- prirodnih znanosti (matematika, kemija, fizika, biologija, biokemija) - tehničkih znanosti

Transcript

1 Uvod - potrebna znanja: - prrodnh znanost (matematka, kemja, fzka, bologja, bokemja) - tehnčkh znanost AKO NEŠTO NE ZNAŠ NAPRAVITI, NI RAČUNALO TI U TOME NE MOŽE POMOĆI! (A. D. Noel) - karakterstke oblk matematčkh modela procesa ovsn o: - prostornoj ovsnost karakterstčnh velčna procesa (proces sa raspodjeljenm usredotočenm parametrma) - vremenskoj ovsnost (dnamc) karakterstčnh velčna procesa (staconarn nestaconarn proces) - namjen - složenost opsa procesa

2 Uvod prostorna ovsnost karakterstčnh velčna procesa proces sa usredotočenm parametrma proces sa raspodjeljenm parametrma staconarn nestaconarn staconarn nestaconarn parabolčne l hperbolčne parcjalne dferencjalne jednadžbe elptčne parcjalne dferencjalne jednadžbe dferencjalne l algebarske jednadžbe nelnearne algebarske jednadžbe

3 Staconarn nestaconarn matematčk model procesa - staconarn matematčk model procesa: - protočn kotlast reaktor lm t ( ) X t = X S X karakterstčna velčna procesa (koncentracja, gustoća, tlak, temperatura ) X S vrjednost karakterstčne velčne procesa u staconarnom stanju t - vrjeme ( ) S < ε za sve 0 X t X t t ε - dozvoljena promjena vrjednost karakterstčne velčne procesa d X dt - nestaconarn (dnamčk) matematčk model procesa: - kotlast reaktor, promjena vremena zadržavanja protočno kotlast d X dt 0 reaktor

4 Dferencjalne jednadžbe matematčk model procesa ZBOG ČEGA JE POTREBNO REALNI PROCES OPISATI DIFERENCIJALNIM JEDNADŽBAMA? - clj matematčkog modela procesa je analtčka veza zmeđu karakterstčnh ulaznh zlaznh velčna procesa ZAŠTO PRI RAZVOJU MATEMATIČKOG MODELA PROCESA NE TEŽIMO POSTAVLJANJU ALGEBARSKIH VEZA IZMEĐU ULAZNIH I IZLAZNIH VELIČINA PROCESA? - neophodna temeljna znanja o procesu - složene numerčke metode rješavanja matematčkog modela procesa (dferencjalne jednadžbe) SVRHA MODELIRANJA!!!

5 Dferencjalne jednadžbe matematčk model procesa Prmjer Praćenje tjeka procesa želmo opsat matematčkm zrazom u oblku algebarske jednadžbe koja opsuje ovsnost procesnh velčna x y. - z grafčkog prkaza sljed polnomna ovsnost procesnh velčna - statstčkom metodom najmanjh kvadrata y Model Polynomal Adj. R-Square x Value Standard Error B Intercept B B B B y= x x+ 0,0338, ,79 - ekspermentaln model procesa vrjed za: - dano područje procesnh velčna - dane procesne uvjete - dan proces - moguće nterpolacje, nemoguće ekstrapolacje - zbor tpa algebarskog modela (stupanj polnoma, članov polnoma)? - dferencjalna jednadžba - fzčka slka procesa - rješenje daje algebarsku vezu ulaznh zlaznh velčna procesa

6 Razne razvoja matematčkh modela procesa - detaljnost opsa promatranog procesa (svrha modelranja) - brojnost fzkalno-kemjskh mehanzama uključenh u ops procesa - molekularn l atomsk - mkroskopsk - makroskopsk makroskopsk mkroskopsk molekularn

7 Razne razvoja matematčkh modela procesa Molekularn model - duboka analza procesa - detaljna slka procesa temeljena na prrodnm zakontostma potvrda teorjskh spoznaja - nekorsn u procesnom nženjerstvu Makroskospk model - globalna slka procesa Mkroskopsk model - proučavanje prrodnh pojava uz zanemarvanje međudjelovanja na molekularnom nvou - dnamčka slka procesa u trodmenzonalnom prostoru

8 Matematčk model procesa - kombnacja mkroskopskh makroskopskh modela - zakon očuvanja temelj za zvođenje dferencjalnh blančnh jednadžb prjenosa tvar, toplne kolčne gbanja - pregled temeljnh nekh posebnh dferencjalnh blančnh jednadžb shodšta pr razvoju modela (dferencjaln element volumena u prostoru zamšljena kocka volumena ΔV (Δx, Δy, Δz) u kojoj promjena svojstava karakterstčnh velčna sustava sljed lnearnu ovsnost) PRIJENOS TVARI PRIJENOS ENERGIJE PRIJENOS KOLIČINE GIBANJA

9 Prjenos tvar 1. Temeljna jednadžba δc δn A A, x δ NA, y δna, z = ra δt δx δy δz δc uur A + NA ra δt. Posebn oblc a) gustoća dfuzvnost su konstantn N A molarn protok komponente A D AB koefcjent dfuzvnost v brzna strujanja c koncentracja t - vrjeme r brzna reakcje δc δc δc δc c c c δt δx δy δz x y z A A A A A A A + vx + vy + vz DAB + + r A b) gustoća dfuzvnost su konstantn, nema kemjske reakcje n gbanja (II. Fckov zakon dfuzje) δca = DAB ca δt

10 Prjenos energje 1. Temeljne jednadžbe a) preko temperature fluda (kapljevna l pln) δt δt δt δt r δ p r r ρ cv + vx + vy + vz = q T v τ : v δt δx δy δz δt V b) za všekomponentn flud n δ 1 r r ur ρ U + v = e + n g ( ) ( ) δ t = 1 ( ) ( ) ( ) akumulacja specfčne unutarnje knetčke energje u defnranom prostornom elementu ukupna gustoća toka energje kroz zatvoreu površnu promatranog sustava zbog konvekcje, vođenja toplne djelovanja vskoznh sla energetsk učnak djelovanja vanjskh gravtacjskh sla na defnran prostorn element T temperatura; ρ - gustoća; c v specfčn toplnsk kapactet pr konstantnom volumenu; q gustoća toplnskog toka; U unutarnja energja; v brzna; p tlak; τ - tenzor površnske napetost; n gustoća toka tvar; g gravtacja; e ukupna gustoća toka energje

11 Prjenos energje. Posebn oblc a) blanca energje za jednokomponentn Newtonsk flud pr konstantnom tlaku zanemarvom utjecaju vskoznh sla δt δt δt δt T T T ρ cp + vx + vy + vz = λ + + r + A ΔHr δt δx δy δz x y z b) za všekomponentn flud (smjesa Newtonskh fluda, konstantan tlak, bez utjecaja vskoznh sla, bez kemjske reakcje) r n r e λ T + n ΔH = 1 ( ) c p specfčn toplnsk kapactet pr konstantnom tlaku, λ - koefcjent toplnske vodljvost, ΔH r reakcjska entalpja, ΔH parcjalna entalpja -te komponente

12 Razvoj matematčkh modela procesa na mkroskopskoj razn Pojednostavljenja - ρ, µ, λ, D AB, c p konstantn - Newtonsk flud - utjecaj unutarnjeg trenja na ukupnu energju procesa zanemarv - utjecaj vanjskh sla jednak na svaku točku promatranog procesnog prostora Odstupanja od dealnost - turbulentn tokov - kompleksn profl strujanja pr mješanju - vskozne kapljevne s nenewtonskm svojstvma - kompleksn matematčk model procesa ogrančene prmjenjvost

13 Prmjer 1. Istovremen prjenos tvar energje pr dfuzj pare kroz mrujućeg flma do hladne površne na kojoj para kondenzra. 1. Ops problema Vruća plnovta lako hlapljva komponenta A dfundra u staconarnm uvjetma kroz mrujuć flm nertnog plna B do hladne površne z na kojoj kondenzra. Zadane su koncentracje temperature na oba ruba mrujućeg flma z z = δ. T=T 0, x A =x A,0 Flm kondenzata T(z) x A (z) T=T δ, x A =x A,δ rub mrujućeg flma Smjer gbanja komponente A Izračunat koncentracjsk profl zražen u molnm udjelma komponente A, x A, temperaturn profl pr stovremenom prjenosu tvar energje. δ z z =

14 Prmjer Defnranje mehanzama skupljanje nformacja o sustavu Pretpostavke: - stovremen prjenos tvar energje uzrokovan postojanjem koncentracjskh temperaturnh gradjenata - prjenos tvar energje se odvja kroz mrujuć prostor sključen konvektvn mehanzm prjenosa - smjesa plnova se ponaša kao dealn pln - tlak fzkalna svojstva smjese plnova su konstantn u svm točkama promatranog prostora - prjenos toplne radjacjom zanemarv Mehanzm: - prjenos tvar: dfuzja kao posljedca koncentracjskog gradjenta (tlačna, prslna termčka dfuzja zanemarve) - prjenos energje: vođenje toplne

15 Prmjer Postavljanje modela rješavanje modela (sustava jednadžb) - zavsne procesne velčne, T x A, funkcja udaljenost z (nezavsne procesne velčne) - staconarn proces - jednodmenzjsk proces dferencjalne jednadžbe - mkroskopske blančne jednadžbe za prostorn blančn element smješten u pravokutnom koordnatnom sustavu Prjenos tvar c uur A + N r = δt δ A A 0 - staconarn proces - nema kemjske reakcje - dfuzja samo u smjeru os z δc A δt r A uur N A = d N d z A, z

16 Prmjer 1. d N d z A, z = 0* - Fckov zakon za bnarne smjese N A, z c D d x (1 x ) d z AB = A A ** - Kombnacjom * **, te ntegrranjem u grancama x A,z=δ = x A,δ x A,z=0 = x A,0 uz konstantnu gustoću toka tvar, N A,z, sljed analtčko rješenje za koncentracjsk profl 1 e x = x + x x ( ) A, z A,0 A, δ A,0 1 e N cd N cd A, z AB A, z AB z δ x A moln udo komponente A, c ukupna koncentracja komponenata, D AB bnarna dfuzvnost, δ debljna mrujućeg flma

17 Prmjer 1. Prjenos energje - blanca energje všekomponentnog sustava n δ 1 r r ur ρ U + v = ( e) + ( n ) g δ t = 1 - staconarn proces - nema djelovanja vanjskh gravtacjskh sla - nema prjenosa toplne konvekcjom - nema prjenosa toplne radjacjom d dt e z = 0*** - konstantna gustoća toka energje, e z, po cjelom mrujućem flmu - gustoća toka energje za všekomponentne smjese Newtonskh fluda pr konstantnom tlaku, bez djelovanja vskoznh sla - prjenos toplne samo vođenjem r n r e λ T + n ΔH = 1 ( )

18 Prmjer 1. Prjenos energje - za bnarn sustav prjenos energje u smjeru os z dt e = λ + N Δ H + N ΔH d z ( ) z A, z A B, z B - ako nertna komponenta B mruje (N B,z ) dt e = λ + N C T T d z ( ) z A, z p,a 0 **** Δ H = C ( T T ) A p,a 0 - Kombnacjom *** ****, te ntegrranjem u grancama T z=δ = T δ T z=0 = T 0 sljed analtčko rješenje za temperaturn profl 1 e T = T + T T ( ) A, z p,a z 0 δ 0 N C λ 1 e N C λ A, z p,a z δ C p,a molarn toplnsk kapactet pr konstantnom tlaku, ΔH A ΔH B standardne molarne entalpje komponenata A B

19 Prmjer 1. - prjenos tvar neposredno utječe na prjenos energje pr stovremenom prjenosu tvar energje - prjenos tvar nje ovsan o prjenosu energje (zanemarena termčka dfuzvnost) - blanca tvar energje analtčko rješenje (nužne numerčke metode za složenje modele) - numerčke metode prblžna rješenja - mkroskopsk model jasnja (detaljnja) slka zbvanja u procesu bolje razumjevanje procesa - međuovsnost ključnh velčna sustava parametara procesa (zavsnost C p od T) - provjera modela ocjena valjanost modela nužn korac bez kojh je modelranje procesa besmsleno - procjena parametara modela na temelju ekspermentalnh podataka - složenost modela

20 Prmjer 1. Uobčajene pretpostavke pr prjelazu z mkroskopskog u makroskopsk ops procesa: - osnovne jednadžbe dferencjalne jednadžbe održanja - blanca održanja kolčne gbanja se zanemaruje - staconarn proces - korelacjske jednadžbe (efektvn koefcjent dfuzje umjesto molekularnog koefcjenta dfuzje) - čepolko strujanje -

21 Makroskopsk model procesa Blanca tvar -te komponente - mkroskopska blanca tvar δc δt ( vz c) ( t) δ + = r + m δz brzna prjenosa -te komponente kroz grancu sustava akumulacja -te komponente u blančnom prostornom elementu prjenos tvar (-te komponente) tokom fluda u blančnom prostornom elementu brzna na(ne)stajanja -te komponente kemjskom reakcjom Blanca tvar -te komponente - makroskopska blanca tvar d m dt = Δ w + r akumulacja -te komponente u blančnom prostornom elementu razlka brzna ulaza zlaza tvar z blančnog prostornog elementa brzna na(ne)stajanja -te komponente kemjskom reakcjom

22 Makroskopsk model procesa Blanca energje - mkroskopska blanca energje δt δt ρ Cp + vz =Δ Hr + E δt δz ( t) akumulacja tok toplne s tokom fluda u blančnom prostornom elementu reakcjska entalpja gubtak toplne u okolnu, prjenos toplne kroz grancu sustava Blanca tvar -te komponente - makroskopska blanca tvar d d E ( ) U p V K P q Q W Q m t = Δ E ukupna energja, U unutarnja energja, p V - energja potrebna za dovod odvođenje fluda z sustava, K knetčka energja, P potencjalna energja, q m masen protok, Q tok toplne kroz grancu sustava, W rad sustava na okolnu, Q m tok toplne zbog prjenosa tvar kroz grancu sustava m

23 Prmjer. Mkroskopsk makroskopsk model procesa Blance tvar energje za kemjsku reakcju koja se odvja u cjevnom reaktoru - turbulentno strujanje - staconarn proces - sve komponentne brzne, osm brzne strujanja u smjeru os z, v z, su jednake nul - komponente reakcjskog sustava su nestlačv flud - clndrčn koordnatn sustav

24 Prmjer. Model 1. - koefcjent aksjalnog radjalnog povratnog mješanja koefcjent aksjalnog radjalnog prjenosa toplne su ovsn o radjalnoj dmenzj, uspostavljeno vektorsko polje brzna strujanja određeno ekspermentalno (brzna strujanja u radjalnom smjeru promjenjva) Blanca tvar D z = D z (r), D R = D R (r), v z = v z (r) δc c 1 δ δc v r D r r D r r δz z r δx δr z( ) = z( ) + R( ) + - rubn uvjet - rubn uvjet δ c ( 0, r) () = ( ) ( 0, ) ( ) v () r T v ( r) T( 0, r) v r c v r c r D r z,0 z z δ c δ c δ c ( L, r) ( z,0) ( z, R) Blanca energje λ z = λ z (r), λ R = λ R (r), v z = v z (r) δt T 1 δ δt p z( ) z( ) R( ) r ρ C v r = λ r + r λ r +ΔH r δz z r δz δr z z 0 = z ρ Cp (, ) δt L r δt z (,0) δt z R (, ) δz U = TS T( z, R) λ R ( r) λ ( r) δt( 0, r) δz

25 Prmjer. Model. - koefcjent aksjalnog radjalnog povratnog mješanja koefcjent aksjalnog radjalnog prjenosa toplne su konstantn, uspostavljeno vektorsko polje brzna strujanja određeno ekspermentalno (brzna strujanja u radjalnom smjeru promjenjva) Blanca tvar D z = konst., D R = konst., v z = v z (r) δc c D δ δc v r D r r δz z r δx δr R z( ) = z rubn uvjet - rubn uvjet δ c ( 0, r) () = ( ) ( 0, ) v () r T v ( r) T( 0, r) v r c v r c r D z,0 z z δ c δ c δ c ( L, r) ( z,0) ( z, R) Blanca energje λ z = konst., λ R = konst., v z = v z (r) λ ρ C v r = + r +ΔH r δz z r δz δr z δt T R δ δt p z( ) λz r z 0 = z ρ Cp (, ) δt L r δt( z,0) δt( z, R) U = T S T ( z, R ) δz λ R λ δt ( 0, r) δz

26 Prmjer. Model 3. - koefcjent aksjalnog radjalnog povratnog mješanja koefcjent aksjalnog radjalnog prjenosa toplne su konstantn, brzna strujanja konstantna Blanca tvar D z = D L = konst., D R = konst., v z = v z (r) Blanca energje λ z = λ L = konst., λ R = konst., v z = v z (r) δc c D δ δc v D r r δz z r δx δr R z = z + + λ ρ C v = + r +ΔH r δz z r δz δr δt T R δ δt p z λz r - rubn uvjet - rubn uvjet δ c ( 0, r) = ( 0, ) v T v T( 0, r) v c v c r D z,0 z L δ c δ c δ c ( L, r) ( z,0) ( z, R) L z 0 = z ρ Cp (, ) δt L r δt( z,0) δt( z, R) U = T S T z R δz λ R λ (, ) δt ( 0, r) δz

27 Prmjer. Model 4. - zanemarv radjaln gradjent (temperatura koncentracja u svakoj točk poprečnog presjeka jednake), jednodmenzonaln model dferencjalne jednadžbe, brzna strujanja konstantna Blanca tvar D L = konst., v z = konst. dc d c v D r dz dz z = z + Blanca energje λ L = konst., v z = konst. dt d T λ p z z r S ( ) ρ C v = +ΔH r + U T T dz dz R - rubn uvjet - rubn uvjet dc ( 0) = ( 0) v T v T( 0) v c v c D z,0 z L d c ( L) d z d z z ( ) ( ) λ dt 0 L 0 = z ρ C d z dt L d z p

28 Prmjer. Model 5. - zanemarvo povratno mješanje prjenos toplne čepolko strujanje fluda, najuobčajenj model prjenosa tvar energje u cjevnom reaktoru Blanca tvar v z = konst. v c z d c = r d z ( ),0 = c 0 Blanca energje v z = konst. - rubn uvjet - rubn uvjet ρ dt C p v z Hr r U TS T d z =Δ + R T ( ) 0 = T 0 ( )

29 Prmjer. Model 6. - makroskopska blanca tvar energje u cjevnom reaktoru, poznata ukupna (srednja konverzja), model procesa algebarske jednadžbe (black box model) Blanca tvar v z = konst. vz c A= r Blanca energje v z = konst. ρ Cp vz T =ΔHr r V + U A TS T R ( ) - rubnh uvjeta nema - model uzet u obzr ovsnost konstantne brzne reakcje o temperatur (Arrhenusova jednažba) nelnearn model