Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου χειμερινού εξαμήνου (Ιούνιος 2014)

Transcript

1 Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικς περιόδου χειμερινού εξαμνου (Ιούνιος 2014) ΘΕΜΑ 1 Ο (2,0 μονάδες) Να σχεδιαστεί το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα του για τον ηλεκτρικό θερμοσίφωνα του σχματος. Είσοδος (κρύο νερό) Έξοδος (ζεστό νερό) νερό Αισθητριο Θερμοκρασίας Ηλεκτρικ Αντίσταση Θερμοστάτης (Διμεταλλικός Διακόπτης) Ρυθμιστς Θερμοκρασίας Αναφοράς Λύση Ένα σύστημα ελέγχου κλειστού βρόχου με ενεργοποιητ περιγράφεται γενικά από το παρακάτω δομικό λειτουργικό διάγραμμα: Είσοδος (σμα εισόδου αναφοράς) _ Σφάλμα Διάταξη ελέγχου Ενεργοποιητς Ελεγχόμενη Διεργασία (Σύστημα) Έξοδος (ελεγχόμενη μεταβλητ) Αισθητρας (Μέτρηση εξόδου) Σμα ανάδρασης Στην περίπτωση του ηλεκτρικού θερμοσίφωνα το ελεγχόμενο σύστημα είναι το νερό, η διάταξη ελέγχου είναι ο θερμοστάτης, ο ενεργοποιητς είναι η ηλεκτρικ αντίσταση (που θερμαίνει το νερό) και η μέτρηση της εξόδου γίνεται με το αισθητριο θερμοκρασίας. Επομένως, το ζητούμενο δομικό λειτουργικό διάγραμμα είναι το παρακάτω: θ 0 Θερμοκρασία αναφοράς θ Θερμοστάτης Ηλεκτρικ αντίσταση Νερό θ Θερμοκρασία νερού Αισθητριο θερμοκρασίας ΘΕΜΑ 2 Ο (3,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστματος ελέγχου κλειστού βρόχου. α. Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς / του συστματος με κατάλληλους μετασχηματισμούς του δομικού διαγράμματος (1,5 μον.). β. Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο διάγραμμα ρος σημάτων του δομικού διαγράμματος του σχ. 1 και να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογ του κανόνα του Mason (1,5 μον.). F2(s) G1(s) G2(s) G3(s) F1(s)

2 Λύση α. Υπάρχουν διάφοροι μετασχηματισμοί που μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ενδεικτικά παρουσιάζεται η παρακάτω σειρά: F 2 (s) G 2 (s) G 3 (s) F 1 (s) F 2 (s) G 2 (s) G 3 (s) 1/G 3 (s) F 1 (s) F 2 (s) G 2 (s)g 3 (s) 1/G 3 (s) F 1 (s) G 2 (s)g 3 (s) / [1 F 2 (s)g 2 (s)g 3 (s)] F 1 (s) 1/G 3 (s) G 2 (s)g 3 (s) / [1 F 2 (s)g 2 (s)g 3 (s)] F 1 (s) 1/G 3 (s)

3 Επομένως: β. Ορίζουμε τα σματα στο δομικό διάγραμμα, τα οποία θα αντιστοιχούν στους κόμβους του διαγράμματος ρος σημάτων: R 2(s) F 2(s) E 1(s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) E 5(s) G 1(s) G 2(s) G 3(s) E 5(s) R 1(s) F 1(s) Οι εξισώσεις του συστματος είναι: = E 5 (s)g 3 (s) E 5 (s) = E 4 (s)g 2 (s) E 4 (s) = E 3 (s) R 2 (s) = E 3 (s) F 2 (s) E 3 (s) = E 2 (s) E 2 (s) = E 1 (s) E 5 (s) E 1 (s) = Χ(s) R 1 (s) = Χ(s) F 1 (s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: F 2 (s) 1 E 1 (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) E 5 (s) 1 1 G 2 (s) G 3 (s) 1 F 1 (s)

4 Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος, ο E 1 (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s), με απολαβ: Q 1 (s) = G 2 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι: Βρόχος 1: E 1 (s)e 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e 1 (s), Βρόχος 2: E 2 (s)e 3 (s)e 4 (s)e 5 (s)e 2 (s), και Βρόχος 3: E 4 (s)e 5 (s)e 4 (s), με απολαβές αντίστοιχα: B 1 (s) = G 2 (s)g 3 (s)[f 1 (s)] = G 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) B 2 (s) = G 2 (s)(1) = G 2 (s) B 3 (s) = G 2 (s)g 3 (s)[f 2 (s)] = G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) Παρατηρούμε ότι, όλοι οι βρόχοι ανά δύο, έχουν κοινούς κόμβους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: Δ(s) = 1 ΣL1 = 1 [B 1 (s) B 2 (s) B 3 (s)] = = 1 [ G 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 2 (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s)] = = 1 G 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 2 (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) Επίσης παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι, αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επομένως: Δ 1 (s) = 1 Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολικ συνάρτηση μεταφοράς του συστματος είναι: ΘΕΜΑ 3 Ο (4,0 μονάδες) Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστματος περιγράφεται από τη διαφορικ εξίσωση: y (t) 4y (t) 3y(t) = x(t) όπου x(t) η είσοδος και y(t) η έξοδος του συστματος. Να προσδιοριστούν: α. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστματος (1,0 μον.). β. Η κρουστικ απόκριση του συστματος (1,5 μον.). γ. Η βηματικ απόκριση του συστματος με αρχικές συνθκες y(0) = 1 και y (0) = 1 (1,5 μον.).

5 Λύση α. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικς εξίσωσης έχουμε: [ ] Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστματος είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: Η χαρακτηριστικ εξίσωση του συστματος είναι: β. Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστματος: Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Από τη σχέση αυτ προκύπτουν τα ακόλουθα: Επομένως: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστματος με μηδενικές αρχικές συνθκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικς απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστικ απόκριση του συστματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): [ ] [ ] [ ] [ ]

6 Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστικ απόκριση του συστματος θα είναι: h(t)= γ. Η διαφορικ εξίσωση του συστματος για βηματικ είσοδο είναι η εξς: και οι αρχικές συνθκες που δίνονται είναι: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: [ ] Άρα η θα είναι: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: [ ] [ ] Επομένως: [ ] και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματικ απόκριση είναι:

7 ΘΕΜΑ 4 Ο (3,0 μονάδες) Δίνεται σύστημα κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητικ ανάδραση και απολαβ απευθείας κλάδου: G(s) = k/[s 3 (3 k)s 2 6s 4] Να προσδιοριστούν: α. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστματος (1,0 μον.). β. Να υπολογιστεί το κατάλληλο εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές, με εφαρμογ του κριτηρίου ευστάθειας του Routh (2,0 μον.). Λύση α. Το δομικό λειτουργικό διάγραμμα του συστματος κλειστού βρόχου με μοναδιαία αρνητικ ανάδραση είναι το ακόλουθο: G(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστματος είναι: Και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: β. Ο πίνακας Routh του συστματος είναι ο ακόλουθος: όπου και s s 2 (3k) (4k) s 1 b 1 0 s 0 c 1 0 Για να είναι το σύστημα ευσταθές θα πρέπει όλα τα στοιχεία της πρώτης στλης του πίνακα Routh να είναι ομόσημα και στην προκείμενη περίπτωση, αφού ο συντελεστς του s 3 είναι θετικός, να είναι όλα θετικοί αριθμοί. Επομένως θα πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα: (3 k) > 0, (14 7k) > 0 και (4 k) > 0 Από τις ανισότητες προκύπτει ότι: k < 3, k < 2 και k > 4. Άρα, το κατάλληλο εύρος τιμών του k ώστε το σύστημα να είναι ευσταθές είναι: 4 < k < 2.