Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Transcript

1 Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να αναλύσουμε τις σχέσεις που υφίστανται μεταξύ των διαφόρων μεταβλητών του συστήματος και να καταλήξουμε σε κάποιο μαθηματικό μοντέλο. Τα περισσότερα από τα συστήματα που εξετάζουμε είναι δυναμικά συστήματα, δηλαδή συστήματα των οποίων τα μεγέθη (οι μεταβλητές) είναι συναρτήσεις του χρόνου και οι εξισώσεις που τα περιγράφουν περιλαμβάνουν μεταβολές αυτών των μεγεθών (παραγώγους ως προς το χρόνο). Επομένως τα συστήματα αυτά περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις. Συνήθως τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν πολυπλοκότητα και συχνά δεν γνωρίζουμε διάφορους σημαντικούς παράγοντας. Αυτό μας αναγκάζει να κάνουμε υποθέσεις σχετικά με τη λειτουργία τους. Στις περιπτώσεις αυτές μελετούμε αρχικά το φυσικό σύστημα, στη συνέχεια εισάγουμε μερικές αναγκαίες υποθέσεις ή παραδοχές και τέλος κάνουμε γραμμικοποίηση του συστήματος. Γραμμικοποίηση είναι η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους διάφορους φυσικούς νόμους με τη βοήθεια των οποίων περιγράφεται το αντίστοιχο γραμμικό ισοδύναμο του συστήματος που εξετάζουμε, λαμβάνομε ένα σύνολο από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ο λόγος που κάνουμε αυτή τη διαδικασία είναι ότι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις επιλύονται εύκολα με τη βοήθεια διαφόρων μαθηματικών εργαλείων, όπως ο μετασχηματισμός Laplace. Σε πολλές περιπτώσεις η πολυπλοκότητα του συστήματος δεν επιτρέπει τη γραμμικοποίηση ή οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία τους δεν έχουν αναλυτική λύση. Για τη μελέτη τέτοιων συστημάτων προσφεύγουμε στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων και την επίλυσή τους με αριθμητικές προσεγγιστικές μεθόδους με τη χρήση Η/Υ. Κατά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων ακολουθούμε συνήθως τα ακόλουθα βήματα: 1. Ορίζουμε το σύστημα και τα στοιχεία που το αποτελούν. 2. Διατυπώνουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και τις οποιεσδήποτε υποθέσεις ή παραδοχές κρίνονται απαραίτητες. 3. Γράφουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του συστήματος και, εάν είναι απαραίτητο, τις γραμμικοποιούμε. 4. Επιλύουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές εξόδου. 5. Εξετάζουμε και επαληθεύουμε τις λύσεις που προκύπτουν και τις παραδοχές που έχουμε κάνει. 6. Εάν τα αποτελέσματα δεν είναι ικανοποιητικά, αναλύουμε και σχεδιάζουμε το σύστημα από την αρχή. 1

2 Γενικά, μαθηματικό μοντέλο ενός φυσικού συστήματος είναι η μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη ενός συστήματος και εκφράζει κατά προσέγγιση τη συμπεριφορά ή την εσωτερική κατάσταση του συστήματος. x n (t) φυσική είσοδος Φυσικό σύστημα y m (t) φυσική έξοδος x(t) Μαθηματικό μέγεθος εισόδου g Μαθηματική σχέση y(t) Μαθηματικό μέγεθος εξόδου Εάν η μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα είναι αλγεβρική, τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής: f(x, y) = 0 ή μια αλγεβρική σχέση, που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης, της μορφής: y = g(x) Αν τα μεγέθη που εξετάζουμε είναι συναρτήσεις του χρόνου (x = x(t), y = y(t)) και στη μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα εμφανίζονται οι μεταβολές των μεγεθών αυτών (δηλαδή οι παράγωγοί τους ως προς το χρόνο), τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση. x(t) g Διαφορική εξίσωση y(t) Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής: f(x(t), x (t), x (t),, x (m) (t), y(t), y (t), y (t),,y (n) (t)) = 0 Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αντίστασης R, με τάση εισόδου v(t) και ένταση ρεύματος i(t), έχει μαθηματικό μοντέλο: και ένα σώμα μάζας Μ που δέχεται μια εξωτερική δύναμη f(t) και κινείται με επιτάχυνση γ(t), έχει μαθηματικό μοντέλο: 2

3 Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό όταν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή: εάν η είσοδος x 1 (t) προκαλεί έξοδο y 1 (t) και η είσοδος x 2 (t) προκαλεί έξοδο y 2 (t), τότε η είσοδος c 1 x 1 (t) c 2 x 2 (t) θα προκαλεί έξοδο c 1 y 1 (t) c 2 y 2 (t) για όλες τις εισόδους x 1, x 2 και όλους τους συντελεστές c 1, c 2. Ένα γραμμικό σύστημα έχει ως μαθηματικό μοντέλο μια γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής: Τάξη της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ο βαθμός n της μεγαλύτερης παραγώγου της εξόδου y(t) του συστήματος που περιέχεται στην εξίσωση. Στα φυσικά συστήματα είναι συνήθως n m. Η διαφορική εξίσωση αποτελεί μια μαθηματική παράσταση της εξωτερικής συμπεριφοράς του συστήματος, δηλαδή της σχέσης εισόδου εξόδου του συστήματος και ονομάζεται σχέση μεταφοράς του συστήματος. Οι συντελεστές a 0, a 1,, a n χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά του ίδιου του συστήματος και ονομάζονται συντελεστές του συστήματος. Οι συντελεστές b 0, b 1,, b m χαρακτηρίζουν την επίδραση της εισόδου στο σύστημα και ονομάζονται συντελεστές εισόδου. Τα σταθερά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα χρονικά αμετάβλητα συστήματα, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές a 0, a 1,, a n, b 0, b 1,, b m (ανεξάρτητους του χρόνου). Για παράδειγμα, το μαθηματικό μοντέλο ενός αεροπλάνου κατά την πτήση του σε σταθερό ύψος και με χαμηλές ταχύτητες είναι μια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές: Τα μεταβλητά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα που μεταβάλλονται χρονικά, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές a 0 (t), a 1 (t),, a n (t), b 0 (t), b 1 (t),, b m (t) (δηλαδή τα a i (t), b j (t) είναι συναρτήσεις του χρόνου). Για παράδειγμα, οι συντελεστές συστήματος a i του αεροπλάνου μεταβάλλονται ανάλογα με το ύψος και την ταχύτητα πτήσης, έτσι ώστε το αεροπλάνο να θεωρείται γενικά χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα, με χρονικά μεταβαλλόμενο μαθηματικό μοντέλο: Τα μη γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα στα οποία δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, έχουν μαθηματικό μοντέλο μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή 3

4 εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές a i, b j είναι συναρτήσεις των ίδιων των μεγεθών x(t), y(t) ή των παραγώγων τους, για παράδειγμα: Γραμμική προσέγγιση ή γραμμικοποίηση ονομάζεται η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα σε μια ορισμένη περιοχή λειτουργίας του συστήματος. Ένα μη γραμμικό σύστημα μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί γραμμικό μέσα στα όρια μικρών μεταβολών των μεγεθών του, όπως, για παράδειγμα, μια μη γραμμική καμπύλη y = g(x) μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί ευθεία y = ax b μέσα στα μικρά όρια μεταβολών Δx και Δy. y y=axb y=g(x) y 0 Δy Δx 0 x 0 x 2. Μαθηματικό υπόβαθρο 2.1 Βασικά σήματα Τα βασικά σήματα (συναρτήσεις) που έχουν ευρεία εφαρμογή στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι τα παρακάτω: i. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(t) 1 0 ή, στη γενικότερη μορφή της, u(tt) t u(t) = 0, για t<0 u(t) = 1, για t>0 u(t) = απροσδιόριστη για t=0 1 0 T t u(tt) = 0, για t<t u(tt) = 1, για t>t u(tt) = απροσδιόριστη για t=t Για παράδειγμα, με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση μπορούμε να περιγράψουμε τη λειτουργία του διακόπτη σε ένα κύκλωμα (ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή t=t): v(t) DC i(t) t=t v R (t) v R (t) = 0, για t<t v R (t) = v(t), για t>t v R (t) = απροσδιόριστη για t=t Επομένως, v R (t) = v(t)u(tt) 4

5 ii. Μοναδιαία συνάρτηση πύλης g π (t) 1 0 T 1 T 2 t g π (t) = 1, για tϵ(τ 1, Τ 2 ) g π (t) = 1, για tɇ(τ 1, Τ 2 ) g π (t) = απροσδιόριστη για t= Τ 1 και t= Τ 2 Η μοναδιαία συνάρτηση πύλης μπορεί να εκφραστεί ως η διαφορά δύο μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων, g π (t) = u(tt 1 ) u(tt 2 ), με T 1 < T 2 : u(tt 1 ) 1 0 u(tt 2 ) 1 T 1 t g π (t) 0 1 T 2 t 0 T 1 T 2 t Όταν t<t 1 (άρα και t<t 2 ), τότε u(t T 1 ) = 0, u(t T 2 ) = 0, και g π (t) = u(tt 1 ) u(tt 2 ) = 1 0 = 1. Όταν T 1 < t < T 2, τότε u(t T 1 ) = 1, u(t T 2 ) = 0, και g π (t) = u(tt 1 ) u(tt 2 ) = 1 0 = 1. Όταν t>t 2 (άρα και t>t 1 ), τότε u(t T 1 ) = 1, u(t T 2 ) = 1, και g π (t) = u(tt 1 ) u(tt 2 ) = 1 1 = 0. Για παράδειγμα, η μοναδιαία συνάρτηση πύλης χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να απομονώσουμε και στη συνέχεια να μελετήσουμε ένα μόνο τμήμα μιας συνάρτησης: Έστω η συνάρτηση f(t) και y(t) το τμήμα της για tϵ(τ 1, Τ 2 ). Τότε η συνάρτηση y(t) = f(t) g π (t) θα είναι y(t) = 0 για t<t 1 και t>t 2, αφού στα διαστήματα αυτά η συνάρτηση g π (t) = 0, και θα είναι y(t) = f(t) στο διάστημα T 1 < t < T 2 όπου η συνάρτηση g π (t) = 1. iii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) είναι ένα σήμα μοναδιαίου εμβαδού, η οποία μηδενίζεται οπουδήποτε αλλού εκτός από την αρχή των αξόνων: δ(t) 1 δ(t) = 0, για t 0 0 t για t=0 5

6 Για καλύτερη κατανόηση, προσεγγίζουμε τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση με έναν παλμό e(t), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. e(t) 1/a 0 a 0 t e(t) = 0, για t<0 e(t) = 1/a, για 0<t<a e(t) = 0, για t>a Το ολοκλήρωμα της e(t) ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου(1/a)a. H μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) είναι το όριο της e(t) όταν η βάση του παραλληλογράμμου a μηδενίζεται, ενώ ταυτόχρονα το ύψος του 1/a απειρίζεται: Στη γενικότερη μορφή της, η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) ορίζεται ως εξής: δ(tt) 1 δ(tτ) = 0, για t Τ 0 T t για t=τ Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t) είναι η παράγωγος της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(t): και επομένως, Τέλος, μια αξιοσημείωτη ιδιότητα της κρουστικής συνάρτησης είναι η ακόλουθη: Το εμβαδόν (δηλαδή το ολοκλήρωμα) του γινομένου μιας συνάρτησης x(t) με τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, x(t)δ(t), ισούται με x(0), για κάθε συνάρτηση x(t) που είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων: iv. Συνάρτηση αναρρίχησης r(t) 0 45 o t r(t) = 0, για t 0 u(t) = t, για t > 0 ή, στη γενικότερη μορφή της, 6

7 r(tt) 0 T 45 o t r(tt) = 0, για t T r(tt) = t, για t > T Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(tτ) είναι η παράγωγος της συνάρτησης αναρρίχησης r(tτ): και επομένως: v. Εκθετική συνάρτηση f(t)=ae at a>0 A 0 a=0 a<0 t vi. Ημιτονοειδής συνάρτηση f(t)=aημ(ωtθ) A Aημθ 0 t ω/2π Παρατήρηση: Όλες οι συναρτήσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω μπορούν να παραχθούν από την εκθετική συνάρτηση. Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δύο εκθετικών συναρτήσεων: Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση για Τ=0 είναι η εκθετική συνάρτηση για Α=1 και a=0. Οι συναρτήσεις δ(t) και r(t) παράγονται από την u(t), η οποία όπως είπαμε παράγεται από την εκθετική συνάρτηση. 7

8 2.2 Μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρύτατα κατά τη μελέτη και σχεδίαση των συστημάτων αυτόματου ελέγχου και ιδιαίτερα στη μελέτη γραμμικών (μη χρονικά μεταβαλλόμενων) συστημάτων, τα οποία και θα μελετηθούν στη συνέχεια. Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού Laplace είναι η χρήση του στη λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές, αφού την ανάγει σε μία αλγεβρική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί ευκολότερα. Κλασσικό παράδειγμα αποτελεί η εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος εισόδουεξόδου, το οποίο αρχικά περιγράφεται από μια nτάξεως διαφορική εξίσωση, ενώ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace μετατρέπεται σε ένα πηλίκο αθροισμάτων παραγόντων στο πεδίο των συχνοτήτων. Διαφορική εξίσωση L Αλγεβρική εξίσωση Απευθείας επίλυση διαφορικής εξίσωσης με κλασσικές μεθόδους Επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης Λύση διαφορικής εξίσωσης L 1 Λύση αλγεβρικής εξίσωσης Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός με πυρήνα k(s,t) = e st, και διάστημα ολοκλήρωσης (a,b) = (0, ): όπου L το σύμβολο του μετασχηματισμού Laplace, και s = σ jω είναι η μιγαδική μεταβλητή (j 2 = 1), και F(s) η συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace i. Γραμμικότητα: ii. Μετασχηματισμός παραγώγου συνάρτησης: όπου f(0) = f(t=0) iii. Αλλαγή κλίμακας χρόνου: iv. Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου: 8

9 v. Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί t n : vi. Διαίρεση συνάρτησης διά t n : vii. Περιοδικές συναρτήσεις: Δηλαδή f i (t) είναι η f(t) στην πρώτη περίοδο. viii. Μετασχηματισμός ολοκλήρωσης συνάρτησης: Μετασχηματισμός Laplace βασικών συναρτήσεων i. Συνάρτηση μοναδιαίας βαθμίδας: ii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση (Dirac): iii. Συνάρτηση αναρρίχησης: iv. Εκθετική συνάρτηση: 9

10 Επίσης, για έχουμε Ακόμα ισχύει: L[e at f (t)] = F(s a), με L[ f (t)] = F(s) v. Ημιτονική συνάρτηση: vi. Συνημιτονική συνάρτηση: Θεωρήματα Μετασχηματισμού Laplace i. Θεώρημα αρχικής τιμής: ii. Θεώρημα τελικής τιμής: Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται ως εξής: όπου L 1 συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μία μιγαδική σταθερά. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος είναι αρκετά δύσκολος και γι αυτό συνηθίζεται η χρήση πινάκων, οι οποίοι δίνουν τις χρονικές συναρτήσεις βασικών μιγαδικών συναρτήσεων. 10

11 Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s 2 ω 2 ) συνωt s / (s 2 ω 2 ) (t/2ω)sinωt s/( s 2 ω 2 ) 2 e αt ημωt, α>0 ω / [(s α) 2 ω 2 ] e αt συνωt, α>0 (s α) / [(s α) 2 ω 2 ] Στην περίπτωση που για κάποια συνάρτηση ο μετασχηματισμός δεν είναι διαθέσιμος σε πίνακες, επιδιώκεται να εκφραστεί η μιγαδική συνάρτηση F(s) ως άθροισμα κλασματικών συναρτήσεων των οποίων οι παρονομαστές να είναι βασικές μιγαδικές συναρτήσεις οι οποίες υπάρχουν σε πίνακες. Έστω λοιπόν η μιγαδική συνάρτηση: Οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή είναι και ρίζες της συνάρτησης F(s), ενώ οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή ονομάζονται πόλοι της F(s). Έστω λ 1,..., λ n οι ρίζες του πολυωνύμου A(s), δηλαδή οι πόλοι της F(s). Τότε η συνάρτηση F(s) μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα απλών κλασμάτων (ανάπτυξη σε απλά κλάσματα): Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης, θα έχουμε: οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό των συντελεστών c 1, c 2,, c n, αφού: Ανάλογα με τη μορφή των πόλων της F(s), διακρίνουμε τρεις διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού των συντελεστών c i : 11

12 i. Διακεκριμένες πραγματικές ρίζες: Αλγεβρική μέθοδος Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης για την F(s) με τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος: Μετά την εκτέλεση των πράξεων, το πολυώνυμο που θα προκύψει στο δεύτερο μέλος θα είναι nβαθμού και θα πρέπει να είναι κατά ταυτότητα ίσο με το πολυώνυμο B(s). Έτσι προκύπτουν και οι ζητούμενοι συντελεστές c 1, c 2,, c n. Μέθοδος των ορίων κ.ο.κ. ii. Πραγματικές ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας: Έστω, για παράδειγμα, ότι ο παρανομαστής της συνάρτησης F(s) έχει βαθμό πολλαπλότητας τρία: Τότε ισχύει: Οι υπόλοιποι συντελεστές υπολογίζονται με τη μέθοδο των ορίων της προηγούμενης περίπτωσης. iii. Μιγαδικές ρίζες: Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους (συνήθως τη μέθοδος των ορίων) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες. Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης, θα είναι συζυγής του πρώτου συντελεστή. 12

13 3. Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Η περιγραφή συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι η παλιότερη μέθοδος. Είναι μια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και έχει εφαρμογή σε πολλές κατηγορίες συστημάτων, όπως για παράδειγμα τα γραμμικά, τη μη γραμμικά, τα χρονικά μεταβαλλόμενα, με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες κλπ. Η περιγραφή αυτή αποτελείται από το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων περιοριστικών εξισώσεων ενός συστήματος, καθώς και των απαραίτητων αρχικών συνθηκών για τον προσδιορισμό μιας ειδικής λύσης των εξισώσεων. Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου περιγραφής συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι τα γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα (σταθερά) ηλεκτρικά κυκλώματα και δίκτυα. Στην περίπτωση αυτή, τα φυσικά μεγέθη τάση v(t) και ρεύμα i(t) ενός στοιχείου σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (αντίσταση R, επαγωγή L ή χωρητικότητα C). Έτσι έχουμε τις σχέσεις: Όταν πολλά στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους σε ένα σύνθετο δίκτυο, τότε η συμπεριφορά των v(t) και i(t) των στοιχείων περιορίζεται από τους νόμους τάσεων και ρευμάτων του Kirchoff και το πρόβλημα περιγραφής ενός δικτύου με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις συνίσταται στον προσδιορισμό όλων των γραμμικά ανεξάρτητων περιοριστικών ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων του δικτύου. Το πρόβλημα αυτό έχει αντιμετωπιστεί με την ανάπτυξη ειδικών μεθόδων κατάστρωσης των γραμμικά ανεξάρτητων ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων του δικτύου και το συστηματικό τρόπο εκλογής των ανεξάρτητων εξισώσεων βρόχων και κόμβων. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος. v(t) DC t=0 i(t) i L (t) L C vc (t) R Από τον νόμο τάσεων του Kirchoff προκύπτει ότι το κύκλωμα περιγράφεται από την ολοκληρωδιαφορική εξίσωση: και οι αρχικές συνθήκες τη στιγμή t=0 που κλείνει ο διακόπτης Δ είναι i L (0) = I 0 και v C (0) = V 0. 13

14 Η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν μια περιγραφή του κυκλώματος. Παρόμοια, για το δίκτυο του σχήματος, με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchoff στους δύο βρόχους, προκύπτουν δύο ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις: t=0 R 1 R 2 v(t) DC i 1 (t) C vc (t) i 2 (t) L i L (t) με αρχικές συνθήκες i L (0) = I 0 και v C (0) = V 0. Αντίστοιχα, στα γραμμικά μηχανικά συστήματα τα φυσικά μεγέθη ενός στοιχείου είναι η δύναμη f(t) και η ταχύτητα v(t), που σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (μάζα m, αντίσταση B και σταθερά ελατηρίου K) και προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: Ο περιοριστικός νόμος στην περίπτωση αυτή είναι ο νόμος D Alembert, σύμφωνα με τον οποίο το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε μια σημειακή μάζα είναι ίσο με το μηδέν. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το μηχανικό σύστημα του σχήματος, όπου m η μάζα, y η μετατόπιση (απόσταση), Κ η σταθερά του ελατηρίου και B ο συντελεστής τριβής. K B f(t) y(t) Σύμφωνα με τον νόμο του D Alembert προκύπτει η διαφορική εξίσωση του συστήματος: με αρχικές συνθήκες: 14

15 4. Συνάρτηση Μεταφοράς σταθερού γραμμικού συστήματος Ως συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός σταθερού (χρονικά αμετάβλητου) γραμμικού συστήματος ορίζεται ο λόγος (το πηλίκο) του μετασχηματισμού Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εξόδου προς το μετασχηματισμό Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εισόδου, θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες: Η συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται μόνο στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από τη διαφορική εξίσωση που το περιγράφει, λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace και παραλείποντας όλους τους όρους που αφορούν στις αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης, δηλαδή της απόκρισης του συστήματος όταν η είσοδός του είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(t), αφού στην περίπτωση αυτή = L[δ(t)] = 1. Ο παρανομαστής της συνάρτησης μεταφοράς είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, ενώ το πολυώνυμο του αριθμητή είναι το πολυώνυμο εισόδου. Οι ρίζες του παρονομαστή είναι οι πόλοι του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι εκφράζουν τις συχνότητες συντονισμού. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τους πόλους, τότε η έξοδος του συστήματος απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου. Οι ρίζες του αριθμητή είναι τα μηδενικά του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι περιγράφουν τις νεκρές ή αποκόπτουσες συχνότητες. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τα μηδενικά, τότε οι συχνότητες αυτές αποκόπτονται και δεν υπάρχουν στο σήμα εξόδου. Για τον προσδιορισμό της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος αρκεί να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξόδου του, που είναι το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς με το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του συστήματος. Απολαβή συνεχούς ενός συστήματος είναι η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς για s=0 και η φυσική σημασία της είναι ότι για σύστημα του οποίου δεν απειρίζεται η μόνιμη τιμή της απόκρισης σε μοναδιαία βηματική συνάρτηση (απόκριση βαθμίδας) εκφράζεται από την απολαβή συνεχούς. Αρμονική απόκριση ενός συστήματος είναι η μόνιμη τιμή της απόκρισης αυτού σε μια ημιτονοειδή είσοδο. Χαρακτηριστικές παράμετροι της αρμονικής απόκρισης σε ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω είναι το μέτρο και η φάση του συστήματος στην εν λόγω συχνότητα, με την προϋπόθεση ότι η έξοδος δεν απειρίζεται. 15

16 Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι η έννοια της συνάρτησης μεταφοράς περιορίζεται μόνο στη μελέτη των σταθερών γραμμικών δυναμικών συστημάτων που περιγράφονται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και ισχύουν τα παρακάτω: Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που σχετίζεται άμεσα με τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και δίνει πλήρη περιγραφή των δυναμικών χαρακτηριστικών του. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι στην ουσία ιδιότητα του συστήματος και είναι ανεξάρτητη από το μέτρο και τη φάση της εισόδου που εφαρμόζεται στο σύστημα. Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει τη σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος, περιγράφει την εξωτερική συμπεριφορά του και δεν περιέχει καμία πληροφορία για την εσωτερική δομή του συστήματος. Είναι δυνατόν πολλά συστήματα να έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, που σημαίνει ότι έχουν την ίδια συμπεριφορά για είσοδο ίδιας μορφής, αλλά προφανώς δεν είναι ίδια συστήματα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται ανάλογα συστήματα. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι γνωστή, η απόκριση του συστήματος μπορεί να μελετηθεί για διαφορετικές κατηγορίες εισόδων και να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα για τη φύση του συστήματος. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι άγνωστη, μπορούμε να την υπολογίσουμε πειραματικά για δεδομένη συχνότητα εφαρμόζοντας γνωστά σήματα εισόδου και μελετώντας τα αντίστοιχα σήματα εξόδου. Όταν είναι γνωστή η διαφορική εξίσωση ενός συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες, μπορούμε να βρούμε της συνάρτηση μεταφοράς αντικαθιστώντας τον τελεστή παραγώγισης D=d/dt με τη μιγαδική συχνότητα s και τις χρονικές συναρτήσεις με τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Laplace. Παράδειγμα 1: Για το κύκλωμα του σχήματος να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς αν θεωρηθεί ως έξοδος (α) το ρεύμα στο κύκλωμα και (β) η τάση στα άκρα του αντιστάτη. i L (t) v(t) DC i(t) L C vc (t) R Όπως είδαμε, η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση που περιγράφει το κύκλωμα είναι: Θεωρώντας ότι οι αρχικές συνθήκες I 0 και V 0 είναι μηδενικές και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace έχουμε: 16

17 και το κύκλωμα του σχήματος θα είναι το ακόλουθο: Ls V(s) DC I(s) 1/Cs α. Αν θεωρήσουμε ως έξοδο το ρεύμα στο κύκλωμα, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: R β. Αν θεωρήσουμε ως έξοδο την τάση στα άκρα του αντιστάτη, η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Παράδειγμα 2: Για το δίκτυο του σχήματος να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς αν θεωρηθεί ως έξοδος το ρεύμα στον αντιστάτη R 2. R 1 R 2 v(t) DC i 1 (t) C vc (t) i 2 (t) L i L (t) Όπως είδαμε, οι ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το κύκλωμα είναι: Θεωρώντας ότι οι αρχικές συνθήκες I 0 και V 0 είναι μηδενικές και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, προκύπτουν οι ακόλουθες αλγεβρικές εξισώσεις βρόχων: ή 17

18 και ή Το δίκτυο στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας s θα είναι το ακόλουθο: R 1 R 2 V(s) DC I 1 (s) 1/Cs I 2 (s) Ls και η ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς είναι: H(s) = I 2 (s)/v(s). Για να προσδιορίσουμε το I 2 (s), λύνουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς I 1 (s): και αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα αυτό στην πρώτη εξίσωση: Επομένως η ζητούμενη συνάρτηση μεταφοράς είναι: ή Παράδειγμα 3: Να προσδιοριστεί η κρουστική απόκριση h(t) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v(t) η είσοδος του συστήματος και, y (0) = 0 και y(0) =0. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης και δεδομένου ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές, έχουμε: ή Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 18

19 Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Το πολυώνυμο του παρανομαστή έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της ανάπτυξης σε δύο απλά κλάσματα προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. Όμως παρατηρούμε ότι που είναι της μορφής με ω = 1 και α = 1. Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace: Παράδειγμα 4: Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v(t) και y(t) η είσοδος και η έξοδος αντίστοιχα του συστήματος. Να προσδιοριστούν: i. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος. ii. Η κρουστική απόκριση του συστήματος. iii. Η βηματική απόκριση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y (0) = 1 και y(0) = 0. i. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 19

20 και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ii. Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: Επομένως: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: 20

21 iii. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος για βηματική είσοδο είναι η εξής: και οι αρχικές συνθήκες που δίνονται είναι: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: ή Άρα η θα είναι: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: Επομένως: και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: 21

22 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες λειτουργίες. Στο πεδίο της μιγαδικής συχνότητας περιγράφονται από τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς. Τις διατάξεις ανίχνευσης σφαλμάτων που ενεργούν ως σημεία διακλάδωσης και σύγκρισης σημάτων. Συνήθως εκτελούν απλές μαθηματικές πράξεις, όπως πρόσθεση και αφαίρεση, και για το λόγο αυτό συχνά αναφέρονται ως αθροιστές ή σημεία άθροισης. Τους κόμβους ή σημεία λήψης σημάτων. Τα βέλη που συμβολίζουν τη ροή σημάτων. Η έννοια της χρήσης κάθε ενός από τα παραπάνω στοιχεία φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Στο πεδίο του χρόνου οι μεταβλητές συμβολίζονται με πεζά (μικρά) γράμματα, ενώ με κεφαλαία γράμματα συμβολίζονται οι μετασχηματισμοί Laplace των ποσοτήτων αυτών στο πεδίο της συχνότητας. Σήμα εισόδου x(t), Διάταξη ανίχνευσης σφάλματος e(t) = x(t) ± r(t) ± r(t), R(s) E(s) = ± R(s) Δομική μονάδα Περιγραφή λειτουργίας, Συνάρτηση μεταφοράς y(t), Κόμβος ή Σημείο λήψης y(t), Σήμα εξόδου y(t), Όπως γνωρίζουμε, η συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός σταθερού (χρονικά αμετάβλητου) γραμμικού συστήματος ορίζεται στο πεδίο της συχνότητας (πεδίο Laplace) θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες και είναι ο λόγος του μετασχηματισμού Laplace του σήματος εξόδου προς το μετασχηματισμό Laplace του σήματος εισόδου : G(s) = /. Επομένως, η έξοδος μιας δομικής μονάδας (βαθμίδας) ισούται με το γινόμενο της εισόδου επί τη συνάρτηση μεταφοράς: = G(s). Αν έχουμε n δομικές μονάδες (βαθμίδες) συνδεμένες σε σειρά, όπως στο παρακάτω σχήμα, με συναρτήσεις μεταφοράς G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s),, G n (s) αντίστοιχα, τότε το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με μία δομική μονάδα με συνάρτηση μεταφοράς ίση με το γινόμενο των επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς: G = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) G n (s). X 0(s) G 1(s) X 1(s) G 2(s) X 2(s) G 3(s) X 3(s) X n1(s)... G n(s) X n(s) X 0 (s) G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)...g n (s) X n (s) Είναι προφανές ότι ισχύουν τα ακόλουθα: X 1 (s) =G 1 (s)x 0 (s) X 2 (s) =G 2 (s)x 1 (s) = G 2 (s) [G 1 (s)x 0 (s)] X 3 (s) =G 3 (s)x 2 (s) = G 3 (s) [G 2 (s)g 1 (s)x 0 (s)].. X n (s) =G n (s)x n1 (s) = G n (s) [G n1 (s) G 3 (s)g 2 (s)g 1 (s)x 0 (s)] 22

23 Αν έχουμε n δομικές μονάδες (βαθμίδες) συνδεμένες παράλληλα, όπως στο παρακάτω σχήμα, με συναρτήσεις μεταφοράς G 1 (s), G 2 (s), G 3 (s),, G n (s) αντίστοιχα, τότε το σύστημα αυτό είναι ισοδύναμο με μία δομική μονάδα με συνάρτηση μεταφοράς ίση με το άθροισμα των επιμέρους συναρτήσεων μεταφοράς: G = G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) G n (s). X 0(s) G 1(s) X 1(s) X 0(s) X 0(s) X 0(s) G 2(s) G 3(s) X 2(s) X 3(s) X 0(s) G 1(s) G 2(s) G 3(s) G n(s)... X 0(s) G n(s) X n(s) Είναι προφανές ότι ισχύουν τα ακόλουθα: X 1 (s) =G 1 (s)x 0 (s) X 2 (s) =G 2 (s)x 0 (s) X 3 (s) =G 3 (s)x 0 (s).. X n (s) =G n (s)x 0 (s) και Υ(s) = X 1 (s) X 2 (s) X 3 (s) X n (s) = [G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) G n (s)]x 0 (s) 5.1 Κανονική μορφή συστήματος ελέγχου με ανάδραση Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η βασική σύνθεση ενός γραμμικού συστήματος ελέγχου με ανάδραση, όπου όλες οι ποσότητες εμφανίζονται με την μετασχηματισμένη Laplace μορφή τους. Οι ποσότητες G(s) και H(s) είναι οι συναρτήσεις μεταφοράς που αντιστοιχούν στα στοιχεία που παριστάνονται από τις δομικές μονάδες. E(s) = R(s) G(s) Απευθείας κλάδος ή πρόσω διαδρομή Κλάδος ανάδρασης R(s) F(s) Όπου: = = R(s) = E(s) = G(s) = F(s) = G(s)F(s) = / = είσοδος αναφοράς (εντολή) έξοδος (ελεγχόμενη μεταβλητή) σήμα ανάδρασης σήμα διέγερσης (σήμα σφάλματος όταν F(s) = 1) συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου (πρόσω διαδρομής) συνάρτηση μεταφοράς της ανάδρασης συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου ή συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος 23

24 Με βάση τα παραπάνω στοιχεία, για τον υπολογισμό της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού βρόχου H(s) = / έχουμε ότι: R(s) = F(s) = G(s)E(s) = G(s)[ R(s)] = G(s)[ F(s)] = G(s) G(s)F(s) Άρα: ή G(s)F(s) = G(s) [1 F(s)G(s)] = G(s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου δίνεται από τη σχέση: Προφανώς, η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: 1 G(s)F(s) = 0. Μερικές φορές είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε την ποσότητα E(s)/ που είναι η συνάρτηση μεταφοράς του σφάλματος (απόκλισης) προς την είσοδο: Επομένως: 5.2 Σύστημα με μοναδιαία ανάδραση Αν η ανάδραση του συστήματος κλειστού βρόχου είναι F(s) = 1, τότε πλέον αναφερόμαστε σε σύστημα μοναδιαίας αρνητικής ανάδρασης. Κάθε σύστημα μη μοναδιαίας ανάδρασης μπορεί να μετασχηματιστεί σε σύστημα μοναδιαίας ανάδρασης. Ο μετασχηματισμός αυτός τις περισσότερες φορές μπορεί να μην έχει φυσική σημασία, αλλά σαν μαθηματικός μετασχηματισμός διευκολύνει πολύ στη μελέτη του συστήματος. Το ισοδύναμο σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση του κανονικού συστήματος ελέγχου με ανάδραση F(s) 1 είναι το ακόλουθο: G(s) 1/F(s) G(s)F(s) F(s) Κανονικό σύστημα με ανάδραση F(s) 1 Ισοδύναμο σύστημα με μοναδιαία αρνητική ανάδραση Η ισοδυναμία των δύο συστημάτων αποδεικνύεται εύκολα υπολογίζοντας από το δομικό διάγραμμα του ισοδύναμου συστήματος τη συνάρτηση μεταφοράς /: 5.3 Απλοποίηση σύνθετων δομικών διαγραμμάτων Τα περισσότερα συστήματα ελέγχου περιγράφονται από πολυσύνθετα δομικά διαγράμματα. Για τη μελέτη αυτών των συστημάτων μπορούμε πάντα να προβούμε σε 24

25 απλοποίηση των δομικών διαγραμμάτων τους ώστε να καταλήξουμε σε πιο απλό και κατανοητό σύστημα. Τα ισοδύναμα συστήματα που προκύπτουν δεν έχουν κάποια φυσική σημασία αφού η απλοποίηση είναι μόνο μαθηματικός μετασχηματισμός. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι πλέον συνηθισμένοι μετασχηματισμοί. Η συνηθισμένη μεθοδολογία που ακολουθούμαι για την απλοποίηση ενός δομικού διαγράμματος είναι η ακόλουθη: 1. Συνδυάζουμε όλες τις δομικές μονάδες που είναι σε σειρά, καθώς και όλες τις μονάδες που είναι σε παράλληλη σύνδεση. 2. Αναγνωρίζουμε εσωτερικά τοπικά συστήματα κλειστού βρόχου και τους αντικαθιστούμε με τις ισοδύναμες απλές δομικές μονάδες. 3. Προσπαθούμε να μεταφέρουμε όλα τα σημεία άθροισης αριστερά (μπροστά) από τον μεγαλύτερο βρόχο και όλα τα σημεία λήψης δεξιά (μετά) από αυτόν. 4. Επαναλαμβάνουμε τα προηγούμενα βήματα μέχρι να καταλήξουμε σε ένα διάγραμμα κανονικής μορφής. 5. Στην περίπτωση πολλών εισόδων εφαρμόζουμε την αρχή της επαλληλίας (υπέρθεσης): i. Θεωρούμε διαδοχικά μία μόνο είσοδο κάθε φορά και μηδενίζουμε τις υπόλοιπες. ii. Εφαρμόζουμε τους μετασχηματισμούς για την επιλεγμένη κάθε φορά είσοδο και υπολογίζουμε την απόκριση που οφείλεται σε αυτήν την είσοδο. iii. Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία για κάθε μία είσοδο. iv. Η συνολική απόκριση του συστήματος θα είναι το αλγεβρικό άθροισμα όλων των επιμέρους αποκρίσεων. Παράδειγμα 5: Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s)=/ του συστήματος που περιγράφεται από το παρακάτω δομικό διάγραμμα: G 1(s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F 1(s) F 3(s) Για να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς H(s)=/ του συστήματος απαιτείται η απλοποίηση του δομικού διαγράμματος. Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά ή παράλληλα. Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 2 (s) και F 2 (s): G 1(s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F 3(s) F 1(s) 25

26 Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Αρχικό δομικό διάγραμμα Ισοδύναμο δομικό διάγραμμα Σύνδεση δομικών μονάδων σε σειρά X0(s) G1(s) X1(s) G2(s) X2(s) X 0(s) G 1(s)G 2(s) X 2(s) Παράλληλη σύνδεση δομικών μονάδων X0(s) X0(s) X0(s) G1(s) G2(s) X1(s) X2(s) X0(s) G1(s) G2(s) Μετατροπή κανονικού συστήματος σε σύστημα με μοναδιαία ανάδραση G(s) 1/F(s) G(s)F(s) F(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μετά από δομική μονάδα X1(s) X2(s) G(s) X 1(s) G(s) G(s) X 2(s) Μετακίνηση σημείου άθροισης μπροστά από δομική μονάδα X1(s) G(s) X2(s) X 1(s) G(s) 1/G(s) X 2(s) Μετακίνηση σημείου λήψης μπροστά από δομική μονάδα X1(s) G(s) X3(s) X 1(s) G(s) X 3(s) X2(s) G(s) X 2(s) Μετακίνηση σημείου λήψης μετά από δομική μονάδα X1(s) G(s) X3(s) X1(s) G(s) X3(s) X2(s) 1/G(s) X2(s) Εναλλαγή σημείων άθροισης X1(s) X2(s) X3(s) X 1(s) X 2(s) X 3(s) X1(s) X2(s) X3(s) X 1(s) X 2(s) X 3(s) 26

27 Η σύνθεσή τους δίνει την ισοδύναμη δομική μονάδα G 4 (s) = G 2 (s)/[1g 2 (s)f 2 (s)]. G 1 (s) G 4 (s) G 3 (s) F 1 (s) F 3 (s) Μετακινούμε το σημείο λήψης που βρίσκεται πριν την είσοδο της μονάδας G3(s), μετά τη μονάδα αυτή: G 1 (s) G 4 (s) G 3 (s) F 3 (s) F 1 (s) 1/G 3 (s) Οι δομικές μονάδες G 3 (s) και G 4 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα G 5 (s)= G 3 (s)g 4 (s). Ομοίως, οι δομικές μονάδες F 1 (s) και 1/G 3 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα F 4 (s)= F 3 (s)/g 3 (s). G 1 (s) G 5 (s) F 3 (s) F 4 (s) Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 5 (s) και F 3 (s). Η σύνθεσή τους δίνει την ισοδύναμη δομική μονάδα G 6 (s) = G 5 (s)/[1g 5 (s)f 3 (s)]. G 1 (s) G 6 (s) F 4 (s) 27

28 Οι δομικές μονάδες G 1 (s) και G 6 (s) είναι σε σειρά και δίνουν την ισοδύναμη δομική μονάδα G 7 (s)= G 1 (s)g 6 (s). Έτσι, καταλήγουμε σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου κανονικής μορφής με συνάρτηση μεταφοράς απευθείας κλάδου την G 7 (s) και συνάρτηση μεταφοράς του κλάδου ανάδρασης την F 4 (s): G 7 (s) F 4 (s) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: Παράδειγμα 6: Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος που περιγράφεται από το παρακάτω δομικό διάγραμμα: X 1(s) G 1(s) G 2(s) X 2(s) G 3(s) F 2(s) F 3(s) F 1(s) Το σύστημα έχει δύο εισόδους X 1 (s) και X 2 (s). Δεν υπάρχουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά ή παράλληλα. Μετακινώντας και τα δύο σημεία άθροισης, που βρίσκονται πριν και μετά τη δομική μονάδα G 2 (s,) μπροστά από τη μονάδα G 1 (s) προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο δομικό διάγραμμα: X 1(s) G 1 (s) G 2 (s) X 2(s) G 3 (s) 1/G 1 (s) F 2 (s) 1/G 1 (s) 1/G 2 (s) F 3 (s) F 1 (s) 28

29 Παρατηρούμε ότι προκύπτουν δομικές μονάδες συνδεμένες σε σειρά σε τρεις κλάδους. Επομένως, με εφαρμογή του σχετικού μετασχηματισμού και θέτοντας G 4 (s)=g 1 (s)g 2 (s), F 4 (s)=f 2 (s)/g 1 (s) και F 5 (s)=f 3 (s)/g 1 (s)g 2 (s), προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο διάγραμμα: X 1 (s) G 4 (s) X 2 (s) G 3 (s) F 4 (s) F 5 (s) F 1 (s) Αναγνωρίζουμε ένα εσωτερικό υποσύστημα κλειστού βρόχου που περιλαμβάνει τις δομικές μονάδες G 4 (s) και F 4 (s). Θέτουμε G 5 (s) = G 4 (s)/[1g 4 (s)f 4 (s)]. Επίσης παρατηρούμε ότι έχουμε δύο παράλληλους κλάδους ανάδρασης. Θέτοντας F 6 (s)=f 1 (s)f 5 (s) προκύπτει το ακόλουθο ισοδύναμο δομικό διάγραμμα: X 1 (s) G 5 (s) X 2 (s) G 3 (s) F 6 (s) Εφαρμόζοντας την αρχή της επαλληλίας έχουμε: Όταν X2(s)=0, τότε: Όταν X1(s)=0, τότε: Οπότε, η ζητούμενη απόκριση του συστήματος θα είναι: ή 29

30 6. Διαγράμματα Ροής Σημάτων Το διάγραμμα ροής σημάτων είναι μια γραφική απεικόνιση (γράφημα) του συστήματος των εξισώσεων που περιγράφουν ένα σύστημα. Απεικονίζει τη διάδοση των διαφόρων σημάτων μέσα στο σύστημα, δηλαδή τις σχέσεις εισόδου εξόδου μεταξύ των μεταβλητών ενός συνόλου γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν το σύστημα. Ένα γραμμικό σύστημα μπορεί να περιγραφεί από ένα σύνολο N αλγεβρικών εξισώσεων: Αυτές οι N εξισώσεις είναι γραμμένες στη μορφή σχέσεων αιτίου αποτελέσματος: Αυτό είναι το μοναδικό αξίωμα στη διαμόρφωση του συνόλου των αλγεβρικών εξισώσεων για τα διαγράμματα ροής σημάτων. Όταν το σύστημα περιγράφεται από ένα σύνολο ολοκληρωδιαφορικών εξισώσεων, πρέπει πρώτα να τις μετασχηματίσουμε σε αλγεβρικές εξισώσεις με τη χρήση των μετασχηματισμών Laplace, οπότε θα έχουμε αντίστοιχα: όπου G ij (s) η συνάρτηση μεταφοράς. Το διάγραμμα ροής σημάτων παρέχει την ίδια πληροφορία που μας δίνει και το δομικό διάγραμμα του συστήματος. Η ολική όμως συνάρτηση μεταφοράς υπολογίζεται ευκολότερα με την εφαρμογή του κανόνα του Mason, που θα δούμε στη συνέχεια, χωρίς να απαιτείται να κάνουμε απλοποιήσεις. 6.1 Βασικά στοιχεία των διαγραμμάτων ροής σημάτων Ορισμοί Τα βασικά δομικά στοιχεία ενός διαγράμματος ροής σημάτων είναι ο κόμβος, ο κλάδος και η απολαβή του κλάδου: Κόμβος: Είναι ένα σημείο που αντιπροσωπεύει μια μεταβλητή ή ένα σήμα. Κλάδος: Είναι μια γραμμή η οποία συνδέει δύο κόμβους και έχει καθορισμένη κατεύθυνση, οριζόμενη με ένα βέλος που δείχνει τη φορά ροής (κατεύθυνση διάδοσης) του σήματος. Απολαβή κλάδου: Είναι η απολαβή μεταξύ δύο κόμβων. Όταν οι μεταβλητές των κόμβων είναι μετασχηματισμένες κατά Laplace, εκφράζεται από τη συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ των δύο κόμβων. x i a ij x j Εκτός από τους κόμβους και τους κλάδους, οι ακόλουθοι όροι είναι χρήσιμοι για τη μελέτη των διαγραμμάτων ροής σημάτων: 30

31 Κόμβος εισόδου: Είναι ο κόμβος που έχει μόνο εξερχόμενα σήματα και αντιστοιχεί σε ανεξάρτητη μεταβλητή (είσοδος). Κόμβος εξόδου: Είναι ο κόμβος που έχει μόνο εισερχόμενα σήματα και αντιστοιχεί σε εξαρτημένη μεταβλητή (έξοδος). Μικτός κόμβος: Είναι ο κόμβος που έχει και εισερχόμενα και εξερχόμενα σήματα και αντιπροσωπεύει γραμμικό συνδυασμό σημάτων. Δρόμος: Είναι ένα σύνολο διαδοχικών κλάδων που έχουν την ίδια φορά. Εάν κανένας κόμβος δεν προσπερνιέται περισσότερες από μία φορές, τότε ο δρόμος λέγεται ανοιχτός. Εάν ο δρόμος καταλήγει στον κόμβο από τον οποίο αρχίζει και δεν περνάει από κάποιον άλλο κόμβο περισσότερες από μία φορές, τότε ο δρόμος λέγεται κλειστός. Βρόχος: Είναι ένας κλειστός δρόμος. Εάν ο βρόχος αρχίζει και καταλήγει στον ίδιο κόμβο, χωρίς να περνάει από άλλο κόμβο, λέγεται αυτοβρόχος ή αυτόκλειστος βρόχος. Απολαβή βρόχου: Είναι το γινόμενο των απολαβών όλων των κλάδων που αποτελούν το βρόχο. Μη εγγίζοντες βρόχοι: Είναι οι βρόχοι που δεν διέρχονται από τον ίδιο κόμβο (δεν έχουν κοινό κόμβο). Ευθύς δρόμος: Είναι ένας δρόμος που αρχίζει από τον κόμβο εισόδου, καταλήγει στον κόμβο εξόδου και δεν περνάει περισσότερες από μια φορά από κανένα κόμβο. Απολαβή ευθύ δρόμου: Είναι το γινόμενο των απολαβών όλων των κλάδων που αποτελούν τον συγκεκριμένο ευθύ δρόμο. 6.2 Βασικές ιδιότητες των διαγραμμάτων ροής σημάτων Οι πιο βασικές ιδιότητες των διαγραμμάτων ροής σημάτων είναι οι ακόλουθες: Τα διαγράμματα ροής σημάτων (ΔΡΣ) εφαρμόζονται μόνο σε γραμμικά συστήματα. Οι εξισώσεις για τις οποίες σχεδιάζεται ένα ΔΡΣ πρέπει να είναι αλγεβρικές εξισώσεις της μορφής αιτίου αποτελέσματος. Οι κόμβοι χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση μεταβλητών και διατάσσονται από την είσοδο προς την έξοδο (συνήθως από αριστερά προς τα δεξιά), ακολουθώντας την αλληλουχία των σχέσεων αιτίας αποτελέσματος που διέπουν το σύστημα. Ένας κλάδος δηλώνει εξάρτηση ενός σήματος από ένα άλλο. Το σήμα διαδίδεται από τον ένα κόμβο στον άλλο μόνο κατά την κατεύθυνση του υποδεικνύεται από το βέλος του κλάδου. Ο κλάδος που κατευθύνεται από τον κόμβο x i στον κόμβο x j αναπαριστά την εξάρτηση της μεταβλητής x j από την μεταβλητή x i αλλά όχι το αντίστροφο. Το σήμα x i ρέει (διαδίδεται) κατά μήκος του κλάδου μεταξύ των κόμβων x i και x j πολλαπλασιασμένο με την απολαβή του κλάδου a ij ώστε ένα σήμα a ij x i μεταφέρεται στο x j. Σε κάθε κόμβο αθροίζονται όλα τα εισερχόμενα σήματα από όλους τους εισερχόμενους κλάδους (τους κλάδους που καταλήγουν στον κόμβο) και το άθροισμά τους μεταδίδεται σε όλους τους εξερχόμενους κλάδους (τους κλάδους που ξεκινούν) από τον συγκεκριμένο κόμβο. Παράλληλοι κλάδοι προς την ίδια κατεύθυνση μπορούν να αντικατασταθούν από έναν κλάδο με απολαβή ίση με το άθροισμα των απολαβών των επιμέρους παράλληλων κλάδων. 31

32 Κλάδοι σε σειρά προς την ίδια κατεύθυνση μπορούν να αντικατασταθούν από ένα κλάδο με απολαβή ίση με το γινόμενο των απολαβών των επιμέρους σε σειρά κλάδων. Το ΔΡΣ για ένα σύστημα δεν είναι μονοσήμαντο, αλλά εξαρτάται από τον τρόπο που είναι γραμμένες οι εξισώσεις του συστήματος. Όμως η προκύπτουσα ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι πάντα η ίδια. Παράδειγμα 7: Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ΔΡΣ του συστήματος που περιγράφεται από τις ακόλουθες εξισώσεις: x 2 = a 12 x 1 a 22 x 2 a 32 x 3 a 22 x 3 = a 13 x 1 a 23 x 2 a 12 x 2 x 1 : κόμβος εισόδου x 1 a 23 a 32 x 2 και x 3 : κόμβοι εξόδου a 13 x 3 Παράδειγμα 8: Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το ισοδύναμο ΔΡΣ του βασικού δομικού διαγράμματος συστήματος ελέγχου με ανάδραση. E(s) G(s) F(s) Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E(s)G(s) E(s) = F(s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: 1 E(s) G(s) F(s) ή 1 G(s) 1 E(s) F(s) Παράδειγμα 9: Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο ΔΡΣ του παρακάτω δομικού διαγράμματος. E 1(s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) G 1(s) G 2(s) G 3(s) F 2(s) F 1(s) 32

33 Οι εξισώσεις του συστήματος είναι: = E 4 (s)g 3 (s) E 4 (s) = E 3 (s)g 2 (s) E 2 (s) F 2 (s) E 3 (s) = E 2 (s) E 2 (s) = E 1 (s)g 1 (s) E 1 (s) = Χ(s) F 1 (s) Επομένως, το ισοδύναμο ΔΡΣ είναι: 1 1 G 1 (s) 1 G 2 (s) G 3 (s) E 1 (s) E 2 (s) E 3 (s) E 4 (s) F 2 (s) 1 F 1 (s) Παράδειγμα 10: Να σχεδιαστεί το ΔΡΣ για το δίκτυο του σχήματος. R 1 V 1 (s) R 2 V 2 (s) DC I 1 (s) I 2 (s) V(s) R 3 R 4 Οι εξισώσεις του δικτύου και το αντίστοιχο ΔΡΣ του δικτύου είναι: I 1 (s) = [V(s) V 1 (s)]/r 1 V 1 (s) = R 1 [I 1 (s) I 2 (s)] I 2 (s) = [V 1 (s) V 2 (s)]/r 2 V 2 (s) = R 4 I 2 (s) V(s) 1/R 1 R 3 1/R 2 1/R 1 R 3 1/R 2 R 4 I 1 (s) V 1 (s) I 2 (s) V 2 (s) Παράδειγμα 11: Να γενικευτεί το προηγούμενο δίκτυο και να σχεδιαστεί το ΔΡΣ. Η γενική μορφή ενός τέτοιου δικτύου είναι η ακόλουθη: Υ 1 Υ 2 V 1 (s) I 1 (s) Ζ 1 V 2 (s) I 2 (s) Ζ 2 V 3 (s) Οι εξισώσεις του γενικευμένου δικτύου και το αντίστοιχο ΔΡΣ είναι: I 1 (s) = Υ 1 [V 1 (s) V 2 (s)] V 1 (s) = Ζ 1 [I 1 (s) I 2 (s)] I 2 (s) = Υ 2 [V 2 (s) V 3 (s)] V 2 (s) = Ζ 2 I 2 (s) V 1 (s) Υ 1 Υ 1 Ζ 1 Υ 2 Ζ 1 Υ 2 Ζ 2 I 1 (s) V 2 (s) I 2 (s) V 3 (s) όπου Υ και Ζ είναι οι σύνθετες (μιγαδικές) αγωγιμότητες και αντιστάσεις αντίστοιχα. 33

34 6.3 Κανόνας του Mason για τον υπολογισμό της ολικής συνάρτησης μεταφοράς Ο υπολογισμός της ολικής συνάρτησης μεταφοράς, όταν το σύστημα περιγράφεται με διάγραμμα ροής σημάτων, μπορεί να γίνει με απλοποίηση του διαγράμματος όπως και με τα δομικά διαγράμματα. Μπορούμε όμως να υπολογίσουμε την ολική συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος με εφαρμογή του κανόνα του Mason: όπου: = η είσοδος του συστήματος, = η έξοδος του συστήματος, N = το πλήθος των απευθείας δρόμων μεταξύ εισόδου και εξόδου του συστήματος, Q k (s) = η απολαβή του k απευθείας δρόμου, Δ(s) = η ορίζουσα του συστήματος: με: ΣL 1 = το άθροισμα των απολαβών όλων των βρόχων, ΣL 2 = το άθροισμα του γινομένου ανά δύο των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά δύο βρόχων, ΣL 3 = το άθροισμα του γινομένου ανά τρεις των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά τρεις βρόχων, ΣL n = το άθροισμα του γινομένου ανά n το πλήθος των απολαβών όλων των δυνατών συνδυασμών των μη εγγιζόντων ανά n το πλήθος βρόχων, Δ k (s) = η τιμή την τιμή της ορίζουσας Δ(s), εάν δεν λάβουμε υπόψη μας όλους τους βρόχους που εγγίζουν (έχουν κοινό κόμβο με) τον k απευθείας δρόμο. Να σημειωθεί ότι η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος δίνεται από τη σχέση Δ(s)=0. Παράδειγμα 12: Δίνεται το δομικό διάγραμμα του σχήματος. F 2(s) G 1(s) G 2(s) G 3(s) F 1(s) Να σχεδιαστεί το ισοδύναμο ΔΡΣ του συστήματος και να υπολογιστεί η ολική συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. 34

35 Το ισοδύναμο ΔΡΣ του συστήματος είναι το ακόλουθο: F 2 (s) 1 1 G 1 (s) G 2 (s) G 3 (s) A B Γ Δ Ε 1 F 1 (s) 1 Υπάρχει μόνο ένας απευθείας δρόμος μεταξύ εισόδου και εξόδου, ο ΑΒΓΔΕ, με απολαβή: Q 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τρεις βρόχοι, οι ΑΒΓΔΕΑ, ΒΓΔΒ και ΓΔΕΓ, με απολαβές: B 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)(1) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) B 2 (s) = G 1 (s)g 2 (s)[f 1 (s)] = G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) B 3 (s) = G 2 (s)g 3 (s)[f 2 (s)] = G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τον απευθείας δρόμο. Επίσης, παρατηρούμε ότι όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς βρόχους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0 και ΣL 3 = 0. Οπότε έχουμε: και Δ(s) = 1 ΣL1 = 1 [B 1 (s) B 2 (s) B 3 (s)] = Δ 1 (s) = 1 = 1 [ G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s)] = = 1 G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) G 1 (s)g 2 (s)f 1 (s) G 2 (s)g 3 (s)f 2 (s) Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: ή 35

36 Παράδειγμα 13: Για το σύστημα του Παραδείγματος 9 να υπολογιστεί η ολική συνάρτηση μεταφοράς με εφαρμογή του κανόνα του Mason. Το ΔΡΣ του συστήματος, όπως είδαμε στο Παράδειγμα 9, είναι το ακόλουθο: 1 1 G 1 (s) 1 G 2 (s) G 3 (s) 1 A B Γ Δ Ε F 2 (s) 1 F 1 (s) Υπάρχουν δύο απευθείας δρόμοι μεταξύ εισόδου και εξόδου, οι ΑΒΓΔΕ και ΑΒΔΕ, με αντίστοιχες απολαβές: Q 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s) Q 2 (s) = G 1 (s)g 3 (s) Υπάρχουν τέσσερις βρόχοι, οι ΑΒΓΔΕΑ, ΑΒΔΕΑ, ΔΕΔ και ΓΔΕΓ, με απολαβές: B 1 (s) = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)[f 1 (s)] = G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) B 2 (s) = G 1 (s)g 3 (s)[f 1 (s)] = G 1 (s)g 3 (s)f 1 (s) B 3 (s) = G 3 (s)[f 2 (s)] = G 3 (s)f 2 (s) B 4 (s) = G 2 (s)g 3 (s)(1) = G 2 (s)g 3 (s) Παρατηρούμε ότι δεν υπάρχουν μη εγγίζοντες βρόχοι αφού όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς κόμβους με τους απευθείας δρόμους. Επίσης, παρατηρούμε ότι όλοι οι βρόχοι έχουν κοινούς βρόχους μεταξύ τους. Αυτό φαίνεται από το γεγονός ότι έχουν κοινά γράμματα στην ονομασία τους (τα γράμματα αντιστοιχούν σε κόμβους). Επομένως ΣL 2 = 0, ΣL 3 = 0 και ΣL 4 = 0. Οπότε έχουμε: και Δ(s) = 1 ΣL1 = 1 [B 1 (s) B 2 (s) B 3 (s) B 4 (s)] = = 1 [G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 1 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 3 (s)f 2 (s) G 2 (s)g 3 (s)] = = 1 G 1 (s)g 2 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 1 (s)g 3 (s)f 1 (s) G 3 (s)f 2 (s) G 2 (s)g 3 (s) Δ 1 (s) = 1, Δ 2 (s) = 1 Σύμφωνα με τον κανόνα του Mason η ολική συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 36

37 Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Distefano III, Allen R. Stubberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Δ. Καλλιγερόπουλος Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Θεωρία, Κ. Λουκάς Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές με το MATLAB, Ogata K. 37