Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Osnova elektrotehnike

Transcript

1 Snj Mvić Mikloš Pot Zik ešenih ispitnih zdtk iz Osnov elektotehnike Suotic,.

2 PDGOO Ov zik zdtk pisn je z studente iše tehničke škole elektotehničkog sme u Suotici, li može poslužiti i studentim dugih pofil koji izučvju ovu olst. Zik pedstvlj zdtke koji se pojvljuju n ispitu, ko i one koji se de n vežm i ouhvt gdivo pve polovine kus Osnovi elektotehnike. Pvi deo zike ouhvt zdtke iz elektosttike. Ođene su sledeće olsti: Kulonov zkon, vekto jčine elektičnog polj, potencijl, povodnici i dielektici u elektosttičkom polju, kondenztoi i enegij sdžn u elektosttičkom polju. Dugi deo ouhvt zdtke iz olsti vemenski konstntnih stuj. Ođeni su zdci iz ešvnj elektičnih mež pomoću Kihofovih zkon, kontunih stuj i potencijl čvoov. Tkođe je ođen Tevenenov teoem, n kju su zdci iz vemenski konstntnih stuj s kondenztoim. Zog eltivno ktkog ok z zvšetk zike, veovtno postoje geške koje su n žlost neizežne. Autoi će iti zhvlni onim koji n njih ukžu. Autoi se zhvljuju Meliti Ššić, studentkinji iše tehničke škole, koj je pekontolisl veliki deo zdtk. Autoi

3 . lektosttik Zdtk. Dv tel, nelektisn količinm nelektisnj -n i -n, nlze se n stojnju 8cm u vkuumu. Kkv znk može d im nelektisnje tećeg tel, koje je nelektisno količinom nelektisnj n, i gde g je poteno postviti d i ilo u vnoteži u odnosu n dejstvo Kulonovih sil pv dv tel? ešenje: Zdtk se ešv pimenom Kulonovog zkon i pincip supepozicije. Kulonov zkon glsi: F πε F je elektičn sil kojom telo deluje n telo. ekto F mo ležti n pvoj koj spj dv tel, njegov početk, tj. tčk gde deluje, je u nekoj tčki tel. S oeležen je jedinični vekto usmeen od tel k telu. Ako su i istog znk njihov poizvod je pozitivn, i sme vekto F je u smeu vekto, odnosno sil je odojn. Ako su nelektisnj i supotnog znk, njihov poizvod je negtivn, p je sme vekto F u smeu vekto, tj. sil je pivlčn. -F F o Pem pincipu supepozicije ukupn elektičn sil kojom n neko mlo nelektisno telo deluje više dugih mlih nelektisnih tel jednk je vektoskom ziu sil kojim t dug tel deluju ponoso n posmtno telo. () > Petpostvimo d je nelektisnje pozitivno nelektisno. Ako je pozitivno, sile su pivlčne. Ukupn sil koj deluje n ovo telo mo iti jednk nuli kko i io ispunjen uslov d je telo u vnoteži, i iz tog uslov može se odediti gde je poteno postviti telo.

4 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike o o (-) () (-) x F F x F F F F πε ; πε x ( x) F ( ) πε x πε ( x) x ( x) x F x x cm (stojnje od nelektisnj ) x 6 cm (stojnje od nelektisnj ) () < Ako je nelektisnje negtivno, sile su odojne. Ukupn sil koj deluje n nelektisnje mo iti nul d i telo ilo u vnoteži u odnosu n dejstvo Kulonovih sil pv dv tel. o o (-) (-) (-) x F F x

5 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 x. Zdtk. Odediti kolik sil deluje n nelektisnje n koje se nlzi u koodintnom početku z sistem nelektisnj pikzn n slici, ko je cm, h6cm, n, -n, n. y h x ešenje: ezultujuć sil koj deluje n nelektisnje koje se nlzi u koodintnom početku odeđuje se pimenom pincip supepozicije. F F F F Sil kojom nelektisnje deluje n nelektisnje : F 7. 9µ N πε h () cm F y α α h F x F

6 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 Sil kojom nelektisnje deluje n nlektisnje : F µ N πε () Sil kojom nelektisnje deluje n nelektisnje : F µ N πε h ezultujuć sil može se pedstviti ziom dve komponete, jedne u pvcu x-ose i jedne u pvcu y-ose. F F F F F F x y Komponentu u pvcu x-ose čine sil F i pojekcij sile F n x-osu: F x F F x Komponentu u pvcu y-ose čine sil F i pojekcij sile F n y-osu: F y F F y F x F cosα F.8 F h F y F sinα F.6 F F F i F ( i ) 6.85µ N i 7.9µ N i.8. µ N i x x F y F ( j) F ( j) 9.986µ N j 7.9µ N j.6. µ N y F.µ N i. µ N j j F F F 8. N. x y µ Zdtk. Ti tčkst nelektisnj 5.n i -n, nlze se u vzduhu, u temenim jednkostničnog tougl, stnice cm. Odediti intenzitet, pvc i sme sile kojom pv dv nelektisnj deluju n teće. ešenje:

7 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 Fx F (-) y o 6 Fx F x z zlog simetije postojće komponent sile smo u pvcu y-ose (nelektisnj i jednk su po ojnoj vednosti i po znku, kko se nlze u temenim jednkostničnog tougl i stojnje ovih nelektisnj od nelektisnj je isto i iznosi ). Fy Fy F F πε () o 6 () F F y F. 988mN F cos o πε Zdtk. Ti tčkst nelektisnj 5.n i -n, nlze se u vzduhu, u temenim jednkostničnog tougl, stnice cm. Odediti intenzitet, pvc i sme sile kojom nelektisnj i deluju n nelektisnje. ešenje: y o F Fy F α Fx o x F F F F F x F. 8mN πε F πε y. 586 F x F cosα.5 F mn

8 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 F y F sinα F F F F x F ( i ) F x i x F y F y F j F x µ Ni ; F y 99.97µN j F ( i j) µ N F y 99.69µ N F. Zdtk 5. U svkom temenu kvdt stnice cm, nlzi se po jedno mlo nelektisno telo, nelektisno količinom nelektisnj -. Koliko te d je nelektisnje 5 koje se nlzi u peseku dijgonl kvdt d i ukupn sil n jedno od nelektisnj u temenu il nul (d nelektisnje ude u vnoteži)? ešenje: Nek su nelektisnj spoeđen ko n slici (nelektisnj i, i,,, imju vednost ). D i ukupn sil n česticu dv il nul, tj. d se čestic dv nlzi u vnoteži, nelektisnje 5 koje je u peseku dijgonl kvdt mo iti negtivno nelektisno. 5 F uk F F F F 5 F uk F uk F uk x y x F F x F uk F 5 F uk F 5 y F F y x y () ()

9 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 9 y F 5 F 5y F 5x o 5 F x F o 5 x F y F F F ; πε F F F 5 πε πε πε d d πε 5 πε 5 o F x F sin 5 F o F 5 x F 5 sin 5 F 5 Zmenom odgovjućih izz u jednčinu (), doij se: πε πε πε 5 Seđivnjem ove jednčine dolzi se do izz z vednost nelektisnj 5 : 5 ( ) Zmenom ove vednosti z nelektisnje 5 u jednčinu () vidi se d je i dugi uslov d je ukupn sil n česticu dv u pvcu y-ose jednk nuli zdovoljen.

10 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike Zdtk 6. Ti tčkst nelektisnj (, i ) nlze se u ti temen kvdt stnice (slik ). D li je moguće odediti nelektisnj, i tko, d sil koj deluje n nelektisnje > koje se nlzi u četvtom temenu kvdt, ude jednko nuli? F F F F F slik slik ešenje: Ako je ukupn sil koj deluje n nelektisnje jednk nuli, to znči d je zi svih sil koj deluje n nelektisnje vno nuli. Z ešenje zdtk momo zmotiti nekoliko slučjev.. slučj: Sv ti nelektisnj su pozitivn, tj.,, >. U ovom slučju sil koj deluje n nelektisnje ne može iti nul je smeovi svih sil pokzuju u pvcu x i y ose.. slučj: Nelektisnj i su zličitog znk (slik ). Petpostvimo d su nelektisnj i mnji od nule ( <, <), >. Uslov pod kojim je ukupn sil nul je: F F F Pošto su i isti, sledi F F. z Kulonovog zkon možemo d npišemo: F F F πε πε F F ( ) πε

11 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike F F Zmenom vednosti u pethodni izz, doijmo: πε πε Z goe izvedeni odnos nelektisnj ukupn sil n nelektisnje će iti nul. Sil n nelektisnje tkođe može iti nul ukoliko je >, >, <. Zdtk 7. Odediti silu koj deluje n nelektisnje koje se nlzi n ¼ dijgonle kvdt. Poznto je: -n, n, n, cm. ešenje: Pošto je nelektisnje pozitivno, sil koj postoji između ovog nelektisnj i iće pivlčn ( <), sil između i je odojn ( >), što je pikzno n sledećoj slici:

12 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike < > F > F < F Koodintni sistem postvljmo tko d je koodintni početk u nelektisnju, sile stvljmo n komponente u pvcu x i y ose. F y F Fy y Fx α F F Fx x Ukupn sil koj deluje n nelektisnje doij se supepozicijom sil F i F : ' '' F F F F F x F y ' Ukupn sil u pvcu x ose jednk je nuli, je su sile F '' x i F x istog intenzitet i pvc, supotnog sme: ' '' F F F x x x Ukupn sil u pvcu y ose: ' '' F F F y y y F F 9.8µ N πε 9πε d 9πε d, d

13 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike F πε α d d d d 5 5 d. cm d cosα 5 ' " F y Fy F cosα F 9. 5µ N 5 Ukupn sil n nelektisnje im komponentu smo u pvcu y ose: ' F y ( Fy F ) j 65.58µ N ntenzitet ezultujuće sile F je: F y. 65mN. Zdtk 8. N slici je pikzn kontu u oliku om stnic 5cm. Ošt ugo om iznosi 6. U temenim om nlze se nelektisnj, -n, i n. Odediti > i > tko d sil koj deluje n nelektisnje ude F ( 5 5 ix i y )N. Koliko put će se pomeniti moduo sile koj deluje n nelektisnje ukoliko se vednosti svih nelektisnj udvostuče? y x 6 ešenje: ntenziteti sil koj deluju n nelektisnje su edom:

14 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike y F F x d F F F πε πε d F πε U fomuli z F, d je dijgonl om koj se čun po kosinusnoj teoemi: d cos. Pošto su u postvci zdtk dte vednosti pojekcije sil n x i y osu, pojektovćemo pojedine sile n zdte koodintne ose. F x F y F F cos F F cos6 F cos6 cos Zmenom u pethodne jednčine doijmo: πε 5 5 πε z poslednje jednčine u kojoj je jedin nepoznt, doijmo:.n. se doij zmenom u pvu jednčinu:.n.,

15 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 U dugom delu zdtk, udvostučvnjem nelektisnj doijmo: `. n ` n `. n ` n Moduli sil koje deluju n nelektisnje sd iznose: ` F 5.757µN ` F 9.9µN ` F 5.µN Ove sile pojektujemo n x i y ose n isti nčin ko u pethodnom delu zdtk: ` ` ` ` F F cos F cos6 F x ` F y ` ` F cos6 F cos Zmenom ojnih vednosti doijmo: ` F x 6.77µN ` F y.766µn Moduo ove sile je: F ` ` Fx Fy.8µ N ` Pe udvostučvnj nelektisnj moduo sile je io: 5 F.µN F F `.8µ N.µ N.55 Udvostučvnjem nelektisnj, sil n se povećl.55 put.

16 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 Zdtk 9. U svkom temenu kocke stnice cm nlzi se nelektisnje 5n. zčunti silu koj deluje n jedno od nelektisnj. ešenje: Oeležimo nelektisnj ko n slici. Petpostvimo d tžimo silu koj deluje n nelektisnje 8, zto koodintni početk postvljmo upvo n mesto nelektisnj 8. Smo će sil koj potiče od nelektisnj imti sve ti (x, y,z) komponente. Ostle sile imće ili smo jednu komponentu (ili x, ili y, ili z), ili dve (x-y, x-z, y-z). Dužin dijgonle stnice kocke je, dok je telesn dijgonl kocke. z y 7 8 x 5 6

17 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 Pojedinčno, moduli sil koje deluju n nelektisnje 8 iznose: F78 πε F F F F F F πε πε πε πε πε πε ( ) ( ) ( ) ( ) Sile koje deluju n nelektisnje 8 iznose: F F F F F F i x 78 πε i y 68 πε 58 8 v i x 5 i y πε ( ) ( ) ( cos 5 cos ) v i x 5 i z πε i z 8 πε 8 ( ) ( cos 5 cos ) v i y 5 i z πε ( cos 5 cos ) Z odeđivnje sile F 8, silu pvo te pojektovti u x-y vn, p potom pojedinčno n x i y ose. Z pojektovnje sile F 8 n z osu, te izčunti ugo ϕ koji telesn dijgonl kocke zklp s z osom.

18 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 ϕ ϕ ϕ P tgϕ ϕ ctg 5. 7 Pošto je sil F 8 simetl postonog ugl, on će ujedno iti i simetl x-y vni. F 8 v x y 7 πε ( ) ( cos 5.7 cos 5 i cos 5.7 cos 5 i cos 5. i ) z zdvjjući sile n komponente, doijmo: F x F x cos 5 cos 5 cos 5.7 cos 5 πε πε πε πε.9 πε Fy Fx.9. 7mN πε F z.9. 7mN πε Ko što se vidi, pojekcije n sve ti ose su iste što se i moglo očekivti s oziom d su sv nelektisnj ist, i d kock pedstvlj simetičn sistem. F Fx Fy Fz.9. 85mN πε Sil F im sme telesne dijgonle kocke i usmeen je od nelektisnj 8 pem spoljšnjosti kocke.

19 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 9 Zdtk. Odediti jčinu elektičnog polj u koodintnom početku z sistem nelektisnj pikzn n slici, ko je cm, h6cm, n, -n, n. y h x ešenje: Jčin elektičnog polj odeđuje se n osnovu izz: i i i πε i πε ( ) h cm i πε ( ) πε j πε h πε h ekto jčine elektičnog polj nelektisnj stvljmo n komponente u pvcu x i y ose, p će iti: x cosα 5 h y sinα 5 Ukupn jčin elektičnog polj je: x y

20 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike k i m x x i i. 77 πε 5 πε k j m y y j j. 57 πε h 5 πε.77 i.57. 5k m. j k m Zdtk. zčunti jčinu elektičnog polj u koodintnom početku z sistem nelektisnj pikzn n slici, ko je: n, -n, n, d cm, d cm. y d d x ešenje: Jčin elektičnog polj odeđuje se n osnovu jednčine:, πε gde je stojnje posmtnog nelektisnj od tčke u kojoj odeđujemo vednost jčine elektičnog polj, jedinični vekto usmeen od nelektisnj k tčki u kojoj se odeđuje vednost jčine elektičnog polj. Zdtk se ešv pimenom pincip supepozicije, ezultujući vekto jčine elektičnog polj njlkše se odeđuje ko se vektoi jčine elektičnog polj, i stve n komponente u pvcu x i y ose. Ko pvo, te odediti stojnje nelektisnj od koodintnog početk. Dijgonle om se polove i seku pod pvim uglom, tko d stojnje odeđujemo iz pvouglog tougl u kome su ktete d / i d /, je hipotenuz. Pem tome: d d d d 5 cm

21 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5cm. 6cm y j d.. d x y α α i β x x y πε 5. πε d πε k k m k m m Ukupn jčin elektičnog polj je: ezultujuće elektično polje možemo d pedstvimo ko zi dve komponente, jedne u pvcu x-ose i duge u pvcu y-ose. x y x x x x ; y y y sin β ; cos β x x cosα y ; sinα y

22 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike d d cosα.89 ; 5 o α 6.56 o o β 9 α 6.87 ; cos. 799 x x y y β ; sin β. 6 x i x i i cosα i sin β i.k.89 i 7.975k.6 i 5.96k i 5. 7k m m m y j y j sinα j cos β j.k.7 j 7.975k.799 j 9. k m m 5.7k i 9. k m m x y 55. 9k j m. m j i m i Zdtk. Odediti vekto jčine elektičnog polj u koodintnom početku z sistem nelektisnj pikzn n slici. Nelektisnj i nlze se n sedini stnice šestougl. Dužin stnice šestougl je cm, n, - n. y x ešenje:

23 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike y y o 6 x x x y πε πε z zlog simetije vektoi jčine elektičnog polj dće komponentu smo u pvcu x-ose. x x cos6 x x. 69k m x. 9k x y m o i πε πε h y x o 6 y y x j 5. 89k y (.9i 5.89 j) k m m j x h πε h z zlog simetije vektoi jčine elektičnog polj imju komponentu smo u pvcu y-ose. y y cos y y 5. 95k m o πε h

24 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike k. m Zdtk. Dt je pviln petougo. Odediti vednost jčine elektičnog polj u koodintnom početku, ko je cm, n, -n. y x ešenje: Ukupn vednost jčine elektičnog polj u koodintnom početku odeđuje se pimenom pincip supepozicije. Nelektisnj i imju istu ojnu vednost i nlze se n istom stojnju od koodintnog početk, tko d se komponente u pvcu x-ose poništvju. ezultujuće elektično polje imće komponentu smo u pvcu y-ose. Kko je u pitnju pviln petougo vednost centlnog o 6 ugl odeđuje se n osnovu fomule α, gde je n oj stnic pvilnog mnogougl. n o 6 α o 7 5 Pviln petougo sstoji se od 5 jednkokkih touglov, dužin stnice može se odediti pimenom kosinusne teoeme: cosα ( cos α ). 7cm ( cosα) 6. k πε 9. 5k πε m m

25 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 o y y cos6 5. 5k m y j j 9. 5k 9. 5k. m m j Zdtk. Položj dv ml tel nepozntih nelektisnj i, u vzduhu, odeđen je tčkm P (-,) i P (,), espektivno. ekto jčine elektičnog polj u tčki P (,) je x i, pi čemu je x pozitivno. Odediti nelektisnj i. ešenje: Posmtjući poseno telo nelektisnj i telo nelektisnj, zključuje se d vektoi jčin odgovjućih elektičnih polj u tčki P, i, leže n pvm odeđenim tčkm P i P, odnosno P i P. ekto jčine elektičnog polj u tčki P je: Pem oijentciji zdtog vekto i pethodnog zmtnj zključuje se d su vektoi i usmeeni ko n slici, d je > i <. y P (,) α α P (-,) i ) i ( ) j x ( x x y y P (,) x x x x y y

26 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 y cosα i y cosα i πε 5 πε 5 z pethodnih jednčin doij se d je, pošto je već zključeno d je > i <, to je -. Sd je: x πε 5 sinα πε 5 sinα πε 5 x x Z doij se: πε. 5 x 5 5 5, je je sin α. 5 Zdtk 5. Odediti vekto jčine elektičnog polj u okolini veom dugčke pvolinijske niti koj je vnomeno nelektisn količinom nelektisnj ' po jedinici dužine. Sedin je vzduh. z ` P ešenje: ekto jčine elektičnog polj ćemo odediti n odstojnju P od niti. Zdtk ešvmo tko što dtu nit stvljmo n mle delove dužine dl, p sinjem elektičnih polj svih delov ponoso, doijmo tženo elektično polje.

27 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 ` z x i ϕ d z P ϕ d d x x dl l d S l je oznčen dužin niti, dok d oznčv vekto jčine elektičnog polj u tčki P kd se posmt smo deo niti dužine dl. Pošto je nelektisnje niti ' po jedinici dužine, td je nelektisnje del niti dužine dl jednko: d ' dl ekto jčine elektičnog polj koje potiče od del niti dužine dl je: ' dl d πε di lkšeg odeđivnj vekto, vekto d ćemo zložiti n dv vekto: jedn u pvcu x ose, dugi u pvcu z ose. Pojektujući vekto d n x i y ose, doijmo: 'dlsinϕ d z d sinϕ πε 'dlcosϕ d x d cosϕ πε z ϕ P dl dϕ x

28 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 x S duge stne, cos ϕ. N dugoj slici je pikzn uvećn deo slike od intees. N osnovu ovog mlog tougl možemo d pišemo: dl ϕ dϕ cosϕ dl dϕ dl cosϕ Zmenjujući poslednji izz u fomulu z d z i d x, doijmo: ' dϕ sinϕ d z cosϕ πε Zmenjujući, i posle seđivnj doijmo: ' d z sinϕdϕ πε x Slično se doij i izz z d x. ' d x cosϕdϕ πε x zz z z i x doijmo integcijom poslednj dv izz. Pošto je nit eskončn, gnice π π integcije idu u intevlu,. z ' πε x π π sinϕ dϕ π ' ' z cosϕ dϕ πε x π πε x ' i πε x

29 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 9 Ko što vidimo, elektično polje im smo x komponentu, što je i logično s oziom n simetiju. Zdtk 6. U svkom temenu pvilnog petougl stnice cm nlzi se jedno punktulno opteećenje. n, n, n, -n, 5.5n. zčunti silu koj deluje n nelektisnje n koje se nlzi u centu petougl. y 5 x ešenje: Silu n nelektisnje odedićemo tko što ćemo pvo odediti elektično polje u sedištu petougl, p silu nlzimo pomoću fomule: F. y 5 x 5

30 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike Pošto je, zi elektičnih polj i im smo y komponentu, dok se x komponente poništvju (slik). πε U ovoj fomuli je udljenost nelektisnj od cent petougl. Pošto je centlni ugo petougl 6, možemo izčunti n sledeći nčin: sin sin 6 Zmenjujući u fomulu z, doijmo:. 5k m Pošto je, će imti isti intenzitet ko i.. 5k m lektično polje koje potiče od ostlih nelektisnj iznosi: 9. k πε 9. k πε k πε m m m U sledećem koku pojedine vektoe elektičnog polj te pojektovti n koodintne ose. y cos6. 7k y cos6. 7k m m Zi x komponenti pethodn dv vekto dje nulu, p ih ne čunmo. Tkođe zi y komponenti vekto i u ziu dje nulu, dok su im x komponente:

31 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike x cos8 6. 8k x cos8 6. 8k m m ekto 5 nem x komponentu, p je zi svih x komponenti jednk: x x x 7. 7 k m Zi svih y komponenti iznosi: y y y 5. 7k m ezultntno elektično polje im vednost: x i y j 7.7k i. 7k m Kd immo izčunto F.7mN i. 7mN j Moduo ove sile je: F 7.µ N. m j, lko se izčunv sil: Zdtk 7. Ti tčkst nelektisnj, A n, B > i >, nlze se u vkuumu u temenim jednkostničnog tougl stnice cm. ) Odediti nelektisnj B i, tko d elektično polje u težištu tougl ude T ( i 6 j). m ) Z vednosti nelektisnj odeđene pod (), izčunti d koji se izvši pi pecivnju tčkstog nelektisnj p iz težišt tougl u eskončnost.

32 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike ešenje: Nek su nelektisnj spoeđen ko n slici. y B By Ay A Bx A o α Ax B x Kko se tži jčin elektičnog polj u temenu jednkostničnog tougl, sv nelektisnj nlze se n istom stojnju koje iznosi: h cm Jčine elektičnih polj pojedinih nelektisnj su: A A πε B ; B ; πε πε Ukupn jčin elektičnog polj u težištu tougl je: T Tx Ty i i Tx Ax Bx Ax A o B o A Tx cos i cos i πε πε πε 8πε Tx B A 9. 7n j j j Ty Ay By y Ay Bx By y B i

33 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike A o B o sin j sin j πε πε πε Ty ( A B ) πε j Ty j. 59n ) Potencijl tčkstog nelektisnj n stojnju odeđen je sledećom jednčinom: πε Potencijl u težištu tougl jednk je ziu potencijl pojedinih nelektisnj: A B T A B 7. k πε d koji se izvši pi pecivnju tčkstog nelektisnj p iz težišt tougl u eskončnost je: A T 7. nj. Zdtk 8. zčunti intenzitet, pvc i sme vekto jčine elektičnog polj u tčki M(x,y) sistem od dv jednk tčkst nelektisnj supotnog znk pikzn n slici. - n, x7cm, y8cm, d6cm. y M(x,y) d/ d/ x - ešenje: zzi z jčine elektičnog polj koj potiču od nelektisnj i su:

34 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike πε πε U gonjim izzim i pedstvljju udljenost nelektisnj i od tčke M u kojoj tžimo elektično polje. d x y cm d x y 7. cm Zmenjujući i u izz z elektično polje doijmo: 6 m 5 m D ismo sli ov elektičn polj, pojektujemo ih n x i y ose. Petpostvimo d zklp ugo ϕ, dok zklp ugo ϕ s x osom. ednosti ovih uglov su: ϕ ϕ y y y ϕ ϕ M x x x

35 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 Dlje: x cosϕ m y sinϕ m x cosϕ 8. 6 m y sinϕ 7. m Sinjem vednosti x i y komponent doijmo: ( ) i x x x 7. 9 ( ) m y y y j m 7.9 i j ( ) m 75. m Zdtk 9. Odediti vednost tčkstih nelektisnj >, i spoeđenih ko n slici, tko d elektično polje u tčki A ude jednko nuli, d potencijl u tčki B, čunt pem efeentnoj tčki u eskončnosti im vednost B. Poznto je cm. Sistem se nlzi u vkuumu. A / / B ešenje: D i io ispunjen uslov d je A zdovoljvju postvljeni uslov. mo iti >, < i >. Duge komincije ne

36 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 A Ax Ay z uslov sledi d je. Ax Potencijl u tčki B: B B B i i i πε πε () πε πε πε πε Ay y y y cosα cosα o α () πε cosα πε z jednčine () sledi d je: cosα πε h () cosα h h Zmenom ove vednosti u jednčinu () doij se: B 8πε 8 B πε.58n. 557n. Zdtk. Dt je pimid čij je osnovic kvdt stnice cm. U svkom temenu kvdt nlzi se po jedn nelektisn čestic nelektisnj n. Odediti vednost potencijl u tčki koj se nlzi n vhu pimide n visini h6cm. Koliki d izvše elektične sile pi pomenju nelektisnj iz jednog od temen kvdt koji je osnovic pimide do neke veom udljene tčke?

37 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 ešenje: Sv nelektisnj nlze se n istom stojnju od vh pimide u kojoj se odeđuje potencijl. stojnje s odeđuje se s sledeće slike: h s d/ d s h h 6. 6cm A i πε s i D i se odedio d koji se izvši pi pomenju jednog od nelektisnj iz temen kvdt koji je osnovic pimide poteno je pvo odediti potencijl u toj tčki: πε πε πε d πε πε πε 7. 5 A.7µ J. Zdtk. zčunti potencijl u centu pvilnog sedmougl, ko je spoed nelektisnj ko n slici. Poznto je cm, n, n, n, n, 5-5n, 6-6n, 7-7n. Koliki d te d izvše elektične sile d i pono nelektisnje p - iz cent sedmougl penele u efeentnu tčku. Potumčiti doijeni ezultt.

38 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike ešenje: Kko je u pitnju pviln mnogougo sv nelektisnj nlze se n istom stojnju od cent sedmougl u kome se odeđuje potencijl. stojnje odeđuje se s sledeće slike: 7 α α o o cosα (kosinusn teoem). cm ( cosα) 7 7 i... 7 i i i πε d koji se izvši pi pomenju ponog nelektisnj: A p. 7 pj sile. d elektičnih sil je negtivn, znči d se ketnje vši supotno smeu delovnj elektične Zdtk. Dve koncentične sfee polupečnik cm i 7cm nelektisne su količinm nelektisnj n i -6n. Odediti vekto jčine elektičnog polj i potencijl u svim tčkm, ko i kpcitivnost sfenog kondenzto?

39 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 9 ešenje: Zdtk se ešv pimenom Gusovog zkon: lgeski zi svih opteećenj unut povši S. S ds ε ukupno u S, gde ukupno u S oznčv S n Sfee su vnomeno nelektisne po povši, tko d je vekto jčine elektičnog polj dijln, ko što je nznčeno n slici. Zog simetije je, tkođe, intenzitet vekto jčine elektičnog polj isti u svim tčkm koje su n istom odstojnju od cent lopte, tj. n povši zmišljenje sfee koncentične s dtim sfem. ekto nomln je n sfeu u svim tčkm, tko d je sklni poizvod ds n ds ds cos ds, p je: ds ds S S Pošto je intenzitet vekto jčine elektičnog polj u svim tčkm n povši sfee isti (sve tčke sfee su n istom odstojnju od zjedničkog cent sfe), može se ko zjednički fkto izvući isped znk integl, p je: ds ds π S S pošto je zi povšin svih povšinic ds koje sčinjvju posmtnu sfeu S jednk njenoj povšini π. olst < < :

40 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike Nelektisnje sfee mnjeg polupečnik vnomeno je spoeđeno po povši sfee, p sfe polupečnik mnjeg od ne ouhvt nelektisnje. Pem tome: uk uk πε olst < < : Zmišljen sfe polupečnik < < u potpunosti ouhvt sfeu mnjeg polupečnik, tj. celokupno njeno nelektisnje. Nelektisnje sfee polupoečnik vnomeno je spoeđeno po njenoj povšini tko d ono nije ouhvćeno. Sledi d je: uk πε z : z : ) πε m ( 97 ) πε m ( 67 k k m m olst > : Sfe polupečnik > u potpunosti ouhvt oe sfee polupečnik i, tko d je: uk ( ) πε z : z : ) πε m ( () k m Potencijl: Potencijl tčke A u odnosu n efeentnu tčku definiše se n sledeći nčin: ovom slučju efeentn tčk nlzi se u eskončnosti. A dl. U A olst > :

41 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike d d P d πε πε πε : : ( ) πε 5. 6 olst < < : d d d πε d ( ) ( ) πε πε ( ) ( ) ( ) 5. 6 : ( ) ( ) 7. πε olst < < : d d d d ( ) 7. Kpcitivnost: U d πε ; U πε 5.8 F 5. 8 pf. Zdtk. Sfeni kondenzto, polupečnik elektod i, ispunjen je tečnim dielektikom nepoznte pemitivnosti. Kondenzto se opteeti, odvoji od izvo, ztim se koz mli otvo n spoljšnjoj elektodi ispusti polovin dielektik. Ako se zn d njveć jčin elektičnog polj u kondenztou poste K.8 put, odediti eltivnu pemitivnost dielektik. Št se pi tome dešv s elektičnom

42 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike enegijom sdžnom u kondenztou, d li ste ili opd? Odediti koliko put se enegij smnji, ili poveć, posle isticnj polovine dielektik. ešenje: Kd se sfeni kondenzto, npunjen tečnim dielektikom, piključi n npon, njegove se elektode nelektišu vnomeno nelektisnjim i -. U kondenztou se uspostvi polje čije su linije vekto D i dijlne, ko što je pikzno n slici. ntenziteti ov dv vekto su: D( ) π, <<, ( ) πε, <<, D,, <, >. ε - D Njveć jčin polj u kondenztou je mx. πε Kpcitivnost punog kondenzto iznosi πε, p je enegij elektičnog polj kondenzto W. πε Posle isključivnj izvo npon i isticnj polovine dielektik, ukupno nelektisnje elektod ostje isto, i -. Polje je i dlje dijlno, n osnovu gničnih uslov sledi d je

43 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike ( ) ( ) ( ). o d Pošto su oe sedine linene, to je D ( ) ε ( ), u vzduhu, o o D( ) ε( ), u dielektiku. D o ε o ε D to td ntenziteti vekto i D su ( ), <<, π ( ε ε ) o ε o D o ( ), <<, π ( ε ε) o ε D ( ), <<. π ( ε o ε) Njveć jčin elektičnog polj u ovom slučju iznosi mx. π ( ε o ε ) Kpcitivnost kondenzto s dv dielektik je π ( ε o ε ). negij sdžn u kondenztou sd je W Pem uslovu zdtk, mx mx ε ε ε o. π ( ε ε) K, K odkle sledi d je ε 9. K Odnos enegij u ov dv slučj je poste K put. o W W ε ε ε o K, tj. po isticnju dielektik enegij

44 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike Zdtk. Sfeno zpeminsko nelektisnje im gustinu ρ / m. Sfe im koncentičnu šupljinu u kojoj nem opteećenj. Polupečnik šupljine je cm, dok je spoljšnji polupečnik koji ogničv sfeno nelektisnje 5cm. zčunti vekto jčine elektičnog polj i potencijl u svim tčkm. ρ ešenje: Zog simetije, vekto jčine elektičnog polj je dijln, intenzitet mu zvisi od udljenosti od cent. Ovj zdtk ešvmo pimenom Gusovog zkon. ds S S ε Gustin zpeminskog nelektisnje ρ jednk je količini nelektisnj po zpemini: d ρ dv d ρ dv ρ π d dv je zpemin elementne sfee deljine d. U cilju ešvnj zdtk, podelićemo posto n olsti. olst: <

45 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 ρ U ovom slučju ukupno ouhvćeno nelektisnje je, p Gusov zkon glsi: πε ( ) olst: < < ρ π S ε Pošto je d ρ dv ρ π d, ouhvćeno nelektisnje ćemo odediti integljenjem: ρ dv ρπ ( ) ( ) ρ ε olst: >

46 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 ρ ε π S Ouhvćeno nelektisnje ponovo odeđujemo integljenjem: d ) ( ρπ π ρ ) ( ε ρ Kod odeđivnj potencijl, tkođe ćemo izčunvti po olstim. < : d d d d ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Pošto u unutšnjosti lopte nem elektičnog polj, pvi integl je jednk nuli. Dlje je: d d ) ( ε ρ ε ρ ntegljenjem i seđivnjem doijenog izz dolzimo do potencijl: M 6. ) ( ε ρ < < : d d ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ε ρ

47 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 > : ( ) ρ d ρ ε ε nteesntno je izčunti koliki je potencijl u pojedinim tčkm. N sedini između polupečnik koji ogničvju sfeno opteećenje i cm, potncijl je td:.m. Z 8cm, potencijl je.58m. Zdtk 5. Uzemljivč stu dlekovod se može poksimiti poluloptom polupečnik.5m, specifičn otponost zemlje u okolini uzemljivč je ρ Ωm. zčunti otponost uzemljenj uzemljivč i npon kok (d.75m) ko je jčin stuje koz uzemljivč A. ešenje: Uzemljivč geneto možemo d zmislimo u oliku velike metlne polulopte koj im isti cent ko polulopt uzemljivč pijemnik, polupečnik >>. Specifičn otponost velike metlne polulopte uzemljivč geneto i mle polulopte uzemljivč pijemnik, mnogo je mnj od specifične otponosti zemlje. z tog zlog i jedn i dug polulopt mogu se smtti z ekvipotencijlne povši, vekto gustine stuje između njih je dijln, ko što je pikzno n slici. Po pvom Kihofovom zkonu jčin stuje koz svku zmišljenu polusfeu S u zemlji je ist, i jednk. Povšin zmišljene polusfee S je π. Gustin stuje J je J/( π). Jčin elektičnog polj je ρ J, tj. ρ/( π).

48 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8.. S J zlik potencijl između polulopte polupečnik i polupečnik je: d ρ ρ ρ d, je je >> π π π Otponost uzemljenj uzemljivč je : uz ρ. 6Ω π d ρ d ρ d Npon kok: U kok 775 7k. π π ( d ) Zdtk 6. Dv veom dug koksijln šuplj cilind, polupečnik i nelektisn su podužnim nelektisnjim ' i -', espektivno. Posto između cilind ispunjen je linenim dielektikom, eltivne dielektične konstnte ε. Odediti vekto jčine elektičnog polj i potencijl u svim tčkm, ko i vekto elektične polizcije P. Z efeentnu tčku uzeti spoljšnju povš cilind polupečnik. Bojni podci: ' n/m, cm, cm. ešenje: ukupno u S Zdtk se ešv pimenom Gusovog zkon ds n povš S pvog kužnog S ε ε cilind koksijlnog s povodnikom (im istu osu ko povodnik). Ako s B i B oeležimo osnovice (zise) cilind, s O njegov omotč, td je fluks vekto koz ztvoenu povš S:

49 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 9 S d S B d S B d S O d S. Ugo između i ds n o zis je pv, p je fluks koz zise nul. N povši omotč vektoi i ds su istog pvc i sme, povš omotč zpvo pedstvlj povšinu pvougonik čij je jedn stnic jednk oimu kug dug visini cilind, p je: d S ( ) ds cos ( ) ds S O O ( )πh Pošto cilind ouhvt količinu nelektisnj h, n osnovu Gusovog zkon i pethodne jednčine immo: ' h ( )πh ε ε B O B n h olst < : olst < < : ' ( ) πε ε : ( ) ' πε ε m

50 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 : ( ) ' πε ε m olst > : Potencijl se čun n osnovu jednčine d, gde je efeentn tčk koj se u slučju koksijlnog kel nlzi n povšini cilind većeg polupečnik, tj., P je tčk čiji potencijl odeđujemo. > : P < < : d ' πε ε d ' πε ε ln ' ( ) ln 8. 6 πε ε ( ) ' πε ε ln < : ' ' d d d d ln 8. 6 πε ε πε ε ntenzitet vekto polizcije je: P ε χ e ε ε. o ( ) Zdtk 7. Dv dugčk žičn pleln povodnik, polupečnik mm, nlze se n stojnju dcm, dleko od dugih tel. Podužn gustin nelektisnj povodnik je ' -' n/m.

51 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 Odediti vekto jčine elektičnog polj, elektičnog pomej D, ko i podužnu kpcitivnost ovog kondenzto ' i npon U. ešenje: Pošto je stojnje d>>, uticj opteećenj n jednom povodniku n spodelu nelektisnj n dugom povodniku može se znemiti. Zog tog je, vlo piližno, spodel opteećenj po povši o povodnik vnomen. ekto jčine polj svkog tkvog povodnik je dijln i odeđen je u pethodnom zdtku. ntenzitet vekto jčine elektičnog polj n stojnju od ' povodnik jednk je ( ). πε P M M 'd- d d Posmtjmo neku tčku P n duži koj spj tčke M i M ', u toj tčki vektoi koji potiču od o povodnik istog su sme (vekto negtivnog opteećenj usmeen je k tom opteećenju, pozitivnog opteećenj od njeg). ntenzitet jednog i dugog je ', πε p je duž linije MM ', ukupno D ε ukupno. ', d πε. πε πε Potencijln zlik (npon) između povodnik je: d πε M d M πε ukupno d d d ln ln d πε d. d d ln ln πε d ln

52 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 d Kko je d>>, to je ln πε Podužn kpcitivnost dvožičnog vod je n osnovu pethodne jednčine πε 6 pf. d ln Zdtk 8. Dvožični vod, polupečnik mm i stojnj os povodnik 5cm, piključen je njveći npon pi kome još ne dolzi do pojve koone n povšinm povodnik. Kolik je podužn enegij elektičnog polj vod i sil (intenzitet, pvc i sme) između povodnik vod u ovom slučju, ko je dielektičn čvstin vzduh mx.5 M/m? ešenje: Kko je stojnje između povodnik vod veliko u odnosu n polupečnik povodnik vod (>>), to se može smtti d je spodel nelektisnj n povodnicim, kd je vod piključen n npon U, vnomen po povši povodnik, ko kd i oni ili usmljeni. Nek je podužno nelektisnje svkog od njih ' i - '. ekto jčine polj, u tčkm vni u kojoj leže povodnici im smo komponentu koj leži u toj vni i njen intenzitet zvisi od stojnj, od ose jednog od povodnik (videti pethodni zdtk): ( ). πε Njveći intenzitet vekto jčine elektičnog polj im n smim povodnicim mx, πε odkle sledi d je njveće podužno nelektisnje kojim se mogu nelektisti povodnici πε.7 / m. mx mx µ Kko je podužn kpcitivnost dvožičnog vod πε 5.8 pf / m, ln njveći dozvoljeni npon je mx U mx mx ln 7. k.

53 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 iznosi Kd se dvožični vod piključi n npon U mx, enegij u polju oko vod, po jedinici dužine, W U mx.9 J / m. ntenzitet podužne sile kojom povodnici deluju jedn n dugi je ( mx ) F F mx ( ) 9 N / m. πε Pvc i sme sile pikzni su n slici. F F - () Zdtk 9. Sfeni kondenzto, polupečnik unutšnje elektode cm, nčinjen je tko d n unutšnju elektodu nleže ljusk od dielektik, pemitivnosti ε 5ε, deljine d.5cm. Kondenzto je piključen n npon Uk. ) zčunti unutšnji polupečnik spoljne elektode, ko se zn d je elektosttičk enegij, sdžn u dielektiku kondenzto, ist ko elektosttičk enegij sdžn u peostlom delu kondenzto, ispunjenog vzduhom. ) zčunti ukupnu elektosttičku enegiju sdžnu u kondenztou. c) Koliki je njveći npon n koji sme d se piključi ovj kondenzto? Dielektične čvstine z vzduh i dielektik iznose čv k/cm i čd 6k/cm. ešenje: ) Pem uslovu zdtk elektosttičk enegij sdžn u pojedinim delovim kondenzto je ist, p je ond W W d, d gde je nelektisnje n unutšnjoj elektodi kondenzto.

54 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 5 D d D d ε ε z pethodnog izz sledi d su enegije iste z d. Koisteći izz z kpcitivnost sfenog kondenzto s homogenim dielektikom sledi d je ( d) πε πε d d. 67cm. ε d ε ( d) ( d) ) Kondenztoi su vezni edno, tko d je ekvivlentn kpcitivnost ov dv kondenzto d d, ( d pem uslovu zdtk). d lektosttičk enegij sdžn u ovom kondenztou iznosi W U d U d d W ( ) ( ) πε U πε U. 7µ J. d d c) Njveći dozvoljeni npon n koji sme d se piključi kondenzto odeđuje se s oziom n dielektičnu čvstinu jednog ili dugog sloj. Pem gničnim uslovim je D d D D. z uopštenog Gusovog zkon sledi d je D, <<. π lektično polje im intenzitet, <<, i, <<. πε πε Njveće polje u pvom mteijlu je mx D( ) U mx. ε πε πε

55 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 55 Njveć vednost ovog polj iznosi mx čd. Zmenom ojnih vednosti doij se d je U mx k. Njveće polje u vzduhu iznosi U mx. D( d) U mx mx. ε πε πε ( d) Njveć vednost ovog polj je mx čv. Zmenom ojnih vednosti doij se d je U mx 9k. Kko je U mx < U mx, to je njveći dozvoljeni npon n koji sme d se piključi kondenzto Zdtk. Odediti podužno nelektisnje koksijlnog kel unutšnjeg polupečnik cm i spoljšnjeg polupečnik 5cm, tko d ne dođe do pooj vzduh ko dielektik. Dielektičn čvstin vzduh je čv k/cm. Koliki je mksimlni npon n koji može d se piključi koksijlni kel? ešenje: Jčin elektičnog polj odeđuje se iz Gusovog zkon: πl ε ( ) πε l ds S ε. olst <: ( ) olst <<: ( ) πε l πε olst ( ) >:

56 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 56 Mksimlno elektično polje je n spoljšnoj povšini unutšnjeg povodnik, tj. n stojnju. Ovo mksimlno elektično polje ne sme iti veće od dielektične čvstine vzduh. ( ) mx čv mx πε mx 5µ πε Npon između povodnik koksijlnog kel je: U d d πε πε ln Mksimln npon odeđen je mksimlnom vednošću podužnog nelektisnj: U πε πε ln πε ln mx mx mx U mx 5. 97k. mx ln Zdtk. Kondenzto je nčinjen od del koksijlnog kel dužine L5cm i dimenzij mm i 7mm, ko n slici. Kondenzto je ispunjen do polovine tečnim dielektikom pemitivnosti εε i piključen n npon Uk, ztim odvojen od izvo. Kondenzto se ztim postvi u vetikln položj i lgno dopuni dielektikom do kj. zčunti npon između olog kondenzto u funkciji visine dielektik u kondenztou i pomenu elektične enegije kondenzto u funkciji visine dielektik. ε ε L ešenje: )

57 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 57 Po piključenju n npon U kondenzto će se opteetiti nelektisnjem, koje se po isključenju izvo neće menjti. z gničnih uslov sledi d su vektoi jčine elektičnog polj isti u oe sedine o d. ε S ε d Uopšteni Gusov zkon je olik: D ds, S odnosno Lε πlε ε π, odkle je jčin elektičnog polj L (, <<. () π ε ε ) Npon između olog kondenzto iznosi: U d πlε ε ) d πlε ( ( ε ln ) z izz z npon nlzimo vednost nelektisnj:. () U π L ε ( ε ). n. () ln Kd se postviu vetikln položj i lgno dopunjv dielektikom, kondenzto izgled kko n slici.

58 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 58 x ε L-x ε S x Uopšteni Gusov zkon z ztvoenu povš S s slike je S D ds, odnosno: ( L x) ε πxε ε π odkle je πε ( L x( ε, <<. () )) Sd je npon između olog kondenzto: U N d πε ( L x( ε )) d πε ( L x( ε Zmenom izz () z količinu nelektisnj doij se: U N ln )). (5) UπLε ( ε ) ln ( ) UL ε. (6) ( L x( ε )) ln πlε ( L x( ε )) ) Pomen elektosttičke enegije kondenzto iće: W. (7) novo sto Kpcitivnost novo odeđuje se iz izz (6): novo πε ln ( L x( ε ) ),

59 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 59 kpcitivnost sto iz izz (): sto πε ln L ( ε ). Zmenom ovih izz z kpcitivnost u izz z enegiju (7), doij se pomen enegije: W ln πε L x( ε ) L( ε. ) Zdtk. N slici je pikzn kondenzto nčinjen od vzdušnog koksijlnog kel polupečnik elektod 5mm,,7 i dužine lcm. Kondenzto je do tećine svoje visine ispunjen tečnim dielektikom pemitivnosti εε i piključen n njveći npon pi kome još ne dolzi do vničenj. Kondenzto se ztim odvoji od izvo i lgno dopuni dielektikom, do kj. zčunti: () novi npon između elektod; () pomenu elektosttičke enegije kondenzto u odnosu n početno stnje. Ostli ojni podci: čv k/cm; čd 5k/cm. l l ε ε ešenje: N osnovu gničnih uslov možemo d pišemo: t td Uopšteni olik Gusovog zkon dje: D ds S

60 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 ε t td ε Pimenjujući pethodni izz n zmišljeni cilind koji je koksijln s kondenztoom, doijmo: D o π l D π l D ε D ε Ako zmenimo pethodn dv izz u izz (*), doijmo fomulu z : (*). πlε πε ( ) l πε l πl ε ε Npon U nlzimo po definiciji: U () d πl ε ln Do pooj će doći ko se kondenzto opteeti mksimlnom količinom nelektisnj. U p πlε mx ln S duge stne, polje je mksimlno n unutšnjoj elektodi kondenzto ():

61 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 ( ) mx mx. πlε Do vničenj neće doći ko je mx čv. Odvde doijmo uslov z mx : mx πlε čv.7 mx µ Sd možemo d izčunmo i U p. U p čv 5k. Kpcitivnost ovog kondenzto je: 7. 8pF U U dugom slučju, kd se kondenzto dopuni do vh dielektikom, vži elcij: D πl D ε () πlε Novi npon između elektod je: U N () d ln 8. k πlε Sd kpcitivnost postje: N 5. 6 pf U N Pomenu elektosttičke enegije kondenzto čunmo ko zliku između enegij novog i stog stnj. W WN WS U N U p. 9mJ.

62 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 Zdtk. zdušni kondenzto s slike nčinjen je od del koksijlnog kel dužine L5cm, polupečnik unutšnje elektode mm, i spoljšnje 5.mm. Kel je pogešno pojektovn, tko d pi željenom nponu od U8k dolzi do vničenj. D i se vničenje izeglo, n unutšnji povodnik moguće je nvući cevčicu od dielektik deljine zid dmm, ko n slici. zčunti kitičnu vednost pemitivnosti koju te d im upoteljeni dielektik, p d kondenzto ispvno di pi nvedenom nponu. vične efekte znemiti. čv k/cm. d ε ε ešenje: Pimenjujemo uopšteni Gusov zkon: D ds Pem gničnim uslovim vekto elektičnog pomej isti je u oe olsti, tko d je: D n D n D D πl D, << πl ekto elektičnog polj zlikuje se u dielektiku i u vzduhu, tko d je: D, <<d ε πε L ε ε D, d<< ε πε L Mksimln jčin elektičnog polj koj može d ude u kondenztou d ne dođe do vničenj, jednk je dielektičnoj čvstoći vzduh: mx ( d) πε L( d) čv S uk πε L( d) Npon vzdušnog kondenzto odeđen je sledećom jednčinom: d U d d d d d ln πε L ε čv ln d

63 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 Zmenom izz z nelektisnje jednčin z npon postje: d U ( d) čv ln ln ε d z ove jednčine odeđuje se kitičn vednost pemitivnosti upoteljenog dielektik d i kondenzto ispvno dio n nponu od U8k. d ln ε U ln ( d) d ε.5. čv Zdtk. Dt je cilindični kondenzto (polupečnik unutšnje elektode je cm, polupečnik spoljšnje elektode je 8cm, dužin kondenzto je Lcm), koji je piključen n npon U. N unutšnju elektodu kondenzto nvučen je psten od dielektik čij je deljin d, pemitivnost ε. Odediti d i ε tko d enegij kondenzto ude ti put već od enegije sdžne u dielektiku, d elektično polje n unutšnjoj elektodi kondenzto ude dv put veće nego n spoljšnjoj elektodi. d ε ε - ešenje: Pem uopštenom Gusovom zkonu: D ds S S

64 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 6 Pošto se di o kondenztou u oliku cilind, ovj integl možemo stviti n ti integl: D ds D ds D ds D ds S B B P Od ov ti integl smo je poslednji zličit od nule je n zisim je noml upvn n vekto D, p je D ds DdS cos 9, dok su n plštu vektoi D i n kolineni, p doijmo D ds DdS D πl S P D πl, < D, < < πl, > ekto D je jednk u oe sedine, dok je vekto zličit. z fomule elektičnog polj u oe sedine: D, < < d ε πlε D, d < < ε πlε D ε nlzimo jčinu Po uslovu zdtk, enegij sdžn u dielektiku te d je ti put mnj od enegije kondenzto (WW ). negij sdžn u dielektiku je: W Ukupn enegij kondenzto je: W W W ε W Zgd u poslednjem izzu pedstvlj ozc z ednu vezu dv kondenzto. W ekv Pem definiciji, npon n koji je kondenzto piključen iznosi: U d d d πεl πε d L ešvnjem integl i seđivnjem izz doijmo izz z U. d

65 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 65 d ln ε U πε L ε ln d Dlje možemo d pišemo: πε Lε ekv U d ln ε ln d Npon n koji je piključen kondenzto jednk je: d d U dl ln πε ε L U πε ε L d ln z uslov WW doijmo izz: d d ln ε ln ln (*) d Po dugom uslovu zdtk, elektično polje n unutšnjoj elektodi mo iti dv put veće nego n spoljšnjoj, p možemo d pišemo: πε ε πε L L Posle skćivnj, izz postje: ε Kominujući izze (*) i (**), doijmo ε, i dcm. (**) Zdtk 5. Sfeni kondenzto im dv homogen, izotopn, linen dielektik, ko n slici. Poznti su: polupečnici 5mm, 7mm, cmm, dielektične čvstoće o dielektik k 5k/cm i k k/cm i eltivn dielektičn popustljivost pvog dielektik ε 8. Pi nponu između elektod kondenzto U mx 7k nstupio je pooj u dugom dielektiku. Odediti eltivnu dielektičnu popustljivost dugog dielektik ε.

66 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 66 U c ε ε ešenje: zz z vekto dielektičnog pomej u kondenztou je: D( ), <<c π p su izzi z vekto jčine elektičnog polj u dielekticim: ( ), << πε ε ( ), <<c πε ε Njveće jčine elektičnih polj u dielekticim iznose: mx mx ( ) πε ( ) ε πε ε Kko je do pooj došlo u dugom dielektiku, to je: zzi z jčine elektičnih polj mogu se pedstviti sd u oliku: ε ( ) mx k ε, << ( ) mx k, <<c Poojni npon kondenzto je: U mx U mx ( ) d c ( ) d k ε ε mx πε ε k. c. z pethodnog izz doij se dielektičn popustljivost dugog dielektik:

67 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 67 U mx c ε ε. k c Zdtk 6. Koksijlni kel im dv sloj dielektik eltivnih pemitivnosti ε i ε. Polupečnik unutšnjeg povodnik je mm, unutšnji polupečnik spoljšnjeg povodnik je 5mm. Odediti: ) kko te postviti slojeve, ko i polupečnik zdvojne povšine dielektik d i mksimln jčin elektičnog polj u o dielektik il ist; ) podužnu kpcitivnost kel; c) njveći npon n koji kel može d se piključi ko je dielektičn čvstoć o dielektik k/cm. c ešenje: Nek je c polupečnik zdvojne povši dv dielektik, kko je pikzno n slici: c ε ε

68 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 68 ntenzitet vekto jčine elektičnog polj u kelu je:, gde je podužn πε gustin nelektisnj. ntenzitet vekto jčine elektičnog polj u jednom i dugom dielektiku je:, <<c π ε, c<< π ε ε je pemitivnost u dielektiku uz unutšnji povodnik kel, ε uz spoljšnji povodnik. Mksimlne jčine elektičnog polj jvljju se n povšini unutšnjeg povodnik kel i n zdvojnoj povšini dielektik: mx i mx π ε π ε c Pem uslovu zdtk ove mksimlne jčine polj moju iti jednke, tj. mx mx, p je ond: c ε ε ε c. π ε πε c ε Pošto mo iti c>, to znči d mo iti ε > ε, p uz unutšnji povodnik kel te stviti dielektik s većom pemitivnošću. c ε ε ε ε ε ε ε ε. Polupečnik zdvojne povši dv dielektik n osnovu gonje elcije je c6 cm. ) Podužn kpcitivnost kel je: U Npon između povodnik kel dt je sledećom jednčinom: U c c d d d πε ε πε ε U c πε c ln ln ε ε d πε ε c πε ε c c 88p F m. c) Dielektičn čvstoć pedstvlj mksimlnu jčinu elektičnog polj koj može postojti u kelu, d ne dođe do pooj dielektik: mx č. πε ε πε ε c ln ln c

69 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 69 Podužn gustin nelektisnj je: c. πε ε č πε ε Njveći npon n koji može d se piključi kel je: U c č ln cč ln 5. 5k. c mx č Zdtk 7. Koksijlni kondenzto, polupečnik unutšnjeg povodnik mm, odnos polupečnik spoljšnjeg i unutšnjeg povodnik /e (e.78) i dužine l, potpuno je ispunjen tečnim dielektikom, eltivne pemitivnosti ε 5 i dielektične čvstoće k 8k/cm. Kondenzto je postvljen u vetikln položj i piključen n stln npon U.k, p odvojen od izvo. Ztim je, koz mli otvo pi dnu kondenzto, dielektik iscuio z visinu h, ko n slici, pi čemu je došlo do pooj kondenzto. Dielektičn čvstoć vzduh je ko k/cm. fekti kjev se mogu znemiti. Odediti odnos h/l. h ε l ε ešenje: N zdvojnoj povši dielektik i vzduh elektično polje se ne menj zog gničnih uslov. Pimenom uopštenog Gusovog zkon n cilind koji potpuno ouhvt unutšnji povodnik kondenzto i piljuljen je uz njegovu povš, doijmo jčinu elektičnog polj uz tu povš: D ds S D S D S ε ε π( l h) ε πh π ε [ ε ( l h) h]

70 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 ( ) (u dielektiku i vzduhu) π [ ε ( l h) h] ε Opteećenost kondenzto iznosi: () () U, l, πε ε ln gde je () kpcitivnost kondenzto pe isticnj dielektik, podužn kpcitivnost koksijlnog kondenzto, polupečnik povodnik i, ispunjenog homogenim dielektikom, eltivne pemitivnosti ε. Opteećenje kondenzto se ne menj u toku cuenj dielektik je je kondenzto odvojen od izvo. U tenutku kd je () k doći će do pooj u vzduhu. Nelektisnje odeđeno je sledećim jednčinm: [ ε ( l h) h] π ε l U πε ε ln l U zjednčvnjem ovih jednčin doij se tženi odnos h/l: h l ε U ε ln k.5. Zdtk 8. Dt je pločsti kondenzto s sledećim kkteistikm: povšin ploč Scm, dielektik između ploč je vzduh, ploče su opteećene količinom nelektisnj 8n i -8n, dok je stojnje ploč xmm. zčunti silu koj deluje n jednu od ploč. ešenje: negij sdžn u kondenztou je x W ε x ε S d

71 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 dw dx ε S Silu možemo izčunti ko dw F 6. 6mN. dx ε S Ko što vidimo znk sile je negtivn. To znči d je sil pivlčn što je i logično s oziom d su ploče nelektisne supotnim količinm nelektisnj. Zdtk 9. N slici je pikzn pločsti kondenzto s čvstim dielektikom. Povšin ploč je kvdt stnice. Udljenost ploč je d, opteećenje ploč 5n, pemitivnost dielektik je εε Geškom, dielektik ne nleže potpuno n ploče, nego je deo izvn kondenzto. Odediti silu koj deluje n dielektik. ešenje: ε ε F z d z z - Ovkv geometij kondenzto odgov plelnoj vezi jednog vzdušnog kondenzto i kondenzto s čvstim dielektikom. ε z ε ( z) ekv d d negij sdžn u kondenztou je: d W ( ) ( εz ε ( z))

72 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 7 dw dz d ( εz ε ε ε ( x)) U ( ε ε d ) dw U F ( εε) dz d Ov sil teži d uvuče dielektik u kondenzto.

73 . Stlne elektične stuje Zdtk. Z mežu s slike odediti sve stuje i poveiti teoemu o odžnju snge, ko je:,,, Ω, Ω, Ω, 5Ω, 8 Ω, sa s ešenje: Pvo izvšimo tnsfomciju otponik 5, 6 i 7 iz tougl u zvezdu: Ω. Nkon tog mež im sledeći izgled: 5 6 7

74 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike s Kko je 57 8, 56 i 67, posmtn mež je simetičn, tko d se može posmtti smo jedn polovin meže, ko što je pikzno n sledećoj slici: S / Posmtnu mežu ešvmo metodom kontunih stuj: S () ( ) () S. 6. 6A. A Sng Džulovih guitk: P. 6W A

75 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 75 P. W P 8W S P W P 6 W. Sng nponskih i stujnih geneto: P W P 8W S P W S U S S Ps U S W P g 6 W. Pošto je P Pg, teoem o odžnju snge je zdovoljen. Zdtk. Metodom potencijl čvoov odediti vednost stuj u svim gnm meže s slike i poveiti teoemu o odžnju snge, ko je: 5 Ω, Ω, 5Ω, Ω, 5,,,, sa. s 5 ešenje:

76 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 76 Posmtn mež im pet čvoov, p se po metodi potencijl čvoov pišu četii jednčine (n č -). Kko u meži postoje dve gne u kojim se nlzi smo nponski geneto z efeentni čvo i se čvo koji je zjednički tim gnm, oj jednčin smnjuje se n dve. () 5 5 S () S () () Zmenom ojnih vednosti doij se sledeći sistem jednčin: ešenje ovog sistem jednčin je: -.9 i Jčine stuj odeđuju se iz sledećih jednčin:. 55A. 6A 5. 7A. 58A. 96A. 8A 5. 76A Sng Džulovih guitk: P. 696W P. 768W

77 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 77 P 6. 58W P. 9W P. 996W 5 5 P W. Sng nponskih i stujnih geneto: P 6. 88W P. 7W P. 8W P. 8568W P s S 8. 9W P g. 6576W. P P teoem o odžnju snge je zdovoljen. g Zdtk. Pimenom metode kontunih stuj odediti sve stuje u kolu i poveiti teoemu o odžnju snge z kolo pikzno n slici. kω, 7kΩ, kω, kω, 5 7kΩ, 6 6kΩ,,,,, 5 5, ešenje: Posmtn mež im četii čvo i šest gn, p se po metodi kontunih stuj piše nn g -(n č -) jednčin, tj. ti. Kontue su odne ko n slici.

78 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 78 ( ) ) ( ) 5 ( 6 Zmenom ojnih vednosti doij se sledeći sistem jednčin: ešvnjem ovog sistem jednčin doijju se sledeće vednosti kontunih stuj:. ma. 57mA. 5mA Stuje gn su:. ma. 57mA. 8mA. 89mA 5 µ A 6. 5mA Sng Džulovih guitk: P. 7689W P. 799W P. 987W P. 679W P. 7W P. 6866W 6 6 6

79 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 79 P. 9887W. Sng nponskih geneto: P µ W 5 P. 68W P. 56W 6 P. 9W P. 665W 5 5 P. W 6 6 P g. 987W. Pošto je P Pg teoem o odžnju snge je zdovoljen. Zdtk. Z kolo stlne jednosmene stuje pikzno n slici poznto je:, 5, 9, g - 5mA, g ma, g5 6mA, g 5mA, 5Ω, 6 Ω, Ω, 5 5Ω i 7 8 5Ω. Odediti sngu koju zvij idelni stujni gento g i npon između tčk A i B. A g g B g 6 g ešenje: Po metodi kontunih stuj z posmtno kolo pišemo sledeći sistem jednčin vodeći pi tome čun d gn u kojoj se nlzi stujni geneto pipd smo jednoj kontui:

80 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 A 6 g g g g B g ) 8 6 g g g ( z ovog sistem jednčin sledi d je stuj 8mA. Npon između tčk A i B je: U.. AB g Sng stujnog geneto g : U g g. 55. P 6 6 U 5. mw. g g g 5 Zdtk. U kolu pikznom n slici poznto je:,, g.a, g.a, 5Ω, Ω, Ω, 5Ω, 5 Ω, 6 7 5Ω, 8 5Ω. zčunti sve stuje i poveiti teoemu o odžnju snge. g 5 g 6 7 8

81 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 ešenje: Kd se izvši tnsfomcij tougo zvezd otponik 6, 7 i 8, kolo izgled ko n slici: g 5 9 g Ω Ω Kolo im šest čvoov i deset gn, p se po metodi kontunih stuj piše pet jednčin. Pi izou kontu te voditi čun d gn u kojoj se nlzi stujni geneto pipd smo jednoj kontui. g () g () ) ( 9 ) ( 9 ) ( 9 ) ( Zmenom ojnih vednosti sistem postje: () () (5) ešenje ovog sistem dje sledeće vednosti kontunih stuj:. 8A. 6A

82 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8. 6A Stuje gn su:. 5A. 7A g A. A 8 5 g 5. 6A A 7. 8A 8. 6A Sng Džulovih guitk: P. 5W P. 7W P 6W P. W P 6W P. 8W 9 9 P. 6W 6 P 6. W 7 Ukupn sum sng Džulovih guitk je Sng nponskih i stujnih geneto: P W 8 P 5. W. i P W U g 6 P U W 5 5 g g g U g 6 P U. W g g g 6 Ukupn sng nponskih i stujnih geneto je P g 5. W. Pošto je i Pg P teoem o odžnju snge je zdovoljen.

83 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 8 Zdtk 5. Pimenom metode potencijl čvoov odediti sve stuje i poveiti teoemu o odžnju snge z kolo s slike, ko je:, 5, sa, Ω, Ω, 56Ω, 8Ω, 5 Ω, 6 7 Ω s ešenje: Posmtno kolo im šest čvoov, p se po metodi potencijl čvoov piše pet jednčin. Z efeentni čvo i se jedn od čvoov između kojih je vezn geneto elektomotone sile. 7 7 s S S () () ()

84 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike () Zmenom ojnih vednosti sistem postje:... 5 (5) ešenje ovog sistem jednčin dje sledeće vednosti potencijl: Stuje gn:. 87A 5. 8A 5 5. A 5. 7A A A A

85 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 85. A 7 Sng Džulovih guitk: P. 969W P. 6W P. 85W P 7. 67W P. 89W P. 6W P 6. 88W Sum sng Džulovih guitk je P i. 69W. Sng nponskih i stujnih geneto: P. W P. 5W 6 U S 9. 8 Ps S U S W Sum sng nponskih i stujnih geneto je P g. 996W. Teoem o odžnju snge je zdovoljen je je P Pg. Zdtk 6. Metodom potencijl čvoov odediti sve stuje u kolu n slici i poveiti teoemu o odžnju snge, ko je: 5 Ω, 8 Ω, 5Ω, Ω, 6 5Ω, 7 Ω, 5,,, sa s

86 Zik zdtk iz Osnov elektotehnike 86 ešenje: Posmtn mež im pet čvoov, p je po metodi potencijl čvoov poteno npisti četii jednčine. Čvoovi su odni ko n sledećoj slici: () () S () S Zmenom ojnih vednosti doij se sledeći sistem jednčin: () ešenje ovog sistem jednčin dje sledeće vednosti potencijl: Stuje imju sledeće vednosti: ( ). 7A ( 7 8 ). 5A 7 8