Κρυπτογραφία. Θεωρία Αριθμών 2/4/2014. Θεωρία Αριθμών
|
|
- Ἀρίσταρχος Ελευθερίου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κρυπτογραφία Θεωρία Αριθμών Παύλος Εφραιμίδης v1.8, 02/04/ Θεωρία Αριθμών Θεωρία Αριθμών Ένας όμορφος κλάδος των μαθηματικών Απέκτησε μεγάλη πρακτική αξία χάρη στη Σύγχρονη Κρυπτογραφία Η Υπολογιστική Πολυπλοκότητα συγκεκριμένων υπολογιστικών προβλημάτων της Θεωρίας Αριθμών αποτελεί τη βάση της Σύγχρονης Κρυπτογραφίας 2 Γιατί χρησιμοποιούμε Θεωρία Αριθμών στη σύγχρονη Κρυπτογραφία; 3 1
2 Υπολογιστικά προβλήματα Πρώτοι αριθμοί Εύρεση μεγάλων πρώτων αριθμών Υπολογιστικά εφικτό (tractable) Παραγοντοποίηση ακεραίων αριθμών που είναι γινόμενο μεγάλων πρώτων αριθμών Υπολογιστικά μη εφικτό (intractable) 4 Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός έχει εκατομμύρια ψηφία Κάνσας Σίτι, Μισούρι Αμερικανός μαθηματικός υπολόγισε έναν νέο πρώτο αριθμό που αποτελείται από ψηφία και είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε αυτή τη στιγμή. Ο νέος βασιλιάς των πρώτων αριθμών πήρε τα σκήπτρα από έναν πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε το 2008 και αποτελείται από ψηφία. Το 2009 ανακαλύφθηκε άλλος ένας πρώτος αριθμός που όμως ήταν μικρότερος από εκείνον του πηγή: Δημοσίευση: 06 Φεβ. 2013, 15:51 5 Ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός As of January 2014, the largest known prime number is 2 257,885,161 1, a number with 17,425,170 digits. (wikipedia, ). Plot of the number of digits in largest known prime by year, since the electronic computer. Note that the vertical scale is logarithmic. The red line is the exponential curve of best fit: y = exp( t ), where t is in years. 6 2
3 Διακριτός Λογάριθμος Διακριτοί Λογάριθμοι Discrete Exponentiation Υπολογισμός discrete exponentiation: Δίνονται α, n και x. Υπολογισμός του α x (mod n) είναι: Υπολογιστικά εφικτός Διακριτός Λογάριθμος (Discrete Logarithm) Απλοποιημένος ορισμός: Έστω x, τέτοιο ώστε α x =β (mod n), με α, n γνωστά. Η εύρεση του x είναι το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου. Εύρεση διακριτού λογαρίθμου: Υπολογιστικά μη εφικτός 7 Τι θα θέλαμε Κρυπτογράφηση, Αποκρυπτογράφηση γνωρίζοντας το κλειδί: Υπολογιστικά Εφικτό Αποκρυπτογράφηση χωρίς να γνωρίζουμε το κλειδί: Υπολογιστικά Μη Εφικτό 8 Ένα πρώτο πρωτόκολλο: Diffie - Hellman 9 3
4 Αλγόριθμος Diffie-Hellman Συμφωνούμε όλοι στους αριθμούς: p και g Η Αλίκη επιλέγει α και υπολογίζει Α = g α mod n Ο Μπάμπης επιλέγει β και υπολογίζει Β=g β mod n Ανταλλάσσουν τα Α και Β μέσω ενός απροστάτευτου καναλιού επικοινωνίας: Η Αλίκη υπολογίζει k 1 = Β α και ο Μπάμπης k 2 =Α β. Ισχύει k 1 = k 2 = k Όσοι άλλοι άκουσαν τα Ακαι Βδεν μπορούν να βρουν το kαπό αυτά!! Επεκτείνεται και σε 3 ή περισσότερα άτομα 10 Υπολογιστικά εφικτό; Υπολογιστικά εφικτό: Εκτέλεση ενός αλγορίθμου πολυωνυμικού χρόνου Πχ. ταξινόμηση αριθμών με την Quicksort Υπολογιστικά μη-εφικτό: Εκτέλεση αλγορίθμου με χρόνο μηπολυωνυμικό, πχ. εκθετικό Πχ περιοδεύων πωλητής: δεν έχει βρεθεί πολυωνυμικός αλγόριθμος 11 Αναλογία με τα NP-Complete προβλήματα Υπολογιστικά εφικτό: Η επιβεβαίωση μιας λύσης γίνεται σε πολυωνυμικό χρόνο, εφόσον μας δοθεί η υποψήφια λύση Υπολογιστικά μη-εφικτό: Η εύρεση μιας λύσης 12 4
5 Γιατί χρησιμοποιούμε Θεωρία Αριθμών στη σύγχρονη Κρυπτογραφία; Από τη Θεωρία Αριθμών αντλούμε τα κατάλληλα υπολογιστικά προβλήματα για να χτίσουμε κρυπτοσυστήματα (πχ. RSA) και κρυπτογραφικά πρωτόκολλα. 13 Θεωρία Αριθμών 14 Βασικές Έννοιες Συμβολισμός δ α : O δ διαιρεί τον α ή ο α είναι πολλαπλάσιο του δ. Ιδιότητες α > 0 & δ α δ α δ α 0 Υπάρχει κ: α = κ δ Ορισμός: Εάν δ α και δ 0 τότε ο δ είναι διαιρέτης του α δ διαιρέτης του α: 1 δ α Τετριμμένοι διαιρέτες του α: 1, α Διαιρέτες που δεν είναι τετριμμένοι: Παράγοντες Πχ. για τον ακέραιο αριθμό 20: Διαιρέτες του 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Παράγοντες του 20: 2, 4, 5,
6 Πρώτοι αριθμοί Σύνθετοι Αριθμοί Ακέραιος αριθμός α. Αν α > 1 και οι μόνοι διαιρέτες του είναι οι τετριμμένοι διαιρέτες 1 και α, τότε ο α είναι ΠΡΩΤΟΣ αριθμός Οι πρώτοι αριθμοί παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον Οι μικρότεροι πρώτοι αριθμοί είναι: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37, Σύνθετοι Αριθμοί Οι ακέραιοι που δεν είναι πρώτοι αριθμοί ονομάζονται ΣΥΝΘΕΤΟΙ. Πχ. ο αριθμός 39 είναι σύνθετος: 3 39 Ο αριθμός 1 (μονάδα) Ούτε πρώτος, ούτε σύνθετος, αλλά απλά η μονάδα. Ακέραιοι 0 δεν τους ονομάζουμε ούτε πρώτους, ούτε σύνθετους. 17 Θεώρημα Διαίρεσης Έστω ακέραιος α και θετικός ακέραιος n. Τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι q και r τέτοιοι ώστε: 0 r < n & α = q n+r q = α/n, ΠΗΛΙΚΟ r = α mod n, ΥΠΟΛΟΙΠΟ Άρα α = q n + r ή ισοδύναμα α mod n = α - q n 18 6
7 Ισοδυναμία α b Εξετάζοντας τώρα τα υπόλοιπα ορίζουμε: Αν (α mod n) = (β mod n) τότε γράφουμε α β (mod n) και λέμε ότι o α είναι ισοδύναμος με τον b, modulo n a Δηλαδή α β (mod n) έχουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρούνται με n Υπάρχει και ο συμβολισμός α T β (mod n) που σημαίνει ότι α και β δεν είναι ισοδύναμα modulo n 19 Κλάσεις modulo n Για κάθε n, μπορούμε να διαχωρίσουμε τους ακεραίους σε κλάσεις ισοδύναμων ακεραίων modulo n αριθμών. [α] n = {α + κ n: k Z} π.χ. [3] 7 = [-4] 7 = {..,-11,-4,3,10,17,..} Γράφουμε: Z n = {[α] n : 0 α n-1 } ή απλοποιημένα: Z n = {0,1,..,n-1} 20 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) Greatest Common Divisor (GCD) 21 7
8 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (1) δ α AND δ β δ κοινός διαιρέτης των α, β δ α AND δ β δ (α+β) AND δ (α-β) δ α AND δ β δ (α x+ β y), x, y ακέραιοι α β α β OR β = 0 α β AND β α α = ±β 22 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (2) Μέγιστος κοινός διαιρέτης (greatest common divisor ή gcd) Για α, β με α + β > 0 ισχύει 1 gcd(α,β) min( α, β ) Ορίζουμε gcd(0,0) = 0 23 Ιδιότητες της συνάρτησης gcd(α,β) gcd(α,β) = gcd(b,a) gcd(α,β) = gcd(-a,β) gcd(α,β) = gcd( α, β ) gcd(α,0) = α gcd(α,kα) = α, για k Z 24 8
9 Θεώρημα Εάν α, β ακέραιοι, τέτοιοι ώστε α + β > 0 τότε gcd(α,β) είναι το μικρότερο θετικό στοιχείο του συνόλου {α x+β y: x,y Z}. Παρατηρήστε ότι {α x+β y: x,y Z} είναι το σύνολο των γραμμικών συνδυασμών των α και β 25 Λήμματα για gcd δ α AND δ β δ gcd(α,β) Εάν n 0, τότε gcd(α n, β n) = n gcd(α,β) Εάν α 0, β 0, n 0, τότε n α β AND gcd(α,n) = 1 n β 26 Σχετικά Πρώτοι Αριθμοί Εάν α,β τέτοιοι ώστε gcd(α,β) = 1 α, β σχετικά πρώτοι. Θεώρημα: Για ακέραιους α, β και p, gcd(α,p)=1 και gcd(β,p)=1 gcd(α β,p) = 1 Απόδειξη: gcd(α,p) = 1 Υπάρχουν x,y: αx + py =1 gcd(β,p) = 1 Υπάρχουν x',y': βx'+ py'=1 Πολλαπλασιάζουμε τις 2 σχέσεις
10 Ανά δύο σχετικά πρώτοι Ανά δύο σχετικά πρώτοι αριθμοί n 1, n 2, n 3,.., n k : Για κάθε i,j με i j: gcd(n i,n j ) = Παραγοντοποίηση Ακεραίων (1) Θεώρημα: Για όλους τους πρώτους p και για όλους τους ακέραιους α,β: p α β p α OR p β Απόδειξη με εις άτοπο απαγωγή 29 Παραγοντοποίηση Ακεραίων (2) Θεώρημα: Κάθε ακέραιος α μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως γινόμενο πρώτων παραγόντων: α = p 1 e1 p 2 e2 p r er όπου p i πρώτος, p 1 < p 2 <..< p r και e i θετικοί ακέραιοι. Αποδεικνύεται με εφαρμογή του προηγούμενου θεωρήματος 30 10
11 Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης - ΜΚΔ Πρώτη ΙΔΕΑ για υπολογισμό ΜΚΔ: Παραγοντοποιούμε τους δύο αριθμούς e e e α = p p 2 L p r β= p f 1 f p όπου e i, f i 0. r f r r Lp Τότε gcd( α, β ) = p min( e1, f1 ) 1 p min( e2, f 2 ) 2 L p min( e r, fr ) r Η παραγοντοποίηση ενός ακεραίου δεν επιτυγχάνεται (μέχρι σήμερα) σε πολυωνυμικό χρόνο! Άρα αυτός ο τρόπος δεν είναι αποδοτικός. 31 Ευκλείδης (Euclid) Αλεξάνδρεια, π.χ. Πηγές: wikipedia, wolfram 32 Αλγόριθμος του Ευκλείδη (1) Αναδρομικό Θεώρημα ΜΚΔ: Για κάθε α 0 και β > 0: gcd(α,β) = gcd(β, α mod β) Απόδειξη: Είναι θετικά και επιπλέον μπορεί να δείξει κανείς ότι το ένα μέρος διαιρεί το άλλο και επομένως πρέπει να ταυτίζονται
12 Αλγόριθμος του Ευκλείδη (2) Περιγράφεται σε έργο του Ευκλείδη και είναι ίσως ο αρχαιότερος αλγόριθμος στον κόσμο // Euclid s GCD algorithm a,b integers >= 0 EUCLID (a,b) { if (b == 0) then return a; else return EUCLID(b, a mod b); } 34 Παράδειγμα Παράδειγμα: EUCLID(30,21) = EUCLID(21,9) = EUCLID(9,3) = EUCLID(3,0) = 3 // Euclid s GCD algorithm a,b integers >= 0 EUCLID (a,b) { if (b == 0) then return a; else return EUCLID(b, a mod b); } 35 Ανάλυση Ορθότητα Αλγορίθμου: Από το Αναδρομικό Θεώρημα ΜΚΔ. Τερματισμός Αλγορίθμου: Η δεξιά παράμετρος μειώνεται σε κάθε κλήση, άρα υποχρεωτικά θα τερματίσει. Πολυπλοκότητα Χρόνου: Θεωρούμε ότι α > β 1. Τότε η εκτέλεση Euclid(α,β) θα χρειαστεί O(log β) αναδρομικές κλήσεις. Ο ακριβής χρόνος εκτέλεσης του Αλγορίθμου του Ευκλείδη σχετίζεται με τους αριθμούς Fibonacci. Ακολουθία fibonacci: Όπου φ 1,61803 και ψ -0,
13 Extended Euclid Algorithm Έχουμε ήδη δει το θεώρημα: Εάν α, β ακέραιοι, τέτοιοι ώστε α + β > 0 τότε gcd(α,β) είναι το μικρότερο θετικό στοιχείο του συνόλου {α x+β y: x,y Z}. Ο αλγόριθμος του Ευκλείδη υπολογίζει το μέγιστο κοινό διαιρέτη, όχι όμως τις τιμές των x και y του παραπάνω θεωρήματος. Μπορούμε να επεκτείνουμε τον αλγόριθμο του Ευκλείδη ώστε να μας υπολογίζει και τα κατάλληλα x και y. 37 Επεκταμένος Αλγόριθμος του Ευκλείδη (Extended Euclid Algorithm) 38 Επεκταμένος Αλγόριθμος του Ευκλείδη // Extended Euclid algorithm ExtEuclid(a,b) if (b == 0) then return (a,1,0); else (d,x',y') = ExtEuclid(b,a mod b); (d,x,y) = (d',y',x'- a/b y'); return (d,x,y); 39 13
14 Extended-Euclid(30,21) ExtEuclid(a,b) if (b == 0) then return (a,1,0); else (d,x',y') = ExtEuclid(b,a mod b); (d,x,y) = (d',y',x'- a/b y'); return (d,x,y); a b a/b d x y *0= gcd(30,21) = 3 = (-2) * * Extended-Euclid(99,69) ExtEuclid(a,b) if (b == 0) then return (a,1,0); else (d,x',y') = ExtEuclid(b,a mod b); (d,x,y) = (d',y',x'- a/b y'); return (d,x,y); a b a/b d x y gcd(99,69) = 3 = 7 * * Αριθμητική Modulo 42 14
15 Αριθμητική Modulo Μοιάζει με την κοινή αριθμητική με τη διαφορά ότι το αποτέλεσμα υπολογίζεται modulo n, και επομένως κάθε αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός του συνόλου {0,1,2,..,n-1} Αυτή η χαλαρή περιγραφή αρκεί σε γενικές γραμμές. Μια πιο αυστηρή θεώρηση βασίζεται στη θεωρία Ομάδων (Αβελιανές Ομάδες) 43 Modular πράξεις Το σύνολο υπολοίπων: Ζ/N Z={0,1,,N-1} Η αναγωγή: a b mod N iff ( a b) N N-1 N... N Μερικές ενδιαφέρουσες ιδιότητες a+b mod(n)=(a mod(n) + b mod(n)) mod(n) a*b mod(n)=(a mod(n) * b mod(n)) mod(n) Πολύ χρήσιμα στον υπολογισμό του g X mod(n) 45 15
16 Modular αριθμητική a+b mod 6 a b mod 6 46 Αβελιανές Ομάδες Ομάδα: Σύνολο S και Δυαδική Πράξη *, όπου ισχύουν: i. Κλειστότητα ii. iii. iv. Ταυτότητα Προσεταιριστικότητα Αντίστροφος Εάν ισχύει και η αντιμεταθετική ιδιότητα: Αβελιανή Ομάδα Ορίζονται δύο Αβελιανές Ομάδες, μία για κάθε πράξη. Πρόσθεση modulo n Πολλαπλασιασμός modulo n 47 Υποομάδα Εάν (S, ) είναι ομάδα και S S και (S, ) επίσης ομάδα, τότε (S, ) είναι υποομάδα της (S, ). Παράδειγμα: (Z,+): Το σύνολο των ακεραίων μαζί με την πράξη του αθροίσματος είναι ομάδα (άρτιοι ακέραιοι, +): Το σύνολο των άρτιων ακεραίων με την πράξη του αθροίσματος είναι επίσης ομάδα, και επομένως υποομάδα της (Z,+) Θεώρημα: Κάθε κλειστό υποσύνολο μιας πεπερασμένης ομάδας είναι υποομάδα
17 Αναγνωρίστε τις ομάδες <Ζ/nΖ, *> 49 Θεώρημα Lagrange Ομάδα (S, ) και Υποομάδα (S', ) S' είναι διαιρέτης του S. Εφαρμόζεται στη διαδικασία ελέγχουν των Miller-Rabin για το εάν ένας αριθμός είναι πρώτος Corollary: S' S S' S /2 50 Υποομάδα παραγόμενη από ένα στοιχείο α Έστω α ένα στοιχείο μιας ομάδας (S, ) Το σύνολο όλων των στοιχείων που μπορούν να πραχθούν από το α χρησιμοποιώντας την πράξη συμβολίζεται α ή ( α, ) και είναι μια υποομάδα της (S, ) 51 17
18 Κυκλικές ομάδες (Cyclic Groups) Μια ομάδα G είναι κυκλική, εάν υπάρχει στοιχείο g της G, τέτοιο ώστε όλα τα μέλη της G μπορούν να γραφούν ως g n για κάποιο n. Τότε g είναι γεννήτορας της G και συμβολίζεται G = g Επομένως, μια ομάδα (S, ) είναι κυκλική ομάδα (cyclic group) εάν S = x, για κάποιο x S. Δηλαδή τα στοιχεία του S είναι οι δυνάμεις του στοιχείου x και x είναι ένας γεννήτορας της ομάδας. Για παράδειγμα η ομάδα Z 7* παράγεται από το στοιχείο 3 της ομάδας. 52 Υποομάδες: Τάξη Υποομάδες που παράγονται από τους γραμμικούς συνδυασμούς ενός στοιχείου μια ομάδας. Τάξη (Order) στοιχείου α S, ord(α): Το ελάχιστο t > 0 τέτοιο ώστε α t = e (ουδέτερο στοιχείο της ομάδας ή αλλιώς μονάδα ). Θεώρημα: Για κάθε πεπερασμένη ομάδα και κάθε στοιχείο α της ομάδας ord(α) = α, δηλαδή η τάξη του στοιχείου ισούται με τον πληθάριθμο της ομάδας που παράγει το στοιχείο. Για παράδειγμα ποια είναι η τάξη ord(3) του στοιχείου 3 στην ομάδα Z 7* ; 53 Γραμμικές Εξισώσεις Modulo Επίλυση modular γραμμικών εξισώσεων α x β (mod n), για n > 0 Δίνονται τα α,β,n και ζητούνται τα x mod n. Μπορεί να υπάρχουν 0,1 ή περισσότερες λύσεις α x β (mod n) α x = d n + β α x d n = β Για β=1 παίρνουμε τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του α modulo n
19 Δύο Αβελιανές Ομάδες Αβελιανή Ομάδα: + mod n Z n = {[α] n : 0 α n-1 } Πχ. Z 8 κλειστό ως προς + mod 8 Αβελιανή Ομάδα: * mod n Z n * = {[α] n є Z n : gcd(α,n) = 1} Πχ. Z 15* κλειστό ως προς * mod 15 Τα (Z n,+ n ) και (Z n*,* n ) είναι πεπερασμένες αβελιανές ομάδες 55 Συνάρτηση φ() του Euler Ο πληθάριθμος του συνόλου Z n* ονομάζεται συνάρτηση φ(n) του Euler και ισούται: φ(n) = n Π p n (1-1/p) για όλους τους πρώτους p που διαιρούν τον n Έστω p, q πρώτοι. Τότε φ(p), φ(q), φ(p q) =? Leonhard Euler 15 April September 1783 πηγή: wikipedia 56 Συνάρτηση φ(n) του Euler Η φ(n) δίνει τον αριθμό των ακεραίων που είναι σχετικά πρώτοι με τον n. παράδειγμα: φ(10)= φ(11)= 57 19
20 Συνάρτηση φ(n) του Euler Η φ(n) δίνει τον αριθμό των ακεραίων που είναι σχετικά πρώτοι με τον n. παράδειγμα: φ(10)= φ(11)= Ενδιαφέρουσες περιπτώσεις: για πρώτο p, φ(p)=p-1 για πρώτους p, q και n=pq τότε φ(n)=(p-1)(q-1) 58 Γραμμικές εξισώσεις modulo n 59 Επίλυση Γραμμικών Εξισώσεων Modulo Εξίσωση με άγνωστο x: α x β (mod n), για n > 0 Ικανή και αναγκαία συνθήκη: Έχει λύση d β, όπου d=gcd(α,n) Πιο συγκεκριμένα, η εξίσωση έχει d διακριτές λύσεις, εάν d = gcd(α,n) δεν έχει λύση, διαφορετικά 60 20
21 Εύρεση των λύσεων Ένας τρόπος για να υπολογιστούν οι d λύσεις x 0, x 1,, x d-1 της εξίσωσης: Έστω x, y οι τιμές που παίρνουμε από τον Extended Euclid. Τότε: x 0 = x (b/d) mod n x i = (x 0 + i (n/d)) mod n, για i = 1,, d-1 61 Παραδείγματα 3 x = 2 (mod 7) 4 x = 3 (mod 8) 6 x = 4 (mod 8) 6 x = 1 (mod 13) 62 3 x = 2 (mod 7) Λύση: α = 3, n = 7 Αλγόριθμος Ευκλείδη: d = gcd(3,7) = 1 Το d=1 διαιρεί το β=1 και επομένως η εξίσωση έχει d=1 λύση. Extended Euclid Algorithm: d = 1 = gcd(3,7) = 3 (-2) x 0 = -2 (2/1) mod 7 x 0 =
22 4 x = 3 (mod 8) Λύση: α = 4, n = 8 Αλγόριθμος Ευκλείδη: d = gcd(4,8) = 4 Το d=4 δεν διαιρεί το β=3. Επομένως η εξίσωση αυτή δεν έχει λύση x = 4 (mod 8) Λύση: α = 6, n = 8 Αλγόριθμος Ευκλείδη: d = gcd(6,8) = 2 Το d=2 διαιρεί το β = 4 και επομένως η εξίσωση έχει d=2 λύσεις. Extended Euclid Algorithm: d = 2 = gcd(6,8) = 6 (-1) Οι d=2 λύσεις είναι: x 0 = x (b/d) mod n =-1 (4/2) mod 8 x 0 = 6 x i = (x 0 + i (n/d)) mod n, για i = 1,, d-1 x 1 =2 65 Πολλαπλασιαστικός Αντίστροφος H εξίσωση με άγνωστο x και b=1 α x 1(mod n), για n > 0 υπολογίζει τον πολλαπλασιαστικό αντίστροφο του α (mod n). Παράδειγμα: Η εξίσωση 6 x 1 (mod 13) έχει μοναδική λύση x = 11. Ισχύει (mod 13). Μπορούμε να γράψουμε: Παρατηρήσεις: 6-1 mod n = 11 Ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος υπάρχει αν και μόνο εάν gcd(α,n) = 1. Εάν υπάρχει ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος, είναι μοναδικός
23 Παραδείγματα 6 x = 1 (mod 5) 4 x = 1 (mod 8) 67 Εύρεση Πρώτων Αριθμών 68 Πόσοι είναι οι πρώτοι αριθμοί Θεώρημα του Ευκλείδη Έστω μια λίστα πρώτων αριθμών p 1, p 2,, p n. Ορίζω τον αριθμό p = p 1 p 2 p n + 1 Ο αριθμός p δεν διαιρείται από κανέναν από τους πρώτους αριθμούς της λίστας p 1, p 2,, p n Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: 1. ο p είναι πρώτος αριθμός 2. ο p είναι σύνθετος αριθμός, επομένως υπάρχει πρώτος αριθμός q που δεν ανήκει στη λίστα p 1, p 2,, p n και διαιρεί τον p Επομένως, είτε ισχύει το 1 είτε το 2, έχουμε βρει έναν επιπλέον πρώτο αριθμό για να συμπληρώσουμε τη λίστα. Η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί επ άπειρον. Συμπέρασμα: Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί! 69 23
24 Πυκνότητα πρώτων αριθμών Πυκνότητα των Πρώτων Αριθμών Έστω π(n) η συνάρτηση κατανομής πρώτων που μας δίνει το πλήθος των πρώτων αριθμών που είναι n Αποδεικνύεται ότι (Prime Number Theorem): π ( n) lim n = 1 n ln n Ποια λοιπόν η πιθανότητα, αν επιλέξουμε τυχαία έναν ακέραιο αριθμό αυτός να είναι ΠΡΩΤΟΣ; Η πιθανότητα για αριθμό n είναι 1/lnn Άρα για αριθμό 100 ψηφίων είναι ln( ) δηλ. περίπου 1/ Bernhard Riemann Στην απόδειξη του Prime Number Theorem συνέβαλαν πολλοί σπουδαίοι μαθηματικοί, με κυριότερη τη συμβολή του Riemann Georg Friedrich Bernhard Riemann September 17, 1826 July 20, 1866) πηγή: wikipedia 71 Primality Testing (1) Δίνεται ένας ακέραιος n. Μπορούμε να αποφανθούμε αν είναι πρώτος; Μπορούμε να αποφασίσουμε σε πολυωνυμικό χρόνο εάν είναι πρώτος ή όχι (χωρίς να τον παραγοντοποιήσουμε) Για την παραγοντοποίηση δεν έχει βρεθεί πολυωνυμικός αλγόριθμος (με εξαίρεση το κβαντικό μοντέλο υπολογισμού) 72 24
25 Primality Testing (2) Τυχαιοκρατικός Αλγόριθμος (randomized algorithm) * Ισχύει: n prime Z + n = Zn 1 Μικρό θεώρημα του Fermat: a n 1(mod n) Δοκιμάζουμε για τυχαίες βάσεις α n και εάν επαληθεύεται συνεχώς υποθέτουμε ότι n πρώτος!! Ντετερμινιστικός Αλγόριθμος από Ινδούς ερευνητές: Agrawal, Kayal and Saxena (2002) 73 Θεωρήματα Θεώρημα του Lagrange (Lagrange Theorem in Group Theory) x φ(n) =1 mod n Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Luigi Lagrancia) 25 January April 1813 Πηγή: wikipedia Μικρό Θεώρημα του Fermat x p-1 =1 mod p Pierre de Fermat 1601 (??) 12 January 1665 Πηγή: wikipedia 74 Έλεγχος πρώτου αριθμού Βασική παρατήρηση από Θεωρία αριθμών: Εάν ο p είναι πρώτος αριθμός, τότε για κάθε ακέραιο 0 < α < p, είναι α p-1 mod p = 1. Αυτό ισχύει σπάνια εάν ο p είναι σύνθετος αριθμός
26 Chinese Remainder Theorem Ερώτημα: Υπάρχουν ακέραιοι x που όταν διαιρεθούν με το 3, το 5 και το 7, δίνουν υπόλοιπο 2, 3, και 2 αντίστοιχα; Την απάντηση έδωσε το 100 μ.χ. περίπου ο κινέζος Sun-Tsŭ. 76 Chinese Remainder Theorem Έστω κ αριθμοί n i, i = 1,2,, κ τέτοιοι ώστε να είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους, και n=n 1 n 2 n k. Έστω οι αριθμοί α και β. Υπολογίζουμε τους αριθμούς α i =α mod n i και β i =β mod n i. Έχουμε την αντιστοιχία α (α 1,α 2,,α κ ) β (β 1,β 2,,β κ ) Τότε: (α + b) mod n ((α 1 +β 1 ) mod n 1,,,(α κ + β κ ) mod n k ) (α - b) mod n ((α 1 - β 1 ) mod n 1,,,(α κ - β κ ) mod n k ) (α b) mod n ((α 1 β 1 ) mod n 1,,,(α κ β κ ) mod n k ) 77 Chinese Remainder Theorem Έστω κ αριθμοί n i, i = 1,2,, κ τέτοιοι ώστε να είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους, και n=n 1 n 2 n k. Έστω οι αριθμοί α 1,α 2,,α κ. Τότε υπάρχει αριθμός x που να λύνει το παρακάτω σύστημα εξισώσεων modulo. x α 1 (mod n 1 ) x α 2 (mod n 2 ) x α k (mod n k ) Για το παράδειγμα: x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7) 78 26
27 Chinese Remainder Theorem Έστω κ αριθμοί n i, i = 1,2,, κ τέτοιοι ώστε να είναι ανά δύο πρώτοι μεταξύ τους, και n=n 1 n 2 n k. Κατεύθυνση Από τον αριθμό α μπορούμε εύκολα να βρούμε τα αi χρησιμοποιώντας τον τύπο α i =α mod n i Κατεύθυνση Από τους α 1,α 2,,α κ μπορούμε να βρούμε το α. Η διαδικασία όμως είναι λίγο πιο πολύπλοκη. 79 Εύρεση το α από α i Υπολογίζουμε αριθμούς m i = n / n i, για i=1,2,,κ Επομένως m i είναι το γινόμενο όλων των n j για j i Έστω c i = m i (m i -1 mod n i ), για i = 1,2,, κ Τότε α = (α 1 c 1 +α 2 c 2 + +α κ c κ ) (mod n) Παράδειγμα: α 1 =2, α 2 =3, α 3 =2 n 1 =3, n 2 =5, n 3 =7 m 1 =35, m 2 =21, m 3 =15 m 1-1 mod 3= m 2-1 mod 5= m 3-1 mod 7= c1, c2, c3 α 80 Chinese Remainder Theorem Παράδειγμα: x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) x 2 (mod 7) Λύση: x = 23, καθώς και κάθε αριθμός της ακολουθίας x = k
28 Υπολογισμός Δυνάμεων β a mod n Υπολογίζουμε τη δύναμη αποδοτικά υψώνοντας συνεχώς στο τετράγωνο πολλαπλασιάζοντας με α Παράδειγμα:c=7 9 mod 11, c=c c mod 11 (τρεις φορές διαδοχικά) c=c 7 mod Modular εκθετοποίηση g α =x mod n Δοθέντος α,g είναι εύκολη η εύρεση του x Δοθέντος g,x είναι δύσκολη η εύρεση του a Πρόβλημα διακριτού λογάριθμου Δοθέντος α,x είναι δύσκολη η εύρεση του g, εκτός εάν είναι γνωστή η παραγοντοποίηση του n Πρόβλημα εύρεσης διακριτής ρίζας 83 Υπολογισμός g a =x mod n Νόμοι εκθετοποίησης x a x b =x a+b (x a ) b =x a b 84 28
29 Υπολογισμός g a =x mod n τετραγωνισμός και πολλαπλασιασμός x 13 = x 8 x 4 x 1 = (x 4 ) 2 (x 2 ) 2 x = (x 4 x 2 ) 2 x = ((x 2 ) 2 x 2 ) 2 x = ((x 2 x) 2 ) 2 x δηλ. 5 πολλαπλασιασμοί αντί 12 πολλαπλ. 85 Υπολογισμός g a =x mod n ModularExponentiation(α,β,n) 1. x = 0 2. y = 1 3. Έστω <β κ,β κ-1,...,β 0 > η δυαδική αναπαράσταση του εκθέτη β. 4. for (i = κ; i >=0; i-- ) 5. x = 2 x 6. y = (y y) mod n 7. if (β i == 1) 8. x = x y = (y α) mod n 10. return y Η μεταβλητή x δεν χρησιμοποιείται στην ουσία από τον αλγόριθμο. Έχει τον ακόλουθο ρόλο για την κατανόηση της εξέλιξης του αλγορίθμου: Στο τέλος κάθε επανάληψης το τρέχον αποτέλεσμα y ισούται με y = α x mod n 86 Υπολογισμός g a =x mod n τετραγωνισμός και πολλαπλασιασμός x 13 : σε δυαδική μορφή : 13=(1101) 2 y=1 bit=1 : y1 x, xx 2 bit=0 : x(x 2 ) (x 2 )=x 4 bit=1 : yx x 4, x(x 4 ) (x 4 )=x 8 bit=1 : yx x 4 x 8 = x
30 Αλγόριθμος Diffie-Hellman (που είδαμε νωρίτερα) Συμφωνούμε όλοι στους αριθμούς: p και g Η Αλίκη επιλέγει α και υπολογίζει Α = g α mod n Ο Μπάμπης επιλέγει β και υπολογίζει Β=g β mod n Ανταλλάσσουν τα Α και Β μέσω ενός απροστάτευτου καναλιού επικοινωνίας: Η Αλίκη υπολογίζει k 1 = Β α και ο Μπάμπης k 2 =Α β. Ισχύει k 1 = k 2 = k Όσοι άλλοι άκουσαν τα Ακαι Βδεν μπορούν να βρουν το kαπό αυτά!! Επεκτείνεται και σε 3 ή περισσότερα άτομα 88 Ανταλλαγή κλειδιών κατά Diffie-Hellman Αλίκη 2. (τυχαία) επιλογή α και αποστολή του Α= g α mod p. 3. υπολογισμός του κλειδιού K = Β α mod N. 1. (δημόσια) συμφωνία σε g και modulus p K=Β α =(g β ) α =(g α ) β =Α β =K Μπάμπης 2. (τυχαία) επιλογή β και αποστολή του Β = g β mod p. 3. υπολογισμός του κλειδιού K = Α β mod N. 89 Ασύμμετρη κρυπτογραφία Δύο κλειδιά, δημόσιο e και ιδιωτικό d Μία συνάρτηση (απο)κρυπτογράφησς f() Μονόδρομη συνάρτηση με μυστική πόρτα Μήνυμα m (plaintext) κρυπτογράφηση: c=f e (m) Κρυπτοκείμενο c (ciphertext) αποκρυπτογράφηση: m=f d (c) 90 30
31 RSA Φάση Δημιουργίας Κλειδιών: 1. p, q (δύο μεγάλοι πρώτοι αριθμοί) 2. n = p q 3. e σχετικά πρώτος με το phi(n) = (p-1)(q-1) 4. d = e -1 mod phi(n) 5. P = (e,n) PUBLIC KEY 6. S = (d,n) SECRET KEY Φάση Εφαρμογής του RSA (σε μήνυμα m): ENCRYPT: C = P(m) = m e (mod n) DECRYPT: m = S(C) = C d (mod n) 91 Κρυπτογράφηση RSA τμήματος Το modulus n καθορίζει το (μέγιστο) μέγεθος του τμήματος Πρακτική κρυπτογράφηση: χρήση συνάρτηση αντιστοίχισης πχ: a-->10, b-->11,...,z-->35 αντιστοίχιση του μηνύματος σε έναν ακέραιο διαμερισμός του ακεραίου σε αριθμούς < n Παράδειγμα κρυπτογράφηση stars με e=3, n=1189: stars --> mod 1189 = mod 1189 = mod 1189 = mod 1189 = 512 c = (39,635,1012,512) 31
32 Ορθότητα του RSA Έστω RSA με παραμέτρους p, q, n = p q και phi(n) = (p-1) (q-1) και ζεύγος κλειδιών δημόσιο κλειδί (e,n) μυστικό κλειδί (d,n) Έστω μήνυμα m Τότε c = m e (mod n) και το αποτέλεσμα της αποκρυπτογράφησης είναι c d (mod n) = m ed (mod n) Θα δείξουμε ότι m ed (mod n) = m 94 m ed (mod n) = m Τα e και d είναι πολλαπλασιαστικοί αντίστροφοι mod phi(n), με phi(n)=(p-1) (q-1) Επομένως e d = 1 (mod phi(n)) ή ισοδύναμα e d = 1 + k (p-1) (q-1), για κάποιο κατάλληλο k. Θα δείξουμε ότι m ed = m (mod p) Eάν m = 0 (mod p) τότε και m ed = 0 (mod p) Εάν m 0 (mod p) τότε m ed =m (m p-1 ) k(q-1) (mod p) =m ( (m mod p) p-1 ) k(q-1) (mod p) =m ( 1 ) k(q-1) (mod p) =m (mod p) Όμοια προκύπτει ότι m ed = m (mod q) Οι αριθμοί p και q είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους (έτσι και αλλιώς, αφού είναι πρώτοι αριθμοί) Επομένως εφαρμόζεται το Chinese Remainder Theorem n 1 =p, n 2 =q, n = n 1 n 2 και παίρνουμε m ed = m (mod n) 95 Ασφάλεια του RSA Η ασφάλεια αλλά και η πρακτικότητα του RSA βασίζονται στις παρακάτω διαπιστώσεις/υποθέσεις: Είναι υπολογιστικά εφικτό να βρεθούν πολύ μεγάλοι (πχ ή 2048 bits) τυχαίοι πρώτοι αριθμοί Δεν είναι υπολογιστικά εφικτό (μέχρι σήμερα) να παραγοντοποιηθούν ακέραιοι που ισούνται με το γινόμενο πολύ μεγάλων πρώτων αριθμών 96 32
33 ElGamal ElGamal cryptosystem: Πιθανοκρατικό Κρυπτοσύστημα Δημοσίου Κλειδιού Ο αλγόριθμος ElGamal μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του RSA Πιθανόν ασφαλέστερος Η ασφάλεια του βασίζεται σε πρόβλημα σχετικό με τον υπολογισμό του διακριτού λογαρίθμου (discrete logarithm) Επίσης δημοφιλές είναι το Paillier cryptosystem 97 ElGamal Πιθανοκρατική κρυπτογράφηση (probabilistic encryption): Το ίδιο αρχικό μήνυμα κρυπτογραφείται κάθε φορά σε διαφορετικό κρυπτοκείμενο. Πλεονέκτημα: Ακόμα και εάν κάποιος υποψιάζεται το περιεχόμενο ενός κρυπτογραφημένου μηνύματος δεν μπορεί να επαληθεύσει ότι είναι πράγματι αυτό (χρησιμοποιώντας μόνο το δημόσιο κλειδί). Μειονέκτημα του ElGamal: Το κρυπτοκείμενο που παράγει ο ElGamal είναι διπλάσιο σε μέγεθος από το αρχικό κείμενο. 98 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα του ερωτήματος εάν ένας ακέραιος αριθμός πρώτος ή σύνθετος; Απαντιέται σε πολυωνυμικό χρόνο Παραγοντοποίηση ενός σύνθετου ακεραίου αριθμού Δεν έχει βρεθεί πολυωνυμικός αλγόριθμος Όμως, ΔΕΝ είναι NP-Complete 99 33
34 Κβαντικοί Υπολογιστές Στο μοντέλο του κβαντικού υπολογισμού υπάρχει πολυωνυμικός αλγόριθμος που παραγοντοποιεί ακέραιους αριθμούς!! Έχουν υλοποιηθεί στοιχειώδεις κβαντικοί υπολογιστές (μερικών bit) σε περιβάλλον εργαστηρίου Άμεσα αλλά και μεσοπρόσθεσμα δε φαίνεται να μπορούν να κατασκευαστούν πρακτικά χρήσιμοι κβαντικοί υπολογιστές 100 Πηγές/Αναφορές Κεφάλαιο 31 Number-Theoretic Algorithms από το βιβλίο Introduction to Algorithms, T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein, Second Edition, MIT Press, 2001 Θεωρία Αριθμών (Κεφάλαιο 2), Τεχνικές Κρυπτογραφίας & Κρυπτανάλυσης, Κάτος, Στεφανίδης, Εκδ. Ζυγός, Διαφάνειες Β. Κάτου, Επίκ. Καθηγητή ΔΠΘ Σύγχρονη Κρυπτογραφία Θεωρία και Εφαρμογές, Κεφάλαια 2 και
Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠαύλος Εφραιμίδης. Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας. Ασφ Υπολ Συστ
Παύλος Εφραιμίδης Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας Ασφ Υπολ Συστ 1 Βασικές υπηρεσίες/εφαρμογές κρυπτογραφίες: Confidentiality, Authentication, Integrity, Non- Repudiation Βασικές έννοιες κρυπτογραφίας 2 3
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA
Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo
Διαβάστε περισσότεραΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Δ Εξάμηνο
ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Δ Εξάμηνο Ασύμμετρη Κρυπτογράφηση (Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού) Διδάσκων : Δρ. Παρασκευάς Κίτσος Επίκουρος Καθηγητής e-mail: pkitsos@teimes.gr, pkitsos@ieee.org
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Ασύμμετρη Κρυπτογραφία. Χρήστος Ξενάκης
Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Ασύμμετρη Κρυπτογραφία Χρήστος Ξενάκης Ασύμμετρη κρυπτογραφία Μονόδρομες συναρτήσεις με μυστική πόρτα Μια συνάρτηση f είναι μονόδρομη, όταν δοθέντος
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραCryptography and Network Security Chapter 9. Fifth Edition by William Stallings
Cryptography and Network Security Chapter 9 Fifth Edition by William Stallings Chapter 9 Κρυπτογραφια Δημοσιου Κλειδιου και RSA Every Egyptian received two names, which were known respectively as the true
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ζωή Παρασκευοπούλου Νίκος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ιστορία Ασύμμετρης Κρυπτογραφίας Η αρχή έγινε το 1976 με την εργασία των Diffie-Hellman
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Χρήστος Κούτρας Γιώργος
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Δημήτριος Μπάκας Αθανάσιος
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότερα2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (15 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2013-2014 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Ε. Μαρκάκης Πρόβληµα 1 (5 µονάδες) 2 η Σειρά Ασκήσεων Προθεσµία Παράδοσης: 19/1/2014 Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Διαιρετότητα Ορισμός
Διαβάστε περισσότεραΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ
ΕΥΡΕΣΗ ΜΕΓΙΣΤΟΥ ΚΟΙΝΟΥ ΔΙΑΙΡΕΤΗ Το πρόβλημα: Δεδομένα: δύο ακέραιοι a και b Ζητούμενο: ο μέγιστος ακέραιος που διαιρεί και τους δύο δοσμένους αριθμούς, γνωστός ως Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης τους (Greatest
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών
Ε Μ Π Σ Ε Μ & Φ Ε Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Κωστής Γ Διδάσκοντες: Στάθης Ζ Άρης Π 9 Δεκεμβρίου 2011 1 Πιθανές Επιθέσεις στο RSA Υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραa = a a Z n. a = a mod n.
Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ 1
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ
14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,
Διαβάστε περισσότερακρυπτογραϕία Ψηφιακή ασφάλεια και ιδιωτικότητα Γεώργιος Σπαθούλας Msc Πληροφορική και υπολογιστική βιοιατρική Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
κρυπτογραϕία Ψηφιακή ασφάλεια και ιδιωτικότητα Γεώργιος Σπαθούλας Msc Πληροφορική και υπολογιστική βιοιατρική Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ιδιότητες ασϕάλειας ιδιότητες ασϕάλειας αγαθών Εμπιστευτικότητα (Confidentiality)
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία
Κεφάλαιο 9 Αλγεβρικές Δομές και Αριθμοθεωρία 9.1 Εισαγωγή Θα παρουσιάσουμε κάποια στοιχεία από Θεωρία Αριθμών και ελάχιστα από Θεωρία Ομάδων. Οι γνώσεις αυτές είναι οι ελάχιστες απαραίτητες για την κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότερα6 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
6 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ 6.1. Εισαγωγή Οι σύγχρονες κρυπτογραφικές λύσεις συμπεριλαμβάνουν κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού ή αλλιώς, ασύμμετρη κρυπτογραφία. Η ασύμμετρη κρυπτογραφία βασίζεται αποκλειστικά
Διαβάστε περισσότεραEl Gamal Αλγόριθμος. Κώστας Λιμνιώτης Κρυπτογραφία - Εργαστηριακό μάθημα 7 2
Κρυπτογραφία Εργαστηριακό μάθημα 7 (Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού) α) El Gamal β) Diffie-Hellman αλγόριθμος για την ανταλλαγή συμμετρικού κλειδιού κρυπτογράφησης El Gamal Αλγόριθμος Παράμετροι συστήματος:
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα 2 (12 µονάδες)
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ, 2015-2016 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Ε. Μαρκάκης, Θ. Ντούσκας Λύσεις 2 ης Σειράς Ασκήσεων Πρόβληµα 1 (12 µονάδες) 1) Υπολογίστε τον
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3
ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Lab 3 Η Aσύμμετρη Kρυπτογραφία ή Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού χρησιμοποιεί δύο διαφορετικά κλειδιά για την κρυπτογράφηση και αποκρυπτογράφηση. Eπινοήθηκε στο τέλος της δεκαετίας
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2011-2012 Μαριάς Ιωάννης Μαρκάκης Ευάγγελος marias@aueb.gr markakis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραΔιαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία. Ακέραια διαίρεση. Διαιρετότητα. ΜΚΔ: χρήσιμες ιδιότητες
Διαιρετότητα Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών H διαιρετότητα
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 1: Εισαγωγή- Χαρακτηριστικά Παραδείγματα Αλγορίθμων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραβ) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1
Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού II Αλγόριθμος RSA
Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού II Αλγόριθμος RSA Τμήμα Μηχ. Πληροφορικής ΤΕΙ Κρήτης Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού -RSA 1 Κρυπτογραφία Δημόσιου Κλειδιού - Ιστορία Ηνωμένες Πολιτείες 1975: Ο Diffie οραματίζεται
Διαβάστε περισσότεραΨευδο-τυχαιότητα. Αριθµοί και String. Μονόδροµες Συναρτήσεις 30/05/2013
Ψευδο-τυχαιότητα Συναρτήσεις µιας Κατεύθυνσης και Γεννήτριες Ψευδοτυχαίων Αριθµών Παύλος Εφραιµίδης 2013/02 1 Αριθµοί και String Όταν θα αναφερόµαστε σε αριθµούς θα εννοούµε ουσιαστικά ακολουθίες από δυαδικά
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή 2. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές 3. Οι κρυπταλγόριθμοι και οι ιδιότητές τους
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή... 1 1.1. Ορισμοί και ορολογία... 2 1.1.1. Συμμετρικά και ασύμμετρα κρυπτοσυστήματα... 4 1.1.2. Κρυπτογραφικές υπηρεσίες και πρωτόκολλα... 9 1.1.3. Αρχές μέτρησης κρυπτογραφικής
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματ
Γενικά Μία μέθοδος κρυπτογραφίας δημοσίου κλειδιού Αντί για δακτύλιους της μορφής Z n χρησιμοποιεί ελλειπτικές καμπύλες ορισμένες σε πεπερασμένα σώματα Βασίζεται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου Αυξημένη
Διαβάστε περισσότεραproject RSA και Rabin-Williams
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών project RSA και Rabin-Williams Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών& Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Ονοματεπώνυμο Σπουδαστών: Θανάσης Ανδρέου
Διαβάστε περισσότεραΑσφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων
Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστημάτων Κρυπτογραφία/Ψηφιακές Υπογραφές Διάλεξη 2η Δρ. Β. Βασιλειάδης Τμ. Διοίκησης Επιχειρήσεων, ΤΕΙ Δυτ. Ελλάδας Kρυπτανάλυση Προσπαθούμε να σπάσουμε τον κώδικα. Ξέρουμε το
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2015-2016 Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@aueb.gr Ντούσκας Θεόδωρος tntouskas@aueb.gr
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός της δύναμης z=x b modn
Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Stream ciphers Η διαδικασία κωδικοποίησης για έναν stream cipher συνοψίζεται παρακάτω: 1.
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ 1 Το Κρυπτοσύστηµα RSA Η ιδέα της κρυπτογραφίας δηµοσίου κλειδιού παρουσιάσθηκε για πρώτη φορά το 1976 από τους Dffe και Hellman Ένα χρόνο αργότερα, οι R L Rvest, A Shamr
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 21. Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και πιστοποίηση ταυτότητας μηνυμάτων
Κεφάλαιο 21 Κρυπτογραφία δημόσιου κλειδιού και πιστοποίηση ταυτότητας μηνυμάτων Κρυπτογράφηση δημόσιου κλειδιού RSA Αναπτύχθηκε το 1977 από τους Rivest, Shamir και Adleman στο MIT Ο πιο γνωστός και ευρέως
Διαβάστε περισσότεραΟικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ.
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Πληροφορικής ΠΜΣ στα Πληροφοριακά Συστήματα Κρυπτογραφία και Εφαρμογές Διαλέξεις Ακ. Έτους 2011-2012 Μαριάς Ιωάννης marias@aueb.gr Μαρκάκης Ευάγγελος markakis@gmail.com
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ
KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΥΠΟΓΡΑΦΕΣ 1 Γενικά Η ψηφιακή υπογραφή είναι µια µέθοδος ηλεκτρονικής υπογραφής όπου ο παραλήπτης ενός υπογεγραµµένου ηλεκτρονικού µηνύµατος µπορεί να διαπιστώσει τη γνησιότητα του,
Διαβάστε περισσότεραThreshold Cryptography Algorithms. Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος Τεχνολογίες Υπολογιστικού Νέφους
Threshold Cryptography Algorithms Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος Τεχνολογίες Υπολογιστικού Νέφους Ορισμός Το σύστημα το οποίο τεμαχίζει ένα κλειδί k σε n τεμάχια έτσι ώστε οποιοσδήποτε συνδυασμός πλήθους
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας
Βασικές Έννοιες Κρυπτογραφίας Παύλος Εφραιμίδης Κρυπτογραφία Βασικές Έννοιες 1 Τι θα μάθουμε Obscurity vs. Security Βασικές υπηρεσίες κρυπτογραφίας: Confidentiality, Authentication, Integrity, Non- Repudiation
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνοσεμφε 2η ενότητα: Αλγοριθμικές τεχνικές, αριθμητικοί υπολογισμοί Διδάσκοντες Θεωρία: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής Εργαστήριο: Δώρα Σούλιου Βοηθός διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Ελένη Μπακάλη Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ψηφιακές Υπογραφές Ορίζονται πάνω σε μηνύματα και είναι αριθμοί που εξαρτώνται από κάποιο
Διαβάστε περισσότεραbca = e. H 1j = G 2 H 5j = {f G j : f(0) = 1}
Αλγεβρα Ι, Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Το [Α] συμβολίζει το φυλλάδιο ασκήσεων που θα βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος επιλέγοντας «Άλλες Ασκήσεις». 1. Πόσες
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών «Ο Αλγόριθµος της ιαίρεσης» Αριθµητική Υπολοίπων 0 r < d και a = d q +r
ιαιρετότητα Στοιχεία Θεωρίας Αριθµών ο a διαιρεί τον b: συµβολισµός: a b Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς a b και a c a (b + c) a b a bc, για κάθε c Z +
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρια Αριθµων Προβληµατα
Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑ Δ Ι. Παρασκευή 15 Νοεμβρίου Ασκηση 1. Να ευρεθεί η τάξη τού στοιχείου a τής ομάδας (G, ), όπου. (4) a = ( 1 + i 3)/2, (G, ) = (C, ),
Α Δ Ι Α - Φ 4 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 15 Νοεμβρίου
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία ηµόσιου Κλειδιού Η µέθοδος RSA. Κασαπίδης Γεώργιος -Μαθηµατικός
Κρυπτογραφία ηµόσιου Κλειδιού Η µέθοδος RSA Τον Απρίλιο του 977 οι Ρόναλντ Ρίβεστ, Άντι Σαµίρ και Λέοναρντ Άντλεµαν, ερευνητές στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασσαχουσέτης (ΜΙΤ) µετά από ένα χρόνο προσπαθειών
Διαβάστε περισσότεραΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΤΕΙ Κρήτης ΕΠΠ Εργαστήριο Ασφάλεια Πληροφοριακών Συστηµάτων ΑΣΥΜΜΕΤΡΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΤΕΙ Κρητης Τµηµα Εφαρµοσµενης Πληροφορικης Και Πολυµεσων Fysarakis Konstantinos, PhD kfysarakis@staff.teicrete.gr Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Διοικητικά του μαθήματος Διδάσκοντες Στάθης Ζάχος Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας (2017-18) Βοηθοί διδασκαλίας Παναγιώτης Γροντάς
Διαβάστε περισσότεραΑναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε»
Αναδρομικές Σχέσεις «ιαίρει-και-βασίλευε» ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαίρει-και-βασίλευε
Διαβάστε περισσότεραF 5 = (F n, F n+1 ) = 1.
Λύσεις Θεμάτων Θεωρίας Αριθμών 1. (α) Να δειχθεί ότι ο πέμπτος αριθμός της μορφής Fermat, δηλαδή ο F 5 2 25 + 1 διαιρείται από το 641. (β) Εστω F n η ακολουθία των αριθμών Fermat, δηλαδή F n 2 2n + 1,
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Θεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία Κωνσταντινίδης Ορέστης Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Επιβλέπων καθηγητής: Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραf(t) = (1 t)a + tb. f(n) =
Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία
Κεφάλαιο 4 Υπολογιστικά Προβλήματα και Αλγόριθμοι στην Κρυπτογραφία Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε βασικούς αλγόριθμους που σχετίζονται με έννοιες της Θεωρίας Αριθμών και έχουν άμεση εφαρμογή στην κρυπτογραφία.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει-και-Βασίλευε. Διαίρει-και-Βασίλευε. MergeSort. MergeSort. Πρόβλημα Ταξινόμησης: Είσοδος : ακολουθία n αριθμών (α 1
Διαίρει-και-Βασίλευε Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαίρει-και-Βασίλευε Γενική μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΝα γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ρητοί και ποιοι άρρητοι;
Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί, Άρρητοι, Πραγματικοί, Απόλυτη Τιμή, Ομόσημοι, Ετερόσημοι, Αντίθετοι, Αντίστροφοι. Να γράψετε 5 φυσικούς αριθμούς ξεκινώντας από τον μικρότερο. Ποιοι αριθμοί λέγονται ακέραιοι;
Διαβάστε περισσότεραΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ)
ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ(Θ) Ενότητα 5: ΑΣΦΑΛΕΙΑ & ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΧΕΙΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.
Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
Διαβάστε περισσότερα4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότερα