Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ

Transcript

1 Πανεπιζηήμιο Αθηνών Τμήμα Φςζικήρ Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώζειρ ΙI: Η Εξίζωζη Schöinge για ζωμάηιο ζε κενηπικό δςναμικό.. Ακηινική εξίζωζη Η εμίζσζε Schöinge γηα έλα ζσκάηην ην νπνίν θηλείηαη θάησ από ηε επίδξαζε θεληξηθώλ δπλάκεσλ ζα έρεη, ζε ζθαηξηθέο ζπληεηαγκέλεο, ηε κνξθή: L V { } E { },,,, Σηελ εμίζσζε απηή γξάςακε ηε κάδα ηνπ ζσκαηηδίνπ (γηα λα κελ γίλεη ζύγρπζε κε ηνλ θβαληηθό αξηζκό m ), ζεκεηώζακε κε ην πεξηιεπηηθό όλνκα {} a ην ζύλνιν ησλ δεηθηώλ πνπ είλαη απαξαίηεηνη γηα ηνλ πιήξε θαζνξηζκό ηεο θαηάζηαζεο ηνπ ζσκαηηδίνπ (μέξνπκε όηη κόλν ε ζηξνθνξκή ρξεηάδεηαη δύν δείθηεο, ηνπο, m) θαη γξάςακε: (.) ˆL cot (.) sin Αθνύ νη δηαθνξηθνί ηειεζηέο πνπ εκθαλίδνληαη ζηελ εμ. (.) δελ κπιέθνπλ ηελ αθηηληθή κε ηηο γσληαθέο κεηαβιεηέο κπνξνύκε λα ςάμνπκε γηα ιύζεηο κε ηε κνξθή,, R, (.3) { a} { a} { a} Όπσο έρνπκε ήδε δεη, αληηθαηάζηαζε ζηελ (.) καο νδεγεί ζην ζπκπέξαζκα όηη νη ζπλαξηήζεηο πξέπεη λα είλαη ηδηνζπλαξηήζεηο ηνπ δηαθνξηθνύ ηειεζηή (.). Απηέο ηηο έρνπκε ήδε βξεη σο { a} ηηο ζθαηξηθέο αξκνληθέο: ˆL m, ( ) m, (.4) Με ηελ εμ. (.4) είλαη εύθνιν λα δνύκε όηη ε αθηηληθή εμάξηεζε ηεο (.3) ζα πξνζδηνξίδεηαη από ηελ εμίζσζε: E V R E Σηελ εμίζσζε απηή ζεκεηώζακε ξεηά ηνπο δύν δείθηεο από ηνπο νπνίνπο ζα θαζνξίδεηαη (πξνθαλώο ιόγσ ηεο (.5)) ε αθηηληθή ζπλάξηεζε R (): ηνλ δείθηε E, πνπ αλαθέξεηαη ζηελ ελέξγεηα θαη ηνλ δείθηε πνπ αλαθέξεηαη ζην κέηξν ηεο ηξνρηαθήο ζηξνθνξκήο. Να παξαηεξήζνπκε ακέζσο όηη ε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζσκαηίνπ εμαξηάηαη θαη από ηνλ θβαληηθό αξηζκό m ζε αληίζεζε κε επηηξεπόκελεο ηηκέο ηεο ελέξγεηαο (νη νπνίεο ζα πξνθύςνπλ από ηελ αλάιπζε ηεο εμ.(.5)) πνπ είλαη αλεμάξηεηεο από ην m. Απηό ζεκαίλεη όηη ζα ππάξρνπλ (.5)

2 δηαθνξεηηθέο κεηαμύ ηνπο θαηαζηάζεηο νη νπνίεο ζα έρνπλ ηελ ίδηα ελέξγεηα. Με άιια ιόγηα ζα έρνπκε ηνλ (ειάρηζην δπλαηό) εθθπιηζκό ηάμεο ησλ ελεξγεηαθώλ επηπέδσλ. Να ζεκεηώζνπκε αθόκα όηη ην ελεξγό δπλακηθό (δει. απηό πνπ ηειηθά θαζνξίδεη ηηο δπλάκεηο) είλαη V V Ο δεύηεξνο όξνο ζηελ παξαπάλσ ζρέζε είλαη έλα απσζηηθό θεληξνθπγηθό δπλακηθό ην νπνίν νθείιεηαη ζηελ ηξνρηαθή ζηξνθνξκή.. Ελεύθεπο ζωμάηιο Η εμ. (.5) δελ είλαη εύθνιν λα κειεηεζεί ζηε γεληθή ηεο κνξθή. Γηα ην ιόγν απηό ζα μεθηλήζνπκε από ηελ πεξίπησζε ηνπ ελεςθέπος ζωμαηίος: Εδώ γηα ιόγνπο επθνιίαο γξάςακε R (.6) (.7) E ( E ) θαη αιιάμακε αληίζηνηρα θαη ηνλ δείθηε ηεο αθηηληθήο ζπλάξηεζεο από E ζε. Σεκεηώλεηαη όηη ν δείθηεο είλαη ζπλερήο. Γηα λα ζπλερίζνπκε ζα θάλνπκε ηελ αιιαγή R (.8) θαη ζα μαλαγξάςνπκε ηελ εμ.(.7): Αλ παξαγσγίζνπκε ηελ εμίζσζε απηή αθόκε κηα θνξά ζα πάξνπκε (.9) (.) Η ηειεπηαία επέκβαζε πνπ ζα θάλνπκε είλαη λα γξάςνπκε f γίλεη: f νπόηε ε (.) ζα (.) Αλ ηώξα ζπγθξίλνπκε ηηο εμηζώζεηο (.9) θαη (.) βιέπνπκε όηη f c,, c (.) Εθαξκόδνληαο επαλεηιεκκέλα ηελ ηειεπηαία ζα πάξνπκε

3 Γηα λα βξνύκε ηελ εμ. c R c R (.3) R ιύλνκε ηελ (.7) γηα : Η γεληθή ιύζε ηεο ηειεπηαίαο εμίζσζεο είλαη: R [ R ] (.4) R Asin Bcos (.5) Είλαη ινγηθό λα δεηήζνπκε ε θπκαηνζπλάξηεζε λα είλαη πεπεξαζκέλε ζην όξην θαη επνκέλσο επηιέγνπκε ηε ιύζε sin R A (.6) Η ηειεπηαία ζρέζε αλ ζπλδπαζηεί κε ην απνηέιεζκα (.6) ζα καο δώζεη ηε δεηνύκελε αθηηληθή ζπλάξηεζε: sin R Ac (.7) Τηο ζηαζεξέο πνπ εκθαλίζηεθαλ ζα ηηο πξνζδηνξίζνπκε από ηε ζπλζήθε νξζνγσληόηεηαο ησλ αθηηληθώλ ζπλαξηήζεσλ (εδώ ιάβακε ππόςε ην όηη ν δείθηεο είλαη ζπλερήο ). * R R (.8) Τνλ ζπληειεζηή A κπνξνύκε λα ηνλ ππνινγίζνπκε από ηελ πεξίπησζε : * A sin sin sin sin R R A A A cos 4 4 i i cos e e (.9) A A 4 Γηα ηε ζηαζεξά c είλαη αξθεηό λα ζεσξήζνπκε ηελ πεξίπησζε. Ο ππνινγηζκόο ζα καο νδεγήζεη ζην απνηέιεζκα c. Ωο ζπλήζσο ε θαλνληθνπνίεζε δελ κπνξεί λα πξνζδηνξίζεη ηελ θάζε ησλ ζηαζεξώλ απηώλ. Η ζύκβαζε πνπ αθνινπζείηαη ζπλήζσο είλαη λα δηαιέμνπκε A και c (.) 3

4 Μεηά από ηελ αλάιπζε απηή έρνπκε βξεη γηα ην αθηηληθό κέξνο ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο: όπνπ R j (.) είλαη νη ιεγόκελεο ζθαιπικέρ ζςναπηήζειρ Bessel. sin j ( ) (.) Γηα πιεξόηεηα λα αλαθέξνπκε όηη αλ δελ είρακε ζέζεη ηελ απαίηεζε ε ιύζε καο λα είλαη πεπεξαζκέλε ζηελ αξρή (απηό ζα κπνξνύζε λα ζπκβαίλεη, γηα παξάδεηγκα, αλ ην ζσκάηην ήηαλ ειεύζεξν από κηα απόζηαζε θαη κεηά) ζα έπξεπε λα θξαηήζνπκε θαη ηνπο δύν όξνπο ζηε ζρέζε (.5) κε ηνπο ζπληειεζηέο λα πξνζδηνξίδνληαη από ηηο ζπλνξηαθέο απαηηήζεηο ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ πξνβιήκαηνο πνπ ζα αληηκεησπίδακε. Αλ αληί γηα ηνλ πξώην είρακε θξαηήζεη ηνλ δεύηεξν όξν ην απνηέιεζκα ζην νπνίν ζα θαηαιήγακε ζα ήηαλ όπνπ R n (.3) είλαη νη ιεγόκελεο ζθαιπικέρ ζςναπηήζειρ Neumann. cos n (.4) Μπνξεί θαλείο λα εηζαγάγεη θαη ηηο ζθαιπικέρ ζςναπηήζειρ Hanel ππώηος και δεςηέπος είδοςρ i e h n ij (.5) Όιεο νη παξαπάλσ ζπλαξηήζεηο (επνκέλσο θαη νη γξακκηθνί ζπλδπαζκνί ηνπο) είλαη ιύζεηο ηεο βαζηθήο εμίζσζεο (.7). Πνηα από όιεο ζα δηαιέμνπκε ζε θάπνην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα εμαξηάηαη από ηηο ζπλνξηαθέο απαηηήζεηο πνπ ην ζπλνδεύνπλ. 3. Εναλλακηική λύζη Τν απνηέιεζκα (.) κπνξεί λα παξαρζεί θαη κε άιινπο ηξόπνπο. Εδώ ζα αλαθέξνπκε έλαλ πνπ παξνπζηάδεη ηδηαίηεξν ελδηαθέξνλ θαη βξίζθεη εθαξκνγέο ζηε ζθέδαζε ζσκαηηδίσλ. Θα μεθηλήζνπκε από ηελ απιή ζθέςε όηη ήδε μέξνπκε ηε ιύζε ηεο ειεύζεξεο εμίζσζεο Schöinge ζε θαξηεζηαλέο ζπληεηαγκέλεο: (ην άλπζκα έρεη κέηξν 3/ e i (.6) E ). Αθνύ νη ζπλαξηήζεηο πνπ εηζάγακε κε ηε ζρέζε (.3): 4

5 ,, R, m m (.7) θηηάρλνπλ έλα πιήξεο ζύλνιν, είλαη πξνθαλέο όηη κπνξνύκε λα αλαιύζνπκε ηε ζπλάξηεζε (.6) ζηε βάζε πνπ ζρεκαηίδνπλ νη (.7), δει. κπνξνύκε λα γξάςνπκε: i e a mr m, m, (.8) Επεηδή ην ζσκάηην έρεη θαζνξηζκέλε ελέξγεηα είλαη θαλεξό όηη κόλν όξνη κε θαζνξηζκέλν ζα εκθαλίδνληαη ζην παξαπάλσ αλάπηπγκα. Από ηελ εμίζσζε απηή (ζηελ νπνία ν παξάγνληαο θαλνληθνπνίεζεο 3/ έρεη ελζσκαησζεί ζηηο ζηαζεξέο a ) ζα πξνζπαζήζνπκε λα πξνζδηνξίζνπκε ηελ αθηηληθή ζπλάξηεζε. Μπνξνύκε λα απινπνηήζνπκε ιίγν ηα πξάγκαηα ζεσξώληαο όηη ην άλπζκα είλαη ζηελ θαηεύζπλζε ηνπ άμνλα z αθνύ απηό δελ πξόθεηηαη λα επεξεάζεη ηελ αθηηληθή εμάξηεζε. Επνκέλσο μαλαγξάθνπκε ηελ (.8) κε ηε κνξθή: cos i cos e ar a R P 4 (.9) γηα ην ηειεπηαίν βήκα ρξεζηκνπνηήζακε ηε γλσζηή κνξθή ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ θαη γξάςακε P u! u u (.3) Όπσο είδακε θαη ζην πξνεγνύκελν θεθάιαην, ηα πνιπώλπκα Legene ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε νξζνγσληόηεηαο: sin P cos P cos up u P u (.3) Μπνξνύκε λα εθκεηαιιεπζνύκε ηε ζρέζε απηή: πεγαίλνληαο ζηελ εμίζσζε (.9) βιέπνπκε όηη iu 4 ( ) ue P u a R up u P u a R (.3) Έρνπκε βξεη ινηπόλ όηη: iu R ue P u a (.33) Γηα λα ζπλδεζνύκε κε ηα πξνεγνύκελα απνηειέζκαηα αο κειεηήζνπκε ην νινθιήξσκα πνπ εκθαλίδεηαη ζηελ ηειεπηαία ζρέζε: iu iu! u I ue P u ue u (.34) Ακέζσο κπνξνύκε λα δηαπηζηώζνπκε όηη 5

6 θαη επνκέλσο sin I ue j, iu iu iu i ( ) sin I uue ue i ij,, (.35) sin I i i j i R 4 j (.36) a ηνλ δε ζπληειεζηή θαλνληθνπνίεζεο ζα ηνλ πξνζδηνξίζνπκε από ηε ζπλζήθε νξζνγσληόηεηαο: * R R Αληηθαζηζηώληαο ηελ (.36) παίξλνπκε 4 4 j j a a (.37) Γηα ην πξώην βήκα ζηελ (.37) ρξεζηκνπνηήζακε ηε ζρέζε (.) ε νπνία νδεγεί ζην ζπκπέξαζκα: j j (.38) Επνκέλσο (θαη δηαιέγνληαο ηε θάζε ησλ a έηζη ώζηε ε αθηηληθή ζπλάξηεζε λα είλαη πξαγκαηηθή) a i Μεηά από απηά έρνπκε βξεη όηη ε αθηηληθή ζπλάξηεζε είλαη (.39) R j ελώ ην αλάπηπγκα (.9) έρεη πάξεη ηελ ηειηθή ηνπ κνξθή: i cos e i j P cos (.4) 4. Μελέηη ηων λύζεων Αλ θαη δελ κπνξνύκε λα δώζνπκε γεληθνύο θαλόλεο, είλαη ρξήζηκν λα δνύκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο αθηηληθήο εμίζσζεο γηα κηα επξεία γθάκα δπλακηθώλ. Η αθεηεξία καο ζα είλαη ε εμίζσζε όπνπ E V RE (.4) 6

7 Όηαλ θαη αθνύ V V (.4) V είλαη πξνθαλέο όηη ην ελεξγό δπλακηθό ζα θπξηαξρείηαη από ην θεληξνθπγηθό δπλακηθό (ππό ηελ πξνϋπόζεζε όηη ) θαη ε ιύζε ηεο εμ.(.4) είλαη γλσζηή: sin R j (.43) Η ιύζε απηή αθνξά ζην πξόβιεκά καο κόλν όηαλ θαη επνκέλσο ζα πξέπεη λα βξνύκε ηε κνξθή ηεο ζηελ πεξηνρή απηή. Θα γξάςνπκε sin n n n n! νπόηε ε εμ.(.43) ζα πάξεη ηε κνξθή n n n (.44) n n! R Λίγε ζθέςε καο πείζεη όηη ζηελ παξαπάλσ δπλακνζεηξά ν πην ζεκαληηθόο όξνο ζα είλαη ν n αθνύ νη παξαγσγίζεηο κεδελίδνπλ όινπο ηνπο πξνεγνύκελνπο θαη όινη νη επόκελνη ζα κεδελίδνληαη ηαρύηεξα από απηόλ. Επνκέλσο, όηαλ ε ιύζε (.43) ζα πξνζεγγίδεηαη από ηελ:! R! R!! (.45) Η παξαπάλσ αλάιπζε, πξνθαλώο, δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε νπόηε ν θεληξνθπγηθόο όξνο ιείπεη από ην ελεξγό δπλακηθό θαη επνκέλσο ην πξόβιεκα πνπ πξέπεη λα κειεηήζνπκε είλαη E V R (.46) Θα θάλνπκε ηελ αιιαγή R νπόηε ε πξνεγνύκελε εμίζσζε ζα πάξεη ηε κνξθή E V (.47) a Αλ δνθηκάζνπκε ιύζε ηεο κνξθήο ζα πάξνπκε a a E V (.48) αθνύ V ε ηειεπηαία εμίζσζε ζα καο νδεγήζεη ζην ζπκπέξαζκα aa 7

8 Η επηινγή πνπ θξαηάεη ηελ αθηηληθή ζπλάξηεζε πεπεξαζκέλε γηα είλαη ε a θαη επνκέλσο ζην όξην ε ζπλάξηεζε R ζπκπεξηθέξεηαη σο κία ζηαζεξά όπσο πξνβιέπεηαη θαη από ην απνηέιεζκα (.45) αλ ζεσξνύζακε όηη απηό κπνξεί λα επεθηαζεί θαη ζηελ πεξίπησζε. Θα πεξάζνπκε ηώξα ζην όξην. Αλ ζπκβαίλεη ην δπλακηθό λα κεδελίδεηαη πνιύ γξήγνξα V θαη αλ θαη πάιη ην θεληξνθπγηθό δπλακηθό έρεη ηνλ πξώην ξόιν θαη επνκέλσο ην πξόβιεκά καο ζπλίζηαηαη ζην λα βξνύκε ηε ζπκπεξηθνξά ηεο ιύζεο ζηελ (.43) ζε κεγάιεο απνζηάζεηο. Από ηε κνξθή ηεο είλαη θαλεξό όηη ε θπξίαξρε ζπλεηζθνξά ζα πξνέξρεηαη από ηηο παξαγσγίζεηο ηνπ εκηηόλνπ αθνύ νη παξαγσγίζεηο ησλ όξσλ πνπ έρνπλ δπλάκεηο ηεο απόζηαζεο ζηνλ παξαλνκαζηή ζα δίλνπλ αζζελέζηεξν απνηέιεζκα. Έηζη: θαη αθνύ ζα έρνπκε όηη sin R sin (.49) sin cos sin, sin cos sin sin sin R sin / Η παξαπάλσ αλάιπζε δελ ηζρύεη ζηελ πεξίπησζε, (.5). Δελ ηζρύεη επίζεο εάλ ην δπλακηθό V κεδελίδεηαη κελ θαζώο αιιά όρη ηόζν γξήγνξα όζν ππνζέζακε. Αλ δειαδή θαζώο κε είλαη πξνθαλέο όηη απηόο είλαη ν όξνο πνπ ραξαθηεξίδεη ην ελεξγό δπλακηθό θαη όρη ν θεληξνθπγηθόο. Γηα λα δνύκε ηη γίλεηαη ζηηο πεξηπηώζεηο απηέο ζα γπξίζνπκε ζηελ εμ. (.47). Θα θάλνπκε ηελ αιιαγή θαη ζα ηελ μαλαγξάςνπκε i e (.5) i V (.5) Τν δπλακηθό βέβαηα κεδελίδεηαη ζην όξην αιιά απηό δελ ζεκαίλεη θαη αλάγθε, όηη κπνξνύκε λα παξαιείςνπκε ηνλ ηειεπηαίν όξν ζηελ παξαπάλσ εμίζσζε. Αλ κπνξνύζακε λα ην θάλνπκε ζα θαηαιήγακε ζην ζπκπέξαζκα όηη ε ζπλάξηεζε είλαη κηα ζηαζεξά θαη επνκέλσο 8

9 i e (.53) i e R ζε ζπκθσλία κε ην απνηέιεζκα (.5). Θα κπνξνύζε όκσο ε ζπλάξηεζε λα κεηαβάιιεηαη πνιύ αξγά έηζη ώζηε i V (.54) νπόηε ε δεύηεξε παξάγσγνο ζηελ εμ. (.5) είλαη ακειεηέα. Η εμίζσζε (.54) κπνξεί λα ιπζεί εύθνια θαη ην απνηέιεζκα είλαη i (.55) exp V Σηελ παξαπάλσ ζρέζε είλαη κηα απζαίξεηε (αιιά κεγάιε) απόζηαζε. Αο πνύκε ηώξα όηη c V. Τν νινθιήξσκα γίλεηαη ακέζσο θαη ζα πάξνπκε: i c exp (.56) Τν απνηέιεζκα απηό καο ιέεη όηη κπνξνύκε λα ζεσξήζνπκε ηε ζπλάξηεζε ζαλ κηα ζηαζεξά θαη, επνκέλσο, όηη όηαλ ην δπλακηθό είλαη ηέηνην ώζηε lim V ε αθηηληθή ζπλάξηεζε ζπκπεξηθέξεηαη ζε κεγάιεο απνζηάζεηο όπσο δειώλνπλ νη ζρέζεηο (.5) ή (.53): ζαλ έλα c ειεύζεξν (ζθαηξηθό) θύκα ην νπνίν ζβήλεη ζην άπεηξν. Αλ όκσο V ε έθθξαζε (.55) ζα γίλεη: θαη επνκέλσο i exp cln (.57) R exp i c ln (.58) Τν απνηέιεζκα απηό καο ιέεη θάηη αμηνζεκείσην: Όζν θαη αλ απνκαθξπλζεί έλα ζσκάηην από ηελ αξρή δελ ζα απειεπζεξσζεί από ηελ επίδξαζε ελόο δπλακηθνύ Coulomb. 5. Φςζική ζημαζία ηηρ ακηινικήρ ζςνάπηηζηρ Κιείλνληαο, ζα θνηηάμνκε ηε θπζηθή ζεκαζία ηεο αθηηληθήο ζπλάξηεζεο. Είλαη θαη αξρή πξνθαλέο όηη ε πνζόηεηα R nl ζα πξέπεη λα ζρεηίδεηαη κε ηελ ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ην ζσκάηην ζε απόζηαζε κεηαμύ και από ηελ αξρή (θαη κε ελέξγεηα πνπ ραξαθηεξίδεηαη από ηνλ αξηζκό n θαη κέηξν ηεο ζηξνθνξκήο πνπ ραξαθηεξίδεηαη από ηνλ αξηζκό 9

10 ). Ελ ηνύηνηο δελ είλαη αθξηβώο ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο. Απηό κπνξνύκε λα ην δηαπηζηώζνπκε από ηε ζπλζήθε θαλνληθνπνίεζεο: * n n nn n R R R (.59) Η ζρέζε απηή καο ιέεη όηη ε πνζόηεηα πνπ κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο είλαη ε R θαη ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκάηην ζε απόζηαζε κεηαμύ n n (.6) και είλαη Pn n Rn (.6) Αλ ην ελεξγεηαθό θάζκα είλαη ζπλερέο ε ζρέζε θαλνληθνπνίεζεο είλαη * R R (.6) Είλαη πξνθαλέο όηη επεηδή ε κεηαβιεηή είλαη ζπλερήο ε πνζόηεηα R δελ είλαη νινθιεξώζηκε θαη επνκέλσο δελ είλαη δπλαηόλ λα εξκελεπζεί σο ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο. Σηελ πεξίπησζε απηή κπνξνύκε λα εηζαγάγνπκε ηε ζπλάξηεζε / ef (.63) / R R ηε κέζε ηηκή, δειαδή, ηεο ζπλάξηεζεο R ζε κηα δώλε ελέξγεηαο εύξνπο απηή ηζρύεη όηη. Γηα ηε ζπλάξηεζε θαη επνκέλσο ε πνζόηεηα / / R / / R (.64) κπνξεί λα εξκελεπζεί σο ε ππθλόηεηα πηζαλόηεηαο λα βξεζεί ην ζσκάηην ζε απόζηαζε κεηαμύ και θαη κε ελέξγεηα ζε κηα δώλε εύξνπο. Σύκθσλα κε ηε ινγηθή απηή θαη ζε όηη αθνξά ζην ζπγθεθξηκέλν πξόβιεκα ε πηζαλόηεηα λα βξνύκε ην ζσκάηην πνιύ θνληά ζηελ αξρή θαη κέζα ζε κηα «ζηελή» ελεξγεηαθή δώλε είλαη! P! (.65) θαη όπσο ζα πεξηκέλακε είλαη ηόζν κηθξόηεξε όζν κεγαιύηεξε είλαη ε ζηξνθνξκή ελώ δελ ππάξρεη πεξίπησζε λα βξεζεί ην ζσκάηην ζηελ αξρή. Αληίζηνηρα ε πηζαλόηεηα λα βξεζεί ην ζσκάηην πνιύ καθξηά από ηελ αξρή είλαη P sin (.66)