X ( ω ) e προσδ ιορίζεται ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του

Transcript

1 Θ έματαεξετάσεων και Λύσεις Ε ξετάσεις Σεπτεμβρίου. Θ ΕΜ Α. ( μονάδ α) Ναβρεθεί ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του σήμ ατος x () co e Το σήμ αγράφ εται x () co e e ( e e ) Από το ζεύγος μετασχημ ατισμ ών Fourier e F για R e {} > και την ιδ ιότητα της χρονικής μετατόπισης του ω μετασχημ ατισμ ούfourier x F jω ( ) X ( ω ) e προσδ ιορίζεται ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του σήμ ατος x () F[ x ()] ( ω ) ( ω ) με R e {} > Ένας άλλος τρόπος που βασίζεται στην ιδ ιότητατης συνέλιξης, ο οποίος δεν είναι ο πρακτικότερος, είναι X ( ω) π F[ co ] Fe [ ] π πδω [ δω ( ) ] ω ( ω ) ( ω ) με R e {} > Θ ΕΜ Α. ( μονάδ ες) Δίνεται το σήμ α x () i c () Ναβρεθούν α) η φασμ ατική πυκνότηταενέργειας του σήμ ατος και β ) η ενέργειά του. i ( π ), ω < π ω α) Ο Μ F του σήμ ατος x ()ic() είναι X ( ω) π Π, ω > π π έτσι η φασμ ατική πυκνότηταενέργειας του σήμ ατος είναι ω ω, ω π X ( ω) < Π π Π π, ω > π β) και η ενέργειατου σήμ ατος είναι EX ω d d π Π π ω π ω Η ενέργειατου σήμ ατος μπορεί ναβρεθεί αν βρεθεί η συνάρτησης αυτοσυσχέτισης Rx () τ F X ( ω) ic( τ) [ ] προσδ ιορίζοντας την τιμ ή της γιατ, πράγματι E R () Θ ΕΜ Α 3. ( μ ονάδ α) 3α) Νασχεδιάσετε το σήμ α x () ic[ ( )] 3β) Ναεξετάσετε αν το σύστημ αείναι γραμμικό y() xu () (); X x π π PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://

2 Εξετάσεις Σεπτεμβρίου. 3α) Η συνάρτηση δειγματοληψίας ic(x) όπως είναι γνωστό ορίζεται από τη σχέση i ( π ) ic() π,, Στο Σχήμ ααείναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δειγματοληψίας. Στη συνέχειααπό το σήμ α ic()βρίσκουμ ε το σήμ α ic που αποτελεί μια χρονική συστολή της συνάρτησης δειγματοληψίας κατά και με χρονική μετατόπιση κατά προσδ ιορίζουμ ε το x () [ ( )] Στο Σχήμ αβ είναι η γραφική παράσταση του σήμ ατος x () ic[ ( )] ic. ic() 3 3 ( α ) ic [ ( -)] 3 3 ( β ) Σχήμα Η γραφική παράσταση της συνάρτησης δειγματοληψ ίας καιτου σήματος x () ic[ ( )] Ένας άλλος τρόπος, που δεν είναι ο καλύτερος, είναι να προσδ ιοριστούν ορισμ ένα σημ είατου i π ( ) x () ic ( ), και με τη βοήθειααυτόν νασχεδιαστεί το σήμ α. π ( ) 3β) Αν έχουμ ε ως σήμ αεισόδ ου το σήμ α x () β x (), τότε η έξοδος του συστήμ ατος σήμ ατος [ ] y() xu () () θαείναι Sx [ () β x() ] ( x() β x() ) u () x() u () β x() u () Sx [ () ] β Sx [ () ] Άρατο σύστημαy() xu () () είναι γραμμικό. Θ ΕΜ Α. (,5 μονάδ ες) Δίνεται το αιτιατό σύστημ αδιακριτούχρόνου το οποίο ε χει συνάρτηση μεταφοράς α) Νασχεδιάσετε το διάγραμματων πόλων και μηδ ενικών στο οποίο να υπάρχει και η περιοχή σύγκλισης. Είναι το σύστημ αευσταθές; β) Ποιά είναι η εξίσωση που συνδ έει την είσοδο x () και την έξοδο y () του συστήμ ατος. γ) Ναυπολογιστεί η έξοδος του συστήμ ατος αν το σήμ αεισόδ ου του είναι x () u () με αρχική συνθήκη y ( ). Σημ ειώνεται ότι η εξίσωση y () h () x () και η Y() H ( ) X ( ) εφαρμόζονται όταν το σύστημ αβρίσκεται αρχικά σε ηρεμία, δηλαδή, δεν έχουμ ε αρχικές συνθήκες. PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://

3 ΘέματαΕξετάσεων και Λύσεις 3 α) Το σήστημ αέχει έναμ ηδ ενικό για και ένα πόλο για /. Επειδ ή το σύστημ α είναι αιτιατό θαπρέπει >/. Στο Σχήμ α είναι το διάγραμματων πόλων και μηδ ενικών και το πεδίο σύκλισης. Επειδ ή στη περιοχή σύγκλισης περιέχεται ο μοναδιαίος κύκλος το σύστημ αείναι αιτιατό. Im { } Re { } Σχήμα β) Η εξίσωση διαφορών που συνδ έει την είσοδο και την έξοδο του συστήμ ατος προσδ ιορίζεται ως Y() X Y X Y y X () () () () () και με αντίστροφο μετασχημ ατισμ ό στην τελευταίαεξίσωση έχουμ ε y () y ( ) x () γ) Για να βρούμε την έξοδο του συστήμ ατος όταν η είσοδος είναι το σήμ αx () επειδ ή το σύστημ αέχει αρχικές συνθήκες λαμβάνουμ ε μονόπλευρο μετασχημ ατισμ ό Fourier και σταδύο μέλη της εξίσωσης διαφορών και έτσι ενσωμ ατώνουμ ε τις αρχικές συνθήκες του συστήμ ατος. Y() ( Y() y( ) ) X () Y() ( ) X () y επειδ ή x () u () και y έχουμ ε Y() ( ) Y() 3 ( )( ) με Π.Σ. > και με αντίστροφο μετασχημ ατισμ ό έχουμ ε το αιτιατό σήμ αεξόδ ου y () 3( ) u () ( ) u () Θ ΕΜ Α 5. (,5 μονάδ ες) Δίνεται το γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημ αμε κρουστική απόκριση h () e u () Στην είσο δο του συστήμ ατος εφαρμόζεται το σήμ α x () e u () Εργαζόμ ενοι στο πεδίο συχνοτήτων 5α) ναβρεθεί η έξοδος του συστήμ ατος. 5β) Ναβρεθεί η ενέργεια του σήμ ατος εξόδ ου. 5α) Χρησιμ οποιώντας την ιδ ιότητα της συνέλιξης βρίσκουμ ε το μετασχημ ατισμ ό Fourier της εξόδ ου Y( ω) H( ω) X ( ω) jω jω jω jω με αντίστροφο μετασχημ ατισμ ό Fourier βρίσκουμ ε την έξοδο του συστήμ ατος y () F Y e e ω u () [ ] [ ] 5β) Το σήμ αεξόδ ου είναι σήμ αενέργειας και η ενέργειά του είναι PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://

4 Εξετάσεις Σεπτεμβρίου. [ ] E lim y () d lim e e d lim e e e e d y e e e lim Για να βρούμε την ενέργεια εργαζόμ ενοι στο πεδίο συχνοτήτων προσδ ιορίζεται αρχικά η φασμ ατική πυκνότηταενέργειας Y ( ω) ω 3ω 3 ω 3 ω και στη συνέχειαβρίσκεται η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης τ τ Ry() τ F [ Y( ω) ] e e e 6 και η ενέργειαθαείναι Ey Ry() Θ ΕΜ Α 6. ( μονάδ α) Η απόκριση ενός γραμμικούχρονικά αναλλοίωτου συστήμ ατος στο σήμ α x () e u () είναι το σήμ αδ (). Ναβρεθεί ο μετασχημ ατισμ ός Fourier της απόκρισης του συστήμ ατος στο σήμ α Αν H x() e co( u ) () ω είναι ο μετασχημ ατισμ ός Fourier της κρουστικής απόκρισης h() του συστήμ ατος τότε H( ω) Fe [ u ()] F[ δ() ] H( ω) jω H( ω) jω Ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του σήμ ατος εισόδ ου x() e co( u ) () είναι [ () ] [ () () ] Fx F e ue e ue j ω j( ω ) Ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του σήμ ατος εξόδ ου y () είναι [ ] ( ) Y( ω) H( ω) Fx () jω j ω jω jω jω j( ω ) j( ω ) jω j( ω ) Το θέμαμπορεί ναλυθεί και με τη βοήθειατου μετασχημ ατισμ ούlplce ως u L co( ) () ( ) ω με Με τη βοήθεια του ζεύγους μετασχημ ατισμ ούlplce [ e ω ] R e {} > Re {} προσδ ιορίζεται ο μετασχημ ατισμ ός Lplce του σήμ ατος x() e co( ) u () x [ e ] u L X () co( ) () () με R e {} > ( ) Στο πεδίο σύγκλισης περιέχεται ο φανταστικός άξονας έτσι υπάρχει ο μετασχημ ατισμ ός Fourier του σήμ ατος και είναι j X ( ω) ω X () jω ( jω ) και με τη βοήθειατης ιδ ιότητας της συνέλιξης προσδ ιορίζεται ο μετασχημ ατισμ ός Fourier της εξόδ ου ( jω ) Y( ω) H( ω) X( ω) ( jω ) PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://

5 ΘέματαΕξετάσεων και Λύσεις 5 Παρατήρηση: Στη συνέχεια παρουσιάζεται ένας απλός τρόπος προσδ ιορισμ ούτης εξόδ ου y(). Τονίζεται ότι αυτό δεν το ζητά το θέμα. Ο μετασχημ ατισμ ός Fourier της εξόδ ου γράφ εται και ως Y( ω) H( ω) X( ω) ( jω ) X( ω) οπότε η έξοδος είναι d y() F [ Y( ω) ] F [ X( ω) ] F [ jω X( ω )] x() d x () d y() e co( u ) () d [ e co( u ) ()] e co δ() e i( u ) () δ() e i( u ) () όπου χρησιμ οποιήθηκε η γνωστή σχέση d d u () δ (). Θ ΕΜ Α 7. (,5 μονάδ ες) Η απόκριση ενός γραμμικούχρονικά αναλλοίωτου συστήμ ατος στο σήμ α x () u είναι το σήμ α y () ( e e ) u (). Με τη βοήθεια του μετασχημ ατισμ ούlplce ναβρεθεί η είσοδος του συστήμ ατος όταν το σήμ α εξόδ ου είναι 3 y() 3 e e u () Έχουμ ε τα ζεύγη μετασχημ ατισμ ών Lplce για το σήμ αεισόδ ου και το σήμ αεξόδ ου του συστήμ ατος L x () u () X () με Π.Σ. R e [] > L y () ( e e ) u () Y() με Π.Σ. R > ( ) ( ) e [] Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήμ ατος είναι Y() X () με Π.Σ. R > ( ) e [] Το πεδίο σύγκλισης της επιλέγεται έστι ώστε η τόμ η του με το αντίστοιχο πεδίο σύγκλισης του X () ναδ ίνει το πεδίο σύγκλισης το υ Y(). 3 Ο μετασχημ ατισμ ός Lplce γιατο σήμ α ( 3 ) y() e e u () είναι 3 6 Y () 3 με Π.Σ. ( )( 3) R e [] > Ο μετασχημ ατισμ ός Lplce του σήμ ατος εισόδ ου του συστήμ ατος όταν το σύστημ αέχει έξοδου το 3 y() 3 e e u () είναι σήμ α Y () 6( ) X() ( 3) με Π.Σ. 3 R e [] > και εδώ το πεδίο σύγκλισης της X() επιλέγεται έστι ώστε η τόμ η του με το αντίστοιχο πεδίο σύγκλισης της ναδ ίνει το πεδίο σύγκλισης του Y ().Με αντίστροφο μετασχημ ατισμ ό Lplce βρίσκεται το αιτιατό, λόγω του πεδίου σύγκλισης, σήμ αεισόδ ου 3 x() e u () Θ ΕΜ Α 8. (,5 μονάδ ες) Γιαέναγραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημ αδίνονται i) Αν το σήμ αεισόδ ου είναι το σήμ αx () ( ), τότε η έξοδος του συστήμ ατος είναι το σήμ α y () και PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://

6 6 Εξε τάσεις Σεπτεμβρίου. ii) αν το σήμ αεισόδ ου είναι το σήμ α x() u (), τότε η έξοδος του συστήμ ατος είναι το σήμ α y() δ () c( ) u (), όπου c σταθερά ποσότητα 8α) Ναβρεθεί η σταθερά c. 8β) Ναυπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήμ ατος, και 8 γ) Να προσδ ιοριστεί η έξοδος του συστήμ ατος όταν η είσοδός του είναι το σήμ αx (). Γνωρίζουμ ε από τη θεωρίαότι αν η είσοδος ενός συστήμ ατος είναι το σήμ αx () τότε η έξοδος του συστήμ ατος είναι το σήμ α y (). Η άσκηση δίνει την έξοδο y () για είσοδοx () ( ), άρα H ( ). Οι μετασχημ ατισμ οί γιατασήμ ατα x () και y () είναι X () με > και Y c c () με > Και η συνάρτηση μεταφοράς του συστήμ ατος είναι Y() ( c ) ( ) X με > Επειδ ή πρέπει ναείναι H ( ) έχουμ ε την εξίσωση και H ( ) ( c 8) ( ) ( ) 8 ( 8 ) ( ) ( ) c 9 8 με > Όταν η είσοδος του συστήμ ατος είναι το σήμ αx () τότε η αντίστοιχη έξοδος θαείναι y H PDF creed wih FiePri pdffcory Pro ril verio hp://