zkon 7 Polje mgnetne sile nije konzevtivno? 8 iot-svtov zkon 9 Ampèe i iot-svt 4 Mgnetno polje koksijlnog vod 4 4 Mgnetno polje solenoid i tous 44 5 Mgnetno polje u ekscentičnoj šupljini 45 6 Mgnetno polje stujnog plšt 45 7 Mgnetno polje pve stujne niti Mgnetno polje pve stujne niti Mgnetn sil između dv stujn element 48 Mgnetno polje i sile dve plelne stujne niti 49 Jedinic z jčinu stuje - mpe 5 Pvougon stujn kontu 5 Mnogougon i kužn stujn kontu 5 4 Mgnetno polje kužnog luk i polupve 5 5 Mgnetno polje n osi mnogougone kontue 5 6 Mogućnost pocene jčine mgnetnog polj 54 7 Helmholtzovi i gdijentni klemovi 55 8 Mgnetno polje n osi solenoid 57

6 9 Mgnetni vekto potencijl 59 4 Mgnetni vekto potencijl pvog povodnik 6 4 Mgnetni vekto potencijl pve stujne niti 6 4 Anlogij između stujne niti i nelektisne niti 6 4 Ampèe-Lplce-iot-Svtov zkon Kužn stujn kontu - mgnetni dipol Mgnetni vekto potencijl solenoid MAGNETNO POLJE U MATERJ Mgnetno polje u mteiji - mgnetizcij 7 47 Vezne stuje Anlogij između mgnetnog i elektičnog dipol Uopšteni Ampèeov zkon i mgnetizciono polje 77 5 Linene mgnetne sedine 78 5 Homogeno nmgnetisn sfe 79 5 Vezne stuje u pvom povodniku 8 5 Mgnetno polje solenoid - elektomgnet 8 54 Gnični uslovi 8 55 Dijmgnetici, pmgnetici i feomgnetici Mgnetn susceptibilnost dijmgnetik Feomgnetici uieov tempetu Mgnećenje feomgnetik 87 6 Histeezis 88 6 Podel feomgnetik 89 6 Teoem lik u vnom feomgnetnom ogledlu 9 6 Uopštenje teoeme lik 9 64 Mgnetni skl potencijl i mgnetne pseudomse 9.65 Homogeno nmgnetisn štp - stlni mgnet Solenoid, stlni mgnet i elektomgnet Sfe od linenog mgnetik u homogenom polju Sfe od (feo)mgnetik u homogenom polju Psivn mgnetn zštit 7 Efiksnost mgnetne zštite 7 Mgnetno polje plnete zemlje 7 Mgnetn otponost i Hopkins'Rowlndov zkon 5 7 Tousni nmotj pvougonog popečnog pesek 6 74 Linen mgnetn kol i linen elektičn kol 7 75 Nelinen mgnetn kol 8 PROMENLJVA POLJA Michel Fdy Fdyev fomulcij elektomgnetne indukcije Fdy -Llentz - Neumnnov zkon 4 76 Zkon elektomgnetne indukcije 5

7 77 Dinmičk indukcij nije indukcij? 6 78 Model geneto jednosmenog npon Model moto jednosmene stuje 8 8 Slobodn pd kontue u mgnetnom polju 8 8 Reltivno ketnje kontue u mgnetnom polju 9 8 Fluksmet 8 Model gento nizmeničnog npon 84 Model geneto jednosmenog npon - 85 Dug Mxwellov jednčin 86 ndukovno elektično polje - beskončn solenoid 87 Fluksevi dve koksijlne kužne kontue 4 88 nduktivnost i Neumnnov fomul 5 89 Međusobn induktivnost dve kužne kontue 7 9 Smoinduktivnost i kužn kontue 9 9 nduktivnost pvih plelenih odsečk 9 Dvožični vod i dv dvožičn vod 9 Koksijlni solenoidi 94 Model tnsfomto 4 95 Enegij mgnetnog polj 5 96 Enegij solenoid 9 97 Unutšnj induktivnost pvog povodnik 4 98 Podužn induktivnost koksijlnog vod 4 99 Enegij spegnutih kontu 4 Stuj u kolu s otponikom i klemom - RL kolo 44 Pžnjenje kondezto peko klem - L kolo 46 Otponik, klem i kondenzto - RL kolo 47 Enegij i sil 49 4 Noseć sil (elekto)mgnet 5 5 Povšinski efekt 5 6 Efekt vtložnih stuj 56 7 Ffekt blizine 58 8 Uslovi kvzisttičnosti mgnetnog polj 59 9 Pv Mxwellov jednčin 6 Sistem Mxwellovih jednčin 6 PRLOZ A Zbunjujući nzivi z mgnetno polje 67 Ktk istoij mgnetizm 68 Gustin enegije pemnentnih mgnet 7 D Osnovne jednčine kinemtike 7 E zčunvnje potpunih eliptičkih integl 7 ndeks imen 7 Litetu 75

8 Mijn Rdić, 6

9 Pedgovo Moj osnovn idej je d, koz seiju Sveski iz oblsti elektomgnetike, studentim i inženjeim pužim kompletnu litetuu potebnu z temeljno poučvnje poblem elektomgnetnih polj. Ped čitocim je teć Svesk. Elektomgnetizm sm npiso ko knjigu kkvu bih j želeo d koistim, knjigu u kojoj bih u tenutku ponšo bš ono mi je potebno, knjigu u kojoj nem objšnjvnj onog što je očigledno, knjigu bez nejsnoć, knjigu koj je vodič koz tjenstveni svet elektomgnetnih polj, knjigu koj se može čitti peko ed. Tudio sm se d npišem knjigu koj se može čitti ko ukštene eči. Vetiklno, poučvjući smo glvne teme, i hoizontlno, zđujući jednu temu. Tkođe, tudio sm se d knjigu npišem ktko i sžeto je znm d nemm pvo d čitocim oduzimm veme. Elektomgnetizm sm npiso n pgu izuminj klsične elektomgnetike. Dns, većin inženje, li i student, sve pobleme elektomgnetike ešv upotebom gotovih pogmskih pket koji su zsnovni n metodu končnih element. J nem ništ potiv tog, li smtm d tkve lte teb koistiti smo z vizuelizciju ešenj, nikko ko jedini put z ešvnje poblem. To je neosvetljen put n kome se fizičk stvnost ne vidi. Tekst će moći d se nđe i n desi sve dok neko dugi ne bude odlučio dugčije. U Nišu, Usks, 6. godine,

10

11 MAGNETOSTATKA

12 Mijn Rdić, 6

13 Uvod u mgnetizm Pem nekim podcim Kinezi su sznli z mgnet negde 4 godin pe nove ee, d komd jedne ude pivlči sitnije komde gvožđ bilo je poznto još u devnoj Gčkoj. Rud je nzvn mgnetit ( Fe O 4 ), cel pojv mgnetizm, pem gdu Mgnezij u Mloj Aziji u čijoj blizini su bil nlzišt ove ude. Pimetili su d gvozden šipk koj je bil u kontktu s mgnetom dobij pivlčn svojstv. O odbojnim pojvm nigde se ne govoi. Odbojne sile nisu mogle d se uklope u Aistotélēsovo učenje i učenje njegovih sledbenik. Tek u V veku nove ee odbijnje kod mgnet pominje hišćnin Jovn Filopon, li nelektisn tel i mgneti nisu ničim povezivni. Api su u X i X veku helenističk učenj o kvlitetu pivlčenj skoo neizmenjen peneli u Evopu. Međutim, peneli su i zblude. Md o mgnetu nem mnogo pouzdnih zpis, ostlo je d mgnet gubi pivlčn svojstv ko se potlj belim lukom. To se uklplo u opštu teoiju kvlitet, je u ovom slučju dolzi do pomene kvlitet. Kko je u to veme komps bio u edovnoj upotebi, nvigtoim n bodovim je bilo zbnjeno d jedu beli luk. Dob enesnse je izuzetno znčjno z mgnet (komps) zbog inteesovnj z dlek putovnj. Teb izdvojiti d je Pot pvi upotebio gvozdene opiljke d bi n listu htije nčinio sliku linij sil i d je pvi koji tvdi d beli luk ne utiče n mgnet. U Gilbetovom učenju pominju se seveni N (Eng. Noth-seve) i južni S (Eng. South-jug) mgnetni pol i ukzuje se n osobinu d se istoimeni polovi odbijju, znoimeni pivlče. Sličnost mehničkih pojv kod mgnet i nelektisnih tel dovel je do ideje o postojnju mgnetnih ms koje su spoeđene oko polov. Međutim, pozitivn i negtivn nelektisnj je bez teškoć moguće zdvojiti, mgnetne mse nikko, n pime lomeći mgnetni štp do njsitnijih komd. Tko je Gilbet došo do ssvim pogešnog zključk d su elekticitet i mgnetizm slične pojve, li d nemju nikkve međusobne veze. Fiziči su upono ukzivli n zlike između elekticitet i mgnetizm i tko je ostlo sve do XV vek. Tek td je počel d se jvlj idej o vezi između elektičnih i mgnetnih pojv. Pimećeno je d z veme oluje mgnetn igl komps ili osciluje u svim pvcim ili se ukoči m u kom položju d se nlzi. Zhvljujući Fnklinu i njegovom ekspeimentu s zmjem od ppi kog je pušto u oblke z veme oluje, zgonetk mgnet postće pedmet poučvnj mnogih fizič.

14 6 Dejn M. Petković Öestedovi ekspeimenti Poblem mgnet pivuko je pžnju dnskog piodnjk i lek Öested Stlno smo u iskušenju d upoeđujemo mgnetne i elektične sile. Velik sličnost između elektičnih i mgnetnih pivlčenj i odbijnj i sličnost njihovih zkon nužno nmeće tkvo upoeđenje Öested je do svog otkić došo ssvim slučjno tokom jednog pedvnj koje čk nije ni bilo posvećeno zmtnju veze elekticitet i mgnetizm. Međutim, nipošto se ne di o slučjnosti, je je on veovo d tkv vez postoji i očekivo je d je nđe. Öested je ispod i iznd mgnetne igle običnog komps postvio bknu žicu koj stoji u istom pvcu ko i igl komps, tj. u pvcu seve-jug. Kjevi žice bili su spojeni s polovim glvnske bteije. Čim je koz žicu počel d teče elektičn stuj, igl je npustil svoj položj i stl pod pvim uglom u odnosu n žicu. Dovoljno je bilo d se pekine vez s bteijom d bi se igl vtil u svoj pvobitni položj. Öested je n osnovu svojih ekspeiment došo do zključk d elektičn stuj oko povodnik izziv neku silu koj deluje n mgnet. Öestedov glvni d 'Ekspeiment o uticju elektične stuje n mgnetnu iglu' je n ltinskom jeziku objvljen jul 8. godine. Već vgust mesec Öested objvljuje novi d pod nzivom 'Novi elektomgnetni ekspeiment', tj d sdži i dv nov ezultt. ste godine Dvyje upozno Fdy s ovim dom, koji će biti od pesudnog znčj kko z smog Fdy tko i z ostle nučnike kojim je Öestedov ekspeiment poslužio ko postult z dlj nučn otkić. Öested uzim bteiju i stujno kolo ztv kužnom kontuom. Tkvo stujno kolo se ponš ko mgnet s sevenim i južnim polom. Öested pinosi tkvom stujnom kolu dugi mgnet zbog čeg dolzi do otcije, što je ssvim očekivn intekcij dv mgnet. Rd Novi elektomgnetni ekspeiment je osto u senci njegovog glvnog del, tko d se ponšnje stujnog kol ko mgnet ksnije suseće tek kod Ampèe.

15 Elektomgnetizm 7 Ampèeovi ekspeimenti Št je zjedničko između elekticitet i mgnet? - bilo je pitnje koje je postlo još već misteij posle Öestedovih ekspeiment. Oko ešvnj te zgonetke je otpočelo tkmičenje nučnik. Fncusk je u to veme u nuci pednjčil. Ago je 84. godine otkio d otijući bkni disk pome iglu komps koj je iznd disk. Nije pimetio d postoji i supotn efekt, tj. otitjući mgnet dovodi do otcije bknog disk. il je to demonstcij elektomgnetne indukcije i vtložnih stuj o kojim se u to veme ništ nije znlo. Tek 8. godine (lekcije 77 i 6) Fdy je objsnio Agoovu otciju. Međutim, u to dob nučne vesti su se spoo šiile. Ampèe je szno z Öestedove ekspeimente i odmh je počeo d vši ekspeimente s povodnicim. Zključio je d se dv povodnik međusobno pivlče ko po njim teku elektične stuje u istom smeu, d se odbijju ko su stuje supotnih smeov. z ovih pojv Ampèe je izveo mtemtički zkon uzjmnog dejstv dveju elektičnih stuj (lekcij ). Ampèe je pihvtio Öestedovu petpostvku d je sketnje mgnetne igle uslovljeno silm koj deluju n iglu postiući se oko povodnik po kome teče elektičn stuj. Zmislio je d oko svkog mgnet postoje elektične stuje koje ko d okužuju mgnet nevidljivim pstenovim. Od pvc tih stuj zvisi pvc sketnj mgnetne igle u Öestedovim ekspeimentim. Smto je d se te mgnetne stuje ni po čemu ne zlikuju od elektičnih stuj i ukovodeći se tom idejom npvio je nešto poput elektičnog komps. Elektični komps se sstojo od slobodno obešenog solenoid (Gk. σωλήν - cev, είδος - oblik) koz koju je popuštn stuj, pi tom se ovj klem ponšo ko mgnet s sevenim i južnim polom. Dv solenoid deluju jedn n dugi ko dv stln mgnet je između polov solenoid dolzi do međusobnog pivlčenj i odbijnj ko i kod stlnih mgnet.

16 8 Dejn M. Petković Ako elektičn stuj polzeći oko solenoid po spilnim pstenovim, dje solenoidu mgnetn svojstv, zšto ne bismo zmislili d i stlni mgnet dobij svoj mgnetn svojstv otud što u njemu teku kužne elektične stuje. Ov genijln petpostvk pokzl se ko tčn. Te stuje su dobile nziv Ampèeove stuje ili Ampèeove mikostuje. Međutim, Ampèe se dlje ne bvi stlnim mgnetim već izvodi novi zključk. Öestedov mgnetn igl se okeće popeko pem povodniku po kome teče elektičn stuj silom onih istih pivlčenj i odbijnj koj se pojvljuju između dv povodnik po kojim teče elektičn stuj. Osobenosti sketnj Öestedove igle se objšnjvju time što 'mgnetne stuje' imju kužni pvc p njihovo odbijnje i pivlčenje povodniku pisiljv iglu n kužno ketnje. Ampèe je ove misli i ezultte svojih ekspeiment izzio ko 'Pvilo plivč'. Postojnje kužnih sil oko mgnet ksnije se pokzlo ko nesumljivo, li se Fdy nije slgo s Ampèeovom mišlju d mgnetizm nije posebn piodn sil, već vst elekticitet. Dns znmo d je ketnje nelektisnj u mkoskopskom ili mikoskopskom smislu jedini uzočnik postojnj mgnetnog polj.

17 Elektomgnetizm 9. Mgnetn sil i mgnetno polje Postojnje elektosttičkog polj se utvđuje postojnjem mehničke (oulombove) sile n pobno nelektisnje koje je uneto u polje. Osnovn vidljiv pojv koj ukzuje n postojnje mgnetnog polj je mehničk sil koj deluje n povodnik koz koji potiče stuj. Dkle, što je pobno nelektisnje z elektosttičko polje, to je pobni stujni element z mgnetno polje. dfm dl ~ dfe E dq Znči d stujni element teb d bude tko mlih dimenzij d kd je unet u mgnetno polje ne emeti stuktuu postojećeg polj i dovoljno osetljiv d bi sil bil detektovn. Tkv stujni element, bez ptećih povodnik koji obezbeđuju tok stuje, pktično nije moguće elizovti i zto je ispitivnje mgnetnog polj veom složen zk. Dok elektično polje im isti pvc ko i elektičn sil, sme mu zvisi od znk nelektisnj, u mgnetnom polju pvc i sme sile zvise i od sme stuje u stujnom elementu li i od položj povodnik u odnosu n polje. Ekspeimentlno je utvđeno d mgnetn sil im njveću vednost kd je povodnik postvljen upvno n pvc polj. θ F m d l df mx dl Mxwell je u svom kpitlnom delu Tetise on Electicity nd Mgnetism z vektoe koistio edom slov A do H. Koeficijentu szmenosti u izzu z mgnetnu silu je po edosledu, odmh posle mgnetnog vekto potencijl A, piplo slovo. Neke od oznk su do dns zdžne. Tj koeficijent szmenosti je mgnetno polje (ili mgnetn indukcij ili gustin mgnetnog fluks, zvisi gde se nlzite i ko vs pit, pilog A). Pe uvođenj intencionlnog sistem jedinic, jedinic z mgnetno polje je bil gus s oznkom. Gs Odlukom Međunodne elektotehničke komisije (E - ntentionl Electotechnicl ommission) iz 956. godine, i odlukom Genelne konfeencije z tegove i mee (GPM - onféence Généle des Poids et Mesues) iz 96. godine, jedinic je dobil nziv tesl, s oznkom T, u čst genijlnog spskog nučnik Nikole Tesle. [ ] [ F ] [ L ] N Am N 4 T T Gs Am

18 Dejn M. Petković. Zkon sile Njveć vednost sile koj deluje n povodnik končne dužine koz koji potiče stln stuj i koji se nlzi u mgnetnom polju upotebljenj je z definisnje mgnetnog polj. Međutim, sil ko vektosk veličin, je poed intenzitet odeđen još pvcem i smeom, biće potpuno odeđen ko se izz npiše u obliku vektoskog poizvod. Tko se dobij i izz koji je poznt i ko Lplceov fomul, izveden je n osnovu Ampèeovih ekspeiment (lekcij 4). Pvc i sme sile moguće je odediti i pomoću pvil leve uke koje je poznto i ko Flemingovo pvilo ili F pvilo. Kko se ovde di o vektoskom poizvodu piodno je pimeniti pvilo desne uke ili desne zvojnice. Ob pvil dovode do istog ezultt. Ako se umesto leve uke upotebi desn, td sednji pst pokzuje pvc ketnj elekton koji je, ko što je poznto, supotn konvencijom usvojenom smeu stuje. N pv povodnik končne dužine u homogenom mgnetnom polju deluje sil b F l L d gde vekto dužine im pvc i sme tok stuje. Mgnetn sil n ztvoenu stujnu kontuu je jednk nuli. Niz difeencijlnih dužin obzuje ztvoeni poligon i njihov vektoski zbi je nul. Pvougon stujn kontu nlzi se u homogenom polju xˆ koj je nomln n povš koju kontu ogničv. N stnice π4 deluju sile df dz yˆ, df dy zˆ, F Fi df dz yˆ, df 4 dy zˆ. F mx L F L d F dl F F L L F dl d l z 4 Ko što je i očekivno, ukupn sil n stujnu kontuu je jednk nuli. Ako kontu nije defombiln ukupni d sil polj biće jednk nuli. b y

19 Elektomgnetizm. Moment sil n stujnu kontuu Pvougon stujn kontu kontu se nlzi u homogenom polju u vni z koj je pleln s pvcem polj, yˆ. Sd n stnice dužine b koje su plelne s y -osom ne deluju mgnetne sile je su stujni elementi plelni i nti-plelni s pvcem polj. N dugi p stnic čije su dužine deluju sile istih pvc i intenzitet li supotnih smeov. F ( b yˆ) ( yˆ), F ( b yˆ) ( yˆ) z S F y, 4 F ( xˆ) ( yˆ) zˆ, x F F4 ( xˆ) ( yˆ) zˆ. Ko što je i očekivno, ukupn sil n ovu F ztvoenu kontuu je jednk nuli. F i Međutim, i poed tog što ukupn sil n kontuu ne postoji, sile koje su zličite od nule, to su F i F 4, poizvode moment koji pouuzokuje obtnje kontue oko x -ose. Ovj moment, po pvilu desne zvojnice, imće sme supotn od sme x -ose, što znči d je obtnje kontue u smeu kzlji n stu. U odnosu n osu obtnj moment će biti b b b b T yˆ F + ( yˆ) F yˆ ( Azˆ) + ( yˆ) ( zˆ) bxˆ. U opštem slučju kontu se nlzi pod nekim uglom u odnosu n vekto polj. Td su kci z S F 4 sil koj čine speg θ y b d (sin θ yˆ cosθ zˆ ) d 4. b / F Moment sil koji teži d obne kontuu je sd T d F + d F d F bsin θ xˆ Ssin xˆ, 4 4 θ gde je S b povšin stujne kontue. Međutim, povšin je vekto čiji je pvc nomln n vn u kojoj leži kontu i čiji je sme odeđen pvilom desne zvojnice, tj. smeom obilsk po kontui, to je sme stuje koz kontuu. Pošto vektoi povšine i mgnetnog polj gde ugo θ, z moment sil končno može d se npiše T S ili T m gde je m S i [ m ] Am gde je m mgnetni dipolni moment ili (mpeski) mgnetni moment.

20 Dejn M. Petković 4. Mgnetni dipol Kd je kontu postvljen tko d je vekto povšine koju kontu gdi kolinen s vektoom polj, n kontuu ne deluje moment sil, kontu se nlzu u položju stbilne vnoteže i im minimlu potencijlnu enegiju. Kd su ovi vektoi supotnih smeov kontu im mksimlnu potencijlnu enegiju i nlzi se položju lbilne vnoteže. Potencijln enegij se petv u d koji se vši n obtnju kontue od poizvoljnog položj do efeentnog položj. θ θ W A T dθ msin θdθ m(cosθ cosθ A + A θ θ ) Ko što se uvek čini, z efentni položj teb odbti položj u kome je potencijln enegij jednk nuli, tj teb smtti d nem pethodno uloženog d. θ π /, A W m cosθ W m U homogenom mgnetnom polju ukupn sil n ztvoenu stujnu kontuu je jednk nuli. U nehomogenom polju će se pojviti sil koj deluje n kontuu. Nek se kontu nlzi u polju stlnog mgnet čije polje opd s stojnjem, sme stuje je tkv d je sil pivlčn. Sd je Δ A F Δx ΔW m Δ m( ) ( x + Δx) ( x) F m Δx Dipol mgnetni elektični Moment m S p d Moment sil T m T p E Enegij W m W p E Sil F gd( m ) F gd( p E) F m x Δ x x ( ( x + Δx) ( )) x d d F m ( m) F gd( m) dx dx N S Gilbetov model Ampèeov model Elektični dipol Niz nlogij s elektičnim dipolom koje se uočvju su zlog što su pvi fiziči govoili o pozitivnim i negtivnim mgnetnim opteećenjim (seveni i južni pol) i što su zvili celu mgnetosttiku ko svšenu nlogiju s elektosttikom. Međutim, to je bio pogešn model, je ne postoji nešto poput izolovnog mgnetnog pol. Mgnetizm potiče od nelektisnj u ketnju. Stujn kontu je mgnetni dipol. m m x + p

21 Elektomgnetizm 5. Mgnetni dipolni moment zz z mgnetni dipolni moment stujne kontue može d se uopšti koiščenjem fomule z povšinu ztvoene kontue. zz se izvodi iz Stokesove teoeme pogodnim izboom podinteglne funkcije. y xˆ + x yˆ, d l dx xˆ + dy yˆ, x xˆ + y yˆ S v v ot zˆ, d l y dx + xdy, dl dl v dl ot ds S dl dl S Odvde se dobij opšt fomul z mgnetni m moment stujne kontue poizvoljnog oblik. dl Kd se izz z jčinu stuje zmeni gustinom nelektisnj dobij se opšt fomul z mgnetni moment koncentisnog nelektisnj koje obilzi po kontui. m dl J dv ρv dv q m v V V zolovni stujni element nije moguće npviti i elementn stujn kontu je pktično jedini element z poučvnje mgnetnog polj. Ako se u mgnetno polje unese pobn stujn kontu, tj. kontu koj je kut, vn, mlih dimenzij i koj može slobodno d se okeće, jvlj se moment sil koji kontuu dovodi u vnotežni položj. U vnotežnom položju, kd je moment sil jednk nuli, noml n povšinu kontue definiše pvc mgnetnog polj. To je pvc koji bi zuzel slobodno obešen mgnetn igl (igl komps) unet u istu tčku polj. Pomen mgnetnog moment stujne kontue dovodi do pomene ukupnog mksimlnog moment tko d je njihov količnik z neku tčku u polju uvek konstntn i isti z sve pobne stujne kontue. Odvde ponovo sledi jedinic z mgnetno polje. T m S T S m mx, Tmx Nm, [ ] T m Am.

22 4 Dejn M. Petković 6. Obitlni mgnetni moment elekton Elekton kuži po obiti polupečnik ugonom bzinom ω i stv kovekcionu stuju jčine koj je supotnog sme od sme ketnj elekton. Mgnetni dipolni moment elekton, nzvn i obitlni mgnetni moment m, se dobij iz izz z dipolni moment čestice. S m v - e ω L Teb uočiti d su vektoi položj i bzine međusobno nomlni vektoi, p je v e v Sˆ. m v Do istog ezultt se dolzi i iz osnovne definicije. -e ev, S π, m S T π e m v S ˆ Obitlni mgnetni moment se često izžv peko ugone bzine. e v ω, ω ( v) m ω U zmtnje teb uvesti ugoni moment ili moment impuls L, tko što se uključe ms elekton i njegov moment inecije ω. Tko se dobij vez između ov dv moment. e L ω ω, L mev m L m U pethodnom zmtnju elekton je moguće zmeniti telom čije su dimenzije zntno mnje od polupečnik obite (tčksto nelektisnje i tčkst ms). Nek je to telo nelektisno količinom nelektisnj q i nek im msu. Sve izvedene fomule ostju u vžnosti. m t q m ω L m t ω q m γl m L mt e q γ m t Veličin γ je žiomgnetni odnos i ne zvisi od ugone bzine ili polupečnik kontue. zgled čudno što ovj odnos postoji čk i ko nem otcije. Međutim, u tom slučju su ob moment jednk nuli, p je ovj količnik zpvo gničn vednost. Dlje, žiomgnetni odnos je moguće pimeniti n bilo koju kužnu kontuu, to znči i n bilo koje otijuće telo, ko što su cilind ili sfe, koje se može pedstviti nizom kužnih stujnih kontu. Sv tkv tel imće isti žiomgnetni odnos i to vži sve dok se nlzimo u okviim klsične mehnike i dok su ms i nelektisnje unifomno poeđeni. Pokušj d se n ovj nčin izčun mgnetni moment elekton usled obtnj oko sopstvene ose dovešće do netčnih ezultt.

23 Elektomgnetizm 5 7. Mgnetni moment kužne kontue Kužn kontu, mse mt i polupečnik, koj je nelektisn količinom nelektisnj q, oti oko ose ugonom bzinom ω. Nelektisnje i ms su vnomeno spoeđeni po obimu kontue. zz z mgnetni (dipolni) moment može d se izvede dvojko. Pomoću definicije mgnetnog moment i pomoću mgnetnog moment nelektisne čestice, pi čemu se kontu deli n niz elementnih odečk. m S q T q v S π q q π v π ω ω q q m dm dq q dθ ω π π N ob nčin se dobij isti ezultt ko i z nelektisnu česticu. Št više, iz dobo pozntog izz z moment inecije sledi i d je žiomgnetni odnos isti. 8. Mgnetni dipolni moment kužne ploče ω ω Nepovodn disk, mse mt i polupečnik nelektisn je stlnom povšinskom gustinom nelektisnj η. Disk oti oko svoje ose stlnom ugonom bzinom ω. Podelimo disk n koncentične pstenove. Svki psten pestvlj elmentnu stujnu kontuu. Svk od stujnih kontu poizvodi elementni mgnetni dipolni moment. Količin nelektisnj n svkom pstenu je szmen povšini tog psten. Zbi svih elementnih moment dje ukupni moment. U končnom izzu povšinsk gustin nelektisnj zmenjuje se ukupnom količinom nelektisnj η q /( π). Sme obtnj kontue se ne nznčuje posebno, je su pvc i sme mgnetnog dipolnog moment isti ko pvc i sme vekto ugone bzine. Ako je ms disk mt iz pozntog izz z moment inecije se dobij ngulni moment. Žiomgnetni odnos je isti ko i nije. η d dq dm ω dq ηds ηπ d m ηπω d 4 m ηπω 4 q m ω γl 4 ω L ω mt ω

24 6 Dejn M. Petković 9. Mgnetni moment sfene ljuske Sfen ljusk plupečnik unifomno je nelektisn povšinskom gustinom nelek- z η sin θ tisnj η. Ljusku teb podeliti n niz kužnih pstenov tko d je os otcije njihov dθ zjedničk os. Svki psten nosi elementnu stuju koj je szmen povšini psten i zto zvisi od polnog ugl θ π. x θ y dq ω ω ω d dq ηds η(π sin θ) dθ T π π π ω 4 dm d S η(π sin θ) π( sin θ) dθ ωηπ sin θdθ π 4 q q q q 4 m ωηπ ω mt ω ωω L γl m m m. Mgnetni moment msivne sfee t t t Poblem zpeminski spodeljenog sfenog otijućeg nelektisnj (lopt) njlkše je ešvti u sfenom koodintnom sistemu. zmeđu Desctesovih i sfenih koodint postoje veze koje su ovde nvedene je u litetui postoje zličit oznčvnj. Z usvojeni koodintni sistem je d l d, dl φ sin θdφ, dl θ dθ, t, φ π, θ π. Po ugonoj koodinti φ može odmh d se integli i zpemin jednog elementnog psten je φ θ. dv dl dl dl π sin θdθd Povšine popečnih pesek lopte su S ( sin θ) π x cosφsin θ y sin φsin θ z cosθ z sin θ ˆ φˆ θ θˆ x φ y dl dv dl θ ρ dl φ Loptu je moguće pedstviti ko niz elementnih stujnih kontu s zjedničkom osom simetije. Svk stujn kontu je zpvo psten polupečnik sin θ kojim je ogničen povšin S i koji zuzim zpeminu V.

25 Elektomgnetizm 7 Ako lopt oti stlnom ugonom bzinom ω, količin nelektisnj u jednom elementnom pstenu stv elementnu stuju i mgnetni dipolni moment. dq ω ω d ρdv ρπ T π π ω dm d S ρ π π sin θ( sin θ) sin θdθd πdθd ωρπ 4 sin θdθd tegcijom po zpemini (lopt) koju nelektisnj zuzimju, dobij se mgnetni moment. π 5 4 m ωρπ dsin 4 θdθ ωρπ 5 q 5 Ko i do sd, u zmtnje se uvodi ms tel m t koj je (ko i nelektisnje) homogeno spoeđen. z pozntog izz z moment inecije se ponovo dobij isti izz z žiomgnetni odnos. Mgnetni i ugoni momenti otijućih nelektisnj, ω γ q / m Kužni obuč Kužn ploč Šuplj lopt Pun lopt q m ω q m ω 4 q m ω q m ω 5 m t m t m t mt L ω L ω L ω L ω 4 5 U klsičnoj teoiji elekton se pedstvlj loptstim oblikom. Ugoni moment elekton potiče od dve otcije. Rotcij elekton oko jezg stv obitlni mgnetni moment. Ekspeimentlno je pimećeno (Sten Gelchev ekspeiment) d svi elektoni u nehomogenom mgnetnom polju ne skeću podjednko. To je dovelo do zključk d osim obitlnog mgnetnog moment postoji još neki mgmetni moment. Tj mgnetni moment potiče od obtnj (Eng. spin - zvteti) elekton oko sopstvene ose. Ob mgnetn moment bi teblo d su odeđen istom fomulom je je žiomgnetni odnos isti. U toj fomuli bi ugoni moment bio ugoni moment spin, obitlni ugoni moment ili ukupni (vektoski zbi) ugoni moment. Međutim, ekspeimenti su pokzli d je mgnetni moment spin dv put veći od očekivnog i klsičnu teoiju je bilo potebno koigovti. Ko fkto koekcije uveden je g -fkto, koji pem vsti otcije uzim vednosti jedn ili dv. e me g m Ob ugon moment i posledično mgnetn dipoln moment su kvntne veličine i dlj zmtnj zlze u oblst kvntne mehnike. t e L

26 8 Dejn M. Petković. Elektomgnetn ili Loentzov sil Jčin stuje je sklni poizvod vekto gustine stuje i povšine, zpemin je sklni poizvod dužine i povšine. Tko se dobij mgnetn sil koj deluje n nelektisnj u ketnju koj su zobljen u zpemini. Gustin stuje je diektno popocionln sednjoj bzini ketnj nosilc nelektisnj. Ole sledi izz z mgnetnu silu koj deluje n zpeminski podeljeno nelektisnje u ketnju. Odvde sledi končni izz z mgnetnu silu koj deluje n nelektisnu česticu u ketnju. d F dl J S d V S d l d F J dv J ρv d F ρv dv d F dq v U opštem slučju n nelektisnje poed mgnetne d F dq ( E + v ) sile deluje i sil elektičnog poekl. Fe Elektomgnetn sil F qe + qv Elektičn sil Fm Mgnetn sil zz je poznt ko Loentzov sil, po nobelovcu Hedik Loentzu Međutim, Heviside je modenu vektosku notciju i nlizu, koju je izumeo, pimenio n Mxwellove jednčine i više godine pe Loentz, oko 887. godine, došo do ezultt. Njemu dugujemo i veliki boj nziv u elektotehnici (impedns, pemebilnost, eluknc i dugo). Pv poučvnj delovnj mgnetnog polj n nelektisn tel i čestice je izveo nobelovc J.J. Thompson pilikom ekspeimentisnj s ktodnim zcim. Njegov izz z silu je bio kvlittivno tčn li je dvo dvostuko mnju silu. U to veme z subtomske čestice se nije znlo. Dok je ekspeimentiso Thomson je 897. godine identifikovo subtomsku česticu koju je Stoney pedvideo još 89. godine i koju je nzvo elekton..mgnetne sile ne vše d n pomenju nelektisnj. d A F dl q( v ) v m

27 Elektomgnetizm 9. Elektomgnetn sil i Hllov efekt Pvo je pimećeno d n povodnik koz koji potiče elektičn stuj i koji se nlzi u okolini stlnog mgnet deluje sil koj je nzvn mgnetn sil. To su pvi Ampèeovi ekspeimenti. Ksnije je istživnje pošieno n uzjmno dejstvo dve elektične stuje (lekcij ). Elektičn stuj je ketnje nosilc nelektisnj, p je očigledno d je sil koj deluje n povodnik smo integlni zpis sile koj deluje n svko pojedinčno nelektisnje. F q v F ρv v J V J S L F L Kd se povodnik keće u mgnetnom polju s njim se keću i slobodn nelektisnj i n svko od njih deluje mgnetn sil. To dovodi do ngomilvnj nelektisnj n kjevim povodnik. Ov činjenic je zpvo osnov elektomgnetne indukcije (lekcij 77). Ov nelektisnj stvoiće elektično polje i elektičnu silu koj je istog pvc li supotnog sme od mgnetne sile. Jednog tenutk nstupiće vnotež. Do potpuno iste pojve dolzi i kd koz nepoketn povodnik potiče elektičn stuj. Pojv potencijlne zlike između stnic koje nisu čeone ni z stuju ni z polje, je poznt ko Hllov efekt. U vnotežnom stnju elektomgnetn sil n nosioce nelektisnj u metlnoj pločici dimenzij x y z je jednk nuli, odkle sledi d je J E v ρ N q yz, U Ez, N q y gde je N koncentcij nosilc nelektisnj. F q v F F v V z + x y Kd su nosioci nelektisnj elektoni, njihov bzin je supotnog sme od petpostvljenog, li je i nelektisnje supotnog znk p je efekt potpuno isti. Kd elektoni nisu potpuno slobodni, ko kod bivlentnih metl, Hllov efekt nije moguće objsniti n ovj nčin.

28 Dejn M. Petković. Nlektisn čestic u homogenom mgnetnom polju Nek nelektisn čestic, q, u polje uleće bzinom, v, pod nekim uglom, θ, u odnosu n pvc vekto mgnetnog polj,. zin im komponentu koj je nomln n pvc polj, vsin θ, i komponentu koj je s pvcem polj pleln, v p v cosθ. Loentzov sil deluje n nelektisnu česticu smo usled postojnj nomlne komponente bzine povijjući putnju u kužnicu polupečnik. Međutim, usled postojnj plelne komponente bzine čestic se unifomno keće u pvcu te komponente. To znči d se čestic keće po kužnoj spilnoj putnji. v n Loentzov sil je u vnoteži s centifuglnom silom, p se ole dobij polupečnik spile,. Veme T koje je potebno d čestic obiđe pun kug polupečnik i d peđe put d u pvcu plelne komponente bzine je isto. Tko se dobij kok spile d. mv q v n T π v d n v p v n v p θ v d m v sin θ q m v d π cosθ q Ako nelektisn čestic u polje uleće plelno s pvcem mgnetnog polj, n nju mgnetno polje nem nikkvo dejstvo i čestic nstvlj d se istom bzinom keće pvolinijski. U specijlnom slučju, kd čestic uleti u stlno polje po uglom koji je nomln n pvc polj, θ π/, ketnje čestice se nstvlj po kužnoj putnji čiji polupečnik zvisi smo od početne bzine. Čestic td postje zobljenik mgnetnog polj. Veme obilsk po kužnoj putnji ne zvisi od bzine. N jednom uspostvljenu kužnu putnju moguće je uticti smo pomenom jčine mgnetnog polj. v m v, ω q q ω, m T π ω q γ, f, f. v T π π m π U Zemljinom mgnetnom polju u Sbiji je T T i f.5mhz, p bi elekton z jedn sekund obišo više od pol milion punih kugov.

29 Elektomgnetizm 4. Elekton u ukštenom elektomgnetnom polju Pod uticjem elektičnog polj s ktode pem nodi polzi elekton bzinom v v xˆ + v yˆ + v zˆ x koj je u početnom tenutku, jednk nuli, tj. x y z i v v v z t y x y z zmeđu vnih elektod postoji homogeno mgnetno polje koje je upvno n pvc elektičnog polj, p n elekton deluje elektomgnetn sil odkle se dobij jednčin ketnj. z dvy dvz evz yˆ evyzˆ + eezˆ m yˆ + m zˆ Tko se dobijju dve sklne difeencijlne jednčine, dvy dv y dz ωvz ili ω, dv z E ω v y, d q e E E zˆ xˆ F e ( E + v ) dv F m m z F e v e F m E y u kojim je upotebljen oznk ω e / m. Ov veličin je dimenziono učestnost i nziv se fekvencij cikloton. ez stnog elektičnog polj čestic bi s tom učestnošću obtl po kugu (lekcij ). Nkon jedne integcije iz pve difeencijlne jednčine se dobij bzin čestice u y -pvcu. z početnih uslov se dobij i konstnt integcije. Kd se dobijeno ešenje uvsti u dugu difeencijlnu jednčinu sledi jednčin ketnj čestice u pvcu z -ose. v y ω z + v y ω z d z E ω z ω + Dobijen difeencijln jednčin je dugog ed s konstntnim koeficijentim. Ov difeencijln jednčin ešv se Lgngeeovim metodom vijcije konstnti i sstoji se iz opšteg ešenj (ešenje homogene difeencijlne jednčine) i ptikulnog integl (koji se dobij vijcijom konstnti). Tko se dobij d je E z cosωt + sin ωt + ω

30 Dejn M. Petković Konstnte integcije E /( ω) i se dobijju iz početnih uslov. Ako se uvede oznk E /( ω), končno je v y z ( cosωt ) v z ω sin ωt. ω z ω ( cosωt ) y ( ωt sin ωt) Jednčine ketnj po y i z pvcu su pmetske jednčine cikloide. Elimincijom tigonometijskih funkcij iz jednčin ketnj se dobij jednčin kužnice polupečnik čiji cent je u tenutku t u tčki O (, ωt, ) i keće se bzinom v. ( y ωt) + ( z ) z e ω, m E, ω z mx E v ωr v Čestic koj se u svkom tenutku nlzi n kužnici globlno ketnje čini po pvcu koji je nomln n pvce ob polj. zin elekton pem nodi, osim u tenutku t, je jednk nuli kd je ωt π. Slično ( ωt π ) se dobij i njveće udljenje elekton od ktode. me zmx e e U c d m c mu ed Ako je stojnje između elektod, d, veće od mksimlnog stojnj, d > z mx, koje elekton može d dostigne, ni jedn elekton neće dospeti do node i koz diodni sistem neće poticti konvekcion stuj. U supotnom slučju, d < zmx, svi elektoni dospevju do node i fomiju konvekcionu stuju koj u tom slučju im i njveću jčinu. Dkle, stuj ili ne potiče ili potiče koz diodu. z gničnog (kitičnog) slučj ( d zmx, U c Ed ) dobijju se kitične vednosti z međuelektodni npon, U c, i jčinu mgnetnog polj, c. Kontolom npon i/ili jčine mgnetnog polj uspostvlj se pekidčki ežim koji je osnov z mnoge pimene u elektonici i elektotehnici uopšte. J.J. Thompson je 897. godine meio odnos nelektisnj i mse ktodnih zk (ustvi snop elekton). Pvo je pušto zke koz ukšteno elektično i mgnetno polje i podešvo jčinu elektičnog polj dok sketnje zk nije bilo jednko nuli. Ztim je isključio elektično polje i meio polupečnik sketnj zk. Tko se odio elekton. y

31 Elektomgnetizm 5. Thompsonov ekspeiment i mseni spektomet Elektoni emitovni s ktode dobijju ubznje pem nodi koj se nlzi n potencijlu U. Povećnje kinetičke enegije elekton jednko je uloženom (negtivnom) du, p se ole odeđuje bzin elekton nkon polz koz ešetkstu nodu. mv e + ( eu ) v U m Elekton će nstviti d se keće pvolinijski koz ukšteno elekto- F v e mgnetno polje ko su elektičn i e F m mgnetn sil u vnoteži. E E - ee ev v U. Kombinovnjem dv izz z bzinu dobij se odnos e nelektisnj i mse elekton. Upvo je to bio pvi m U deo Thompsonovog ekspeiment. U dugom delu ekspeiment nelektisn čestic (pozitivni jon) pvo polzi koz septo bzin. Dugim ečim, n pvom delu putnje jčine elektičnog i mgnetnog polj su tko podešene d čestic im pvolinijsku putnju i bzinu v E /. N dugom delu put nem elektičnog polj, mgnetno polje s ne menj bzinu čestice (ne vši d) već smo povij njenu putnju u kužnu liniju polupećnik. E m v q v s q m v Pošto iz septo čestic izlzi s pozntom bzinom, sledi d je q S m. E S +v v + q F m F E e s Meenjem polupečnik sketnj čestice moguće je odediti njenu msu i to je osnov msene spektometije. Međutim, počeci msene spektoskopije se vezuju z poučvnje izotop. Pv otkić te vste su izotopi neon. Lwence je 99. godine pimio Nobelovu ngdu z otkiće cycloton, već 94. godine, u okviu pojekt Mnhttn, je z sepciju izotop unijum upotebljen njegov mseni spektomet luton. Diekto podpojekt Tinity (testinje pve nuklene eksplozije) je bio Kenneth inbidge koji je i tvoc spektomet čiji je pincip d ovde pikzn.

32 4 Dejn M. Petković 6. Fluks vekto mgnetnog polj Fluks (Lt. fluxus -teći) je potok fizičke veličine u jedinici vemen. Mtemtički, fluks je povšinski integl vektoskog polj. Φ S d S Fluks vekto mgnetnog polj ili mgnetni fluks, koz povšinu S koj se oslnj n kontuu, je definisn n isti nčin, p je ole mgnetno polje (indukcij) isto što i gustin mgnetnog fluks. Tko je inče definisn fluks bilo koje duge vektoske veličine, n pime, v, E, ili D. Z zliku od fluksev koje stvju duge vektoske veličine, mgnetnom fluksu je pidužen posebn jedinic. Pe uvođenj intencionlnog sistem jedinic, S, jedinic z mgnetni fluks je bil mksvel, z oznkom Mx. [ vs ] m / s [ ES ] V m [ DS ] [ S ] Wb Jedinic z mgnetni fluks je vebe, s oznkom Wb, po nemčkom fiziču i ponlzču Webeu Nm kgm Wb Tm Vs, A As M x Gs cm 8 Wb Pomoću mgnetnog fluks je neke zkone elektomgnetizm moguće jednostvno mtemtički fomulisti, li to je i veličin koju je moguće diektno meiti ueđjem koji je nzvn fluksmet (lekcij 8). 7. Zkon o konzevciji mgnetnog fluks Fluks vekto mgnetnog polj koz ztvoenu povšinu je jednk nuli. Fluksevi koz sve povšine koje se oslnjju n istu kontuu su jednki. Gussov zkon z mgnetno polje je četvt Mxwellov jednčin Mgnetno polje ds div polje je bezizvono S linije polj su nepekidne polje je solenoidno d / ε mgnetni monopoli ne postoje E E S q div E ρ / ε Ovj zkon je izveden n osnovu velikog boj ekspeiment. Ako mgnetni monopoli ikd budu otkiveni i ovj zkon će biti pomenjen. S

33 Elektomgnetizm 5 8. Mgnetne sile ne vše d? Pvougon stujn konu, mse, opticn je stlnom stujom. Kontu slobodno visi tko d se smo deo povšine nlzi u homogenom mgnetnom polju. Mgnetne sile koje deluju n vetiklne stnice kontue se međusobno poništvju. Pi odeđenoj jčini stuje, mgnetn sil koj deluje n hoizontlnu stnicu, dužine L koj se nlzi u polju, je u vnoteži s gvitcionom silom. To znči d kontu lebdi. m t F m G F m G v (t) L mg mg /(L) Ako se sd jčin stuje poveć, vnotež se nušv i kontu počinje d se podiže. Znči d se d vši. Međutim, znmo d mgnetne sile ne vše d n pomenju nelektisnj (lekcij ). Kd kontu počne d se podiže, nelektisnj u povodniku se više ne keću hoizontlno, već njihov bzin dobij vetiklnu komponentu koj pti podiznje povodnik. Mgnetn sil koj je uvek nomln n pvc ketnj nelektisnj sd dobij hoizontlnu komponentu. dlje ov sil ne vši d, kontu se pome? Vetikln komponent mgnetne sile se nije pomenil je se nije pomenil ni jčin stuje u stnici n koju sil deluje. Ov sil sd im i hoizontlnu komponetu koj je supotnog sme od sme ketnj nelektisnj, te se potivi njihovom ketnju. Znk nelektisnj je nebitn. v v t ev t v n F n L qv t L F qv n F qv t t n ev n F m Kko će biti pokzno u ksnijim izlgnjim mgnetno polje se uvek potivi pomenm. pk, tok nelektisnj ostje nepomenjen tj. jčin stuje je stln. Z svldvnje novonstlog otpo izvo elektične stuje mo d donu enegiju petvoi u d. Nelektisnj u hoizontlnoj stnici kontue, koj je pod dejstvom vetiklne sile, su izvšil d pešvši put dužine L dok se jednovemeno kontu podigl z neko stojnje h. A Ft L ( qvn) L ( qvn) ( vtt) ( qvt ) ( vnt) L h To je d z koji bi, bez pethodne nlize, bilo optuženo mgnetno polje. Rd je izvšen i ovde se ne postvlj pitnje d li se pi pomenju kontue vši d, već ko je dvlc enegije.

34 6 Dejn M. Petković Ako mgnetno polje ne vši d koj je ond svh postojnj tog polj? U zmtnom pimeu mgnetno polje peusmev hoizontlnu silu, koj zpvo potiče od elektičnog polj, u vetiklno ketnje stujne kontue. Kd stujn kontu bude cel uvučen u mgnetno polje ukupn mgnetn sil biće jednk nuli. U mgnetnom polju stujne kontue se okeću tko d popuste njveći fluks koz svoju povšinu i n tj nčin dolze u položj u kome je potencijln enegij minimln. Mgnetno polje vodi nelektisne čestice po tčno odeđenim putnjm ne menjjući im bzinu. Međutim, poblem može d se postvi i n sledeći nčin. Ako mgnetno polje ne vši d, ond nem ni enegiju, je enegij je sposobnost sistem d vši d. poed tog što ovo zmtnje izgled svšeno tčno, teško je u to veovti. S duge stne, postoje pimei (nehomogen polj) u kojim nije moguće dokzti d mgnetno polje ne vši d. Do istog ezultt z d, iz zmtnog pime, se dolzi i ko se mgnetno polje poglsi z všioc d. Tko bi moglo d se kže: Pod uticjem elektomgnetne sile stujn kontu se pomei bez uticj nekih dugih sil. U ovkvo zmtnje (i poed tog što je pogešno) je mnogo lkše poveovti. Pi tom tnsltonom pomenju element kontue dl z elementni pomej dh izvši se elementni d, da F dh (dl )dh (dh dl ) ds dφ. Pošto je stuj koz kontuu konstntn elementni d je diektno szmen pištju fluks. Z bolje zumevnje ovog poblem možd može N V d posluži nlogij s telom n stmoj vni. N telo deluju smo dve sile. Sil težine G i sil N F koj je ekcij n nomlnu komponentu sile težine. Rezultnt sil je tngencijn n vn tj. im pvc kojim će telo skliznuti niz vn. G D bi telo bilo u vnoteži ili d bi se povuklo uz stmu vn potebno je upotebiti ktivnu silu F koj može bude i smo hoizontln. Sil N ne vši nikkv d je je nomln n pvc putnje. Međutim, ov sil im vetiklnu komponentu V koj ustvi podiže telo i omogućv hoizontlnoj ktivnoj sili d telo pome uz stmu vn. Hoizontln komponent sile N je usmeen unzd i nju teb svli gujući telo unped. Oćigledno, d hoziontln ktivn sil ne podiže telo. U ovom slučju vetikln komponent sile ekcije im psivnu li pesudnu ulogu, ko i mgnetno polje u pethodno zmtnom pimeu.

35 Elektomgnetizm 7 9. Ampèeov zkon Ampèeov zkon dje elciju između mgnetnog polj i stuj koje to polje poizvode, ezultt je istživnj iz 86. godine. ikulcij vekto mgnetnog polj po poizvoljnoj ztvoenoj kontui je szmen lgebskom zbiu jčin stuj koje polze koz poizviljnu povšinu S koj je ogničen kontuom. Konstnt popocionlnosti je pemebilnost vkuum ili mgnetn konstnt. Vednost ove konstnte je izčunt, ne ekspiimentlno odeđen. Od vemen pvih Ampèeovih ekspeiment s dv pleln povodnik (lekcij ) do dns, konstnt je više put menjl vednost. U dužem peiodu, sve do 948. godine, konstnt je iml čk ti zličite vednosti istovemeno. Vkuum i pemebilnost (Nlt: Pemebilits - popustljivost) su temini koji imju fizičk znčenj, p se zbog nčin n koji je ov konstnt odeđen dije upotebljv temin mgnetn konstnt. Jedinic z konstntu sledi iz Ampèeovog zkon, li se u pksi upotebljv jedinic: heni po metu (lekcij 88). Pimenom Stokesove teoeme se dobij loklni ili difeencijlni oblik Ampèeovog zkon. L k ds dl l d S Tm [ ] A 4π J ds 7 ot J Wb Am Lko se pove d je Ampèeov zkon tčn z sve mgnetosttičke pobleme. Međutim, u opštem slučju postoje dve nesglšenosti. Pv u vezi s jednčinom kontinuitet, dug u vezi s postinjem elektomgnetnih pomen. Divegencij oto je nul Dobij se Teb d bude div(ot ) divj div J ρ div J t U slobodnom postou nem stuj Dobij se Teb d bude J E ot ot ε t Mxwell je 86. godine, uvodeći stuju pomej (lekcij 9), zkonu do svšen oblik. U okviim sttičkih polj, kd su izvodi po vemenu jednki nuli, osnovni zpis Ampèeovog zkon je potpuno tčn. Odvde potiče i pitnje: D li mgnetno polje konzevtivno? H m

36 8 Dejn M. Petković. Polje mgnetne sile nije konzevtivno? Sile koje imju osobinu d je d n pomenju mse između dve tčke nezvisn od putnje koj te tčke spj su konzevtivne sile. Posledično, d konzevtivnih sil po ztvoenoj putnji je jednk nuli. Konzevtivn sil zvisi smo od položj objekt u postou i td je svkoj tčki u postou moguće dodeliti potencijl (potencijln enegij). Gvitcion i elektosttičk sil (Svesk ) su konzevtivne sile. Mehničk enegij je zbi enegije položj (potencijln) i enegije ketnj (kinetičk). U sistemu u kome deluju smo konzevtivne sile, mehničk enegij je konstntn. To je pincip konzevcije (očuvnj) mehničke enegije. U elstičnim sudim mehničk enegij je očuvn. U neelstičnim sudim deo mehničke enegije se petv u toplotu, li je ukupn enegij očuvn. To je pincip očuvnj (ukupne) enegije. Polje sile je vektosko polje bezkontktnih sil. Sve četii poznte sile intekcije (gvitcion, elektomgnetn, jk nuklen i slb nuklen) su bezkontktne sile. Polje sile F je kozevtivno vektosko polje ko je zdovoljen b jedn od četii ekvivlentn uslov (Svesk ). Po definiciji konzevtivnosti, d sil polj po ztvoenoj putnji je jednk nuli. Sledi d d ne zvisi od izbo putnje. z Stokesove teoeme se dobij loklni oblik ovog uslov. Odvde sledi d je konzevtivno polje i bezvtložno polje. Roto gdijent je uvek jednk nuli. z teoeme o gdijentu sledi d je ovu silu moguće izziti ko negtivn gdijent sklne funkcije. ntegl po poizvoljnoj putnji je integl totlnog difeencijl uvedene sklne funkcije. Fd l ot F F gdϕ 4 A Fdl ϕ( A) ϕ( ) Mnoge sile ne čine polje sile (ko n pime sil tenj). U tim slučjevim gonji uslovi nisu mtemtički ekvivlentni. Mgnetn sil koj deluje n nelektisnu česticu u ketnju zvisi i od položj i od bzine čestice - dkle, nije konzevtivn. Mgnetn sil zdovoljv uslov d je d sil po ztvoenoj putnji jednk nuli (je je sil uvek nomln n putnju) - dkle, konzevtivn je. Mgnetnu silu nije moguće izziti ko degdijent neke sklne funkcije, njen oto nije definisn - dkle, nije konzevtivn. U litetui ne postoji jedinstven stv o konzevtivnosti mgnetne sile. N osnovu sveg što je ovde izneto, može se nedvosmisleno zključiti: Mgnetn sil nije konzevtivn.

37 Elektomgnetizm 9. iot-svtov zkon Ponvljjući Öestedove ekspeimente, iot i Svt su još 8. godine otkili vezu između jčine stcionne stuje i mgnetnog polj. Jčin mgnetnog polj je popocionln jčini stuje u pvom povodniku i obnuto je popocionln stojnju od ose. k. Međutim, istoijski izvoi su pilično neodeđeni u pogledu otkić ovog zkon i njčešće se nlzi d je zkon fomulisn n osnovu izz z elektično polje koje stv tčksto nelektisnje. Elektično polje Anlogij Mgnetno polje q dl Ono što je tčksto nelektisnje u dl de ke elektosttici to je stujni element u d k m mgnetizmu. q dl U elektosttici i mgnetizmu de dl konstnte sedine su uvek n d 4πε zličitim stnm zlomk. 4π Stujni element im pvc i sme. dq d l J S dl J dv ρv dv dq v, ili d l dl dq v dq ˆ Miovnje de dq v ˆ Tčksto nelektisnje d 4πε 4π Ketnje Ekspeimentlno su utvđeni i pvc i sme polj, i kd se to uzme u obzi sledi izz z koji se tvdi d je iot-svtov zkon. d 4π dl ˆ Mtemtički zpis zkon (lekcij 4) nsto je nkon zvšenih istživnj. Dv nučnik su poučvl pomenje mgnetne igle komps u blizini veom dugog pvolinijskog povodnik.

38 4 Dejn M. Petković Linije polj vekto mgnetnog polj su koncentični kugovi čiji centi pipdju osi povodnik. Vekto mgnetnog polj je u svkoj tčki tngent n liniju polj. Pvc mgnetnog polj je nomln n vn kojoj pipdju os povodnik i tčk u kojoj se polje odeđuje, sme se odeđuje po pvilu desne zvojnice ili pvil desne uke. Koz pv i beskončno dug povodnik potiče stln stuj jčine. Povodnik je oijentisn u smeu z -ose, d l dz. z geometijskog odnos sledi d je R + z, sin θ / R. Pimen iskznog zkon n ovj slučj dje ˆ dz R d 4π R z d z R θ sin θ dz dz 4π R π 4 ( + z ) d Kd se integl eši smenom z tn t dobij se fomul po kojoj je iot-svtov zkon poznt. Do istog ezultt, i to zntno jednostvnije, se dolzi i pimenom integlnog oblik Ampèeovog zkon. dl J ds dl π S + / π дмп π Ob zkon dovode do istog ezultt. Tčnije, di se o jednom istom zkonu. Kd se kene obnutim edosledom tj. kd se potži cikulcij vekto mgnetnog polj i zmeni izz koji je dobijen pimenom iot- Svtov zkon, dobij se Ampèeov zkon. dl dl π π. π Tčksto nelektisnje koje se keće, stv i elektično i mgnetno polje. Jčine tih polj su njveće kd je vekto koji spj nelektisnje i položj tčke u kojoj se polj čunju nomln n pvc ketnj. Pvci elektičnog i mgnetnog polj su međusobno nomlni, odnos njvećih jčin je q S v M E E mx q v 4πε v ε v, c mx π q c ε 4, gde je c bzin svetlosti u vkuumu (lekcij 8 i Svesk V).

39 Elektomgnetizm 4 Jčine polj je zbog zličitih jedinic teško poediti. Nek se u tčki gde su polj čunt nlzi još jedno nelektusnje istog znk. Nek se, zbog jednostvnosti u zmtnju, to nelektisnje keće plelno pvom nelektisnju i to istom bzinom. N nelektisnj deluju sile elektičnog i mgnetnog poekl, njihov zlik je v v F e F m F m F e q q F m mxq v v F F F m Fe Fe Fe Fe qemx c e. Mgnetno pivlčenje biće jednko elektosttičkom odbijnju jedino ko se čestice keću bzinom svetlosti. Ako se oko nelektisne čestice u ketnju ili oko stujnog element opiše zmišljen povšin S oblik vljk td je fluks vekto mgnetnog polj koz tu povšinu jednk nuli je su u svkoj tčki vekoi povšine i polj međusobno nomlni. Φ S S 4π ( dl ˆ ) ds d Ovo je smo dokz zkon o konzevciji mgnetnog fluks u ovom specijlnom slučju. S Poeklo [ T ] z iot-svt zkon sledi d mgnetno polje jčine T Ljudski mozk n stojnju od m od ose Zemljino mgnetno polje 5 povodnik poizvodi stln Kjevi stlnog mgnet stuj jčine 5MA. Tesl, Unutšnjosti stlnog mgnet ko i fd, je pevelik jedinic. U elektotehnici se Akceletoi z ubznje čestic koiste veličine mnjeg ed. Neutonske zvezde 6 Slično Gussovom zkonu (u elektosttici) Ampèeov zkon je potpuno tčn (z stlne stuje) li nije uvek od velike koisti. Smo u slučjevim kd geometij poblem dozvoljv d se mgnetno polje izvuče isped znk integl, Ampèeov zkon je njelegntniji metod z ešvnje poblem. Kd to nije moguće, teb se vtiti uvek upotebljivom iot-svtovom zkonu. dl dl - stujne niti - stujni plštovi - solenoidi - tousi

40 4 Dejn M. Petković. Ampèe i iot-svt Nek sedin koz koju potiču nosioci nelektisnj im istu mgnetnu pemebilnost ko i okoln sedin. Ov petpostvk je ssvim opvdn. Tj uslov ispunjv snop elekton u vkuumu i većin mteijl koji su povodnici elektične stuje. Ekspeimentom izveden iot-svtov zkon ničim ne dopušt d bude pimenjen z izčunvnje mgnetnog polj u unutšnjosti povodnik, <. Međutim, tkvu mogućnost puž Ampèeov zkon. Koz povodnik kužnog popečnog pesek polupečnik potiče stuj gustine J. Vektoi i d l, i J i ds su kolineni. Kd se Ampèeov zkon pimeni n kužnu kontuu čiji je polupečnik veći od polupečnik povodnik,, dobij se izz z iot-svtov zkon. Međutim, kužnom kontuom čiji je polupečnik mnji od polupečnik povodnik nije obuhvćen ukupn jčin stuje. J π, π, Teb pimetiti d jčinu mgnetnog polj u unutšnjosti povodnik nije moguće ekspeimentlno potvditi. N povšini diskontinuitet mgnetno polje je nepekidn funkcij., J π, l d S > J ds dl π π π π S π ds π dθ d π d π d θ Mgnetno polje im smo ugonu komponentu θ (), p je J, ot ( θ ) + zˆ π., >

41 Elektomgnetizm 4. Mgnetno polje koksijlnog vod Koksijlni vod kužnog popečnog pesek se sstoji od unutšnjeg povodnik polupečnik i spoljšnjeg povodnik oblik cevi čiji su unutšnji i spoljšnji polupečnici su b i c, espektivno. Koz povodnike potiču u supotnim smeovim unifomno spodeljenje jednosmene stuje čije su gustine J i J. Zbog cilindične simetije poblem mgnetno polje im smo ugonu komponentu θ () koj ne zvisi od θ i z koodint. b c J / π J /( c ) π b U svim tčkm posto mgnetno polje je odeđeno Ampèeovim zkonom u difeencijlnom obliku, ot J, i gničnim uslovim. ˆ θˆ zˆ K J, K, b ot J ( ) θ z K J b c, θ z K4, c < Poblem se svodi n ešvnje četii linene difeencijlne jednčine pvog ed od kojih svk odgov po jednom domenu posto. Sve difeencijlne jednčine i njihov ešenj su fomlno istog oblik, i di + i K d i i Ki + i, i, 4, gde su konstnte integcije koje teb odediti iz uslov d je mgnetno polje nepekidn i ogničen funkcij. () ( ) ( ) J π π ( b) ( b) c ( J + b J) π c b c) ( ) ( 4 c 4 Do istog ezultt se, zntno jednostvnije, dolzi i pimenom Ampèeovog zkon u integlnom obliku. 4

42 44 Dejn M. Petković Z pimenu Ampèeovog zkon u integlnom obliku potebno je zmisliti četii kontue z četii domen u kojim je potebno odediti mgnetno polje. U svim slučjevim cikulcij vekto mgnetnog polj je ist (lev stn izz) dok se lgebski zbi, tom kontuom obuhvćenih, stuj menj (desn stn izz). b dl J ds dl J ds π S Tko se dobij ezultt koji je identičn onom koji se dobij pimenom ovog zkon u difeencijlnom obliku., π π JS π b, π π JS π b c, π ( b ) π c π ( JS JS) ( c b ) π π c b π ( c c ) π c <, π ( JS JS4) ( ) π c b π 4. Mgnetno polje solenoid i tous S c J i S i 4 Ampèeov kontu oblik pvougonik im p stnic dužine L koje su plelne s vektoom mgnetnog polj. Ako se kontu postvi tko d obuhvt više celih nvojk, lgebski zbi jčin stuj biće jednk nuli. Kd jedn od stnic polzi koz solenoid ukupn obuhvćen jčin stuje je poizvod jčine stuje koz solenoid i boj zvojk. dl L N 44 Solenoid može d bude povijen, njčešće po kugu, i td se dobij tousni nmotj (lekcij 7). Zmišljen stujn kontu sd može d bude oblik kužnog sekto. Dobij se isti etultt, smo što je dužin linije sd dužin luk, L θ. θ N L L L

43 Elektomgnetizm Mgnetno polje u ekscentičnoj šupljini U metlnom cilindu polupečnik nlzi se cilindičn šupljin polupečnik. Rstojnje os cilind je d. Po pincipu linene supepozicije, mgnetno polje u šupljini je jednko vektoskom zbiu polj koje bi nezvisno poticle od stuj supotnih smeov u ob cilind kd bi ovi bili poptpuno puni. O y d O M ( x, y) x U tčki koj pipd šupljini mgnetn polj su J, J, s y y x sin(, xˆ) xˆ J xˆ, x sin(, xˆ) xˆ J xˆ, x x d y cos(, xˆ) yˆ J yˆ, y cos(, xˆ) yˆ J yˆ. Rezultntno mgnetno polje u šupljini je homogeno i im smo komponentu nomlnu n stojnje između os. d d y + y cos(, xˆ) yˆ J yˆ yˆ. π( ) 6. Mgnetno polje stujnog plšt Stuj konstntne gustine J s teče po vni čineći stujni plšt. Pimenom Ampèeovog zkon n pvougonu kontuu znemljive šiine i dužine L se dobij izz koji je svšen nlogij s elektičnim poljem nelektisne vni. dl L J sl J ds 44 4, S J s L Mgnetosttičko polje Elektosttičko polje E jedn plšt dv plšt jedn vn dve vni J s J E η E η s ε ε

44 46 Dejn M. Petković 7. Mgnetno polje pve stujne niti - Povodnik koz koji potiče stuj jčine, čij je dužin zntno več od dimenzij popečnog pesek je stujn nit. Mgnetno polje n stojnju od pve stujne niti (končne dužine) može d se dobije iz iot-svtovog zkon pomoću elementnih geometijskih odnos. ds Rdθ, M ( x, y ) y dθ R θ ds θ θ ds sin θ, sin θ dl R dl ˆ dl R d d sin θdl 4π R 4π R sin θ dθ R dl, sin θ d sin θdθ R 4π L 4π θ θ sin θdθ cos 4π ( cos θ θ ) Altentivni izz se dobij ko se koiste uglovi iz kojih se nit vidi. sin ϑ cosθ, sin cosθ ϑ ϑ 4π θ θ ϑ ( sin ϑ sin ϑ ) Kd je tčk M u kojoj se odeđuje polje n osi stujne niti, θ θ, mgnetno polje je jednko nuli. Z neogničenu stujnu nit gnice integcije postju θ i θ π, p se tko dobij poznti izz z iot-svtov zkon. π Kd se polje čun u tčkm n simetli stujne niti uglovi integcije postju M b β θ π θ, θ ( π β) /, θ ( π + β) /, θ θ θ gde je β ugo pod kojim se stujn nit vidi. Ako je b dužin jednog od poteg koji spj kjnje tčke stujne niti s tčkom M td iz geometijskih odnos sledi d je β bsin θ bcos, tn β. πb

45 Elektomgnetizm Mgnetno polje pve stujne niti - Nek je stujn nit dužine L. N stojnju od početk duži O je tčk M u kojoj je potebno odediti jčinu mgnetnog polj. Poteg OM i duž gde ugo α. N osnovu oznk s slike je sin α i x cos α. N osnovu pethodno izvedenog izz neposedno se dobij θ L O L + cosα cosα. 4π sin α L + + L cosα θ α x M Z α π / poteg OM je noml n stujnu duž. Td je i. Z α tčk M je n osi duži. Kd je L >> ili u polupvu. Kd je L >> ili L duž pest L i π / α Dve polupve s zjedničkim početkom u tčki O gde ugo α. Tčke i M M se nlze n simetli ugl, centlno simetično u odnosu n tčku O, i n jednkim stojnjim,. L 4π L + tn α 4π 4 π M Jčin mgnetnog polj u im tčkm je jednk zbiu jčin polj koje potiču od dve polupve od kojih svk stv polje iste jčine, pvc i sme. Tčk M θ, θ π α Tčk M θ, θ α α O M + cosα α cot 4π sin α π cosα α tn 4π sin α π Kd je α π / dve polupve dju jednu pvu, p se dobij dobo poznt izz z iot-svtov zkon. π

46 48 Dejn M. Petković 9. Mgnetn sil između dv stujn element Koz dv međusobno nomln stujn element potiču stuje koje stvju mgnetno polje tko d povodnici deluju jedn n dugi odgovjućim mgnetnim silm. Mgnetno polje jednog element čun se n mestu dugog. ˆ dl R d 4π R d F dl d x x d dx xˆ xˆ 4π x dy dy yˆ xˆ zˆ 4π x 4π x dy F dx xˆ zˆ 4π x 4π F d d d y z y df dx dy yˆ x d d Odvde sledi d osnovni zkoni Rˆ Rˆ, df df mgnetizm nisu u skldu s s tećim Newtonovim zkonom kcije dl ˆ ) d (d ˆ (dl R l l R) i ekcije, što je mtemtički tčno. Ov potivečnost ne postoji kd su z stujni elementi plelni. df d d y dz dz d xˆ, d xˆ x 4π y 4π y df z z Sile međusobnog dejstv su po intenzitetu jednke i imju odbojni kkte ko su stuje supotnih smeov (ko n slici) i imće pivlčni kkte ko su stuje istih smeov, dz dz df yˆ, df yˆ. df df. 4π y 4π y Međutim, fizički smiso teb tžiti smo kod fizički elnih poblem. zolvni stujni element ne može d postoji smostlno i uvek je deo neke ztvoene stujne kontue. dl Rˆ π F 4 R dl d dl 4π, d R dl dl R Rzultntne mgnetne sile se povinuju svim pozntim fizičkim zkonim. dl Rˆ.

47 Elektomgnetizm 49. Mgnetno polje i sile dve plelne stujne niti Opštu fomulu z mgnetnu silu između dv stujn element, koj je spoj iot-svtovog zkon i Loentzove sile u jednu fomulu, izveo je Mxwell sledeći Ampèeove oiginlne zpise. Z ukupnu silu između stujnih niti izz teb integliti po obe dužine. Td se sil čun po jedinici dužine niti. d dl (dl R) F Dve stujne niti koje su geometijski plelne, u elektimgnetnom smislu su plelene ko koz njih potiču stuje jednkih jčin i isih smeov. Ako su stuje supotnih smeov stujne niti su ntiplelne. Dugi slučj pedstvlj klsičn dvožični vod z snbdevnje potošč elektičnom enegijom. Nek su stujne niti jednkih končnih dužin L. Koodintni početk Desctesovog koodintnog sistem je n sedini stojnj dve niti, d, koje koincidi s y -osom. Stuje teku u pvcu x -ose. Kod ntiplelnih stujnih niti mgnetno polje u vni simetije y im smo z -komponentu. sin θ y yˆ cosθ z zˆ π R π R sin θ y yˆ cosθ z zˆ π R π R y z zˆ π + z z izz z mgnetno polje koju jedn povodnik stv n mestu položj dugog, R d sledi izz z silu, koj je u ovom slučju odbojn. zˆ πd F F ( xˆ zˆ) yˆ L L πd πd 4π R z R θ R + y z F x F Kod plelnih stujnih niti mgnetno polje u vni simetije y im smo y -komponentu. Mgnetno polje je jednko nuli z z. Koz ovu pvu polzi singuln povš polj. Polje je jednko nuli i u beskončnosti. zmeđu dve nule nepekine i difeencijbilne funkcije (Rolleov teoem) mo d postoji ekstemn vednost. + ˆ y

48 5 Dejn M. Petković ` y y y sin θ yˆ π R sin θ yˆ π R z yˆ π + z cosθ z zˆ π R cosθ z zˆ π R.Položj njveće jčine polj se dobij kd se pvoi izvod izjednči s nulom. z + z R θ R + y y z z ± z π mx ( + z ) yˆ, π yˆ, z < z > Kod plelnih stujnih niti sil intekcije je je ist po jčini i pcu ko i kod ntiplelnih smo što sd im pivlčni kkte. + z y mx F F +. Jedinic z jčinu stuje - mpe zz z silu po jedinici dužine između dve plelne stujne niti u njjednostvnijem obliku je poznt ko Ampèeov zkon sile i potiče iz 85. godine. Konstnt k A je nzvn konstnt mgnetne sile i od njene vednosti zvisi koliko će biti velik jedinic z jčinu stuje (lekcij 9). Vednost konstnte sile je definisn u S pomoću mgnetne konstnte kojoj je tkođe dodeljen vednost. F L k k A 4 π F L A d 4π π U S jedinic z jčinu stuje je mpe. To je četvt osnovn jedinic (kilogm, met, sekund i mpe) i poed tog što je definisn n osnovu izvedene jedinice njutn. Ampe je on jčin stcionne elektične stuje, koj odžvn u dv pleln povodnik beskončnih dužin i znemljivo mlih povšin popečnih pesek, koji se nlze n stojnju od m u vkuumu, čini d ovi povodnici dejstvuju jedn n dugog silom od 7 njutn po jednom metu dužine povodnik. d 7 N A

49 Elektomgnetizm 5. Pvougon stujn kontu N osnovu izvedenih izz z mgnetno polje koje potiče od pve stujne niti lko se dolzi do izz z mgnetno polje koje potiče od pvougone stujne kontue. Nek je zbog jednostvnosti, bez gubljenj n opštosti, tčk u kojoj se odeđuje jčin mgnetnog polj u peseku dijgonl pvougonik čije su stnice i b. z osnovnog izz z mgnetno polje u tčkm n simetli pve stujne niti končne dužine, ( cosθ cos( π )) 4π θ, tn θ b / / b tn θ slede izzi z jčine mgnetnih polj koj potiču od povodnik koji koincidiju s stnicm pvougonik i b, espektivno, b cos ctn πb i b cos ctn π b b. Jčin mgnetnog polj zvisi od odnos stnic pvougonik. Nek je zbog jednostvnosti b. Ako se odnos stnic pvougonik oznči ko n / b, ukupn jčin mgnetnog polj u peseku dijgonl pvougone stujne kontue može d se izzi ko cos ctn + cos ( ctn n ) πb n n, n. b Kd je n, b, pvougonik postje kv. Jčin mgnetnog polj u centu kv je četii put već od one koju bi stvl smo jedn stnic. Kd n, tj. kd je >> b, pvougonik degeneiše u dve ntiplelne pve. Mgnetno polje je dv put veće od onog koje bi stvl smo jedn pv. Dve ntiplelne polupve, n istim stojnjim od tčke, poizvode u toj tčki istu jčinu mgnetnog polj ko i jedn pv. b / O b / b πb πb πb Rdi poeđenj s nije izvedenim izzim potebno je izvšiti smenu b, je su poslednji izzi izvedni z stojnje koje je polovin kće stnice pvougonik.

50 5 Dejn M. Petković. Mnogougon i kužn stujn kontu Nek je žičn kontu oblik pvilnog mnogougl, upisn u kužnicu polupečnik. Mgnetno polje u centu kužnice (mnogougl) je jednko poizvodu boj stnic i mgnetnog polj koj potiče od jedne stnice, tko d je N α tn( α / ) N π N tn tn π α / π N, gde je α π / N centlni ugo, i N boj stnic mnogougl. Kd se boj stnic neogničeno uvećv, mnogougo teži kužnici, p sledi d je izz z mgnetno polje stujne kužnice u njenom centu, tn( π / N) lim. π / N N α Koisti se činjenic d je tn x sin x lim lim. x x x x Mnogougo N N 4 N 6 N N N π 4 π π ( ) π Do izz z mgnetno polje u tčkm n osi kužne stujne kontue polupečnik se dolzi i diektnom pimenom iot- Svtovog zkon. Td je dl dθ, dl R R dθ, R + z d d cos(, ) d z R + 4π d l l R R z. d R d O d z z dθ d l π z dz dθ. / 4π ( z + ) N osi kontue dijlne komponente vekto mgnetnog polj koje potiču od centlno simetičnih stujnih element se nuliju i ostje smo ksijln komponent. Mgnetno polje u centu kužnice se dobij kd se u fomulu zmeni z. / / z + z K ( ) ( +, ) K, z

51 Elektomgnetizm 5 4. Mgnetno polje kužnog luk i polupve Stujn kontu sstoji se od kužnog luk cenlnog ugl α i polupečnik, i dve polupve koje luk tngiju u tčkm spjnj. Opšti izzi z jčine mgnetnih polj delov ove stujne kontue su nije izvedeni (lekcije 7 i ). Kužni luk α α θ π d 4 4π Polupv (cosθ 4π cosθ) 4π α + ( + π α ) 5. Mgnetno polje n osi mnogougone kontue U opštem slučju, tčk u kojoj se izčunv mgnetno polje nije u centu mnogougone stujne kontue. z fomule koj je nije izveden (lekcij 7), N tn β πb jednostvnim tnsfomcijm se dobij fomul z polje u tčkm n osi, Nz z N NR β α R b N sin α α ( z + cos ( α / )) z + u kojoj su potebne veličine izžene pomoću centlnog ugl pvilnog mnogougl α π / N i polupečnik opisne kužnice, i gde je N boj stnic mnogougl. U specijlnom slučju, kd N dobij se fomul z mgnetno polje n osi kužne stujne kontue (lekcij ). zˆ, K + / ( z ) Odnos jčin mgnetnih polj koje u istoj tčki svoje ose stvju kužn kontu i mnogougo koji je u nju upisn dovode do ideje o pibližnom izčunvnju (poceni) mgnetnog polj. z tn α / Nz sin α ( z / ) + sin α z α / α ( z / ) + cos ( α / ) α z

52 54 Dejn M. Petković 6. Mogućnost pocene jčine mgnetnog polj Ako kužnic opisn oko mnogougl im polupečnik, td kužnic upisn u mnogougo im polupečnik b cos( α / ). Jčin mgnetnog polj koj potiče od stujne kontue oblik pvilnog mnogougl se može poceniti ko sednj vednost jčin mgnetnih polj koj potiču od upisne i opisne kužne stujne kontue. Uticj geometije kontue n vednost mgnetnog polj je njveči u centu kontue. Mgnetno polje u centu kontue Opisn kužnic Upisn kužnic Mnogougo tčn vednost Mnogougo pocenjen vednost u N s b cos ( π / N) α N π N tn tn π π N ( + ) + Odnos N N sin ( π / N) tčno/usednjeno π + cos ( π / N) s u cos( π / N) Mnogougo N N 4 N 6 N N N / s Koisteći pethodno izvedene fomule, n isti nčin je moguće poceniti mgnetno polje u bilo kojoj tčki n osi kontue. Z potebe tkve pocene koisno je poučiti odnos jčin mgnetnih polj koje u istoj tčki stvju mnogougon i kužn stujn kontu. N K sin α α z z + + cos ( α / ) N mlim stojnjim od cent kontue, z / <.5, mnogouglovi s mnjim bojem stnic stvju veće polje od onih s većim bojem stnic ili od kug / N K N N 6 N 4 N z / Rzlog z to je činjenic d su stnice tkvih mnogouglov bliže svom centu. N velikim stojnjim efekt blizine je znemljiv i jčin polj je szmen mgnetnom momentu, tj. povšini kontue.

53 .Jedinic z ljudsku pokvenost je jsmin, u čst Jsmine Rdosvljević Elektomgnetizm Helmholtzovi i gdijentni klemovi Nek su e dve koksijlne kužne stujne kontue istih polupečnik,, koje su opticne stlnim stujm iste jčine i sme,. Dlje, nek su centi kontu n međusobnom stojnju d, i nek je koodintni početk polno-cilindičnog koodintnog sistem u centu jedne od kontu. Mgnetno polje u tčkm n osi im smo ksijlnu komponentu, d z z z) / / + + ( z ) ( ( z d) ) + + ( f ( z) f ( )) ( z Kd je stojnje između stujnih kontu znemljivo, d, td izz z mgnetno polje pokzuje d se dve bliske kužne kontue ponšjju ko jedn koz koju potiče stuj dv put veće jčine. U opštem slučju, tnk klem od N zvojk može se zmeniti kontuom koz koji potiče N put veće stuj. N polovini stojnj kontu, u okolini tčke z d /, izz z mgnetno polje je moguće izziti u fomi Tyloovog ed n z ( z) ( n) ( z d / ) 6 ( n) ( z d f ( d / ) + / f ( d / ) n n! (4 + d ) n n! / ) n, gde je f ( z) f( z) + f( z). U okolini ove tčke polje biti utoliko homogenije ukoliko je veči boj člnov Tyloovog ed moguće znemiti. Pvi izvod i svi ostli izvodi nepnog ed su (zbog simetije) u oj tčki jednki nuli. Dkle, njhomogenije moguće polje će se dobiti izjednčnjem dugog izvod s nulom. d f dz 6 ( d ( + ( / ) ) z d / d ) 7 / d z ( z) z d / Dve kužne kontue n međusobnom stojnju koje je jednko polupečniku kontu čini Helmholtzov p koji im veom šioku pimenu. Homogeno polje se pimenjuje u velikom boju ueđj u koje spd i elimincij uticj Zemljinog mgnetnog polj z / f (z) f ( z ) f ( z ) z / d

54 56 Dejn M. Petković zčunvnje mgnetnog polj u tčkm koje ne pipdju osi obuč je zntno složenije (lekcij 44). Rdi vizuelizcije homogenosti ostvenog polj pikzn je odnos mgnetnih polj δ (, z) / (, d / ) koji podzumev tkv izčuvvnj. / d d δ.6 δ. δ.8 z / d Mgnetno polje u tčkm n osi dv kužn obuč jednkih polupečnik koz koje potiču stuje istog intenzitet li supotnih smeov izčunv se n isti nčin ko u pethodnom slučju, smo što sd dugi sbik u osnovnom izzu im negtivn znk. z ( f ( z) f ( )) ( z) z, f ( z) f( z) f( z) Ovo je ntisimetični slučj kd su vednosti funkcije i svih izvod pnog ed jednki nuli u sedištu između pstenov. Tko u Tyloovom zvoju ostje ( z) z d ( z d / ) 5d + ( ( )! + ( d / ) 5/ ( + ( d / ) ) Ako je i teći izvod funkcije jednk nuli, td će u okolini sedišnje tčke pomen mgnetnog polj biti linen. z tog uslov se sledi d. Dv jednk klem n ovom stojnju čine gdijentni p U litetui se seće i nziv Mxwellovi klemovi, što nije tčno. Mxwell je do poboljšnje homogenosti polj dodjući još jedn klem u Helmholtzov p. Time se može postići d izvod četvtog ed bude jednk nuli, što znči još homogenije polje. z / d d 9/ ) ( z d / )! +... f ( z ) f ( z ) z / d / d d z z z / 7 /8 / / 7 /8 z / d Linen mgnetn polj imju veliku pimenu uključujući dijgnostiku mgnetnom ezonnsom. Zbog tog se istživnj spovode n klemove kvnog oblik ili oblik sedl (ptent iz 957. godine, M. J. Goly).

55 Elektomgnetizm Mgnetno polje n osi solenoid Nek solenoid im polupečnik i končnu dužinu L, koj je szmen boju nmotj, debljini povodnik i koku nmotvnj. Tko postoje gusto i etko motni slolenoidi. Međutim, solenoid može d bude nčinjen iz više slojev nmotj. U svkom slučju solenoid je končn boj elementnih koksijlnih stujnih kontu. Ako je boj nmotj po jedinici dužine solenoid N / L, td je pem fomuli z mgnetno polje n osi kužne stujne kontue (lekcij ) N z dz / L ( + ( z z ) ) d sin α + ( z z ) z dz α α N, f (z) L z ( z z z cot α, d z / sin α α N z sin α dα, L z α N cos L cosα α ) Opšt fomul z N L z + L / + ( z + L / ) z L / + ( z L / ) Ovde je s obeležen on vednost mgnetnog polj koj se donij pimenom Ampèeovog zkon (lekcij 4). Teoijski ovj zkon dje tčn ezultt smo z beskončno dug solenoid je je td lim f ( z). L Pktično, kod solenoid čij je dužin desetk put već od polupečnik, polje je u njvećem delu dužine homogeno. Jčin mgnetnog polj u sedini solenoid. z Jčin mgnetnog polj L z ± n kjevim solenoid.. z. / L.5.. z / L - N L N L + ( L / ) L L L + L

56 58 Dejn M. Petković Jčinu mgnetnog polj nije moguće povećti povećevnjem boj nmotj u jednom sloju, je veći boj nmotj znči szmeno veću dužinu, tj. odnos N / L je stln. Kod vitkih solenoid (dužin je zntno već od polupečnik popečnog pesek). Z jčinu mgnetnog polj u sedini solenoid se dobij izz koji bi se dobio i pimenom Ampèeovog zkon. N kjevim solenoid mgnetno polje je dvostuko slbije nego u sedini. Kod veom ktkih solenoid, koji se sstoje od p nmotj, dužin je znemljivo ml, p je i zntno mnj od polupečnik nmotj. Mgnetno polje n kjevim je isto ko u sedini i isto s ko polje kužne kontue. L >> L L << N L N L L N Ako se u počun uključe veličine koje se lko mee, to su jčin polj n kju solenoid i stojnje tčke n osi od kj solenoid, ond se iz opšte fomule dobij fomul koj se njčešće pimenjuje u pksi, i koj vži z bilo koje stojnje. + L z + L z z L S N L + ( z + L) + z L Kd je stojnje tčke u polju zntno veće od dužine dipol, uglovi pod kojim se vide kjevi solenoid se vlo mlo zlikuju i opšt fomul može d se peuedi n sledeći nčin. Dipoln poksimcij cosα cosα sin( Δα / )sin( α + Δα / ) Δαsin α z >> L α α α α + Δα Δα Δ tnα tnα tnα L z z sin α tn α / z L z L / z + L / z N L N π NS m z f ( z) L z π z π z π z m S velikih stojnj solenoid se vidi E π z ko mgnetni dipol (lekcij 4). πε Potpuno istu fomu im izz z elektično polje n osi elektičnog dipol, koji je izveden n osnonu postojnj tčkstih nelektisnj n kjevim. q q L p E 4 4πε z ( z + L) 4πε z πε z _ L + z p z E z

57 Elektomgnetizm Mgnetni vekto potencijl Vekto mgnetnog polj zdovoljv dve osnovne jednčine, tj. dv osnovn zkon. Zkon o konzevciji mgnetnog fluks Ampèeov zkon Uvedimo pomoćnu vektosku funkciju, koj je nzvn mgnetni vekto potencijl, s oznkom A. Jedinic z mgnetni vekto potencijl je tesl put met, što će to biti pokzno u ksnijem izlgnju. \\ div ot J ot A [ A ] Tm Pv jednčin će biti utomtski zdovoljen, je je z bilo koju vektosku funkciju divegencij oto jednk nuli, div(ot A). Dug jednčin td postje ot (ot A) gd(div A) ΔA J. div A V ektosko polje (Helmholtzov teoem), koje s stojnjem,, opd njmnje ko / je jednoznčno definisno ko su poznti oto i divegencij. Divegencij vektoske funkcije A nije ni jednim fizičkim uslovom odeđen i može se odbti poizvoljno. Uopšte, potencijli nisu jednoznčno odeđene funkcije (Svesk ). Ako se izbee d je div A, td se pethodn jednčin svodi n oblik koji je svšen nlogij s Poissonovom jednčinom z elektični skl potencijl u elektosttici. Rešenj obe jednčine su tkođe nlogn. Mgnetni vekto potencijl Δ A J J A π dv 4 R V dl A π lˆ 4 R Elektični skl potencijl ρ Δ ϕ ε ϕ ρ 4πε R dv ϕ 4πε V q dl R Pimenom Stokesove teoeme između fluks mgnetnog polj i mgnetnog vekto potencijl je moguće uspostviti vlo jednostvnu i koisnu elciju. Φ ds ot AdS Adl A d Φ l [ A ] Tm S S

58 6 Dejn M. Petković 4. Mgnetni vekto potencijl pvog povodnik Mgnetno polje koje u svojoj okolini stv neogničeno dug cilindični povodnik lko se odeđuje pimenom iot-svtovog zkon (lekcij ). Z odeđivnje mgnetnog polj u unutšnjosti povodnik (i u okolini) teb pimenti Ampèeov zkon u integlnom obliku (lekcij 9). Kko će biti pokzno (lekcij 4), di se o jednom istom zkonu u dv zličit oblik koji se dobijju jedn iz dugog. U integlnom obliku ovj zkon je delotvon smo kod geometij s viokim stepenom simetije gde se dobijeni integli mogu eltivno lko ešiti. Mtemtičke teškoće se pojvljuju već kod odeđivnj mgnetnog polj u tčkm vn ose kužne stujne kontue (lekcij 44). Zto se ponekd Ampèeov zkon pimenjuje u difeencijlnom obliku (lekcij 9). Često se do ešenj elektomgnetih poblem lkše dolzi pomoću funkcij potencijl. Ovde će to biti ilustovno n, već više put ešenom, tivijlnom pimeu pvog neogničeno dugog povodnik. Nek je pv povodnik polupečik usmeen u pvcu z -ose. Gustin stuje je unifomn po popečnom peseku, mgnetni vekto potencijl im smo z - komponentu koj zbog osne simetije zvisi smo od -koodinte. Az ot A θ ˆ θθ ˆ Mgnetno polje, ko što je poznto, im smo θ -komponentu. Roto i divegencij funkcije (, θ, z) u polno-cilindičnim koodintm ˆ ot div θˆ θ zˆ z θ z ( ) + θ θ z + z Kd se u Ampèeov zkon uvsti mgnetni vekto potencijl, A ot ot (ot A) ( θ ) zˆ z zˆ J,, dobijju se dve difencijlne jednčine dugog ed. d z J, d A daz + d, Očigledno d je ešenje homogenog del pve jednčine po fomi isto ko opšte ešenje duge jednčine. U obe integcije homogen difeencijln jednčin zdvj pomenljive. Ptikulni inegl se dobij metodom vijcije konstnti. ez ulženj u postupk ešvnj (je je elementn) pikzno je končno ešenje.

59 Elektomgnetizm 6 J ln +, A z 4 D ln + D, θ daz d J, D, Konstnte inetgcije teb odediti iz fizičkih uslov. Pvo, n osi povodnik mgnetni vekto potencijl mo d ostne končn, što zn či d logitmski čln teb odbciti, tj.. Dugo, mgnetno polje n povšini povodnik mo d bude nepekidn funkcij. Pošto je već, to sledi da da z z D d d + 44 { ( ) θ ( + ) θ Tko se dobij končni izz z mgnetno polje koji je i nije izveden. Međutim, time poblem nije ešen do kj. U izzu z mgnetni vekto potencijl još uvek postoje dve konstnte čij vednost nije odeđen. Kd nem stuje nem ni potencijl, odkle pogešno sledi d je D J J D J, π θ J, π J, A 4 z J D ln, S ovko odeđenim konstntm mgnetni vekto potencijl ne bi bio nepekidn funkcij n zdvojnoj povtšini. poed tog što ove konstnte ne utiču n izze z mgnetno polje, je se u postupku difeencinj gube, ešenje teb pezicno dovesti do kj, je mgnetni vekto potencijl (ko i sve funkcije potencijl) mo d bude nepekidn i difeencijbiln funkcij. D bi obezbedil nepekidnost teb d bude J J Az ( ) Az ( + ) D ln 4 Poslednj jednkost može d bude zdovoljen ko su obe stne jednke nekoj konstnti, njjednostvnije je d budu jednke nuli. Tko se dobij J 4 J ( ), A 4π z 4 J D ln J ln ln, π Lko se povev d je div A i ot A J, što znči d je ešenje tčno li ne i jedinstveno (što je uopšte slučj kod potencijl).

60 6 Dejn M. Petković 4. Mgnetni vekto potencijl pve stujne niti Stujn nit dužine L koincidi s z - osom Desctesovog koodin tnog sistem, koodintni početk je n polovini niti. Tčk M (x, y) se nlzi n simetlnoj vni n stojnju od koodintnog početk, x + y, R + L. z L d l L R d A z x M ( x, y ) y d zz z jčinu mgnetnog polj se dobij iz pethodno izvedenih izz. Mgnetni vekto potencijl im smo z komponentu. Z tčke koje pipdju simetlnoj vni je Kd je 4π L, L + L >> vlo pibližno je L A z dz L + L + ln 4π. z + π i π A z L ln. π U slučju beskončno duge stujne niti i mgnetni vekto potencijl im beskončnu vednost. Međutim, jčin mgnetnog polj je končn. Tkođe, mgnetno polje se dobij ko izvod mgnetskog vekto potencijl p se difeencinjem gubi uticj izbo efeentne tčke. Az A ot ˆ z ˆ x y ( yxˆ A + xyˆ) y x π π Pojekcije u pvcim Desctesovih koodintnih os pedstvljju θ komponentu u polno-cilindičnom koodintnom sistemu. Dve plelne stuje supotnih smeov stvju mgnetni vekto potencijl koji je jednk zlici A. Ako su nosioci stuj z A z A z jednke duži L >>,, stuje jednkih jčin, sledi izz koji je svšen nlogij s izzom z elektični skl potencijl koji stvju dv podužn A z ln π nelektisnj supotnog znk. Končni izz z mgnetni vekto potencijl ne zvisi od dužin stujnih niti i zto vži i z beskončno duge ntiplene stujne niti. A z A z

61 Elektomgnetizm 6 4. Anlogij između stujne niti i nelektisne niti Pethodni ezultt dovodi do ideje d je pethodno uočenu nlogiju moguće pošiiti. Anlogij q / ε Mgnetosttik - Stujn nit Elektosttik - Nelektisn nit q ( cosθ cosθ ) E ( cos θ cos θ ) 4π 4πε Simetln vn, cos θ cos θ. L q L E + πε L + Veom dug ili neogničen nit, L >> ili θ i θ π. π L π q πε E Ampèeov zkon dl S q E ds ε Potencijli u tčki koj pipd simetlnoj vni Mgnetni vekto potencijl L + A z ln π L L A z ln π + Gussov zkon Elektični skl potencijl q ϕ πε L + ln L + L >> Dve plelne niti q L ϕ ln ε π Stuje supotnih smeov Nelektisnj supotnih znkov A z ln π ln ϕ q πε

62 64 Dejn M. Petković 4. Ampèe-Lplce-iot-Svtov zkon Kd su stuje knlisne povodnicim fomul z mgnetni vekto potencijl se svodi n linijski integl. U ovim zmtnjim jčin stuje je konstntn veličin i može d se piše isped znk integl. dl A 4π R l dl π ot 4 R Podintegln funkcij je, pem pvilim vektoskog čun, postoni izvod poizvod dve funkcije, tj. ot dl gd dl + ot dl. R R R Dugi sbik je jednk nuli, z pvi sbik je potebno odediti gdijent ecipočne vednosti vekto položj. Tko se dobij končn izz z vekto mgnetnog polj. Fomulu je izveo Lplce n osnovu ezultt Ampèeovih i iot-svtovih ekspeiment (lekcij ) p se seće, istin veom etko, koektn nziv ALS zkon. Difeencijlni oblik ove fomule, koji odeđuje mgnetno polje stujnog element, i njpozntiji utoi nzvivju iot-svtov zkon! ot d l gd R 4π l d l R R l R R ˆ dl R d 4π R Pvc vekto elementnog mgnetnog polj d je nomln n vn koju definišu vekto d l i vekto položj tčke, R, u kojoj se polje izčunv. Sme ovog vekto se odeđuje (ko kod svkog vektoskog poizvod) po pvilu desne zvojnice. ntenzitet vekto mgnetnog polj je diektno szmen povšini plelogm koji gde vektoi d l i R, tj. sinusu ugl koji ovi vektoi zklpju. d l θ d 4π R d R sin (dl, R)dl U difeencijlnom obliku Ampèe-Lplceovu fomulu nije moguće ekspeimentlno potvditi, li se zto veom jednostvno potvđuje u svim slučjevim stujnih kontu končnih dimenzij.

63 Elektomgnetizm Kužn stujn kontu - mgnetni dipol Linije polj mgnetnog vekto potencijl u z okolini kužne stujne kontue su kužnice s centim n osi kontue. Jčin A z M mgnetnog vekto potencijl, zbog osne simetije, ne zvisi od ugl φ i im smo θ R ρ ugonu komponentu A A φ. Zbog tog je tčku, u kojoj se mgnetni vekto potencijl x φ odeđuje, moguće odbti u vni φ. π J A dv ˆ φ dlφ A φ cosφ 4π R 4π R dφ, 4π R V V gde je u cilindičnim koodintm R + z R + + z cosφ. Smenom φ π α, d φ dα, cos φ sin vekto potencijl postje y d l α, izz z mgnetni Aφ π π / (sin ( + ) + z α )dα 4 sin α π / k (sin α )dα π, k sin α gde je uveden oznk 4ρ k ( + ) + z 4 k. ( + ) + z Podinteglnu funkciju je moguće npisti u obliku sin k φ sin α k k k sin α p se peueđenjem dobijenog izz dobij d je k sin α, A π gde su k K( k) E( k k φ k ) π / K( k) ( k sin α π / ) dα, k) potpuni eliptički integli pve i duge vste (pilog E). Aφ f ( ) π k / E ( ( k sin α) dα,

64 66 Dejn M. Petković Pošto je K ( k) E( k) K( k), k k( k ) k E ( k) E( k) K( k), k k k k z k ( + ) + z 4 ( + ) + z 4 8z [( + ) + z ] 4 ( + ) + z ) [( + ) k z, 4 8 ( + ) k k ( + ), + z ] 4 u cilindičnim koodintm z komponente mgnetnog polj se dobij Aφ z Aφ k k z kz + + z 4π ( ) + z E( k) K( k ), φ, z ( Aφ ) ( Aφ ) k k 4π k ( ) E ( k) + K( k z + z ). U specijlnom slučju kd tčke u kojim se odeđuje polje pipdju osi kontue,, k, eliptički integli se svode n tblične slučjeve, z komponente polj se dobijju od nije poznti izzi. K ( ) E() π /, φ z + / ( z ) Kd su tčke u kojim se odeđuje polje n velikim udljenostim od stujne kontue pogodno je poblem zmtti u sfenim koodintm. ilindičn koodint z se eliminiše pomoću ρ + z i ρsin θ. Tko se z stojnje između tčke u polju i tčke izvo polj dobij R + + z cosφ ρ + ρsin θcosφ. N velikim stojnjim je ρ >> p je R ρ + sin θcosφ ρ sin θcosφ. ρ ρ ρ Z izčunvnje ecipočne vednosti stoj nj teb iskoistiti Tyloov ed odgovjuće funkcije i zdžti smo nulti i pvi čln,

65 Elektomgnetizm 67 i i x / ( )!! ( ) x ( x ) / + x + x +..., i i! odnosno sin θcosφ R ρ ρ / Z mgnetni vekto potencijl se tko dobij + sin θcosφ. ρ ρ π π Aφ φ φ + πρ cos d π ρ 44 sin θ cos φdφ 4ρ 44 π / sin θ, ρ >> Pvi sbik, čiji je dopinos jednk nuli, odgov mgnetnom monopolu, dugi mgnetnom dipolu. Dobijeni izz nije tčn, već je smo veom dob poksimcij z mgnetni vekto potencijl n velikim stojnjim. Z dobijnje tčnog izz ecipočnu vednost stojnj teb upotebiti tvoj u ed bez znemivnj kvnog čln. Td će se pojviti uticji viših multipol (kvdupol, oktopol...) Ako se zbog jednoznčnosti u zpisivnju fomul, stvi umesto sfenom koodintnom sistemu je ˆ θˆ sin θ φˆ ot π A (cosθˆ + sin θ ˆ) θ φ 4π θ, A A sin θ A θ U vektoskom obliku izz z mgnetni vekto potencijl je ˆ ˆ m ˆ m A π A φ φ φ, 4π 4π 4π φ >> ρ, u odkle može d se dobije izz z mgnetno polje koji ne zvisi od izbo koodintnog sistem. m ot A ot gd ( m ) + ot ( m ) 4π 4π gd ot ( m ) m 5 ( b c) ( c) b ( b) c m ( ) m ( m ) ( m ) m ( mˆ) ˆ m 5 4 π 4π

66 68 Dejn M. Petković Pošto je izz z mgnetni vekto potencijl kužne stujne kontue izveden z velik stojnj od kontue, to je odeđivnje mgnetnog polj iz tog izz zpvo dipoln poksimcij. Postvlj se pitnje koliko je t poksimcij tčn. Z kužnu stujnu kontuu postvljenu ko n početnoj slici se dobij: Mgnetni (dipolni) moment kužne stujne kontue je (lekcij 7) Dipoln poksimcij (ov lekcij) U sfenim koodintm je z ˆ cosθˆ sin θθˆ, p se dobij dipoln poksimcij (ov lekcij). U tčkm n osi kontue je ˆ zˆ, z i θ. Tčno ešenje (lekcije i 4) Z dleke tčke, dobij isti ezultt. z >>, p se m π zˆ ( mˆ) ˆ m 4π π [cosθˆ zˆ 4π π (cosθˆ + sin θ ˆ 4π θ zˆ z zˆ / ( + z ) zˆ z ] ) Mgnetno polje kužne stujne kontue u dlekoj zoni je dipolno dominntno. Moment monopol je jednk nuli, momenti višeg ed su znemljivi u odnosu n dipoli moment. Dkle, z velik stojnj kužn stujn kontu je mgnetni dipol. zz z mgnetno polje mgnetnog dipol je potpuno nlogn izzu z elektično polje elektičnog simetičnog dipol (Svesk ). Detljn nlogij između mgnetnog i elektičnog dipol biće pikzn u ksnijem izlgnju ( lekcij 48). Međutim, t nlogij nije svšen. Elektični dipol je moguće stviti n dv pojedinčn tčkst nelektisnj koj pedstvljju monopole. Tkv mogućnost kod mgnetnog dipol ne postoji. Postojnje mgnetnih monopol u piodi nije do sd uočeno, niti je dokzno njihovo postojnje koje je 9. godine pedvideo Dic. Veze između jediničnih vekto: Desctesovi peko sfenih Sfeni peko Desctesovih ˆx sin θcosφ ˆ + cosθcosφθ ˆ + sin φφˆ ˆ sin θcos φ xˆ + sin θsin φ yˆ + cos θ zˆ yˆ sin θsin φˆ + cosθsin φθ ˆ + cosφφˆ θ ˆ cos θcos φ xˆ + cos θsin φ yˆ sin θ ẑ z ˆ cosθˆ sin θθˆ φ ˆ sin φ xˆ + cos φ yˆ

67 Elektomgnetizm Mgnetni vekto potencijl solenoid Opšte integlne fomule z mgnetni vekto potencijl koje su poistekle iz nlogije s elektosttičkim poljem nije moguće pimeniti kod domen neogničenih dimenzij. Kd je povodnik beskončno dug z mgnetni vekto potencijl se dobij beskončn vednost (lekcij 4). To je slučj i kod beskončnog dugog solenoid gde nije moguće pimeniti Ampèeov zkon u integlnom obliku (lekcij 4). Poblem je sličn poblemu odeđivnj mgnetnog vekto potencij koji potiče od debelog povodnik (lekcij 4). Međutim, u ovom slučju postoji jedn skiven mogućnost (lekcij 9), to je potpun nlogij između cikulcij vekto mgnetnog polj i mgnetnog vekto potencijl. Ako je moguće odediti mgnetno polje znjući kontuom obuhvćenu stuju, ond je moguće odediti mgnetni vekto potencijl znjući fluks koz povšinu. Posledic definicije Ampèeov zkon A d l Φ dl D bi odedili mgnetni vekto potencijl solenoid, čiji je polupečnik, potebno je upotebiti zmišljenu kužnu kontuu polupečnik, isto ko kod pimene Ampèeovog zkon. Z tčke u unutšnjisti, <, koz povšinu koje je obuhvćen zmišljenjenom kontuom polzi smo deo fluks, dok koz povšinu koj je već od povšine popečnog pesek, >, polzi ukupn fluks. π,, Adl ds Aπ A S π,,. Polje mgnetnog vekto potencijl uvek liči n mgnetno polje. Tko je i u ovom N slučju. U dobijeni izz teb još uvstiti θˆ, A L izz z mgnetno polje, koji se dobij N pimenom Ampèeovog zkon, i sve θˆ, L npisti u vektoskom obliku. N kju ostje pove ezultt. D li je funkcij nepekidn? D li oto dje mgnetno polje? D li je divegencij jednk nuli? Q.E.D. A( ) A ( + ) ot A ( Aθ ) zˆ zˆ Aθ div A θ

68 7 Dejn M. Petković

69 MAGNETNO POLJE U MATERJ

70 Mijn Rdić, 6

71 46. Mgnetno polje u mteiji - mgnetizcij Sve mteije su podložne mgnećenju, md se efekti mgnećenj kvntittivno zlikuju od mteije do mteije. Svojim pisustvom mteije menjju stuktuu i jčinu polj u koje su unete. Kod većine mteij mgnećenje nestje s nestnkom pimnog polj, li postoji gup mteij kod kojih mgnećenje ostje i posle nestnk pimnog polj, neke čk mogu i sme d stvju polje. Pem dnšnjem shvtnju mgnećenje mteije je posledic postojnj mgnetnih moment u tomim i gupm tom (molekuli) gde su elektoni i jezg tom nosici nelektisnj u poketu. Potoni imju mgnetni moment, li je on zntno mnji od mgnetnog moment elekton. Elektoni u tomu vše složeno ketnje koje se može opisti obtnjem elekton oko sopstvene ose, odkle potiče mgnetni moment spin (lekcij ) i ketnjem po obiti oko jezg, odkle potiče obitni mgnetni moment (lekcij 6). Mkoskopski gledno, sve elementne mgnetne momente je moguće pipisti elementnim miko stujm koje teku u mteiji obzujući mnoštvo elementnih stunih kontu. Ampèe je pvi petpostvio postjnje ovkvih stuj koje su zto nzvne Ampèeove mikostuje. Hipotez o mikostujm je postvljen zntno pe otkić elekton, u to dob nije bilo moguće objsniti odžvnje ovih stuj bez utošk spoljšnje enegije. U odsustvu spoljšnjeg mgnetnog polj mgnetni momenti elementnih stujnih kontu su oijentisni u svim pvcim tko d se ne pimećuju bilo kkvi mkoskopski efekti (izuzev kod stlnih mgnet). Međutim, kd se mteij unese u stno polje, zbog dejstv elektomgnetnih sil, elementne stujne kontue teže d se postve u položj pi kome će se pvci i smeovi vekto mgnetnog polj miko i mko stuj poduditi. Zbog temičkog ketnj ueđivnje elementnih stujnih kontu nije potpuno, li je mkoskopski efekt zličit od nule. M M > Mkoskopsk veličin kojom se kkteiše nmgnećenost ili nenmgnećenost mteije je zpeminsk gustin mgnetnih moment ili vekto mgnetizcije. Jedinic z ovu mkoskopsku veličinu se dobij iz definicije mgnetnog moment. M ΔV [ M ] ΔV Am m m A m

72 74 Dejn M. Petković 47. Vezne stuje Kd je mteij nmgnetisn zpeminsk gustin mgnetnog moment je već od nule i deo zpemine im odeđeni mgnetni moment. Elementni mgnetni dipoli potiču od elementnih stujnih kontu. Ako je nmgnetisvnje homogeno, mgnet- dm izcij je u svim tčkm del zpemine ist i M jčine stuj elementnih kontu su jednke. Može d se uoči d se stuje u susednim stnicm kontu međusobno poništvju. Kontue n gnicm zpeminine nemju odgovjuće dv dz susede koji bi poništili stuju u gničnoj stnici. Deo zpemine je u mgnetnom smislu ekvi- dm M vlentn povšinskoj stuji, oblik tke, koj teče ds smo po obodu. Mnoštvo elementnih stujnih nˆ dz z kontu se može zmeniti jednom kontuom i d S odgovjućim mgnetnim dipolnim momentom. nˆ nˆ. dm M dv d m M d S d z, d m d ds d M d z Jčin i podužn gustin nstle povšinske stuje se dobijju izjednčvnjem dv izz z mgnetni moment stujne kontue.. Z vektoski oblik se uobičjeno koisti jedinični vekto spoljšnje nomle n povšinu. S J S S d J S M J S S / dz M nˆ z vektoskog zpis je jsno d ove stuje ne teku po osnovm elementne zpemine gde su mgnetizcij i jediničn noml plelni vektoi i gde je njihov vektoski poizvod jednk nuli. Pomlo je neobično što u ovom slučju ni jedno pojedinčno nelektisnje ne obiđe celu kontuu. Npotiv, svko nelektisnje im svoju ztvoenu putnju unut tom, sv nelektisnj zjedno, deo po deo, fomiju mkoskopsku stuju koj teče po povšini nmgnetisnog tel. Ako nmgnetisvnje nije homogeno, td se mgnetizcij menj od tčke do tčke. Zbog zlike u mgnetizciji, koj postoji između dv susedn elementn del zpemine, stuje elementnih kontu se neće u potpunosti poništvti. Jviće se stuje unut zpemine. Nek se mgnetizcij povećv u y -pvcu i z -pvcu. N gničnim povšinm nomlnim n te pvce pojvljuju se stuje tko d jednčin kontinuitet (Kichhoffov zkon) bude zdovoljen. dz z x M z dy M y y

73 Elektomgnetizm 75 Pem fomuli z jčinu povšinske stuje u slučju homogene mgnetizcije je d x dm z dz i - d x dm y dy. y x Ovde se umesto konstntnog vekto mgnetizcije koisti pitštj koji nstje od jedne do duge elementne zpemine po pvcu y -ose, odnosno po pvcu z -ose. M z( y + dy) M z ( y) M z d x ( M z ( y + dy) M z( y) ) dz dzdy dzdy dy y - d x M ( z + dz) M ( z) y yz y ( M ( z + dz) M ( z) ) dy dydz dydz y Zbi dobijen dv dopinos dje jčinu stuje koj teče u pvcu x -ose, tj. nomlno n elementnu povšinu koju gde pištji nezvisno pomeljivih po kojim se mgnetizcij menj. Ole se dobij jedn komponent gustine stuje. Z ukupnu stuju postupk teb ponoviti z još dve komponente J i J. y y z dz J x J x z M y M y z ot M z x M z M z M z y y x d z dy Ov stuj zdovoljvj jednčinu kontinuitet, je je divegencij oto uvek jednk nuli. Postoni izvod (oto) je jednk nuli kd je mgnetizcij homogen (konstntn u postou), p u mteiji ostju smo povšinski vezne stuje. Mgnetno polje koje stvju slobodne tj. mkoskopske stuje u pisustvu mteije može d se nlizi ko polje u vkuumu koje je nstlo istovemenim dejstvom mkoskopskih stuj i veznih stuj. Vezne stuje (ko vezn nelektisnj u elektosttici) je temin koji stlno teb d podseć d se di o Ampèeovim mikostujm koje stvju mgnetno polje po istim zkonim ko i mkostuje ili slobodne stuje. M R dm M dv A 4πR m R A 4π V R dv дмп дмп дмп M m dv V A 4π V J dv R A 4π V J dv + R 4π S J S ds R ota ot M M nˆ J J S

74 76 Dejn M. Petković 48. Anlogij između mgnetnog i elektičnog dipol U elektosttičkom polju uticj mteije je zmenjivn elementnim elektičnim dipolim (Svesk ), što je nlogno pikznom postupku. Do izvedenih izz z vezne stuje može d se dođe i stogo mtemtičkim putem, peueđivnjem integl z mgnetni vekto potencijl. Puno lepe mtemtike nije dovoljn zlog d ovo izvođenje bude pikzno. Fizički zsnovno izvođenje je ssvim dovoljno. Mgnetosttik Elektosttik Mgnetni moment Elektični moment m S p q d Mgnetni vekto potencijl Elektični skl potencijl m R A p R ϕ 4π R 4πε R π qd A ϕ sin θ ϕ cos θ 4π 4πε ot A E gdϕ Mgnetno polje dipol Elektično polje dipol [( m Rˆ) Rˆ ] 4 R m [( ˆ) ˆ E p R R p ] π 4πε R m (cosθˆ + sin θ ˆ) 4π θ p E (cosθˆ + sin θθˆ) 4πε dm M dv dp Pd V Vekto mgnetizcije Vekto polizcije M m P ΔV p ΔV ΔV ΔV Vezne stuje Vezn nelektisnj J ot M ρ v div P J S M nˆ η v D nˆ M R P R A dv ϕ 4π R d V 4πε R V V

75 Elektomgnetizm Uopšteni Ampèeov zkon i mgnetizciono polje Mkostuje podzumevju penos slobodnih nelektisnj, p se često koisti nziv slobodne stuje. Mikostuje potiču od nmgnetisnosti mteije i ezultt su ueđivnj elementnih mgnetnih dipol, p se nzivju vezne stuje. Mgnetno polje vnopvno potiče od svih stuj. U tom svetlu u izz z Ampèeov zkon teb doi jčine, odnosno gustine mikostuj. Homogeno nmgnetisn mteij dl + l + ( ) S Nehomogeno nmgnetisn mteij ot J + J d M dl ot J + ot M M dl ot M J Uopšteni Ampèeov zkon Uopšteni Ampèeov zkon u integlnom obliku u difeencijlnom obliku H d l ot H J Ovde je uveden novi vekto koji je Mxwell oznčio s H (lekcij ). Vekto je nzvn mgnetizciono polje (jčin mgnetnog polj, pilog A). Pekookenski istživči su (ko i uvek) bili zslužni z unošenje zbune kd su ovj vekto nzvli mgnetno polje. Td su moli d izmisle dugi nziv z vekto. Tko su nstli temini ko gustin mgnetnog fluks ili još goe vekto mgnetne indukcije, posebno što temin mgnetn indukcij im ssvim dugo znčenje u elektomgnetici. H M ( H + M ) A [ H ] m Mgnetizciono polje potiče isključivo od slobodnih tj. mkoskopskih stuj i zto kontu integljenj može d polzi koz povšine diskontinuitet. Uopšteni Ampèeov zkon je pimenljiv n homogeno i nehomogeno nmgnetisne sedine. dl dh... k

76 78 Dejn M. Petković 5. Linene mgnetne sedine N pvi pogled zpis uoštenog Ampèeovog zkon je isti ko i zpis oiginlnog zkon, smo što je uveden smen H. Međutim, u opštem slučju ov dv polj nisu kolinen. Roto - Ampèeov zkon ot J ot H J Divegencij - izvonost polj div div H div M To se odmh vidi iz izz z divegenciju ov dv polj. Pomenutom smenom bi se dobilo d je divegencij mgnetizcionog polj jednk nuli, što nije tčno. Smo kd je divegencij vekto mgnetizcije jednk nuli vektoi mgnetnog i mgnetizcionog polj su kolineni. U vkuumu je M p je H, ko što je u elektosttici D E. Kod većine mteijl mgnetizciju odžv stno mgnetno polje. Po pestnku delovnj polj, mgnetizcij iščezv. Tčnije, mgnetizcij je diektno popocionln jčini mgnetnog polj, M χmh. Ovkvi mteijli su lineni. Koeficijent popocionlnosti χ m je mgnetn susceptibilnost. Ko što se u elektosttici uvodi eltivn pemetivnost, tko se ovde uvodi eltivn pemebilnost, koj je ko i mgnetn susceptibilnost bezdimenzion veličin. Mgnetosttik Elektosttik ( H + M ) D ε E + P mgnetn Susceptibilnost elektičn M m H χ Linenost P χeε E ( + ) H D ε ( + ) E χm χe pemebilnost Reltivn pemetivnost + χ m ε + χe H D ε ε E H Konstitutivn vez D εe ε Ampèeov Uopšteni zkon Gussov ot H J div D ρ

77 Elektomgnetizm 79 z osnovnih jednčin z polj u linenim sedinm bez slobodnih stuj i nelektisnj J i ρ uočv se plel između elektičnih i mgnetnih veličin. Tko se dobij sledeć tnskipcij: D H E P M 5. Homogeno nmgnetisn sfe Mgnetosttik Elektosttik div div D ot H ot E H + M D ε E + P M χ H P ε χ E m ε χ m χe e Odeđivnje mgnetnog polj homogeno nmgnetisne sfee ( M const. ) ili elektičnog polj homogeno polisne sfee ( P const. ) su mtemtički složeni poblemi. Vezne stuje tj. vezn nelektisnj nemju homogenu spodelu po povšini sfee, što otežv pimenu osnovnih zkon u integlnom obliku. Nmgnetisn sfe J ot M M nˆ M sin θφˆ J S Polisn sfe ρv div P η P nˆ P cosθ v pk, kd se di o odeđivnju polj u unutšnjosti sfee do ešenj se može doći n jednostvn nčin. Unifomno polisn sfe se može pedstviti pomoću dve zpeminske gustine nelektisnj. ez polizcije dejstvo nelektisnj je kompletno poništeno. Kd je mteijl polisn sv pozitivn nelektisnj se mlo pomee u pvcu polizcije, sv negtivn u supotnom pvcu. Dve sfee se više ne peklpju u P d potpunosti. Nelektisnj n sfenim kpm su zpvo vezn povšinsk nelektisnj. U oblsti peklpnj,,, elektično polje nstje supeponijućim delovnjem dve homogeno nelektisne sfee. q qd PV P 4π E + E P 4πε 4πε 4πε 4πε ε Mgnetno polje se dobij upotebom goe nvedene tnskipcije. E ε P H D ε E + P P H + M M M M

78 8 Dejn M. Petković 5. Vezne stuje u pvom povodniku Z pimenu uopštenog Ampèeovog zkon fomi se zmišljen kontu bš ko i kod oiginlnog oblik. Koz pvolinijski povodnik neogničene dužine i polupečnik, koji se nlzi u slobodnom postou, potiče unifomno spodeljen stln stuj jčine. Zmišljen kužn kontu polupečnik im cent n osi povodnik. Uopšteni oblik Ampèeovog zkon (lekcij 49) H dl J ds pimenjen n kužnicu i (lekcij ). S, ztim Mgnetizcij je diektno szmen mgnetizcionom polju je je povodnik nčinjen od linenog mteijl (lekcij 5), M m H χ. Vn povodnik je χ m. Mgnetizcionom polju je diektno szmeno i mgnetno polje, s H + M ) ( + χ ) H H ( m, što dje poznt ezultt (lekcij ). Gustine veznih stuj se dobijju pomoću nije izvedenih fomul (lekcij 47). Potebno odediti oto vekto mgnetizcije (lekcij 49) u polno-cilindičnim koodintm, ot ( θ ˆ) zˆ. Končno se dobij ukupn jčin vezne stuje. π H θˆ, π χm π M, ( + χ π θˆ, π J J S θˆ, θˆ, m ) χm ot M zˆ π χm M nˆ zˆ π θˆ, J π + J π S U unutšnjosti povodnik mgnetno polje je szmeno pemebilnosti mteijl. Međutim, susceptibilnost je veom ml velićin, χ m <<, p je vlo tčno ko se z povodnike usvoji (lekcij ), osim ko se ne di o gupi mteijl koji su poznti ko feomgnetici.

79 Elektomgnetizm 8 5. Mgnetno polje solenoid - elektomgnet Uticj Ampèeovih mikostuj u homogeno nmgnetisnoj mteiji se svodi n uticj povšinskih stuj, je je M const. ot M J. J J S Nek se u unutšnjosti veom dugog solenoid nlzi cilindično jezgo. Mgnetizciono polje dugog solenoid ( L >> ) bez jezg (lekcij 8) se dobij pimenom Ampèeovog zkon. H l N d N H L U izzu z polje se pojvljuje jčin stuje pomnožen bojem zvojk po jedinici dužine solenoid, što je u kjnjem zpvo podužn gustin mkoskopske stuje. Odvde sledi d je N N mko H mko J S, J S L L Ovo mgnetno polje ueđuje elementne mgnente momente u mteijlu jezg i pojvljuje se mkoskopski efekt u vidu mgnetizcije. Vekto mgnetizcije je plelen osi solenoid i u svim tčkm im istu vednost. Osim kod posebne gupe mteijl (feomgnetici), linije polj vekto mgnetizcije u svenu liče n linije mgnetnog polj. Dejstv mikostuj u susednim domenim u unutšnjosti jezg se međusobno potiu i ostje smo stuj po povšini jezg. Ov povšinsk stuj tkođe stv mgnetno polje. J S M nˆ M J miko Ukupno mgnetno polje je zbi mgnetnih polj nstlih od svke od stuj posebno. Uopšte, mgnetno polje može d se izčunv ko polje u vkuumu nstlo jednovemenim delovnjem mko i mikostuj. odnosno, N mko + miko ( J S + J S ) + M, L ( H + M ) H + χ H ) ( + χ H H H m m) (. Ako je χ m > (pmgnetici) ukupno polje biće pojčno, ko je χ m < ukupno polje biće oslbljeno (dimgnetici). S

80 8 Dejn M. Petković 54. Gnični uslovi Gnične uslove z mgnetno polje n zdvojnoj povšini dv mgnetik je moguće izvesti iz opštih zkon, ko što je to uđeno z gnične uslove u elektosttičkom ili stcionnom stujnom polju. Δh ΔS n t α n α t H t H n H H n H H t J S Δl Δh Kd se zkon o konzevciji mgnetnog fluks pimeni z elementnu ztvoenu povšinu oblik vljk, čije su osnovice plelne zdvojnoj povšini i čij visin teži nuli, dobij se d su nomlne komponente mgnetnog polj s obe stne zdvojne povšine su međusobno jednke. S d S ΔS ΔS n n Vez između tngencijlnih komponenti vekto mgnetizcionog polj se dobij pimenom Ampèeovog zkon n elementnu ztvoenu kontuu oblik pvougonik čije su dve stnice plelne zdvojnoj povšini i čij visin teži nuli. H d l J ds H l H Δl J Δl Δh H H J S tδ t t t Pošto je fluks mgnetnog polj koz povšinu koj je ogničen kontuom čij visin teži nuli jednk nuli, to n osnovu definicije mgnetnog vekto potencijl (lekcij 9) sledi d su tngencijlne komponente jednke. Ad l ot AdS ds Φ, A t A t S S U mgnetosttici je divegencij mgnetnog vekto potencijl jednk nuli, p ole sledi d su i nomlne komponente ovog vekto jednke. div AdV AdS A n An V S Ako po zdvojnoj povšini ne teku povšinske stuje i ko su obe sedine linene dobijju se veze između peostlih komponenti polj. J S H Hn H n t t tn α tn α S

81 Elektomgnetizm 8 Z ilustciju pimene gničnih uslov njbolji je pime neognićenog povodnik s stlnom stujom koji leži n smoj zdvojnoj povšini dv mgnetn mteijl. Ko i nije, teb zočiti nlogiju koj postoji s odgovjućim elektosttičkim poblemom. Mgnetosttik Koncentične kužnice Linije polj ε ε Elektosttik + Rdijlni zci N gničnoj povšini postoje smo nomlne komponente tngencijlne komponente E n n E t t E E H H ε D εd Uopšteni zkon Ampèeov Uopšteni zkon Gussov H d l D d S q π D π + D π q H + H π H H D D ε H + π D ε π + q ε H H π( + ) D π( ε + ε) π( + ) D π( ε + ε) π( + ) Ako je q E π 4πε E π( ε + ε) Ako je ε ε ε ε ε ε q q q E E

82 84 Dejn M. Petković 55. Dijmgnetici, pmgnetici i feomgnetici Z zliku od elektične polizcije, koj je uvek istog sme ko i spoljšnje elektično polje, mgnetn polizcij tj. mgnetizcij može biti istog ili supotnog sme u odnosu n spoljšnje mgnetno polje. Mteijli kod kojih se indukuju mgnetni dipolni momenti supotnog sme u odnosu n spoljšnje polje imju negtivnu susceptibilnost (lekcij 5) i to su dijmgnetni mteijli (Gk: δια - koz, popeko). Sm temin potiče iz vemen pvih ekspeiment, kd je pimećeno d se uzok mteijl oblik štp okeće popečno u odnosu n pvc polj. Dijmgnetizm je posledic ueđivnj tomskih obit (lekcij 4) i vži z sve tome, smo što je kod nekih mteijl ovj efekt zmskin zntno snžnijim efektom koji je nzvn pmgnetizm. Mteijli s pozitivnom mgnetnom susceptibilnošću su pmgnetici (Gk: παρά - poed, blizu, ko). Elementni mgnetni dipoli se u stnom mgnetnom polju postvljju plelno s poljem. Pmgnetizm je posledic ueđivnj mgnetnih moment spin (lekcij ). Kko je mgnetni moment spin lkše zokenuti nego mgnetni moment cele obite ovj efekt je snžniji od dijmgnetizm. Svki elekton je mgnetni dipol z sebe i teblo bi očekivti d je i pmgnetizm univezln pojv. Međutim, elektoni u tomim su uvek u povim s supotnim spinovim (pincip isključenj), p je mgnetni moment tkve kombincije neutlisn. Zto se pmgnetizm pojvljuje smo u tomim (molekulim) s nepnim bojem elekton. Dijmgnetizm je, iz istog zlog, i poed tog što uvek postoji, pimetn smo kod tom s pnim bojem elekton. Sveg nekoliko supstnci, od kojih je njpozntije gvožđe, čini gupu feomgnetik (Lt: feum - gvožđe). Ove supstnce zdžvju mgnetizciju i po pestnku delovnj spoljšnjeg polj. Št više, mgnetizcij feomgnetik je odeđen istoijom mgnećenj, ne tenutnom vednošću polj. Stlni mgneti su tipčn pime (pilog ). Mgnetici Dijmgnetici χ m <, < Vod k Zlto Pmgnetici χ m >, > Vzduh Aluminijum Pltin Feomgnetici >> Gvožđe Nikl Koblt

83 Elektomgnetizm Mgnetn susceptibilnost dijmgnetik N elekton, koji oko jezg kuži po obiti polupečnik, deluje centipetln sil koj je uvnotežen s pivlčnom elektičnom silom. Kd se tom nlzi u stnom mgnetnom polju F F F ẑ m e c dono se pojvljuje i mgnetn sil. Nek je pvc mgnetnog polj upvn n obitu. v m Mgnetn sil je u pvcu koji spj elekton i jezgo, sme zvisi od sme stnog mgnetnog polj i od sme otcije elekton. Pem smeovim s slike mgnetn sil je usmeen ko i elektičn (lekcij ). D bi elekton osto n svojoj obiti centipetln sil mo biti već, to znči d će elekton ubzti ketnje. Pomen bzine dovodi i do pomene obitlnog dipolnog mgnetnog moment elekton (lekcij 6). Pomen bzine v > F c F e F c Fe + Fm v v m F e e F + ev e e m vzˆ m vzˆ e m e v > je ml (tko d je v v v + ) i može d se odedi oduzimnjem jednčin vnoteže. me m e e ev ( v v ) v ( v v) v v. m Pomen dipolnog moment, koj zpvo pouzokuje mgnetizciju, se dobij oduzimnjem odgovjućih izz, i očigledno je supotnog sme od sme stnog mgnetnog polj, m e m ( v v) zˆ e m m m. 4 Z dugi sme otcije elekton mgnetni moment bio bi oijentisn supotno. Mgnetn sil bi tkođe iml supotn sme. D bi elekton osto n obiti, centipetln sil mo biti mnj, tj. elekton će uspoiti svoje obtnje, v v <, i pomen dipolnog moment će ponovo biti supotnog sme od sme stnog mgnetnog polj. Končno, sd je moguće odediti mgnetnu susceptibilnost (lekcij 5), M m m e χm M. H V 6π m N pime, z zlto je 5pm, p sledi d je χ m.57, što je iznenđujuće tčno (tipičn vednost z dijmgnetike) je je ezultt dobijen metodm klsične elektomgnetike. e e 5 e

84 86 Dejn M. Petković 57. Feomgnetici Kod dijmgnetik i pmgnetik elementni dipoli su u ueđenom poetku dok deluje stno mgnetno polje. Feomgneticim nije potebno stno mgnetno polje d odže mgnetizciju. Uvek postoji nek ueđenost dipol koj je od nije zpmćen. Feomgnetizm, ko i pmgnetizm, počiv n ueđivnju mgnetnih momentt spin neupenih elekton. Međutim, kod feomgnetik postoji intekcij između susednih elementnih dipol i to ih čini bitno dugčijim od pmgnetik. U okviu mikoskopski mlih domen svki elementni dipol se oijentiše ko i njegov sused, li smi domeni su spoeđeni hotično tko d se njihov mgnetn polj poništvju. Nek je n smom početku mteijl nenmgnetisn. Unošenjem mteijl u stno mgnetno polje počinje pvobitno mgnećenje. Ovj poces nije linen i nije evezibiln. Težnji mgnetnog polj d uedi dipole (lekcij 4) supostvlj se težnj dipol d bude usmeen ko sused. Popuštju pvo dipoli koji su skoo u pvcu polj. N tj nčin gnice domen se šie tj. ste boj domen oijentisnih u pvcu polj. N kju poces mgnetizcije smo jedn domen zuzim celu zpeminu. S postom mgnetizcionog polj vlo bzo ste i mgnetno polje, li smo do pevojne tčke. Nkon tog, post vednosti mgnetnog polj je zntno uspoen, postje linen i pibližv se gničnoj vednosti. Gničn vednost odgov zsićenju tj. pojvi d su svi elementni mgnetni momenti u mteiji oijentisni u pvcu spoljšnjeg polj. Td je mgnetizcij mksimln, M M. H + M mx mx H + const mx H H Mgnetn pemebilnost feomgnetik nije konstntn veličin je vez između vekto M i H nije linen. Z svku tčku n kivoj pvobitnog mgnećenj mgnetn pemebilnost im dugu vednost, p se zto definiše difencijln mgnetn pemebilnost d. Pv koj dodiuje kivu mgnećenj u pevojnoj tčki dovodi do ideje d je, pi većem boju pktičnih počun, feomgnetike moguće lineizovti. Koeficijent pvc te pve je 'mgnetn pemebilnost'.

85 Elektomgnetizm uieov tempetu Feomgnetici imju još jednu vžnu kkteistiku. Mgnetn pemebilnost feomgnetik zvisi od tempetue. Nime, spontn plelnost vekto mgnetnih moment svih tom je osobin feomgnetik smo do odeđene tempetue. U oblsti spontne mgnetizcije mgnetn pemebilnost feomgnetik ste s postom tempetue, dostiže mksimum i ztim nglo opd. Kitičnu tempetuu je ekspeimentlno odedio Piee uie po kome je i nzvn uiejev tempetu. znd te tempetue feomgnetik je pmgnetik. χ m T c T Metl T [ K] T p [ K] Gvožđe 4 88 Nikl Koblt c Poeđenjem uiejeve tempetue Tc s tempetuom topljenj Tp dolzi se do zključk d se usijno jezgo Zemlje ne ponš ko feomgnetik. 59. Mgnećenje feomgnetik Ako se pilikom snimnj pvobitne kive mgnećenj u jednom tenutku jčin spoljšnjeg polj smnji z Δ H, smnjiće se i jčin mgnetnog polj z Δ, li neće imti pethodnu vednost već nešto veću od očekivne. U stvi, zbog smnjenj jčine spoljšnjeg polj neće bš svi elementni mgnetni momenti, koji su nije bili usmeeni, ponovo zuzeti pethodni hotičn postoni spoed. Mteij je upmtil pethodno mgnećenje. Jčine vekto i M ne zvise smo od jčine vekto H u tenutku posmtnj, već i od istoije mgnećenj. Ako se ztim jčin spoljšnjeg polj ponovo poveć z istu vednost Δ H, povećće se i jčin mgnetnog polj li z neko Δ koje je vlo mlo zličito od pethodnog. N gfiku funkcije pvobitnog mgnećenj pimećuje se jedn petlj koj postje ztvoen kd se ciklus smnjenje-povećnje ponovi više put. Ov pojv se nziv histeezis (Gk: histeezio - kšnjenje). Koeficijent pve koj polzi koz vhove ove petlje definiše evezibilnu (Nlt: evesibilis - povtn) mgnetnu pemebilnost. H Δ u ΔH

86 88 Dejn M. Petković 6. Histeezis Ako posle dostiznj mksimlne mgnetizcije, H mx M mx, mgnetizciono polje počne d opd od svog mksimum k nuli, opdće i mgnetno polje, li ne po kivoj pvobitnog mgnećenj. Kd jčin mgnetizcionog polj dostigne nultu vednost, mgnetno polje zdžv izvesnu vednost koj je nzvn emnentn (ili eziduln) mgnetizcij (Lt: emnens - koji ostje). To je zpvo mgnetno polje koje pokzuju stlni mgneti. Objšnjenje ove pojve je isto ko i objšnjenje pojve mlog histeezis n kivoj pvobitnog mgnećenj. Dlje, mgnetizciono polje menj sme i postje sve jče. Pi nekoj vednosti polj elementni mgnentni momenti će sttistički gledno ponovo biti u hotičnom postonom spoedu i emnentn mgnetizcij će biti jednk nuli. Mgnetizciono polje u toj tčki je koecitivno polje, H c (Nlt: coecitivus - pinudn, pisiln). Dlje povećvnje polj ueđuje elementne mgnetne momente u tom smeu sve do postiznj novog zsićenj. Kd jčin polj pomeni sme i koz nultu vednost počne d ste, ceo poces se ponvlj, li u supotnom smeu. Tko se dobij skoo ztvoen kiv, koj postje ssvim ztvoen ko se postupk ponovi više put. Ov kiv je histeezisn petlj (kiv ili ciklus). H m H H c N postojnju emnentne indukcije zsnivju se svi mgnetni zpisi, od mgnetofonske tke do čunskih diskov. Međutim, pesnimvnje podzumev pethodno zmgnećivnje feomgnetik. To se postiže obnutim postupkom. Jčin mgnetnog polj se od njveće vednosti smnjuje i ztim povećv u supotnom smeu. U nizu ciklus njveć jčin mgnetnog polj je uvek mnj od pethodne. To dovodi do sve mnjih i mnjih histeezisnih petlji. N kju postupk i emnentn indukcij je jednk nuli. Ako je u svkom ciklusu jčin mgnetnog polj sve već i već, dolzi se do mksimlnog mgnećenj tj. zsićenj. H Oblik svke od histeezisnih petlji zvisi od njveće jčine mgnetnog polj z tj ciklus. Kd se vhovi histeezisnih petlji spoje dobij se osnovn kiv mgnećenj koj se mlo zlikuje od kive pvobitnog mgnećenj, međutim bš se ov kiv dje ko kkteistik feomgnetik. Podci z emnentnu mgnetizciju i koecitivno polje uzimju se n osnovu kive mgnećenj u uslovim zsićenj mteijl.

87 Elektomgnetizm Podel feomgnetik N osnovu oblik histeezisne petlje feomgnetici su podeljeni u dve osnovne gupe. H Feomgnetici Meki Tvdi H MDP Kod mekih feomgnetik histeezisn petlj je veom usk, dok je kod tvdih feomgnetik ov petlj šiok, posledično jčin koecitivnog polj je velik. Zbog svojih osobin, pe sveg velike početne i velike mksimlne mgnetne pemebilnosti, meki feomgnetici se koiste z gdnju elektičnih mšin i svih vst tnsfomto. U pimeni feomgnetni mteijli su izloženi stlnom nizmeničnom mgnećenju što pouzokuje dve vste gubitk i smnjenje efiksnosti elektične mšine. Pvo, to su gubici usled histeezis koji su popocionlni povšini histeezisne petlje, p je poželjno d ov petlj bude što už. Dugo, to su gubici usled vtložnih stuj p je poželjno d feomgnetik im što veću specifičnu otponost. Njčešće se ovj zhtev ostvuje konstuktivno. U enegetici se feomgnetn jezg gde od tnkih limov koji su međusobno izolovni, dok se u elektonici velik specifičn otponost postiže pesovnjem feomgnetnog ph s izolcionim vezivnim mteijlom. [ ] [ ] Mteijl Tvdoć / T H c A/m Supepelloy* mek..6.4 Gvožđe mek Čelik tvd ijum-feit tvd.. 5. * 79%-Ni, 5%-Fe, 5%-Mo, %-Mn. S duge stne, u poizvodnji stlnih (pemnentnih) mgnet i ueđj kod kojih se mgnetno polje ne menj, kkteistike ko što su linenost i velik specifičn otponost nemju nikkv pktični znčj. Ovi mteijli teb d imju što veću emnentnu mgnetnu indukciju,, i što veću jčinu koecitivnog mgnetnog polj, H c. Poizvod ove dve veličine kkteiše kvlitet mteijl z ove pimene. Očigledno, ovj uslov zdovoljvju tvdi feomgnetici.

88 9 Dejn M. Petković 6. Teoem lik u vnom feomgnetnom ogledlu Posebn slučj gničnih uslov (lekcij 54) je kd je jedn sedin feomgnetn, dug nije. Mgnetn pemebilnost feomgnetik je nelinen funkcij mgnetizcionog polj li je uvek zntno već od pemebilnosti vzduh. N pime, nek je, i >>. z zkon pelmnj linij polj, tg α tg α, sledi d α z sve uglove α, md je z α π / zkon utomtski zdovoljen. Linije polj u vzdušnom delu posto će biti skoo nomlne n zdvojnu povšinu i ztvju se peko povšine feomgnetik. Plelno s vni, koj zdvj vzduh i feomgnetnk, je postvljen neogničen pv povodnik koz koji potiče stln stuj jčine. D nem feomgnetik linije polj bile bi koncentični kugovi. U ovom slučju linije polj se defomišu i skoo pod pvim uglom podiu vn zdvjnj. >> Međutim, isti oblik linij polj u vzdušnom delu posto se dobij ko se feomgnetni mteijl ukloni i simetično s zdvojnom povšinom postvi još jedn povodnik koz koji potiče stuj iste jčine i istog sme ko u stvnom povodniku. Poblem se tko svodi n odeđivnje polj u okolini dve plene stuje (lekcij ). Zmen uticj sedine uvođenjem novog povodnik je postupk poznt ko pimen teoeme lik u vnom ogledlu. Teoem je opšt i može d se pimeni n bilo koju spodelu stuj u postou (lekcij 7). Teoem lik je poznt iz elektosttike (Svesk ). U elektosttici se uticj svšeno povodnog poluposto n spodelu polj u osttku posto svodi n uticj negtivnih likov (supotno nelektisn tel), smo fomlno se smt d je eltivn dielektičn konstnt povodne sedine mnogo već od jedn (što nije tčno). U mgnetosttici likovi su pozitivni, eltivn mgnetn konstnt polu posto je stvno zntno već od jedn.

89 Elektomgnetizm 9 6. Uopštenje teoeme lik Dve homogene mgnetne sedine i zdvojene su vnom povšinom i ispunjvju ceo posto. Plelno zdvojnoj vni u sedini nlzi se pv povodnik koz koji potiče stln stuj. Uticj susedne sedine n polje u sedini moguće je zmeniti stujom koz lik povodnik, li je pi tome ceo posto ispunjen mteijlom. ( + ) π cosθ ( ) π sin θ n H t Uticj sedine n polje u sedini moguće je zmeniti dopunskom stujom koz povodnik, li je pi tome ceo posto ispunjen mteijlom. ( + ) π cosθ ( + ) π sin θ n H t + θ + U tčkm n povšini diskontinuitet gnični uslovi (lekcij 54) moju biti zdovoljeni, te se ole dobijju vednosti z nepoznte konstnte. n n ( + ) ( + ) H t H t +. + U posebnom slučju, kd se povodnik opticn stujom nlzi u vzduhu iznd feomgnetne sedine, td je >> i, p je. Pem tome, polje u vzduhu je isto ko i polje stuje i njenog pozitivnog lik koji ko d se nlzi u vzduhu (lekcij 6). U feomgnetiku polje ne postoji je je. Tčnije, linije polj se ipk ztvju koz feomgnetik, li koz veom tnk povšinski sloj. Dugi posebn slučj je >>, tj. i. Polje u sedini gde je povodnik stvju stuj i njen negtivni lik. U ostlom delu posto polje potiče od dvostuko jče stuje n mestu povodnik.

90 9 Dejn M. Petković 64. Mgnetni skl potencijl i mgnetne pseudomse U odsustvu mkoskopskih elektičnih stuj polje nmgnetisne mteije je definisno genelisnim Ampèeovim zkonom, J ot H Odvde sledi mogućnost d se jčin polj pedstvi ko degdijent sklne funkcije ϕ m, ko što je to uđeno u elektosttici. Nime, oto gdijent bilo koje sklne funkcije je jednk nuli. T funkcij je nzvn mgnetni skl potencijl. Polje vekto mgnetnog polj je bezizvono, p sledi d su divegencije vekto mgnetizciong polj i vekto mgnetizcije jednke po psolutnim vednostim, supotne po znku. Ponovo po nlogiji s elektosttikom, moguće je fomlno uvesti pojm zpeminske gustine mgnetne pseudomse ρ m i od pvog izz odediti divegenciju. Tko se dobij Poissonov jednčin u mgnetosttici čije ešenje je nlogno ešenju z elektični skl potencijl u elektosttici. H gdϕ m div div ( H + M ) div H div M div H ρ m div M ρ m ( ) div (gdϕ m ) ρ m Δ ϕm ρ m ϕ m π ρ m V 4 R d Ako se elcij z divegenciju mgnetnizcionog polj integli po zpemini koju mgnet zuzim i ko se n integl divegencije pimeni teoem Guss-Ostogdskyog, td lev stn iskzuje fluks vekto mgnetizciong polj, desn stn pedstvlj mgnetnu pseudomsu. Tko se dobij Gussov zkon u mgnetosttici koji je potpun nlogij s odgovjućim zkonom u elektosttici. Mgnetosttik Elektosttik Poissonov jednčin div (gdϕ m ) ρ m div (gd ϕ ) ρ / ε div H ρ m div D ρ div H dv ρ dv div D dv ρdv V V m V V V Gussov S zkon D ds H d S qm q S

91 . Elektomgnetizm 9 Nek je stlni mgnet oblik štp i nek S ztvoen povšin S obuhvt ceo mgnet. U slobodnom postou oko mgnet mgnetizcij je jednk nuli ( M ) i lgebski zbi svih mgnetnih pseudoms je jednk nuli. H ds qm M ds qm q m S S S S z Pimen Gussovog zkon n ztvoenu povšinu koj obuhvt mgnetnu msu jednog pol omogućv d se fluks vekto mgnetizcionog polj podeli n unutšnji fluks tj. onj koz povšinu koj pesec mgnet i spoljšnji fluks tj. fluks koz osttk ztvoene povšine. Φ qm H ds H ds + H ds + H ds q Φ m [Am] S S S S S Kod tnkih mgnet, S, unutšnji fluks je znemljivo mli, p se meenjem spoljšnjeg fluks pibližno može odediti mgnetn pseudoms jednog pol. Međutim, upvo tj znemeni sbik pokzuje d u unutšnjosti mgnet postoje izvoi (ponoi) mgnetizcionog polj. Nek se zmišljen kontu podud s nekom od linij. ikulcij vekto mgnetizcionog polj duž te kontue je jednk nuli, je ne postoje mkoskopske kondukcione stuje. Kko je udeo spoljšnjeg del kontue pozitivn, to udeo del kontue koz mgnet mo biti negtivn. U mgnetu su mgnetno i mgnetizciono polje supotnih smeov. Linije ovog polj izviu iz sevenog i uviu u južni mgnetni pol. Ponovo po nlogiji s elektosttikom, dolzi se do izz z mgnetni skl potencijl tčkste mgnetne pseudomse, ole i do oulombovog zkon z mgnetizm. Mgnetosttik Elektosttik q m q ϕ m ϕ 4π 4πε q m q H gdϕm ˆ D ε gdϕ ˆ 4π 4π q H m q ˆ E D ˆ 4π ε 4πε oulombov zkon qmqm q q Fm qm ˆ F qe ˆ 4π 4πε

92 94 Dejn M. Petković 65. Homogeno nmgnetisn štp - stlni mgnet ilindični štp (lekcij 66) dužine L i polupečnik nmgnetisn je u pvcu svoje ose, M M zˆ. Štp je usmljen u slobodnom postuu, p je vn štp mgnetizcij jdnl nuli, M. U štpu je mgnetizcij konstntn i divegencij ovog vekto je jednk nuli. To znči d su mgnetne pseudomse spoeđene po povšinm osnov i njihov povšinsk gustin se može odediti iz Gussovog zkon pimenljenog n svki pol posebno. M ds M, z L / ηmds ηm S S M, z L / zz z mgnetni skl potencijl se dobij iz opšteg ešenj Poissonove jednčine. Z tčke koje pipdju osi štp je ϕ m π η m S 4 R d S ϕ što nkon integcije dje m M 4π π d + ( z L / ) π d + ( z + L / ) M ϕ m + ( z L / ) z L / + ( z + L / ) + z + L /. ϕm Mgnetizciono polje je degdijent potencijl H gdϕm zˆ, tj. z M H z + L / z + L / z L / z L / zˆ z L z L / ( / ) ( z L / ) z L / Vodeci čun d je vn štp mgnetizcij jednk nuli, z mgnetno polje u svim tčkm n osi se dobij (lekcije 8 i 5) M z + L / z L / ( H + M ) zˆ. + ( z + L / ) + ( z L / ),..5. M / L. H / L. M z / L

93 Elektomgnetizm Solenoid, stlni mgnet i elektomgnet Mgnetno polje u tčkm n osi solenoid, elektomgnet i stlnog mgnet se menj po potpuno istom zkonu. f ( z) z + L / + ( z + L / ) z L / + ( z L / ) Mgnetno polje solenoid s vzdušnim H f ( z) jezgom (lekcij 8). z. Mgnetno polje solenoid s jezgom od f (z) mgnetik (lekcij 5). z H. Mgnetno polje nmgnetisnog štp tj. M f ( z) stlnog mgnet (lekcij 65). z. Ako je solenoid nmotn oko nmgnetisnog štp (stlni mgnet) ukupno polje se dobij ko vektoski zbi pojedinčnih polj. Očigledno d je solenoid moguće tetiti ko mgnet oblik štp n čijim se kjevim nlze povšinski spodeljene mgnetne pseudomse η m ± N / L ± H. eo počun je ond potpuno isti ko z homogeno nmgnetisni štp (lekcij 65). Ako je debljin solenoid zntno mnj od njegove dužine, mgnetne mse n polovim se mogu smtti tčkstim, ceo solenoid ko dipol odgovjućeg mgnetnog moment (lekcij 8), NS S Φ q ηm S N S m HS, m N S L qm L. L L Mgnetno polje n kju solenoid (ili stlnog mgnet) se dobij iz opšte fomule (lekcij 8), od ole može d se dobije i opšti izz z mgnenu pdeudomsu. N L, L L L + NS q m L q m LS + L. L Ako su poznte ngnetne pseudomse, svi metodi elektosttike, uključujuću oulombov zkon mogu se pimeniti i u mgnetosttici. Sil između dv mgnet q q q q + + zz z silu između dv L z L dipol se dobij pimenom S N q m q m F S N oulombovog zkon. zz je m q m q m izveden n bzi Gilbetovog model (lekcij 4) i nije pimenljiv z stojnj koj qm Fm + 4π teže nuli. z ( z + L) ( z + L)

94 96 Dejn M. Petković 67. Sfe od linenog mgnetik u homogenom polju U sfei od linenog mgnetnog mteijl homogeno mgnetno polje (ili H ) poizvodi mgnetizciju M. Ov mgnetizcij stv dono mgnetno polje, ono dje novi dopinos mgnetizciji M, koj pk stv polje i tko dlje. + Spoljšnje polje Mgnetisnje M Mgnetik + Spoljšnje polje Mgnetisnje M Mgnetik M m χ M m χ M m m χ χ M m χ M m χ M m χ n m n χ L L M m χ M m χ M m m χ χ M m χ M m χ M m χ n m n χ L L Ukupno mgnetno polje je zbi svih pojedinčnih dopinos i dobij se ko zbi geometijske pogesije. Metod sukcesivnih poksimcij nije moguće pimeniti z odeđivnje polj vn sfee je polje u spoljšnjem postou nije konstntno. χ n n m n n m + χ Do istog ezultt se dolzi i pomoću izz z elektično polje u sfei od linenog dielektik koj se nlzi u homogenom elektičnom polju, koji se dobij iz ešenj Lplceove jednčine z elektični skl potencijl (Svesk ). E E ε ε + ε H H + Mgnetno polje se dobij upotebom nije pikzne tnskipcije (lekcij 5). ε ε ε + ε ε D D + v

95 Elektomgnetizm Sfe od (feo)mgnetik u homogenom polju Sfe polupečnik, nčinjen od homogenog i linenog mgnetik pemebilnosti, nlzi se u vzduhu u homogenom polju H Hzˆ, H (lekcij 67). vo je poblem gničnih uslov (lekcij 54) koji se ešv integcijom Lplceove jednčine z mgnetni skl potencijl. div H div H ϕ Δ m Poblem je potpuno nlogn poblemu sfee od dielektik (koj se nlzi u homogenom elektičnom polju (Svesk ). Jsno, potebno je zmeniti sve elektične veličine mgnetnim tnskiptim. ϕ Gnični uslovi ϕ o m m + o o ϕm ϕm + lim ϕ (, θ ) H z H m cosθ Upotebom ove tnskipcije (lekcij 5) iz ešenj z elektični skl potencijl sledi ešenje z mgnetni skl potencijl, ϕ m H cosθ, + H θ + cos + H cosθ, Pošto je z cosθ dobij se d je polje u sfei homogeno i plelno spoljšnjem polju (lekcij 67). ϕm H gdϕm zˆ H,, z + H H, + +. Pethodni ezultti se mogu iskoistiti z sfeu koj je pe unošenj u stno polje pethodno bil homogeno nmgnetisn i to plelno stnom polju. Dkle, opšt stuktu polj biće ist ko i u pethodnom slučju. Vektoi, H i M su u postou sfee kolineni, p se može petpostviti d će spodel mgnetnog skl potencijl biti oblik. ϕ m cosθ, H cosθ + cosθ,.

96 98 Dejn M. Petković Nepoznte konstnte i potebno je odediti iz gničnih uslov. o Uslov iz postvke poblem je utomtski zdovoljen petpostvljenim ešenjem. N povšini sfee tngencijlne komponente vekto mgnetizcionog polj su jednke što se svodi n uslov jednkosti o potencijl. Ole se dobij pv vez između nepozntih konstnti, H. N povšini sfee moju biti jednke i nomlne (dijlne) komponente o mgnetnog polj. Gnični usov se sd modifikuje je u unutšnjosti sfee sd postoji mgnetizcij, tj. odnosno, ( H + M ) H +. + ϕm( ) + M cosθ ϕm( ), p sledi dug vez između nepozntih konstnti, M H +. Nkon odeđivnj konstnti z mgnetni skl potencijl se dobij ϕ m M H cosθ,. M θ H cos, Vn sfee potencijl nstje ko zbi potencijl pimnog homogenog polj i polj koje potiče o nmgnetisne sfee. Uticj nmgnetisvnj se može zmeniti uticjem mgnetnog dipol koji je smešten u centu sfee, m ϕ m ϕo + M cosθ ϕo +,, 4π gde je m ekvivlentni mgnetni dipolni moment, 4 m VM π M ϕ m ϕ o m + 4π cosθ Polje u okolini sfee im i dijlnu i ksijlnu komponentu. U unutšnjosti sfee, gde su svi vektoi kolineni, polje je homogeno ko što je to i u pethodnom slučju.

97 Elektomgnetizm 99 Osnovni p jednčin H ϕm( ) zˆ z ( H + M ) H H M + M,. Slbljenje polj u unutšnjosti sfee fomlno se može povezti s mgnetnim pseudomsn koje se nlze n povšini feomgnetik (lekcij 64) i koje su izvoi (ponoi) mgnetizcionog polj. H H Nek je sfe od dimgnetik ili pmgnetik i nek je nenmgnetisn unet u stno polje. Td je nmgnetisvnje ezultt delovnj spoljšnjeg polj. z osnovnog p jednčin se dobij: H + M H M ( ) M H. + Dobijeni izz z vekto mgnetizcije je tnskipt izz z vekto polizcije kod sfeee u homogenom elektičnom polju. Odvde sledi d po pestnku delovnj spoljšnjeg polj mgnetizcij isčezv. Međutim, to očigledno nije tko kod stlnih mgnet. Nek je sfe od feomgnetik. z osnovnog p jednčin je jsno d polje zvisi ne smo od vednosti spoljšnjeg polj, već i od vednosti mgnetizcije. Kod feomgnetik mgnetizcij zvisi od tenutnih vednosti spoljšnjeg polj li i od istoije nmgnetisvnj. Elimincijom vekto mgnetizcije iz osnovnog p jednčin se dobij jednčin dne pve nmgnetisne sfee. + H Vednosti polj polj (dn tčk) se dobijju u peseku dne pve i histeezisne petlje. stoij nmgnetisvnj Rdn tčk A. Pe unošenj u polje sfe nije bil nmgnetisn. Rdn tčk. Pe unošenj u polje sfe je bil nmgnetisn do zsićenj. Rdn tčk. Nkon nmgnetisvnj do zsićenj spoljšnje polje je isključeno. A H

98 Dejn M. Petković 69. Psivn mgnetn zštit Pemebil sfen ljusk čiji su unutšnji i spoljšnji polupečnk i b espektivno, nlzi se homogenom mgnetnom polju H Hzˆ. U spoljšnjem domenu stuktu polj mo biti ist ko i slučju nenmgnetisne sfee. U unutšnjosti ljuske polje će ostti homogeno i težiće nuli. ϕ m H cosθ, D cosθ + D cosθ, b H cosθ + cosθ, b < o o (lekcij U ovom slučju postoje ti domen i dve gnične povšine. 68). Nepoznte konstnte se odeđuju iz gničnih uslov. Gnični uslovi i izžvju nepekidnost tngencijlnih komponenti H polj, odnosno nomlnih komponenti polj. o z H + D D o z b + ( / b) D D ( / b) H o z H + D + D o z b + ( / b) + D D ( / b) H Rešenje dobijenih jednčin dje vednosti nepozntih konstnti, ole slede izzi z potencijl i polje. Njznčjnije je odediti polje u unitšnjosti ljuske tj. z. ( + )( ϕ 9 + ) ( / b) ( Z velike vednosti eltivne mgnetne pemebilnosti, >>, izz z polje dobij jednostvniji oblik. Z tnke ljuske je b i b d, p sledi pktičn fomul iz koje je jsno d je polje u šupljini znemljivo. H m z ϕm H zˆ H zˆ z H H H H ) 9 ( ( / b) Mu-metli (n pime, 77% Ni, 6% Fe, 5% o i % ili Mo) imju veliku pemebilnost (i do sto hiljd) i služe z zštitu od sttičkih ili spoo pomenljivih polj. b d )

99 Elektomgnetizm 7. Efiksnost mgnetne zštite Početk zštite od elektomgnetnih polj obično se vezuje z Fdyev ekspeiment s pehom (Svesk ) iz 86. godine. Međutim, to je bio smo ponovljeni ogled Fnklin iz dvne 755. godine. Pvi počuni psivne zštite (oklpnje) od uticj elektomgnetnih polj potiču s kj deventnestog (899) i početk dvdesetog vek. Ekspeimenti đeni di poboljšnj kkteistik feomgnetik doveli su 94. godine do otkić legue pemlloy (lekcij 6). Zbog poboljšnj mehničkih osobin ovoj legui je do bk i tko je 9. godine nsto mumetl, pvobitno nmenjen poizvodnji kblov. U stvi, di se o engleskom zpisu gčkog slov, p je ispvnije -metl. Dns se zntno više zn o uticju elektomgnetnih polj n zdvlje, p postoji izvesn opsednutnost gdnjom -sob i -zgd - svemenim vezijm Fdyevog kvez. Kvntittivn me efiksnosti zštite (Eng. Shielding Effectiveness) je odnos jčin polj kd je posmtn tčk nezštićen (nem oklop) i kd je zštićen (oklopljen). SE H H H SE d logse H Ako se indeks (koji se odnosi n mgnetizciono polje) izostvi, pem usvojenoj definiciji z SE, z sfenu ljusku (lekcij 69) se dobij H SE H ( ( / b ) ( + )( + ) ( / b) ( ) ( ) + ) 9 U slučju tnkih ljuski, b i b d, izz z efiksnost zštite im oblik iz kog je jsno d znči odsustvo zštitnog oklop. Z -metl je >>. 9 ( ) SE + d SE + b Z štićenje telekomunikcionih kblov, kko je i počel cel istoij elektomgnetne zštite, posebn znčj im poučvnje cilindičnih ljuski. Sd, kd je jsno o čemu se di, bilo bi pvilnije eći oklop. Kd se di s linenim mgneticim, spodel mgnetnog skl potencijl (lekcij 64) je odeđen ešenjem Lplceove jednčine. ilindični oklop je tnsvezlno postvljen u mgnetno polje koje je pe unošenj cilind bilo homogeno. Z veom dug cilind (efekti kjev se znemuju) spodel potencijl se ne menj u ksijlnom pvcu, p je poblem dvodimenzionln. ϕm + ϕ T ( θ) R( ) m R( ) n A + A d b ϕm n θ T θ) cos nθ + sin nθ (

100 Dejn M. Petković Ko i kod sfenog oklop, ešenje z potencijl se tži z ti domen. z opšteg ešenj Lplceove jednčine teb, ko i pethodnim pimeim, izdvojiti smo ono z n. Nime, z bilo koju dugu vednost zdovoljvnje svih gničnih uslov dovodi do tivijlnih ešenj. Dlje, ešenje je osno simetično i teb sčuvti pnost funkcije potencijl. U unutšnjosti cilind (ko što je to bio slučj u unutšnjosti sfee) polje teb d ostne homogeno, očekuje se d bude zntno mnje jčine. Kd se odbce člnovi koji emete končnost potencijl z i z H cosθ, ostje oblik koji sdži četii ϕm D cosθ + D cosθ, b nepoznte konstnte, od njvečeg intees je H cosθ + cosθ, b < (unutšnjost oklop). N povšinm i b, koje cilindični oklop zdvjju od osttk posto, dijlne (nomlne) komponete vekto mgnetnog polj i ugone (tngencijlne) komponente vekto mgnetizcionog polj su nepekidne. o z H + D D (/ ) o z b (/ b) + D + D (/ b) H o z H + D + D(/ ) o z b + (/ b) + D D(/ b) H Nkon što se iz dobijenog sistem linenih jednčin odede konstnte integcije z mgnetni skl potencijl u štićenoj oblsti se dobij ϕ m H cos θ ( 4 ( / b) H + ) ( ) U unutšnjosti polje je homogeno i usmeeno je isto ko i spoljšnje polje. Ole se dobij i efiksnost zštite. Dkle, z cosθ ϕ H z,. H ( H cosθ) ( H z) H z SE H z z H, odnosno ( + ) ( / b) ( ) ( ) SE + ( ( / b) ) 4 4 Z tnkozidni oklop je b i b d, p se dobij (ko i z sfeni oblik) pktičn fomul. z m ˆ ( ) SE + d b

101 Elektomgnetizm 7. Mgnetno polje plnete Zemlje Mgnetn igl komps se n Zemlji uvek oijentiše n isti nčin. Odvde se zključuje d nš plnet pedstvlj jedn veliki mgnet, što je još 6. godine tvdio Gilbet. Gilbet je npvio teelu (Lt. Teell - ml Zemlj) tj. mgnetni model Zemlje u obliku kugle od oksid gvoždj. Mgnetn igl postvljen u bilo koju tčku n kugli okeće se uvek isto, bš ko i igl komps n Zemlji. Mgnetno polje n Zemlji je zbi sopstvenog polj (95%) i stnog polj (5%) u kom se Zemlj nlzi. Model kugle (lekcij 67) iko nije dekvtn dje iznenđujuće tčne ezultte. Linije mgnetnog polj Zemlje imju spoed koji bi dvo stlni mgnet oblik š tp koji je smešten u centu i čij os s osom otcije zklp ugo od o pibližno. Južni mgnetni pol Zemlje nlzi se n sevenoj hemisfei i obnuto. Rstojnje između mgnetnih polov je oko 7 km, stojnje između geogfskih polov je oko km. Pošto se mgnetni polovi Zemlje ne poklpju s geogfskim polovim to se mgnetn igl postvlj smo pibližno u pvcu seve-jug. ϕ m m cosθ 4π ϕm cos θ ϕm sin θ θ m 4π o.44.8 o o 7 sevene šiine o 95 zpdne dužine o 74 južne šiine o 55 istočne dužine Mgnetn igl je zkošen oko o be ose. U odnosu Sbij n hoizont nginje n dole n sevenoj hemisfei, sednje vednosti odnosno n goe n južnoj hemisfei. Ugo 46 T ngnutosti α i, je mgnetn inklincij, ugo i e ose je mgnetn deklincij h T ngnutost kć α d. o Kosinus ugl inklincije je odnos hoizontlne α i 6 komponente, h, i ukupne jčine polj. o 8 Zemljino mgnetno polje čini mgnetosfeu čiji oblik njviše zvisi od nlet solnog vet. Mgnetosfe se postie do desetk polupečnik α d

102 4 Dejn M. Petković Zemlje n svetloj stni, i čk do hiljdu polupečnik n tmnoj stni. Mgnetosfe je zštitni sloj koji kosmičk zčenj skeće n velike visine. Odsustvo mgnetnog polj bilo bi pogubno z život n Zemlji. U blizini mgnetnih polov kosmičke čestice ostju zobljene stvjući polnu svetlost. Postoje sznnj d je Glileo Glilei 69. godine z sevenu polnu svetlost sčinio kovnicu uo boelis kombinujući imen imske boginje zoe (Auo) i gčkog bog sevenog vet (oes). z tog dob z južnu polnu svetlost potiče nziv uo ustlis. Noveški fizič Kistin ikelndje 9.. godine npvio teelu od šuplje mesingne lopte u čijem sedištu je bio solenoid. Tkv teel u zeđenom gsu dovodi do pojve polne svetlosti bš ko u piodi. Pomene Zemljinog mgnetnog polj pouzokuju dnevne i godišnje pomene povodljivosti jonosfee, li i pojv peg n Suncu n svkih jednest godin. Utvđeno je d južni mgnetni pol oti oko sevenog geogfskog pol s peiodom od hiljdu godin. N osnovu ispitivnj mgnetnih svojstv stih sten se zključuje d su u vlo dlekoj pošlosti Zemlje mgnetni polovi više put zmeni li mest, i to četii ili pet put u poslednjih milion godin. Zemljino mgnetno polje kons tntno slbi. Od kd postoje stln meenj, to znči u poslednjih sto pedeset godin, jčine mgnetnog polj je opl z %. Počun unzd pokzuje d mgnetno polje gubi polovinu svoje enegije n svkih sedm stotin godin. Pedviđ se d će z oko dve hiljde godin mgnetno polje Zemlje nestti, d bi posle tog počel zmen polov. Jezgo Zemlje se njvećim delom sstoji od gvožđ i nikl. Međutim, tempetu jezg je tko velik d ne može d im feomgnetne osobine. Njnovije petpostvke o poeklu mgnetnog polj su zsnovne n otciji tečnih metl u jezgu zbog čeg se fomiju kužn i stujni plštovi i pteće mgnetno polje. Zjedničkim dom tim fizič iz Letonije i Nemčke. godine, tčno četii vek posle Gilbet, u Rigi je npvljen veodostojn teel i tko je dokzn ispvnost model koji je nzvn tečni dinmo. N jčinu mgnetnog polj njviše utiče povodnost jezg i bzin otcije. Tim e se objšnjv što neke plnete s ohlđenim jezgom (Ms) ili spoom otcijom (Vene) nemju mgnetno polje, ili pk imju polje snžnije nego Zemljino (Jupite).

103 Elektomgnetizm 5 7. Mgnetn otponost i Hopkins-Rowlndov zkon Kd se solenoid povije po ztvoenoj liniji, obično kužnog oblik, dobij se tousni nmotj (Lt. Tous - okuglo ispupčenje) ili tous (lekcij 4) U unutšnjosti tous mgnetno polje je vlo pibližno homogeno. Sednj vednost jčine mgnetnog polje se dobij kd se Ampèeov zkon pimeni n sednju liniju tous, tj. n ztvoenu kontuu koj polzi koz tous i leži u vni popečnog pesek. z definicije se dobij izz z jčinu mgnetnog polj, iz kog je jsno d sm oblik nmotj povodnik oko tel tous nije od uticj. Ako je dužin sednje linije l π i povšin popečnog pesek S, z mgnetni fluks se dobij pibližn fomul, je se u počun mgnetnog polj uključuje sednj linij tous. b N π Φ S N Φ S l Njveći deo mgnetnog fluks se ztv koz unutšnjost tous, što je očigledn nlogij s potokom stuje u ztvoenom elektičnom kolu. Zto, teb pimetiti d je izz z fluks moguće mpisti u fomi koj je nlogn izzu z Ohmov zkon (Svesk ) u linenom elektičnom kolu. Ov fomulcij je poznt ko Hopkinsonov zkon, md je istoijski gledno to ipk Rowlndov nlogij. N ovj nčin se dolzi do pojm mgnetne otponosti R m koj je nzvn eluktnc (Lt: ĕlucto - opiti se), ecipočn vednost mgnetne otponosti je Λ, pemenc (Lt: pemĕo - pobiti koz nešto). Veličin F m N nziv se mgnetno pobudn sil, po nlogiji s elektomotonom silom i jedinic je mpe-nvojk, md je dimenziono to smo mpe, ko što je z elektomotonu silu jedinic volt. Mgnetni fluks Jednosmen stuj N N F Φ m l Rm R l m R S U U σ S Φ Λ F m GU Hopkinsonov zkon Ohmov zkon R F Φ m m [ R ] m [ Λ ] A Wb Wb A

104 6 Dejn M. Petković 7. Tousni nmotj pvougonog popečnog pesek Kod elektičnih kol dužine povodnik i otponik su uvek zntno veće od popečnih dimenzij, što nije slučj u mgnetizmu. Zto je pimen pikzne nlogije veom ogničen. pk, u velikom boju slučjev dobijju se dovoljno tčni ezultti. Tko n pime, kd su nmotji tous pvougoni, fluks je moguće izčunti tčno. b d b N N d d N d Φ t ds ln π π π Međutim, mgnetni fluks može d se izčun i pibližno, F m N l Φ, R m, R R S m m b b Φ ln i to tko što se mgnetn otponost izčun z sednju liniju tous čij je dužin l π( + b) /, povšin popečnog pesek odedi tčno, S d ( b ). Tko se dobij d je pibližn vednost fluks, b Φ p N N d S l π ( b ) Φ b + ( b ) Φ b + b /. b / + Ako se upoede tčno i pibližno izčunte vednosti i odedi eltivn gešk, vidi se d je pibližnu fomulu z izčunvnje fluks moguće s zdovoljvjućom tč nošću upotebiti i kod szmeno debelih tou s. b / Φ t / Φ p δ [%] Čini se d izčunvnje fluks smo po sebi nije od posebnog znčj. Međutim, ko što će biti pokzno, n pomeni fluks bzi čitv teoij elektomgnetne indukcije.

105 Elektomgnetizm Linen mgnetn kol i linen elektičn kol Lineni mgnetni mteijli i vzduh imju pibližno istu mgnetnu pemebilnost. Pomoću ovih mteijl nije moguće knlisti mgnetni fluks i elizovti mgnetn kol. Međutim, nlogij koj postoji između linenih mgnetnih i elektičnih kol im pimenu u ešvnju poblem nelinenih mgnetnih kol. Anlogij je smo mtemtičk i zsnovn je n sličnosti fomlnih zpis nekih veličin i zkon.ove dve teoije su u fizičkom smislu ssvim zličite. Njveć zlik je činjenic d elektičn stuj pedstvlj tok nosilc nelektisnj što znči i penos mse, dok mgnetni fluks ne pedstvlj nikkv tok bilo koje čestice što znči d nem penos mse. Linen mgnetn kol Linen elektičn kol Veličin ili zkon Jedinic Veličin ili zkon H T A/m J σe T Wb/m A/m J H A/m V/m E H/m S/m σ Φ S Wb A J d S S S Zkon konzevcije mgnetnog fluks Pvi Kichhoffov zkon div, div J, Φ Ampèeov zkon Mgnetopobudn sil Potencijl i npon Elektomoton sil F m H d l A V ε E d l l R m l / H / S Ω R S σ S Λ / R m H S G / R Hopkinsonov zkon Ohmov zkon F Φ U R m R m R m Φ R R mg R g N S N U +

106 8 Dejn M. Petković 75. Nelinen mgnetn kol Odeđivnje mgnetopobudne sile kd je poznt fluks. Nek su zbog jednostvnosti svi feomgnetni delovi mgnetnog kol istog pesek S, te se mogu pikzti ukupnom dužinom l, dni deo kol je vzdušni pocep popečnog pesek S i dužine l. Z mgnetno kolo se zdje fluks ili jčin polj u pocepu. Mgnetopobudn sil se izčunv u četii kok, tko d se jčin mgnetizcionog polj u feomgnetiku () očitv s odgovjućeg ( ) dijgm. S S Φ H S S H f ( ) 4 N Hl H H l Odeđivnje fluks kd je poznt mgnetopobudn sil. z pozntog b oj mpe-nvojk (lekcij 7), Φ N / Rm fluks nije moguće odediti diektno. z (H ) A( Φ, N) dijgm potebno je konstuisti ( ΦF) ( S, Hl ) dijgm što se postiže množenjem p vednosti z i H popečnim pesecim i N H l + Hl 4 du žinm z svki deo kol. U ovom pimeu Hl N ΦR su smo dve tčke, li se z vzdušni pocep S (H ) dijgm ne koisti. S duge stne, iz Φ Ampèeovog zkon (4) se dobij jednčin dne pve. Rdn tčk mgnetnog kol, 5 kojom je odeđen i fluks, se nlzi u peseku F Hl dne pve i ( ΦF) dijgm. Rdn tčk mgnet U mgnetnom kolu bez vzdušnog pocep, Φ S S jčin polj je jednk ezidulnoj mgnetizciji (lekcij 6). H l + Hl Zbog postojnj pocep S l l S l,s jčin polj je odeđen l 4 tn α H,S dnom tčkom, koj se nlzi u peseku kive de- mgnećenj i dne pve. Jednčin dne pve se dobij, ko i nije, iz zkon o konzevciji mgnetnog fluks i Ampèeovog zkon. + H 5 α H

107 PROMENLJVA POLJA

108 Mijn Rdić, 6

109 Michel Fdy Dost im je učenj. Sve su škole jednke. Dec znju d čitju i pišu - št im još teb? Nkon tih eči svog oc četnestogodišnji Michel je počeo d zđuje svoj hleb deći ko znosč novin u jednoj knjiži i izgledlo je d je njegov budućnost ešen. Nešto ksnije Michel je počeo i d uči knjigovezčki znt. Uveče, kd su knjigovesci zvšvli svoj poso, Michel je ostjo sm u dionici i pi osttku lojlne sveće žedno čito knjige. Njviše su g pivlčile nučne knjige svojim nslovim i slikm, li ubzo ih je ostvljo s uzdhom - skoo ništ nije mogo u njim d zume. Ali jednog dn Michelu je u uke dospel knjig 'Rzgovoi iz hemije', koju će on tokom celog život smtti svojom pvom učiteljicom i njboljim dugom. U knjizi su bili opisni ekspeimenti koje je svko mogo sm d izvede i Michel ih je odmh izvodio. Pošto je svldo štivo 'Rzgovoi iz hemije', Michel je odbo člnk o elekticitetu i odmh izveo ekspeimente s komdićem vosk potljnim tkninom i s oduševljenjem posmto pčiće htije koji poskkuju i lepe se z vosk. Nekoliko večei ksnije izdio je i elektičnu mšinu s čijim se ctežim upozno iz enciklopedije. Pvi ekspeimenti oduševili su Michel p je npvio i dugu elektičnu mšinu pomoću koje je izvodio njjednostvnije elektične ekspeimente. Od td Michel vodi svoj 'Filosofski zbonik' u koji je zpisivo beleške, spve i slučjeve koji se odnose n umetnost, li pevshodno n nuku. Jedne večei Michel je ugledo pivtni ogls koji je obveštvo d će biti odžn niz pedvnj iz piodnih nuk. Kd je pedvnje otpočelo o Newtonovoj gvitciji i mgnetizmu, Michel je otvoio svoju svesku i počeo tko mljivo d beleži d više nikog nije pimećivo. Jedn činjenic g je stužil - nije mogo d pvilno penese cteže s tble. Michel nije umeo d ct i od tog dn je kod sused počeo d uči sliknje. N pedvnjim o elekticitetu slušo je o Fnklinu koji je z veme oluje pušto zmj od htije u oblke, pimetio je d se svi pedmeti od čelik u kući u koju udi gom nmgnetišu, li vez između elekticitet i mgnetizm još uvek nije bil otkiven.

110 Dejn M. Petković Do td Michel je smo slušo o Dvyju koji je, nesumljivo u to veme, bio njbolji engleski hemič i poznt u celom svetu. N njegovim pedvnjim bili su ssvim dugi slušoci. Govoilo se o hlou, kd su počeli ekspeimenti, Michel je ssvim bio osvojen. Od td je imo smo jednu miso - doći do mogućnosti d se bvi nukom. mislio je u sebi: ljudi koji se bve nukom nisu ko tgovci ili fbiknti, to su ljudi osobite plemenitosti, dobote, finih i uzvišenih osećnj. Ako m ko od njih szn o mojoj žkoj želji d služim nuci, pužiće mi, nvno, uku pomoći. Potebno je d se smo nekom obtim. Posle tog Michel je ešio d npiše pismo pedsedniku Kljevskog londonskog institut, kog je smto glvom učenog svet. Pismom mu je objsnio svoj položj, inteesovnj, i molio g d dobije m kkvo, p i njbeznčjnije mesto u m kojoj nučnoj ustnovi. Odgovo nikd nije stigo. Michel se obtio Dvyju. Npiso je pismo i poslo g zjedno s sveskom koj je sdžl sv njegov pedvnj i cteže ekspeiment. Odgovo je stigo. Nešto ksnije, Michel je dobio mesto u lbotoiji Kljevskog institut - posto je sistent. Posle šest meseci Dvy mu je ponudio d s njim i njegovom supugom kene n putovnje po Fncuskoj, tliji i Švjcskoj. Tko se suseo s Ampèeom i pisustvovo Gy-Lusscovom pedvnju. Tokom putovnj Michel je sistio u mnogim Dvyevim ekspeimentim, uključujući otkiće jod i ekspeimente s dijmntom kojim je potvđen Newtonov petpostvk d je dijmnt ko čist ugljenik zpljivo telo. Michel je všio i smostlne ekspeimente s svicim želeči d utvdi oktud potiče svetlost. Po povtku u Englesku, n inicijtivu svojih pijtelj, Michel počinje d dži pv pedvnj u Filozofskom duštvu. Nešto ksnije njegov d o nlizi kečnjk štmpn je u jednom nučnom čsopisu. Ovim se Michel postepeno osmostljuje. Sledeći smostlni d je bio ogled pevođenj hlo u tečno stnje, što je bio veliki udc z Dvyjevu sujetu je je njegov učenik to uspeo pe njeg. Posle ovih nučnih dopinos pedloženo je d Michel Fdy bude pimljen u Londonsko kljevsko duštvo. Dvy je ospovo njegov pijem u ovo duštvo. Poteklih godin on je posmto Michel s visine i s zvišću. Još jedn incident je pogošo postojeću situciju. Michel je sto u odbnu nučne istine i u odbnu život mnogih ud govoeći o mogućnosti eksplozije i poed pimene Dvyjevih "bezopsnih" udskih lmpi. Michel Fdy je ipk pimljen u Londonsko kljevsko guštvo. Posto je i počsni dokto n Oksfodu i mnogim kdemijm. Dvy je ksnije stlno, ko u šli, govoio: J sm učinio nekoliko otkić koj nisu bez znčj z nuku, li među njim njveće je što sm otkio Fdy.

111 Elektomgnetizm Fdyev fomulcij elektomgnetne indukcije Ko smostlni nučnik Fdy je, ko i većin nučnik tog vemen, bio zinteesovn z Agoov ekspeiment iz 84. godine u kome bkni otijući disk pouzokuje oketnje igle komps. Fdy je petpostvio, to je i zpiso, d je uzok te pojve elekticitet. md je ponovio Agoov ekspeiment, nekoliko godin nije uspeo d dokže svoju petpostvku. Ond je 8. godine zpočeo seiju ekspeiment. U svom pvom ekspeimentu Fdy je obmoto dv nvoj n tousno jezgo. Očekivo je d kd stuj potiče koz jedn od nvoj dobije stuju u dugom nvoju. Rniji ekspeimenti su pokzivli d elektičn stuj stv mgnetno polje, p je Fdy pokušo d dokže pogešnu nučnu hipotezu tj. d pomoću stlnog mgnetnog polj izzove elektičnu stuju. Međutim, dobio je smo ktkotjne impulse, koje je nzvo tls elekticitet, dok je ukljičivo ili isključivo stuju u pvom nvoju. U sledećih nekoliko meseci Fdy je izvšio više ekpeiment li svi se mogu svesti n dv tipičn slučj. U pvom slučju pomeo je žičnu kontuu ili izvo polj, dok su u dugom slučju kontu i izvo polj nepoketni li se menjl jčin polj. U svim ekspeimentim je dobijo smo tlse elekticitet.. Objšnjvjući Agoovu otciju konstuiso je geneto jednosmene stuje koji je posto poznt ko Fdyev disk (lekcij 77). Tko je otkio i fomuliso zkon elektomgnetne indukcije koji pedstvlj jedn od njvžnijih zkon elektodinmike i elektotehnike. Md je bio genijln ekspeimentto, Fdy nije vldo jezikom mtemtike, b ne u tolikoj mei, d svoj otkić tko i zpiše. Fdy je doneo sintetički zključk: ntenzitet indukovne stuje je szmen bzini pomene fluks. U fusnoti je objsnio d su mgnetne Ako hoizontlm žic... kive linije mgnetne sile. On ih je seče mgnetne kive... sngom svoje nučne uobzilje tko td se dobij stuj u žici. pedstvljo ko d ih je i video. Fdy je svojim duhovnim okom video kko linije sile pelze ceo posto, dok su mtemtiči videli pivlčne cente sil delovnj n dljinu. Mxwell

112 4 Dejn M. Petković Fdy - Letz - Neumnnov zkon Ssvim nezvisno od Fdy, 8. godine Heny je otkio elektomgnetnu indukcju. U Ameici se još nije znlo d je Fdy već sopštio svoje ezultte. Mnogo godin ksnije piznnje mu je oo u vidu nziv jedinice z induktivnost (lekcij 88). Sme indukovne stuje je odedio. Heinich Lenz 84. godine. Ako indukovn stuj teče, njen sme je tkv d se potivi pomeni koj je stv. Zkon je tko uskldio s zkonom o očuvnju enegije. Piznnje mu je oo u vidu oznke z induktivnost (lekcij 88). Mtemtički zpis zkon indukcije je do Neumnn tek 845. godine. Lentz ε dφ Fdy Neumnn ndukovn elektomoton sil u ztvoenoj kontui je jednk negtivnoj bzini pomene mgnetnog fluks obuhvćenog tom kontuom. Neumnn je zpvo pedložio dv zkon elektomgnetne indukcije. Pvi je bio z elektomotonu silu geneisnu usled ketnj kontue u odnosu n polje (zkon geneto), dugi z elektomotonu silu usled pomene smog polj (zkon tnsfomto). bio je u pvu. Potpun dv zličit fenomen opisn su istom fomulom. U pvom slučju n nelektisnj koj se keću zjedno s povodnikom deluje Loentzov sil (lekcij ), p je pitnje d li se pojv stuje u kontui može nzvzi indukcijom. U dugom slučju neelektisnj u kontui su nepoketn i smo neko elektično polje može d ih pokene. Međutim, elektičnog polj nem, osim ko ne nstje usled pomen mgnetnog polj. To je jeste elektomgnetn indukcij. Dkle, potpuno je zčuđujuće što dve fizički zličite pojve dovode do iste (Fdy je to ekspeimentlno dokzo), veom jednostvne i svšeno tčne fomule. U ovom slučju fiziči su sglsni d je u pitnju čudn podudnost s znčjnim posledicm. Upvo ov podudnost je i dovel Einstein do specijlne teoije eltivnosti.

113 Elektomgnetizm Zkon elektomgnetne indukcije Kd god se iz bilo kog zlog mgnetni fluks koz zvoenu kontuu pomeni, u kontui se pojvljuje elektomoton sil. Elektomoton sil (npon) nstje ko posledic indukovnog elektičnog polj. E i Pomene mgnetnog polj dovode do pomene fluks. Međutim, do pomene fluks dolzi i ko se menj povšin obuhvćen kontuom i ov pojv se objšnjv Loentzovom silom. zvod fluks po vemenu dimenziono je poptencijl. dφ ε ε E i d l Φ S E d l i d S d [ dφ ]/[ ] V S ds Fdyev otkić pokzuju d postoje dv zličit elektičn polj. Pvo koje potiče od nelektisnj i dugo koje je ezultt pomene mgnetnog fluks. Međutim, elektično polje stcionnnog tok nelektisnj je konzevtivno i cikulcij tog polj je jednk nuli (Svesk ). Stog se umesto indukovnog elektičnog polj u izzim može uzimti ukupno polje, p se dobij končni oblik Fdyevog zkon. U opštem slučju izvod fluks po vemenu (izvod poizvod) dovodi do zbi elektomotonih sil koje nstju bilo zbog pomene povšine (ketnje ili defomcij kontue), bilo zbog pomene polj (po pvcu ili jčini). Dkle, tčno onko kko je pedložio Neumnn. Dinmičk i sttičk indukcij dφ E dl ( v )dl ds t S E d l t t + d S ds ds dl l d ds v d t d dφ ds ds t S S ds ds d ( v Φ )dl ( v dl ) ( dl )

114 6 Dejn M. Petković 77. Dinmičk indukcij nije indukcij? Dinmičk indukcij nije ništ dugo do puko zdvnje i gupisnje nelektisnj koje nstje ko posledic delovnj mgnetne sile n nelektisnj koj se zjedno s povodnikom keću koz mgnetno polje. Nek se pvolinijski povodnik keće koz homogeno mgnetno polje indukcije, bzinom v ds /. Os povodnik, pvc bzine i pvc mgnetnog polj su međusobno nomlni. N elektone deluje elektomgnetn sil (lekcij ). F F + F qe + qv q ( E v). e m + N početku ketnj nem elektičnog polj. Tokom ketnj n kjevim povodnik se pojvljuju viškovi znoimenih nelektisnj, usled čeg nstje - indukuje se - elektično polje. To elektično polje spečv dlje ketnje elekton. U vnotežnom stnju elektomgnetn sil je jednk nuli (elektičn sil je jednk mgnetoj) odkle je E i v. Elektomoton sil (ustvi, npon između kjev povodnik, lekcij 76) je ds ds dφ ε E i dl vdl dl. Zhvljujući poslednjem delu zpis celu pojvu nzivmo indukcijom. Četvti deo Fdyovog sopštenj iz 8. godine je intepetcij Agoovog ekspeiment. zmeđu polov stlnog mgnet postvljen je otijući bkni disk. N osu disk i n njegov obod montin su dv klizjuć kontkt koji s glvnometom čine ztvoeno stujno kolo. E i v ω Nek je polupečnik disk i ω ugon bzin. Zbog dinmičke indukcije u svkoj tčki disk se ε E i d indukuje dijlno elektično polje čij jčin se odeđuje iz mgnetne sile i čiji sme je od cent k peifeiji disk. Elektomoton sil, koj se može ε ω meiti voltmetom, je jednk linijskom integlu elektičnog polj duž dijus. Do istog ezultt se dolzi i pomoću pištj ω fluks, koji je u ovom slučju negtivn, p sledi: d ds dθ d ω ε ( ds) ω V ds

115 Elektomgnetizm Model geneto jednosmenog npon - Šine n stojnju h ktko spj kilzni povodnik. Sistem se nlzi u homogenom mgnetnom polju (lekcij 76). N jednom kju šine su vezne n otponik R. Silom klizč je pokenut bzinom v. F U kilizču se indukuje elektomoton sil ε. Koz elektično kolo potiče stuj i. Ketnju se supotstvlj mgnetn sil Fm. i(t) A R F m ε hv i ε R hv / v (t) F h / R h ( h) v F m / R Ako je F > F m klizč će se ketti ubzno, povećvjuću bzinu i stuju u kolu koj je stlnog sme (Eng. D - diect cuent) Ako je ostven uslov F Fm sistem je stnju dinmičke vnoteže, sve veličine su stcionne, sistem di ko geneto jednosmenog npon. Klizč se keće konstntnom bzinom v v. Mehničk sng sistem je P M F v. Geneiše se stln elektomoton sil ε E. Koz kolo potiče stln stuj i. Elektičn sng geneto je P G i ε. v F R /(h) F R /(h) P M E F R /( h F /( h P G F R /(h ) ) ) Mehničk sng se se u celosti petv u elektičnu sngu (svi gubici znemeni) i u celosti toši n otponiku, je je P P P i R. Ako nkon poketnj sil F pestne d deluje klizč će se ketti po ineciji li uspoeno sve dok g mgnetn sil ne zustvi. Nek je ms klizč m. U nekom tenutku ( h) dv t vnotež sil je F m + m, odkle sledi v + m difeencijln jednčin z bzinu. R U ešenju difeencijelne jednčine konstnt integcije se odeđuje iz početnog uslov d je v z t. v M G v v e J ( h) t mr Elektomoton sil i stuj su diektno szmeene bzini što znči d u vemenu opdju po istom eksponencijlnom zkonu. Ko i u pethodnom slučju ukupn mehničk enegij se petv u elektičnu. ( h) mr t ( h) P J Ri v e t mv Ek R d.

116 8 Dejn M. Petković 79. Model moto jednosmene stuje Pincip d moto jednosmene stuje može d se objsni pomoću elektodinmičkog sistem iz pethodnog pime. Šine su piključe izvo jednosmenog npon E, klizč svldv silu G. i(t) E R F m v (t) G h Po uključenju npon potiče stuj i. Klizč se pokeće zbog mgnetne sile F m. U klizču se indukuje elektomoton sil ε. Nov jčin stuje je sd i ( E ε) / R. Mgnetn sil se smnjuje n F m ih. E / R F m h E h / R ε hv i ( E hv) / R F m ( E hv) h / R S povećnjem bzine smnjuje se mgnetn sil i u jednom tenutku postje jednk sili opteećenj. Od tog tenutk klizč će se kettti konstntnom bzinom v. Ako je sil opteećenj (n pime sil težine) ond će elektomoto dizti teet stlnom bzinom. Dinmičk vnotež nstup z Odvde se izčunv bzin klizč v. F m G. Stuj u vnotežnom stnju je G Fm ih. Elektičn sng izvo npjnj je P G i ε. Mehničk sng moto je P M F v. G ( E hv) h / R E GR v h (h) i G /(h P G EG /( h EG G R P M h (h) ) ) 8. Slobodn pd kontue u mgnetnom polju Pvougon kontu se smo svojim gonjim delom nlzi u homogenom mgnetnom polju (lekcij ). U tenutku t kontu se pusti d pd. Pojvom bzine u kontui se jvlj stuj koj će imti tkv sme d mgnetn sil kontuu podiže. Slobodn pd je uspoen. Jednčin ketnj (lekcij 78) dje ešenje z bzinu, F m + m G GR v ( h) e ( h) t mr. F m G v (t) ε hv i ε / R hv / R F m h ( h) v / R v GR / ( h)

117 . Elektomgnetizm 9 8. Reltivno ketnje kontue i mgnetnog polj Kd se kontu keće u mgnetnom polju pojv elektomotone sile se objšnjv Loetzovom silom. Međutim, pomen fluks je ist i ko kontu miuje, izvo mgnetnog polj se keće. N pime, potpuno je sve jedno d li se kontu udljv od povodnik bzinom v ili se povodnik udljv od kontue bzinom v. Nek se kontu oblik omb nlzi u mgnetnom polju neogničene stujne niti. Jčin polj zvisi od sto jnj (lekcij ) li i visin omb zvisi od sto jnj, p je fluks koz povšinu ogničenu kontuom omb,... c + b.. b..... v.... x i v x x + ( x) π x c h( x) b + ( x x) Φ x + x x + h( x)dx + c x + ( x)ds( x) π c b x ln. x π x Ukupni fluks zvisi smo od s tojnj kontue od povodnik ( x ) i smo po n tog stojnj može dovesti do pomene fluks. x me Pomenje kontue u pvcu povodnik ili pomenje smog povodnik po pvcu sopstvene ose ne dovodi do pomene fluks i indukcije. Pošto je povodnik neogničeno dug, ovj dugi sluč j je ssvim očigledn. ndukovn elektomoton sil će poizvesti stuju koj stv novo mgnetno polje koje se potivi pomeni. Pošto se s udljvnjem fluks obuhvćen kontuom smnjuje, indukovn stuj će fluks povećvti i u stnici bližoj povodniku imće sme ko i pimn stuj. dφ dφ dx ε dx ε dφ v dx b c c x + ε + ln v π x( x + ) x + x z izvedenog izz diektno slede dv specijln slučj. Z c pvougonik. b ε p π x bv ( x + ) Z b tougo. c ε td c x c v x x + ln π +

118 Dejn M. Petković Nek je tougon kontu iz pethodnog slučj postvljen tko d joj se sd ktet nlzi n stojnju x od povodnik. zopleto se može zključiti d su fluksevi u ob slučj jednki. x x + Kontue, nzovimo ih 'tougo donji' i 'tougo gonji', imju iste povšine, ist je jednčin pve n kojoj im leže hipotenuze, n istom su početnom stojnju od povodnik i nlze se u istom mgnetnom polju. Međutim, fluksevi obuhvčeni ovim kontum ni su isti. Mgnetno polje opd s stojnjem i njjče je u neposednoj blizini povodnik. U oblsti jčeg polj 'tougo donji' mnjom povšinom zdie u polje i on se povećv u pvcu u kome polje opd. Supotno, 'tougo gonji' im veću povšinu u oblsti jčeg polj. Kd se vodi čun d se visin kontue 'tougo gonji' s stojnjem od povodnik smnjuje, z c h(x) c indukovnu elektomotonu silu se dobij h(x) c x c c tg v x x x x + ε ln + +. π c + ( + ) Ako se dve tougone kontue sstve tko d fomiju pvougonik, elektomoton sil biće zbi pojediničnih, što dje već poznti ezultt, ε + ε ε. td tg p c v 8. Fluksmet Odeđivnje jčine mgnetnog polj pomoću t t fluksmet (lekcij 6) zsnovno je n meenju indukovne količine nelektisnj koj potekne koz blnsni glvnomet. Φ Φ Nvojk fluksmet ukupne otponosti R se unese u mgnetno polje. Koz povšinu S postoji mgnetni fluks Φ. Ztim se mgnetno polje isključi ili se nvojk bilo kojom bzinom i po bilo kojoj putnji iznese iz mgnetnog polj, tko d je n kju fluks jednk nuli. Zbog pomene mgnetnog fuks koz nvojk potekne količin nelektisnj koj je izmeen. ε ΔΦ i R R Δt iδt ΔΦ R i ( t t ) ( Φ Φ) R t t t Φ Φ Φ i t Φ R S Q R QR S

119 Elektomgnetizm 8. Model geneto nizmeničnog npon Kliznje povodnik po šinm ne obezbeđuje kontinulnu poizvodnju npon je šine imju ogničenu dužinu. Pvougon kontu povšine S oti ugonom bzinom ω oko osovine koj je nomln n pvc homogenog mgnetnog polj. Kjevi kontue su vezni n pstenove koji otiju zjedno s nvojkom. S pstenov se pomoću kliznih kontkt (četkice) odvodi indukovn stuj. U tenutku t noml povšine kontue i vekto mgnetne indukcije zklpju ugo α ωt. ndukovn elektomoton sil je d ε ( S cosωt) ωs sin ωt E m sin ωt. Ovj geneto dje postopeiodični npon. Stuj koz potošč nizmenično menj sme nkon svkog polupeiod. Otud potiču nzivi nizmeničn stuj (Eng. A - ltenting cuent) i ltento. Ako se po nekim uglom ϕ n postojeću kontuu dod još jedn ili više njih, istovemeno se dobij više fzno pomeenih npon. Polifzni sistemi su postli znčjni tek nkon dov Nikole Tesle (obtno polje). ϕ π / ϕ π / 84. Model geneto jednosmenog npon - Od Fdyevih otkić do pve pktične upoteb nizmenične stuje pošlo je četvt vek. U veme pvih ekspeiment nije bilo ni pomisli d bi nizmeničn stuj mogl d se koisti. Zto je bilo vžno poizvesti jednosmeni npon. Geneto jednosmenog npon nzvn je dinmo. Pioni u oblsti poizvodnje nizmenične stuje Pixi i je ponšo mehničko ešenje tj. komutto npon. Psten z skidnje npon s oto je podelio n polovine. Svki put kd dođe do pomene politet, polovine zmene mest i stuj uvek teče u istom smeu. Stuj je bil jednosmen li je menjl mplitudu. Npon n četkicm je bio pulsijući. olji ezulti su dobijeni s većim bojem segment n komuttou i većim bojem kontu. Dns se nizmenični npon ispvlj pomoću polupovodničkih diod.

120 Dejn M. Petković 85. Dug Mxwellov jednčin Fdyev otkić pokzuju d stvno postoje dv elektičn polj. Pvo čiji su uzok nelektisnj i dugo koje je pti svko pomenljivo mgnetno polje. Rzđujući ovu ideju, Mxwell je bitno uopštio zkon elektomgnetne indukcije petpostvivši d postojnje povodne kontue uopš te nije bitno z vženje zkon. Dkle, kontu može d bude od bilo kog mteijl ili može d bude smo zmišljen, indukovno elektično polje postoji kko u mteijlnim sedinm tko i u vkuumu. U to dob diektn ekspeimentln pove ove petpostvke nije bil moguć bez povodne kontue. d E d l ds S ot E t Otkiće elektomgnetnih tls bil je pv indiektn ekspeimentln p otvd Mxwellove petpostvke i cele teoije elektomgnetnih polj. Z zliku od elektosttičkog i stcionnog elektičnog polj, po- im i vtložn u menljivo elektično polje poed izvone komponente komponentu. Dkle, poed linij elektičnog po lj koje imju izvoe i ponoe u nelektisnjim, postoje linije elektičnog polj koje se ztvju sme u sebe. U opštem slučju (lekcij 9) je ot E t ot E ot A ot t + A E. t ot A Ukupno elektično polje je bezvtložno i može d se izzi pomoću gdijent neke sklne funkcije (Svesk ), je je oto gdijent uvek jednk nuli. U slučju stcionnih stnj izvod po vemenu je jednk nuli i elektično polje postje elektosttičko. Znči d je i z pomenljiv polj tžen skln A E + gdϕ funkcij zpvo elektični skl potencijl. t J A A dv ϕ E gd ϕ 4π ρ R 4πε R dv t V Međutim, izzi po kojim se odeđuju potencijli izvedeni su z stlne stuje i nepoketn nelektisnj i zto mogu d se pimene smo u slučju spoo pomenjivih tj. kvzisttičkih polj gde se efekt končne bzine elektomgnetne pomene ne pimećuje (lekcij 8). V

121 Elektomgnetizm 86. ndukovno elektično polje - beskončn solenoid Anlogij koj postoji između zpis Ampèeovog i Fdyevog zkon može d se iskoistiti z odeđivnje indukovnog elektičnog polj. Jsno, poznvnje smo oto funkcije nije dovoljno. Ako se posmt ono elektično polje koje je geneisno indukcijom (nem slobodnih nelektisnj) td su divegencije i elektičnog i mgnetnog polj jednke nuli, p nlogij postje potpun. ndukovno elektično polje je odeđeno izvodom mgnetnog polj n potpuno isti nčin ko što je mgnetno polje odeđeno gustinom stuje. Kod poblem s visokim stepenom simetije (lekcij ) nlogij se može koistiti i u integlnom obliku. ot E t s ot J div E div dφ E dl dl Međutim, postoji vžn zlik između ov dv zkon. Ampèeov zkon podzumev stuje nepomenljive u vemenu, dok Fdyev zkon podzumev smo vemenske pomene. U difeencijlnim oblicim ov dv zkon zlik se ne pimećuje, je se izzi svode n jednu tčku. U integlnom obliku zkon indukcije to znči d sve tčke koje pipdju oblsti integcije teb posmtti u istom tenutku. Elektomgnetne pomene se ne penose tenutno već bzinom svetlosti. Potebno je končno veme d se pomene s jednog kj domen osete n dugom kju. Z ml stojnj uzim se d je veme penošenj pomene jednko nuli, što je poznto ko kvzisttičk poksimcij (lekcij 8). Tipičn pime je beskončn (veom du g) solenoid s pomeljivom stujom. Smt se d u jednom tenutku, stuj, mgnetno i indukovno elektično polje svud imju istu vednost. N, L, Odeđivnje indukovnog elektičnog polj pomoću mgnetnog vekto potencijl pomoću Fdyevog zkon Φ A dl S π, Aπ π, ε E dl S t d π, E π π, < >, A N E θˆ d t L, Linije elektičnog polj su koncentične kužnice čiji sme je odeđen Lenzovim pvilom i pvilom desne zvojnice.

122 4 Dejn M. Petković 87. Fluksevi dve koksijlne kužne kontue Dte su dve koksijlne kužne kontue polupečnik b i << b koje pipdju međusobno plelenim vnim n stojnju z. Stuj koj potiče koz veću kontuu stv mgnetno polje (lekcij ) z koje može d se smt d je u oblsti povšine mnje kontue konstntno. Tko se dobij d mgnetni fluks koz mnju kontuu, osim od jčine stuje koz veću kontuu (i mgnetne pemebilnosti), zvisi smo od geometijskih odnos. m z b / R R ( + z ) b b ( b + z ) / ds zˆ Φ b ( b ds π d zˆ b π + d / z ) ds ( b d Φ b / π b Φ b / ( b + z ) b + z ) ds Nek sd ist jčin stuje potiče koz mnju kontuu. Mgnetno polje u oblsti povšine veće kontue nije konstntno. Kko je mnj kontu stvno ml, može d se poksimi mgnetnim dipolom (lekcij ). ˆ ( mrˆ) R m, gde je m m zˆ z π zˆ, ( zˆ Rˆ) Rˆ Rˆ. 4π R R Polje koje potiće od elementnog dipol (lekcij 44) im komponente u dijlnom i ksijlnom pvcu. m z Rˆ zˆ 4π R R U fluksu koji mnj kontu stv koz veću učestvuju smo komponente u ksijlnom pvcu je se dijlne komponente zbog simetije nuliju. Dkle, dobij se još jedn fkto zˆ R ˆ, ds π d zˆ Φ m z S Rz ˆ d ˆ zz ˆˆ ds. 4π R R d b Nkon integcije po povšini veće kontue dobij se ukupni fluks. Dv dobijen etultt su identičn, Φ Φ, b b Φ z b 5 / π b d / / ( z ) ( z + + ) ( b + z ) b.

123 Elektomgnetizm nduktivnost i Neumnnov fomul Dte su dve kontue u miovnju (lekcij 87). Stuj koj potiče koz jednu od kontu stv mgnetno polje. Neke od linij polj polze koz povšinu koju gdi dug kontu. Fluks koz povšinu duge kontue je popocionln stuji koz pvu kontuu. Dkle, z θ θ dl R dl d l Rˆ π 4 R Φ ds s Φ L Koeficijent popocionlnosti, koji zvisi smo od geometijskih odnos, je međusobn induktivnost. Sm temin induktivnost (lekcij ) do je 886. godine Heviside, oznkom L je o počst Lenzu. U spodeli počsti nije izostvljen Joseph Heny pem kome je jedinic z induktivnost dobil nziv heni s oznkom H. Ako je stuj u pvoj kontui pomenljiv, u dugoj kontui će se indukovti elektomoton sil ε.koj je szmen pomeni stuje. Φ H ε Φ Wb A d L d Odvde se sgledv ve z između induktivnosti i otponosti, nlogn onoj koj postoji između kpcitivnosti i otponosti. stovemeno, ovo je podsećnje d su svetski dušebižnici, što se tiče odvnj počsti, Fdy nije nmiili jedinicom z kpcitivnost. nduktivnost L Kpcitivnost ε Vs q As [ L] Ωs H / A [ ] s F t V U Ω Opšt fomul z međusobnu induktivnost može d se izvede n jedn veom elegntn nčin koji koisti mgnetni vekto potencijl (lekcij 9). dl dl dl Φ ds ot A ds A dl dl 4π R 4π. R s Odvde je očigledno s L dl dl 4π R L

124 6 Dejn M. Petković Pvo, vednost integl se ne menj ko se zmeni edosled integcije. dl dl M L L Dugo, fizički to znči d kontue 4π R mogu međusobno d zmene uloge. Tko se dobij končn izz poznt ko Neumnnov fomul. Pošto su međusobne induktivnosti iste, indeksi u oznkm postju suvišni. Usvojeno je d se međusobn induktivnost obeležv s M. Z bilo koji oblik i međusobni položj kontu i vži: Fluks koz kontuu pouzokovn tokom stuje koz kontuu je jednk fluksu koz kontuu kd ist stuj teče koz kontuu. Pomen stuje u nekoj kontui ne smo d indukuje elektomotonu silu u obližnjim kontum, već indukuje elektomoton u silu ε s i u sopstvenoj kontui i to je pojv smoindukcije. Mgnetno polje i fluks su popocionlni jčini konstnt popocionlnosti L je koeficijent indukcije ili induktivnost. nduktivnost (ko i kpcitivnost) je pozitivn veličin, p negtivn znk u zkonu indukcije dikti d će elektomoton sil smoindukcije biti tkvog sme d se potivi bilo kkvoj pomeni stuje. Dobijen fomul uključuje dv linijsk integl, po jedn z obilzk po svkoj od kontu. Već u njjednostvnijim slučjevim (lekcij 89) fomul dovodi do velikih mtemtičkih teškoć i nem stvnu upotebnu vednost u pktičnim počunim. Međutim, odvde se otkiv njvžnij činjenic u vezi međusobne induktivnosti. stuje, smo- D bi se uspostvil stuj u kontui, izvo npon pvo mo d svld elektomotonu silu smoindukcije (lekcij 9). nduktivnost u elektičnim kolim im sličnu ulogu ko ms u mehničkim sistemim. Što je već induktivnost teže je pomeniti stuju - što je već ms teže je pomeniti bzinu. ε Φ L s d L U + ε s d U L dv F m Odeđivnje koeficijent smoindukcije (i međusobne indukcije) u opštem slučju je veom složen zk. Smo kod sistem s velikim stepenom simetije i pi kvzisttičkoj poksimciji mogu se dobiti pibližne i pktično upotebljive fomule. Solenoid (lekcij 4) Tous (lekcij 4) Tous (lekcij 7) S N S N L L L l l N d ln π b

125 Elektomgnetizm Međusobn induktivnost dve kužne kontue Odeđivnje međusobne induktivnosti dve koksijlne kužne kontue (lekcije 7 i 88) je jedn od osnovnih poblem. Neumnnov fomul. koj inče nem bš upotebu vednost, već u ovom pimeu dovodi do piličnih mtemtičkih teškoć. U polno-ciindičnom koodintnom sistemu se dobij edom: d l dθ, d lb bdθb dlb dlb bcos( θ θb )dθdθb R + R + b bcos( θ θ ) z b b b + b x + b + z x R b x cos( θ θb) Kd se svi izzi zmene u Numnnovu fomulu dobij se dvostuki integl koji nije moguće ešiti u ztvoenom obliku. π π dl dlb M cos( θ θb)dθdθb 4π R M bx 4π x cos( θ θ ) b Ako se imenilc podinteglne funcije zvije u Tyloov ed (n )!! n n x cos ( θ θb), x cos( θ θ ) n n! b i nkon što suminje i integcij zmene edosled, sledi π π (n )!! n n+ M bx π x cos ( θ θb )dθdθb. 4 n! n Odeđeni integl po jednoj od pomenljivih dje konstntu, p je ešenje integl po peostloj pomenljivoj jednk gonjoj gnici. T ko se dobij π M x bx + x x đ M sin π b / ( + b + z ) n t n n n n n t cost sin t + sin Kko je x ml veličin td u počun može d se uključi smo pvi čln ed. Končno, ko je b >> dobij se pethodno izveden ezultt (lekcij 87). π cos n n n n cos t sin t cos t + s cos t co n n π ( )!! ( θ θb)dθ π (n)!! n n n ( θ θ )dθ b

126 8 Dejn M. Petković Neumnnov fomul z međusobnu induktivnost dve kužne kontue može d se npiše i u obliku u kome je zlik uglov zmenjen jednim uglom koji se, jsno, nlzi u istim gnicm ko i zlik uglov, koje opisuju pun kug. π π M cosθd dθb θ 4π b + b bcosθ + z Pvi intel im vednost π, integl koji ostje je potpuno istog oblik ko integl koji se pojvljuje u izzu z mgnetni vekto potencijl usmljene kužne kontue (lekcij 44). Ko što je to već nije uđeno, smenn θ π α, d θ dα i cosθ sin α, integl se dovodi n oblik π / (sin α )dα M bk, k 4b k sin α ( + b) + z, koji omogućv d se međusobn induktivnost izzi peko potpunih eliptičkih integl pve i duge vste, M b f ( k), f ( k) k K( k) E( k). k k Potpun sličnost izz z mgnetni vekto potencijl kužne kontue i međusobnu induktivnost dve kužne kontue je posledic pimene Neumnnove fomule, Nime, mgnetni vekto potencijl kužne kontue (lekcij 44) u bilo kojoj tčki posto je Aφ f ( ) π k. Pem Neumnnovoj fomuli (lekcij 88) je Φ M što dovodi do istog ezultt. S d s s s M A dl A dl b b πb π A b, d l f ( k) b f ( k). 4 5 K ( k) + k + k + k , π k < 4 k k 5 E ( k) , π k < (Pilog D)

127 Elektomgnetizm 9 9. Smoinduktivnost i kužn kontu Smoinduktivnost neke kontue dobij se iz diektno iz Neumnnove fomule ko se petpostvi d se dve identične kontue poklpju. Međutim, td kontue ne mogu d budu beskončno tnke. Ov neeln petpostvk dje R kd se n putu integcije elementi dl i dl podude, što dovodi do beskončne vednosti integl. Z kontuu koj im končnu debljinu može d se smt d stuj teče po osi povodnik što čini jednu kontuu z integciju. Dug kontu može d leži bilo gde n povšini povodnik. Ovkvim postukom se ne zmt polje u unutšnjosti povodnik i zbog tog se dobij smo spoljšnj (eksten) induktivnost. Le 4π d l d l R Ukupnu induktivnost čini zbi spoljšnje i unutšnje induktivnosti. Poblem unutšnje induktivnosti ne postoji kod beskončno tnkih kontu i kod počun međusobne induktivnosti. Međutim, kod počun smoinduktivnosti debljin povodnik mo d se uzme u obzi, tu nstje poblem definicije fluks. Nime, u povodniku končne debljine može d se obzuje beskončno mnogo ztvoenih kontu, koz svku od njih postoji zličiti fluks. D bi se izbegle ove teškoće, smoindukcij se njčešće odeđuje pomoću enegije mgnetnog polj (lekcij 95). nduktivnost usmljene kužne kontue može d se odedi iz fomule z međusobnu induktivnost dve kontue (lekcij 89) ko specijln slučj u kome je z i b, odkle sledi d je k. Z ovu vednost gument eliptički integl duge vste E im vednost jedn, li eliptički integl pve vste K z α π / postje beskončn. Očigledno debljin povodnik mo d se uzme u obzi i teb odbti b i z. Međutim, i dlje ostje počun integl z k. lim E( k) k lim K( k) k Pomenuti singulitet koji se pojvljuje u tčki α π / može d se pemesti u tčku nul tko što se uvede smen α π / β. Ztim oblst integcije teb podeliti uglom δ n mnji deo koji sdži singulitet i veći osttk z koji se može uzeti k. π / π / δ dα dβ k sin α k cos β π / K ( k) + K + K δ

128 Dejn M. Petković Pvi sbik i dlje sdži singulitet, li je ugo po kome se integli uvek ml veličin, β δ, p može d se npiše d je k cos β k ( sin β) k ( β ) k + β, odkle se dobij tblični integl, δ d β ln δ + k + δ K + β k k. K ln δ k U dugom sbiku uvek je β >, tko d može d se zmeni k. Z vednost integl se ond dobij π / π / dβ dβ δ K ln tn. k cos β sin β δ δ K δ ln Kd se dobijeni ezultti sbeu poizvoljni ugo δ kojim je podeljen oblst integcije se eliminiše iz ezultt. K( k) ln 4 k Dobijen poksimtivn fomul z potpuni eliptički integl pve vste vži z k li i dlje nije moguće koistiti gnični slučj k. Međutim, kd se zmene vednosti z koje se dobij usmljen kužn kontu, b i z, <<, sledi 4 ( + b) + z 4 k ( b) + z 4 k Končno, iz fomule z međusobnu induktivnost dve kužne kontue dobij se fomul z pibližno izčunvnje spoljšnje induktivnosti usmljene kužne kontue. 8 M b k K( k) E( k) L e ln k k Ovde teb npomenuti d se fomul z induktivnost kužne kontue skoo edovno izvodi tko što se smt d je međusobmo stojnje dve kontue jednko nuli d, d su polupečnici kontu i b +, pi čemu je <<. To dovodi do istog ezultt, smo što, mo se piznti, izgled mnje logično.

129 Elektomgnetizm 9. nduktivnost pvih plelenih odsečk U pethodnim zmtnjim pećutno je petpostvljeno d su smeovi obilsk po kontum, tj. smeovi stuj isti. Međutim, veličin i znk koeficijent međusobne indukcije zvise od sklnog poizvod element kontu. To se njlkše uočv kod pvih povodnik. Međusobn induktivnost međusobno upvnih povodnik je nul. Kod plelnih povodnik stuje mogu biti plelne ili ntiplelne (lekcij ), p je l l dxdx M ± 4 π ( x x) + d. d x dx l R x d x l x x Unutšnji integl je tblični. Rešenje im dv oblik. Videti fusnotu. l dx (x x) + d l l x csinh + csinh d l x x csinh dx + csinh dx d d l l x d x csinh dx d Kd se (ko podzumevn) dvoznk izostvi, končno se dobij d je d l l l l l d M csinh + + csinh + π d d d π d l ili kd se upotebi logitmsk funkcij (videti fusnotu) d + l l l M ln + π d l + d d + l d +. l Spoljšnj smoinduktivnost se dobij k d se Z l >> povodnici peklope, tj. kd je d. mjući u vidu d je l / >>, / l << sledi končn l l L e ln π pibližn fomul. l d x ln x + x + d x + d l x + csinh + d l x l x csinh dx csinh d( l - x) d d csinh x dx x csinh x x + l x csinh dx d

130 Dejn M. Petković 9. Dvožični vod i dv dvožičn vod Dv veom dug pleln povodnik, kužnih popečnih pesek, koz koje teku stuje iste jčine i supotnih smeov čine dvožični vod. Spoljšnju induktivnost dvožičnog vod njlkše je odediti pomoću spoljšnjeg fluks i definicije inudktivnosti (lekcij 89) U tčkm povšine između njbližih izvodnic cilindičnih omotč povodnik, vektoi mgnetnog polj koje stvju stuje koje teku po osm povodnik su istog pvc i sme (lekcij ), p je d l Fluks vekto mgnetnog polj teb + + izčunti koz povšinu končnih dimen- π zij, n pime koz odsečk dužine l, Φ e l d d d + l d l ( d )( d ln π ). Kd je << d sledi pibližn fomul z spoljšnju induktivnost dvožićnog vod koj se uobičjeno čun po jedinici dužine povodnik i nziv se podužn induktivnost, L L /l. Φe Le d ln π L e l ln d π Dvožični vod A čine povodnici -, dugi dvožični vod čine povodnici -4. U povodnicim svkog od vodov, stuje su istih intenzitet i supotnih smeov. Nek je ktivn vod A. A 4 Linije polj povodnik su koncentični kugovi s centim n osi povodnik, tko d je fluks vekto polj koz odsečk pov šine -4 vod isti ko koz koz odsečk povšine '-4. Kod izčunvnj međusobne podužne induktivnosti debljin povodnik ne mo d se uzme u obzi p su gnice integcije odeđene položjim os povod nik. N isti nčin se odeđuje fluks koji stv povodnik. Končno je d4 d4 l d l d4 d π, π d d d Φ l ln l d ln Φ, π d4 M Φ + Φ M l l d4 d M ln π d d 4

131 Altentivni nziv z pčje govno je Ljiljn Živković Elektomgnetizm 9. Koksijlni solenoidi Koz solenoid dužine l, kužnog popečnog pesek polupečnik, tj. povšine S s N nmotj potiče pomenljiv stuj. Jčin indukovnog elektičnog polj (lekcij 86) szmen je bzini pomene stuje i zvisi od stojnj od ose solenoid. U kontui polupečnik indukuje se elektomoton sil ε. N E l d,, ε N S ε N l l ε N E dl π E d π, π, Rezultt očigledno zvisi od veličine obuhvćenog fluks. Kd kužn kontu obuhvt solenoid, ceo fluks se ztv smo koz popečni pesek solenoid (vn solenoid polje je jednko nuli), p polupečnik kontue, i njen oblik više nisu od znčj. N l S dφ N d Φ ε π l Nek je umesto kužne kontue oko solenoid nmotn dugi kći solenoid s N nmotj. U pethodnom zmtnju se ništ ne menj, osim što su fluks i indukovn elektomoton sil N put veći. dφ NNS d NNS ε N M d ε M l l d t Zbog pojve smoindukcije u solenoidu se istovemeno induku je povtn elektomoton sil koj je szmen boju nmotj N. dφ NNS d NNS d ε N L ε L l l d t Ako pomenljiv stuj teče koz spoljšnji solenoid pktično je nemoguće odediti fluks koz svki od nmotj dužeg solenoid je je polje kćeg solenoid veom složeno i svi ti fluksevi su zličiti. Međutim, međusobne induktivnosti su iste i poblem je ešen. Ako su solenoidi istih dužin ond se koeficijenti sopstvenih induktivnosti zlikuju smo po boju nmotj, p se dobij vez između tih koeficijent. d ε M d t d ε L d t ε ε L M M L

132 4 Dejn M. Petković 94. Model tnsfomto Kd su dv solenoid nmotn oko istog U U jezg, td siguno obuhvtju isti fluks. Jezgo je koncentto fluks. To je pimitivn ~ R tnsfomto - ueđj z povećvnje ili smnjivnje npon izvo pomenljive stuje. Pincip d tnsfomto otkio je Fdy svojim ekspeimentom iz 8. godine. Međutim, z otkiće tnsfomto vezuju se imen onih koji su svoj znnj uspeli d komecijlizuju (dok ). Pošto svki nmotj ob solenoid požim isti fluks Φ td je dφ ε N ε N, i N d Φ ε d t ε N gde su ε i ε povtn elektomoton sil smoindukcije (u pimu), odnosno indukcije (u sekundu). Relniji pime nije bitno zličit. N pim je doveden postopeiodičn npon. ndukovn povtn elektomoton sil u celosti se supostvlj dovedenom nponu. N sekund je piključen potošč R. ndukovn stuj u sekundu stv pd npon n potošču. Pd npon je jednk indukovnoj elektomotonoj sili je nem dugih izvo npon. U U cosωt ε U U R ε U d d d d ε L + M U cosωt L + L L d d d d ε M + L R L L + L Ako se pv jednčin pomnoži s L U cosωt L / L, ztim oduzme od duge L R diektno se dobij. Smenom tog U L U izz u pvu jednčinu dobij se sin ωt + cosωt, odnosno nkon integcije. ωl L R N sekundu se može dobiti zntno veći npon od pimnog. U R L N Međutim, to ne znči d je nušen U U L N zkon o odžnju enegije. Nime, Sednj T T L Sednj U sng P U U P sng T L pim R T sekund

133 Elektomgnetizm Enegij mgnetnog polj U opštem slučju, u nekom izolovnom, nepoketnom i kvzisttičkom sistemu postoje nelektisnj u miovnju i ketnju koj stvju elektično polje E, koje potiče od smih nelektisnj li i od pomenljivog mgnetnog polj (lekcij 85). Tkvom sistemu se dovodi enegij, što može d se pikže ekvivlentnim spoljšnjim (ekstenim) elektičnim poljem E e. Ukupn gustin stuje u sistemu se dobij iz Ohmovog zkon (Svesk ) u difeencujlnom obliku. A J σ( Ee + E) J Ee gd ϕ σ t Kd se jednčin sklno pomnoži s J s, peuedi edosled sbik i integli po zpemini koji zuzim si stem, dobij se jednčin snge. Lev stn jednčine je sng koj se dovodi sistemu, desn stn pokzuje kko je t sng spoeđen. Pvi sbik je sng Jouleovih gubitk. Dugi i teći čln potebno je tnsfomisti, ko što sledi. U tećem koku tnsfomcije zpeminski integli pelze u povšins ke. Ovi povšinski integli su jednki nuli je integndi teže nuli b ko /, dok se zpemin šii ko. Očigledno d ovi sbici pedstvljju snge koje psobuju elektično i mgnetno polje, espektivno. A EeJ dv J dv + J gdϕ dv + σ J d V t V V A A A div( ϕ J ) J gdϕ ϕdiv J div H H ot ot H t t t ρ A A A J gdϕ dv ϕ dv + div ( ϕj ) dv J dv H ot dv div H dv t V V V t t t V V V ρ J gd ϕ dv ϕ dv + ( ϕj )ds A A A t J d V H ot dv H ds V V S t t t V V S ρ J A gd ϕ dv ϕ dv t J dv H dv t t V V σ EeJ dv J dv + V V V V V V ρ ϕ dv t + V V H dv t Sng izvo (Svesk ) Sng Jouleovih gubitk (Svesk ) Sng elektičnog polj (Svesk ) Sng mgnetnog polj

134 6 Dejn M. Petković Uspostvljnju stuje u sistemu potivi se elektomoton sil smo- zvo indukcije koj elektičnom polju dodje vtložnu komponentu. npjnj ulže d d bi svldo tu pepeku i time deponuje deo enegije u mgnetno polje. Z elementno veme d t jčin mgnetnog polj se poveć z d. Mgnetn enegij je zbi svih pištj u toku dwm H d dv poces uspostvljnj stuje, odnosno mgnetnog V polj. Z pktičn počun enegije potebno je poznvnje kive mgnećenj, odnosno kive Wm H d dv pvobitnog mgnećenj, ko sistem nem istoiju. V Gustin enegije w m je jednk povšini koju ov kiv gdi s odintom (os mgnetnog polj). w H d Z linene sisteme je H i izz z enegiju može d se npiše u sledećem obliku, W m dv H dv H dv. V V V Dugim ečim, spoljšnji izvo npon U mo u celosti d svld elektomotonu silu smoindukcije, U + ε (lekcije 88 i 94). Ako nem gubitk, td se celokupn enegij izvo toši n všenje tog d, tj. n fominje mgnetnog polj, dw m U, odnosno d W m d m w m d ε L d W m L d W m L Ako se upotebe nije izvedeni izzi z fluks, pvo pomoću koeficijent sm oindukcije (lekcij 88), ztim pomoću mgnetnog vekto potencijl (lekcij 9) dobijju se još dve koisne fomule z počun mgnetne enegije, Φ L W m Φ ko i Φ d Wm A l V H A J dv U poslednjem izzu z enegiju integcij se vši po celoj zpemini u kojoj teče stuj. Međutim, integcij po zpemini koj je već od one zposednute stujm, dovodi do istog ezultt, je je u pošienom delu tkve zpemine gustin stuje jednk nuli. Tkvim zmišljnjem dolzi se do zključk d je mgnetn enegij loklizovn u postou gde su loklizovne stuje. S duge s tne, pomoću uopštenog Ampèeovog zkon gustin stuje može d se izzi peko mgnetizcionog polj (lekcij 49), J ot H.

135 Elektomgnetizm 7 Dlje, potpuno istim tnsfomcijm koje su već pimenjene kod jednčine bilns sng, izz z enegiju može d se dovede do oblik koji nlogn izzu z sngu. Jedin zlik je što se u izzim z enegiju pojvljuje mgnetni vekto potencijl, u ovim z sngu izvod ovog vekto po vemenu. stim ezonovnjem, ko i mlope, zključuje se d povšinski integl teži nuli. Dkle, u integciji po celom postou ostje smo pvi čln. W m AotH dv V div( A H ) H ota AotH AotH H ota div( A H ) AotH H div( A H ) W m W m zz z enegiju, u kome se pojvljuje isključivo mgnetno polje, je potpuno isti kd se izvede n dv nčin, ko su to uopšte dv nčin. HdV div( A V V HdV ( A V W m S V H ) dv H ) d S Hd V N osnovu ovog izz može d se zključi d je enegij loklizovn u celom postou gde mgnetno polje postoji, ne u postou ispunjenom stujm, kko je pethodno zključeno. Gde je loklizovn mgnetn enegij? Logično je d je mgnetn enegij loklizovn u istom postou u kome je več loklizovn enegij elektičnog polj (lekcij ). Gde je mgnetn enegij nkon zvšetk poces uspostvljnj stuje? Pošto je enegij sposobnost sistem d vši d, mgnetno polje ne vši d (lekcij 8), izgled nelogično d se enegij deponuje u mgnetnom polju. Međutim, nstjnje stuje u sistemu pti pomenljivo mgnetno polje, pomenljivo mgnetno polje, pem Fdyeovom zkonu, pti pomenljivo elektično polje i potiv sil tog polj se vši d. Uloženi d odlzi u fominje mgnetnog polj. Poces je obnut kd stuj u sistemu nestje. Td sile pomenljivog elektičnog polj vše d tj. mgnetno polje sistemu vć uloženu enegiju. U linenim sistemim enegij se vć bez osttk. Kd sistem sdži feomgnetne mteijle, smo deo uložene enegije može d se vti zgdnjom mgnetnog polj. Deo enegije je nepovtno utošen n mgnećenje mteijl. Gde je enegij između t dv poces? Zto o enegiji mgnetosttičkog polj govoe smo oni koji sebi nisu postvili pethodn pitnj. Postoji znčjn sličnost izz z enegiju mgnetnog polj i izz z enegiju elektičnog polj (Svesk ). T sličnost im svoje koene u definicijm induktivnosti i kpcitivnosti. L Φ Q U. w m w m H AJ W m L w e w e ED ϕρ W Q U e

136 8 Dejn M. Petković Kod počun koeficijent smoindukcije debljin povodnik mo d se uzme u obzi, td se jvljju teškoće oko definicije fluks (lekcije 9-9). Ovj poblem teb izbeći, ko je moguće, tko što se počun izvši peko izz z enegiju kontue. Wm L W L m Pilikom počun enegije integcij se vši po celokupnoj zpemini. Zpemin koju zuzimju povodnici je unutšnji domen, osttk posto je spoljšnji domen. Pem tome ukupn enegij može d se pedstvi ko zbi enegije loklizovne u polju u povod- u i Li HdV V nicim (inten enegij) i enegije loklizovne polju vn povodnik (eksten enegij). U opštem Le HdV slučju mgnetne pemebilnosti sedin su zličite. V Koeficijent smoindukcije je zbi dv koeficijent - e tj. zbi unutšnje i spoljšnje induktivnosti. L L e + Li U opštem slučju spodel stuje u povodniku zvisi od učestnosti (lekcij 5). Zbog tog od učestnosti zvisi i spodel mgnetnog polj, posledično vednosti koeficijent indukcije. Ako su povodnici tnki spoljšnj induktivnost ne zvisi bitno od od spodele stuje, je je mgnetno polje vn povodnik isto ko d stuj teče po osi povodnik. Međutim, unutšnj induktivnost uvek zvisi od učestnosti. Koeficijenti indukcije su sttički ili dinmički zvisno od tog d li su čunti pod uslovim kvzisttičnosti ili ne. Nek je posmtni sistem povodn kontu u kojoj deluje izvo npon U i koj im svoju otponost R i induktivnost L. Kd se difeencijlni oblik Ohmovog zkon sklno pomnoži elementom kontue d l i integli po celom obimu kontue dobij se jednčin npon koj im fomu Kichhoffovog zkon. A Eed l Jdl + gdϕdl + σ dl t E ed l εe ε e U J dlˆ gdϕ E S dl R E dl σs d d t dφ Adl dφ d L U R + d L

137 Elektomgnetizm Enegij solenoid Sve fomule koje su izvedene z enegiju uključuju integciju po zpemini, md se to eksplicitno ne vidi kod fomule z počun enegije peko induktivnosti. Sistemi koji imju b jednu beskončnu dimenziju imli bi beskončnu enegiju. U tkve sisteme spdju dvožićni vodovi, koksijlni vodovi i usmljeni povodnici. U stvi, te sisteme smtmo veom dugim. U posmtnom delu zpemine, oko nekog popečnog pesek, kkteistike od znčj z poblem su konstntne. Tkođe, ko povtni vod nije obuhvćen sistemom, smt se d je dleko tko d ne utiče n polje u posmtnom delu zpemine. Tipičn pime j e beskončn solenoid koz koji potiče stln stuj. U solenoidu končne dužine, jčin mgnetnog polj n kjevim opd n polovinu vednosti koju im n sedini ose (lekcij 8). Ako je solenoid veom dug (beskončn) polje se može smtti konstntnim i dobij se ezultt koji inče dje pimen Ampèeovog zkon (lekcij 4 ili 5). nduktivnost beskončnog solenoid je tkođe beskončn. Zbog tog se induktivnost i enegij solenoid čunju po jedinici dužine, to vži i z vodove. Počun enegije peko induktivnosti N S L L l l lekcij 88 W m Počun enegije peko mgnetnog vekto potencijl Wm A dl A J l S N ˆ N ˆ N S dl θ θ π l l l lekcij 45 lekcij 5 Počun enegije peko jčine mgnetnog polj N Wm HdV l l l V N l N S l l S lekcij 4 lekcij 5 Ti fomule z enegiju dju ltentivnu mogućnost Wm z počun koeficijent smoindukcije (lekcij 95). L Počun koeficijent smoindukcije može d bude veom složen poblem (lekcij 9 ) i često je jednostvnije izčunti enegiju sistem pomoć u jčine mgnetnog polj, p ztim iz enegije izčunti induktivnost.

138 4 Dejn M. Petković 97. Unutšnj induktivnost pvog povodnik zčunvnje induktivnosti pvog povodnik je jedn od elementnih poblem koji se jvlj u svim počunim u kojim debljinu povodnik nije moguće znemiti. Mgnetnu enegiju povodnik polupečnik i končne dužine l je njlkše izčunti pomoću jčine mgnetnog polj (lekcij )., π W m V dv dv d dθdz W m π l l θ z θ π π d d dz l π d 6π ntegcij je izvšen po zpemini zposednutoj povodnikom i to je unutšnj (inten) enegij. Shodno tome, izčunv se unutšnj podužn induktivnost povodnik. Dobijeni izz, ko i do sd izvedeni, vži smo u kvzisttičkom slučju. Ukupn induktivnost sistem je zbi spoljšnje ( ekstene) i unutšnje (intene) induktivnosti. U tom smislu teb uopštiti nije izvedne fomule. W Li l m L i 8π Wm L L e + L i Kužni zvojk (lekcij 9) 8 π L ln + 8π Pv povodnik (lekcij 9) l l l L ln + π 8 π Dvožični vod (lekcij 9) L ln π d + 8π 98. Podužn induktivnost koksijlnog vod Diektnom pimenom postupk z počun enegije peko jčine polj i počun induktivnosti peko enegije z koksijlni vod (lekcij ) se dobijju sledeći ezultti., π, b π c, b c π c b Podužn induktivnost L i 8π L e L i b ln π π 4 c L L + L + L c ln c b ( c b ) b 4( c b ) i e i

139 Elektomgnetizm Enegij induktivno spegnutih kontu Rzmtnje koje vži z sistem koji se sstoji od n ztvoenih kontu može se, bez gubljenj n opštosti, pikzti z sistem od dve kontue. U stcionnom stnju koz dve kontue potiču stlne stuje i. Koliko enegije je uloženo? Nk se u pvoj kontui uspostvlj stuj. Dug kontu je u početku otvoen,. Pvi geneto ulže enegiju W. U dugoj kontui se sd uspostvlj stuj. U pvoj kontui se odžv stln stuj. Dugi geneto ulže enegiju W. Zbog pojve stuje u pvoj kontui se jvlj elektomoton sil međusobne indukcije ε. D bi stuj ostl stln, pvi geneto ulže donu enegiju W svldvjući ε. Ukupn enegij sistem je W. W L W L d ε M d t W M W W + + W W Dugi m ečim, u stcionnom stnju koz dve kontue potiču dve stlne stuje. Enegij sistem je enegij ezultujućeg polj, koje je pk vektoski zbi komponenti, +, H H H +. Tko se čisto mtemtičkim postupkom dolzi do istog ezultt ko i pomoću fizički zsnovne pethodno spovedene nlize. W m HdV W m V L H H H H H W m W + W + W + W W m ( L + L + L + L ) H H H H L L M W m W + W + W W m L + L + M U linenim sedinm, d koji izvše genetoi npon, svldvjući indukovne elektomotone sile pilikom uspostvljnj stuj, u celosti se tnsfomiše u mgnetnu enegiju. Enegij mgnetnog polj ne zvisi od

140 4 Dejn M. Petković nčin i edosled uspostvljnj stuj, što je u skldu s zkonom o odžnju enegije. D nije tko, uvek bi se mogo ponći tkv nčin zgdnje mgnetnog polj pi kome bi enegij koju polje vć bil već od enegije koj je uložen u njegovu gdnju. z izz z enegiju dve spegnute kontue uopštvnjem se d obij izz z enegiju sistem od n kontu. W m n n i j L ij i j zz z enegiju dve spegnute kontue može d se npiše u obliku u kome figuiše odnos stuj u kontum x /. + + Wm L L M W m L + Lx + M x z ovog oblik može d se odedi ekstemn vednost, izjednčvnjem pvog izvod s nulom. Pošto je dugi izvod uvek pozitivn veličin, ekstemn vednost je minimum. d dx W m ( L x + ) M x M L W m min M L L Enegij je uvek nenegtivn veličin, te ole M L ledi uslov z koeficijente indukcije. U opštem L s slučju međusobn induktivnost se izžv pomoću koeficijent spege k. M k L L Kd koz dve induktivnosti potiče ist stuj (n pime, dv solenoid u ednoj vezi) izz z enegiju može d se npiše u obliku u kome figuiše ekvivlentn induktivnost. W L + L + M Le L e L + L ± M Međutim, induktivn speg između dv element sistem zvisi od geometijskih odnos (i od smeov stuje što se svodi n međusobni položj) i može d bude pozitivn, negtivn i jednk nuli. L + L M L + M L L M + L Menjnjem međusobnog položj klemov podešv se i ekvivvelntn induktivnost, ueđji su nzvni pomenljivi induktoi ili viometi. Teoijski je moguće postići nultu induktivnost. + L + L

141 Elektomgnetizm 4. nduktivnost je često nepoželjn kkteistik, n pime, kod žičnih otponik kod kojih se otpon žic nmotv u obliku klem ili vne spile. Spilni solenoid znemljive smoinduktivnosti, koji je Tesl ptentio ko klem z elektomgnet 894. godine, dns je šioko poznt ko Teslin plčink (Tesl pncke). D bi se induktivnost svel n njmnju moguću vednost koisti se bifilno (Lt. bi - dv, filum - nit) motnje. Kd se n jednom kju nmotj povodnici spoje, stuj koz dv identičn klem potiče u supotnim smeovim i ukupn induktivnost je jednk nuli. L e L L + L L Kd se klemovi pedstvljju šemtski ne postoji mogućnost odeđivnj znk koeficijent međusobne indukcije. Zbog tog je usvojen konvencij o obeležvnju induktivnih element pomoću tčk. Pošto su u opštem slučju nponi i stuje pomenljivi u vemenu, uvodi se efeentni sme stuje. Refeentni sme odeđuje sme obilženj po kontui koj sdži induktivne elemente, posledično odeđuje znk koeficijent međusobne indukcije i indukovne elektomotone sile. Nek su induktivni elementi solenoidi. Ako se n osnovu posmtnj utvdi d je koeficijent međusobne indukcije pozitivn, tčke se ctju t ko d ob efeentn sme stuje ulze u solenoide kod nctnih tčk i obnuto. M M U svkom od dv induktivno spegnut kol deluju po ti elektomotone sile. R R Pv potiče od dejstv geneto, dug L L U od dejstv smoindukcije i teć od ~ ~ U M dejstv međusobne indukcije. Jčine stuj u kolim se mogu izziti u fomi Ohmovog zkon. U U + εs + εm U R + L R + ε s R + εm d + d M d d U L R + + M Do istog sistem difeencijlnih jednčin se dolzi i ko se jednčin bilns enegije z jednu kontuu (lekcij 95) uopšti z slučj dve ili više spegnutih kontu.

142 44 Dejn M. Petković. Stuj u kolu s otponikom i klemom - RL kolo Dt je edn vez otponik R i klem L. Ovi P elementi, i ped tog što se pikzuju posebno, nisu R o bvezno koncentisni je svki povodnik im U L svoju induktivnost i svki klem im svoju otponost. NEMOJ DA DOLAZŠ. Kd se RL kombincij piključi n izvo jednosmenog npon u kolu se tenutno pojvljuje indukovn elektomoton sil koj se potivi stuji koj se iznend pojvil. Piključeni npon svldv elektomotonu silu smoindukcije i u kolu se postepeno uspostvlj stcionno stnje u kome teče jednosmen stuj stlne jčine U / R. NEMOJ DA ODLAZŠ. U stcionnom stnju izvo npjnj se isključi pespjnjem kjev RL kombincije. stovemeno s isključivnjem npon, u kolu se pojvljuje elektomoton sil koj koj bezuspešno pokušv d odži stuju koj nestje, čk skokom vnice ko elektično kolo nije ztvoeno. Kd se sv enegij kumulin u mgnetnom polju utoši stuj pd n nultu vednost,. Pelzni ežim Uključivnje sključivnje Difeencijln jednčin elektičnog kol d U R + L d R + L Početni uslov t, t, Stcionni ežim t t Oblik koji zdvj pomenljive d R d t L d R L Rešenje difeencijlne jednčine e R t L e R t L O dnos τ L / R je vemensk konstnt, ecipočn vednost α /(τ) je fkto piguše nj. Što je induktivnost već pelzni ežim je duži. Teoijski, stcionno stnje se uspostvlj nkon beskončnog vemen. Pktično, potebno je nekoliko vemenskih konstnti. Dobijene ezultte teb upoediti s onim (Svesk ) koji se dobijju z punjenje i pžnjenje kondenzto peko otponik. U linenim sedinm, gde mgnetn pemebilnost ne zvisi od jčine polj, enegij mgnetnog polj je jednk du koji izvo npjnj utoši

143 Elektomgnetizm 45 z uspostvljnje mgnetnog polj. Ako se jednčin uspostvljnj stuje u kolu pomnoži člnom d t, dobij se jednčin enegetskog bilns, U d R + L ( ) U R + L d d W d u W J + dw m Enegij izvo npjnj Enegij Jouleovih gubitk Enegij mgnetnog polj Lev stn jednčine pedstvlj enegiju koju izvo toši u toku uspostvljnj stuje u kolu. Desn stn jednčine pokzuje kko se t enegij spoeđu je. Pvi sbik pedstvlj Joulove gubitke, dugi enegiju koje se zbog smoindukcije petv u mgnetnu. N kju pelznog ežim stuj dobij svoju stcionnu vednost. U stcionnom ežimu (stuj je konstntn) nem pd npon n klemu i npon izvo jednk je pdu npon n otponiku. Međutim, u mgnetnom polju je kumulin enegij koj može biti vćen izvou ili petvoen u neki dugi vid enegije. zz z enegiju koj je sdžn u mgnetnom polju klem je nlogn s izzom z enegiju koj je sdžn u elektičnom polju kondenzto W W m L d L Q q e Q W m Φ W e Q U Nek je induktivnost u kolu dugčk solenoid ili tous. Td je N N W m S S Sl V HV, Φ l l gde je V zpemin solenoid. Dobijeni izz, tkođe nlogn s izzom z enegiju elektičnog polj (svesk ), pokzuje d je enegij loklizovn u polju. Ukupn enegij sdžn u polju je evezibiln i u potpunos ti se vć pilikom isčezvnj polj. U posmtnom slučju enegij ne može d bude vćen izvou (je je isključen) i tnsfomiše se u Joulove gubitke. Enegij koj se oslobodi n otponiku R - t L Enegij mgnetnog polj klem W J R d t R e L W m

144 46 Dejn M. Petković. Pžnjenje kondezto peko klem - L kolo Nek je kondenzto inicijlno piključen n npon U i tko npunjen količinom nekektisnj Q U. U tenutku t kondenzto se peklopnikom pespoji n klem. Uspostvljnje stuje u kolu znči smnjivnje količine nelektisnj u kondenztou, p je dq /. stovemeno se poj vljuje indukovn elektomoton sil ε L d / L d Q /. Kko nem spoljšnjih izvo, difeencijln jednčin ovog kol je U + ε. Međutim, do iste jednčine, ssvim elegntno, se dolzi i iz jednčine enegetskog bilns. Enegij kol u nekom tenutku posle pebcivnj peklopnik. Kd nem geneto i otponosti enegij se ne menj u vemenu, d W /. Uspostvljnjem stuje količin nelektisnj u kondenztou se smnjuje, dq /. Konstnt ω je sopstven učestnost. Difeencijln jednčin elektičmog kol. Opšte ešenje difeencijlne jednčine Početni uslovi z početnih uslov se dobij i U. Enegij elektičnog kol tokom vemen se ne menj. U Q + P L W W + W e m + dq d Q + L Q dq dq d Q + L ω / L d Q + ω Q L Q sin ωt + cosωt ω cosωt + ω sin ωt t, t, Q U U pvoj četvtini peiod kon- U denzto se pzni, jčin stuje ste, elektičn enegij se tnsfomiše u mgnetnu. Već u dugoj četvtini mgnetno polje vć enegiju elektičnom polju. Q U cosωt Uω sin ωt W U (cos ωt + sin ω t) e π / W W W m ωt t

145 Elektomgnetizm 47. Otponik, klem i kondenzto - RL kolo Relno elektično kolo uvek im otponost, b onu koj potiče od klem i povodnik. Jedini izvo u kolu je npunjeni kondenzto, p je ko i u pethodnom slučju dq /. U svkom tenutku sng Jouleovih gubitk n otponiku je jednk bzini smnjenj elektomgnetne enegije, dw dq d R Q + L + R U Q U + Q P R L t S već uvedenim oznkm α R /( L) i ω / L sledi zmtnje: Difeencijln jednčin Početni uslovi d Q dq t, t, Q U + α + ω Q Kkteističn jednčin k + αk + ω Koeni kkteistične jednčine Opšte ešenje k, α ± α ω kt kt Q e + e Mogući su sledeći slučjevi: Nem pigušenj R k, ± jω (lekcij ) Kitično pigušenje R ωl k, α αt Q U ( + αt) e αt Q ( + t) e αt Uα te Ndkitično pigušenje R > ωl k α ± β, ( α+β) t ( α β) t Q e + e, Q Ue αt α β U β β α ω α cosh βt + sinhβt β e αt sinhβt Podkitično pigušenje R < ωl k, α ± ω, ω ω α αt Q U e cos ωt αt Q ( sin ωt + cosωt) e αt α ωu e sin ωt + cosωt ω

146 48 Dejn M. Petković Nek u RL kolu deluje geneto postopeiodičnog npon. Rešenje difeencijlne jednčine se petpostvlj u postopeiodičnom obliku. d Q + L + R U d t Pinudne oscilcije u RL kolu U U sin ωt ~ [Ω] U sin( ωt ϕ) R R d ω cos( ωt ϕ) L X L ωl Q cos( ωt ϕ) X ω ω cos( ωt ϕ) + ωl cos( ωt ϕ) + R sin( ωt ϕ) U sin ωt ω z dobijene jednčine teb odediti mplitudu i fzu stuje u kolu. Tigonometijske funkcije zlike dv ugl teb zviti, ztim upoediti levu i desnu stnu jednčine. Člnovi uz cos ωt Člnovi uz sin ωt ωl cosϕ Rsin ϕ ω Obe jednčine se kvdiju, ztim sbeu. Dobij se izz z nepozntu mplitudu stuje. Odvde je jsno odkle potiču pojmovi koje je uveo Heviside (lekcij ). nduktivn i kpcitivn ektns Ukupn ektns i impedns Kolo je u ezonnsi z ω ω U ω L sin ϕ + R cosϕ ω. z pve jednčine se donij fzni stv. Z ϕ R X L X R U ( ωl /( ω) ) + U / Z X L ωl, / ω X X X L X, Z R + X X L X, X, Z R tn ϕ X / R cos ϕ R / Z sin ϕ X / Z Sednj sng n impednsi se dobij ko se poizvod tigonometijskih funkcij tnsfomiše u zbi i ztim integli z jedn peiod. T T < U U P > U t t cos( t ) T d cosϕ d ω ϕ T T T R

147 Elektomgnetizm 49. Enegij i sil N osnovu ukupne enegije sistem je moguće odediti ezulttne sile (i momente) koje deluju u sistemu. Metod je zsnovn n zkonu o odžnju enegije, poznt je ko metod vituelnih pomej (Svesk ). Vituelni pomej je zmišljen elementn pomen neke koodinte sistem, tokom koje veme ne teče. Zmišljeno pomenje nekog element sistem znči d je izvšen vituelni d (Lt. vitu lis - skoo tkv, im osobine), koji je ezultt delovnj uopštene sile f duž uopštene koodinte g. Φ Φ δg Φ n f δ A f δg Ako je g dužin, td je f sil, ko je g ugo, td je f moment sil. Pomenje nekog element u sistemu znči pomenu geometijskih odnos, to znči pomenu svih kpcitivnosti i induktivnosti koje su funkcije smo geometiskih odnos ( ε i su konstntne veličine). Po definiciji kpcitivnost je odnos količine nelektisnj i potencijl, induktivnost je odnos fluks i stuje, p sledi zmtnje: q / ϕ L Φ / Ako je tokom všenj d sistem uključen n izvo npjnj, potencijli i stuje u sistemu ostji konstntni, dolzi do pespodele količin nelektisnj i fluksev. Rd je izvšen n čun enegije izvo. Enegij sistem se povećv z pištj koji je jednk izvšenom du. Ako tokom všenj d sistem nije piključen n izvo npjnj, količine nelektisnj i fluksevi u sistemu ostju kkvi su i bili, dolzi do pomen potencijl i stuj. Rd je izvšen n čun enegije sistem koj se smnjuje z pištj koji je jednk izvšenom du. Elementni vituelni d δ A je bojno jednk vituelnom pištju enegije δ W, ole se dobij izz z počun uopštene sile. uključen δ A zvo Φ, δ W m Φ / zvo npjnj n isključen δazvo δw m δa zvo Enegetski bilns δa zvo δ ASistem + δwm bez Jouleovih gubitk A δ δ A δw δ Sistem W m Sistem m f + δw δg Potencijli i stuje su konstntni Nelektisnj i fluksevi su konstntni f δw δg

148 5 Dejn M. Petković Pedznk u izzu z genelisnu silu odeđuje smo sme sile. U većini slučjev je jednostvnije sme sile odediti iz fizičke lnosti, tj. pomoću smeov stuj u sistemu. Pimen metod vituelnih pomej biće ilustovn n nije ešvnim pimeim. Dvožični vod Ukupn sopstven induktivnost po jedinici dužine (lekcij 97) Ukupn mgnetn enegij po jedinici dužine (lekcij 95) Sil između povodnik zvisi sm o od spoljšnje enegije. Sil po jedinici dužine (lekcij ). Sme zvisi od smeov stuj u povodnicim. Koksijlne kužne kontue Međusobn induktivnost u slučju b >> (lekcij 87) Spoljšnj enegij sistem (lekcij 95) Ukupn sil između kontu. Sme zvisi od smeov stuj. MDP MDP MDP MDP MDP MDP MDP L ln π d + 4π d W m L ln + π 4 dw m d d F ln dd π dd F ~ πd M W m π b / ( b + z ) M π 4 ( b b + z ) / dwm π z b F ~ 5 / dz 4( b + z ) Koksijlni solenoidi - U šii solenoid ( opečni pesek p S ) dužinom uvučen je uži solenoid (popečni pesek S ). U njgubljoj poksimciji polj vn solenoid su jedn k nuli, tko d smo u zjedn ičkom delu zpemenime ( V Sz ) dejstvuju polj koj potiču od ob solenoid. z Ukupn enegij sistem (lekcij 95) Deo enegije u delu peklpnj solenoid. Ukupn sil između solenoid. Sme zvisi od smeov stuj. MDP MDP MDP W m ( H + H V W m H H S z ) dv dwm F H H S ~ dz

149 Elektomgnetizm 5 4. Noseć sil (elekto)mgnet Spoljšnj enegij elektomgnet je loklizovn u vzdušnom pocepu tj. između polov i kotve i može d se odedi pomoću pethodno izvedenh fomul (lekcij 95). V Sx, W m gde je x stojnje pol od kotve, S povšin pocep i jčin polj n polu. Vituelni pomej kotve z δ x menj enegiju sistem z δwm f δg dwm F dx S d Sx F dx m g δ Wm, p sledi S F Nek je, zbog jednostvnosti počun, jčin mgnetnog polj u vzdušnom pocepu T i nek je polupečnik jezg potkovičstog elektomgnet.m, td je noseć sil F N. Tkv jčin mgnetnog polj postiže s eltivno mlim dimenzijm i mlim jčinm stuje. U pibližnom počunu može se uzeti d je povšin vzdušnog pocep ist ko i povšin popečnog pesek jezg i d je mgnetno kolo lineno (lekcij 74). Z jezgo kvnog oblik se ond dobij: R m 4l x + S S, Φ Fm R N, m R m Φ N, i ne zvisi od S. S 4l + x Ako je l 8cm, x 5 m, i N A sledi T. Nek je jezgo elektomgnet nčinjeno od mekog gvožđ. Mksimln noseć sil se dobij ko u počun uključi jčin polj pi zsićenju,.59t. Td je. Snžnij polj bi dovel do pd mgnetne pemebilnost mteijl (lekcij 57). F mx / S 6 l.6.8 F m N [T] l Φ x x Fe H [A/m] Teoijski, mgnet s gvozdenim jezgom može d N/m nosi oko ton po kvnom metu pol.

150 moji sdnici o ovome imju smo mglovitu pedstvu 5 Dejn M. Petković 5. Povšinski efekt U cilindičnom povodniku stlnog popečnog pesek vemenski stln stuj se vnomeno spoeđuje (lekcij ). Ako povodnik im pomenljiv pesek (ili nije cilindičn) spodel stuje nije vnomen li postoji u celoj zpemini povodnik. Međutim, stuje pomenljive u vemenu se koncentišu uz povšinu povodnik. Uzok ove pojve je elektomgnetn indukcij. Pomenljive stuje stvju pomenljivo mgnetno polje, koje pti indukovno pomenljivo elektično polje. Ovo elektično polje pouzokuje indukovne stuje koje stvju sekundno mgnetno polje. Pem zkonu elektomgnetne indukcije sekundn i fluks se supostvlj pimnom, tko d je ukupni fluks u povodniku smnjen. Efekt je sve izženiji što su pomene fluks bže. N visokim učestnostim stuj i polje postoje smo u povšinskom sloju povodnik. Pojv je nzvn povšinski efekt (Eng. skin effect) i pvi je pimetio Hoce Lmb 8. godine, poučvjući elektode sfenog oblik. Odbeimo jednostvniji poblem. Nek se z p ostopeiodičn stuj postie u z pvcu koz homogeni poluposto y. Povšno gledno, y J z poblem je čisto teoijski. Međutim, svi ezultti pktični znčj. koji će biti dobijeni imju x,σ Pošto stuj teč e u z pvcu, mgnetno polje im smo x komponentu (lekcij 6), p se iz Ampèeovog i Fdyevog zkon dobij p međusobno poveznih jednčin. v H xx ot H v J ot J ˆ dx J z dy J σe J J zz ot E J ˆ dj z dx ot σ σ t t dy Kd se obe jednčine difeenciju po y, moguće je elimincijom jedne, p ztim i duge funkcije, dobiti dve nezvisne jednčine. Kd se stuj menj po postopeiodičnom zkonu, po istom zkonu se menj i mgnetno polje. Nkon uvođenj komleksnog pedstvljnj tigono- dve obične difeencijlne jednčine s metijskih funkcij slede konstntnim koeficijentim. NA DALJE SU SVE VELČNE KOMPLEKSNE. d dy d x dj z dy J z d d σ dy d t dy x d x σ d y d d J y z d x x jωt me jωt me d x dy jωσ x dj J z J z d J z σ jωσj z dy

151 Elektomgnetizm 5 Obe dobijene jednčine su istog oblik u kome d Y funkcij Y pedstvlj gustinu stuje ili mgnetno γ Y dy polje i gde je γ konstnt postinj. U opšte m slučju (Svesk V) je γ j ωσ γ ω ( ε jσ / ω). ( + j) γ ωσ Z dobe povodnike je σ /( ωε) >>, p se dobij, ko što je i ovde dobijeno, γ ( + j)k γ jωσ. ωσ Relni deo je kostnt slbljenj, imginni deo k je fzn konstnt (lekcij 8) i obe su jednke. Rešenj gonjih difeencijlnih jednčin su tkođe istog oblik. N gničnoj povšini y obe funkcije kompleksne efektivne vednosti J z ( ) J, odnosno x (), što u zjedničkoj notciji odgov Y. Pošto ni gustin stuje ni polje ne γy γy Y e + e J z mogu neogničeno d stu kd Y ( + j) ky y, sledi d je i Y. Y Y e x Jsno, isti funkcionlni oblik imju i elektično i mgnetizciono polje. J z dj z dy z (+ j) ky dj z Je ( + j) kj z dy σ e d x (+ j) ky dj z jωσ dy J H z x ωσ e ky e j( π / 4 ky) ωσ J z e jπ / 4 Fz vekto gustine stuje (i mgs stojnjem od gnične povšine. J ( + z + H k j) N stojnju y π / k gustin stuje y netnog i elektičnog polj) menj se y π / k je u svkom tenutku supotnog sme π od o nog k oji im n povšini. J z H k e ( + j) Ampltud vekto gustine stuje (i mgnetnog i elektičnog polj) s stojnjem od gnične povšine opd po eksponencijlno m zkonu. N dubini y δ / k mplitud im e put mnju vednost nego n povšini (Svesk V). T dubin je nzvn dubin podinj stuje i polj u povodnik. (Eng. skin depth). Dobijeni ezultt vži kd god je stuj tngent n povšinu povodnik. δ δ ωσ,σ x k

152 54 Dejn M. Petković Stuj je koncentisn u veom tnkom sloju uz povšinu povodnik. Povšinsk gustin stuje se dobij integcijom zpeminske gustine po koodinti y. Z poizvoljnu dubinu y se dobij J S y (+ j) ky ( e ) y y (+ j) ky J z dy H ( + j) k e dy H. Pošto je povodnik poluposto y <, ukupn povšinsk gustin stuje se dobij z J S J z dy y i jednk je jčini mgnetizcionog polj uz povšinu povodnik, što je jsno eln veličin. Odnos povšinskih gustin stuje z J S H poizvoljnu i ukupnu (beskončnu) debljinu pokzuje koji deo enegije je koncentisn uz ky J S J S e povšinu povodnik. y / S loj debljine δ, tj. y δ / k, sdži oko 6%, sloj debljine δ oko 95% ukupne enegije. Zto, šuplji (cevsti) povo dnici mogu biti opteećeni istom gustinom stuje ko i puni. Podužn otponost cevi polupečnik i debljine δ << se dobij iz definicione fomule i iznosi R R l σs πσδ R k πσ visok učestnost nisk R πσδ δ ωσ ω R R S πσδ π σ π ω R S σ Veličin R S je dimenziono otpon ost, [ R S ] Ω, i nzvn je povšinsk otponost povodnik. Pvilniji nziv bi bio efektivn otponost ili dinmičk otponost, je se ne di o otponosti po jedinici povšine. Z zmtni poluposto, iz Joulevog zkon (Svesk ) se dobij sednj sng gubitk po jedinici povšine povodnik. Kko je d P JE dv, to sledi d je dp ky ω ω σ J dy H e dy H d z P H RS ds σ ds U izzu se pojvljuje povšinsk otponost, tj pojm je več uveden pethodnim elementnim zmtnjem. Odvde se dobijju opšti izzi z ukupnu sngu Jouleovih gubitk i ukupnu otponos t: P H RS ds, R P H RS ds. S S

153 Elektomgnetizm 55 Nek koz puni povodnik kužnog popečnog pesek polupečnik potiče stuj jčine. Mgnetizciono polje uz povšinu povodnik se dobij iz AL S zkon (lekcij 4) i iznosi H /(π). Podužn otponost se dobij iz opšteg izz z ukupne Jouleove gubitke, R P R H R RS πl l l l S ds l ( π) S R R S π Dobijeni ezultt je potpuno isti ko ezultt z cevsti povodnik koji je pk dobijen elementnim zmtnjem. Sng je kompleksn veličin čiji elni deo pedstvlj sngu gubitk, imginni deo ektivnu sngu. Međutim, nčin n koji je ovde izložen počun snge ne dozvljv nlizu imginnog del. Z tkvu nlizu potebn je pistup pomoću Poyntingove teoeme o kojoj još nije bilo eči. Međutim, može i ovko: Odnos elektičnog i mgnetizcionog polj je dimenziono otponost i definiše kkteističnu impednsu (Svesk V), Z c ky j( π / 4 ky) E J H ωσ e e ω jπ / 4 e RS ( + j) R + jx. ky j ky H σh σh e e σ Sledi d je (unutšnj) ektns induktivnog kkte, R X R S. Podužn unutšnj induktivnost povodnik u dinmičkom ežimu nije ist ko on koj se ču n pi kvzisttičkoj poksimciji (lekcij 97). R R S Li ω ωπ π ωσ L i 8π k visok učestnost nisk L i 8π Povšinski efekt povećv ktivnu otponost i smnjuje unutšnju induktivnost povodnik, je je R ~ ω i L ~ / ω. Pimenom fomule z dubinu podinj dobijen je ktk tbel koj objšnjv već poznte činjenice. Gvožđe im veom mlu dubinu podinj. Jezg elektičnih ueđj se pve od međusobno izolovnih gvozdenih limov d bi se koistio puni pesek, ne smo povšinski sloj. Gvožđe ne može d zmeni skuplji bk u enegetskim kblovim, koji se izđuju od čeličnih uždi s luminijumskom ili bknom košuljicom. N visokim učestnostim vodovi se pemzju mikonskim slojem zlt. Sebo, koje je njbolji povodnik, bzo oksidiše. δ[m] mgnetik σ 6 [S/m] 5 Hz khz MHz Ag di u di Fe feo Al p

154 56 Dejn M. Petković 6. Efekt vtložnih stuj Vtložne stuje (Eng. eddy - vtlog) ili Foucultove stuje su indukovne kontune stuje u povodniku koji se nlzi u mgnetnom polju koje je ili pomenljivo ili postoji eltivno ketnje između polj i povodnik. Ko što je povšinski efekt posledic smoindukcije, tko su vtložne stuje posledic indukcije. Ovu pojvu je 84. godine pimetio Ago i nzvo je obtni mehnizm. Objšnjenje je 9. godine do Fdy 4 (lekcij 77), sme stuj je odeđen 84. godine Lenzovim zkonom. Tek 855. godine Foucult je zbeležio d se d > Agoov bkni disk zgev i d je d t d < potebn već sil z njegovo oketnje kd se nlzi između polov mgnet. Z deo povšine disk koji ulzi u posto između polov (sekto ), mgnetno polje ste. U tom delu disk se indikuje kontun stuj čije mgnetno polj e se potivi pome ni. Z deo povšine koji izlzi iz posto između polov (sekto ), mgnetno polje opd. ndukovne stuje u tom delu će poizvesti mgnetno polje koje se ponovo potivi pomeni, to znči polje koje pojčv opdjuće pimno polje. N ivici gde su mgnetn polj supotnih smeov jvlj se odbojn sil između mgnet i disk. N dugoj ivici, gde su polj istog sme, jvlj se pivlčn sil. Obe sile uspovju otciono ketnje i to je pojv koju je otkio Foucult (lekcij 8). Kinetičk enegij koj se toši n svldvnje sil kočenj se koz Jouleove gubitke tnsf omiše u toplotnu enegiju. Kd bi disk bio dijlno ispesecn (sekto ) ili pefoin (sekto 4), fominje vtložnih stuj bi bilo svedeno n njmnju moguću meu. ndukovno elektično polje bi u nepekinutim delovim disk, slično Hllovom efektu (lekcij ), dovelo do gomilnj elekton. Ngomilni elektoni bi stvoili elektosttičko polje supotnog sme koje bi zustvilo poces dljeg ngomilvnj (lekcije i 77). U pojvi vtložnih stuj nem ničeg spektkulnog, efekti ovih stuj su pojv elektomgnetne sile i Jouleov efekt. Elektomgnetn sil može d se koisti z elektomgnetne kočnice, ostvivnje levitcije ili odvjnje nefeomgnetnog mteijl iz otpd (Eng. Eddy uent Septo). Toplot može d se koisti z indukciono zgevnje (kuvnje).

155 - Elektomgnetizm 57 x z,σ d / x Vtložne stuje su često neželjen pojv. Feomgnetn jezg ueđj se izđuju od tnkih limov koji su međusobno izolovni i postvljju se plelno s vektoom mgnetnog polj. Time se isto- vemeno umnjuju uticji povšinskog efekt i efekt vtložnih stuj. Z potok fluks se koisti ceo popečni pesek jezg i ne dolzi do pegevnj. y d / Povodnik oblik neogničene ploče debljine d se nlzi u pomenljivom mgnetnom polju čiji se sme poklp s pozitivnim smeom x ose. Pvc indukovnih stuj je td pleln z osi. Rspodel mgnetnog polj je MDP odeđen istom jednčinom ko u pethodnom poblemu (lekcij 5). Rešenje je pogodno npisti u MDP obliku hipeboličkih funkcij. Konstnte se odeđuju iz uslov MDP simetije, ( d / ) ( d / ). x U končnom ešenju je efektivn vednost polj n gničnim povšinm, y ± d / Gustin indukovne d J x stuje je z dy Kko je γd <<, tj. kd << to je i sinh γy γy i cosh γy. Sng Jouleovih gubitk po jedinici povšine ploče je x d dy x MDP γ x MDP MDP MDP MDP MDP x cosh γy + sinh γy, cosh( γ / ) x d cosh γy cosh( γd / ) γ sinh γy J z cosh( γd / ) J γ y jωσ z d / dp J ds σ -d/ z dy y ω σd Do istog ezultt može d se dođe i diektnom pimenom zkon elektomgnetne indukcije (lekcij 76), pi čemu teb voditi čun d mgnetno polje zvisi od koodinte y, d je m. d E dl ds d Eh yh ( m cosωt) E yω m sin ωt S dp σe dv dp ds σ T Td/ -d/ E dy 4 m ω σd ω σ d

156 58 Dejn M. Petković 7. Efekt blizine Efekt blizine (Eng. poximity - blizin) je uticj pomenljive stuje u jednom povodniku n spodelu stuje u dugom bliskom povodniku. Ovj efekt se objšnjv elektomgnetnom indukcijom i nije g moguće odvojiti od povšinskog efekt, te se često nziv i kombinovni efekt. Anliz efekt blizine je uvek vlo složen zk, spodelu gustine stuje (i polj) nije moguće dobiti nlitičkim metodm čk i u njjednostvnijim slučjevim. Stog je nliz koj sledi smo ilusttivnog kkte. Nek su e dve veom bliske neogničene ploče istih debljin d, koz koje u pvcu z ose, u supotnim smeovim, potiču stuje istih jčin. Mgnetno polje im smo x komponentu. Ko i u pethodnim nlizm (lekcije 5 i 6) gustin stuje i polj su funkcije smo y koodinte, odgovjuće spodele su e ešenjem već poznte difeencijlne jednčine. J γy γy jγ γy γy z e + e, x ( e + e ) ωσ z J z kd kd x d U tčkm koje pipdju vni y d mgnetno polje je jednko nuli, što je ezultt delovnj dve vlo bliske stuje supotnih smeov, x ( d). Kd se iz ovog uslov odedi vez između cosh( γ( y d)) konstnti integcije, i kd se ko i nije J z J uzme d je J z ( ) J, dobij se končno cosh γd Gustine stuj su njveće n povšinm koje su bliske jedn dugoj, njmnje n udljenim povšinm. Z stuje istih smeov efekt bi bio obnut. D nem efekt blizine, gustine stuje bi n svim povšinm bile njveće i jednke, njmnje n simetlnim vnim ploč. sti zključci vže z eln koksijlni vod. D J nem efekt blizine stuj bi tekl u tnkom povšinskom sloju n spoljšnjoj povšini spoljšnjeg povodnik. Ovko, njveć gustin stuje je n unutšnjoj povšini spoljšnjeg povodnik. Rnije izvedene fomule ostju u vžnosti s dokom z uticj spoljšnjeg povodnik. ω R S, σ R R R S + π πb S, R L i. ω. y

157 Elektomgnetizm Uslovi kvzisttičnosti mgnetnog polj Kod velikog boj poblem pktične i teoijske elektotehnike moguće je smtti d su elektomgnetne pomene tenutne, čime se zntno pojednostvljuju nliz i ešvnje poblem. Ako elektomgnetn pomen stigne do svih tčk u posmtnoj oblsti pe nego što se stuj ili količine nelektisnj znčjnije pomene, poblem je kvzisttičn. Kod postopeiodičnih polj uslov kvzisttičnosti je ispunjen ko su dimenzije oblsti od intees zntno mnje od tlsne dužine. N pime, z idustijske učestnosti, f 5Hz, tlsn dužin je λ 6 km, p se svi poblemi ešvju ko kvzisttički. Jčin mgnetnog polj koj potiče od stujnog element opticnog stcionnom elektičnom stujom se izčunv n osnovu dobo pozntog ALS zkon (lekcij 4). Z stujni element čij dužin je znemljivo ml, l, elementnu dužinu, d l, je moguće zmeniti stvnom dužinom, l. U sfeno m koodintnom sistemu s početkom u centu stujnog element mgnetno polje im smo ugonu komponentu. U opštem slučju jčin stuje je pomenljiv u vemenu i n velikim stojnjim izz z polje mo d bude koigovn d bi končn bzin penošenj elektomgnetne pomene bil uključen u počun. Elektomgnetn pomen se penosi končnom bzinom v i n stojnju od izvo se detektuje tek posle vemenskog intevl Δ t / v. H H H sin θdl 4π d ˆ ϕ ϕ ϕ θˆ 4π 4π θ l H ϕ ( t ) l sin θ ( t) sin θ l i( t ) l sin θ 4π v Međutim, nelektisnj duž stujnog element ubzvju i uspovju svoje ketnje što znči d mgnetno polje mo d im još jednu komponentu koj je szmen pvom izvodu stuje i koj isčezv n mlim stojnjim. T komponent može d se ekonstuiše iz definicije pvog izvod. di( t) lim Δt i( t) i( t Δt) lim Δt / v i( t) i( t / v) / v Gničn vednost može d se izostvi je je veličin / v veom ml čk i z velik stojnj. N pime, u vkuumu (i vlo pibližno u vzduhu) je v c i z stojnje cm kšnjenje iznosi sveg / c.ns.

158 6 Dejn M. Petković di ( t) i( t) i( t / v) / v d i( t) i( t / v) + i( t / v) v Nek su pomene stuje postopeiodične, td je i( t / v) cosω( t / v) cos( ωt k), d i( t / v) ω sin( ωt k) gde je k ω/ v πf /( λf ) π / λ fzn konstnt ili tlsni boj. Kd se dobijeni izzi z jčinu stuje zmene u ALS zkon sledi izz koji je identičn onom koji se dobij pi poučvnju Hetzovog dipol ko osnovnog zčećeg element (Svesk V). d Hϕ i( t / v) + i( t / v ) l sin θ 4π v ϕ k H cos( ωt k) sin( ωt k) sin θ 4π l ndukcion komponent Zčeć komponent dominntn n mlim stojnjim dominntn n velikim stojnjim Mgnetno polje nelektisnj Mgnetno polje nelektisnj u stlnom ketnju u ubznom ketnju z pvog obl ik izz z mgnetno polje je očigledno d kd su pomene jčine stuje u vemenu spoe, pvi izvod teži nuli i dugi sbik je moguće znemiti. Tkođe, n mlim stojnjim je moguće znemiti kšnjenje koje potiče zbog končne bzine penošenj elektomgnetne pomene. Dugi oblik izz z mgnetno polje, koji vži z hmonijske pomene, puž kvntittivne poke. Amplitude obe komponente polj su jednke kd je / k /, odnosno kd je k ili z λ / 6. Poblemi se mogu tetiti ko kvzisttički ko je << λ / 6, odnosno ko je k <<. Dkle, pimenljivost kvzisttičke poksimcije (lekcije 86 ili 88) zvisi od učestnosti, veličine sistem i elektomgnetnih osobin sedine, je je v / ε. N pime, pi učestnosti f GHz, u vzduhu gde je bzin penošenj pomene v c 8 m/s, polje je kvzisttičko z stojnj <<.5m.

159 Elektomgnetizm 6 9. Pv Mxwellov jednčin U nijem izlgnju (lekcij 9) je nznčeno d postoji neusglšenost između osnovnih zkon elektodinmike. D bi se ovo uočilo, potebno d se potži divegencij levih stn Fdyevog i Ampèeovog zkon. Divegencij oto vekto je uvek jednk nuli. Kd se to pvilo pimeni n zkon indukcije sve je tčno, je se dobij d je divegencij vekto mgnetnog polj jednk nuli, što je zpvo zkon o konzevciji mgnetnog fluks. Međutim, isti postupk pimenjen n Ampèeov zkon dje d je divegencij vekto gustine stuje jednk nuli, što je tčno smo z stlne stuje. Vn okvi mgnetosttike Ampèeov zkon ne vži. lekcij 85 lekcij 7 Fdyev zkon Konzevcij fluks ot E div(ot E) div div div t t s ρ ot J div(ot ) divj divj div J t Ampèeov zkon Jednčin kontinuitet lekcij 9 Svesk Postoji još jedn nčin d se uvidi d Ampèeov S S zkon nije moguće pimeniti n pobleme s pomenljivim stujm. N pime, punjenje ili pžnjenje kondenzto (lekcij ) nisu mgnetosttički pocesi, je tom pilikom dolzi + do ngomilvnj nelektisnj n elektodm. E S Z pimenu Ampèeovog zkon u integlnom obliku potebn je zmišljen kontu koj dl JdS obuhvt povodnik do jedne od e lektod. S Njjednostvnij povšin S je on koj leži u vni kontue. Td povodnik pobij povšinu pod pvim uglom, jedinični vekto povšine i vekto gustine stuje su kolineni. Vednost povšinskog integl je jednk jčini stuje koz povodnik i ko je kontu kužn sve se svodi n iot-svtov zkon (lekcij ). Međutim, n istu zmišljenu kontuu, koj čk ne mo d bude kužn, oslnj se bezboj povšin, vednost integl n desnoj stni zvisi od izbo povšine. S Z povšinu ezult je isti ko i z povšinu S. Međutim, z povšinu S, koj polzi koz međuelektodni posto, fluks vekto gustine stuje je jednk nuli. U kondenztou je J., S S J ds S, S S

160 6 Dejn M. Petković Mtemtički gledno, poblem je što divegencij oto mo d bude jednk nuli, nije. Mxwell je ovj poblem ešio 86. godine, dodjući još jedn čln n desnu stnu Ampèeovog zkon, čineći je tko bezizvonom u svim slučjevim. Mxwell je doni čln nzvo stuj pomej (Eng. Displcement cuent). Dimenziono to jeste gustin stuje, md se u vkuumu ne može objsniti ketnjem nosilc nelektisnj. Ov genijln koekcij (ko se uopšte može nzvti koekcijom) posebno je obđen u dugim tekstovim. Ovde je o smo mtemtički ktko izvođenje, n nčin z koji j mislim d je zumljiv. Stuj p omej div (ot ) div( J + J D ) divj D divj dρ d dd dd divj D divd div J D Jednčin kontinuiet Mxwellov postult (Svesk ) (Svesk ) U opštem slučju je D ε E + P i stuj pomej im dve komponente: stuj pomej u vkuumu i stuj polizcije (detljnije, Svesk V, ko je ikd budem npiso). Dkle, kd se stuj pomej dod n desnu stnu Ampèeovog zkon dobij se pv Mxwellov jednčin. U vkuumu ot J + ε E t pv Mxwellov jednčin U mteiji D ot H J + t Kd pomene u vemenu ne postoje (ili su veom spoe) izvodi po vemenu su jednki nuli (ili vlo bliski nuli), pv Mxwellov jednčin se svodi n stcionni slučj tj. n Ampèeov zkon. Tko je ešen pdoks punjenj kondenzto. Elektično polje u kondenztou i stuj između elektod su η Q E, ε S ε E Q t εs t εs Kd se pv Mxwellov jednčin u integlnom obliku pimeni n bilo koju povšinu dobij se uvek isti ezultt. d l S J + ε E ds t S S E S S dl E dl ε ds t S

161 Elektomgnetizm 6. Sistem Mxwellovih jednčin Oko edosled Mxwellovih jednčin ne postoji jedinstven stv. Ovde su jednčine e edosledom koji je već pomenut (Svesk V), koji su koistili pofesoi kod kojih sm j stico znnj [8,, 5] Mxwell U vkuumu U mteiji E D Pv ot J + ε ot H J s + t t Dug ot E ot E t t ρ Teć div E div D ρ ε s Četvt div div Ovde je pvi pu t uz stuje i nelektisnj do indeks d bi se nznčil zlik između slobodnih i ukupnih stuj i nelektisnj. U dosdšnjim izl gnjim nije moglo d dođe do zbun e. Dkle, ko se indeks izostvi, je se podzumev d se di o slobodnim nelektisnjim u miovnju i ketnju, sledi zpis koji se njčešće seće u litetui. Mxwell Opetoski oblik nteglni oblik D H J + t H D d l J + ds t Jednčine S cikulcije d E E d l ds t S D ρ D d S ρ Jednčine S divegencije d S Z potpuno opisivnje elektomgnetnih polj, sistemu Mxwellovih jednčin teb doi konstitutivne veze i Ohmov zkon. Jednčin kontinuitet je već sdžn u pvoj jednčini. Ko što Mxwellove jednčine pokzuju d nelektisnj stvju polje, tko elektomgnetn sil pokzuje kko polje deluje n nelektisn je. S D εe H J σe F q ( E + v )

162 64 Dejn M. Petković

163 PRLOZ

164 Mijn Rdić, 6