Εξαϋλωση Ηλεκτρονίου-Ποζιτρονίου

Transcript

1 Εξαϋλωση Ηλεκτρονίου-Ποζιτρονίου Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 1

2 Υπολογισµοί στην QED! Υπολογισµός ενεργούς διατοµής στην QED (π.χ. e + e ): Σχεδιάζουµε όλα τα δυνατά Feynman Diagrams Για e + e το χαµηλότερης τάξης διάγραµµα e + µ γ + e + πλήθος από διαγράµµατα δευτερης τάξης + γ e + e e + γ + + e Για κάθε διάγραµµα υπολογίζουµε το LI στοιχείο πίνακα χρησιµοποιώντας κανόνες Feynman Αθροίζουµε τα επιµέρους στοιχεία πίνακα (δηλ. τα πλάτη πιθανότητας) Επισήµανση: αθροίζοντας πλάτη πιθανότητας που εκφράζουν την ίδια τελική κατάσταση καταλήγουµε και σε συµβολή όρων που δρουν ενισχυτικά ή καταστροφικά! Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 2

3 και µετά... e + γ e + γ e Που αντιστοιχεί στην πλήρη ανάλυση σε όρους διαταραχων, ~ δυνάµεων του Στην QED και η χαµηλότερη τάξη υπερισχύει, ώστε σε πολλές περιπτώσεις µπορούνε να «ξεχνάµε» τα υψηλότερης τάξης διαγράµµατα. Στην συνέχεια υπολογίζουµε ρυθµούς µεταβολών ως: ρυθµός διάσπασης e Σκέδαση στο centre-of-mass Σκέδαση στο lab. frame (υποθέτοντας µηδενική µάζα για το σκεδαζόµενο σωµάτιο) (1) Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 3

4 e + e Θα εργαστούµε στο C.o.M. (π.χ. όπως συµβάινει στους e + e colliders). e e + Θα εργαστούµε µε το χαµηλότερης τάξης Feynman διάγραµµα: e + γ Εφαρµόζοντας τους κανόνες Feynman : e Για το C.o.M. έχουµε δείξει ότι: Εισερχόµενο αντισωµάτιο Εισερχόµενο σωµάτιο Πρώτα γράφουµε τον adjoint spinor µε Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 4

5 Ρεύµατα Πιθανότητας για το Ηλεκτρόνιο και Μιόνιο και το στοιχείο πίνακας είναι: Έχουµε ορίσει το τετραδιάνυσµα ρεύµατος πιθανότητας το οποίο εµφανίζεται στους όρους µέσα σε [ ] στην έκφραση για το Μ συνεπώς το στοιχείο πίνακα Μ µπορεί να γραφεί ως γινόµενο των ρευµατων πιθανότητας και Προσέξετε την προφανή Lorentz Invariant µορφή Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 5

6 Το Spin στην e + e Aρχική Κατάσταση Εν γένει, οι δέσµες ηλεκτρονίων και ποζιτρονίων δεν είναι πολωµένες, δηλαδή η πιθανότητα να βρίσκονται στην µία ή άλλη κατάσταση ελικότητας είναι ίδια Προφανώς, υπάρχουν 4 συνατοί συνδυασµοί για την αρχική κατάσταση! e e + e e + e e + e e + RL RR LL LR Οµοίως υπάρχουν 4 συνδυασµοί ελικότητας για την τελική κατάσταση Προσοχή σε τι αναφέρονται οι R και L ελικότητες στην αρχική και τελική κατάσταση Γενικά θα έχουµε 16 συνδυασµούς, δηλ. RL RR, RL RL,. Αλλά κάθε συνδυασµός αναφέρεται σε διακρίσιµες καταστάσεις... Άρα;;;;;; Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 6

7 Γενικά θα έχουµε 16 συνδυασµούς, δηλ. RL RR, RL RL,. Αλλά κάθε συνδυασµός αναφέρεται σε διακρίσιµες καταστάσεις Πρέπει λοιπόν να αθροίσουµε ΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ για όλες τους 16 δυνατούς συνδυασµούς καταστάσεων ελικότητας και στην συνέχεια να πάρουµε τον µέσο όρο καταστάσεων ελικότητας της αρχικής κατάστασης: χρειαζόµαστε να υπολογίσουµε το: για όλους τους 16 συνδυασµούς helicity! Ευτυχώς, στο όριο µόνο 4 συνδυασµοί helicity καταλήγουν σε µη-µηδενικό στοιχείο πίνακα θα δούµε ότι αυτό αποτελεί σπουδαία ιδιότητα των QED/QCD Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 7

8 Στο C.o.M. και στο όριο όπου Βρήκαµε ότι οι LH και RH helicity spinors είναι: e e + όπου Στην περίπτωση όπου και οι προηγούµενες σχέσεις γίνονται: Το αρχικό ηλεκτρόνιο µπορεί να βρίσκεται σε left- ή right-handed helicity Το αρχικό ποζιτρόνιο;;;; Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 8

9 e e + e e + e e + e e + RL RR LL LR Η αρχική κατάσταση του ηλεκτρονίου µπορεί να είναι Για την αρχική κατάσταση ποζιτρονίου οι επιλογές είναι: Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 9

10 Για την τελική κατάσταση, µε πολική γωνία Για την τελική κατάσταση, µε και επιλέγοντας όπου Για να υπολογίσουµε το θα υπολογίσουµε πρώτα το τετραδιάνυσµα για 4 συνδυασµούς helicity RR RL LR LL Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 10

11 Μερικές Παρατηρήσεις Θέλουµε να υπολογίσουµε για όλους, τους 4 συνδυασµούς helicity Για οποιουσδήποτε spinors οι συνιστώσες του Θεωρείστε το είναι: είναι απλό να δείξουµε ( Να το δείξετε!) ότι χρησιµοποιώντας (3) (4) (5) (6) όπου Δηλαδή Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 11

12 Καταλήξαµε πως το µιονικό ρεύµα για RL συνδυασµό είναι: Με όµοιο τρόπο βρίσκουµε για τους 4 συνδυασµούς helicity RL RR LL LR ΣΤΟ ΟΡΙΟ µόνο ΔΥΟ συνδυασµοί helicity είναι διαφορετικοί από µηδέν Αυτή είναι σηµαντική ιδιότητα της QED. Ισχύει επίσης στην QCD. Στην Ασθενή αλληλεπίδραση µόνο ένας helicity συνδυασµός συνεισφέρει. Συνολικά θα έχουµε 4 µόνο συνδυασµούς αρχικών και τελικών καταστάσεων Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 12

13 Για e + e θα µας απασχολήσουν τα ακόλουθα 4 matrix elements: M RR! e e + e e + M RL! M LR! e e + e e + M LL! Καταλήξαµε στα δύο µιονικά ρεύµατα που συµβάλουν µε τις ακόλουθες helicities: Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 13

14 Το ηλεκτρονικό ρεύµα πιθανότητας Οι spinors της αρχικής κατάστασης (L and R helicities) θα είναι: Τα ηλεκτρονικά ρεύµατα µπορούν να βρεθουν όπως προηγουµένως, (3)-(6), ή µπορούν να προκείψουν από τα µιονικά ρεύµατα µε το ακόλουθο τέχνασµα. Παίρνοντας το Hermitian conjugate του µιονικού ρεύµατος το οποίο είναι της µορφής Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 14

15 Παίρνοντας τον complex conjugate του µιονικού ρεύµατοςγια τους δύο helicity συνδυασµούς (γιατί δεν παίρνουµε το Hermitian conjugate;;;;) : Για να καταλήξουµε στα ηλεκτρονικά ρεύµατα απλώς θέττουµε e e + e e + Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 15

16 Υπολογισµός του Στοιχείου Πίνακα Ας υπολογίσουµε τώρα π.χ. e e + το matrix element for χρησιµοποιώντας τους 4 συνδυασµούς helicity που συµβολίζουµε Ο πρώτος δείκτης αναφέρεται στην helicity του e - και ο δεύτερος στην helicity του µ -. Δεν αναφερόµαστε στις άλλες helicities διότι µόνο συγκεκριµένες chiral συνδυασµοί δεν είναι µηδέν. Δείξαµε ότι: άρα όπου Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 16

17 Οµοίως M RR! M RL! M LR! M LL! e e + e e + e e + e e + -1! cosθ +1! -1! cosθ +1! -1! cosθ +1! -1! cosθ +1! Θεωρώντας τις αρχικές δέσµες ότι ΔΕΝ ειναι πολωµένες, όλοι οι 4 δυνατοί συνδυασµοί καταστάσεων helicity έχουν την ίδια πιθανότητα να συµβούν. Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 17

18 Differential Cross Section Για να υπολογίσουµε την ενεργό διατοµή βρίσκουµε τον µέσο όρο των αρχικών καταστάσεων spin και αθροίζουµε για τις τελικές καταστάσεις: Παράδειγµα: e + e Mark II Expt., M.E.Levi et al., 1 Phys Rev Lett 51 (1983) ! +1! cosq pure QED, O(a 3 ) QED plus Z contribution Οι γωνιακές καταστάσεις από το 1 πείραμα εμφανίζονται με κάποια1 ασυμετρία λόγω συνεισφορας1 QED διαγραμμάτων υψηλότερης τάξης και συμβολής διαγραμμάτων όπου ανταλλάσσεται το Z 1 Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 18

19 Η συνολική ενεργός διατοµή ευρίσκεται ολοκληρώνοντας ως προς, δηλ. ώστε η QED συνολική ενεργός διατοµή για την αλληλεπίδραση e + e είναι Οι υπολογισµοί QED χαµηλότερης τάξης προσφέρουν πολύ καλή περιγραφή των δεδοµένων! Εν γένει έχουµε καταλήξει σε πρόβλεψη της ενεργούς διατοµής µε ακρίβεια της τάξης του 1% Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 19

20 Παρατηρήσεις για το Spin Η γωνιακή κατανοµή που εκφράζουν τα QED στοιχεία πίνακας ανάγονται στην απαίτηση διατήρησης της στροφορµής Λόγω ότι επιτρέπονται µόνο 2 καταστάσεις helicity, το ηλεκτρόνιο και ποζιτρόνιο αντιδρούν ως κατάσταση µε ως προς τον z άξονα. δηλαδή ή Οµοίως το και µ - παράγονται µε συνολικό spin 1, προσανατολοσµένο κατά µήκος του άξονα µε πολική γωνία Π.χ. M RR e e + Έτσι όπου το αντιστοιχεί στην spin καταστάση,, ζεύγους µιονίων. Θα πρέπει να εκφράσουµε την Στην τελευταία παράγραφο, δείχνουµε ότι: µεε όρους των ιδιοκαταστάσεων Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 20

21 Χρησιµοποιώντας ότι και ότι: can immediately understand the angular dependence M RR e e + -1! cosθ +1! M LR e e + -1! cosθ +1! Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 21

22 Lorentz Invariant µορφή του Στοιχείου Πίνακα Γράψαµε τα spin-averaged στοιχεία πίνακα µε όρους της γωνίας του µιονίου στο σύστηµα C.o.M. e e + Όµως το στοιχείο πίνακα είναι Lorentz Invariant και θα θέλαµε να το γράφαµε ωστε να φαίνεται πως προκείπτει ως Lorentz Invariant γινόµενο τετραδιανυσµάτων Στο C.o.M. και: Αντικαθιστώντας τους γωνιακούς όρους Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 22

23 CHIRALITY Οι καταστάσεις helicity για είναι: όπου Ορίζουµε τον πίνακα Στο όριο, οι καταστάσεις helicity είναι επίσης ιδιοκαταστάσεις του Γενικά, ορίζουµε τις ιδιοκαταστάσεις του καταστάσεις δηλ. ως LEFT και RIGHT HANDED CHIRAL ΜΟΝΟ ΣΤΟ ΟΡΙΟ Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 23

24 Εν γένει οι HELICITY και CHIRAL ιδιοκαταστάσεις ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΟΙ ΙΔΙΕΣ. Η Chirality αποτελεί σηµαντική ιδιότητα στην QED, και σε κάθε άλλη αλληλεπίδραση της µορφής Γενικά, οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή chirality ορίζονται ως: Ορίζουµε τους τελεστές προβολής (projection operators): Οι οποίοι προβάλλουν σε ιδιοκαταστάσεις του chiral τελεστή Ο προβάλει σε right-handed καταστάσεις σωµατιδίων και left-handed αντισωµατιδίων Συνεπώς µπουµε να γράψουµε κάθε spinor ως άθροισµα right-handed και right-handed chiral συνιστώσες: Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 24

25 Chirality στην QED Στην QED η βασική αλληλεπίδραση µεταξύ φερµιονίου και φωτονίου είναι: Αναλύουµε τους spinors σε όρους Left και Right-handed : Χρησιµοποιώντας τις ιδιότητες του (Αποδείξετε τις ιδιότητες) it is straightforward to show (Αποδείξετε) Για Δηλαδή, µόνο κάποιοι συνδυασµοί chiral ιδιοκαταστάσεων συνεισφέρουν στην αλληλεπίδραση., οι chiral και helicity ιδιοκαταστασεις συµπίπτουν. Συνεπώς, για µόνο RR και LL helicity συνδυασµοί συνεισφέρουν στους QED κόµβους! Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 25

26 Επιτρεπτοί QED Helicity Συνδυασµοί Στο ultra-relativistic όριο όπου helicity chiral ιδιοκαταστάσεις οι µη-µηδενικοί helicity συνδυασµοί στην QED είναι: Scattering: Helicity conservation R R L L Annihilation: L R R L Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 26

27 Ανακεφαλαίωση Στο σύστηµα κέντρου µάζας η e + e διαφορική ενεργός διατοµή είναι: ΟΠΟΥ: έχουµε αγνοήσει τις µάζες, υποθέτοντας ότι Στην QED µόνο συγκεκριµένοι συνδυασµοί απόleft- και RIGHT-HANDED CHIRAL καταστάσεις δίνουν µη-µηδενικά στοιχεία πίνακα Οι CHIRAL καταστάσεις ορίζονται από τους chiral προβολικούς τελεστές Στο όριο οι chiral ιδιοκαταστάσεις συµπίπτουν µε τις HELICITYιδιοκαταστάσεις και µόνο συγκεκριµένοι συνδυασµοί HELICITY δίνουν µη-µηδενικά στοιχεία πίνακα RR RL LR LL e e + e e + e e + e e + Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 27

28 Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 28

29 Spin 1 Rotation Matrices Ας θεωρήσουµε µία spin-1 κατάσταση µε spin +1 κατά µήκος του άξονα που ορίζεται από το µοναδιαίο διάνυσµα Αυτή η κατάσταση, είναι διοκατάσταση του µε ιδιοτιµή +1 (A1) Εκφράζουµε το ψ> στην βάση των ιδιοκαταστάσεων του όπου (A1) γίνεται (A2) Γράψτε το συναρτήσει των τελεστών όπου Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 29

30 (A2) Όπου τώρα η (A2) γίνεται συνεπώς πρέπει και, άρα: ώστε Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 30

31 Οι συντελεστές είναι παράδειγµα των πινάκων στροφής της QM Εκφράζουν τις ιδιοκαταστάσης της στροφορµής για κάποια επιλογή του z άξονα συναρτήσει των ιδιοκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε επιλογή άλλου άξονα z Για spin-1 δείξαµε ότι Για spin-1/2 εύκολα µπορούµε να δείξουµε πως Σπυρος Ευστ. Τζαµαρίας Σωµατιδιακή Φυσική 31