VccSSe Virtual Community Collaborating Space for Science Education. Εικονικά Εργαλεία στη Διδακτική των Θετικών Επιστημών. Επιμορφωτικό Υλικό

Transcript

1 Επιμορφωτικό Υλικό Βασικά Θέματα Διδακτικής της Ευκλείδιας Γεωμετρίας στο πλαίσιο των εργαλείων που παρέχονται από το εκπαιδευτικό λογισμικό Cabri Η δύναμη της τεχνολογίας που διαμορφώνει τα μαθηματικά, διαμορφώνει σε βάθος και τη διδασκαλία και τη μάθησή τους (Kaput, 1992) Περιεχόμενα: Α. Το περιβάλλον Cabri Geometry ΙΙ Β. Βασικές δυνατότητες του εκπαιδευτικού λογισμικού Cabri Γ. Κοινωνικές και εποικοδομιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη μάθηση στο περιβάλλον Cabri Δ. Cabri : πηγές από τον παγκόσμιο ιστό Ε. Το περιβάλλον Cabri και η δομή του εικονικού χώρου του προγράμματος για τα μαθηματικά (VccSSe Math e-space) Ζ. Cabri : Προτεινόμενες δραστηριότητες Η. Βιβλιογραφία Α. Το περιβάλλον Cabri Geometry ΙΙ Το πρόγραμμα Cabri αποτελεί ένα περιβάλλον λογισμικού το οποίο δεν περιορίζεται στο να υποστηρίξει απλά μια εναλλακτική διδασκαλία με τη χρήση υπολογιστή, αλλά υποστηρίζει την ανάπτυξη μιας διερευνητικής προσέγγισης στη διδασκαλία και τη μάθηση της Γεωμετρίας. Αποτελείται από ένα πακέτο ισχυρών και προσεκτικά κατασκευασμένων υπολογιστικών εργαλείων για τη δημιουργία Γεωμετρικών δραστηριοτήτων και εφαρμογών, η λειτουργία του οποίου βασίζεται στην αμφίδρομη σχέση με το χρήστη. Επιτρέπει τόσο την κατασκευή όσο και τη μελέτη γεωμετρικών αντικειμένων, δίνοντας με αυτό τον τρόπο κίνητρα στο μαθητή προκειμένου να επεκτείνει τις αναζητήσεις του στο χώρο της Γεωμετρίας. 1/27

2 Το πρόγραμμα Cabri, δημιουργήθηκε από τους Jean Marie Laborde και Frank Bellemain στο Institut d Informatique et Mathematiques Appliquees de Grenoble (IMAG), ένα ερευνητικό εργαστήριο στο Πανεπιστήμιο Joseph Fourier στη Grenoble της Γαλλίας, σε συνεργασία με το Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) καθώς και με την εταιρεία Texas Instruments. Το πρόγραμμα Cabri ΙΙ δημιουργήθηκε από ομάδα επιστημόνων που ανήκουν στο χώρο της πληροφορικής, των μαθηματικών όπως και της διδακτικής των μαθηματικών με στόχο να προσφέρει μια νέα δυναμική προσέγγιση στη μάθηση της Γεωμετρίας. Το πρόγραμμα Cabri διαθέτει κάποια βασικά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με άλλα προγράμματα διδασκαλίας των Μαθηματικών και ιδιαίτερα της Γεωμετρίας. Πιο συγκεκριμένα : Πρόκειται για ένα περιβάλλον το οποίο διαθέτει στοιχεία υψηλής αλληλεπίδρασης. Αποτελεί ένα δυναμικό περιβάλλον μάθησης από την άποψη του ότι οι μορφές των σχημάτων δύνανται να μεταβάλλονται ενώ ορισμένες ιδιότητές τους παραμένουν αμετάβλητες. Πιο συγκεκριμένα, ο δυναμικός χαρακτήρας του περιβάλλοντος αφορά στη δυνατότητα εμφάνισης στην οθόνη του υπολογιστή μιας απειρίας ψηφιακών γραφικών αναπαραστάσεων μιας γεωμετρικής κατασκευής που δημιουργείται από το συνδυασμό απλών στοιχειωδών κατασκευών που υπάρχουν στο περιβάλλον διεπαφής (interface) του μικρόκοσμου. Η απειρία αυτών των σχημάτων αποτελεί μια κλάση ισοδυναμίας σχημάτων τα οποία έχουν ορισμένες κοινές ιδιότητες. Εκπρόσωπο αυτής της κλάσης αποτελεί κάθε σχήμα το οποίο κατασκευάζεται στην οθόνη του υπολογιστή. Κάθε σχήμα είναι άμεσα διαχειρίσιμο από το μαθητή με χρήση του "συρσίματος" (dragging), το οποίο είναι διαθέσιμο από το πρόγραμμα. Μέσω της άμεσης διαχείρισης μια απειρία σχημάτων με κοινές ιδιότητες είναι δυνατό να απεικονίζονται γραφικά στην οθόνη του υπολογιστή δίνοντας την ευκαιρία στο μαθητή την ευκαιρία να κατασκευάσει αφηρημένες έννοιες που αφορούν σε αυτές τις ιδιότητες (Laborde, 1990). Οι ενέργειες του μαθητή συνοδεύονται στην πλειοψηφία τους από γραφική (εικονική) αλλά και αριθμητική ανατροφοδότηση. Ο ρόλος της εικόνας έχει αναφερθεί ως υποστηρικτικός στη δημιουργία νοερών εικόνων οι οποίες θεωρούνται ότι αποτελούν βασικό στοιχείο της νοητικής ανάπτυξης του ατόμου (Sutherland, 1995). Ειδικότερα, επισημαίνεται η αλληλεπίδραση της εικόνας με την έννοια στην ανάπτυξη της γεωμετρικής λογικής (Mariotti, 1995). Το πρόγραμμα Cabri ΙΙ αποτελεί ένα ανοικτό περιβάλλον μάθησης το οποίο διαθέτει εργαλεία στο μαθητή προκειμένου να μπορεί να επιλύει μια ποικιλία από γεωμετρικά προβλήματα. Η σημασία της επίλυσης προβλημάτων στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης των παιδιών έχει αναφερθεί (von Glasersfeld, 1987). Η δυνατότητα του περιβάλλοντος να καταγράφει βήμα-βήμα το ιστορικό των ενεργειών του χρήστη αποτελεί ένα επιπλέον ισχυρό εργαλείο για το δάσκαλο, το μαθητή αλλά και τον ερευνητή, προκειμένου να βγάλουν συμπεράσματα για τη διαδικασία της μάθησης η οποία πιθανό συντελέστηκε σε αυτό το περιβάλλον και ως εκ τούτου δίνει νέες δυνατότητες διαμεσολάβησης μεταξύ δάσκαλου και μαθητή (Mariotti & Bussi, 1998). Το περιβάλλον Cabri ΙΙ λόγω της ανοικτότητάς του μπορεί να υποστηρίξει τη διεπιστημονική προσέγγιση στη μάθηση της Γεωμετρίας. Η σημασία της διεπιστημονικής προσέγγισης όπως και γενικότερα του πλαισίου συμφραζομένων στο οποίο συντελείται η μάθηση έχει αναφερθεί (Clements, 1989; Noss & Hoyles, 1992). Στο περιβάλλον Cabri ΙΙ είναι δυνατό ο μαθητής να προσεγγίζει γεωμετρικά θέματα με έναν ποιοτικό τρόπο δηλαδή χωρίς τη χρήση αριθμών. Αυτή η δυνατότητα τον βοηθά να 2/27

3 προσεγγίσει αρχικά τις έννοιες ποιοτικά και στη συνέχεια να προχωρήσει σε πιο ποσοτικές προσεγγίσεις. Το περιβάλλον Cabri ΙΙ χωρίς να διαθέτει ένα σύστημα ελέγχου της ορθότητας των απαντήσεων του μαθητή του παρέχει εργαλεία (εικονική και αριθμητική ανατροφοδότηση) τα οποία μπορεί να χρησιμοποιήσει για αυτοδιόρθωση. Το πρόγραμμα Cabri ΙΙ δεν απομένει στατικό περιβάλλον αλλά μπορεί να εξελίσσεται παράλληλα με το χρήστη. Η εξέλιξη αυτή είναι δυνατή μέσα από τη δημιουργία νέων λειτουργιών (μακροκατασκευών) η οποία δίνει στο περιβάλλον μια δυναμική διάσταση διότι το εμπλουτίζει κάθε φορά με νέα εργαλεία τα οποία κατασκευάζονται από το χρήστη (δάσκαλο ή/και μαθητή). Τα εργαλεία αυτά μπορούν να τοποθετούνται μόνιμα ως νέες δυνατότητες στο περιβάλλον διεπαφής του μικρόκοσμου. Με τις λειτουργίες αυτές μπορεί να υλοποιείται μια μαθηματική γεωμετρική κατασκευή αυτόματα, όπως για παράδειγμα η διάμεσος ή η τομή των υψών ενός τριγώνου. Αυτή η κατασκευή φυλάσσεται από τον υπολογιστή ως μια γενική διαδικασία η οποία μπορεί να επαναλαμβάνεται σε άλλα σχήματα του ίδιου τύπου με τα αρχικά. H «διερεύνηση ιδιοτήτων» που διαθέτει το πρόγραμμα Cabri ΙΙ επιτρέπει τη λύση προβλημάτων, οι οποίες βασίζονται στα πέντε Ευκλείδια αξιώματα. Το πρόγραμμα επιτρέπει στο δάσκαλο να αποφασίσει την κατάλληλη διάταξη των περιεχομένων, έτσι ώστε να εμφανίζονται μόνο τα σχετικά με την εκάστοτε εφαρμογή εργαλεία. Τα εργαλεία τα οποία παρέχονται μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πραγματοποίηση δραστηριοτήτων για τη μάθηση γεωμετρικών εννοιών σε όλο το εύρος του αναλυτικού προγράμματος του Δημοτικού σχολείου του Γυμνασίου και του Λυκείου. Β. Βασικές δυνατότητες του εκπαιδευτικού λογισμικού Cabri Το εκπαιδευτικό λογισμικό Cabri παρέχει ευκαιρίες για να προσεγγιστούν ποικίλα θέματα σχετικά με την Ευκλείδια γεωμετρία. Βασικές δυνατότητές του αναφέρονται παρακάτω: - Επίλυση προβλημάτων από την Αναλυτική και Ευκλείδια γεωμετρία καθώς επίσης και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί μέσα σε ένα ιδιαίτερα διαλογικό περιβάλλον - Αμεση κατασκευή σημείων, ευθειών, ευθυγράμμων τμημάτων, τριγώνων, πολυγώνων, κύκλων και άλλων βασικών γεωμετρικών σχημάτων - Μεταφορά, μεγέθυνση και περιστροφή γύρω από σημείο καθώς επίσης και ανάκλαση, συμμετρία ως προς άξονα και ως προς σημείο και αντιστροφή - Εύκολες κατασκευές κωνικών επιφανειών: έλλειψη και υπερβολή - Έρευνα για τις γραφικές αναπαραστάσεις σχετικές με την προβολική και την υπερβολική γεωμετρία - Σχολιασμός αριθμών και μετρήσεων (με την αυτόματη τήρηση αρχείων) - Συστήματα καρτεσιανών και πολικών συντεταγμένων - Οι ισότητες γεωμετρικών οντοτήτων μπορούν να καταδειχθούν - Μακροεντολές (μπορούν να είναι οι συχνά χρησιμοποιούμενες γεωμετρικές κατασκευές και μπορούν να διαμορφωθούν από το χρήστη) - Δυνατότητα έρευνας για τις γεωμετρικές ιδιότητες των γεωμετρικών κατασκευών βασισμένες στα πέντε Ευκλείδια αξιώματα - Τα αντικείμενα που χρησιμοποιούνται στις γεωμετρικές κατασκευές μπορούν να κινηθούν ή να κρυφτούν για να μην φορτωθεί αισθητηριακά η οθόνη 3/27

4 - Οι παλέτες των χρωμάτων και των γραμμών διευκολύνουν τη διαφοροποίηση των μορφών - Η δυνατότητα για τη δυναμικότητα της κατασκευής μέσω του συρσίματος - Οι γεωμετρικές κατασκευές και οι μακροεντολές μπορούν να αποθηκευτούν σε έναν σκληρό δίσκο Γ. Κοινωνικές και εποικοδομιστικές θεωρήσεις για τη γνώση και τη μάθηση στο περιβάλλον Cabri Γ1. Η γνώση του ατόμου ως νοητική διαδικασία η οποία μπορεί να υποστηριχθεί από την εμπειρία του στο περιβάλλον Cabri Το ότι ένα άτομο πρέπει να συμμετέχει στη λύση εμπειρικών προβλημάτων θεωρείται ως ουσιαστικός παράγοντας στην κατασκευή γνώσης του σύμφωνα με τις σύγχρονες εποικοδομιστικές και κοινωνικές θεωρίες μάθησης. Η αξία των γνωστικών δομών των ατόμων καθορίζεται από το κατά πόσον πόσους αυτούς είναι βιώσιμες δηλαδή, ο βαθμός στον οποίο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιλύσουν πραγματικά προβλήματα. Η κατασκευή γνώσης μέσω της εμπειρίας αποτελείται από τη δυνατότητα της επιλογής των βασικών στοιχείων τα οποία είναι χρήσιμα για να επαναληφθούν καθώς επίσης και της επιλογής των άχρηστων στοιχείων τα οποία πρέπει να αποφεύγονται. Για είναι δυνατό το άτομο να μάθει μέσω της εμπειρίας του, πρέπει να αναπτύξει τις ικανότητες παρατήρησης και οργάνωσής της μια διαδικασία η οποία υπονοεί την ικανότητα τεμαχισμού της σε μέρη, η ταξινόμηση των οποίων πρόκειται να πραγματοποιηθεί με την επιλογή ορισμένων κριτηρίων σχετικά με τις ομοιότητες και τις διαφορές αυτών των μερών. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να ερμηνευθεί η εν λόγω εμπειρία προκειμένου να ληφθούν υπόψη αυτά τα αποτελέσματα σε μελλοντικές παρόμοιες καταστάσεις. Εάν, μέσω αυτής της οργάνωσης της εμπειρίας, ένα συμπέρασμα εμφανίζεται να είναι χρήσιμο, αυτό σημαίνει ότι η οργάνωση είναι βιώσιμη, δεν θα μπορούσε να γίνει με οποιοδήποτε άλλον τρόπο και ότι το άτομο έχει κατανοήσει κάτι από τον πραγματικό κόσμο. Η οργάνωση της εμπειρίας ώστε να επιτραπεί η διατύπωση έγκυρων προβλέψεων σημαίνει κατανόηση σύμφωνα με την εποικοδομιστική θεώρηση για την κατασκευή της γνώσης. Κατά συνέπεια, η αλήθεια της γνώσης δεν εξαρτάται από το βαθμό στον οποίο εκφράζει έναν ανεξάρτητο πραγματικό κόσμο με ένα έξωθεν-σταθερό περιεχόμενο αλλά κατά πόσο εκφράζει την οργάνωση και τη δομή της πραγματικής παρατηρηθείσας εμπειρίας. Η αποδοχή της σπουδαιότητας του πειραματισμού στις καταστάσεις επίλυσης προβλήματος ισχύει και στα μαθηματικά, τα οποία παρουσιάζονται συχνά ως απολύτως ορθή και αμετάβλητη επιστήμη. Χαρακτηριστικά, αναφέρεται ότι τα "μη - τυποποιημένα ημι-εμπειρικά " μαθηματικά δεν αναπτύσσονται μέσω μιας μονότονης αύξησης του αριθμού ορισμένων καθιερωμένων θεωρημάτων αλλά από τη συνεχή βελτίωση των υποθέσεων, μετά από το διαλογισμό και την κριτική μέσω της λογικής, της απόδειξης και της αναίρεσης ". Στα πλαίσια του περιβάλλοντος της Δυναμικής γεωμετρίας Cabri ΙΙ, οι σπουδαστές μπορούν να πειραματιστούν και να πραγματοποιήσουν μια γεωμετρική κατασκευή αλλά και να ενεργοποιηθούν να πραγματοποιήσουν υποθέσεις και γενικεύσεις σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα. Η διατύπωση αυτών των υποθέσεων και των γενικεύσεων μπορεί να υποστηριχθεί από τα εμπειρικά στοιχεία που εμφανίζονται στην οθόνη των υπολογιστών. Η δυνατότητα της απεικόνισης στην οθόνη των υπολογιστών των άπειρων γεωμετρικών 4/27

5 σχημάτων που ανήκουν στην ίδια κατηγορία γεωμετρικών κατασκευών (με κριτήριο τις ιδιότητές τους) δίνει στους σπουδαστές την ευκαιρία να διατυπώσουν συγκεκριμένες υποθέσεις για αυτές τις ιδιότητες οι οποίες υποστηρίζονται από εμπειρικά στοιχεία. Μέσω αυτού του είδους πειραματισμού, οι σπουδαστές μπορούν να αποκτήσουν βεβαιότητα για τις υποθέσεις τους και την επιθυμία να βρούν τρόπους για να τις αποδείξουν. Φυσικά, παραμένει για τους σπουδαστές το ζήτημα της απόδειξης των υποθέσεών τους. Συνεπώς, είναι δυνατό για τους μαθητές να συνδυάσουν την επαγωγική και την παραγωγική σκέψη μέσα στο πλαίσιο της ανάπτυξης της γεωμετρικής τους λογικής μέσω του πειραματισμού στο περιβάλλον Cabri σε συνδυασμό με τις προσπάθειές τους να αναπτύξουν μεθόδους απόδειξης των υποθέσεων και των γενικεύσεών που διατύπωσαν. Γ2. Η σημασία των ενεργειών των μαθητών στην κατασκευή της γνώσης τους στο περιβάλλον Cabri Η μαθηματική γνώση δεν πρέπει να θεωρηθεί ότι περιορίζεται στη δυνατότητα απόσυρσης πληροφοριών από κάποιο αποθηκευτικό χώρο όπως η μνήμη του ατόμου αλλά συνδέεται με τη δυνατότητα παραγωγής νέων αποτελεσμάτων. Βεβαίως, αυτό που θεωρείται νέο εξαρτάται σίγουρα από το άτομο που το πραγματοποιεί. Παραδείγματος χάριν, κάτι που κατασκευάζεται για πρώτη φορά από έναν μαθητή δεν είναι πιθανό νέο για τον καθηγητή του. Σύμφωνα με Piaget, η μαθηματική γνώση είναι λειτουργική (Piaget, 1970), που σημαίνει ότι δεν προέρχεται από στατικές καταστάσεις αλλά από μετασχηματισμούς καταστάσεων και κυρίως εκεί όπου κάτι νέο δημιουργείται (Piaget, 1970, pp.14). Από αυτήν την άποψη, η σημασία πρέπει να δοθεί στην διαδικασία της απόκτησης γνώσης και όχι μόνο στα αποτελέσματα αυτής της διαδικασίας. Η πρώτη εμφάνιση της λειτουργικής σκέψης πραγματοποιείται μέσω των ενεργειών του ατόμου να επιτύχει συγκεκριμένους στόχους που ενσωματώνονται μέσα σε πλαίσια σημαντικών δραστηριοτήτων για το άτομο. Αυτές οι ενέργειες ακολουθούνται από αφαιρετικές διαδικασίες που προκύπτουν από τις ενέργειες του ατόμου στα αντικείμενα που χρησιμοποιεί σε συνδυασμό με μια αφαιρετική λειτουργία που προέρχεται από τον αναστοχασμό του ατόμου σε αυτές τις ενέργειές (Piaget, 1970, σελ. 18). Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας δημιουργούνται οι γνωστικές διαδικασίες ενός ατόμου. Στην πραγματικότητα, αυτές οι διαδικασίες αποτελούν τις ενέργειες που έχουν εσωτερικοποιηθεί από το άτομο. Αυτές οι διαδικασίες είναι αντιστρέψιμες και έχουν κάτι αμετάβλητο. Το περιβάλλον Cabri δεν παρουσιάζει στους μαθητές τη γνώση υπό μορφή πληροφοριών βασισμένων σε κείμενο. Στην πραγματικότητα, διαθέτει βασικά γεωμετρικά εργαλεία και διαδικασίες που οι μαθητές μπορούν να χρησιμοποιήσουν ανεξάρτητα και σε συνδυασμό προκειμένου να κατασκευάσουν ενεργά τη γνώση τους. Οι γεωμετρικές κατασκευές των μαθητών επηρεάζονται από τον τύπο των χρησιμοποιούμενων εργαλείων. Το περιβάλλον Cabri είναι ένα ιδιαίτερα διαλογικό περιβάλλον, δεδομένου ότι οι περισσότερες ενέργειες των μαθητών συνοδεύονται από σημαντική ανατροφοδότηση - οπτική και αριθμητική - καθώς επίσης και από μηνύματα βασισμένα σε κείμενο έτσι ώστε δεν αισθάνονται χαμένοι στο περιβάλλον. Αυτές οι δυνατότητες μπορούν να παρέχουν στους μαθητές ευκαιρίες για "ενεργητική" μάθηση σε αντίθεση με τα παραδοσιακά στατικά περιβάλλοντα, όπως το περιβάλλον χαρτί-μολύβι και άλλα περιβάλλοντα όπου χρησιμοποιούνται φυσικά αντικείμενα. Στην πραγματικότητα, ένας σπουδαστής μπορεί να πραγματοποιήσει ενέργειες στα στατικά περιβάλλοντα, αυτές όμως δεν συνδέονται με 5/27

6 συγκεκριμένα αποτελέσματα και οι ενέργειές τους δεν σχετίζονται με τις μαθηματικές έννοιές τους. Τα " στατικά " και τα "δυναμικά διαλογικά" μαθησιακά περιβάλλοντα ενεργοποιούν τους διαφορετικούς τρόπους της σκέψης και σηματοδοτούν επίσης μια αργή αλλά βαθιά ιστορική ανάπτυξη που οδηγεί στο κατώφλι μιας νέας εκπαιδευτικής εποχής (Kaput, 1994). Η εκμετάλλευση των αυτο-εκφραστικών χαρακτηριστικών των υπολογιστών επιτρέπει τη σύνδεση των οπτικών μαθηματικών πληροφοριών με τις συμβολικές τους μαθηματικές πληροφορίες. Γ3. Η σημασία του αναστοχασμού στη μάθηση του ατόμου και ο ρόλος της ανατροφοδότησης που παρέχεται από το περιβάλλον Cabri Η λειτουργική γνώση είναι αποτέλεσμα αναστοχασμού. Παρά το γεγονός ότι ο αναστοχασμός δεν μπορεί να παρατηρηθεί, η λειτουργία του έχει αισθητά αποτελέσματα. Σύμφωνα με τον Locke (όπως αναφέρεται από von Glasersfeld, 1987), αναστοχασμός είναι "η δυνατότητα του μυαλού να παρατηρεί τις διαδικασίες του". Είναι ένα προκαταρκτικό στάδιο της ερμηνευτικής διαδικασίας μιας κατάστασης που αποτελείται από εμπειρίες. Η ερμηνευτική διαδικασία στοχεύει στη βοήθεια του ατόμου για να απαντηθούν ερωτήσεις όπως τι είναι αυτό που έχει συμβεί και γιατί. Η απάντηση αυτών των ερωτήσεων προϋποθέτει το σχηματισμό διάφορων υποθέσεων και την επιλογή μεταξύ τους της πιο κατάλληλης. Για αυτόν το λόγο, λειτουργία του αναστοχασμού στις κατηγορίες της εμπειρίας που διαμορφώθηκαν είναι σημαντική. Η λειτουργία του αναστοχασμού είναι απαραίτητη όχι μόνο για τους μαθητές αλλά και για τους εκπαιδευτικούς εάν πρόκειται να εξετάσουν και να κάνουν κατάλληλες επεμβάσεις στις διδασκαλίες τους. Η διαδικασία του αναστοχασμού απαιτεί προσπάθεια, επειδή η μάθηση των μαθηματικών απαιτεί συχνά πολλαπλά επίπεδα αφαιρετικών δραστηριοτήτων. Στη συνέχεια, η επιτυχής προσπάθεια στον αναστοχασμό απαιτεί ισχυρό κίνητρο, όπως αυτό που προέρχεται από την εσωτερική ικανοποίηση του μαθητή, αυτό που είναι προφανώς ανεξάρτητο από τις εξωτερικές ανταμοιβές που συνήθως δίνονται από τους δασκάλους τους. Η οπτική ανατροφοδότηση στις ενέργειες μαθητών αποτελεί ένα πολύ ισχυρό εργαλείο στη μάθηση, δεδομένου ότι τους βοηθά να απεικονίσουν και να γνωρίσουν την εμπειρία τους και να τους επιτρέψει συνεπώς να ελέγξουν τις ενέργειές τους. Ο υπολογιστής είναι ίσως μοναδικός υπό την έννοια ότι επιτρέπει στο μαθητή να παραγάγει διάφορες γραφικές απεικονίσεις αντιπροσώπων κλάσεων ισοδυναμίας γεωμετρικών κατασκευών και επιστημονικών φαινομένων και να δει τα αποτελέσματα όταν τις χειρίζεται άμεσα και μετασχηματίζοντάς τις σε περιπλοκότερες κατασκευές. Η οπτική ανατροφοδότηση που συνοδεύει σχεδόν κάθε δράση που πραγματοποιείται από τους μαθητές στα πλαίσια του Cabri μπορεί να θεωρηθεί ως αποδοτικός τρόπος για να εκφράσουν οπτικά τις μαθηματικές ιδέες τους. Η Sutherland (1995) υποστηρίζει ότι ένας λόγος ότι τα παιδιά συναντούν μαθησιακές δυσκολίες στα σχολεία τους είναι ότι δεν τους δίνεται η ευκαιρία να επικοινωνήσουν με οπτικό τρόπο τις μαθηματικές ιδέες τους. H Laborde, (1992) επίσης, επισημαίνει τη σημασία της οπτικής αντίληψης των μαθητών κατά τη διάρκεια της επίλυσης γεωμετρικών προβλημάτων. Φυσικά, η οπτική αντίληψη δεν είναι επαρκής για την επίλυση ενός γεωμετρικού προβλήματος. Εντούτοις, στην περίπτωση του Cabri, η οπτική ανατροφοδότηση που παρέχεται, σε συνδυασμό το δυναμικό χαρακτήρα του περιβάλλοντος - από την άποψη της δυνατότητας να αλλαχτεί η 6/27

7 μορφή μιας γεωμετρικής κατασκευής στην οθόνη του υπολογιστή συγχρόνως με τη διατήρηση των γεωμετρικών του ιδιοτήτων - διαμορφώνει ένα νέο τύπο οπτικής αντίληψης. Αυτή η ανατροφοδότηση είναι όχι μόνο αισθητηριακή αλλά περιέχει και τις γεωμετρικές πληροφορίες που μπορούν να βοηθήσουν το μαθητή να ελέγξει την αλήθεια των υποθέσεων και των υποθέσεών του. Ο τύπος της παρεχόμενης ανατροφοδότησης (ποιοτικής ή ποσοτικής) βοηθά τους μαθητές να ελέγξουν τις στρατηγικές λύσης που αναπτύσσονται (ποιοτικά ή ποσοτικά). Γ4. Ο υποκειμενικός χαρακτήρας της γνώσης και η δυνατότητα έκφρασης των ατομικών διαφορών των μαθητών στο περιβάλλον Cabri Ο μύθος της απόλυτης αλήθειας για μια πραγματικότητα που έχει την ίδια έννοια και την ίδια σημασία για όλα τα ανθρώπινα όντα εμφανίζεται να απομακρύνεται. Οι μαθητές εμφανίζονται να μην απεικονίζουν τις πληροφορίες που τους παρέχονται από τους δασκάλους τους αλλά μάλλον τα επεξεργάζονται με διαφορετικά αποτελέσματα από τις προβλέψεις. Φαίνεται ότι κάθε μαθητής επεξεργάζεται τις πληροφορίες που του παρέχονται μέσω των γνωστικών του διαδικασιών και, κατά συνέπεια, οι αντιλήψεις για τα διάφορα θέματα διαφέρουν από άτομο σε άτομο. Επιπλέον, οι μαθητές εμφανίζονται να μην έρχονται στο σχολείο με κενά κεφάλια, κατά συνέπεια διάφορες μελέτες διενεργούνται με στόχο να διερευνηθεί η προηγούμενη γνώση των μαθητών προκειμένου να βρεθούν οι κατάλληλες διαδικασίες τροποποίησής της. Επιπλέον, από τη θεωρία του "σχήματος", προκύπτει ότι ένα παιδί δεν μπορεί να χαρακτηριστεί ως μια μικρογραφία ενός ενηλίκου. Στην πραγματικότητα, οι αντιλήψεις των παιδιών δεν μπορούν να θεωρηθούν ως ελλιπείς αντιλήψεις των ενηλίκων. Πράγματι, αναγνωρίζεται ότι οι αντιλήψεις των παιδιών "κατασκευάζονται μέσω διαφορετικών ενεργειών σε διαφορετικές καταστάσεις και δραστηριότητες. Κατά συνέπεια, ο κόσμος των παιδιών κατασκευάζεται μέσω της εμπειρίας τους και διαφέρει από τον κόσμο των ενηλίκων (von Glassersfeld, 1995). Η αναγνώριση αυτής της διαφοροποίησης έχει μια τεράστια επίδραση στη μετατόπιση της προοπτικής της έρευνας για τις εκπαιδευτικές πρακτικές από μια προσέγγιση apriori που υπογραμμίζει τα αποτελέσματα της μάθησης σε μια προσέγγιση που εστιάζει στις διαδικασίες της μάθησης (von Glassersfeld,1995). Δηλαδή, η έμφαση έχει μετατοπιστεί από τη διδασκαλία στη μάθηση. Η αναγνώριση των παιδιών που έχουν διαφορετικούς τρόπους της σκέψης έχει επιπτώσεις στο ρόλο των δασκάλων, δεδομένου ότι πρέπει να ξεχωρίσουν τα μαθηματικά τους από τα μαθηματικά των παιδιών. Κατά συνέπεια, οι δάσκαλοι πρέπει να ενθαρρύνουν τα παιδιά να εκφράσουν τη μαθηματική τους γνώση και να ερμηνεύσουν " τα μαθηματικά των παιδιών" έτσι ώστε μπορούν να πραγματοποιήσουν τις κατάλληλες επεμβάσεις. Η κατάλληλη αντιμετώπιση των διαφορών μάθησης των μαθητών αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα που αντιμετωπίζουν οι δάσκαλοι στην εκπαίδευση των μαθηματικών, και παραμένει μια ανοικτή ερώτηση που δεν εξετάζεται τόσο κατάλληλα στις καθημερινές τους πρακτικές διδασκαλίας. Για αυτόν τον λόγο, η ποικιλία των εργαλείων που παρέχονται από το Cabri Geometry ΙΙ παρέχει στους μαθητές ευκαιρίες να επιλεχτούν αυτά που είναι η πιό κατάλληλα για να κατασκευάσουν τις ατομικές τους στρατηγικές επίλυσης στα προβλήματα που τους τίθενται και, κατ' αυτό τον τρόπο, να εκφράσουν τις διατομικές διαφορές στη μάθησή τους. Το Cabri Geometry ΙΙ παρέχει ποικίλα εργαλεία επιτρέποντας τις πολλαπλές στρατηγικές επίλυσης στα 7/27

8 προβλήματα που τίθενται. Επιπλέον, η δυνατότητα έκφρασης των συγκεκριμένων εννοιών σε πολλαπλά αναπαραστασιακά συστήματα, όπως τα εικονικά, τα αριθμητικά και οι γραφικές αναπαραστάσεις, δίνουν την δυνατότητα στους μαθητές να εκφράσουν τις ιδιαιτερότητές τους στη μάθηση. Γ5. Ο ρόλος των εργαλείων που παρέχονται από το περιβάλλον Cabri στη νοητική ανάπτυξη του μαθητή Η σημασία των ψυχολογικών εργαλείων στην τροποποίηση της ανθρώπινης συμπεριφοράς έχει παρομοιαστεί με την έννοια των εργαλείων στην τροποποίηση της ανθρώπινης εργασίας (Vygotsky, 1978, π π. 7). Από τα ψυχολογικά εργαλεία, σημαίνουμε τα σημειωτικά συστήματα όπως η προφορική και η γραπτή γλώσσα, τα συστήματα αρίθμησης και τα συστήματα αναπαράστασης γενικά. Υποστηρίζεται επίσης (Vygotsky, 1978) ότι τα σημειωτικά συστήματα που δημιουργούνται από τις κοινωνίες σε όλη την ανθρώπινη ιστορία αλλάζουν τη μορφή των κοινωνιών και επίσης το επίπεδο της πολιτιστικής τους ανάπτυξής. Ο Vygotsky (1978) τοποθετεί την πηγή υψηλότερων διανοητικών λειτουργιών ενός παιδιού στο διά-ψυχολογικό χώρο της πολιτιστικής αλληλεπίδρασης. Θεωρεί ότι ένας πολιτισμός δεν δημιουργεί αλλά απλά τροποποιεί τα φυσικά στοιχεία -ως αποτέλεσμα της εσωτερίκευσης- σε κοινωνικο - πολιτιστική εμπειρία. Σύμφωνα με τον Vygotsky (1978), οι υψηλότερες διανοητικές λειτουργίες ενός παιδιού εξελίσσονται από το διαπροσωπικό στο προσωπικό επίπεδο μέσω της διαδικασίας της εσωτερίκευσης. Ο Vygotsky (1978) εισάγει τα σημεία στην κοινωνική ζωή των ατόμων και των διαπροσωπικών τους αλληλεπιδράσεων. Η εισαγωγή των σημείων και των συμβόλων και η χρήση τους ως διαμεσολαβητές της κοινωνικο - πολιτισμικής συμμετοχής παρέχει στους δασκάλους παραγωγικούς τρόπους για να κατανοηθεί η έννοια της μίμησης, της δράσης, της χειρονομίας και της επίδρασής τους στην κατασκευή γνώσης. Επιπλέον, επιτρέπει τη δυνατότητα να αντιμετωπιστεί η διδασκαλία ως προϊόν κοινωνικής διαπραγμάτευσης των διαφορετικών απόψεων (Steffe, 1990). Παρέχει επίσης, ένα ενδιαφέρον πλαίσιο για τους υπολογιστές, οι οποίοι είναι εργαλεία όπως τα σφυριά και τα ψαλίδια, αλλά που μπορούν επίσης να αναπαριστούν συμβολικά συστήματα και να μεταφέρουν συνεπώς ψυχολογικά σημεία (Noss και Hoyles, 1996 Sutherland, 1995) και επομένως να μπορούν να αντιμετωπισθούν ως διαμεσολαβητές της κοινωνικο - πολιτισμικής συμμετοχής στη διαδικασία της μάθησης. Όσον αφορά στο ρόλο των εργαλείων από την άποψη της κατασκευής της γνώσης των μαθητών, αναφέρεται ότι "η χρήση των εργαλείων είναι κεντρική για το μαθητή στο στάδιο της μαθηματικοποίησης της δραστηριότητάς του" (Cobb, 1997 π π. 170). Η διαθεσιμότητα των διάφορων εργαλείων και των συστημάτων αναπαράστασης παρέχει ευκαιρίες για εξατομικευμένη μάθηση, επειδή επιτρέπει σε κάθε μαθητή να εργαστεί σύμφωνα με τις ανάγκες του. Η διαθεσιμότητα των εργαλείων μπορεί επίσης να βοηθήσει τους μαθητές να διαμορφώσουν υποθέσεις και αιτιολογήσεις καθώς επίσης γενικεύσεις και συμπεράσματα. Επιπλέον, τα εργαλεία μπορούν να διαμεσολαβήσουν μεταξύ του μαθητή και των μαθηματικών εννοιών που κατασκευάζονται στα πλαίσια μιας μαθηματικής δραστηριότητας (Jones, 1997). Ειδικότερα, αναφέρεται ότι: - Τα εργαλεία αποτελούν συσκευές προς πρόσβαση στη γνώση άλλων ατόμων 8/27

9 - Η κατανόηση μιας έννοιας συνδέεται με τον τύπο των χρησιμοποιούμενων εργαλείων - Τα εργαλεία δεν εξυπηρετούν απλά τις διανοητικές δραστηριότητες αλλά και τις μορφοποιούν και τις τροποποιούν - Τα εργαλεία διαμεσολαβούν και αποτελούν αποφασιστική επιρροή στις ενέργειες του αρχαρίου μαθητή - Η δραστηριότητα μάθησης, τα εργαλεία και οι ενέργειες του ατόμου διασυνδέονται με τους μοναδικούς τρόπους σε κάθε συγκεκριμένη κατάσταση μάθησης. Η επίδραση των διαφορετικών εργαλείων στους τρόπους που χρησιμοποιούνται από τους μαθητές για να πραγματοποιήσουν συγκεκριμένες δραστηριότητες μάθησης έχει αναφερθεί (Laborde, 1993). Οι Noss και Hoyles (1992) αναφέρουν ότι τα εργαλεία δεν είναι ανεξάρτητα από το πλαίσιο μάθησης στο οποίο είναι ενσωματωμένα και συνεπώς οι μαθητές δεν είναι συνολικά ελεύθεροι στις επιλογές τους αλλά επηρεάζονται από αυτό το πλαίσιο. Το περιβάλλον Cabri διαθέτει ποικίλα εργαλεία για την πραγματοποίηση διάφορων γεωμετρικών κατασκευών, εργαλεία που έχουν σχεδιαστεί ώστε να αναπαριστούν γραφικά γεωμετρικές έννοιες στην οθόνη των υπολογιστών. Επιπλέον, τα σχήματα που παράγονται αποτελούν υπολογιστικά αντικείμενα, το οποίο σημαίνει ότι οι ιδιότητές τους διατηρούνται ενώ οι οπτικές τους μορφές αλλάζουν μέσω του άμεσου χειρισμού. Γενικά, τα εργαλεία που παρέχονται από το Cabri και οι γεωμετρικές κατασκευές που διαμορφώνονται χρησιμοποιώντας αυτά τα εργαλεία διαδραματίζουν το ρόλο των διαμεσολαβητών μεταξύ των γεωμετρικών εννοιών που ενσωματώνουν και του μαθητής κατά τη διάρκεια των αλληλεπιδράσεών του/της στα πλαίσια του προγράμματος. Γ6. Ο ρόλος των εξωτερικών αναπαραστάσεων στην ανάπτυξη της γεωμετρικής λογικής και οι δυναμικές αναπαραστάσεις γεωμετρικών εννοιών στο περιβάλλον Cabri Από την ίδια την φύση τους, τα μαθηματικά συνδέονται συνεχώς με τις ποικίλες αναπαραστάσεις τους, όπως τα γεωμετρικά σχήματα, τα διαγράμματα Venn, τα ιεραρχικά δενδρο-διαγράμματα, οι πίνακες, οι γραφικές αναπαραστάσεις στα καρτεσιανά συστήματα σντεταγμένων, κ.λπ., χρησιμοποιούνται δε ως εργαλεία από τους μαθηματικούς για να τους βοηθήσουν να εκφράσουν τις μαθηματικές έννοιες. Για τους μαθητές, αναμένεται ότι τα εξωτερικά συστήματα αναπαραστάσεις θα γίνουν χρήσιμα μαθηματικά εργαλεία για να τους βοηθήσουν να είναι σε θέση να λύσουν μαθηματικά προβλήματα (Dyfour - Janvier, Bednarz, και Belanger, το 1987). Πράγματι, η σημασία του πειραματισμού των μαθητών με τα συγκεκριμένα υλικά και τις εξωτερικές αναπαραστάσεις στην έρευνα για τις βασικές μαθηματικές σχέσεις στη γεωμετρία έχει υπογραμμιστεί (Bishop, 1983, σελ. 175). Οι αναπαραστάσεις χρησιμοποιούνται επίσης και στα σχολικά βιβλία δεδομένου ότι δεν υπάρχει καμία αμφιβολία ότι η χρήση του συμβολισμού στη μαθηματική σκέψη είναι ουσιαστική. Αν και οι αναπαραστάσεις αποτελούν το κεντρικό στοιχείο για την κατασκευή των μαθηματικών εννοιών (Noss και Hoyles, 1996), αυτές κατασκευάζονται σε συνάρτηση και με το πλαίσιο μάθησης στο οποίο είναι ενσωματωμένες. Οι εξωτερικές αναπαραστάσεις μπορούν να κάνουν τα μαθηματικά τα πιο γοητευτικά και ενδιαφέροντα (Dyfour - Janvier, Bednarz, και Belanger, 1987) και μπορούν επίσης να αποτελέσουν τους τομείς αρχικής αναφοράς των ενεργειών των παιδιών έτσι ώστε είναι σε θέση να στηριχτούν σε αυτές για την κατασκευή βασικών μαθηματικών εννοιών. 9/27

10 Οι Lesh, Mehr, και Post, (1987) χωρίζουν τα συστήματα αναπαράστασης σε " διαφανή" και "αδιαφανή" ". Στα διαφανή συστήματα αναπαράστασης, τίποτα περισσότεροι δεν είναι υπονοούμενο πέρα από τις ιδέες ή τις δομές που αναπαριστώνται. Στα "αδιαφανή" συστήματα αναπαράστασης, ορισμένες μαθηματικές έννοιες δεν είναι προφανείς αλλά βρίσκονται κρυμμένες πίσω από άλλες. Η έρευνα των Lesh, Mehr, και Post, έχει οδηγήσει στην συνειδητοποίηση ότι υπάρχει πολύ ενδιαφέρον όταν ερευνούν οι σπουδαστές τη χρήση των αδιαφανών συστημάτων αναπαράστασης. Γενικά, οι μεταβάσεις και οι μετασχηματισμοί μεταξύ των συστημάτων αναπαράστασης, αλλά και μέσα στο ίδιο σύστημα, αποκτούν ενδιαφέρον από την άποψη της κατανόησης και της χρήσης μαθηματικών ιδεών. Σύμφωνα με τον Janvier (1987), η ιδανική μέθοδος για τη μάθηση των μαθηματικών θα χρησιμοποιούσε πολλαπλές διαφορετικές αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας. Σε αυτήν την περίπτωση, ο μαθητής έχει την ευκαιρία όχι μόνο να συνειδητοποιήσει τις κοινές ιδιότητες της εν λόγω έννοιας αλλά και να γνωρίσει τη δομή της. Στα περιβάλλοντα που ενσωματώνουν διαφορετικά συστήματα αναπαράστασης, στους παρέχονται μαθητές οι δυνατότητες διαφορετικών αρχικών αφετηριών καθώς επίσης και διαφορετικών προορισμών. Επίσης υποστηρίζεται ότι η εννοιολογική κατανόηση προκύπτει από τη δημιουργία συνδέσεων μεταξύ των διαφορετικών αναπαραστάσεων (Noss και Hoyles, 1996) ενώ η χρήση των νέων μορφών αναπαραστάσεων αλλάζει τον τύπο μαθηματικών που διδάσκονται. Η επιλογή των αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται στα σχήματα που κατασκευάζονται σε πλαίσια μαθησιακών περιβαλλόντων σε υπολογιστές διαδραματίζει έναν σημαντικό ρόλο στη διαφοροποίηση της επίλυσης των στρατηγικών που αναπτύσσονται από τους μαθητές για τα προβλήματα που πρέπει να αντιμετωπίσουν. Η φυσική γλώσσα και οι εικόνες είναι τα φυσικά συμβολικά συστήματα που περιβάλλουν τα παιδιά, τα οποία συναντούν πολλές δυσκολίες με τα μαθηματικά εξαιτίας του γεγονότος ότι υπάρχει μια έλλειψη συνοχής μεταξύ των φυσικών και των περίπλοκων συμβολικών συστημάτων. Δυστυχώς, στα παιδιά συχνά δεν δίνεται η ευκαιρία να εκφραστούν μέσω της φυσικής γλώσσας ή των σχημάτων. Μέσω της χρήσης των πολλαπλών αναπαραστάσεων της ίδιας έννοιας, οι μαθητές μπορούν να βρούν τα κατάλληλα συστήματα αναπαράστασης για να γεφυρώσουν τα χάσματα μεταξύ των γνωστών σε αυτούς διαισθητικών συστημάτων αναπαράστασης και στα περιπλοκότερα συστήματα αναπαράστασης τα οποία χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά (Dyfour-Janvier, Bednarz, and Belanger, 1987). Γ7. Η σχέση μεταξύ σχημάτων και εννοιών στην ανάπτυξη της γεωμετρικής λογικής Στη γεωμετρία, ένας γεωμετρικό σχήμα και οι έννοιες που υπονοεί συσχετίζονται πολύ δηλαδή, οι εσωτερικές και εξωτερικές αναπαραστάσεις μιας έννοιας συγκλίνουν (Mariotti, 1995). Η γεωμετρία είναι επίσης ένας χώρος για διανοητικό πειραματισμό που χρησιμοποιεί τα γεωμετρικά σχήματα και τη γεωμετρική λογική και ευρέως αναγνωρίζεται ότι η αλληλεπίδραση μεταξύ των εικόνων και των υπονοούμενων εννοιών έχουν μεγάλο ενδιαφέρον σε όλη τη διαδικασία ανάπτυξης της μαθηματικής λογικής. Επίσης αναφέρεται ότι, χωρίς μια νοητική αναπαράσταση των στοιχείων μιας έννοιας και των παραδειγμάτων της, δεν είμαστε ικανοί να διαμορφώσουμε την έννοια. Γενικά, η νοητική αναπαράσταση μιας γεωμετρικής έννοιας συσχετίζεται πολύ με αυτήν του σχετικού συγκεκριμένου γεωμετρικού αντικειμένου. 10/27

11 Από ψυχολογική άποψη, οι γεωμετρικές έννοιες διατηρούν μια οπτική πτυχή που συνδέεται με το γεγονός ότι η προέλευσή τους είναι χωρική. Είναι δύσκολο να χωριστούν τα οπτικά και τα εννοιολογικά μέρη της ανάπτυξης της γεωμετρικής λογικής δεδομένου ότι αποτελεί μια διαλεκτική δραστηριότητα μεταξύ των οπτικών και των εννοιολογικών μερών (Mariotti, 1995). Εάν είναι αλήθεια ότι υπάρχει μια στενή σχέση μεταξύ των γεωμετρικών σχημάτων και των υπονοούμενων εννοιών υπάρχει επίσης λόγος να υποτεθεί ότι οι εξωτερικές εικόνες και τα σχέδια μπορούν να έχουν μια βαθιά επίδραση στις εσωτερικές διανοητικές δραστηριότητες (Mariotti, 1995). Η γενική ιδέα είναι, ότι οι εξωτερικές εικόνες αλληλεπιδρούν με τις εσωτερικές. Οι εξωτερικές εικόνες παρέχουν το αισθητηριακό κίνητρο για την κατασκευή των διανοητικών εννοιών. Η βασική ερώτηση εδώ, αφορά την επίδραση των εξωτερικών εικόνων στη διαλεκτική σχέση μεταξύ των νοητικών και των εννοιολογικών μερών. Τα γεωμετρικά σχήματα διαδραματίζουν έναν σύνθετο ρόλο στην παρουσίαση της γεωμετρικής γνώσης επειδή τα θεωρητικά και εννοιολογικά στοιχεία τους διασυνδέονται και αποτελούν τις εικονικές έννοιες "figural concepts" (Fischbein, 1993, σελ. 139). Η δυνατότητα να αναγνωριστούν οι οπτικές πληροφορίες που περιλαμβάνονται στα γεωμετρικά σχήματα, καθώς επίσης και η δυνατότητα αυτές οι έννοιες να διαχειριστούν με οπτικό τρόπο, θεωρούνται ουσιαστικές (Bishop, 1983, σελ. 184). Υπάρχει μια διαχωριστική γραμμή, Parzysz (1988) μεταξύ ενός γεωμετρικού σχήματος και ενός σχεδίου. Αφ' ενός, ένα σχέδιο αποτελεί μια διανοητική έκφραση μιας διανοητικής εικόνας μέσω ενός μέσου. Αφ' ετέρου, ένα γεωμετρικό σχήμα δεν είναι απλά μια συγκεκριμένη εικόνα αλλά ένας αντιπρόσωπος μιας κατηγορίας γεωμετρικών κατασκευών οι οποίες έχουν ορισμένες κοινές ιδιότητες. Η γεωμετρία μπορεί να αντιμετωπισθεί ως χώρος αλληλεπίδρασης μεταξύ γεωμετρικών σχημάτων και γεωμετρικών εννοιών, χρησιμοποιώντας τις αισθήσεις ως διαμεσολαβητές μεταξύ των πρώτων και των τελευταίων. Οι δυνατότητες των υπολογιστών που παρέχουν τις πολλαπλές οπτικές αναπαραστάσεις της ίδιας έννοιας έχουν χρησιμοποιηθεί στην ανάπτυξη εκπαιδευτικού λογισμικού και οι εικόνες που δημιουργούνται με τη βοήθεια των δυναμικών συστημάτων γεωμετρίας δεν είναι φτωχές αναπαραστάσεις αισθητηριακού επιπέδου. Αντίθετα, αυτές οι εικόνες έχουν μια εσωτερική λογική που εξαρτάται από τη διαδικασία από την οποία έχουν παραχθεί. Η λογική της μηχανής γίνεται η λογική του σχήματος. Προκειμένου να εργαστεί παραγωγικά με αυτούς τους αριθμούς, ένας μαθητής πρέπει προηγουμένως να είναι σε θέση να κατανοήσει αυτήν την εσωτερική λογική. Φυσικά, ο διαμεσολαβητικός ρόλος αυτών των δυναμικών σχημάτων διαφέρει ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο παράγονται. Το εκπαιδευτικό λογισμικό όπως Cabri βοηθά στην ανάπτυξη της αλληλεπίδρασης μεταξύ των οπτικών και εννοιολογικών μερών της γεωμετρικής λογικής. Η αλληλεπίδραση με το λογισμικό διαμεσολαβείται μέσω των εντολών που παρουσιάζονται στη διεπαφή του περιβάλλοντος, με κάθε εντολή που απεικονίζει ταυτόχρονα και τις εννοιολογικές και τις οπτικές έννοιες. Το σχήμα στην οθόνη αντιπροσωπεύει μόνο ένα μέρος της φύσης του. Η εσωτερική λογική που κυβερνά την κατασκευή του εν λόγω σχήματος παρουσιάζεται, επίσης, με άμεσο τρόπο αλλά μόνο όταν σέρνονται τα στοιχεία του. Με τη χρήση λειτουργία του συρσίματος, η μορφή ενός σχήματος μπορεί να αλλάξει ενώ όλες οι υπονοούμενες γεωμετρικές σχέσεις παραμένουν αμετάβλητες. Κατά συνέπεια, η εικόνα εμφανίζεται διαφορετική αλλά οι γεωμετρικές ιδιότητές της διατηρούνται. Για να αξιολογήσουν αυτήν την δραστηριότητα, οι μαθητές ωθούνται στο να αποκαλύψουν τις κρυμμένες σε αυτήν γεωμετρικές σχέσεις. 11/27

12 Γ8. Το εκπαιδευτικό λογισμικό ως ένα "πολύ σημαντικό μέσο" του πλαισίου συμφραζομένων της μάθησης Η επίδραση του πλαισίου συμφραζομένων στις ενέργειες των μαθητών και επίσης στις στρατηγικές λύσης που υιοθετούν για τα προβλήματα που τους τίθενται αναγνωρίζεται στη μάθηση όλων των αντικειμένων και πιο συγκεκριμένα των μαθηματικών (Noss και Hoyles, 1992 Kordaki και Potari, 1998 Laborde, 1993). Οι Noss και Hoyles (1992) θεωρούν ότι το εκπαιδευτικό πλαίσιο αποτελείται από το εκπαιδευτικό λογισμικό, το μαθητή, το δάσκαλο, τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ του δασκάλου και των μαθητών και τις μαθησιακές δραστηριότητες με τις οποίες οι μαθητές αλληλεπιδρούν. Αυτοί οι ερευνητές έχουν τονίσει επίσης, τη σημασία της έρευνας σχετικά με την επίδραση του εκπαιδευτικού λογισμικού ως "πολύ σημαντικό μέσο" που μπορεί να διαδραματίσει έναν κεντρικό, καθολικό και διαπεραστικό ρόλο στο σύνολο της μαθησιακής διαδικασίας. Οι προσεγγίσεις μάθησης που αναπτύσσονται από τους μαθητές που ενεργούν σε ένα πλαίσιο συμφραζομένων που συμπεριλαμβάνει και εκπαιδευτικό λογισμικό εμφανίζονται να επηρεάζονται από αυτό. Η αλληλεπίδραση με αυτό το εκπαιδευτικό λογισμικό προσανατολίζει τους μαθητές στα κύρια σημεία των εννοιών μάθησης και τους βοηθά για να διευκρινίσουν τις σχέσεις μεταξύ των εννοιών που περιλαμβάνονται σε αυτό το περιβάλλον. Επιπλέον, η τυποποίηση των σχέσεων μεταξύ των εννοιών που απαιτούνται στο σχεδιασμό ενός εκπαιδευτικού λογισμικού έχει καταλυτικές επιπτώσεις στην ανάπτυξη των στρατηγικών επίλυσης που κατασκευάζουν οι μαθητές. Από μια άλλη άποψη, το εκπαιδευτικό λογισμικό δίνει στους μαθητές την δυνατότητα να διαμορφώσουν σχέσεις μεταξύ των τυπικών και των άτυπων μαθηματικών και να κάνουν γενικεύσεις μέσω των συγκεκριμένων περιπτώσεων. Αυτοί οι ερευνητές επίσης έχουν υποστηρίξει ότι το περιβάλλον υπολογιστών μπορεί να διαδραματίσει έναν ρόλο "σκαλωσιάς" και να υποστηρίξει την ανάπτυξη της μαθηματικής δραστηριότητας. Οι Borba και Confrey (1996) μιλούν για το σχηματισμό μιας σχέσης διπλής κατεύθυνσης μεταξύ του μαθητή και του σχεδιαστή λογισμικού μέσω της διαμεσολάβησης του λογισμικού στις ενέργειες των πρώτων και την αύξηση των δυνατοτήτων του λογισμικού από τους τελευταίους. Γ9. Η μάθηση και ο διερευνητικός χαρακτήρας των δραστηριοτήτων στο περιβάλλον Cabri Το περιβάλλον Cabri (Laborde και Strasser, 1990) είναι ένα πολύ γνωστό εκπαιδευτικό λογισμικό το οποίο μπορεί να υποστηρίξει τις εποικοδομιστικές προσεγγίσεις στη μάθηση των μαθηματικών. Ειδικότερα, το Cabri παρέχει στους μαθητές τις παρακάτω πιθανές ευκαιρίες μάθησης: α) Τρόπους κατασκευής: παρέχει ένα πλούσιο σύνολο εργαλείων για να κατασκευαστούν ποικίλες γεωμετρικές κατασκευές που αναφέρονται σε πληθώρα εννοιών της Ευκλέιδιας γεωμετρίας. Αυτά τα εργαλεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν από τους μαθητές για να κατασκευάσουν ποικίλες διαφορετικές γεωμετρικές κατασκευές και για να μελετήσουν ποικίλα γεωμετρικά προβλήματα. 12/27

13 β) Εργαλεία για την κατασκευή ποικίλων αναπαραστάσεων (αριθμητικές και οπτικές), όπως τα γεωμετρικά σχάματα, οι πίνακες, οι εξισώσεις, οι γραφικές παραστάσεις και οι υπολογισμοί. Αυτές οι αναπαραστάσεις είναι διαφορετικής γνωστικής διαφάνειας συνεπώς, οι μαθητές μπορούν να επιλέξουν τα πιο κατάλληλα εργαλεία για να εκφράσουν τη γνώση τους. Κατ' αυτό τον τρόπο, οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να εκφράσουν τις διατομικές και τις ενδο-ατομικές τους διαφορές. Τα διαφορετικά συστήματα αναπαραστάσεων που χρησιμοποιούνται έχουν επίσης επιπτώσεις στο είδος γνώσης που οι μαθητές κατασκευάζουν (Kordaki, 2003; Mariotti, 1995). γ) Σύνδεδεμένες αναπαραστάσεις, με την εκμετάλλευση της διασύνδεσης των παρεχόμενων διαφορετικών αναπαραστάσεων. δ) Δυναμικός, άμεσος χειρισμός των γεωμετρικών κατασκευών με τη χρησιμοποίηση της λειτουργίας "συρσίματος". Αυτή η λειτουργία δίνει στους μαθητές την ευκαιρία να πειραματιστούν με τις γεωμετρικές κατασκευές και να ελέγξουν τις υποθέσεις τους με τον άμεσο χειρισμό, με ένα φυσικό τρόπο, των θεωρητικών αντικειμένων που εμφανίζονται ως διαγράμματα στην οθόνη του υπολογιστή. Στις κατασκευές που δημιουργούνται στο περιβάλλον Cabri, οι γεωμετρικές ιδιότητες διατηρούνται κατά τη διάρκεια του συρσίματος, ενώ η οπτική μορφή του σχήματος διαφοροποιείται. Το "σύρσιμο" έχει χρησιμοποιηθεί με τρείς τρόπους: "διερευνητικά " " ρυθμιστικά" και "επαληθευτικά" (Kordaki και Balomenou, 2006). Με τη χρησιμοποίηση της λειτουργίας "συρσίματος", οι μαθητές μπορούν επίσης να διαμορφώσουν δυναμικές απόψεις των εννοιών που μαθαίνουν (Mariotti, 1995). ε) Η δυνατότητα για επεξεργασία μεγάλου αριθμού αριθμητικών στοιχείων. Το Cabri παρέχει την ευκαιρία για την αυτόματη ταξινόμηση σε πίνακα μεγάλου αριθμού συγκεκριμένων αριθμητικών στοιχείων που αποθηκεύονται σε κάθε στιγμιότυπο της μελέτης της γεωμετρικής έννοιας προς μάθηση. Ειδικότερα, το σύρσιμο μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε συνδυασμό με τις αυτόματες μετρήσεις των συγκεκριμένων στοιχείων των γεωμετρικών κατασκευών υπό μελέτη. Αυτές οι μετρήσεις μπορούν να ταξινομηθούν σε πίνακες αυτόματα, παρέχοντας στους μαθητές ευκαιρίες να διατυπώσουν/ ελέγξουν τις υποθέσεις τους για τις συγκεκριμένες γεωμετρικές έννοιες και σχέσεις. στ) Αλληλεπίδραση και ανατροφοδότηση: η εγγενής οπτική ανατροφοδότηση και η εξωγενής αριθμητική ανατροφοδότηση παρέχουν στους μαθητές ευκαιρίες να διαμορφώσουν και να ελέγξουν τις υποθέσεις τους καθώς επίσης και να αυτό-διορθώσουν τις κατασκευές τους. Αυτό είναι σημαντικό, διότι οι ενέργειες των μαθητών συνδέονται άμεσα με τις συνέπειές τους, κάτι το οποίο είναι αδύνατο στο στατικό και σιωπηλό περιβάλλον χαρτίμολύβι όπου δεν υπάρχει καμία δυνατότητα την άμεση απάντηση στις ενέργειες του μαθητή (Kaput, 1994). ζ) Παρουσιάζοντας τις πληροφορίες στους σπουδαστές με μορφή κειμένων, παραδείγματος χάριν, είναι δυνατή η παρουσίαση των στόχων του μαθήματος και των σχετικών ερωτημάτων από τον εκπαιδευτικό σε μορφή κειμένου. η) Καταγραφή του ιστορικού των ενεργειών του μαθητή: έτσι παρέχονται στους δασκάλους και τους ερευνητές πολύτιμα στοιχεία για περαιτέρω μελέτη και έρευνα. 13/27

14 θ) επέκταση. Ορισμένες διαδικασίες θα μπορούσαν να προστεθούν ως κουμπιά στη διεπαφή του Cabri μετά από το σχηματισμό συγκεκριμένων μακροεντολών. Το Cabri καταδεικνύει ισχυρές ικανότητες για την πραγματοποίηση δραστηριοτήτων που στοχεύουν στο να ενθαρρύνουν τους μαθητές για να αποκτήσουν μια διερευνητική προοπτική στη μάθησή τους, να εκφράσουν τις διατομικές και ενδο-ατομικές διαφορές τους στη μάθησής τους, να αυτοδιορθώνονται, να διατυπώνουν και να ελέγχουν τις υποθέσεις τους και να εκμεταλλεύονται τα πλεονεκτήματα της διαπραγμάτευσης της γνώσης τους με αυτή των συμμαθητών τους σε συνεργατικές δραστηριότητες (Kordaki & Balomenou, 2006). Επιπλέον, αυθεντικές μαθησιακές δραστηριότητες από την πραγματική ζωή μπορούν να ενσωματωθούν στο περιβάλλον Cabri, δραστηριότητες που μπορούν να αναπτύξουν ισχυρό μαθησιακό κίνητρο για τους μαθητές. Δ. Cabri : πηγές από τον παγκόσμιο ιστό Σύμφωνα με τον ιστοχώρο Cabrilog - όπου παρουσιάζεται το Cabri ( το λογισμικό αυτό αναγνωρίζεται από τους εμπειρογνώμονες στην παιδαγωγική, για την απλότητά χρήσης του και για το στέρεο παιδαγωγικό του υπόβαθρο στη μάθηση των μαθηματικών. Ο ιστοχώρος προσφέρει επίσης πληροφορίες σχετικά με το Cabri (εργαλεία για τους μαθητές, εργαλεία για τους δασκάλους, εργαλεία για τις νέες ευκαιρίες μάθησης, εργαλεία που μπορούν να προσωποποιηθούν για να ικανοποιήσουν τις ανάγκες κάθε δασκάλου) και ένα σύντομο βίντεο. Οι πόροι του Cabri που μπορούν να διατεθούν ελεύθερα μπορούν να βρεθούν στο διαδίκτυο. Εδώ παρουσιάζονται μερικοί από αυτούς: α) Cabri : ( (εγχειρίδιο χρήσης) β) Cabri ( (Βασικός οδηγός) γ) ερευνώντας τα βασικά του Cabri μερικά κεφάλαια από το βιβλίο Wilgus και Pizzuto ( Ε. Το περιβάλλον Cabri και η δομή του εικονικού χώρου του προγράμματος για τα μαθηματικά (VccSSe Math e-space) Η βασική δομή του VccSSe Math είναι η δραστηριότητα μάθησης (Kordaki και Mastrogiannis, 2007).Οι παρακάτω έξι τύποι μαθησιακών δραστηριοτήτων (Kordaki και Balomenou, 2006 Kordaki, 2006) έχουν σχεδιαστεί για να πραγματοποιηθούν από τους εκπαιδευτικούς χρησιμοποιώντας τα εργαλεία του Cabri Geometry ΙΙ στα πλαίσια του VccSSe Math, δηλαδή: α) Διαμόρφωση / επαλήθευση των υποθέσεων με την εστίαση στην αλλαγή μιας γεωμετρικής κατασκευής με χρήση της λειτουργίας του συρσίματος.. Παραδείγματος χάριν, όταν ένας μαθητής σχεδιάσει ένα τρίγωνο ABC, τη διάμεσό του AG και τα μέσα D, E, F, των πλευρών του BG, AG και AC αντίστοιχα μπορεί να υποθέσει ότι "το τετράπλευρο DEFG είναι ένα παραλληλόγραμμο " και ελέγξει επίσης αυτήν την υπόθεση που έχει διαμορφωθεί με κάποιον άλλο τρόπο κατά τη διάρκεια της εμπειρίας τους (Σχήμα 1(a )). 14/27

15 β) Διαμόρφωση / επαλήθευση υποθέσεων με την εστίαση στα αριθμητικά στοιχεία που συλλέγονται αυτόματα κατά τη διάρκεια της αλλαγής μιας γεωμετρικής κατασκευής με χρήση της λειτουργίας του συρσίματος. Στην προκειμένη περίπτωση ένας σπουδαστής σχεδιάζει έναν ρόμβο ABCD και τις διαγωνίους του AC και BD καθώς επίσης και το σημείο τομής τους Ο, κατόπιν μετρά αυτόματα τις γωνίες ABD, DBC, BCA, ACD, CDB, BDA και BOC και ταξινομεί αυτόματα σε πίνακa τα στοιχεία που παράγονται από τις προαναφερθείσες αυτόματες διαδικασίες μέτρησης. Με την εστίαση σε αυτά τα αριθμητικά στοιχεία, ο μαθητής μπορεί να υποθέσει ότι "οι διαγώνιές ενός ρόμβου είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του". Κατ' αυτό τον τρόπο, οι μαθητές μπορούν επίσης να ελέγξουν την αλήθεια των υποθέσεων που έχουν διαμορφώσει με άλλους τρόπους (π.χ. με χρήση της οπτικής τους αντίληψης) κατά τη διάρκεια της εμπειρίας τους (Σχήμα 1 (b)). γ) Επαλήθευσης σχέσης με βάση τα μεταβαλλόμενα αριθμητικά δεδομένα σε συνδυασμό με την μεταβαλλόμενη εικόνα. Παραδείγματος χάριν, οι σπουδαστές μπορούν να ελέγξουν τη γενίκευση του πυθαγορείου θεωρήματος (σχήμα 2(a)). (a) (b) Σχήμα 1 παραδείγματα τύπων δραστηριοτήτων (α) και (β) που προτείνονται από το χώρο VccSSe Math δ) Δραστηριότητες πολλαπλών-επιλύσεων. Δεδομένου ότι το Cabri παρέχει ποικίλα εργαλεία και λειτουργίες, αυτές μπορούν να συνδυαστούν αποτελεσματικά για να υποστηρίξουν την πραγματοποίηση δραστηριοτήτων πολλαπλών-επιλύσεων. Στα πλαίσια αυτών των δραστηριοτήτων, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθούν όλες σχεδόν οι δυνατότητες που παρέχονται από το Cabri σε οποιοδήποτε από τους πιθανούς διαφορετικούς τύπους επίλυσης αυτών των δραστηριοτήτων. Παραδείγματος χάριν, οι σπουδαστές θα μπορούσαν να κληθούν να διαμορφώσουν τα ζευγάρια των παρόμοιων τριγώνων με οποιοδήποτε πιθανό τρόπο χρησιμοποιώντας την ποικιλία των εργαλείων παρεχόμενων (Kordaki και Mastrogiannis, 2006). Μερικές από τις πιθανές επιλύσεις αυτού του προβλήματος παρουσιάζονται σχήμα 2(b). 15/27

16 (a) (b) Σχήμα 2 παραδείγματα τύπων δραστηριοτήτων (γ) και (δ) που προτείνονται από το χώρο VccSSe Math ε) Δραστηριότητες μαύρο- κουτί. Οι μαθητές μπορούν να συμμετέχουν σε δραστηριότητες όπου πρέπει να ερευνήσουν τις γεωμετρικές κατασκευές με μερικές από τις ιδιότητές τους που κρύβονται, τις οποίες πρέπει έπειτα να ανακαλύψουν. Για να επεξηγήσουν αυτό, οι μαθητές μπορούν να κληθούν να ερευνήσουν τις συγκεκριμένες ιδιότητες των τριγώνων που διευκρινίζονται στην οθόνη του υπολογιστή (σχήμα 3(a)). Αξίζει να σημειωθεί ότι, ένα ζευγάρι αποτελείται από αυθαίρετα τρίγωνα ενώ το άλλο ζευγάρι από όμοια τρίγωνα. Οι σπουδαστές μπορούν να καταλήξουν σε αυτό το συμπέρασμα με τον άμεσο χειρισμό αυτών των ζευγαριών των τριγώνων χρησιμοποιώντας τη λειτουργία του "συρσίματος ". στ) Κατασκευές που προσομοιώνουν προβλήματα πραγματικής ζωής. Τέτοια πραγματικά προβλήματα ζωής μπορούν να βοηθήσουν να αναπτύξουν το ισχυρό κίνητρο που μαθαίνει στους σπουδαστές και που τους ενθαρρύνει για να πλησιάσουν τα μαθηματικά ως ανθρώπινη δραστηριότητα (Bishop, 1988) καθώς επίσης και τις τεθειμένες μαθηματικές έννοιες σε ένα διεπιστημονικό πλαίσιο. Για παράδειγμα, εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα: Δύο ιστοί μιας βάρκας είναι 4 και 6 μέτρα υψηλά αντίστοιχα. Τα καλώδια συνδέουν την κορυφή του πρώτου με τη βάση του άλλου. Τα καλώδια τέμνονται στο σημείο Ε, το οποίο είναι 2,4 μέτρα επάνω από τη γέφυρα. Πώς μπορεί ο καπετάνιος, που κινεί τους ιστούς, να προσθέσει έναν τρίτο, καλώδιο 3 μέτρων, στη διατομή, ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη υποστήριξη των πανιών; (Σχήμα 3(b)). 16/27

17 (a) (b) Σχήμα 3 παραδείγματα τύπων δραστηριοτήτων (ε) και (στ) που προτείνονται από το χώρο VccSSe Math Τέλος, αξίζει να σημειωθεί ότι παρέχονται στους δασκάλους οι τεχνικές οδηγίες για το πώς να χρησιμοποιήσουν τα εργαλεία του Cabri. Επιπλέον, στους δασκάλους παρέχονται, σχετικές πληροφορίες με θεωρητικά θέματα για τις σύγχρονες κοινωνικές και εποικοδομιστικές προσεγγίσεις στη γνώση και στη μάθηση στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού λογισμικού Cabri. Ζ. Cabri : Προτεινόμενες δραστηριότητες Η φιλοσοφία πίσω από τη μάθηση της γεωμετρίας με τη βοήθεια του Cabri Geometry II επιτρέπει τη μέγιστη αλληλεπίδραση (ποντίκι, πληκτρολόγιο, κ.λπ...) μεταξύ του χρήστη και του λογισμικού, και, σε κάθε περίπτωση, εξασφαλίζει στο χρήστη να μην εκπλήσσεται από την απάντηση του λογισμικού, αρχικά με τις τυποποιημένες απαντήσεις που δίνονται από το λειτουργικό σύστημα στην αλληλεπίδραση με το χρήστη, και αφετέρου από την κατάλληλη μαθηματική συμπεριφορά. Ένα αρχείο του Cabri περιλαμβάνει ένα γεωμετρικό σχήμα πάνω σε μια εικονική επιφάνεια. Το σχήμα αυτό αποτελείται από επί μέρους γεωμετρικά στοιχεία όπως σημεία, γραμμές, κύκλοι, κ.λπ.. Επιπλέον, μπορεί να περιλαμβάνει αριθμούς, κείμενο, τύπους κ.α. Ένα αρχείο του Cabri μπορεί επίσης να περιλάβει τις μακροκατασκευές, που χρησιμοποιούνται για την απλουστευμένη αναπαραγωγή των κατασκευών καθώς επίσης και να επεκτείνει τις λειτουργίες του λογισμικού. Η επιφάνεια διεπαφής του Cabri αποτελείται από: - Η τυποποιημένη γραμμή εργαλείων - Η τυποποιημένη γραμμή εργαλείων που αφορά σε όλα τα εργαλεία που απαιτούνται για τις γεωμετρικές κατασκευές - Κάθε εικόνα αντιστοιχεί σε ένα εργαλείο και εμφανίζει μια εκτεταμένη εργαλειοθήκη εάν το αριστερό κουμπί του ποντικιού διατηρείται πατημένο - Η γραμμή ιδιοτήτων στο αριστερό μέρος της οθόνης - Η παλέτα χρωμάτων που μπορεί να τοποθετηθεί οπουδήποτε στην οθόνη - Τα scrollbars για την κίνηση γύρω από την περιοχή σχεδίασης 17/27

18 - Μια εργαλειοθήκη για μετρήσεις εμβαδών, μήκους, και άλλων γεωμετρικών μεγεθών και δυνατότητες πραγματοποίησης υπολογισμών με βάση σε αυτούς τους αριθμούς. Τα περισσότερα από τα εργαλεία του Cabri προσεγγίζονται από τη γραμμή εργαλείων όπου κάνοντας κλικ σε κάθε κουμπί ανοίγονται διαφορετικές εργαλειοθήκες (Σχήμα 4). Σχήμα 4 Παραδείγματα εργαλείων που βρίσκονται στο περιβάλλον διεπαφής του Cabri Στις ακόλουθες παραγράφους, μερικές δραστηριότητες προτείνονται για να πραγματοποιηθούν προκειμένου να επιτευχθεί μια εξοικείωση με τα εργαλεία του Cabri Geometry ΙΙ. Ζ. 1. ΔΙΑΜΕΣΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Κατασκευάζουμε τρίγωνο. (κουμπί 3-τρίγωνο) Κάνουμε κλικ σε τρία σημεία της οθόνης που θέλουμε να είναι οι κορυφές του τριγώνου. Ονομάζουμε τις κορυφές του Α,Β,Γ. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στις κορυφές του τριγώνου και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Α,Β,Γ. Κατασκευάζουμε τα μέσα των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ. (Κουμπί 5 Μέσο) Κλικ στις πλευρές των τριγώνων. Ονομάζουμε Δ, Ε, Ζ τα μέσα των πλευρών του. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στα μέσα των πλευρών του τριγώνου και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Δ, Ε, Ζ. Κατασκευάζουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. (κουμπί 3 Τμήμα) Κλικ στο σημείο Α και μετά στο σημείο Δ. Ομοίως για τις άλλες διαμέσους. Χρωματίζουμε το τρίγωνο. (κουμπί 11 Γέμισμα) Επιλέγουμε το χρώμα, πλησιάζουμε τον κέρσορα σε μια πλευρά του τριγώνου και κάνουμε κλικ. Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου. (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. 18/27

19 ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Τι παρατηρείτε; VccSSe Μετράμε τις πλευρές ΑΒ, ΑΓ ΚΑΙ τις διαμέσους ΒΕ, ΓΖ. (κουμπί 9-απόσταση και μήκος) Κάνουμε κλικ στο σημείο Α, μετά στο Β για να μετρήσουμε το μήκος της ΑΒ. Στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε ΑΒ=. Ομοια για τις υπόλοιπες μετρήσεις. Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου ώστε ΑΒ=ΑΓ. (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. ΕΡΩΤΗΣΗ2 η Τι παρατηρείτε; Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. Το σημείο τομής των διαμέσων λέγεται βαρύκεντρο ( κέντρο βάρους )του τριγώνου ΕΡΩΤΗΣΗ 3 η Μπορεί το βαρύκεντρο να βρίσκεται πάνω σε πλευρά, κορυφή ή έξω από το τρίγωνο; Ζ. 2. ΔΙΧΟΤΟΜΟΙ - ΤΡΙΓΩΝΟΥ Αρχείο - Δημιουργία Κατασκευάζουμε τρίγωνο. (κουμπί 3-τρίγωνο) Κάνουμε κλικ σε τρία σημεία της οθόνης που θέλουμε να είναι οι κορυφές του τριγώνου. Ονομάζουμε τις κορυφές του Α, Β, Γ. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στις κορυφές του τριγώνου και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Α, Β, Γ. Κατασκευάζουμε τις διχοτόμους των γωνιών του τριγώνου. (Κουμπί 5 διχοτόμος γωνίας) Κάνουμε κλικ στην κορυφή Β, μετά στην Α και τέλος στην Γ για την διχοτόμο της γωνίας Α. Ομοίως για τις άλλες. Κατασκευάζουμε τα σημεία τομής των διχοτόμων με τις πλευρές του τριγώνου. (κουμπί 2 σημείο σε τομή) Κάνουμε κλικ στην διχοτόμο και στην πλευρά. Κατασκευάζουμε τις διχοτόμους ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ. (κουμπί 3 Τμήμα) Κλικ στο σημείο Α και μετά στο σημείο Δ. Ομοίως για τις άλλες διχοτόμους. Ονομάζουμε Δ, Ε, Ζ τα σημεία τομής. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στα σημεία τομής και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Δ, Ε, Ζ. Αποκρύπτουμε τις ευθείες των διχοτόμων. (κουμπί 11-Απόκρυψη) Κλικ στις ευθείες των διχοτόμων. Χρωματίζουμε το τρίγωνο. (κουμπί 11 Γέμισμα) Επιλέγουμε το χρώμα, πλησιάζουμε τον κέρσορα σε μια πλευρά του τριγώνου και κάνουμε κλικ. 19/27

20 Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου. (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Τι παρατηρείτε; Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου. (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Μπορεί το σημείο τομής των διχοτόμων να βρίσκεται σε πλευρά, κορυφή, ή έξω από το τρίγωνο; Ζ.3. ΥΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ-ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΠΕΡΙΜΕΤΡΟΣ Αρχείο - Δημιουργία Κατασκευάζουμε τρίγωνο. (κουμπί 3-τρίγωνο) Κάνουμε κλικ σε τρία σημεία της οθόνης που θέλουμε να είναι οι κορυφές του τριγώνου. Ονομάζουμε τις κορυφές του Α, Β, Γ. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στις κορυφές του τριγώνου και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Α, Β, Γ. Κατασκευάζουμε κάθετες ευθείες από κάθε κορυφή στην απέναντι πλευρά. (Κουμπί 5 Κάθετη ευθεία) Κάνουμε κλικ στην κορυφή Α, μετά στην πλευρά ΒΓ. Ομοίως για τις άλλες κάθετες. Κατασκευάζουμε τα σημεία τομής των καθέτων με τις πλευρές του τριγώνου. (κουμπί 2 σημείο σε τομή) Κάνουμε κλικ στην πλευρά και στην αντίστοιχη κάθετη. Ονομάζουμε Δ, Ε, Ζ τα σημεία τομής. (κουμπί 9-ονομασία) Κάνουμε κλικ στα σημεία τομής και στο πλαίσιο που εμφανίζεται πληκτρολογούμε Δ, Ε, Ζ. Χρωματίζουμε το τρίγωνο. (κουμπί 11 Γέμισμα) Επιλέγουμε το χρώμα, πλησιάζουμε τον κέρσορα σε μια πλευρά του τριγώνου και κάνουμε κλικ. Μετακινούμε τις κορυφές του τριγώνου. (κουμπί 1 δείκτης) Κρατημένο κλικ σε κορυφή του τριγώνου και σύρουμε τον κέρσορα στην οθόνη. ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Τι παρατηρείτε; 20/27