ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η"

Transcript

1 ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ0 Ε ρ γ α σ ί α η

2 Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. (1) Να διατυπώστε αλγόριθµο που θα υπολογίζει το ν-οστό όρο της ακολουθίας a ν : ν = 1,,3,..., όπου a 1 = 1, a = και a ν+1 = a ν-1 a ν, v. Ο αλγόριθµος που υπολογίζει τον v-οστό όρο είναι ένας αναδροµικός αλγόριθµος (αφού ο κάθε όρος είναι το γινόµενο του αµέσως προηγούµενου και του προπροηγούµενού του): Είσοδος: Θετικός ακέραιος n 0 Έξοδος: a ν 1. Procedure Q1(n). If n=1 then return(1) 3. If n= then return() 4. If n > then k = Q1(n-1) * Q1(n-) 5. return(k) 6. end Q1 () Να εφαρµόσετε τον παρακάτω αναδροµικό αλγόριθµο στη λίστα QUICK(S) begin S =[5,, 4, 9, 3, 10, 6, 9, 3, 7, 4,, 15, 11, 6]. 1. αν η S περιέχει το πολύ ένα στοιχείο, τύπωσε τα στοιχεία της S διαφορετικά begin. Πάρε το πρώτο στοιχείο (έστω a) της S. 3. Χώρισε τη λίστα S σε τρεις υπολίστες S 1, S και S 3 που θα περιέχουν τα µικρότερα, ίσα, µεγαλύτερα στοιχεία του a, αντιστοίχως. 4. QUICK(S 1 ) 5. τύπωσε τα στοιχεία της S 6. QUICK(S3) end 1

3 end Τα βήµατα τα οποία θα εκτελεστούν περιγράφονται παρακάτω: 1. Quick(S) a=5 S 1 =[,4,4,3,3,] S =[5] S 3 =[9,10,6,9,7,15,11,6] Quick(S 1 ) (1.1) Print(S ) (Εκτύπωση 5) Quick(S 3 ) (1.) 1.1 Quick(S) (S=[,4,4,3,3,]) a= S 1 =[] S =[,] S 3 =[4,3,3,4] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση των,) Quick(S 3 ) (1.1.) 1.1. Quick(S) (S=[4,3,3,4]) a=4 S 1 =[3,3] S =[4,4] S 3 =[] Quick(S 1 ) (1.1..1) Print(S ) (Εκτύπωση των 4, 4) Quick(S 3 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου)

4 Quick(S) (S=[3,3]) a=4 S 1 =[] S =[3,3] S 3 =[] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση των 3,3) Quick(S 3 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) 1. Quick(S) (S=[9,10,6,9,7,15,11,6]) a=9 S 1 =[6,6,7] S =[9,9] S 3 =[10,15,11] Quick(S 1 ) (1..1) Print(S ) (Εκτύπωση των 9,9) Quick(S 3 ) (1..) 1..1 Quick(S) (S=[6,6,7]) a=6 S 1 =[] S =[6,6] S 3 =[7] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση των 6,6) Quick(S 3 ) (1..1.) Quick(S) (S=[7]) 3

5 a=7 S 1 =[] S =[7] S 3 =[] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση του 7) Quick(S 3 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) 1.. Quick(S) (S=[10,15,11]) a=10 S 1 =[] S =[10] S 3 =[15,11] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση του 10) Quick(S 3 ) (1...) 1... Quick(S) (S=[15,11]) a=15 S 1 =[11] S =[15] S 3 =[] Quick(S 1 ) (1...1) Print(S ) (Εκτύπωση του 15) Quick(S 3 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Quick(S) (S=[11]) a=11 S 1 =[] 4

6 S =[11] S 3 =[] Quick(S 1 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Print(S ) (Εκτύπωση του 11) Quick(S 3 ) (Καµία ενέργεια λόγω κενού συνόλου εισόδου) Για να καθορίσουµε την σειρά µε την οποία εκτελούνται τα βήµατα αυτά θα πρέπει να παρατηρήσουµε ότι η οποιαδήποτε κλήση µέσα από τον κώδικα που εκτελείται σε µια άλλη συνάρτηση έχει σαν αποτέλεσµα την τοποθέτηση της κληθείσας συνάρτησης στην κορυφή της στοίβας εκτέλεσης (stack), την εκτέλεση της κληθείσας συνάρτησης και κατόπιν την διαγραφή της από την στοίβα ώστε να συνεχίσει η εκτέλεση του κώδικα που την κάλεσε. Με βάση την παρατήρηση αυτή η στοίβα και η σειρά εκτέλεσης διαµορφώνονται ως εξής (το δεξιότερο µέρος είναι η κορυφή της στοίβας, οι εντολές Print εκτυπώνουν ένα αποτέλεσµα στην οθόνη και κατόπιν διαγράφονται από την στοίβα): (1) (1) (1.)(Print 5 )(1.1) (1) (1.) (Print 5 ) (1.1.)(Print,) (1) (1.) (Print 5 ) (1.1.) (1) (1.) (Print 5 ) (Print 4,4)(1.1..1) (1) (1.) (Print 5 ) (Print 4,4)(Print 3,3) (1) (1.) (Print 5 ) (Print 4,4) (1) (1.) (Print 5 ) (1) (1.) (1) (1..) (Print 9,9)(1..1) (1) (1..) (Print 9,9)(1..1.)(Print 6,6) (1) (1..) (Print 9,9)(1..1.) (1) (1..) (Print 9,9)(Print 7) (1) (1..) (Print 9,9) (1) (1..) (1) (1...) (Print 10) 5

7 (1) (1...) (1) (Print 15)(1...1) (1) (Print 15)(Print 11) (1) (Print 15) (1) Με βάση τα παραπάνω, η ακολουθία που θα εκτυπωθεί είναι η, 3,3 4,4 5 6,6 7 9, (3) Τι κάνει αυτός ο αλγόριθµος; Παρατηρείστε ότι η εκτυπωµένη ακολουθία, είναι η ακολουθία εισόδου ταξινοµηµένη κατά αύξουσα σειρά. Πράγµατι, ο παραπάνω αναδροµικός αλγόριθµος είναι ο αλγόριθµος ταξινόµησης QuickSort. Ερώτηµα. (1) ίδεται ένα απλό γράφηµα G µε n κορυφές. Το G έχει ένα κύκλo του Euler και το σύνολο των ακµών του είναι το µέγιστο δυνατό (µε κύκλο του Euler). Να υπολογιστεί το πλήθος των ακµών του (βλέπε ορισµό απλού γραφήµατος στο βιβλίο Γ. Βούρου σελ. 97). Κατ αρχήν πρέπει να παρατηρήσουµε ότι ο µέγιστος αριθµός ακµών ενός µη n( n 1) κατευθυνόµενου απλού γραφήµατος n κορυφών είναι (άσκηση Aυτοαξιολόγησης 4.1 (βιβλίο Α, Γ. Βούρου). Αυτό συµβαίνει µόνο στο πλήρες γράφηµα K n όπου κάθε µία από τις n κορυφές συνδέεται µε τις n-1 υπόλοιπες µέσω µιας ακµής (το γράφηµα είναι απλό, άρα δεν έχουµε ούτε παράλληλές ακµές ούτε βρόχους). Με βάση το θεώρηµα 4.1 (βιβλίο Α, Γ. Βούρου), για να περιέχει ένα γράφηµα G κύκλο Euler πρέπει να είναι συνδεόµενο (συνεκτικό) και ο βαθµός όλων των κορυφών να είναι άρτιος. (1) Έστω n=m+1 (δηλαδή το πλήθος των κορυφών του G είναι περιττό). Εξετάζουµε αν το πλήρες γράφηµα K m+1 (το οποίο έχει και τον µέγιστο αριθµό ακµών ανάµεσα σε όλα τα γραφήµατα µε n=m+1 κορυφές) µπορεί να περιέχει κύκλο Euler. Πράγµατι, το γράφηµα K m+1 είναι συνεκτικό και έχει βαθµό δ(v)=m για κάθε κορυφή v. Εποµένως περιέχει κύκλο Euler (αφού είναι συνεκτικό και ο βαθµός της κάθε κορυφής είναι άρτιος αριθµός). Αφού το γράφηµα είναι πλήρες, έχει 6

8 το µέγιστο αριθµό ακµών ανάµεσα σε όλα τα απλά γραφήµατα n κορυφών (µε ή χωρίς κύκλο Euler) οπότε σύµφωνα µε τα παραπάνω το µέγιστο πλήθος ακµών για n( n 1) γράφηµα που περιέχει κύκλο Euler και n περιττό είναι. () Έστω n=m (δηλαδή το πλήθος των κορυφών του G είναι άρτιο). Εξετάζουµε και πάλι αν το πλήρες γράφηµα K m (το οποίο έχει και τον µέγιστο αριθµό ακµών ανάµεσα σε όλα τα γραφήµατα µε n=m κορυφές) µπορεί να περιέχει κύκλο Euler. Το γράφηµα αυτό είναι µεν συνεκτικό αλλά κάθε κορυφή έχει βαθµό m-1 που είναι περιττός αριθµός. Για τον λόγο αυτό δεν µπορούµε να έχουµε κύκλο Euler στο πλήρες γράφηµα K m. Θα παραθέσουµε δύο τρόπους αποδείξεων για την εύρεση του γράφου µε τον µέγιστο αριθµό ακµών. 1 η Απόδειξη Προχωρούµε στην εξής κατασκευή: Από κάθε κορυφή του K m αφαιρούµε ακριβώς µια ακµή (δηλαδή, αν αφαιρέσουµε µια ακµή ΑΒ τότε δεν αφαιρούµε καµία επιπλέον ακµή από τα σηµεία Α και Β). Το γράφηµα που προκύπτει: (α) παραµένει συνεκτικό (για κάθε τετράδα σηµείων Α,Β,Γ, ενός πλήρους γραφήµατος µε n 4 ισχύει ότι, ανά τρία τα σηµεία της τετράδας σχηµατίζουν κύκλο. Άρα, αν αφαιρέσουµε δύο ακµές µε τον παραπάνω τρόπο, π.χ. την ακµή ΑΒ και την ακµή Γ, τότε για κάθε δύο σηµεία της τετράδας θα υπάρχει µονοπάτι που τα συνδέει) και (β) ο βαθµός κάθε σηµείου του γίνεται τώρα n- = άρτιος. Άρα αυτό το γράφηµα θα έχει κύκλο του Euler. Ο αριθµός των ακµών του γραφήµατος είναι όλες τις υπόλοιπες n-). n( n ) (κάθε κορυφή συνδέεται µε η Απόδειξη Θα κατασκευάσουµε επαγωγικά τον γράφο µε τον µέγιστο αριθµό ακµών που περιέχει κύκλο Euler. ιακρίνουµε λοιπόν τις εξής περιπτώσεις: (α) Αν m=0, τότε το γράφηµα G είναι το κενό γράφηµα και περιέχει τετριµµένα έναν κύκλο Euler. Το ζητούµενο µέγιστο πλήθος ακµών είναι 0. (b) Αν m=1, τότε το απλό γράφηµα G δυο κορυφών είναι το ο ο και δεν είναι δυνατό να περιέχει κύκλο (Euler ή άλλο). 7

9 (c) Αν m (n 4), τότε αποδεικνύουµε πρώτα ότι Για κάθε άρτιο n=m µε n 4, υπάρχει κάποιο γράφηµα G m µε n κορυφές, τέτοιο ώστε ( v V(G m ) δ(v)=n-) και (το G m είναι συνεκτικό). Η απόδειξη είναι µε επαγωγή στο m (όπου n=m). Για m=, το γράφηµα ικανοποιεί τους ισχυρισµούς, καθώς δ(v)=, για κάθε v, και το γράφηµα είναι προφανώς συνεκτικό. Υποθέτουµε ότι η πρόταση αληθεύει για κάποιο m και έστω ότι G είναι το αντίστοιχο γράφηµα µε m κορυφές καθεµία από τις οποίες έχει βαθµό m- και το οποίο είναι συνεκτικό. Εξετάζουµε την περίπτωση n = (m+1)=m+ κορυφών. Έστω λοιπόν G* το γράφηµα που προκύπτει προσθέτοντας δύο νέες κορυφές a,b στο G και όλες τις ακµές από τις a,b προς κάθε µια από τις κορυφές του γραφήµατος G. Τότε ο βαθµός κάθε κορυφής του G* είναι m: όλες οι υπάρχουσες κορυφές του G είχαν βαθµό m- και συνδέονται επιπρόσθετα και µε τις δύο νέες a,b (οπότε έχουµε βαθµό (m-)+=m) ενώ οι δύο νέες συνδέονται µε όλες τις m υπάρχουσες στον G. Για να είναι το G* συνεκτικό, πρέπει για οποιεσδήποτε δύο κορυφές του x και y να υπάρχει µονοπάτι που να τις συνδέει. Εξετάζω τις παρακάτω περιπτώσεις: i) Έστω x,y δύο κορυφές του G* που ανήκουν και στο G. Υπάρχει µονοπάτι που τις συνδέει αφού από την επαγωγική υπόθεση το G είναι συνεκτικό. ii) Έστω x,y δύο κορυφές του G* µε µία από αυτές να είναι από τις καινούριες, π.χ. a=x και η y ανήκει στο G. Εφόσον έχουµε προσθέσει ακµή από την a προς όλες τις κορυφές του G, συµπεραίνουµε ότι υπάρχει µονοπάτι που συνδέει την a και την y. iii) Έστω x,y δύο κορυφές του G* µε a=x και b=y. Τότε, παίρνοντας οποιαδήποτε κορυφή z του G, έχουµε το µονοπάτι a z b. Συνεπώς το G* είναι ένα συνεκτικό γράφηµα n=m+ κορυφών όπου κάθε κορυφή του έχει βαθµό n-. Ονοµάζουµε το γενικό γράφηµα n κορυφών (n=m) όπου κάθε κορυφή έχει βαθµό n-, G m. Με βάση την παραπάνω απόδειξη, το γράφηµα αυτό είναι συνεκτικό. Άρα, πληρείται η αρχική προϋπόθέση του Θεωρήµατος 4.1 (βιβλίο Α, Γ. Βούρου), ώστε το γράφηµα αυτό να έχει κύκλο Euler. Επιπλέον, στο γράφηµα αυτό η κάθε κορυφή έχει βαθµό n-=m-=(m-1) που είναι άρτιος αριθµός. Συνεπώς πληρείται και η δεύτερη 8

10 προϋπόθεση του θεωρήµατος 4.1 και το G m περιέχει κύκλο Euler. Είναι φανερό ότι το G m έχει τον µέγιστο αριθµό ακµών για γράφηµα µε m κορυφές που περιέχει κύκλο Euler. Οποιοδήποτε άλλο γράφηµα m κορυφών µε µεγαλύτερο αριθµό ακµών θα είχε κάποια(ες) κορυφή(ές) µε βαθµό m-1 (n-1) οπότε δεν θα περιείχε κύκλο Euler (αφού η κορυφή(ές) αυτή(ές) θα ήταν περιττού βαθµού). Ο αριθµός των ακµών n( n ) του G m είναι, που είναι συνεπώς ο µέγιστος αριθµός ακµών για γράφηµα n=m κορυφών ώστε αυτό να περιέχει κύκλο Euler. Σηµείωση Παρατηρήστε ότι η απόδειξη που δώσαµε µας δίνει µια αναδροµική τεχνική κατασκευής του γραφήµατος G m (m ). Για παράδειγµα, για n=6, σχεδιάζουµε το γράφηµα G 4 και προσθέτουµε δύο νέες κορυφές και τις αντίστοιχες ακµές, όπως περιγράφτηκε στην απόδειξη, ώστε έχουµε το G Κύκλος Euler στο G 6, π.χ. από την κορυφή 1, µπορεί να σχηµατιστεί επεκτείνοντας έναν κύκλο Euler του G 4, ως εξής: Από την 1 επισκεπτόµαστε οποιαδήποτε κορυφή του G 4, π.χ. την 3 Συνεχίζουµε διαγράφοντας ένα κύκλο Euler του G 4 και επιστρέφοντας στην 3 Από την 3 επισκεπτόµαστε την κορυφή Συνεχίζουµε µε τους κύκλους από τη σε κορυφή x του G 4, από την x στην 1, από την 1 σε κορυφή y του G 4 και από εκεί πίσω στη, έως ότου αποµείνει µία µόνον κορυφή z του G 4 που δεν έχουµε επισκεφτεί Ολοκληρώνουµε τον κύκλο Euler µε το µονοπάτι z 1 Η διαδικασία που περιγράψαµε καθορίζει τον κύκλο Euler 1(35463)41561, όπου σε παρένθεση θέσαµε τον κύκλο Euler του G 4. Το ίδιο µπορείτε να κάνετε και για το G 8, όπως υποδεικνύει το παρακάτω σχήµα: 9

11 () Εστω ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα G µε n κορυφές για το οποίο ισχύει: «το άθροισµα των βαθµών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι µεγαλύτερο του n-». είξτε ότι το G είναι συνδεόµενο (συνεκτικό). Το αντίθετο ισχύει; εχόµαστε την υπόθεση της άσκησης και έστω ότι το G είναι µη συνεκτικό. Ενα γράφηµα µη συνεκτικό έχει τουλάχιστον δύο συνεκτικές συνιστώσες µε n 1 και n σηµεία αντίστοιχα (άρα n 1 +n n). Στη µια συνεκτική συνιστώσα, ο βαθµός κάθε σηµείου της είναι το πολύ n 1-1 και στην άλλη το πολύ n -1. Άρα, το γράφηµα G έχει τουλάχιστον δύο σηµεία που το άθροισµα των βαθµών τους είναι το πολύ n 1-1+ n -1 n-, άτοπο σύµφωνα µε την υπόθεση. Το αντίθετο (αν ένα γράφηµα είναι συνεκτικό τότε το άθροισµα κάθε ζεύγους κορυφών είναι µεγαλύτερο του n-) δεν ισχύει αφού είναι εύκολο να δοθεί ένα αντιπαράδειγµα. Θεωρείστε ένα γράφηµα µε την µορφή «κύκλου» όπου η κάθε κορυφή συνδέεται µε δύο µόνο άλλες (την «επόµενη» και την «προηγούµενη»). Κάθε κορυφή έχει βαθµό ενώ το άθροισµα των βαθµών δύο οποιονδήποτε κορυφών είναι 4. Αν το κυκλικό αυτό γράφηµα έχει π.χ. 50 κορυφές, τότε είναι συνεκτικό ενώ το άθροισµα των βαθµών δύο οποιονδήποτε κορυφών (4) είναι µικρότερο από n- (=48). (3) είξτε ότι σ ένα κατευθυνόµενο γράφηµα, το άθροισµα των εισερχοµένων βαθµών όλων των κορυφών ισούται µε το άθροισµα των εξερχοµένων βαθµών όλων των κορυφών Έστω G=(V,E) ένα κατευθυνόµενο γράφηµα. Έστω e k =(v i,v j ) µια οποιαδήποτε ακµή του µε κατεύθυνση από µια κορυφή v i σε µια κορυφή v j. Είναι φανερό ότι η e συνεισφέρει µία µονάδα στον εισερχόµενο βαθµό της v j (τον βαθµό που οφείλεται στις εισερχόµενες ακµές) και µία µονάδα στον εξερχόµενο βαθµό της v i (τον βαθµό που οφείλεται στις εξερχόµενες ακµές). Τελικά, η ύπαρξη της οποιαδήποτε ακµής e k αυξάνει ισόποσα (κατά ένα) τόσο το άθροισµα των εισερχόµενων βαθµών όσο και των εξερχόµενων βαθµών. Αν υποθέσουµε λοιπόν ότι το σύνολο των ακµών είναι το E={e 1 e n } όπου n o συνολικός αριθµός ακµών του G, τότε το άθροισµα των εισερχόµενων βαθµών και των εξερχόµενων βαθµών είναι ίσα µεταξύ τους και έχουν την τιµή n= E. 4 10

12 Ερώτηµα 3. Να υπολογιστεί το πλήθος των διαφορετικών κατά τις κορυφές απλών κύκλων στο γράφηµα K p (πλήρες και απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα p κορυφών) αν ορίσουµε ότι: ύο κύκλοι καλούνται διαφορετικοί κατά τις κορυφές αν έχουν διαφορετικό σύνολο κορυφών (δηλαδή, διαφέρουν σε τουλάχιστον µια κορυφή). Θεωρούµε ότι διαφορετικές διατάξεις πάνω στο ίδιο σύνολο κορυφών δίνουν ίδιους κύκλους (για παράδειγµα, ο κύκλος 1341 λαµβάνεται ίδιος µε τον κύκλο 1341 και διαφορετικός από τον κύκλο 131). Για τον ορισµό του απλού κύκλου βλέπε το βιβλίο Γ. Βούρου σελ. 103). Με βάση τον παραπάνω ορισµό, όλοι οι κύκλοι διαφορετικού αριθµού κορυφών θεωρούνται διαφορετικοί κατά τις κορυφές αφού ο ένας περιέχει κορυφές που δεν περιέχει ο άλλος. Επίσης, µε βάση τον ορισµό µια οποιαδήποτε επιλογή k κορυφών µας δίνει ίδιους κύκλους (αφού π.χ. ο κύκλος 1341 είναι ίδιος µε τον κύκλο 1341). Επίσης, δύο διαφορετικές επιλογές k κορυφών «παράγουν» διαφορετικούς κύκλους (αφού διαφέρουν σε µία τουλάχιστον κορυφή που υπάρχει στην µία επιλογή και δεν υπάρχει στην άλλη). Άρα ο συνολικός αριθµός κύκλων Α που υπάρχει στον K p προκύπτει από τον τύπο: Α=C(ρ,3) + C(ρ,4) + C(ρ,5) + + C(ρ,ρ) (µόνο από τρεις κορυφές και πάνω µπορούµε να έχουµε κύκλο). Από τις ιδιότητες των γεννητριών συναρτήσεων γνωρίζουµε ότι ρ n = 0 n C( ρ, n) x = (1 + x) ρ Για x=1 παίρνουµε ότι ρ n= 0 C( ρ, n) = ρ Άρα έχουµε ότι Α=C(ρ,3) + C(ρ,4) + C(ρ,5) + + C(ρ,ρ) = ρ C(ρ,0)-C(ρ,1)- C(ρ,). Tο παραπάνω µας δίνει ότι Α = ρ ρ! ρ! 1 = 1!( ρ 1)!!( ρ )! ρ ρ! ρ! 1 = ( ρ 1)! ( ρ )! ρ ρ( ρ 1) 1 ρ Ερώτηµα 4. Εστω G=(V,E) ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα και e µιά ακµή του. Η e καλείται γέφυρα, αν δεν υπάρχει απλός κύκλος στο G που να την περιέχει (π.χ. στο παρακάτω γράφηµα οι ακµές x, y και z είναι γέφυρες). 11

13 z y x (1) είξτε ότι ένα γράφηµα G που όλες οι κορυφές του έχουν βαθµό 3 δεν µπορεί να έχει περιττό αριθµό κορυφών. Στην άσκηση Αυτοαξιολόγησης 4.7 (Βιβλίο Α, Γ. Βούρου) έχει δειχθεί ότι το άθροισµα των βαθµών των κορυφών οποιουδήποτε γραφήµατος είναι άρτιος αριθµός. Επειδή στο συγκεκριµένο ερώτηµα κάθε κορυφή έχει βαθµό 3, δεν µπορεί ο αριθµός των κορυφών να είναι κάποιος περιττός αριθµός (µορφής m+1) γιατί τότε το άθροισµα των βαθµών των κορυφών του γραφήµατος θα ήταν 3(m+1) = (3m+1) + 1, δηλαδή επίσης περιττός αριθµός που είναι άτοπο. () είξτε ότι ένα γράφηµα G που έχει µία γέφυρα και όλες οι κορυφές του έχουν βαθµό 3 δεν µπορεί να έχει άρτιο αριθµό κορυφών k, µε k 8. Θεωρούµε τα υπογραφήµατα G 1 και G που συνδέονται µέσω της γέφυρας. Αυτά θα έχουν αντίστοιχα τον εξής αριθµό σηµείων: 1,7 ή,6 ή 3,5 ή 4,4. Είναι εύκολο να δειχτεί ότι οι όλες οι περιπτώσεις αυτές είναι αδύνατες. Στις τρεις πρώτες ο βαθµός των κορυφών του G 1 είναι µικρότερος του 3. Στην τελευταία, είτε στον G 1 ή στον G υπάρχει κορυφή µε βαθµό γιατί αν είχε βαθµό 3 τότε κάποια άλλη κορυφή του υπογραφήµατος θα έπρεπε να έχει βαθµό 4 (βλ. και την κατασκευή του γράφου στο επόµενο ερώτηµα 4.3). (3) Κατασκευάστε ένα γράφηµα µε τον ελάχιστο δυνατό αριθµό κορυφών που να έχει µία γέφυρα και όλες οι κορυφές του να έχουν βαθµό 3 (για την κατασκευή λάβετε υπόψη σας τα ερωτήµατα 1 και ) Αφού υπάρχει ακµή e που είναι γέφυρα, έστω ότι αυτή εφάπτεται σε δύο κορυφές, τις v 1 και v. 1

14 V 1 e V Οι κορυφές αυτές έχουν βαθµό 1 ενώ θα έπρεπε να έχουν βαθµό 3. Έστω λοιπό ότι η κάθε µία συνδέεται και µε δύο άλλες κορυφές. Οι νέοι αυτοί γείτονες των v 1 και v δεν θα πρέπει να συνδέονται µεταξύ τους γιατί τότε η e δεν θα ήταν γέφυρα. V 1 e V Οι κορυφές αυτές έχουν βαθµό 1. Αν τις συνδέσουµε και µεταξύ τους (ψάχνουµε τον ελάχιστο δυνατό αριθµό κορυφών) αποκτούν βαθµό. Αφού πρέπει να έχουν βαθµό 3 υποχρεωτικά προσθέτουµε σε κάθε πλευρά της γέφυρας ακόµη µία κορυφή και τις ενώνουµε µε αυτήν. V 1 e V Η νέα κορυφή έχει βαθµό. εν µπορεί να συνδεθεί µε κάποια από τις υπάρχουσες κορυφές γιατί τότε αυτή θα αποκοτούσε βαθµό 4. Την «διπλασιάζουµε» και δίνουµε σε κάθε «αντίγραφο» από µία σύνδεση µε τις άλλες κορυφές (έτσι ώστε κάθε µία από τις άλλες κορυφές να διατηρήσει τον βαθµό της) και επίσης συνδέουµε τα δύο αντίγραφα µεταξύ τους και χιαστί µε τις άλλες κορυφές ώστε να φτάσουµε σε βαθµό 3. Για να διατηρήσουµε τον βαθµό των προηγούµενων κορυφών (των 13

15 γειτόνων των v 1 και v ) στο 3 και να µην αυξηθεί, καταργούµε και την µεταξύ τους ακµή. Το τελικό γράφηµα που προκύπτει, έχει συνολικά 10 κορυφές. V 1 e V Ερώτηµα 5. (1) Βρείτε ένα γράφηµα που έχει ένα κύκλο του Euler και ένα κύκλο του Hamilton. Οι πλήρεις γράφοι περιέχουν κύκλο Hamilton: Αριθµούµε τυχαία τις κορυφές του γράφου µε τα νούµερα 1,, n. Ξεκινάµε από την κορυφή 1, προχωράµε στην κορυφή, µετά στην 3 κ.ο.κ µέχρι να φτάσουµε στην n και από αυτήν πίσω στην 1. Σύµφωνα µε τον ορισµό, αυτός είναι ένα κύκλος Hamilton (αφού περιέχει όλες τις κορυφές του γράφου ακριβώς µία φορά την κάθε µία). Επιπρόσθετα οι πλήρεις γράφοι µονού αριθµού κορυφών (π.χ. Κ 7, Κ 9, Κ 11 κ.λ.π.) όπου όλες οι κορυφές έχουν ζυγό βαθµό (κάθε µία συνδέεται µε όλες τις υπόλοιπες n- 1) περιέχουν και κύκλο Euler (βλ. και ερώτηµα.1). () Βρείτε ένα γράφηµα που έχει ένα κύκλο του Euler αλλά δεν έχει κύκλο του Hamilton. To παραπάνω γράφηµα περιέχει έναν κύκλο Euler αλλά δεν περιέχει κύκλο Hamilton (δεν είναι δυνατόν να σχηµατίσουµε κύκλο ο οποίος θα περιέχει τις κορυφές του γραφήµατος µόνο µία φορά την κάθε µία). 14

16 (3) Βρείτε ένα γράφηµα που δεν έχει κύκλο του Euler αλλά έχει κύκλο του Hamilton. To παραπάνω γράφηµα περιέχει έναν κύκλο Hamilton αλλά δεν περιέχει κύκλο Euler (υπάρχει µία κορυφή του γραφήµατος που έχει µονό βαθµό). (4) Βρείτε ένα γράφηµα που δεν έχει ούτε κύκλο του Euler ούτε κύκλο του Hamilton. Το γράφηµα που κατασκευάστηκε στο Ερώτηµα 4.3 δεν περιέχει ούτε κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton. Ερώτηµα 6. Βρείτε µιά κυκλική τοποθέτηση εννέα a, εννέα b και εννέα c τέτοια ώστε καθεµιά από τις 7 λέξεις µήκους 3 από το αλφάβητο {a,b,c} να εµφανίζεται ακριβώς µία φορά. (Υπόδειξη: Κατασκεύαστε τον αντίστοιχο γράφο debruijn). Για να κατασκευάσουµε τον αντίστοιχο γράφο DeBruijn σχηµατίζουµε κατ αρχήν όλες τις λέξεις µήκους οι οποίες θα είναι και οι κορυφές του γράφου: aa ba ca ab bb cb ac bc cc Για κάθε κορυφή, θα δηµιουργήσουµε τις ακµές που αντιστοιχούν στα γράµµατα a, b και c (µε χρώµατα πράσινο µπλε και µοβ αντίστοιχα). Το γράφηµα που προκύπτει είναι το ακόλουθο: 15

17 aa ab cc ac cb ba ca bb bc Κάθε ακµή ονοµάζεται µε βάση την κορυφή από την οποία ξεκινάει και το γράµµα µε το οποίο σχηµατίστηκε. Π.χ. η «µπλε» ακµή που ξεκινάει από την aa είναι η aab, η «µοβ» ακµή που ξεκινάει από την aa είναι η aac κ.λ.π. (έχουν παραληφθεί από το σχήµα οι ακµές που είναι βρόγχοι, δηλαδή η aaa, bbb και ccc). Παρατηρείστε ότι ο κατευθυνόµενος γράφος που έχει σχηµατιστεί είναι εξισορροπηµένος (ορισµός.4 Τόµου Β), δηλαδή στην κάθε κορυφή ο εξερχόµενος βαθµός είναι ίσος µε τον εισερχόµενο (και οι δύο έχουν την τιµή 3). Άρα ο κατευθυνόµενος αυτός γράφος πληροί το κριτήριο ώστε να περιέχει κύκλο Euler (Θεώρηµα.0, Τόµος Β). Η ζητούµενη κυκλική διάταξη είναι ένας κύκλος Euler πάνω στον γράφο αυτό. Για να βρούµε τον κύκλο αυτό ακολουθούµε την µεθοδολογία που περιγράφεται στο Λήµµα.15 του Βιβλίου Β (Μ. Μαυρονικόλα). Ένας τέτοιος κύκλος είναι o: (aa,aa), (aa,ab), (ab,bb), (bb,bb), (bb,bc), (bc,cc), (cc,cc), (cc,cb), (cb,ba), (ba,ac),(ac,ca),(ca,aa),(aa,ac),(ac,cb),(cb,bb),(bb,ba),(ba,ab),(ab,bc),(bc,cb),(cb,bc),(bc,ca),(ca,ac),(ac,cc),(cc,ca),(ca,ab),(ab,ba),(ba,aa) 16

18 Οπότε, η ζητούµενη κυκλική διάταξη είναι η: aaabbbcccbacaacbbabcbcaccab.. Ερώτηµα 7. (1) ίνεται το εξής Θεώρηµα: «Εστω G ένα απλό µη-κατευθυνόµενο γράφηµα n κορυφών. Αν το άθροισµα των βαθµών κάθε ζεύγους κορυφών στο G είναι µεγαλύτερο ή ίσο του n, τότε υπάρχει ένας κύκλος του Hamilton στο G». Το θεώρηµα εξασφαλίζει µιά ικανή αλλά όχι αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη κύκλου του Hamilton σ ένα γράφηµα. ηλαδή, υπάρχουν γραφήµατα µε n κορυφές που έχουν κύκλο του Hamilton, και το άθροισµα των βαθµών δύο κορυφών τους είναι µικρότερο του n. Εφαρµόζοντας το παραπάνω θεώρηµα, βρείτε το ελάχιστο πλήθος των ξεχωριστών κύκλων του Hamilton που µπορούµε να δηµιουργήσουµε σ ένα πλήρες, απλό και µη-κατευθυνόµενο γράφηµα n κορυφών. ύο κύκλοι είναι ξεχωριστοί αν όλες οι ακµές τους είναι διαφορετικές. Έστω το πλήρες γράφηµα G=(V,E) µε V =n. Οι κύκλοι Hamilton που αναζητούµε πρέπει να είναι ξεχωριστοί, δηλαδή να µην συµπίπτουν µεταξύ τους σε καµία ακµή. Υπενθυµίζουµε ότι ο κάθε κύκλος Hamilton πρέπει να περιλαµβάνει όλες τις κορυφές του G µία φορά ακριβώς την κάθε µία. Εργαζόµαστε ως εξής: Ο βαθµός της κάθε κορυφής στον πλήρη γράφο G είναι n-1 (αφού συνδέεται µε όλες τις υπόλοιπες). Άρα το άθροισµα των βαθµών κάθε ζεύγους κορυφών είναι n-. Θεωρούµε έναν κύκλο Hamilton στον G. Για κάθε κορυφή του γράφου που συµµετέχει στον κύκλο αυτό πρέπει να αφαιρούµε µία ακµή από τις γειτονικές της (αυτήν που θα χρησιµοποιήσουµε για να φτάσουµε στην κορυφή που είναι η επόµενη στο µονοπάτι) ώστε να µην χρησιµοποιηθεί σε κάποιον επόµενο κύκλο Hamilton. Άρα, ο κάθε κύκλος Hamilton αφαιρεί από τον βαθµό της κάθε κορυφής τον αριθµό (αφού από τον βαθµό της αφαιρείται τόσο η ακµή που χρησιµοποιήσαµε για να φτάσουµε στην κορυφή όσο και ακµή που χρησιµοποιούµε για να πάµε στην επόµενη), ενώ από οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών (αφού όλες οι κορυφές συµµετέχουν στον κύκλο) αφαιρεί τον αριθµό 4 ( από την κάθε µία). Έτσι, αν υποθέσουµε ότι µε τον τρόπο αυτό έχουµε σχηµατίσει i κύκλους Hamilton, η συνολική µείωση του αθροίσµατος του βαθµού δύο οποιονδήποτε κορυφών είναι 4i. Το παραπάνω θεώρηµα (θεώρηµα του Ore) εξασφαλίζει ότι όσο το άθροισµα των βαθµών δύο οποιονδήποτε γειτονικών κορυφών παραµένει µεγαλύτερο του n, τότε υπάρχει στο γράφηµα κύκλος Hamilton. Με βάση λοιπόν το θεώρηµα, ο ελάχιστος εγγυηµένος αριθµός ξεχωριστών κύκλων Hamilton που µπορούµε να έχουµε είναι αυτός που προκύπτει αν διατηρήσουµε το άθροισµα βαθµών σε δύο οποιεσδήποτε 17

19 κορυφές µεγαλύτερο ή ίσο µε n. Άρα, όταν έχουµε δηµιουργήσει i ξεχωριστούς κύκλους Hamilton τέτοιους ώστε να έχουµε στο άθροισµα των βαθµών δύο κορυφών τιµή µικρότερη ή ίση του n-1, δηλαδή όταν n- 4i n-1 δεν µπορούµε πλέον να σχηµατίσουµε και νέο ξεχωριστό κύκλο Hamilton. Λύνοντας την παραπάνω ανισότητα ως προς το πλήθος των κύκλων i βρίσκουµε ότι αυτό ισχύει όταν i > n 1 4 Άρα ο ελάχιστος αριθµός διαφορετικών κύκλων Hamilton που µπορούµε να έχουµε είναι n 1 4. Μπορεί βέβαια στην πραγµατικότητα να υπάρχουν περισσότεροι από n 1 ξεχωριστοί κύκλοι Hamilton (η συνθήκη του θεωρήµατος Ore είναι ικανή αλλά 4 όχι αναγκαία). () Μιά παρέα 9 ατόµων τρώει καθηµερινά γύρω από ένα στρογγυλό τραπέζι. Σχεδιάζουν το γεύµα έτσι ώστε, οι γείτονες κάθε ατόµου (δεξιά και αριστερά του) να είναι διαφορετικοί σε κάθε γεύµα. Για πόσα γεύµατα θα γίνεται αυτό; Η γειτονία µεταξύ των 9 ατόµων µπορεί να συµβολιστεί από τον πλήρη γράφο K 9 όπου κορυφές του γράφου είναι οι 9 συµµετέχοντες και οι ακµές είναι οι δυνατότητες ενός συµµετέχοντα να γειτονεύει στο τραπέζι µε κάποιον άλλο (ο γράφος είναι πλήρης αφού όλοι µπορούν να γειτονέψουν µε όλους στο τραπέζι, χωρίς περιορισµό). Κάθε τοποθέτηση για γεύµα ισοδυναµεί µε έναν κύκλο Hamilton πάνω σε αυτόν τον γράφο (αφού ο κύκλος Hamilton περιλαµβάνει όλους τους συµµετέχοντες - κορυφές µία και µόνη φορά και δηµιουργεί µια κυκλική διάταξή τους πάνω στο τραπέζι). Το να θέλουµε να είναι διαφορετικοί και οι δύο γείτονες του κάθε ατόµου σε κάθε γεύµα, σηµαίνει ότι δεν θέλουµε καµία ακµή που έχει χρησιµοποιηθεί στον κύκλο Hamilton κάποιας ηµέρας να υπάρχει στον κύκλο Hamilton καµίας από τις επόµενες. Έτσι λοιπόν ψάχνουµε το ελάχιστο πλήθος όλων των ξεχωριστών (βλ. ορισµό ξεχωριστού κύκλου στο πρώτο σκέλος του ερωτήµατος) κύκλων Hamilton που µπορούν να προκύψουν από τον γράφο K 9. Με βάση τον τύπο που βρήκαµε στο 9 1 πρώτο σκέλος, υπάρχουν = 4 τουλάχιστον τέτοιοι κύκλοι στον K 9, άρα η τοποθέτηση γύρω από το τραπέζι ώστε το κάθε άτοµο να έχει διαφορετικούς γείτονες κάθε µέρα, µπορεί να γίνει εγγυηµένα για δύο τουλάχιστον ηµέρες. Αυτό µπορεί να υπολογιστεί και µε µια άµεση καταµέτρηση αφού όταν γίνει ο πρώτος κύκλος Hamilton κάθε κορυφή αποµένει µε βαθµό 6 και όταν γίνει ο δεύτερος κύκλος κάθε 18

20 κορυφή αποµένει µε βαθµό 4 οπότε και παύει να ισχύει το θεώρηµα του Ore γιατί δύο κορυφές µαζί έχουν βαθµό 8 που είναι µικρότερος του n=9. Μπορείτε επίσης να διαπιστώστε ότι το θεώρηµα του Ore δίνει πράγµατι τον ελάχιστο εγγυηµένο αριθµό κύκλων Hamilton στον γράφο αφού αν προσπαθήσετε να βρείτε όλους τους ξεχωριστούς κύκλους Hamilton στον K 9, αυτοί είναι τέσσερις. Ερώτηµα 8. ίδονται δύο απλά µη-κατευθυνόµενα γραφήµατα G 1 = (V 1, E 1 ) και G = (V, E ) (V 1, V είναι τα σύνολα κορυφών και E 1, E είναι τα σύνολα ακµών). Το γράφηµα G 1 [G ] = (V,E) καλείται σύνθεση των G 1, G και ορίζεται ως εξής (βλέπε παράδειγµα): (α) V = V 1 Χ V = {(a i, b j ) : a i єv 1 και b j єv }, και (β) Εστω c = (a i, b j ) και d = (a s, b t ) δύο κορυφές του V: υπάρχει η ακµή (c,d) єe [υπάρχει η ακµή (a i, a s ) єe 1 ] ή [a i =a s και υπάρχει η ακµή (b j, b t ) єe ]. a 1 b 1 (a 1,b 1 ) (a 1,b ) (a 1,b 3 ) b a b 3 (a,b 1 ) (a,b ) (a,b 3 ) G 1 G G 1 [G ] 19

21 (1) είξτε ότι: G 1 [G ] G [G 1 ]. Πράγµατι, παρατηρούµε τους παρακάτω γράφους G 1 και G και τα G 1 [G ] και G [G 1 ] που προκύπτουν. Είναι φανερό ότι πρόκειται για δύο διαφορετικά µεταξύ τους γραφήµατα. u (u 1,u ) (u 1,v ) (u 1,w ) (u,u 1 ) (u,v 1 ) u 1 v 1 v (v,u 1 ) (v,v 1 ) w (v 1,u ) (v 1,v ) (v 1,w ) (w,u 1 ) (w,v 1 ) G 1 G 1 G 1 [G ] G [G 1 ] Στην γενική περίπτωση, έστω οι κορυφές a i και a j στον G 1 οι οποίες είναι γειτονικές (υπάρχει η ακµή (a i,a j )) και οι κορυφές b i και b j στον G οι οποίες δεν είναι γειτονικές (δεν υπάρχει η ακµή (b i,b j )). Στον G 1 [G ] οι νέες κορυφές (a i,b i ) και (a j,b j ) θα συνδέονται µέσω ακµής γιατί υπάρχει η ακµή (a i, a j ) στον G 1. Αντίθετα, στον G [G 1 ] οι νέες κορυφές (b i,a i ) και (b j, a j ) δεν θα συνδέονται µέσω ακµής γιατί δεν πληρείται καµία από τις προϋποθέσεις δηµιουργίας της: 1. εν υπάρχει η ακµή (b i,b j ) στον G. Υπάρχει η ακµή (a i, a j ) στον G 1 αλλά b i b j () Να υπολογίσετε τα p = V και q = E (µε βάση τα p 1 = V 1, q 1 = E 1, p = V και q = E ). Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς µε βάση τον ορισµό της σύνθεσης ότι p = p 1 p (αφού το σύνολο των κορυφών του νέου γράφου είναι το καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων κορυφών των δύο γράφων που συµµετέχουν στην σύνθεση). Σε ότι αφορά τον αριθµό των ακµών, θα µετρήσουµε τις ακµές που δηµιουργούνται µε βάση τις δύο συνθήκες: Συνθήκη 1: υπάρχει η ακµή (c,d) єe [υπάρχει η ακµή (a i, a s ) єe 1 ] Έστω µια ακµή (a i, a s ) στο E 1 (σύνολο ακµών του G 1 ). Για κάθε µία από τις κορυφές a i, και a s δηµιουργούνται στον G 1 [G ] p νέες κορυφές (όσες και οι κορυφές του G ). Mε βάση την Συνθήκη 1, ανάµεσα στις p κορυφές που αντιστοιχούν στην a i (έχουν την a i σαν πρώτο µέλος του διατεταγµένου ζεύγους) και στις p κορυφές που αντιστοιχούν στην a s (έχουν την a s σαν πρώτο µέλος του διατεταγµένου ζεύγους) θα 0

22 προστεθούν p ακµές (λόγω της ύπαρξης της (ai, a s ) στο E 1 ). Αυτό συµβαίνει για p κάθε ακµή του E 1, άρα λόγω της Συνθήκης 1 θα έχουµε q p ακµές στον G1[G ]. 1 Συνθήκη : υπάρχει η ακµή (c,d) єe [a i =a s και υπάρχει η ακµή (b j, b t ) єe ] Για κάθε κορυφή του G 1 δηµιουργούνται p κορυφές στον G 1 [G ] (όσες και οι κορυφές του G ). Ανάµεσα στις p αυτές κορυφές, λόγω της Συνθήκης θα δηµιουργηθούν q ακµές (όλες όσες υπάρχουν στον G ). Άρα, από την Συνθήκη θα προστεθούν στον G 1 [G ] p 1 q νέες ακµές. Το σύνολο των ακµών του G 1 [G ] προκύπτει από το άθροισµα των ακµών που δηµιουργούνται από την κάθε συνθήκη, οπότε p = q1 p + p1 q Πράγµατι, θεωρείστε το παράδειγµα του πρώτου σχήµατος (G 1 [G ]): p 1 =, q 1 =1,p =3, q =. Τότε, p = = 13 Θεωρείστε τώρα το παράδειγµα του δεύτερου σχήµατος (G [G 1 ]): p 1 =3, q 1 =,p =, q =1. Τότε, p = = 11 1

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων> ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις

Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Ενότητα 1: Εισαγωγή Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Αποδείξτε τη µεταβατική και τη συµµετρική ιδιότητα του Θ. Λύση Μεταβατική Ιδιότητα (ορισµός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)). Για

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 (5.1-5.2 και 5.4-5.6) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Δέντρα Βασικοί ορισµοί Μαθηµατικές ιδιότητες Διάσχιση δέντρων Preorder, postorder,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το το σύνολο N * = {,, 3, 4.} και σύνολο αφίξεως το R Η ακολουθία συµβολίζεται (α ν ) ή (β ν ) κ.λ.π.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 19/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 1 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είδαµε την προηγούµενη φορά. Συνεκτικότητα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Παρασκευή, 20/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είδαµε την προηγούµενη φορά Συνεκτικότητα Υπογράφηµα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)

Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ

ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ42 - ΕΙ ΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ 2η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2009-2010 2 oς Τόµος ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΑ ΣΧΕ ΙΑ ΛΥΣΕΩΝ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑ 2 i. υναµική τεχνική επικύρωσης:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA

Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το. To Κρυπτοσύστηµα RSA Αριθµοθεωρητικοί Αλγόριθµοι και το Κρυπτοσύστηµα RSA Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Υπολογισµός Μέγιστου Κοινού ιαιρέτη Αλγόριθµος του Ευκλείδη Κλάσεις Ισοδυναµίας και Αριθµητική modulo

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 1η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα