ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ. ΤΜΘΜΑ ΘΛΕΚΤΟΛΟΓΩΝ ΜΘΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΡΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομζασ: Τθλεπικοινωνιϊν και Τεχνολογίασ Ρλθροφορίασ

Transcript

1 1 ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΤΜΘΜΑ ΘΛΕΚΤΟΛΟΓΩΝ ΜΘΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΡΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Τομζασ: Τθλεπικοινωνιϊν και Τεχνολογίασ Ρλθροφορίασ Εργαςτιριο Θεωρθτικισ Θλεκτροτεχνίασ και Ραραγωγισ Β Διπλωματικι Εργαςία τθσ Φοιτιτριασ του Τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν τθσ Ρολυτεχνικισ Σχολισ του Ρανεπιςτθμίου Ρατρϊν: Αικατερίνησ Παπαδοποφλου Α. Μ. : 6056 Θζμα: Σχεδίαςη και υλοποίηςη BCH αποκωδικοποιητή για DVB-S2 ςυςτήματα Επιβλζπων: Αντωνακόπουλοσ Θεόδωροσ Ράτρα, Ιοφλιοσ 2009

2 2

3 3 ΠΙΣΟΠΟΙΗΗ Ριςτοποιείται ότι θ διπλωματικι εργαςία με κζμα: Σχεδίαςθ και υλοποίθςθ BCH αποκωδικοποιθτι για DVB-S2 ςυςτιματα τθσ Φοιτιτριασ του Τμιματοσ Θλεκτρολόγων Μθχανικϊν και Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν: Αικατερίνησ Παπαδοποφλου Α. Μ. : 6056 Ραρουςιάςτθκε δθμόςια και εξετάςτθκε ςτο τμιμα Θλεκτρολόγων μθχανικϊν και Τεχνολογίασ Υπολογιςτϊν ςτισ: 10/07/2009 Ο Επιβλζπων, Ο διευκυντισ του τομζα,

4 4

5 5 Αριθμόσ Διπλωματικήσ εργαςίασ: Σίτλοσ: Σχεδίαςθ και υλοποίθςθ BCH αποκωδικοποιθτι για DVB-S2 ςυςτιματα Φοιτήτρια: Αικατερίνθ Ραπαδοποφλου Επιβλζπων: Θεόδωροσ Αντωνακόπουλοσ

6 6 Περύληψη Ζνα από τα βαςικότερα τμιματα ενόσ ςυςτιματοσ ψθφιακισ μετάδοςθσ είναι θ κωδικοποίθςθ καναλιοφ, θ οποία ςτόχο ζχει τθν ανίχνευςθ και διόρκωςθ των λακϊν που ειςάγονται ςτθν πλθροφορία μζςα ςτο κανάλι. Οι Bose, Chaudhuri και Hocquenghem (BCH) κϊδικεσ είναι μία μεγάλθ ομάδα ιςχυρϊν κυκλικϊν κωδίκων διόρκωςθσ τυχαίων λακϊν. Οι BCH κϊδικεσ περιγράφονται με χριςθ αλγεβρικϊν δομϊν που λζγονται πεπεραςμζνα πεδία. Για τθν κατανόθςθ των λειτουργιϊν κωδικοποίθςθσ και αποκωδικοποίθςθσ απαιτείται θ προςεκτικι μελζτθ τθσ άλγεβρασ πεπεραςμζνων πεδίων και τθσ αρικμθτικισ τθσ. Οι BCH κϊδικεσ χρθςιμοποιοφνται ςτο δορυφορικό πρότυπο DVB-S2, ςε ςυνδυαςμό με LDPC κϊδικεσ. Στθν παροφςα εργαςία πραγματοποιικθκε ςχεδίαςθ και υλοποίθςθ κωδικοποιθτϊν και αποκωδικοποιθτϊν για κϊδικεσ BCH(15,5,3) και BCH(16200,16008,12). Ο δεφτεροσ αποκωδικοποιθτισ ςχεδιάςτθκε με βάςθ τθσ προδιαγραφζσ που κζτει το DVB- S2, και καλφπτει μία από τισ περιπτϊςεισ κωδικοποίθςθσ του ςυςτιματοσ. Τζλοσ, αποδεικνφεται ότι με ελάχιςτεσ μετατροπζσ ο ίδιοσ αποκωδικοποιθτισ μπορεί να καλφψει όλεσ τισ περιπτϊςεισ διόρκωςθσ 12 λακϊν ενόσ DVB-S2 ςυςτιματοσ. Abstract Channel coding is one of the most important parts of a digital transmission system, and it aims at the detection and correction of errors that might have occurred in a noisy channel. Bose, Chaudhuri and Hocquenghem (BCH) codes form a large class of powerful random error-correcting cyclic codes. BCH codes operate over algebraic structures called finite fields. Understanding the processes of encoding and decoding requires a careful study of finite field algebra and the associated arithmetic. DVB-S2 is a specification for satellite broadcasting that deploys BCH codes combined with LDPC codes. This thesis sets out to account for the design and implementation of encoders and decoders for the BCH(15,5,3) and BCH(16200,16008,12) codes. The BCH(16200,16008,12) encoder/decoder was designed according to the DVB-S2 standard. Proof is provided that the same encoder/decoder, with only some minor changes, can be used for all the 12 error-correcting codes used in DVB-S2.

7 7 Περιεχόμενα Ρερίλθψθ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΘ Συςτιματα ψθφιακισ μετάδοςθσ Κωδικοποίθςθ καναλιοφ Ελάχιςτθ απόςταςθ και βάροσ κϊδικα Κϊδικεσ δομισ (block codes) Κυκλικοί κϊδικεσ δομισ Συςτθματικοί κϊδικεσ δομισ Συνελικτικοί κϊδικεσ (convolutional codes) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΑΛΓΕΒΑ ΡΕΡΕΑΣΜΕΝΩΝ ΡΕΔΙΩΝ Θεωρία πεδίων Σφνολα Ρεδία To GF(2 m ) Θ πολυωνυμικι βάςθ και τα πρωτογενι ςτοιχεία Θ δυαδικι βάςθ Θ κανονικι βάςθ Υλοποίθςθ αρικμθτικισ πεπεραςμζνων πεδίων Ρρόςκεςθ δφο ςτοιχείων Ρολλαπλαςιαςμόσ με μία ςτακερά α i Ρολλαπλαςιαςμόσ δφο ςτοιχείων ενόσ πεδίου Galois Υπολογιςμόσ του r(α i ) Διαίρεςθ πολυωνφμων του GF(2) Ζνασ εναλλακτικόσ τρόποσ υπολογιςμοφ του r(α i ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΚΩΔΙΚΕΣ BCH Ιςτορικι αναδρομι Δυαδικοί BCH κϊδικεσ Δυαδικοί πρωτογενείσ BCH κϊδικεσ... 33

8 Δυαδικοί μθ-πρωτογενείσ BCH κϊδικεσ Κωδικοποίθςθ BCH κωδίκων Αποκωδικοποίθςθ BCH κωδίκων Υπολογιςμόσ ςυνδρόμων Υπολογιςμόσ του πολυωνφμου εφρεςθσ κζςεων των λακϊν Ρροςδιοριςμόσ των κζςεων των λακϊν και διόρκωςθ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΤΟ ΡΟΤΥΡΟ DVB-S Ειςαγωγι Βαςικά χαρακτθριςτικά αρχιτεκτονικισ Ρροςαρμογι οισ Ειςόδου Forward Error Correction Mapping Ρλαιςίωςθ Διαμόρφωςθ Συμβατότθτα με το DVB-S Χριςθ BCH κωδίκων ςτο DVB-S BCH κωδικοποίθςθ BCH αποκωδικοποίθςθ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΥΛΟΡΟΙΘΣΘ Σχεδιαςτικι προςζγγιςθ Σχεδίαςθ του BCH κωδικοποιθτι Κακοριςμόσ ειςόδων/εξόδων Σχεδίαςθ του καταχωρθτι ολίςκθςθσ με ανάδραςθ Σχεδίαςθ τθσ λογικισ ελζγχου Ζλεγχοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ Σχεδίαςθ του BCH αποκωδικοποιθτι Κακοριςμόσ ειςόδων/εξόδων Θ υλοποίθςθ του buffer Ο υπολογιςμόσ των ςυνδρόμων Θ υλοποίθςθ του αλγορίκμου Berlekamp Yλοποίθςθ του αλγορίκμου Chien... 70

9 Υλοποίθςθ τθσ λογικισ ελζγχου των υποςυςτθμάτων Ζλεγχοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ Κωδικοποιθτισ και αποκωδικοποιθτισ για το DVB-S Συμπεράςματα και προτάςεισ για περαιτζρω ζρευνα Ραράρτθμα Βιβλιογραφία... 83

10 10

11 11 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΑΓΩΓΗ 1.1 υςτόματα ψηφιακόσ μετϊδοςησ Ζνα ςφςτθμα ψθφιακισ μετάδοςθσ αφορά ςτθ μεταφορά τθσ πλθροφορίασ από μία πθγι ςε ζνα προοριςμό (ι χριςτθ). Ο όροσ «ψθφιακό» ςθμαίνει ότι το ςφςτθμα χρθςιμοποιεί μια ςειρά από ςφμβολα μζςα ςε ζνα πεπεραςμζνου μεγζκουσ αλφάβθτο για να αναπαραςτιςει τθν πλθροφορία. Στο Σχιμα 1.1 φαίνεται το block διάγραμμα ενόσ ςυςτιματοσ μετάδοςθσ. χήμα 1.1 Δομι ενόσ ςυςτιματοσ ψθφιακισ μετάδοςθσ Θ πλθροφορία προσ μετάδοςθ παράγεται από μία πθγι (information source), ωσ μία ςειρά ςυμβόλων που παράγονται με ζνα μζςο ρυκμό Rs ςυμβόλων ανά δευτερόλεπτο. Για παράδειγμα μία πθγι πλθροφορίασ μπορεί να είναι ζνα κινθτό τθλζφωνο, οπότε θ πθγι αποτελείται από το μικρόφωνο και ζνα μετατροπζα analog-to-digital (A/D). Ακολουκεί ο κωδικοποιθτισ πθγισ (source encoder), ο οποίοσ μετατρζπει τθν ζξοδο τθσ πθγισ ςε μία ςειρά από δυαδικά ψθφία, που λζγεται πλθροφοριακι ακολουκία u. Στόχοσ τθσ κωδικοποίθςθσ πθγισ είναι θ ελαχιςτοποίθςθ του αρικμοφ των bits που χρειάηονται για να αναπαραςτιςουν τθν πλθροφορία (ςυμπίεςθ) και θ εξαςφάλιςθ τθσ δυνατότθτασ πλιρουσ ανάκτθςθσ τθσ αρχικισ πλθροφορίασ από τθν ακολουκία u. Ο κωδικοποιθτισ καναλιοφ (channel encoder) μετατρζπει τθν ακολουκία u ςε μία διακριτι κωδικοποιθμζνθ, δυαδικι ςυνικωσ, ακολουκία v, που λζγεται κωδικολζξθ. Στόχοσ αυτισ

12 12 τθσ κωδικοποίθςθσ είναι να προςφζρει τθ δυνατότθτα ανίχνευςθσ και διόρκωςθσ των λακϊν που κα προκφψουν κατά τθ μετάδοςθ μζςα από ζνα κανάλι, λόγω του κορφβου. Κακϊσ θ διακριτι αυτι ακολουκία είναι ακατάλλθλθ για μετάδοςθ μζςα από το κανάλι, ακολουκεί ο διαμορφωτισ (modulator), ο οποίοσ αντιςτοιχίηει τα ςφμβολα ςε ςιματα, τα οποία μποροφν να μεταδοκοφν με αποδοτικό τρόπο μζςα από το κανάλι. Θ επιλογι τθσ κατάλλθλθσ διαμόρφωςθσ είναι ζνα περίπλοκο ηιτθμα, αν και ςυνικωσ περιορίηεται ςτθν επιλογι τθσ διαμόρφωςθσ που ικανοποιεί τισ απαιτιςεισ ιςχφοσ και εφρουσ ηϊνθσ τθσ ςυγκεκριμζνθσ εφαρμογισ. Για παράδειγμα, ςτισ δορυφορικζσ επικοινωνίεσ το κζμα τθσ κατανάλωςθσ ιςχφοσ είναι μείηονοσ ςθμαςίασ, κακϊσ θ χαμθλι κατανάλωςθ ςθμαίνει μείωςθ του βάρουσ τθσ μπαταρίασ και αφξθςθ του χρόνου ηωισ τθσ. Συνεπϊσ, μια αποδοτικι επιλογι διαμόρφωςθσ είναι θ binary phase-shift keying (BPSK ι PSK). Κατόπιν, θ κυματομορφι μεταδίδεται μζςα από ζνα κανάλι (channel) και αλλοιϊνεται λόγω του κορφβου. Το κανάλι μπορεί να είναι π.χ. τθλεφωνικι γραμμι, οπτικι ίνα ι δορυφορικι ςφνδεςθ, και ςε κάκε περίπτωςθ το είδοσ του κορφβου μπορεί να είναι διαφορετικό. Ο αποδιαμορφωτισ (demodulator) επεξεργάηεται το λθφκζν ςιμα και παράγει μία ζξοδο, που λζγεται λθφκείςα ακολουκία r. Ζπειτα ο αποκωδικοποιθτισ καναλιοφ (channel decoder) μετατρζπει τθ λθφκείςα ακολουκία ςε μία δυαδικι ακολουκία u, που λζγεται εκτιμϊμενθ πλθροφοριακι ακολουκία. Θ αποκωδικοποίθςθ γίνεται με βάςθ τθν κωδικοποίθςθ καναλιοφ που χρθςιμοποιικθκε και τα χαρακτθριςτικά κορφβου του καναλιοφ, και ιδανικά πρζπει να καταλιγει ςε μία ακολουκία u ίδια με τθν αρχικι u. Ενδζχεται όμωσ να προκφψουν και ςφάλματα κατά τθν αποκωδικοποίθςθ. Για παράδειγμα, μπορεί να ζχει χρθςιμοποιθκεί ζνασ κϊδικασ που διορκϊνει t λάκθ, όμωσ κατά τθ μετάδοςθ από το κανάλι να ειςιχκθςαν περιςςότερα λάκθ. Σε αυτι τθν περίπτωςθ δεν είναι δυνατι θ ςωςτι αποκωδικοποίθςθ τθσ λθφκείςασ ακολουκίασ. Το τελευταίο ςτάδιο πριν φκάςει θ πλθροφορία ςτον προοριςμό τθσ είναι ο αποκωδικοποιθτισ πθγισ (source decoder), ο οποίοσ μετατρζπει τθν u ςε μία άλλθ ακολουκία, θ οποία αποτελεί τθν εκτίμθςθ τθσ πλθροφορίασ τθν οποία είχε παραγάγει αρχικά θ πθγι. 1.2 Κωδικοπούηςη καναλιού Ζνα από τα πιο βαςικά κομμάτια ενόσ ςυςτιματοσ ψθφιακισ μετάδοςθσ είναι θ κωδικοποίθςθ καναλιοφ. Αυτι υλοποιείται με χριςθ κωδίκων, που ονομάηονται κϊδικεσ ελζγχου λακϊν (ι κϊδικεσ καναλιοφ), οι οποίοι ειςάγουν κάποια πλεονάηουςα πλθροφορία ςτθν πλθροφορία πριν αυτι μεταδοκεί, ζτςι ϊςτε ο δζκτθσ να μπορεί να ανιχνεφςει και ενδεχομζνωσ και να διορκϊςει τα λάκθ που κα προκφψουν. Θ δθμιουργία τζτοιων κωδίκων είναι εφικτι, ςφμφωνα με το Θεϊρθμα Κωδικοποίθςθσ Διακριτοφ Καναλιοφ με Θόρυβο του Shannon [1]:

13 13 Για κάκε διακριτό κανάλι χωρθτικότθτασ C υπάρχει ζνα ςφςτθμα κωδικοποίθςθσ τζτοιο ϊςτε, όταν θ πλθροφορία μεταδίδεται μζςα από το κανάλι με ρυκμό μικρότερο του C, ο ρυκμόσ εμφάνιςθσ λακϊν να είναι αυκαίρετα μικρόσ. Ο πιο απλόσ τρόποσ ανίχνευςθσ ενόσ λάκουσ είναι το parity checksum [2], το οποίο μπορεί να υλοποιθκεί μόνο με XOR πφλεσ. Στισ ςφγχρονεσ τθλεπικοινωνίεσ όμωσ ςυνικωσ απαιτοφνται πιο εξεηθτθμζνοι τρόποι ελζγχου λακϊν, με πιο περίπλοκεσ υλοποιιςεισ. Μάλιςτα, όταν δεν είναι δυνατι θ αναμετάδοςθ τθσ πλθροφορίασ, είναι απαραίτθτο να γίνεται διόρκωςθ των λακϊν ςτο δζκτθ (Forward Error Correcting - FEC). Οι κϊδικεσ ελζγχου λακϊν χωρίηονται ςε δφο βαςικζσ κατθγορίεσ, τουσ κώδικεσ δομήσ (block codes) και τουσ ςυνελικτικοφσ κώδικεσ (convolutional codes) Ελϊχιςτη απόςταςη και βϊροσ κώδικα Οριςμόσ 1.1 Βάροσ Hamming (Hamming weight) ι απλά βάροσ μιασ κωδικισ λζξθσ v μικουσ n bits ονομάηεται το πλικοσ των μθ μθδενικϊν ψθφίων τθσ. Το βάροσ Hamming μίασ λζξθσ παίρνει τιμζσ από 0 ζωσ n. Οριςμόσ 1.2 Απόςταςθ Hamming (Hamming distance) ι απλά απόςταςθ μεταξφ δφο κωδικϊν λζξεων του ίδιου μικουσ n ονομάηεται το πλικοσ των κζςεων ςτισ οποίεσ οι δφο λζξεισ παρουςιάηουν αςυμφωνία του δυαδικοφ ψθφίου. Θ απόςταςθ Hamming επίςθσ παίρνει τιμζσ από 0 ζωσ n, και είναι ίςθ με το βάροσ τθσ λζξθσ που προκφπτει αν πάρουμε το modulo 2 άκροιςμα των δφο αρχικϊν λζξεων. Οριςμόσ 1.3 Ελάχιςτθ απόςταςθ Hamming ενόσ κϊδικα d min λζγεται θ μικρότερθ απόςταςθ μεταξφ δφο διαφορετικϊν λζξεων του κϊδικα. Ζνασ κϊδικασ με ελάχιςτθ απόςταςθ d είναι ικανόσ να διορκϊςει (d 1) 2 λάκθ. Αν ο κϊδικασ είναι κϊδικασ δομισ και το d είναι άρτιοσ αρικμόσ, τότε κ κϊδικασ μπορεί να διορκϊςει (d 1) 2 και να ανιχνεφςει d 2 λάκθ. Στουσ δε ςυνελικτικοφσ κϊδικεσ παρουςιάηεται πρόβλθμα ςτθν αποκωδικοποίθςθ αν εμφανιςτοφν πάνω από (d 1) 2 λάκθ. Θ απόςταςθ Hamming ςτουσ ςυνελικτικοφσ κϊδικεσ ονομάηεται και ελεφκερθ απόςταςθ (free distance) Κώδικεσ δομόσ (block codes) Στουσ κϊδικεσ δομισ τα bits των δεδομζνων χωρίηονται ςε blocks ςτακεροφ μικουσ, και θ επεξεργαςία του κάκε block γίνεται ανεξάρτθτα από τα άλλα. Κάκε κϊδικασ δομισ χαρακτθρίηεται από τισ παραμζτρουσ (n, k) και απεικονίηει κάκε ςτοιχείο μεγζκουσ k bits ενόσ διανυςματικοφ χϊρου F k ςε ζνα άλλο, μεγαλφτερο, διανυςματικό χϊρο F n. Θ

14 14 απεικόνιςθ αυτι ονομάηεται κωδικι λζξθ και προκφπτει με βάςθ ςυγκεκριμζνουσ αλγεβρικοφσ κανόνεσ που αφοροφν τον ςυγκεκριμζνο κϊδικα που χρθςιμοποιείται, και περιγράφονται από γεννήτορεσ πίνακεσ G ι πολυϊνυμα γεννιτορεσ g(x) [9]. Αν θ απεικόνιςθ αυτι είναι γραμμικι τότε ο κϊδικασ ονομάηεται γραμμικόσ. Οι γραμμικοί block κϊδικεσ αποτελοφν μία πολφ μεγάλθ και ςθμαντικι κατθγορία κωδίκων και χρθςιμοποιοφνται ευρζωσ ςτισ ςφγχρονεσ τθλεπικοινωνίεσ και τθν κρυπτογραφία. Στθ δυαδικι περίπτωςθ, μία λζξθ u μεγζκουσ k bits κωδικοποιείται ςε μία άλλθ λζξθ v μεγζκουσ n bits ωσ εξισ: v = u G [1.1] όπου G είναι ο γεννιτορασ πίνακασ μεγζκουσ k n. Μία βαςικι ζννοια τθσ κεωρίασ κωδικοποίθςθσ είναι ο πίνακασ ελζγχου ιςοτιμίασ (parity-check matrix) Η, ο οποίοσ προκφπτει από τον γεννιτορα πίνακα. Για κάκε κωδικι λζξθ v ιςχφει: H v T = O [1.2] Ο ρυκμόσ πλθροφορίασ (ι απλά ρυκμόσ) του κϊδικα (code rate) ορίηεται ωσ θ αναλογία του αρικμοφ των bits που περιζχουν τθν χριςιμθ πλθροφορία προσ το ςυνολικό μικοσ τθσ κωδικισ λζξθσ: R = k n [1.3] Χαρακτθριςτικά παραδείγματα κωδίκων δομισ είναι οι Reed-Solomon και οι BCH κϊδικεσ *12+, οι οποίοι και κα αναλυκοφν διεξοδικά ςτθν παροφςα εργαςία Κυκλικού κώδικεσ δομόσ Οι κυκλικοί κϊδικεσ αποτελοφν ζνα υποςφνολο των γραμμικϊν block κωδίκων. Συγκεκριμζνα, ζνασ κυκλικόσ κϊδικασ είναι ζνασ γραμμικόσ κϊδικασ block με τθν πρόςκετθ ιδιότθτα ότι αν c είναι μία κωδικι λζξθ τότε κάκε κυκλικι ολίςκθςθ των ψθφίων τθσ είναι επίςθσ κωδικι λζξθ. Ρλεονεκτιματα των κυκλικϊν κωδίκων είναι ο εφκολοσ και κομψόσ αλγεβρικόσ χειριςμόσ τουσ μζςω πράξεων πολυωνφμων και θ ςχετικά εφκολθ υλοποίθςθ τουσ μζςω τθσ άμεςθσ αντιςτοίχιςθσ των πολυωνφμων με δομζσ καταχωρθτϊν ολίςκθςθσ. Σε ζνα κυκλικό κϊδικα υπάρχει μία μοναδικι λζξθ g = (g 0 g 1 g n 1 ), τθσ οποίασ το αντίςτοιχο πολυϊνυμο g x = g 0 + g 1 x + + g n 1 x n 1 ζχει το μικρότερο βακμό ςε ςφγκριςθ με τα αντίςτοιχα πολυϊνυμα όλων των άλλων λζξεων. Το πολυϊνυμο ελαχίςτου βακμοφ που αντιςτοιχεί ςε αυτι τθ μοναδικι, μθ μθδενικι λζξθ λζγεται πολυώνυμο γεννήτορασ g(x). Το πολυϊνυμο γεννιτορασ διαιρεί όλεσ τισ άλλεσ κωδικζσ λζξεισ.

15 15 Σε αντιςτοιχία με τουσ απλοφσ γραμμικοφσ κϊδικεσ, υπάρχει και εδϊ ζνα πολυϊνυμο ελζγχου ιςοτιμίασ (x) για το οποίο ιςχφει: [c x x ]mod x n + 1 = 0 [1.4] Το πολυϊνυμο ελζγχου ιςοτιμίασ (x) προκφπτει από το πολυϊνυμο γεννιτορα με βάςθ τθ ςχζςθ: x = xn + 1 g(x) [1.5] υςτηματικού κώδικεσ δομόσ Ζνασ κϊδικασ δομισ λζγεται ςυςτηματικόσ όταν θ ακολουκία τθσ χριςιμθσ πλθροφορίασ i = (i 0 i 1 i k 1 ) εμφανίηεται ακζραια ωσ τμιμα τθσ κωδικισ λζξθσ v, είτε ςτθν αρχι είτε ςτο τζλοσ αυτισ, όπωσ φαίνεται παρακάτω: v = v 0 v 1 v n 1 = (i 0 i 1 i k 1 p 0 p 1 p n k 1 ) όπου με p i, 0 i n k 1 ςυμβολίηονται τα bits ιςοτιμίασ (parity bits). Θ διάταξθ αυτι προτιμάται διότι επιτρζπει τθν άμεςθ εξαγωγι των bits πλθροφορίασ από τθν κωδικι λζξθ υνελικτικού κώδικεσ (convolutional codes) Οι ςυνελικτικοί κϊδικεσ ανακαλφφκθκαν το 1954 από τον Elias [13+, ο οποίοσ ζδειξε ότι τα ψθφία ιςοτιμίασ μποροφν να ειςαχκοφν ςε μία ακολουκία δεδομζνων με χριςθ γραμμικϊν καταχωρθτϊν ολίςκθςθσ. Επίςθσ ζδειξε ότι οι κϊδικεσ που προκφπτουν με αυτό τον τρόπο είναι ιδιαίτερα αποδοτικοί όταν επιλζγονται με τυχαίο τρόπο. Σε αντιςτοιχία με τουσ κϊδικεσ δομισ, και αυτοί οι κϊδικεσ κάνουν μία απεικόνιςθ μίασ ακολουκίασ από k bits ςε μία κωδικοποιθμζνθ ακολουκία n bits, μόνο που τϊρα πρόκειται για ακολουκίεσ πολλϊν block αντί για ζνα. Θ βαςικι διαφορά τουσ με τουσ κϊδικεσ δομισ ζγκειται ςτο γεγονόσ ότι ςτθ ςυνελικτικι κωδικοποίθςθ κάκε κωδικοποιθμζνθ ακολουκία εξαρτάται όχι μόνο από τα k bits τθσ πλθροφορίασ αλλά και από τα m προθγοφμενα block. Δθλαδι ο κωδικοποιθτισ ζχει μνιμθ τάξθσ m.

16 16 XOR u u u D Q D Q Multiplexer v XOR χήμα 1.2 Δυαδικόσ ςυνελικτικόσ κωδικοποιθτισ με k = 1, n = 2 και m = 2. Οι ςυνελικτικοί κϊδικεσ ανικουν ςτθν κατθγορία των κωδίκων trellis. Στο ςχιμα 1.2 φαίνεται ζνασ δυαδικόσ ςυνελικτικόσ κωδικοποιθτισ με ρυκμό κϊδικα R = 1 2.

17 17 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΕΠΕΡΑΜΕΝΩΝ ΠΕΔΙΩΝ 2.1 Θεωρύα πεδύων ύνολα Σφνολο (group): ονομάηεται μία ομάδα G ςτοιχείων, μζςα ςτθν οποία ορίηεται μία πράξθ και: i. Ιςχφει θ προςεταιριςτικι ιδιότθτα, δθλαδι a (b c) = (a b) c ii. Υπάρχει ςτοιχείο e του ςυνόλου για το οποίο ιςχφει a e = e a = a, για κάκε a G. Το e ονομάηεται ταυτοτικό ςτοιχείο του ςυνόλου και είναι μοναδικό. iii. Για κάκε ςτοιχείο a G υπάρχει ςτοιχείο a G τζτοιο ϊςτε a a = a a = e. To α ονομάηεται αντίςτροφοσ του a, και είναι μοναδικόσ. Αν επιπλζον ιςχφει και θ αντιμετακετικι ιδιότθτα, δθλαδι a b = b a για κάκε a, b G, τότε το ςφνολο λζγεται commutative group. Τάξθ (order) του group λζγεται ο αρικμόσ των ςτοιχείων του. Πεπεραςμζνο λζγεται ζνα group όταν θ τάξθ του είναι πεπεραςμζνοσ αρικμόσ. Συνομάδα (coset): Αν το H είναι υποςφνολο του G, δθλαδι είναι κλειςτό ωσ προσ τθν πράξθ και για κάκε a H ο αντλιςτροφοσ του a ανικει επίςθσ ςτο H, τότε για ζνα ςτοιχείο a G ορίηω: Αριςτερι ςυνομάδα: a H {a : H} Δεξιά ςυνομάδα: H a { a: H} Επίςθσ, μζςα ςε μία ςυνομάδα δεν υπάρχουν δφο ίδια ςτοιχεία και μζςα ςε δφο ςυνομάδεσ του ίδιου group δεν υπάρχουν δφο ίδια ςτοιχεία.

18 Πεδύα Πεδίο: Ζςτω F ζνα ςφνολο ςτοιχείων πάνω ςτο οποίο ορίηονται οι πράξεισ τθσ πρόςκεςθσ + και του πολλαπλαςιαςμοφ. Το F λζγεται πεδίο αν και μόνο αν: i. Ιςχφει θ αντιμετακετικι ιδιότθτα για τθν πράξθ τθσ πρόςκεςθσ. Το ταυτοτικό ςτοιχείο τθσ πρόςκεςθσ ονομάηεται μθδενικό και ςυμβολίηεται με 0. a + 0 = 0 + a = a, a F ii. Για το ςφνολο F "0" ιςχφει θ αντιμετακετικι ιδιότθτα για τθν πράξθ του πολλαπλαςιαςμοφ. Το ταυτοτικό ςτοιχείο του πολλαπλαςιαςμοφ ονομάηεται μοναδιαίο ςτοιχείο και ςυμβολίηεται με 1. a 1 = 1 a = a, a F iii. Ιςχφει θ επιμεριςτικι ιδιότθτα ωσ εξισ: a b + c = a b + a c, a, b, c F Σε ζνα πεδίο ορίηονται τόςο ο αντίςτροφοσ ενόσ ςτοιχείου a για τθν πρόςκεςθ και ςυμβολίηεται με a, όςο και για τον πολλαπλαςιαςμό αι ςυμβολίηεται με a 1. Θ φπαρξθ του a κάνει εφικτό τον οριςμό τθσ πράξθσ τθσ αφαίρεςθσ ωσ εξισ: b a = b + a, a, b F. Αντίςτοιχα, θ φπαρξθ του a 1 κάνει εφικτό τον οριςμό τθσ πράξθσ τθσ διαίρεςθσ ωσ εξισ: b a = b a 1, a, b F. Ζςτω τϊρα ζνα πεδίο GF(q). Δθμιουργοφμε μία ακολουκία των ακροιςμάτων του μοναδιαίου ςτοιχείου 1 ςτο GF(q): 1 i=1 2 1 = 1, 1 = 1 + 1,, 1 = (k φορές) i=1 k i=1 Επειδι όμωσ το πεδίο είναι κλειςτό ωσ προσ τθν άκροιςθ, κάκε ζνα από τα παραπάνω ακροίςματα πρζπει να ανικει ςτο πεδίο. Συνεπϊσ, κάποια ςτιγμι θ ακολουκία των ακροιςμάτων αρχίηει να επαναλαμβάνεται, ι, με άλλα λόγια, υπάρχον δφο κετικοί ακζραιοι m, n με m < n τζτοιοι ϊςτε m i=1 n 1 = 1 1 = 0 i=1 λ Ο μικρότεροσ κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ λ για τον οποίο ιςχφει i=1 1 = 0 λζγεται χαρακτθριςτικόσ αρικμόσ του πεδίου και αποδεικνφεται ότι είναι πρϊτοσ αρικμόσ *5+. Τα πεδία πεπεραςμζνθσ τάξθσ ζχουν ιδιαίτερθ ςθμαςία για τθ κεωρία κωδικοποίθςθσ και ονομάηονται πεπεραςμζνα πεδία ι Galois πεδία προσ τιμιν του Evariste Galois *3+, ο οποίοσ τα ανακάλυψε. Ζνα Galois πεδίο τάξθσ q ςυμβολίηεται ωσ GF(q). Αποδεικνφεται ότι πρζπει το q να είναι πρϊτοσ αρικμόσ ϊςτε να μπορεί να οριςτεί το πεδίο για τισ πράξεισ τθσ modulo q πρόςκεςθσ και του modulo q πολλαπλαςιαςμοφ [4]. Στθν παροφςα εργαςία κα χρθςιμοποιθκεί δυαδικι αρικμθτικι, που ςθμαίνει ότι πρζπει το q να είναι ίςο με 2. Κατά ςυνζπεια, όλεσ οι πράξεισ κα ορίηονται modulo 2. Το GF(2) ονομάηεται πεδίο m n i=1

19 19 βάςθσ και από αυτό κα παράγουμε extension fields που ςυμβολίηονται ωσ GF(2 m ) και ζχουν ιδιαίτερθ ςθμαςία για τισ ψθφιακζσ τθλεπικοινωνίεσ To GF(2 m ) Αρχικά κα δοκοφν κάποιοι βαςικοί οριςμοί και ιδιότθτεσ που αφοροφν τθν αρικμθτικι δυαδικϊν πεδίων. Ζνα πολυϊνυμο p(x) βακμοφ m οριςμζνο πάνω ςτο GF(2) είναι ζνα πολυϊνυμο τθσ μορφισ: p x = p 0 + p 1 x + p 2 x p m x m [2.1] όπου οι ςυντελεςτζσ p i ανικουν ςτο GF 2 = {0,1}. Στα πολυϊνυμα αυτά ιςχφει θ πρόςκεςθ, θ αφαίρεςθ, ο πολλαπλαςιαςμόσ και θ διαίρεςθ που ιςχφει και ςτα κλαςςικά πολυϊνυμα, μόνο που εδϊ όλεσ οι επιμζρουσ πράξεισ γίνονται modulo 2 [5]. Αποδεικνφεται ότι για τα πολυϊνυμα ςτο GF 2 ιςχφει *5+ : p 2 x = p(x 2 ) [2.2] Και κατ επζκταςθ για κάκε i 0 ιςχφει: [p(x)] 2i = p(x 2i ) [2.3] Οριςμόσ 2.1 Ένα πολυϊνυμο p(x) πάνω ςτο GF(2) βακμοφ m λζγεται irreducible αν το p x δεν διαιρείται από κανζνα πολυϊνυμο του GF(2) βακμοφ μικρότερου ι ίςου του m και μεγαλφτερου του μθδενόσ. Για να καταςκευαςτεί ζνα extension field GF(2 m ) επιλζγεται ζνα πολυϊνυμο του GF(2) βακμοφ m, ζςτω το p(x). Ζπειτα καταςκευάηεται ζνα ςφνολο 2 m πολυωνφμων βακμοφ μικρότερου ι ίςου του m και ονομάηεται F. Αποδεικνφεται ότι όταν θ πρόςκεςθ και ο πολλαπλαςιαςμόσ αυτϊν των πολυωνφμων γίνεται modulo p(x), το ςφνολο F αποτελεί ζνα πεδίο 2 m ςτοιχείων και ονομάηεται GF(2 m ) [6]. Ζτςι, το GF(2 m ) αποτελεί επζκταςθ του GF(2) όπωσ και οι μιγαδικοί αρικμοί C αποτελοφν επζκταςθ των πραγματικϊν αρικμϊν R, με χριςθ του πολυωνφμου p x = x Η πολυωνυμικό βϊςη και τα πρωτογενό ςτοιχεύα Οριςμόσ 2.2 Ένα ςφνολο m γραμμικά ανεξάρτθτων ςτοιχείων β = {β 0, β 1,, β m 1 } του GF(2 m ) ονομάηεται βάςθ για το GF(2 m ). Κάκε ςτοιχείο α GF(2 m ) μπορεί να αναπαραςτακεί με μοναδικό τρόπο ωσ γραμμικι ςυνάρτθςθ των ςτοιχείων τθσ βάςθσ του πεδίου. Δθλαδι:

20 20 α = α 0 β 0 + α 1 β α m 1 β m 1 α i GF(2) [2.4] Κατά ςυνζπεια, το ςτοιχείο α αναπαραςτακεί ωσ ζνα διάνυςμα (α 0 α 1 α m 1 ), τα ςτοιχεί του οποίου είναι δυαδικοί αρικμοί. Υπάρχει ζνασ μεγάλοσ αρικμόσ πικανϊν βάςεων για το GF(2 m ) *6+. Ραρακάτω κα εξεταςτεί μια από τισ πιο ςθμαντικζσ. Οριςμόσ 2.3 Έςτω p(x) το irreducible πολυϊνυμο που ορίηει το GF(2 m ). Θεωρϊντασ το α ωσ μία ρίηα του p(x), τότε το Α = {1, α,, α m 1 } αποτελεί μία πολυωνυμικι βάςθ για το GF 2 m. Για παράδειγμα, ζςτω το GF(2 4 ) με irreducible πολυϊνυμο το p x = x 4 + x + 1. Αν το α είναι μία ρίηα του πολυωνφμου αυτοφ, τότε το Α = 1, α, α 2, α 3 αποτελεί μία πολυωνυμικι βάςθ του πεδίου και κάκε ζνα από τα 16 ςτοιχεία του μπορεί να αναπαραςτακεί ωσ: a = a 0 + a 1 α + a 2 α 2 + a 3 α 3 α i GF(2) [2.5] Οι ςυντελεςτζσ τθσ βάςθσ ςυνικωσ αναγράφονται ςε πίνακεσ βάςθσ, όπωσ ο Ρίνακασ 2.2. Οριςμόσ 2.4 Ένα irreducible πολυϊνυμο p(x) βακμοφ m λζγεται πρωτογενζσ (primitive) αν ο μικρότεροσ κετικόσ ακζραιοσ αρικμόσ n για τον οποίο το p(x) διαιρεί το x n + 1 είναι ο n = 2 m 1. Στον Ρίνακα 2.1 δίνεται μία λίςτα με πρωτογενι πολυϊνυμα για διάφορα πεπεραςμζνα πεδία. Ρρζπει να ςθμειωκεί ότι το πρωτογενζσ πολυϊνυμο δεν είναι απαραίτθτα μοναδικό για ζνα ςυγκεκριμζνο m. Αν τϊρα το α είναι μία ρίηα του p(x), όπου το p x είναι όχι μόνο irreducible αλλά και primitive, τότε το Galois πεδίο GF(2 m ) μπορεί εναλλακτικά να αναπαραςτακεί ωσ ζνα ςφνολο ςτοιχείων GF 2 m = {0,1, α, α 2,, α n 1 } όπου n = 2 m 1. Σε αυτι τθν περίπτωςθ το α ονομάηεται πρωτογενζσ ςτοιχείο και ιςχφει α n = 1. Θ ςχζςθ ανάμεςα ςτισ δυνάμεισ του α και τθσ αναπαράςταςθσ τθσ πολυωνυμικισ βάςθσ φαίνεται επίςθσ ςτον Ρίνακα 2.2. Θ επιλογι για το αν θ αναπαράςταςθ ενόσ ςτοιχείου του πεδίου κα είναι διανυςματικι ι πολυωνυμικι ςυνικωσ εξαρτάται από τθ φφςθ τθσ υλοποίθςθσ, δθλαδι αν είναι hardware ι software. Ο πολλαπλαςιαςμόσ για παράδειγμα είναι εφκολο να υλοποιθκεί ςε software, αν χρθςιμοποιιςουμε αναπαράςταςθ με δυνάμεισ του primitive ςτοιχείου. Αντίκετα θ πρόςκεςθ είναι πιο δφςκολθ. Αν ζχουμε μία hardware υλοποίθςθ, θ διανυςματικι αναπαράςταςθ των ςτοιχείων του πεδίου κάνει τθν υλοποίθςθ τθσ πρόςκεςθσ πολφ πιο απλι, κακϊσ αυτι ανάγεται ςε μια απλι modulo 2 πρόςκεςθ των επιμζρουσ ςυντελεςτϊν, ι ιςοδφναμα ςε m πράξεισ XOR. Θ μειωμζνθ πολυπλοκότθτα του hardware

21 21 είναι και ζνα από τα πιο ςθμαντικά χαρακτθριςτικά των πεπεραςμζνων πεδίων και ζνασ από τουσ βαςικοφσ λόγουσ τθσ εκτεταμζνθσ χριςθσ τουσ. m m x + x x + x 6 + x 10 + x x + x x + x x 2 + x x + x 3 + x 12 + x x + x x 3 + x x 3 + x x 7 + x x 2 + x 3 + x 4 + x x + x 2 + x 5 + x x 4 + x x 3 + x x 3 + x x 2 + x x 2 + x x + x x + x 4 + x 6 + x x 5 + x x + x 3 + x 4 + x x + x 2 + x 7 + x 24 Πίνακασ 2.1 Λίςτα πρωτογενϊν πολυωνφμων Οριςμόσ 2.5 Ελάχιςτο (minimal) πολυϊνυμο ενόσ ςτοιχείου β GF 2 m λζγεται ζνα πολυϊνυμο φ(x) ελαχίςτου βακμοφ, για το οποίο ιςχφει φ β = 0. Ο βακμόσ του πολυωνφμου αυτοφ κα είναι μικρότεροσ του 2 m. Αποδεικνφεται ότι το ελάχιςτο πολυϊνυμο φ x ενόσ ςτοιχείου β GF 2 m είναι irreducible. Επίςθσ αποδεικνφεται ότι αν το β είναι ρίηα ενόσ πολυωνφμου f(x) του GF 2, τότε το f(x) διαιρείται από το φ(x) [5]. Οι ιδιότθτεσ αυτζσ του ελαχίςτου πολυωνφμου αποκτοφν ιδιαίτερθ ςθμαςία κακϊσ μποροφν να απλοποιιςουν ςθμαντικά τθν υλοποίθςθ τθσ πράξθσ του πολλαπλαςιαςμοφ. Οριςμόσ 2.6 Έςτω β ζνα ςτοιχείο του Galois πεδίου GF(2 m ). Τα ςτοιχεία β, β 2, β 22, β 23, λζγονται conjugates του β ωσ προσ το υπό-πεδίο GF 2 [4]. Αποδεικνφεται ότι αν το β είναι ρίηα ενόσ πολυωνφμου f(x) του GF 2 τότε και τα β, β 2, β 22, β 23, είναι ρίηεσ του πολυωνφμου αυτοφ * Η δυαδικό βϊςη Θ δυαδικι βάςθ είναι μία πολφ ςθμαντικι ζννοια ςτθ κεωρία πεπεραςμζνων πεδίων αλλά και ςτθ κεωρία κωδικοποίθςθσ, κακϊσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για τθν υλοποίθςθ πολλαπλαςιαςτϊν.

22 22 Δφναμθ του Ρολυωνυμικι βάςθ Δυαδικι βάςθ Κανονικι βάςθ 1,, 2, 3 1, 3, 2, 3, 6, 12, Πίνακασ 2.2 Αναπαραςτάςεισ πολυωνυμικισ, δυαδικισ και κανονικισ βάςθσ του GF(2 4 ) που ορίηεται από το πολυϊνυμο p x = x 4 + x + 1. Οριςμόσ 2.7 *7+ Έςτω {λ i } και {μ i } βάςεισ του πεπεραςμζνου πεδίου GF(2 m ), και ζςτω f μία γραμμικι ςυνάρτθςθ που απεικονίηει το GF(2 m ) ςτο GF(2), και ζςτω β GF 2 m, β 0. Τότε οι λ i και {μ i } είναι δυαδικζσ θ μία προσ τθ άλλθ ωσ προσ τα f και β αν: f βλ i μ j = 1 αν i = j 0 αν i j [2.6] Σε αυτι τθν περίπτωςθ, θ λ i είναι μία πολυωνυμικι βάςθ και θ μ i μία δυαδικι βάςθ.

23 23 Κάκε βάςθ ζχει μία δυαδικι βάςθ ωσ προσ οποιαδιποτε μθ μθδενικι γραμμικι ςυνάρτθςθ f: GF(2 m ) GF(2), και οποιδιποτε μθ μθδενικό β GF(2 m ) [7]. Για παράδειγμα ζςτω το GF(2 4 ) με p x = x 4 + x + 1, και ζςτω α μία ρίηα του p x. Τότε θ πολυωνυμικι βάςθ του πεδίου είναι {1, α, α 2, α 3 }. Ζςτω τϊρα β = 1 και f ο λιγότερο ςθμαντικόσ ςυντελεςτισ τθσ πολυωνυμικισ βάςθσ, τότε το ςφνολο {1, α 3, α 2, α} είναι θ αντίςτοιχθ δυαδικι βάςθ. Δθλαδι, μεταβάλλοντασ τθν τιμι του β μποροφμε να βροφμε 2 m 1 δυαδικζσ βάςεισ και να χρθςιμοποιιςουμε τελικά όποια ζχει τα καλφτερα για εμάσ χαρακτθριςτικά. Μία ςυνικθσ επιλογι είναι θ δυαδικι βάςθ θ οποία προκφπτει από τθν πολυωνυμικι με τον πιο απλό γραμμικό μεταςχθματιςμό Η κανονικό βϊςη Μία κανονικι βάςθ για το GF(2 m ) είναι μία βάςθ τθσ μορφισ Β = {β, β 2,, β 2m 1 } όπου β GF(2 m ). Για κάκε πεπεραςμζνο πεδίο υπάρχει πάντα τουλάχιςτον μία κανονικι βάςθ. Θ κανονικι βάςθ είναι ιδιαίτερα χριςιμθ για τθν απεικόνιςθ δυνάμεων, κακϊσ αν το ςφνολο {a 0, a 1,, a m 1 } είναι θ αναπαράςταςθ τθσ κανονικισ βάςθσ του α GF(2 m ) τότε το ςφνολο a m 1, a 0, a 1,, a m 2 είναι θ αναπαράςταςθ τθσ κανονικισ βάςθσ του a 2. Με τθν εκμετάλλευςθ των ιδιοτιτων των κανονικϊν βάςεων λοιπόν είναι δυνατι θ υλοποίθςθ ςε hardware πολλαπλαςιαςτϊν με υψθλι απόδοςθ. 2.2 Τλοπούηςη αριθμητικόσ πεπεραςμϋνων πεδύων Πρόςθεςη δύο ςτοιχεύων Για να προςκζςουμε δφο ςτοιχεία ενόσ πεπεραςμζνου πεδίου, απλά προςκζτουμε modulo 2 τισ διανυςματικζσ τουσ αναπαραςτάςεισ. Το διάνυςμα που προκφπτει είναι το ηθτοφμενο άκροιςμα. Θ υλοποίθςθ τθσ άκροιςθσ είναι ιδιαίτερα απλι, αφοφ μπορεί να πραγματοποιθκεί με m XOR πφλεσ των δφο ειςόδων ςε ζνα κφκλο ρολογιοφ, και δεν υπάρχει κρατοφμενο. Ζτςι, δφο ςτοιχεία που ανικουν, για παράδειγμα, ςτο GF(2 4 ) μποροφν να προςτεκοφν με το κφκλωμα που φαίνεται ςτο Σχιμα 2.1. Αρχικά, τα διανφςματα των δφο ςτοιχείων που κα προςτεκοφν, ζςτω α, β GF(2 4 ) φορτϊνονται ςτουσ καταχωρθτζσ Α και Β. Θεωρϊντασ κετικι λογικι, ςτθν ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ, το ηθτοφμενο άκροιςμα κα φορτωκεί ςτον καταχωρθτι Α.

24 24 χήμα 2.1 Ρρόςκεςθ ςτο GF(2 4 ) Στο κφκλωμα του Σχιματοσ 2.1 χρθςιμοποιοφνται επιπλζον m πφλεσ AND, ςτισ οποίεσ ςυνδζουμε το ςιμα ADD, το οποίο ενεργοποιεί το κφκλωμα τθσ πρόςκεςθσ (αντιςτοιχεί δθλαδι ςε ζνα ςιμα enable) Πολλαπλαςιαςμόσ με μύα ςταθερϊ α i Ζςτω ζνα ςτοιχείο β GF(2 4 ) και ότι κζλουμε να το πολλαπλαςιάςουμε με το πρωτογενζσ ςτοιχείο του πεδίου α. Από τθ κεωρία των πεπεραςμζνων πεδίων (Σχζςθ 2.5) γνωρίηουμε ότι το β μπορεί να αναπαραςτακεί πολυωνυμικά ωσ: β = β 0 + β 1 α + β 2 α 2 + β 3 α 3 β i GF(2) [2.7] Ζςτω ότι ςτο πεδίο που δουλεφουμε το ελάχιςτο πολυϊνυμο του ςτοιχείου α είναι το φ x = 1 + x + x 4. Αυτό ςθμαίνει ότι φ α = α + α 4 = 0. Με τθ βοικεια αυτισ τθσ ςχζςθσ υπολογίηουμε το γινόμενο α β και το εκφράηουμε ςτθ μορφι τθσ Σχζςθσ 2.5 : α β = β 3 + β 0 + β 3 α + β 1 α 2 + β 2 α 3 [2.8] χήμα 2.2 Κφκλωμα πολλαπλαςιαςμοφ ενόσ ςτοιχείου β GF(2 4 ) επί το α

25 25 Κατά ςυνζπεια, ο πολλαπλαςιαςμόσ αυτόσ μπορεί να υλοποιθκεί με το γραμμικό καταχωρθτι ολίςκθςθσ με ανάδραςθ (Linear Feedback Shift Register - LFSR) που φαίνεται ςτο Σχιμα 2.2. αρχικά φορτϊνουμε τθ διανυςματικι αναπαράςταςθ του ςτοιχείου β ςτον καταχωρθτι. Στθν ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ ο καταχωρθτισ κα περιζχει τθ διανυςματικι αναπαράςταςθ του ηθτοφμενου γινομζνου, με τα λιγότερο ςθμαντικά bits να εμφανίηονται αριςτερά. Στο δεφτερο παλμό του ρολογιοφ ο καταχωρθτισ κα περιζχει τθ διανυςματικι αναπαράςταςθ του γινομζνου β α 2, και ςυνεπϊσ ςτον i-οςτό παλμό του ρολογιοφ κα περιζχει τθ διανυςματικι αναπαράςταςθ του γινομζνου β α i. Συχνά είναι απαραίτθτο να ςχεδιαςτεί ζνα κφκλωμα για πολλαπλαςιαςμό επί α i με τον περιοριςμό το αποτζλεςμα να είναι διακζςιμο ςε χρόνο ενόσ ρολογιοφ. Αν για παράδειγμα κζλουμε τα υπολογίςουμε το γινόμενο β α 3 ςε χρόνο ενόσ ρολογιοφ αρκεί να ακολουκιςουμε τθν προθγοφμενθ διαδικαςία: β α 3 = β 0 α 3 + β 1 α 4 + β 2 α 5 + β 3 α 6 = β 0 α 3 + β α + β 2 α + α 2 + β 3 α 2 + α 3 = β 1 + (β 1 + β 2 )α + β 2 + β 3 α 2 + (β 0 + β 3 )α 3 Από τθν παραπάνω ςχζςθ είναι εφικτόσ ο ςχεδιαςμόσ του εν λόγω κυκλϊματοσ, ςφμφωνα με το Σχιμα 2.3. χήμα 2.3 Κφκλωμα πολλαπλαςιαςμοφ ενόσ ςτοιχείου β GF(2 4 ) επί το α 3 Δθλαδι, ςτθ γενικι περίπτωςθ, θ υλοποίθςθ του πολλαπλαςιαςμοφ με μία ςτακερά απαιτεί ζνα register των m ςταδίων και το πολφ m 1 πφλεσ XOR, και ολοκλθρϊνεται ςε ζνα μόνο κφκλο ρολογιοφ.

26 Πολλαπλαςιαςμόσ δύο ςτοιχεύων ενόσ πεδύου Galois Θεωροφμε τϊρα δφο ςτοιχεία β, γ GF(2 4 ), με πολυωνυμικζσ αναπαραςτάςεισ: β = β 0 + β 1 α + β 2 α 2 + β 3 α 3 γ = c 0 + c 1 α + c 2 α 2 + c 3 α 3 β i GF(2) c i GF(2) Το γινόμενο τουσ, μετά από πράξεισ πολυωνφμων, μπορεί να γραφτεί ςτθν παρακάτω μορφι: β c = c 3 β α + c 2 β α + c 1 β α + c 0 β [2.9] Για να υλοποιθκεί αυτόσ ο πολλαπλαςιαςμόσ χρειάηεται μία παραλλαγι του κυκλϊματοσ πολλαπλαςιαςμοφ επί α (Σχιμα 2.2) ςε ςυνδυαςμό με το κφκλωμα τθσ πρόςκεςθσ (Σχιμα 2.1). Ζνα τζτοιο κφκλωμα παρουςιάηεται ςτο Σχιμα 2.4. χήμα 2.4 Κφκλωμα πολλαπλαςιαςμοφ δφο ςτοιχείων του GF(2 4 ) Στο κφκλωμα αυτό αρχικά φορτϊνουμε τα διανυςματικζσ αναπαραςτάςεισ των δφο ςτοιχείων ςτουσ καταχωρθτζσ B και C. Στον πρϊτο κφκλο ρολογιοφ κα υπολογιςτεί το γινόμενο c 3 β. Στον δεφτερο κφκλο ρολογιοφ το προθγοφμενο αποτζλεςμα κα πολλαπλαςιαςτεί επί α και κα προςτεκεί ςε αυτό το νζο γινόμενο c 2 β. Στον τρίτο κφκλο

27 27 ρολογιοφ το προθγοφμενο αποτζλεςμα κα πολλαπλαςιαςτεί επί α και κα προςτεκεί ςε αυτό το νζο γινόμενο c 1 β. Τζλοσ, ςτον τζταρτο κφκλο ρολογιοφ το προθγοφμενο αποτζλεςμα κα πολλαπλαςιαςτεί επί α και κα προςτεκεί ςε αυτό το νζο γινόμενο c 0 β. Με αυτό τον τρόπο μετά από τζςςερισ κφκλουσ κα ζχουμε ςτον καταχωρθτι Α το ηθτοφμενο αποτζλεςμα. Με αυτόν τον τρόπο ο πολλαπλαςιαςμόσ δφο ςτοιχείων απαιτεί τρείσ καταχωρθτζσ των m ςταδίων, m πφλεσ AND, m πφλεσ XOR, και ολοκλθρϊνεται ςε m κφκλουσ ρολογιοφ. Υπάρχει όμωσ και ζνασ εναλλακτικόσ τρόποσ πολλαπλαςιαςμοφ. Μποροφμε να εκφράςουμε το γινόμενο β γ ςτθ μορφι: β γ = c 0 β + c 1 βα + c 2 βα 2 + c 3 βα 3 [2.10] Ζτςι, το κφκλωμα του πολλαπλαςιαςμοφ μπορεί να ςχεδιαςτεί ςφμφωνα με το Σχιμα 2.5. χήμα 2.5 Κφκλωμα πολλαπλαςιαςμοφ δφο ςτοιχείων του GF(2 4 ) Το κφκλωμα αυτό είναι τθσ ίδιασ πολυπλοκότθτασ και απαιτεί τον ίδιο χρόνο εκτζλεςθσ με αυτό του Σχιματοσ 2.4. Γενικά, δφο ςτοιχεία του πεδίου Galois GF(2 m ) μποροφν να πολλαπλαςιαςτοφν με ζνα κφκλωμα ςυνδυαςτικισ λογικισ 2m ειςόδων και m εξόδων.

28 Τπολογιςμόσ του r(a i ) Ο υπολογιςμόσ τθσ τιμισ r(a i ) ενόσ πολυωνφμου είναι μια ιδιαίτερα ςθμαντικι πράξθ, με ευρεία εφαρμογι ςτθ αποκωδικοποίθςθ BCH κωδίκων. Ζςτω ζνα πολυϊνυμο r(x) ςτο GF(2). Ενδεικτικά, κα δουλζψουμε ςτο GF(2 4 ), και κεωροφμε πολυϊνυμο βακμοφ 2 m 2. Θ επιλογι αυτι κα αιτιολογθκεί πλιρωσ ςτο Κεφάλαιο 3, όπου επεξθγοφνται οι BCH κϊδικεσ. Θ ζκφραςθ r(α) μπορεί να γραφτεί ωσ εξισ: r α = r 0 + r 1 α + r 2 α r 14 α 14 [2.11] όπου το α είναι το πρωτογενζσ ςτοιχείο του GF(2 4 ). Θ παραπάνω ζκφραςθ μπορεί να μεταςχθματιςτεί μετά από πράξεισ, ζτςι ϊςτε να ζρκει ςε μία μορφι που να κάνει ςαφι τον τρόπο υλοποίθςθσ τθσ: r α = r 14 α + r 13 α + r 12 α + α + r 0 [2.12] Ζτςι, είναι ςαφζσ ότι θ υλοποίθςθ τθσ ςυγκεκριμζνθσ πράξθσ απαιτεί να γίνεται επαναλαμβανόμενα ζνασ πολλαπλαςιαςμόσ r i α και μία πρόςκεςθ αυτοφ με το r i 1. Αυτό είναι εφικτό με χριςθ του κυκλϊματοσ του Σχιματοσ 2.2, αν προςκζςουμε ςε αυτό ζνα block πρόςκεςθσ (ι ιςοδφναμα μία πφλθ XOR). Το προτεινόμενο κφκλωμα φαίνεται ςτο Σχιμα 2.6. χήμα 2.6 Κφκλωμα για υπολογιςμό του r(α) Κατά αντίςτοιχο τρόπο μποροφμε να υλοποιιςουμε οποιαδιποτε πράξθ r(a i ), με προςκικθ μίασ πφλθσ XOR ςτθν είςοδο του αντίςτοιχου κυκλϊματοσ πολλαπλαςιαςμοφ. Στθ γενικι περίπτωςθ, θ πράξθ αυτι απαιτεί ζνα καταχωρθτι των m ςταδίων, το πολφ m πφλεσ XOR, και ολοκλθρϊνεται ςε τόςουσ κφκλουσ ρολογιοφ, όςο είναι και το μικοσ τθσ λζξθσ ειςόδου (ςτθ ςυγκεκριμζνθ περίπτωςθ 2 m 1 ).

29 Διαύρεςη πολυωνύμων του GF(2) Θ διαίρεςθ πολυωνφμων ςε πεδία Galois είναι μία πράξθ ιδιαίτερα ςθμαντικι για τθν κωδικοποίθςθ κυκλικϊν κωδίκων, όπωσ οι BCH [14]. Θ πράξθ τθσ διαίρεςθσ μπορεί να γίνει αν πρϊτα υπολογιςτεί ο αντίςτροφοσ του διαιρετζου και αυτόσ πολλαπλαςιαςτεί με το διαιρζτθ. Ο αντίςτροφοσ ενόσ ςτοιχείου β μπορεί να υπολογιςτεί από τθ ςχζςθ β 2m 1 = 1, οπότε: β 1 = β 2m 2 [2.13] Ζςτω πολυϊνυμα r(x) και g(x) ςτο GF(2), και ζςτω ότι δουλεφουμε ςε ζνα κϊδικα(n, k) που ορίηεται ςτο GF(2 m ). Τότε το r(x) είναι βακμοφ k 1 και το g(x) είναι βακμοφ n k. χήμα 2.7 Κφκλωμα διαίρεςθσ πολυωνφμων Θ διαίρεςθ των πολυωνφμων, ςε αντιςτοιχία με τον πολλαπλαςιαςμό τουσ, μπορεί να υλοποιθκεί με ζνα γραμμικό καταχωρθτι ολίςκθςθσ με ανάδραςθ (LFSR), όπωσ αυτόσ που φαίνεται ςτο Σχιμα 2.7. Στθν είςοδο του κυκλϊματοσ τροφοδοτοφμε ςειριακά τα bits τθσ ειςόδου, δθλαδι τουσ ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου r(x), ξεκινϊντασ από το πιο ςθμαντικό bit. Μετά από k κφκλουσ ρολογιοφ κα εμφανιςτοφν μζςα ςτον καταχωρθτι οι ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου r x modg(x), με το λιγότερο ςθμαντικό bit να βρίςκεται ςτα αριςτερά, κοιτϊντασ το Σχιμα 2.7.

30 Ένασ εναλλακτικόσ τρόποσ υπολογιςμού του r(a i ) Γνωρίηοντασ τθν υλοποίθςθ τθσ διαίρεςθσ πολυωνφμων ςε πεδία Galois, μποροφμε να αξιοποιιςουμε τθ κεωρία των ελαχίςτων πολυωνφμων για να υπολογίςουμε το r(a i ). Ζςτω ότι φ i (x) είναι το ελάχιςτο πολυϊνυμο που αντιςτοιχεί ςτο ςτοιχείο a i. Διαιροφμε το r(x) με το φ i (x) και ζχουμε: r x = q x φ i x + b(x) [2.14] όπου b(x) είναι το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ. Αντικακιςτϊντασ ςτθ Σχζςθ 2.14 όπου x το a i και λαμβάνοντασ υπ όψιν ότι φ i α i = 0, βρίςκουμε ότι: r α i = b(α i ) [2.15] Θ Σχζςθ 2.15 μπορεί να αξιοποιθκεί για το ςχεδιαςμό ενόσ διαφορετικοφ κυκλϊματοσ υπολογιςμοφ του r(a i ). Για παράδειγμα κα κεωριςουμε ότι κζλουμε να υπολογίςουμε το r(a 3 ). Το ελάχιςτο πολυϊνυμο του a 3 είναι το φ x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4. Το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ κα ζχει βακμό μικρότερο του 4, άρα κα ζχει τθ μορφι: Συνεπϊσ, b x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 r a 3 = b(a 3 ) = b 0 + b 1 a 3 + b 2 a 6 + b 3 a 9 = b 0 + b 3 a + b 2 a 2 + (b 1 + b 2 + b 3 )a 3 Από τθν παραπάνω ςχζςθ μποροφμε να ςυμπεράνουμε ότι είναι δυνατό να υπολογιςτεί το ηθτοφμενο με χριςθ ενόσ LFSR και μερικϊν πυλϊν XOR. Το κφκλωμα που προκφπτει φαίνεται ςτο Σχιμα 2.8. Οι ςυντελεςτζσ του b x εμφανίηονται ςτον καταχωρθτι 4 κφκλουσ ρολογιοφ μετά τθν εφαρμογι τθσ ειςόδου. Με κατάλλθλο ςυνδυαςμό αυτϊν των ςυντελεςτϊν βρίςκουμε το ηθτοφμενο. Στο κφκλωμα αυτό ςτισ κζςεισ του LFSR του Σχιματοσ 2.7 όπου εφαρμόηονται οι ςυντελεςτζσ του g(x), εδϊ ζχουμε εφαρμόςει τουσ ςυντελεςτζσ του ελαχίςτου πολυωνφμου. Μάλιςτα, επειδι το ελάχιςτο πολυϊνυμο είναι εκ των προτζρων γνωςτό ζχουμε αντικαταςτιςει τισ πφλεσ AND (πολλαπλαςιαςτζσ) με ανοιχτοκυκλϊματα ι βραχυκυκλϊματα, για απλοποίθςθ του hardware. Φαινομενικά, αυτόσ ο τρόποσ υπολογιςμοφ του r(a i ) δεν υπερτερεί του προθγοφμενου οφτε ωσ προσ τθν ταχφτθτα οφτε ωσ προσ τθν πολυπλοκότθτα του hardware. Το πλεονζκτθμα του γίνεται ςαφζσ όταν κζλουμε να ςχεδιάςουμε ζνα κφκλωμα το οποίο να υπολογίηει πολλζσ ι και όλεσ τισ δυνατζσ τιμζσ του πολυωνφμου r(x) ςε ζνα πεδίο GF(2 m ).

31 31 χήμα 2.8 Κφκλωμα για υπολογιςμό του r(a 3 ) Αυτό ςυμβαίνει διότι από τα ςτοιχεία ενόσ πεδίου αρκετά αντιςτοιχίηονται ςτο ίδιο ελάχιςτο πολυϊνυμο. Συγκεκριμζνα, από τον Οριςμό 2.6 γνωρίηουμε ότι αν ζνα ςτοιχείο β είναι ρίηα ενόσ πολυωνφμου φ(x) του GF 2 τότε και τα β, β 2, β 22, β 23, είναι ρίηεσ του πολυωνφμου αυτοφ. Κατά ςυνζπεια, τα ςτοιχεία του πεδίου που είναι άρτιεσ δυνάμεισ του α είναι πάντα ρίηεσ του ελαχίςτου πολυωνφμου ενόσ ςτοιχείου που είναι περιττι δφναμθ του α. Κατά ςυνζπεια, είναι δυνατό με το ίδιο LFSR να υπολογίςουμε πολλζσ διαφορετικζσ τιμζσ του πολυωνφμου, μειϊνοντασ ζτςι το απαιτοφμενο hardware. Για παράδειγμα, τα r(a 3 ) και r(a 6 ) μποροφν να υπολογιςτοφν από το κφκλωμα του Σχιματοσ 2.8, αφοφ τα ςτοιχεία a 3 και a 6 είναι και τα δφο ρίηεσ του ελαχίςτου πολυωνφμου του a 3, φ x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4. Ππωσ και πριν, προκφπτει ότι: r a 6 = b(a 6 ) = b 0 + b 1 a 6 + b 2 a 12 + b 3 a 18 = (b 0 + b 2 ) + b 2 a + (b 1 + b 2 )a 2 + (b 1 + b 2 + b 3 )a 3 Κατά αντίςτοιχο τρόπο, με το ίδιο κφκλωμα και μερικζσ επιπλζον πφλεσ XOR μποροφμε να υπολογίςουμε τισ τιμζσ του r(a 3 2l ) για κάκε τιμι του l. Θ υλοποίθςθ αυτι είναι ιδιαίτερα χριςιμθ για το ςχεδιαςμό κυκλωμάτων υπολογιςμοφ των ςυνδρόμων ςε BCH αποκωδικοποιθτζσ.

32 χήμα 2.8 Κφκλωμα για υπολογιςμό του r(a 3 ) και του r(a 6 ) 32

33 33 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΔΙΚΕ BCH 3.1 Ιςτορικό αναδρομό Οι πρϊτοι γραμμικοί κϊδικεσ για διόρκωςθ λακϊν που ανακαλφφκθκαν ιταν οι κϊδικεσ Hamming [15]. Αυτοί οι κϊδικεσ είναι ικανοί για διόρκωςθ ενόσ μόνο λάκουσ, αλλά επειδι είναι ιδιαίτερα απλοί οι κϊδικεσ Hamming και οι παραλλαγζσ τουσ είναι ιδιαίτερα διαδεδομζνοι για ςυςτιματα ςτα οποία απαιτείται διόρκωςθ λακϊν. Αργότερα, οι κϊδικεσ Hamming γενικεφτθκαν ςε μία μεγάλθ κατθγορία ιςχυρϊν κωδίκων διόρκωςθσ τυχαίων λακϊν, οι Bose, Chaudhuri και Hocquenghem (BCH). Οι δυαδικοί BCH κϊδικεσ ανακαλφφκθκαν από τον Hocquenghem το 1959 *16+ και ανεξάρτθτα από τουσ Bose και Chaudhuri το 1960 *12]. Οι δυαδικοί BCH κϊδικεσ με τθ ςειρά τουσ επεκτάκθκαν ςε μθδυαδικοφσ από τουσ Gorenstein και Zierler το 1961 *17+. Ταυτόχρονα και ανεξάρτθτα από τθ δουλειά των Bose, Chaudhuri και Hocquenghem, οι Reed και Solomon ανακάλυψαν το 1960 τουσ Reed-Solomon (RS) κϊδικεσ *18+, οι οποίοι αποτελοφν μία ςπουδαία υποκατθγορία των μθ-δυαδικϊν κωδίκων. 3.2 Δυαδικού BCH κώδικεσ Δυαδικού πρωτογενεύσ BCH κώδικεσ Οι δυαδικοί BCH κϊδικεσ είναι μία από τισ πιο ςπουδαίεσ υποκατθγορίεσ των BCH κωδίκων με πολφ εκτεταμζνθ χριςθ ςε ςυςτιματα διόρκωςθσ λακϊν. Μερικά από τα πλεονεκτιματα τουσ είναι ότι είναι θ υψθλι απόδοςθ, θ ςχετικι ευκολία ςτισ τεχνικζσ κωδικοποίθςθσ και αποκωδικοποίθςθσ και θ απλι και αποδοτικι υλοποίθςι τουσ ςε hardware. Γενικά, κα αναφερόμαςτε από εδϊ και ςτο εξισ ςτουσ δυαδικοφσ πρωτογενείσ BCH κϊδικεσ. Για κάκε κετικό ακζραιο m 3 και t < 2 m 1 υπάρχει δυαδικόσ BCH κϊδικασ με τα εξισ χαρακτθριςτικά: Μικοσ block: n = 2 m 1 Αρικμόσ ψθφίων ιςοτιμίασ: n k m t Ελάχιςτθ απόςταςθ: d min 2 t + 1

34 34 Αρικμόσ λακϊν που διορκϊνει: t Είναι αξιοςθμείωτο ότι για t = 1 καταλιγουμε ςε κϊδικεσ Hamming. Πςον αφορά το BCH κϊδικα, το πολυώνυμο γεννήτορασ του μπορεί να προςδιοριςτεί από τισ ρίηεσ του μζςα ςτο πεδίο Galois GF(2 m ). Συγκεκριμζνα, το πολυϊνυμο γεννιτορασ ενόσ BCH(n, k, t) κϊδικα είναι το πολυϊνυμο του GF(2) ελαχίςτου βακμοφ, το οποίο ζχει ωσ ρίηεσ τα: α, α 2, α 3,, α 2t Δθλαδι, αν ςυμβολίςουμε με g(x) το πολυϊνυμο γεννιτορα τότε για αυτό ιςχφει: g a i = 0 για 1 i 2t [3.1] Για να υπολογίςουμε το πολυϊνυμο g(x), βρίςκουμε πρϊτα τα ελάχιςτα πολυϊνυμα φ i (x) των αντίςτοιχων ςτοιχείων a i του πεδίου. Το γινόμενο όλων των φ i (x) προφανϊσ πλθροί τθ Σχζςθ 3.1. Ζχουμε όμωσ επιπλζον τθν απαίτθςθ το g(x) να είναι ελαχίςτου βακμοφ. Συνεπϊσ, αρκεί να υπολογίςουμε το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο του γινομζνου, δθλαδι: g x = LCM{φ 1 x φ 2 x φ 2t x } [3.2] Ο παραπάνω υπολογιςμόσ μπορεί να απλοποιθκεί ακόμα περιςςότερο αν λάβουμε υπ όψιν τον Οριςμό 2.6 του conjugate ενόσ ςτοιχείου. Κάκε άρτια δφναμθ του α μπορεί να γραφτεί ςτθν εξισ μορφι: a i = a j 2l a i = (a j ) 2l [3.3] όπου i άρτιοσ και j περιττόσ. Κατά ςυνζπεια, τα a i και a j είναι και τα δφο ρίηεσ του πολυωνφμου φ j (x), δθλαδι ζχουν το ίδιο ελάχιςτο πολυϊνυμο. Άρα από τθ Σχζςθ 3.2 μποροφμε να διϊξουμε όλα τα ελάχιςτα πολυϊνυμα ςτοιχείων που είναι άρτιεσ δυνάμεισ του α. Ζτςι καταλιγουμε ότι: g x = LCM{φ 1 x φ 3 x φ 2t 1 x } [3.4] Στθ Σχζςθ 3.4 κάκε πολυϊνυμο φ i (x) ζχει βακμό το πολφ m, και ζχουμε ςυνολικά t πολυϊνυμα που πολλαπλαςιάηονται. Άρα ο βακμόσ του πολυωνφμου γεννιτορα κα είναι το πολφ m t, δθλαδι τα ψθφία ιςοτιμίασ κα είναι το πολφ m t. Για μικρό t, τα ψθφία ιςοτιμίασ n k είναι ίςα με το γινόμενο m t [2]. Τϊρα μποροφμε να ορίςουμε και τον πίνακα ελζγχου ιςοτιμίασ (parity-check matrix) Η, λαμβάνοντασ υπ όψιν ότι κάκε πολυϊνυμο που αντιςτοιχεί ςε κωδικι λζξθ διαιρείται από το πολυϊνυμο γεννιτορα, άρα τα ςτοιχεία α, α 2, α 3,, α 2t είναι ρίηεσ του. Ζτςι καταλιγουμε ςτον πίνακα:

35 35 H = 1 a a 2 a 3 a n 1 1 a 2 (a 2 ) 2 (a 2 ) 3 (a 2 ) n 1 1 a 3 (a 3 ) 2 (a 3 ) 3 (a 3 ) n 1 1 a 2t (a 2t ) 2 (a 2t ) 3 (a 2t ) n 1 [3.5] Αν κεωριςουμε κωδικι λζξθ v = (v 0 v 1 v n 1), τότε για τον πίνακα αυτό ιςχφει θ Σχζςθ 1.2 v H T = 0. Για τουσ λόγουσ που εξθγικθκαν πριν (Σχζςθ 3.3) είναι προφανζσ ότι οι άρτιεσ γραμμζσ του πίνακα H μποροφν να παραλειφκοφν. Κατά ςυνζπεια, ο πίνακασ ελζγχου ιςοτιμίασ μπορεί να απλουςτευτεί ςτον παρακάτω πίνακα: H = 1 a a 2 a 3 a n 1 1 a 3 (a 3 ) 2 (a 3 ) 3 (a 3 ) n 1 1 a 5 (a 5 ) 2 (a 5 ) 3 (a 5 ) n 1 1 a 2t 1 (a 2t 1 ) 2 (a 2t 1 ) 3 (a 2t 1 ) n 1 [3.6] Τα ςτοιχεία του πίνακα ελζγχου ιςοτιμίασ είναι ςτοιχεία του πεδίου Galois GF(2 m ). Μποροφμε λοιπόν να τα αντικαταςτιςουμε με τισ διανυςματικζσ τουσ αναπαραςτάςεισ και ζτςι να πάρουμε ζνα πίνακα H που να περιζχει μόνο δυαδικά ςτοιχεία. Αποδεικνφεται ότι θ ελάχιςτθ απόςταςθ ενόσ δυαδικοφ πρωτογενοφσ BCH κϊδικα είναι τουλάχιςτον 2t + 1 [5] Δυαδικού μη-πρωτογενεύσ BCH κώδικεσ Οι δυαδικοί μθ-πρωτογενείσ BCH κϊδικεσ μποροφν να καταςκευαςτοφν με τρόπο παρόμοιο με αυτό των πρωτογενϊν. Αυτοί οι κϊδικεσ ζχουν μικοσ block n 2 m 1 και το πολυϊνυμο γεννιτορασ τουσ ζχει ρίηεσ τα : β, β 2, β 3,, β 2t όπου β είναι ζνα μθ πρωτογενζσ ςτοιχείο του GF(2 m ). Αν κεωριςουμε ότι τα ψ 1 x, ψ 2 x,, ψ 2t (x) είναι τα ελάχιςτα πολυϊνυμα των ςτοιχείων β, β 2, β 3,, β 2t τότε το πολυϊνυμο γεννιτορασ είναι το: g x = LCM{ψ 1 x, ψ 2 x,, ψ 2t (x)} Στουσ δυαδικοφσ μθ-πρωτογενείσ κϊδικεσ ο αρικμόσ των ψθφίων ιςοτιμίασ είναι το πολφ m t και θ ελάχιςτθ απόςταςθ του κϊδικα τουλάχιςτον 2t + 1. Θ παροφςα εργαςία πραγματεφεται μόνο τθν περίπτωςθ των πρωτογενϊν BCH κωδίκων.

36 Κωδικοπούηςη BCH κωδύκων Ππωσ αναφζρεται ςτο Κεφάλαιο 1, μία λζξθ u μεγζκουσ k bits κωδικοποιείται ςε μία άλλθ λζξθ v μεγζκουσ n bits ωσ εξισ: v(x) = u(x) g(x) Αυτοφ του είδουσ θ κωδικοποίθςθ όμωσ ςτθν περίπτωςθ μασ δεν κα καταλιξει ςε ζνα ςυςτθματικό κϊδικα, γεγονόσ γενικά μθ επικυμθτό. Για αυτό το λόγο κωδικοποιοφμε ωσ εξισ: v x = x n k u x + p(x) [3.7] όπου p(x) είναι το πολυϊνυμο που αντιςτοιχεί ςτα ψθφία ιςοτιμίασ (parity) και προκφπτει από τθ ςχζςθ: p x = [x n k u x ]modg(x) [3.8] Με αυτόν τον τρόπο θ πλθροφορία εμφανίηεται αυτοφςια μζςα ςτθν κωδικοποιθμζνθ λζξθ και κατζχει τα περιςςότερο ςθμαντικά bits τθσ, ενϊ τα ψθφία ιςοτιμίασ είναι τα λιγότερο ςθμαντικά bits τθσ λζξθσ. Οι BCH κϊδικεσ υλοποιοφνται όπωσ οι κυκλικοί κϊδικεσ, δθλαδι θ κωδικοποίθςθ γίνεται με γραμμικοφσ καταχωρθτζσ ολίςκθςθσ με ανάδραςθ (LFSR). Θ υλοποίθςθ τθσ πράξθσ τθσ Σχζςθσ 3.7 απαιτεί ζνα τροποποιθμζνο κφκλωμα διαίρεςθσ πολυωνφμων (Σχιμα 2.7), όπωσ αυτό που φαίνεται ςτο Σχιμα 3.1 *14+. χήμα 3.1 Σειριακό κφκλωμα κωδικοποίθςθσ BCH(n, k, t) κωδίκων Τροφοδοτοφμε το κφκλωμα ςειριακά με τα bits πλθροφορίασ, βάηοντασ πρϊτα τα πιο ςθμαντικά bits. Κατά τθ διάρκεια των πρϊτων k κφκλων ρολογιοφ, οι δφο διακόπτεσ είναι

37 37 ςυνδεδεμζνοι ςτισ κζςεισ a και θ είςοδοσ περνάει μζςα ςτο LFSR. Ταυτόχρονα, θ είςοδοσ βγαίνει αυτοφςια ςτθν ζξοδο, και ζτςι επιτυγχάνεται θ ςυςτθματικι κωδικοποίθςθ. Μετά από του k κφκλουσ ρολογιοφ οι διακόπτεσ αλλάηουν κζςθ και πθγαίνουν ςτθ κζςθ b. Αυτι τθ χρονικι ςτιγμι, οι n k καταχωρθτζσ περιζχουν τουσ ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου p x = [x n k u x ]modg(x), δθλαδι τα bits ιςοτιμίασ. Ζτςι τα bits ιςοτιμίασ ολιςκαίνουν προσ τθν ζξοδο του κυκλϊματοσ για τουσ επόμενουσ n k κφκλουσ ρολογιοφ, διαμορφϊνοντασ ζτςι το δεφτερο μζροσ τθσ ςυςτθματικισ κωδικισ λζξθσ. Για δυαδικοφσ BCH κϊδικεσ, οι πολλαπλαςιαςτζσ (πφλεσ AND) του ςχιματοσ 3.1 μποροφν να αντικαταςτακοφν με βραχυκυκλϊματα ι ανοιχτοκυκλϊματα όταν ο αντίςτοιχοσ ςυντελεςτισ g i είναι 1 ι 0 αντίςτοιχα. Το κρίςιμο μονοπάτι (critical path) αυτισ τθσ αρχιτεκτονικισ αποτελείται από δφο XOR πφλεσ, και θ ζξοδοσ τθσ δεξιάσ XOR πφλθσ είναι είςοδοσ για όλεσ τισ άλλεσ XOR πφλεσ. Στθν περίπτωςθ που ζχουμε BCH κϊδικεσ μεγάλου μικουσ, θ αρχιτεκτονικι αυτι ζχει το μειονζκτθμα τθσ μεγάλθσ κακυςτζρθςθσ που ειςάγεται από τθν δεξιά πφλθ XOR, επειδι αυτι κα ζχει πολφ μεγάλο fanout. Θ υλοποίθςθ αυτι, αν και γενικά είναι πολφ αποδοτικι και χαμθλισ πολυπλοκότθτασ, ενδζχεται να είναι προβλθματικι ςε οριςμζνεσ εφαρμογζσ λόγω τθσ κακυςτζρθςθσ. 3.4 Αποκωδικοπούηςη BCH κωδύκων Θ διαδικαςία αποκωδικοποίθςθσ είναι αρκετά πιο πολφπλοκθ από τθν κωδικοποίθςθ. Γενικά, μπορεί να χωριςτεί ςε τρία βιματα: i. Υπολογιςμόσ ςυνδρόμων ii. Υπολογιςμόσ του πολυωνφμου εφρεςθσ κζςεων των λακϊν iii. Ρροςδιοριςμόσ των κζςεων των λακϊν και διόρκωςθ Τπολογιςμόσ ςυνδρόμων Ζςτω ότι τα πολυϊνυμα: v x = v 0 + v 1 x + v 2 x v n 1 x n 1 r x = r 0 + r 1 x + r 2 x r n 1 x n 1 e x = e 0 + e 1 x + e 2 x e n 1 x n 1 είναι θ ςωςτι κωδικι λζξθ, θ λζξθ που ζλαβε ο δζκτθσ και το πρότυπο λάκουσ αντίςτοιχα. Τα πολυϊνυμα αυτά ςυνδζονται με τθν εξισ ςχζςθ:

38 38 r x = v x + e x [3.9] Στο δζκτθ διακζςιμο είναι μόνο το πολυϊνυμο r(x), το οποίο και αποκθκεφουμε μζςα ςε ζνα buffer. Από τθ κεωρία κωδικοποίθςθσ γνωρίηουμε ότι για ζνα κϊδικα διόρκωςθσ t λακϊν, ζχουμε 2t ςφνδρομα, τα οποία υπολογίηονται από τθν εξισ ςχζςθ: Από τισ Σχζςεισ 3.5και 3.10 βρίςκουμε ότι: S = S 1 S 2 S 2t = r H T [3.10] S i = r a i = r 0 + r 1 a + r 2 a r n 1 a n 1 [3.11] για i = 1,2,,2t. Θ υλοποίθςθ αυτισ τθσ πράξθσ μπορεί να γίνει από κυκλϊματα όπωσ αυτά του Σχιματοσ 2.6. Επειδι όμωσ ςτο ςχεδιαςμό αποκωδικοποιθτϊν για μεγάλο t απαιτείται ο υπολογιςμόσ πολλϊν ςυνδρόμων, είναι προτιμότερο να διαιρζςουμε το r(x) με το ελάχιςτο πολυϊνυμο του a i (Σχζςθ 2.14), οπότε καταλιγουμε ςτθ ςχζςθ: S i = r α i = b α i i = 1,2,,2t [3.12] Θ υλοποίθςθ αυτισ τθσ πράξθσ γίνεται με τα κυκλϊματα που περιγράφονται ςτθν παράγραφο Για μεγάλουσ αποκωδικοποιθτζσ θ διαδικαςία αυτι διευκολφνεται με τθ χριςθ κατάλλθλου software για τον υπολογιςμό των ελαχίςτων πολυωνφμων. Ρροφανϊσ, όταν όλα τα ςφνδρομα είναι ίςα με το μθδζν θ Σχζςθ 3.10 γίνεται r H T = 0, άρα θ λζξθ που λιφκθκε είναι κωδικι λζξθ. Συνεπϊσ, θ λθφκείςα λζξθ είναι ςωςτι Τπολογιςμόσ του πολυωνύμου εύρεςησ θϋςεων των λαθών Από τισ Σχζςεισ 3.9 και 3.11 και λαμβάνοντασ υπ όψιν ότι τα a i (i = 1,2,,2t) είναι ρίηεσ κάκε κωδικισ λζξθσ v(x), προκφπτει ότι: S i = e a i i = 1,2,,2t [3.13] Θεωροφμε τϊρα ότι ςτθ λζξθ που μεταδόκθκε ζχουν ειςαχκεί l λάκθ ςτισ κζςεισ j 1, j 2, j l, με j 1 < j 2 < < j l. Ζτςι, το πρόβλθμα τθσ αποκωδικοποίθςθσ ανάγεται ςτο πρόβλθμα του προςδιοριςμοφ των κζςεων αυτϊν. Με αυτά τα δεδομζνα, το πολυϊνυμο e(x) μπορεί να γραφτεί ωσ εξισ: e x = x j 1 + x j x j l [3.14]

39 39 Από τισ Σχζςεισ 3.13 και 3.14 καταλιγουμε ςτθ ςχζςθ: S i = (a i ) j 1 + (a i ) j (a i ) j l i = 1,2,,2t [3.15] Συνεπϊσ, ζχουμε ζνα ςφςτθμα 2t εξιςϊςεων με l αγνϊςτουσ, και ςυγκεκριμζνα τουσ j 1, j 2, j l. Γενικά, αυτζσ οι εξιςϊςεισ ζχουν πολλζσ λφςεισ, κάκε μία από τισ οποίεσ αντιςτοιχεί ςε ζνα διαφορετικό πρότυπο λάκουσ. Ο αποκωδικοποιθτισ πρζπει να βρει τθν λφςθ που αντιςτοιχεί ςτο μικρότερο δυνατό αρικμό λακϊν, κακϊσ αυτό είναι το πρότυπο λάκουσ που είναι πιο πικανό να ειςιχκθ από το κανάλι. Επίςθσ, για να ζχουμε δυνατότθτα διόρκωςθσ πρζπει ο αρικμόσ των λακϊν να είναι μικρότεροσ ι ίςοσ του t του κϊδικα που χρθςιμοποιείται. Για τθν επίλυςθ των εξιςϊςεων 3.15, ο αποκωδικοποιθτισ πρζπει πρϊτα να προςδιορίςει του ςυντελεςτζσ ενόσ πολυωνφμου που λζγεται πολυϊνυμο εφρεςθσ κζςεων των λακϊν και ορίηεται από τθ ςχζςθ [2]: l σ x (1 + a j n x) n=1 [3.16] Για διευκόλυνςθ των πράξεων κζτουμε β n = a j n για 1 n l, και θ παραπάνω εξίςωςθ μπορεί να γραφτεί: σ x = l n=1 1 + β n x l = σ n x n [3.17] n=0 Το πιο δφςκολο κομμάτι τθσ αποκωδικοποίθςθσ είναι να προςδιοριςτοφν οι ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου εφρεςθσ των κζςεων των λακϊν από τα ςφνδρομα S i. Από τθ Σχζςθ 3.17 αποδεικνφεται με μακθματικό τρόπο ότι τα σ n αποτελοφν τισ ςτοιχειϊδεισ ςυμμετρικζσ ςυναρτιςεισ των β n, δθλαδι: σ 0 = 1 σ 1 = β 1 + β β l σ 2 = β 1 β 2 + β 2 β β l 1 β l σ l = β 1 β 2 β l [3.18] Ραράλλθλα όμωσ από τθ Σχζςθ 3.15 φαίνεται ότι τα ςφνδρομα ςυνδζονται με τα ςφμφωνα με τθ ςχζςθ: β n S i = β 1 i + β 2 i + + β l i i = 1,2,,2t [3.19]

40 40 Από τισ Σχζςεισ 3.18 και 3.19 παρατθροφμε ότι τελικά μποροφμε να ςυνδζςουμε τα ςφνδρομα S i με τουσ ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου σ x μζςω ενόσ ςυνόλου εξιςϊςεων που λζγονται ταυτότθτεσ του Newton: S 1 + σ 1 = 0 S 2 + σ 1 S 1 + 2σ 2 = 0 S 3 + σ 1 S 2 + σ 2 S 1 + 3σ 3 = 0 S l + σ 1 S l σ l 1 S 1 + lσ l = 0 [3.20] Οι παραπάνω ταυτότθτεσ μποροφν να απλοποιθκοφν αν λάβουμε υπ όψιν ότι ςτθ δυαδικι περίπτωςθ iσ i = 0 για άρτιο i. Από τισ Σχζςεισ 3.20 είναι εφικτό να προςδιοριςτοφν οι ηθτοφμενοι ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου σ x. Ο βακμόσ του πολυωνφμου αυτοφ δείχνει πόςα λάκθ υπάρχουν ςτθ λθφκείςα λζξθ, και ςυνεπϊσ κζλουμε να είναι μικρότεροσ ι ίςοσ του t για να ζχουμε ςωςτό αποτζλεςμα. Επίςθσ, όπωσ αναφζρκθκε προθγουμζνωσ, οι ςχζςεισ αυτζσ μπορεί να ζχουν πολλζσ λφςεισ, οπότε είναι απαραίτθτοσ ο προςδιοριςμόσ του πολυωνφμου σ x ελαχίςτου βακμοφ. Για τθν εφρεςθ των ςυντελεςτϊν αυτϊν ζχουν αναπτυχκεί διάφοροι αλγόρικμοι, όπωσ ο αλγόρικμοσ Peterson-Gorenstein-Zieler ι ο Ευκλείδειοσ αλγόρικμοσ. Ο πιο αποδοτικόσ όμωσ αλγόρικμοσ κεωρείται ο αλγόρικμοσ Berlekamp-Massey *2+, ο οποίοσ και κα χρθςιμοποιθκεί ςτθν παροφςα εργαςία. Ραρακάτω δίνεται μια γενικι περιγραφι του αλγορίκμου, χωρίσ να ςυμπεριλαμβάνονται αποδείξεισ. Ο αλγόρικμοσ Berlekamp είναι επαναλθπτικόσ και απαιτεί 2t επαναλιψεισ, αφοφ τα ςφνδρομα που είναι γνωςτά είναι τα S 1, S 2,, S 2t. Ο αλγόρικμοσ ξεκινάει από ζνα πολυϊνυμο σ 1 (x) ελαχίςτου βακμοφ το οποίο να ικανοποιεί τθν πρϊτθ εξίςωςθ Newton. Ζπειτα ελζγχει αν αυτό το πολυϊνυμο ικανοποιεί και τθ δεφτερθ εξίςωςθ Newton, και αν ναι κζτει σ 2 x = σ 1 x. Αν όχι, ο αλγόρικμοσ προςκζτει ςτο σ 1 x ζνα διορκωτικό όρο ζτςι ϊςτε το σ 2 x να ικανοποιεί τισ δφο πρϊτεσ εξιςϊςεισ Newton. Στο τελευταίο βιμα του αλγορίκμου ζχει υπολογιςτεί το σ 2t x και αυτό πλζον κεωρείται ότι είναι το ςωςτό πολυϊνυμο εφρεςθσ των κζςεων των λακϊν από το οποίο κα προκφψει το ηθτοφμενο πρότυπο λάκουσ. Ριο ςυγκεκριμζνα, ζςτω ότι ςτο μ-οςτό βιμα του αλγορίκμου ζχουμε καταλιξει ςε ζνα πολυϊνυμο σ μ x = 1 + σ μ x + σ μ x σ μ x l μ, το οποίο ικανοποιεί τισ πρϊτεσ μ εξιςϊςεισ Newton. Τότε, για να προχωριςουμε ςτο επόμενο βιμα υπολογίηουμε τθν ακόλουκθ ποςότθτα: d μ = S μ +1 + σ 1 (μ) Sμ + σ 2 (μ) Sμ σ lμ (μ ) Sμ+1 lμ [3.21]

41 41 Για τον υπολογιςμό του σ μ+1 x : 1. Αν d μ = 0, τότε σ μ+1 x = σ μ x, και l μ +1 = l μ. 2. Αν d μ 0, γυρίηουμε ςτα προθγοφμενα βιματα του αλγορίκμου και βρίςκουμε ζνα πολυϊνυμο σ ρ x για το οποίο d ρ 0, και για το οποίο θ διαφορά ρ l ρ ζχει τθ μζγιςτθ τιμι. Τότε: σ μ +1 x = σ μ x + d μ d ρ x (μ ρ) σ ρ x Τα παραπάνω αφοροφν τόςο τουσ δυαδικοφσ BCH κϊδικεσ όςο και τουσ μθ δυαδικοφσ. Στθν περίπτωςθ μασ αςχολοφμαςτε μόνο με δυαδικοφσ BCH κϊδικεσ, και ςυνεπϊσ όλεσ οι άρτιεσ επαναλιψεισ μποροφν να παραλθφκοφν. Ζτςι ο αλγόρικμοσ γίνεται ταχφτεροσ και ολοκλθρϊνεται ςε t βιματα. Με αυςτθρά μακθματικοφσ όρουσ, ο αλγόρικμοσ Berlekamp ςυνοψίηεται ςτισ εξισ ςχζςεισ [19]: d 2μ = n 1 j =0 σ j 2μ Sμ j σ 2μ+2 x = σ 2μ x + d 2μ xβ 2μ x Β (2μ +2) x = x 2 B 2μ x αν d (2μ) = 0 xσ (2μ) (x) d (2μ) αν d (2μ) 0 με αρχικζσ ςυνκικεσ σ (0) x = 1 και Β (0) x = 1. Με βάςθ τισ παραπάνω ςχζςεισ μποροφμε να εξάγουμε διάφορα ςυμπεράςματα που αφοροφν τθν υλοποίθςθ του αλγορίκμου, θ οποία φαίνεται ςτο Σχιμα 3.2. Κατ αρχάσ, ο αλγόρικμοσ μπορεί να υλοποιθκεί με τζςςερισ καταχωρθτζσ: ζνα καταχωρθτι ολίςκθςθσ για τα ςφνδρομα, ζνα απλό καταχωρθτι για τουσ ςυντελεςτζσ του σ x, ζνα για τουσ ςυντελεςτζσ του ενδιάμεςου πολυωνφμου Β x και ζνα για τα γινόμενα σ j S μ j. Πλοι οι καταχωρθτζσ αποτελοφνται από ςτοιχεία του GF(2 m ), δθλαδι κάκε ςτάδιο τουσ αποτελείται από m bits. Για απλοποίθςθ προςκζτουμε ζνα ακόμα ςτάδιο ςε κάκε καταχωρθτι ολίςκθςθσ, το οποίο χρειάηεται για τισ αρχικζσ ςυνκικεσ. Ο ακροιςτισ είναι ζνασ Galois ακροιςτισ, που υλοποιείται όπωσ ςτο Σχιμα 2.1. Θ ζξοδοσ του περνάει ςε ζνα κφκλωμα που υπολογίηει τον αντίςτροφο ενόσ ςτοιχείου ενόσ πεδίου Galois, το οποίο μπορεί πολφ απλά να υλοποιθκεί με ζνα lookup table, δθλαδι μία μνιμθ ROM μεγζκουσ 2 m m bits.

42 42 χήμα 3.2 Υλοποίθςθ του αλγορίκμου Berlekamp με καταχωρθτζσ ολίςκθςθσ Προςδιοριςμόσ των θϋςεων των λαθών και διόρθωςη Αφοφ προςδιοριςτεί το πολυϊνυμο σ x το μόνο που μζνει είναι να βρεκοφν οι ρίηεσ του, οι οποίεσ δείχνουν τισ κζςεισ των λακϊν μζςα ςτθν κωδικι λζξθ, ϊςτε να επιτευχκεί τελικά θ διόρκωςθ τθσ λζξθσ. Για αυτό το βιμα τθσ αποκωδικοποίθςθσ ζχουν αναπτυχκεί επίςθσ διάφοροι αλγόρικμοι. Ραρακάτω κα γίνει αναφορά ςε δφο από αυτοφσ, τον αλγόρικμο Peterson και τον πλζον διαδεδομζνο αλγόρικμο Chien. Ο αλγόρικμοσ του Peterson αποτελεί τθν πιο απλι δυνατι λφςθ, κακϊσ ςφμφωνα με αυτόν οι ρίηεσ του πολυωνφμου σ x μποροφν να βρεκοφν με απλι αντικατάςταςθ των 1, a, a 2,, a n 1 (n = 2 m 1) ςτο σ x. Ο αλγόρικμοσ αυτόσ αναλφεται ςτα εξισ απλά βιματα: 1. Αντικακιςτοφμε διαδοχικά τα 1, a, a 2,, a n 1 (n = 2 m 1) ςτο πολυϊνυμο σ x. 2. Αν σ a j = 0 τότε ο αντίςτροφοσ του a j, δθλαδι τοa n j είναι ζνασ αρικμόσ που προςδιορίηει τθ κζςθ ενόσ λάκουσ. Αυτό ςθμαίνει ότι υπάρχει λάκοσ ςτθ κζςθ n j. Λαμβάνουμε υπ όψιν ότι a n = 1 και a j = a n j. 3. Μετά από n επαναλιψεισ ζχουν προςδιοριςτεί πλιρωσ όλεσ οι ρίηεσ του σ x, άρα και όλα τα λάκθ. Συνεπϊσ γνωρίηουμε το πρότυπο λάκουσ και διορκϊνουμε με modulo 2 πρόςκεςθ με τθ λθφκείςα λζξθ. Αργότερα, ο Chien ανζπτυξε ζναν ακόμα αλγόρικμο για εφρεςθ και διόρκωςθ λακϊν, με τον οποίο θ αποκωδικοποίθςθ γίνεται bit προσ bit [20]. Σφμφωνα με αυτό τον αλγόρικμο, τα πιο ςθμαντικά bits αποκωδικοποιοφνται πρϊτα. Για να γίνει θ αποκωδικοποίθςθ του bit που βρίςκεται ςτθ κζςθ n j ο αλγόρικμοσ υπολογίηει το άκροιςμα:

43 σ 1 a j + σ 2 a 2j + + σ l a lj Αν το άκροιςμα αυτό είναι ίςο με το μθδζν, τότε προφανϊσ το a j είναι ρίηα του πολυωνφμου σ x, και ςυνεπϊσ υπάρχει λάκοσ ςτθ κζςθ n j. Το λάκοσ μπορεί να διορκωκεί αμζςωσ με απλι αντιςτροφι του αντίςτοιχου bit τθσ λθφκείςασ λζξθσ. Αν το παραπάνω άκροιςμα είναι διάφορο του μθδενόσ, τότε το bit ςτθ κζςθ n j είναι ςωςτό. Θ υλοποίθςθ του αλγορίκμου Chien για δυαδικοφσ κϊδικεσ φαίνεται ςτο Σχιμα 3.3. Οι αρχικζσ τιμζσ των ςυντελεςτϊν του πολυωνφμου σ x αποκθκεφονται ςε t καταχωρθτζσ ενϊ θ λθφκείςα ακολουκία αποκθκεφεται ςε ζνα buffer με τα πιο ςθμαντικά bits πρϊτα. χήμα 3.3 Κφκλωμα κυκλικισ εφρεςθσ κζςεων και διόρκωςθσ των λακϊν Το κφκλωμα επίςθσ χρθςιμοποιεί t Galois πολλαπλαςιαςτζσ, θ υλοποίθςθ των οποίων ζχει παρουςιαςτεί ςτο Κεφάλαιο 2. Το κφκλωμα που ανιχνεφει αν ιςχφει θ ςυνκικθ σ k = 1 είναι ζνασ απλόσ Galois ακροιςτισ με ζνα αντιςτροφζα ςτθν ζξοδο. Στο Σχιμα 3.3 φαίνεται ζνα τζτοιο κφκλωμα για m = 4. Το κφκλωμα διόρκωςθσ λακϊν λειτουργεί ωσ εξισ: Αρχικά θ λθφκείςα ακολουκία αποκθκεφεται ςτο buffer με τα πιο ςθμαντικά bits πρϊτα, και ςυντελεςτζσ σ k που υπολογίςτθκαν από το προθγοφμενο βιμα τθσ αποκωδικοποίθςθσ, για παράδειγμα από τον αλγόρικμο Berlekamp, αποκθκεφονται ςτουσ καταχωρθτζσ. Οι αρχικζσ τιμζσ των σ k κα ςυμβάλλουν ςτθν ανίχνευςθ λακϊν μόνο ςτθ κζςθ 0. Στθν πρϊτθ παρυφι του ρολογιοφ το κφκλωμα κα ανιχνεφςει αν υπάρχει λάκοσ ςτο πιο ςθμαντικό bit τθσ λθφκείςασ λζξθσ, που αντιςτοιχεί ςτθ κζςθ n 1. Αν υπάρχει λάκοσ, θ ζξοδοσ του κυκλϊματοσ που ανιχνεφει αν ιςχφει θ ςυνκικθ σ k = 1 κα είναι το λογικό 1. Συνεπϊσ ολιςκαίνουμε το πιο ςθμαντικό bit ζξω από το buffer, ϊςτε να προςτεκεί modulo 2 με το 1 και να διορκωκεί. Δθλαδι, αν ςε κάκε παρυφι του ρολογιοφ ολιςκαίνουμε και ζνα ακόμα bit τθσ λθφκείςασ ακολουκίασ ζξω από το buffer, θ λζξθ κα ζχει διορκωκεί ςε n παρυφζσ του ρολογιοφ, δεδομζνου ότι δεν υπάρχουν περιςςότερα από t λάκθ.

44 44 χήμα 3.4 Ραράδειγμα κυκλϊματοσ ανίχνευςθσ λακϊν

45 45 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 ΣΟ ΠΡΟΣΤΠΟ DVB-S2 4.1 Ειςαγωγό Το Ρρόγραμμα Εκπομπισ Ψθφιακοφ Βίντεο (Digital Video Broadcasting, DVB Project) [21,22] διαμορφϊκθκε το Σεπτζμβριο του 1993 και το πρϊτο πρότυπο που αναπτφχκθκε ιταν το DVB-S, το οποίο χρθςιμοποιείται ςιμερα από τουσ περιςςότερουσ δορυφορικοφσ παρόχουσ υπθρεςιϊν ςε παγκόςμια κλίμακα. Το DVB-S αναπτφχκθκε ςτα πλαίςια του DVB και προτυποποιικθκε από το Ευρωπαϊκό Ινςτιτοφτο Τθλεπικοινωνιακϊν Ρροτφπων (European Telecommunications Standards Institute, ETSI). Είναι ςχεδιαςμζνο ϊςτε να παρζχει υπθρεςίεσ τθλεοπτικϊν προγραμμάτων απευκείασςτθν-οικία του χριςτθ για τισ υπθρεςίεσ BSS (Broadcast Satellite Services) και FSS (Fixed Satellite Services). Απευκφνεται ςε ολοκλθρωμζνουσ αποκωδικοποιθτζσ δζκτθ (Integrated Receiver Decoders, IRDs) για καταναλωτζσ, κακϊσ και για ςυςτιματα κεραιϊν ςυλλογισ (SMATV) και ςτακμοφσ καλωδιακισ τθλεόραςθσ. Το DVB-S παρζχει μια ποικιλία λφςεων που είναι κατάλλθλεσ για εφρθ ηϊνθσ αναμεταδότθ μεταξφ 26 και 72 MHz. Σθμειϊνεται ότι οι καταςτάςεισ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ επεκτάκθκαν ϊςτε να καλφπτουν επίςθσ υπθρεςίεσ διανομισ μζςω δορυφόρου, όπωσ μεταφορά εικόνασ και ακουςτικοφ υλικοφ μεταξφ τθλεοπτικϊν ςτοφντιο, ι από απομακρυςμζνεσ περιοχζσ απευκείασ ςτισ εγκαταςτάςεισ του εκπομποφ με ςκοπό τθ Συλλογι Ψθφιακϊν Δορυφορικϊν Ειδιςεων (Digital Satellite News Gathering, DSNG). Το DVB-S2 αποτελεί τθ δεφτερθ γενιά προτφπων δορυφορικισ μετάδοςθσ ςτα πλαίςια του προγράμματοσ DVB και αποτελεί εξζλιξθ του προτφπου DVB-S. Το διάγραμμα δομισ του ςυςτιματοσ δίνεται ςτο Σχιμα 4.1 *21+. Θ ςχεδίαςι του είναι τζτοια που επιτρζπει τθν εξυπθρζτθςθ πολλαπλϊν ευρυηωνικϊν δορυφορικϊν εφαρμογϊν: Εφαρμογζσ τθλεόραςθσ Κανονικισ και Υψθλισ Ευκρίνειασ (SDTV, HDTV), αλλθλεπιδραςτικζσ υπθρεςίεσ για καταναλωτικζσ εφαρμογζσ, όπωσ θ πρόςβαςθ ςτο διαδίκτυο, επαγγελματικζσ εφαρμογζσ, όπωσ θ Ψθφιακι Τθλεόραςθ και θ Συλλογι Ειδιςεων (DSNG), θ διανομι τθλεοπτικοφ ςιματοσ ςε επίγειουσ πομποφσ και θ διανομι ψθφιακϊν δεδομζνων. To πρότυπο DVB-S2 αναπτφχτθκε γφρω από τρεισ βαςικοφσ άξονεσ, τθ βζλτιςτθ απόδοςθ μετάδοςθσ, τθν απόλυτθ ευελιξία και τθν όςο το δυνατόν χαμθλότερθ πολυπλοκότθτα του δζκτθ. Το DVB-S2 για να επιτφχει τθν καλφτερθ ςχζςθ μεταξφ πολυπλοκότθτασ-απόδοςθσ, επωφελείται από τισ πιο πρόςφατεσ εξελίξεισ ςτθν κωδικοποίθςθ καναλιϊν, με τθ χριςθ LDPC κωδίκων, και τθ διαμόρφωςθ, με τθ χριςθ QPSK, 8PSK, 16APSK και 32APSK. Το αποτζλεςμα είναι ότι κάτω από τισ ίδιεσ ςυνκικεσ μετάδοςθσ το DVB-S2 επιτυγχάνει αφξθςθ τθσ χωρθτικότθτασ μετάδοςθσ ζωσ και τριάντα τοισ εκατό ςε ςχζςθ με το DVB-S.

46 46 χήμα 4.1 Λειτουργικό διάγραμμα δομισ του ςυςτιματοσ DVB-S2 Πταν χρθςιμοποιείται για ςθμείο προσ ςθμείο εφαρμογζσ, όπωσ για τθ μετάδοςθ δεδομζνων ςε ζνα μόνο χρθςτι (unicast) μζςω IP, τότε το κζρδοσ του DVB-S2 είναι ακόμα μεγαλφτερο από του DVB-S. Θ μεταβλθτι λειτουργία κωδικοποίθςθσ και διαμόρφωςθσ (VCM) επιτρζπει διαφορετικζσ διαμορφϊςεισ και επίπεδα προςταςίασ λάκουσ να χρθςιμοποιθκοφν και να αλλαχτοφν πλαίςιο-πλαίςιο. Αυτό ςε ςυνδυαςμό με τθ χριςθ ενόσ καναλιοφ επιςτροφισ για να επιτφχει τθν προςαρμοςτικι κωδικοποίθςθ και διαμόρφωςθ (Adaptive Coding and Modulation, ACM) κλειςτοφ βρόχου, επιτρζπει τθ βελτιςτοποίθςθ των παραμζτρων μετάδοςθσ για κάκε μεμονωμζνο χριςτθ, εξαρτϊμενων από τισ ςυνκικεσ του δρόμου μετάδοςθσ. Το γεγονόσ ότι το DVB-S2 εφαρμόηεται και ςε υπάρχοντεσ δορυφορικοφσ αναμεταδότεσ με πλθκϊρα χαρακτθριςτικϊν μετάδοςθσ και για διάφορουσ ςυνδυαςμοφσ φαςματικισ απόδοςθσ και απαιτιςεων λόγου ςιματοσ προσ κόρυβο, δείχνει τθ ςθμαντικι του ευελιξία και πρακτικότθτα. Επιπλζον, δεν περιορίηεται ςε κωδικοποίθςθ βίντεο και ιχου MPEG-2, αλλά είναι ςχεδιαςμζνο ζτςι ϊςτε να χειρίηεται μια ποικιλία πρωτοκόλλων ιχου, βίντεο και δεδομζνων. Ανάμεςα ςε αυτά ςυμπεριλαμβάνονται και ςχιματα που βρίςκονται ςε ςτάδιο προτυποποίθςθσ για μελλοντικζσ εφαρμογζσ DVB. Το DVB-S2 προςαρμόηεται ςε οποιοδιποτε τφπο ροισ ειςόδου δεδομζνων, όπωσ είναι θ ςυνεχισ ροι bit, απλά ι πολλαπλά εφματα Μεταφοράσ MPEG (Transport Streams, TS), πακζτα IP, κακϊσ και πακζτα του πρωτοκόλλου Αςφγχρονου Τρόπου Μεταφοράσ (Asynchronous Transfer Mode, ATM). Το γεγονόσ αυτό περιορίηει και τθν ανάγκθ δθμιουργίασ ενόσ νζου προτφπου ςτο μζλλον.

47 Βαςικϊ χαρακτηριςτικϊ αρχιτεκτονικόσ Προςαρμογό Ροόσ Ειςόδου H Ρροςαρμογι οισ Ειςόδου (Mode and Stream Adaptation) (βλ. Σχιμα 4.1) εξαρτάται από τθν εξυπθρετοφμενθ εφαρμογι και αποτελεί τθ διεπαφι προσ κάκε ρεφμα ειςόδου. Οι ακολουκίεσ ειςόδου μπορεί να είναι απλά ι πολλαπλά ρεφματα μεταφοράσ, με χριςθ πακζτων ι ςε ςυνεχι ροι. Ραράλλθλα, το μπλοκ Ρροςαρμογισ οισ Ειςόδου διακζτει διάφορα προαιρετικά εργαλεία για τθ λειτουργία τθσ Ρροςαρμοςτικισ Κωδικοποίθςθσ και Διαμόρφωςθσ (Adaptive Coding and Modulation, ACM). Επιπλζον, ςτθν περίπτωςθ πολλαπλϊν ειςόδων, παρζχει ςυγχϊνευςθ (merging) όλων των ρευμάτων ειςόδου ςε ζνα απλό μεταδιδόμενο ςιμα, και ςτθ ςυνζχεια τεμαχιςμό (slicing) αυτοφ ςε μπλοκ κωδικοποιθμζνα κατά FEC Forward Error Correction Για να επιτευχκεί από το ςφςτθμα θ βζλτιςτθ απόδοςθ, το πρότυπο DVB-S2 επωφελείται από τισ ςφγχρονεσ εξελίξεισ όςον αφορά τθν κωδικοποίθςθ καναλιοφ και τθ διαμόρφωςθ. Αναφορικά με τθ χριςθ κωδικοποίθςθσ για τθ διόρκωςθ ςφαλμάτων, υιοκετείται θ τεχνικι FEC. Θ τεχνικι αυτι επιτρζπει τθν αποκωδικοποίθςθ ςτο δζκτθ χωρίσ να είναι απαραίτθτθ οποιαδιποτε πλθροφορία από τον πομπό. Ωσ αποτζλεςμα μιασ ςειράσ εργαςτθριακϊν εξομοιϊςεων για τθν εφρεςθ του πλζουν αποδοτικοφ κϊδικα, επιλζχκθκε τελικά μια οικογζνεια από απλοφσ μπλοκ κϊδικεσ με πολφ περιοριςμζνθ αλγεβρικι δομι. Οι κϊδικεσ αυτοί είναι οι κϊδικεσ Ελζγχου Ιςοτιμίασ Χαμθλισ Ρυκνότθτασ (Low Density Parity Check, LDPC). Οι LDPC κϊδικεσ χρθςιμοποιοφν αναδρομικζσ τεχνικζσ αποκωδικοποίθςθσ και τα κφρια χαρακτθριςτικά τουσ είναι: το πολφ μεγάλο μικοσ των μπλοκ (64800 bits για το κανονικό πλαίςιο και bits για το μικρότερο πλαίςιο) ο τεράςτιοσ αρικμόσ επαναλιψεων για τθν αποκωδικοποίθςθ (περίπου 50), με τθ δομι του κϊδικα να παρουςιάηει αρκετζσ περιοδικότθτεσ, οι οποίεσ ευνοοφν τθν υλοποίθςθ ενόσ παράλλθλου αποκωδικοποιθτι θ παρουςία ενόσ ςυνδεδεμζνου εςωτερικοφ κϊδικα BCH (Bose-Chaundhuri- Hocquenghem) (χωρίσ παρεμβολι ψθφίων), ο οποίοσ χρθςιμοποιικθκε από τουσ ςχεδιαςτζσ ωσ μια χαμθλοφ κόςτουσ λφςθ απζναντι ςε ςφάλματα που παρατθροφνται ςε υψθλοφσ CNR λόγουσ Στο DVB-S2 είναι δυνατι θ χριςθ δυο ειδϊν μπλοκ με μικοσ ι bits. Θ επιλογι αυτι υπαγορεφτθκε από δυο αντικρουόμενεσ ανάγκεσ. Τα μπλοκ μεγάλου μικουσ βελτιϊνουν το ςθματοκορυβικό λόγο που επιτυγχάνεται, αλλά ταυτόχρονα αυξάνουν τθ κακυςτζρθςθ τθσ διαδικαςίασ διαμόρφωςθσ και αποδιαμόρφωςθσ από άκρο ςε άκρο.

48 48 Επομζνωσ, για εφαρμογζσ όπου θ κακυςτζρθςθ δεν είναι ιδιαίτερα κρίςιμθ, όπωσ για παράδειγμα θ ευρυεκπομπι, ενδείκνυται θ χριςθ μεγάλων πλαιςίων. Αντίκετα, για αλλθλεπιδραςτικζσ εφαρμογζσ, όπου οι κακυςτεριςεισ πρζπει να διατθροφνται ςε χαμθλά επίπεδα, τα μικρά πλαίςια είναι πιο αποδοτικά. Θ εγγενισ ευελιξία του DVB-S2 επιτρζπει τθν ικανοποίθςθ μιασ μεγάλθσ ποικιλίασ απαιτιςεων. Ανάλογα λοιπόν με τθν επιλεγμζνθ διαμόρφωςθ και τισ απαιτιςεισ του ςυςτιματοσ, μποροφν να επιλεγοφν ρυκμοί κωδικοποίθςθσ ίςοι με 1/2, 1/4, 1/3, 2/5, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 8/9 και 9/10. Οι χαμθλοί ρυκμοί κωδικοποίθςθσ, δθλαδι 1/2, 1/4, 1/3 και 2/5, ζχουν ειςαχκεί ϊςτε να επιτρζπουν τθ λειτουργία του ςυςτιματοσ κάτω από εξαιρετικά άςχθμεσ ςυνκικεσ ηεφξθσ. Ζτςι, ςε ςυνδυαςμό με τθ χριςθ QPSK διαμόρφωςθσ, το ςφςτθμα είναι ςε κζςθ να λειτουργεί κανονικά, ακόμθ και όταν θ ςτάκμθ του ςιματοσ είναι κάτω από τθ ςτάκμθ του κορφβου. Χωρίσ τθ χριςθ κωδικοποίθςθσ, θ πτϊςθ τθσ ςτάκμθσ του ςιματοσ κάτω από τθ ςτάκμθ του κορφβου κα κακιςτοφςε αδφνατθ τθ λιψθ ςωςτισ απόφαςθσ για τα ψθφία πλθροφορίασ ςτο δζκτθ και κα οδθγοφςε ςε διακοπι τθσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ Mapping Κάκε FECFRAME, δθλαδι κάκε κωδικοποιθμζνο block των ι των bits, κα πρζπει να μετατραπεί από ςειριακό ςε παράλλθλο. Το πιο ςθμαντικό bit του block αυτοφ αντιςτοιχίηεται ςτο πιο ςθμαντικό bit τθσ παράλλθλθσ ακολουκίασ. Κάκε παράλλθλθ ακολουκία αντιςτοιχίηεται ςε ζνα QPSK, 8PSK, 16APSK ι 32APSK αςτεριςμό, δθλαδι γεννά μία ςειρά (I, Q), το μικοσ τθσ οποίασ εξαρτάται από τθ διαμόρφωςθ που χρθςιμοποιείται. Θ ζξοδοσ του block που κάνει το mapping (βλ. Σχιμα 4.1) λζγεται XFECFRAME (complex FECFRAME), και αποτελείται από μία ςειρά ςυμβόλων, κάκε ζνα από τα οποία είναι ζνα μιγαδικό διάνυςμα τθσ μορφισ (I, Q). Με I ςυμβολίηεται ο in-phase ςυντελεςτισ και με Q ο quadrature ςυντελεςτισ Πλαιςύωςη Για το ςφςτθμα DVB-S2 θ διαδικαςία τθσ πλαιςίωςθσ υλοποιείται ςε δυο διαφορετικά επίπεδα. Το πρϊτο αφορά ςτο φυςικό επίπεδο, μεταφζροντασ λίγα bits ςθματοδοςίασ ςτα οποία παρζχεται υψθλι αςφάλεια. Το δεφτερο περιλαμβάνεται ςτο επίπεδο τθσ βαςικισ ηϊνθσ, μεταφζροντασ μια ποικιλία από bits ςθματοδοςίασ, κάτι που επιτρζπει τθ μζγιςτθ ευελιξία κατά τθν προςαρμογι του ςιματοσ ειςόδου. Πλαιςίωςθ φυςικοφ επιπζδου Κατά τθ διαδικαςία τθσ αποδιαμόρφωςθσ και τθσ αποκωδικοποίθςθσ FEC, ο δζκτθσ πρζπει να ςυγχρονίηεται και να ανιχνεφει τισ παραμζτρουσ τθσ διαμόρφωςθσ και τθσ

49 49 κωδικοποίθςθσ που χρθςιμοποιικθκαν από τον πομπό. Αυτόσ είναι ο ςθμαντικότεροσ ςκοπόσ τθσ πλαιςίωςθσ φυςικοφ επιπζδου, μζςω τθσ οποίασ παρζχεται ςυγχρονιςμόσ και ςθματοδοςία ςτο φυςικό επίπεδο. Ο ςυγχρονιςμόσ του δζκτθ επιτυγχάνεται με τθν ανάκτθςθ του φζροντοσ και τθσ φάςθσ, κακϊσ και με ςυγχρονιςμό των πλαιςίων. Μζςα ςε ζνα πλαίςιο θ διαμόρφωςθ και το ςχιμα τθσ κωδικοποίθςθσ είναι ομογενι, αλλά είναι δυνατόν να μεταβάλλονται ςε διαδοχικά πλαίςια όταν χρθςιμοποιείται μεταβλθτι κωδικοποίθςθ και διαμόρφωςθ (VCM). Σθμειϊνεται ότι θ δομι πλαιςίωςθσ φυςικοφ επιπζδου είναι ανεξάρτθτθ τθσ εφαρμογισ. Κάκε πλαίςιο PL αποτελείται από: 1. ζνα ωφζλιμο φορτίο των bits (κανονικό πλαίςιο FEC) ι bits (ςφντομο πλαίςιο FEC), το οποίο παράγεται από τθν κωδικοποίθςθ των bits του χριςτθ ςφμφωνα με το επιλεγμζνο ςχιμα FEC, επομζνωσ το ωφζλιμο φορτίο αντιςτοιχεί ςε ζνα μπλοκ του ςυνδυαςμζνου κϊδικα LDPC/BCH 2. μια Επικεφαλίδα PL, θ οποία περιζχει πλθροφορία ςυγχρονιςμοφ και ςθματοδοςίασ, δθλαδι τον τφπο τθσ διαμόρφωςθσ, το ρυκμό κωδικοποίθςθσ, το μικοσ πλαιςίου και τθν παρουςία ι απουςία κάποιων πιλοτικϊν ςυμβόλων, τα οποία ςυχνά χρθςιμοποιοφνται για διευκόλυνςθ του ςυγχρονιςμοφ Θ Επικεφαλίδα PL ςτο DVB-S2 αποτελείται πάντα από 90 ςφμβολα και το ωφζλιμο φορτίο αποτελείται από ζνα ακζραιο πολλαπλάςιο των 90 ςυμβόλων (εξαιρϊντασ τα πιλοτικά ςφμβολα). Σθμειϊνεται ότι θ επικεφαλίδα PL αποκωδικοποιείται πρϊτθ από το δζκτθ. Για το λόγο αυτό, δεν προςτατεφεται από το ιςχυρό ςχιμα κωδικοποίθςθσ LDPC/BCH. Εξαιτίασ όμωσ τθσ ςπουδαιότθτάσ τθσ, θ επικεφαλίδα πρζπει να αποκωδικοποιείται ορκά ακόμθ και κάτω από τισ χειρότερεσ δυνατζσ ςυνκικεσ τθσ ηεφξθσ. Επομζνωσ, οι ςχεδιαςτζσ επζλεξαν για αυτι ζνα πολφ χαμθλό ρυκμό κωδικοποίθςθσ (7/64), κατάλλθλο για αποκωδικοποίθςθ μζςω ενόσ ςυςχετιςτι. Ταυτόχρονα, ελαχιςτοποιικθκε ο αρικμόσ των bit ςθματοδοςίασ, ϊςτε να μειωκεί θ πολυπλοκότθτα τθσ αποκωδικοποίθςθσ και θ απϊλεια αποδοτικότθτασ. Πλαιςίωςθ επιπζδου βαςικισ ηϊνθσ Το δεφτερο επίπεδο δομισ πλαιςίωςθσ, αυτό τθσ βαςικισ ηϊνθσ, επιτρζπει μια πιο ολοκλθρωμζνθ λειτουργικότθτα ςθματοδοςίασ, ϊςτε να ρυκμιςτεί ο δζκτθσ ςφμφωνα με τισ διάφορεσ εφαρμογζσ, οι οποίεσ μπορεί να περιλαμβάνουν απλά ι πολλαπλά ρεφματα ειςόδου, ρεφματα γενικισ χριςθσ ι ρεφματα μεταφοράσ, Στακερι Κωδικοποίθςθ και Διαμόρφωςθ (Constant Coding and Modulation, CCM) ι Ρροςαρμοςτικι Κωδικοποίθςθ και Διαμόρφωςθ (Adaptive Coding and Modulation, ACM). Θ επικεφαλίδα βαςικισ ηϊνθσ ζχει μζγεκοσ 80 bits και τοποκετείται μπροςτά από το πεδίο δεδομζνων. Σκοπόσ τθσ είναι να γνωςτοποιιςει ςτο δζκτθ το ςχιμα τθσ ροισ ειςόδου και τθν κατάλλθλθ λειτουργία για τθν προςαρμογι του. Ραρά το μεγάλο πλικοσ των ψθφίων ςθματοδοςίασ ςτθν επικεφαλίδα (80), δεν κυςιάηεται θ αποδοτικότθτα τθσ μετάδοςθσ οφτε θ ανοχι ζναντι του κορφβου. Θ επικεφαλίδα BB μεταφζρει και επιπλζον πλθροφορίεσ ςθματοδοςίασ, όπωσ χαρακτθριςμό των ρευμάτων ειςόδου του διαμορφωτι, περιγραφι τθσ κζςθσ και των χαρακτθριςτικϊν των πακζτων χριςτθ, ζνδειξθ τθσ παρουςίασ πρόςκετων bit ςτο μεταδιδόμενο BBFRAME (baseband frame), ςιμανςθ τθσ ενεργοποίθςθσ

50 50 οριςμζνων επιλογϊν, όπωσ είναι θ ςυνάρτθςθ διαγραφισ των μθδενικϊν πακζτων και θ ςυνάρτθςθ ςυγχρονιςμοφ τθσ ροισ ειςόδου και ζνδειξθ για το ςχιμα διαμόρφωςθσ και για τον παράγοντα roll-off που ζχει επιλεγεί Διαμόρφωςη Για τθ μετάδοςθ των ψθφίων πλθροφορίασ μζςω του δορυφορικοφ καναλιοφ υπάρχει θ δυνατότθτα επιλογισ ανάμεςα ςε τζςςερισ αςτεριςμοφσ διαμόρφωςθσ (βλ. Σχιμα 1). Ππωσ ζχει αναφερκεί, οι διαμορφϊςεισ QPSK και 8PSK διακζτουν ςτακερι περιβάλλουςα, επομζνωσ μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ςε μθ γραμμικοφσ δορυφορικοφσ αναμεταδότεσ που λειτουργοφν κοντά ςτον κορεςμό. Για το λόγο αυτό, χρθςιμοποιοφνται ςυνικωσ ςε εφαρμογζσ ευρυεκπομπισ, επιτυγχάνοντασ υψθλι απόδοςθ ιςχφοσ. Από τθν άλλθ, τεχνικζσ ανϊτερθσ τάξεωσ, όπωσ 16APSK και 32APSK, είναι ευαίςκθτεσ ςε πικανζσ μθ γραμμικότθτεσ. Ζτςι, απαιτοφν ζνα υψθλότερο επίπεδο CNR, κακϊσ και τθν ελαχιςτοποίθςθ τθσ μθ γραμμικότθτασ του αναμεταδότθ. Οι τεχνικζσ αυτζσ υπερζχουν ωσ προσ τθν φαςματικι απόδοςθ και προςανατολίηονται κυρίωσ για επαγγελματικζσ εφαρμογζσ. Σθμειϊνεται ότι οι αςτεριςμοί 16APSK και 32APSK ζχουν βελτιςτοποιθκεί ζτςι ϊςτε να λειτουργοφν ςε ζνα μθ γραμμικό αναμεταδότθ τοποκετϊντασ τα ςθμεία ςε κφκλουσ, όπωσ φαίνεται και ςτο Σχιμα 4.2. χήμα 4.2 Οι τζςςερισ αςτεριςμοί διαμόρφωςθσ του DVB-S2 Επιλζγοντασ κατάλλθλα τον αςτεριςμό διαμόρφωςθσ και τα ποςοςτά κωδικοποίθςθσ, είναι δυνατό να επιτευχκοφν φαςματικζσ αποδόςεισ από 0.5 ζωσ 4.5 bit ανά ςφμβολο. Οι

51 51 επιλογζσ γίνονται ανάλογα με τισ δυνατότθτεσ και τουσ περιοριςμοφσ του χρθςιμοποιοφμενου δορυφορικοφ αναμεταδότθ. Αναφορικά με τθν τιμι του ςυντελεςτι roll-off, ο οποίοσ κακορίηει το ςχιμα και τθ διεφρυνςθ του φάςματοσ, υπάρχουν τρεισ δυνατότθτεσ. Στο DVB-S2 μπορεί να χρθςιμοποιθκεί θ τιμι α = 0.35, κάτι που ςυμβαίνει και με το DVB-S. Πμωσ, υπάρχουν και δυο άλλεσ δυνατζσ τιμζσ, για α = 0.25 ι 0.20, οι οποίεσ παρζχουν αυςτθρότερο περιοριςμό του ςχιματοσ του εφρουσ ηϊνθσ. 4.3 υμβατότητα με το DVB-S Θ προτυποποίθςθ του DVB-S ολοκλθρϊκθκε το 1993 και ζκτοτε αποτελεί το πλζον διαδεδομζνο πρότυπο για δορυφορικι μετάδοςθ. Τα πλεονεκτιματα του και κυρίωσ θ ευελιξία τθσ λειτουργίασ του οδιγθςαν ςτθν υιοκζτθςθ του από τθν πλειοψθφία των δορυφορικϊν αναμεταδοτϊν ανά τθν υφιλιο. Το DVB-S2, θ προδιαγραφι δεφτερθσ γενιάσ για δορυφορικι μετάδοςθ, ζρχεται να αντικαταςτιςει το DVB-S παρζχοντασ νζεσ δυνατότθτεσ. Ο μεγάλοσ όμωσ αρικμόσ των δεκτϊν DVB-S που είναι ιδθ εγκατεςτθμζνοι κακιςτά πολφ δφςκολθ τθ ςκζψθ τθσ πλιρουσ αντικατάςταςθσ των τερματικϊν πρϊτθσ γενιάσ από εκείνα του DVB-S2. Για το λόγο αυτό, απαιτείται ςυμβατότθτα με τα ςυςτιματα τθσ προθγοφμενθσ γενιάσ, θ οποία κα επιτρζψει ςτουσ DVB-S δζκτεσ να ςυνεχίςουν να λειτουργοφν. Ταυτόχρονα, οι νζοι, προθγμζνοι δζκτεσ κα απολαμβάνουν επιπλζον χωρθτικότθτα και νζεσ υπθρεςίεσ. Στο τζλοσ τθσ μεταβατικισ περιόδου και όταν όλοι οι δζκτεσ κα ζχουν αναβακμιςτεί ςφμφωνα με το πρότυπο DVB-S2, δεν κα είναι πλζον απαραίτθτθ θ ςυμβατότθτα με παλαιά τερματικά, αφοφ το ςφνολο των χρθςτϊν κα μπορεί να αξιοποιεί πλιρωσ τισ δυνατότθτεσ του DVB-S2. Στο DVB-S2 ζχει προβλεφκεί θ ςυνφπαρξθ δεκτϊν παλιάσ και νζασ γενιάσ, ζτςι ζχουν κακοριςτεί προαιρετικζσ λειτουργίεσ ςυμβατότθτασ προσ τα πίςω (Backwards Compatible, BC). Οι λειτουργίεσ αυτζσ ςυνίςτανται ςτθν αποςτολι δυο ρευμάτων μεταφοράσ από ζνα απλό δορυφορικό κανάλι. Το πρϊτο ρεφμα ονομάηεται Υψθλισ Ρροτεραιότθτασ (High Priority, HP) και είναι ςυμβατό τόςο με το DVB-S όςο και με το DVB-S2. Το δεφτερο καλείται Χαμθλισ Ρροτεραιότθτασ (Low Priority, LP) και είναι ςυμβατό αποκλειςτικά με δζκτεσ DVB- S Φρόςη BCH κωδύκων ςτο DVB-S2 Στθν παροφςα εργαςία ςτόχοσ είναι θ ςχεδίαςθ και υλοποίθςθ ενόσ BCH αποκωδικοποιθτι για DVB-S2 ςυςτιματα. Γι αυτό το λόγο παρακάτω κα αναλυκεί με περιςςότερθ λεπτομζρεια το κζμα τθσ κωδικοποίθςθσ καναλιοφ για ανίχνευςθ και διόρκωςθ λακϊν ςτο δζκτθ (FEC).

52 52 Το υποςφςτθμα FEC encoding (βλ. Σχιμα 4.1) πραγματοποιεί τθν εξωτερικι κωδικοποίθςθ με BCH κϊδικεσ, τθν εςωτερικι κωδικοποίθςθ με LDPC και το bit interleaving. Μετά τθν Ρροςαρμογι οισ Ειςόδου, ςτθν είςοδο του υποςυςτιματοσ μπαίνει ζνα block δεδομζνων που λζγεται BBFRAME (Base-Band FRAME). Θ ζξοδοσ του υποςυςτιματοσ είναι ζνα FECFRAME. Κάκε BBFRAME των K bc bits υπόκειται ςε επεξεργαςία από το υποςφςτθμα ϊςτε να μετατραπεί ςε ζνα FECFRAME των n ldpc bits. Τα ψθφία ιςοτιμίασ του BCH κϊδικα (BCHFEC) τοποκετοφνται μετά το BBFRAME, και κατόπιν τοποκετοφνται τα ψθφία ιςοτιμίασ του LDPC (LDPCFEC), όπωσ φαίνεται και ςτο Σχιμα 4.3. χήμα 4.3 Μορφι δεδομζνων μετά και τθν κωδικοποίθςθ με LDPC Το n ldpc μπορεί να παίρνει δφο διαφορετικζσ τιμζσ, ανάλογα με τον τρόπο λειτουργίασ του ςυςτιματοσ. Το DVB-S2 υποςτθρίηει κανονικό μικοσ πλαιςίου με n ldpc = bits και μικρό μικοσ πλαιςίου με n ldpc = bits. Στουσ Ρίνακεσ 4.1 και 4.2 φαίνονται οι διάφορεσ παράμετροι κωδικοποίθςθσ ανάλογα με τον επιλεγόμενο ρυκμό κϊδικα για κανονικό και μικρό πλαίςιο αντίςτοιχα. Πίνακασ 4.1 Ραράμετροι κωδικοποίθςθσ για κανονικό μικοσ πλαιςίου

53 53 Πίνακασ 4.2 Ραράμετροι κωδικοποίθςθσ για μικρό μικοσ πλαιςίου BCH κωδικοπούηςη Σε κάκε BBFRAME εφαρμόηεται ζνασ BCH κϊδικασ διόρκωςθσ t λακϊν για να παραχκεί ζνα προςτατευμζνο από λάκθ πακζτο. Για κανονικό μικοσ πλαιςίου δουλεφουμε ςτο GF(2 16 ) ενϊ για μικρό μικοσ πλαιςίου ςτο GF(2 14 ).O BCH κϊδικασ απαιτοφμε να διορκϊνει μεταβλθτό αρικμό λακϊν ανάλογα με το ρυκμό του LDPC κϊδικα και γι αυτό το λόγο διατθροφμε πίνακεσ με πολυϊνυμα γεννιτορεσ, και ςυγκεκριμζνα τουσ Ρίνακεσ 4.3 και 4.4. Πίνακασ 4.3 Ρολυϊνυμα BCH για κανονικό μικοσ πλαιςίου Το πολυϊνυμο γεννιτορασ του BCH κϊδικα που διορκϊνει t λάκθ προκφπτει πολλαπλαςιάηοντασ τα t πρϊτα πολυϊνυμα του πίνακα 4.3 (για κανονικό μικοσ πλαιςίου) ι του 4.4 (για μικρό μικοσ πλαιςίου).

54 54 Πίνακασ 4.4 Ρολυϊνυμα BCH για μικρό μικοσ πλαιςίου Στθν ουςία τα g i (x) αποτελοφν ελάχιςτα πολυϊνυμα των αντίςτοιχων ςτοιχείων a i του εκάςτοτε πεδίου Galois. Ζτςι, ο πολλαπλαςιαςμόσ τουσ δίνει ζνα πολυϊνυμο γεννιτορα, όπωσ αναφζρεται και ςτθν ενότθτα Με γνωςτό πλζον το πολυϊνυμο γεννιτορα, κωδικοποιοφμε τα δεδομζνα με ςυςτθματικι κωδικοποίθςθ, ςφμφωνα δθλαδι με τισ Σχζςεισ 3.7 και 3.8 του Κεφαλαίου 3. Θ ζξοδοσ του BCH κωδικοποιθτι είναι ζνα block δεδομζνων μικουσ N bc, το οποίο και περνάει ςτον εςωτερικό LDPC κωδικοποιθτι BCH αποκωδικοπούηςη Στον δζκτθ θ κωδικοποιθμζνθ πλθροφορία μικουσ n ldpc περνάει πρϊτα από τον LDPC αποκωδικοποιθτι, ο οποίοσ παράγει ζνα block μικουσ k ldpc = N bc. Για τθν αποφυγι πικανϊν λακϊν ςε χαμθλά bit error rates (BER) απαιτείται να ακολουκιςει και θ BCH αποκωδικοποίθςθ.

55 55 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 5 ΦΕΔΙΑΜΟ ΚΑΙ ΤΛΟΠΟΙΗΗ 5.1 χεδιαςτικό προςϋγγιςη Για το ςχεδιαςμό και τθν υλοποίθςθ του BCH αποκωδικοποιθτι κα χρθςιμοποιθκεί το εργαλείο XILINX System Generator, το οποίο παρζχει τθ δυνατότθτα παραγωγισ κϊδικα VHDL ι Verilog μζςα από ζνα γραφικό περιβάλλον όπωσ το Simulink του MATLAB. Το System Generator προςκζτει ζνα νζο blockset ςτο Simulink που επιτρζπει τθ δθμιουργία μοντζλων τα οποία μποροφν να μετατραποφν ςε αρχεία προγραμματιςμοφ FPGA. Τα πλεονεκτιματα τθσ επιλογισ του ςυγκεκριμζνου εργαλείου ζναντι τθσ απευκείασ περιγραφισ του ςυςτιματοσ ςε κάποια γλϊςςα περιγραφισ hardware, όπωσ θ VHDL ι θ Verilog, ςυνοψίηονται παρακάτω: Το System Generator παρζχει ζτοιμα παραμετροποιθμζνα blocks με τισ πιο ςυνικεισ λειτουργίεσ, όπωσ μακθματικζσ και λογικζσ πράξεισ, μνιμεσ, LFSRs επιτρζποντασ τθν εξοικονόμθςθ χρόνου για τθ ςχεδίαςθ και βελτιςτοποίθςθ του hardware. Είναι ςχεδιαςμζνο για ςχεδιαςμό ςφγχρονων κυκλωμάτων, γι αυτό και αποκρφπτει το ςιμα ρολογιοφ μειϊνοντασ τθν πολυπλοκότθτα του ςυςτιματοσ για το χριςτθ. Δίνει μία γραφικι διεπαφι, ιδιαίτερα φιλικι προσ το χριςτθ. Δεν προαπαιτεί τθ γνϊςθ VHDL ι Verilog. Υποςτθρίηει όλα τα ςτάδια υλοποίθςθσ ενόσ κυκλϊματοσ ςε FPGA, όπωσ θ εξομοίωςθ, θ ςφνκεςθ και το place and route. Υποςτθρίηει επικοινωνία με το workspace του MATLAB, διευκολφνοντασ τθν αρχικοποίθςθ μνθμϊν, τον κακοριςμό ειςόδων/εξόδων και τθν επαλικευςθ λειτουργίασ πολφπλοκων ςυςτθμάτων. Επιτρζπει τθν ενςωμάτωςθ αλγορικμικϊν μοντζλων του MATLAB ςτο System Generator μζςω του block mcode, και τθν αυτόματθ μετατροπι τουσ ςε VHDL ι Verilog. Επιτρζπει τθν ενςωμάτωςθ components γραμμζνων ςε VHDL ι Verilog. Δίνει άμεςθ εποπτεία του δομικοφ διαγράμματοσ του ςυςτιματοσ.

56 56 Ακολουκεί θ περιγραφι των βθμάτων τθσ ςχεδίαςθσ. Το πρόβλθμα αρχικά χωρίςτθκε ςε δφο υποπροβλιματα : τθ ςχεδίαςθ του κωδικοποιθτι και τθ ςχεδίαςθ του αποκωδικοποιθτι. 5.2 χεδύαςη του BCH κωδικοποιητό Αρχικά, αντιμετωπίςκθκε το πρόβλθμα τθσ ςχεδίαςθσ ενόσ BCH κωδικοποιθτι. Για να υπάρχει ςυμβατότθτα με το πρότυπο DVB-S2 επιβάλλεται θ ςχεδίαςθ ενόσ ςειριακοφ κωδικοποιθτι, κακϊσ το BBFRAME που εξζρχεται από το block τθσ Ρροςαρμογισ οισ Ειςόδου δίνεται ςειριακά. Άλλωςτε τα μεγζκθ των κωδικοποιθμζνων πλαιςίων είναι τόςο μεγάλα ϊςτε μία παράλλθλθ ςχεδίαςθ κα ιταν μθ αποδοτικι. Στθν παροφςα εργαςία κα ςχεδιαςτοφν κυκλϊματα κωδικοποίθςθσ και αποκωδικοποίθςθσ για ζνα δεδομζνο ρυκμό κϊδικα (code rate = 1/4) και για κανονικό μικοσ πλαιςίου (βλ. Κεφάλαιο 4) Καθοριςμόσ ειςόδων/εξόδων Ζνασ ςειριακόσ BCH κωδικοποιθτισ χρειάηεται τουλάχιςτον τρία ςιματα ειςόδου του 1 bit (και το ρολόι) και δφο ςιματα εξόδου του 1 bit, όπωσ φαίνεται ςτο Σχιμα 5.1. Ραρακάτω δίνεται θ περιγραφι των ςθμάτων αυτϊν κακϊσ και οριςμζνεσ προδιαγραφζσ χρονιςμϊν που πρζπει να πλθροφν. Είςοδοι Message: Θ είςοδοσ αυτι δίνει ςειριακά τα k bits τθσ πλθροφορίασ προσ κωδικοποίθςθ, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits. Τα bits πλθροφορίασ πρζπει να δίνονται ςτθν είςοδο με τζτοιο τρόπο ϊςτε ςε κάκε ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ να είναι διακζςιμο ζνα νζο bit. Μετά τα k bits πλθροφορίασ πρζπει να ακολουκιςουν τουλάχιςτον άλλοι n k κφκλοι ρολογιοφ πριν δοκεί θ νζα λζξθ πλθροφορίασ. StartRst: Θ είςοδοσ αυτι είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ που δίνεται ζνα κφκλο ρολογιοφ πριν τθν αρχι μίασ νζασ λζξθσ ειςόδου (message). Στθν ουςία θ είςοδοσ αυτι κακαρίηει όλουσ τουσ καταχωρθτζσ, είναι δθλαδι μία είςοδοσ ςφγχρονου reset. Το ςιμα αυτό, άρα και θ πλθροφορία, δεν πρζπει να ζρχεται με ςυχνότθτα μεγαλφτερθ του 1 n, διότι ςε αυτι τθν περίπτωςθ ο κωδικοποιθτισ δεν κα ζχει προλάβει να ολοκλθρϊςει τθν κωδικοποίθςθ τθσ προθγοφμενθσ λζξθσ, με αποτζλεςμα τθν εςφαλμζνθ λειτουργία του. Enable: Σιμα ειςόδου που ενεργοποιεί (enable = 1) ι απενεργοποιεί (enable = 0) το κφκλωμα με ςφγχρονο τρόπο. Πταν το κφκλωμα απενεργοποιείται κα πρζπει οπωςδιποτε να δοκεί ζνασ παλμόσ StartRst μαηί με το Enable για να τεκεί πάλι ςε λειτουργία. Clk: Το global clock του ςυςτιματοσ. Το ςφςτθμα διαβάηει τθν είςοδο και δίνει ζξοδο ςτθν ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ.

57 57 Έξοδοι Codeword: Θ ζξοδοσ αυτι δίνει ςειριακά και ςυγχρονιςμζνα με το ρολόι τα n bits τθσ κωδικοποιθμζνθσ λζξθσ, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits. Start: Θ ζξοδοσ αυτι είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ που δίνεται ζνα κφκλο ρολογιοφ πριν από τθν αρχι τθσ κωδικοποιθμζνθσ λζξθσ (codeword). χήμα 5.1 Μοντζλο δομισ ενόσ BCH κωδικοποιθτι ςτο πιο υψθλό επίπεδο αφαιρετικότθτασ Κατόπιν, το πρόβλθμα τθσ κωδικοποίθςθσ χωρίηεται ςε δφο υποπροβλιματα, το ςχεδιαςμό του ενόσ Optimized LFSR για τθν κωδικοποίθςθ, όπωσ αυτό δίνεται ςτο Σχιμα 3.1, και το ςχεδιαςμό τθσ λογικισ ελζγχου του LFSR χεδύαςη του καταχωρητό ολύςθηςησ με ανϊδραςη Αρχικά, ςχεδιάςτθκε ζνασ καταχωρθτισ ολίςκθςθσ με ανάδραςθ των n k ςταδίων (βλ. Σχιμα 3.1). Το βαςικό δομικό ςτοιχείο του LFSR είναι ζνα block που περιζχει ζνα καταχωρθτι, μία πφλθ XOR (πρόςκεςθ ςτο GF(2)) και μία πφλθ AND (πολλαπλαςιαςμόσ ςτο GF(2)). Θ ςυνδεςμολογία των τριϊν αυτϊν components φαίνεται ςτο Σχιμα 5.2. Το δομικό αυτό ςτοιχείο αποτελεί ςτθν ουςία ζνα ςτάδιο του LFSR, οπότε ο ςυνδυαςμόσ n k τζτοιων blocks με μία επιπλζον πφλθ XOR ακριβϊσ μετά το τελευταίο ςτάδιο καταλιγει ςτο ηθτοφμενο αποτζλεςμα. Κάκε καταχωρθτισ του LFSR αρχικοποιείται ςτο 0. Το Q είναι θ ζξοδοσ προσ το επόμενο ςτάδιο, ενϊ το InFB είναι θ είςοδοσ από τθν ανάδραςθ (feedback) θ οπoία πολλαπλαςιάηεται με τον κατάλλθλο ςυντελεςτι του πολυωνφμου γεννιτορα G_coeff. Το Q_prev είναι θ είςοδοσ από το προθγοφμενο ςτάδιο του LFSR. Τζλοσ, οι είςοδοι Reset και En ςυνδζονται ςτα ςιματα StartRst και Enable αντίςτοιχα, πραγματοποιϊντασ τισ λειτουργίεσ που ζχουν ιδθ αναφερκεί.

58 58 χήμα 5.2 Βαςικό δομικό ςτοιχείο του LFSR χεδύαςη τησ λογικόσ ελϋγχου Ππωσ περιγράφθκε αναλυτικά ςτθν ενότθτα 3.3 ο LFSR χρειάηεται k κφκλουσ ρολογιοφ για να υπολογίςει όλα τα bits ιςοτιμίασ και επιπλζον n k κφκλουσ ρολογιοφ για να τα ολιςκιςει ςτθν ζξοδο του κωδικοποιθτι. Συνεπϊσ θ control λογικι του κωδικοποιθτι κα αποτελείται από ζνα μετρθτι που μετράει ωσ το n (τουλάχιςτον) και τθν κατάλλθλθ ςυνδυαςτικι λογικι που κα δίνει μία κακοριςμζνθ τιμι ςτο ςιμα ελζγχου ανάλογα με τθν τιμι του μετρθτι. Χρθςιμοποιϊντασ για απλοποίθςθ των ςχθμάτων το παράδειγμα ενόσ BCH(15,5,3) κϊδικα με πολυϊνυμο γεννιτορα g x = x 10 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1, το block που μόλισ περιγράφθκε δίνεται ςτο Σχιμα 5.3. Το κφκλωμα ελζγχου δζχεται ωσ είςοδο τα ςιματα Enable και StartRst ςτα αντίςτοιχα ςιματα ειςόδου του, που κακορίηουν πότε κα ξεκινιςει θ μζτρθςθ, και βγάηει ςτθν ζξοδο OutpSel λογικό 1 για τουσ 5 πρϊτουσ κφκλουσ ρολογιοφ και λογικό 0 για τουσ υπόλοιπουσ 10. Με ζναν παλμό StartRst θ ζξοδοσ γίνεται reset ςτο 0. χήμα 5.3 Λογικι ελζγχου του κωδικοποιθτι BCH(15,5,3)

59 59 Θ ζξοδοσ OutpSel τθσ λογικισ ελζγχου χρθςιμοποιείται ωσ ςιμα επιλογισ εξόδου ςε δφο πολυπλζκτεσ, οι οποίοι παίηουν το ρόλο των διακοπτϊν που φαίνονται ςτο Σχιμα 3.1. Το πλιρεσ μοντζλο για το τελικό κφκλωμα του κωδικοποιθτι που προκφπτει φαίνεται ςτο Σχιμα 5.4. χήμα 5.4 Κωδικοποιθτισ BCH(15,5,3) Έλεγχοσ λειτουργύασ του ςυςτόματοσ Ο ζλεγχοσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ γίνεται μζςω του block εξομοίωςθσ WaveScope που παρζχει το System Generator, αλλά και μζςω του workspace του MATLAB. Αρχικά ςχεδιάςτθκε ζνασ BCH(15,5,3) κωδικοποιθτισ ςε κϊδικα MATLAB, ϊςτε να είναι εφικτόσ ο ζλεγχοσ τθσ ορκισ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ. Ο κϊδικασ αυτόσ δίνεται ςτο Ραράρτθμα. Θ λζξθ message τροφοδοτείται bit προσ bit ςτο κφκλωμα, ενϊ ο απαραίτθτοσ χρονιςμόσ των ςθμάτων ειςόδου επιτυγχάνεται με χριςθ ενόσ Stateflow του Simulink. Αρχικά ελζγχουμε το ςιμα Enable. Σφμφωνα με το ςχεδιαςμό του κυκλϊματοσ, όταν το Enable ζχει τθ λογικι τιμι 0, το κφκλωμα δεν λειτουργεί. Ξεκινϊντασ με Enable = 0 περιμζνουμε ότι δεν κα δοφμε καμία αλλαγι ςτθν ζξοδο, ακόμα και αν εφαρμόηεται είςοδοσ και παλμόσ StartRst. Στο Σχιμα 5.5 φαίνονται οι κυματομορφζσ ειςόδου και εξόδου του κυκλϊματοσ. Το ςιμα Clock είναι το simulation clock του System Generator με T = 1s.

60 60 χήμα 5.5 Αποτελζςματα εξομοίωςθσ για Enable = 0 Ζςτω τϊρα ότι κζλουμε να κωδικοποιιςουμε μία τυχαία λζξθ, τθν Από τθ κεωρία τθσ BCH κωδικοποίθςθσ γνωρίηουμε ότι θ κωδικοποιθμζνθ λζξθ για το ςυγκεκριμζνο παράδειγμα ( BCH(15,5,3) με πολυϊνυμο γεννιτορα g x = x 10 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + x + 1 ) είναι, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits, Ο LFSR περνάει τα 5 ειςερχόμενα bits κατευκείαν ςτθν ζξοδο, χωρίσ επιπλζον κακυςτζρθςθ, και κατόπιν βγάηει τα bits ιςοτιμίασ, όπωσ φαίνεται ςτο Σχιμα 5.6. Ραρατθρϊντασ τθν τιμι τθσ εξόδου ςε κάκε ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ, βλζπουμε ότι τα αποτελζςματα είναι ςωςτά. Μετά το τζλοσ τθσ εξόδου των 15 bits τθσ κωδικολζξθσ, ο LFSR είναι πάλι μθδενιςμζνοσ και ζτοιμοσ να δεχκεί ζνα νζο ςιμα StartRst και μία νζα λζξθ ειςόδου. χήμα 5.6 Αποτελζςματα εξομοίωςθσ για Enable = 1 και είςοδο τθ λζξθ Στθν ουςία ο LFSR δεν χρειάηεται να γίνεται reset κάκε φορά, αλλά μόνο τθν πρϊτθ, αρκεί οι λζξεισ να ζρχονται ςτθν είςοδο ανά ακριβϊσ n κφκλουσ ρολογιοφ. Για να αποφευχκοφν όμωσ τυχόν λάκθ που μπορεί να προκφψουν από λάκοσ χρονιςμό τθσ ειςόδου, χρθςιμοποιείται κάκε φορά το ςιμα StartRst, το οποίο εξαςφαλίηει ότι ο LFSR είναι ςτθ ςωςτι αρχικι κατάςταςθ. Στο Σχιμα 5.7 φαίνεται θ κωδικοποίθςθ δφο διαδοχικϊν λζξεων,

61 61 θ οποία και πάλι πραγματοποιείται ςωςτά από το κφκλωμα αρκεί να ικανοποιοφνται οι προδιαγραφζσ χρονιςμοφ των ςθμάτων ειςόδου. χήμα 5.6 Αποτελζςματα εξομοίωςθσ για Enable = 1 και είςοδο τισ λζξεισ και Αν και ςτθν περίπτωςθ του BCH(15,5,3) κϊδικα θ επαλικευςθ των αποτελεςμάτων μπορεί να γίνει εφκολα από τισ κυματομορφζσ τθσ εξομοίωςθσ, κάτι τζτοιο δεν κα ιταν εφικτό για ζνα κϊδικα με μεγαλφτερο μζγεκοσ block, όπωσ οι κϊδικεσ που χρθςιμοποιοφνται ςτο DVB- S2. Γι αυτό το λόγο επιβάλλεται να γίνει επαλικευςθ των αποτελεςμάτων και μζςω τθσ MATLAB. Ζτςι ςυνδζουμε ςτθν ζξοδο του κυκλϊματοσ ζνα block (Sink Σχιμα 5.4) το οποίο χρθςιμοποιεί τα ςιματα Enable και Start για να ςυγχρονιςτεί και ζτςι αποκθκεφει κάκε λζξθ εξόδου ςε μία μεταβλθτι Data_out ςτο workspace τθσ MATLAB. Ζτςι, είναι δυνατό να ελεγχκεί θ λειτουργία του κυκλϊματοσ με πολφ απλζσ εντολζσ που εξετάηουν αν θ λζξθ Data_out ταυτίηεται με τθν κωδικι λζξθ codeword που παράχκθκε από τον κϊδικα MATLAB (βλ. Ραράρτθμα). 5.3 χεδύαςη του BCH αποκωδικοποιητό Ζνασ BCH αποκωδικοποιθτισ είναι πολφ πιο πολφπλοκοσ από ζνα κωδικοποιθτι. Γι αυτό το λόγο και εδϊ επιβάλλεται να χωριςτεί το πρόβλθμα ςε υποπροβλιματα, κάκε ζνα από το οποία κα ςχεδιαςτεί και κα ελεγχκεί ωσ ζνα ξεχωριςτό ςφςτθμα. Συγκεκριμζνα, τα υποπροβλιματα αυτά είναι τα εξισ: Θ υλοποίθςθ του buffer Ο υπολογιςμόσ ςυνδρόμων Θ υλοποίθςθ του αλγορίκμου Berlekamp Θ υλοποίθςθ του αλγορίκμου Chien Θ υλοποίθςθ τθσ λογικισ ελζγχου των υποςυςτθμάτων

62 62 Στο Σχιμα 5.7 φαίνεται ο τρόποσ διαςφνδεςθσ των υποςυςτθμάτων αυτϊν που απαρτίηουν τον BCH αποκωδικοποιθτι. χήμα 5.7 Δομικό διάγραμμα ςφνδεςθσ υποςυςτθμάτων του BCH αποκωδικοποιθτι Και πάλι για απλοποίθςθ τθσ λογικισ και για να είναι πιο ευδιάκριτα τα ςχιματα κα χρθςιμοποιθκεί το παράδειγμα του BCH(15,5,3) αποκωδικοποιθτι με πολυϊνυμο γεννιτορα το g x = x 10 + x 8 + x 5 + x 4 + x 2 + x Καθοριςμόσ ειςόδων/εξόδων Στο πιο υψθλό επίπεδο αφαιρετικότθτασ ο BCH αποκωδικοποιθτισ περιγράφεται ωσ ζνα μαφρο κουτί (black box) με τρεισ ειςόδουσ του 1 bit (και το ρολόι) και δφο εξόδουσ του 1 bit, ακριβϊσ όπωσ και ο κωδικοποιθτισ (Σχιμα 5.8). χήμα 5.8 Μοντζλο δομισ ενόσ BCH αποκωδικοποιθτι ςτο πιο υψθλό επίπεδο αφαιρετικότθτασ

63 63 Είςοδοι Codeword: Θ είςοδοσ αυτι δίνει ςειριακά τα n bits τθσ κωδικοποιθμζνθσ λζξθσ, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits. Τα bits τθσ κωδικοποιθμζνθσ λζξθσ πρζπει να δίνονται ςτθν είςοδο με τζτοιο τρόπο ϊςτε ςε κάκε ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ να είναι διακζςιμο ζνα νζο bit. Οι λζξεισ ειςόδου πρζπει να παρζχονται με τον κατάλλθλο χρονιςμό, που κα αναλυκεί αργότερα, ϊςτε να προλαβαίνει ο αποκωδικοποιθτισ να δϊςει τθ λζξθ εξόδου πριν λάβει μία καινοφρια λζξθ ςτθν είςοδο. StartRst: Θ είςοδοσ αυτι είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ που δίνεται ζνα κφκλο ρολογιοφ πριν τθν αρχι μίασ νζασ λζξθσ ειςόδου (Codeword). Στθν ουςία θ είςοδοσ αυτι κακαρίηει όλουσ τουσ καταχωρθτζσ, είναι δθλαδι μία είςοδοσ ςφγχρονου reset. Το ςιμα αυτό, άρα και θ πλθροφορία, κα πρζπει να ζρχονται με τθν κατάλλθλθ ςυχνότθτα ϊςτε ο αποκωδικοποιθτισ να ζχει προλάβει να ολοκλθρϊςει τθν αποκωδικοποίθςθ τθσ προθγοφμενθσ λζξθσ πριν ζρκει θ επόμενθ. Enable: Σιμα ειςόδου που ενεργοποιεί (enable = 1) ι απενεργοποιεί (enable = 0) το κφκλωμα με ςφγχρονο τρόπο. Πταν το κφκλωμα απενεργοποιείται κα πρζπει οπωςδιποτε να δοκεί ζνασ παλμόσ StartRst μαηί με το Enable για να τεκεί πάλι ςε λειτουργία. Clk: Το global clock του ςυςτιματοσ. Το ςφςτθμα διαβάηει τθν είςοδο και δίνει ζξοδο ςτθν ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ. Έξοδοι Message: Θ ζξοδοσ αυτι δίνει ςειριακά και ςυγχρονιςμζνα με το ρολόι τα bits τθσ αποκωδικοποιθμζνθσ λζξθσ, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits. Ανάλογα με το ςχεδιαςμό, μπορεί να δίνει είτε και τα n bits τθσ διορκωμζνθσ λζξθσ, είτε μόνο τα k bits αυτισ που αντιςτοιχοφν ςτθν πλθροφορία. Αφοφ θ κωδικοποίθςθ είναι ςυςτθματικι και ο διαχωριςμόσ τθσ πλθροφορίασ από τα ψθφία ιςοτιμίασ μπορεί να γίνει πολφ εφκολα, επιλζγουμε εδϊ τθν πρϊτθ λφςθ για να είναι εμφανζσ ότι γίνεται διόρκωςθ ολόκλθρθσ τθσ λζξθσ. Start: Θ ζξοδοσ αυτι είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ που δίνεται ζνα κφκλο ρολογιοφ πριν από τθν αρχι τθσ κωδικοποιθμζνθσ λζξθσ (codeword) Η υλοπούηςη του buffer Ο ρόλοσ του buffer είναι να χρονοκακυςτερεί τθν κωδικι λζξθ ειςόδου μζχρισ ότου και το block που υλοποιεί τον αλγόρικμο Chien να ζχει διακζςιμθ τθν πρϊτθ ζξοδό του, θ οποία κα προςτεκεί με το πιο ςθμαντικό bit τθσ κωδικισ λζξθσ ειςόδου για να το διορκϊςει, αν χρειάηεται. Συνεπϊσ, για μικροφσ αποκωδικοποιθτζσ ο buffer αυτόσ μπορεί να υλοποιθκεί με μία ςειρά από καταχωρθτζσ, οι οποίοι χρονοκακυςτεροφν το ςιμα ειςόδου κατά τον επικυμθτό αρικμό κφκλων ρολογιοφ.

64 64 Στθν περίπτωςθ όμωσ που απαιτείται θ ςχεδίαςθ ενόσ μεγάλου αποκωδικοποιθτι, θ υλοποίθςθ με καταχωρθτζσ δεν είναι αποδοτικι. Γι αυτό χρθςιμοποιοφμε μία μνιμθ RAM, ςτθν οποία αποκθκεφουμε τθ λζξθ ειςόδου. Μετά από τον επικυμθτό αρικμό κφκλων ρολογιοφ, διαβάηουμε τα περιεχόμενα τθσ RAM bit προσ bit, ζτςι ϊςτε να βγαίνουν ςυγχρονιςμζνα με τθν ζξοδο του block που υλοποιεί τον αλγόρικμο Chien. Θ υλοποίθςθ αυτι του buffer φαίνεται ςτο Σχιμα 5.9. Τα ςιματα Wr και Rd ορίηουν πότε κα γίνεται αποκικευςθ και πότε ανάγνωςθ τθσ λζξθσ από τθ RAM. Για αποκικευςθ n bits χρθςιμοποιείται μία RAM με n κζςεισ του 1 bit, δθλαδι με μζγεκοσ n 1 bits. Ο counter απαρικμεί τισ κζςεισ μνιμθσ τθσ RAM ϊςτε να είναι δυνατι θ εγγραφι ι ανάγνωςθ κάκε bit ςε κάκε κζςθ. Ο counter μθδενίηεται είτε όταν ζρκει ςιμα Reset είτε όταν πάρει τθν τιμι n (κυκλικόσ buffer). χήμα 5.9 Υλοποίθςθ ενόσ buffer 15 1 bits Ο υπολογιςμόσ των ςυνδρόμων Ππωσ ζχει ιδθ αναφερκεί ςτο Κεφάλαιο 3, το πρϊτο βιμα τθσ αποκωδικοποίθςθσ είναι ο υπολογιςμόσ των ςυνδρόμων. Ζχουμε δείξει ότι αν r(x) είναι το πολυϊνυμο που αντιςτοιχεί ςτθ λζξθ που λαμβάνει ο δζκτθσ τότε τα ςφνδρομα δίνονται από τισ Σχζςεισ 2.14 και Σφμφωνα με τα κυκλϊματα που περιγράφθκαν ςτθν παράγραφο 2.2.6, προκφπτει το κφκλωμα του Σχιματοσ 5.10 για τον υπολογιςμό των τεςςάρων πρϊτων ςυνδρόμων για τον BCH(15,5,3). Χρειαηόμαςτε ςυνεπϊσ ζνα υποςφςτθμα που να πραγματοποιεί τισ διαιρζςεισ τθσ κωδικισ λζξθσ με τα t ελάχιςτα πολυϊνυμα και ζνα υποςφςτθμα που από τουσ ςυντελεςτζσ του υπολοίπου των προθγοφμενων διαιρζςεων να υπολογίηει τα ςφνδρομα. Σχθματικά, προκφπτει το ςφςτθμα του Σχιματοσ 5.11.

65 65 χήμα 5.10 Κφκλωμα υπολογιςμοφ των τεςςάρων πρϊτων ςυνδρόμων για το BCH(15,5,3) Σε κάκε ζνα από τα blocks που βρίςκονται αριςτερά περιζχεται ζνασ LFSR, όπωσ αυτόσ υλοποιικθκε και ςτθν περίπτωςθ του κωδικοποιθτι, ο οποίοσ πραγματοποιεί τθ διαίρεςθ με κάκε ζνα από τα ελάχιςτα πολυϊνυμα. Σθμειϊνεται ότι κάκε ςτοιχείο a i του GF(2 m ) ζχει το ίδιο ελάχιςτο πολυϊνυμο με όλα τα ςτοιχεία του πεδίου τθσ μορφισ (a i ) 2l, άρα χρειάηονται μόνο t διαιρζςεισ για τον υπολογιςμό των 2t ςυνδρόμων.

66 66 χήμα 5.11 Υλοποίθςθ υπολογιςμοφ των ςυνδρόμων για BCH(15,5,3) Η υλοπούηςη του αλγορύθμου Berlekamp Ππωσ ζχει περιγραφεί ςτθν Ραράγραφο 3.4.2, ο αλγόρικμοσ Berlekamp μπορεί να υλοποιθκεί με τζςςερισ καταχωρθτζσ: ζνα καταχωρθτι ολίςκθςθσ για τα ςφνδρομα, ζνα απλό καταχωρθτι για τουσ ςυντελεςτζσ του σ x, ζνα για τουσ ςυντελεςτζσ του ενδιάμεςου πολυωνφμου Β x και ζνα για τα γινόμενα σ j S μ j. Στθν πράξθ πρζπει να προςκζςουμε ζναν ακόμα καταχωρθτι, ο οποίοσ κα κρατάει τισ προθγοφμενεσ τιμζσ των ςυντελεςτϊν του σ x. Πλοι οι καταχωρθτζσ αποτελοφνται από ςτοιχεία του GF(2 m ), δθλαδι κάκε ςτάδιο τουσ αποτελείται από m bits. Για απλοποίθςθ προςκζτουμε ζνα ακόμα ςτάδιο ςε κάκε καταχωρθτι ολίςκθςθσ, το οποίο χρειάηεται για τισ αρχικζσ ςυνκικεσ. Ο ακροιςτισ είναι ζνασ Galois ακροιςτισ, που υλοποιείται όπωσ ςτο Σχιμα 2.1. Θ ζξοδοσ του περνάει ςε ζνα κφκλωμα που υπολογίηει τον αντίςτροφο ενόσ ςτοιχείου ενόσ πεδίου Galois, το οποίο μπορεί πολφ απλά να υλοποιθκεί με ζνα lookup table, δθλαδι μία μνιμθ ROM μεγζκουσ 2 m m bits. Συμβολίηουμε τον καταχωρθτι ολίςκθςθσ για τα ςφνδρομα με S, τον καταχωρθτι για τουσ νζουσ ςυντελεςτζσ του σ x με Lup, τον καταχωρθτι για τουσ προθγοφμενουσ ςυντελεςτζσ του σ x με Lold, τον καταχωρθτι για τουσ ςυντελεςτζσ του ενδιάμεςου πολυωνφμου Β x με Β και τζλοσ τον καταχωρθτι για τα γινόμενα σ j S μ j με LSreg.

67 67 Αρχικοποιοφμε τουσ καταχωρθτζσ Lup και Breg ζτςι ϊςτε να περιζχουν τα πολυϊνυμα σ x = 1 και Β x = 1. Μία πλιρθσ επανάλθψθ του αλγορίκμου Berlekamp μπορεί να περιγραφεί ακολουκιακά με τα εξισ βιματα: Ολίςκθςθ του καταχωρθτι S κατά δφο ςτάδια Ρολλαπλαςιαςμόσ κάκε ςυνδρόμου με τουσ ςυντελεςτζσ του Lup, δθλαδι L up i S k i Άκροιςμα των γινομζνων: L up i S k i = d Φόρτωςθ των περιεχομζνων του Lup ςτον Lold Ενθμζρωςθ του καταχωρθτι Lup: L up old i = db i 1 + L i Ενθμζρωςθ του καταχωρθτι Β: B i 2 αν d = 0 Β i = old L i 1 d αν d 0 Συνεπϊσ, θ υλοποίθςθ του αλγορίκμου απαιτεί εκτόσ από καταχωρθτζσ και Galois πολλαπλαςιαςτζσ και ακροιςτζσ, ζνα Galois αντιςτροφζα, πολυπλζκτεσ και τθ λογικι ελζγχου του ςυςτιματοσ, θ οποία εξαςφαλίηει το ςωςτό χρονιςμό των ςθμάτων. Το διάγραμμα δομισ τθσ υλοποίθςθσ του αλγορίκμου Berlekamp φαίνεται το Σχιμα Πλεσ οι διαςυνδζςεισ είναι buses των m bits. χήμα 5.12 Διάγραμμα δομισ τθσ υλοποίθςθσ του αλγορίκμου Berlekamp

68 68 Galois ακροιςτισ Θ υλοποίθςθ ενόσ ακροιςτι ςτοιχείων του GF(2 m ) είναι ιδιαίτερα απλι, κακϊσ ςυνίςταται από τθν modulo 2 άκροιςθ των επιμζρουσ ςυντελεςτϊν κάκε ςτοιχείου, όπωσ φαίνεται ςτο Σχιμα 2.1. Στο System Generator θ άκροιςθ ςτοιχείων του GF(2 4 ) υλοποιείται όπωσ φαίνεται ςτο Σχιμα χήμα 5.13 Galois ακροιςτισ ςτοιχείων του GF(2 4 ) Στισ ειςόδουσ Α και Β ζχουμε buses των m bits, τα οποία και χωρίηουμε bit προσ bit με το block Slice. To block αυτό δεν ζχει κακόλου κόςτοσ ςε hardware. Στθν ανερχόμενθ παρυφι του ρολογιοφ κάκε πφλθ XOR δίνει ςτθν ζξοδό τθσ ζνα ςυντελεςτι του ακροίςματοσ, και οι m ςυντελεςτζσ ςυνενϊνονται ςε ζνα bus των m bits. Galois πολλαπλαςιαςτισ Ο πολλαπλαςιαςμόσ δφο ςτοιχείων του GF(2 m ) αναλφκθκε ςτθν Ενότθτα και θ υλοποίθςθ του φαίνεται ςτο Σχιμα 2.4. Αν και ο πολλαπλαςιαςμόσ, όπωσ αναφζρκθκε, απαιτεί m κφκλουσ ρολογιοφ, ςτθν υλοποίθςθ που φαίνεται ςτο Σχιμα 5.14 απαιτείται ζνασ επιπλζον κφκλοσ ρολογιοφ για να φορτωκοφν οι ςυντελεςτζσ του Β ςτον κυκλικό καταχωρθτι C register. Ζτςι ςτθν ςυγκεκριμζνθ υλοποίθςθ ο πολλαπλαςιαςμόσ απαιτεί m + 1 κφκλουσ ρολογιοφ. Συνεπϊσ το ςιμα Enable κα ζχει διάρκεια m + 1 κφκλουσ, ενϊ κα πρζπει να δίνεται ζνασ παλμόσ 1 clk για τθ φόρτωςθ τθσ λζξθσ.

69 69 χήμα 5.14 Galois πολλαπλαςιαςμόσ ςτοιχείων του GF(2 4 ) Galois αντιςτροφζασ Ο αντίςτροφοσ ενόσ ςτοιχείου b του GF(2 m ) είναι το b n 1. Θ υλοποίθςθ του αντιςτροφζα λοιπόν μπορεί να γίνει με ζνα look-up table (LUT), δθλαδι μία μνιμθ 2 m κζςεων βάκουσ m bits. Στο System Generator υλοποιείται με ζνα από τα ζτοιμα blocks μνθμϊν ROM που παρζχονται. Για κϊδικα BCH(15,5,3) απαιτείται ROM 64bits, ενϊ για κϊδικα BCH(16200,16008,12) απαιτείται ROM 128Mbytes. Σε κάκε περίπτωςθ, θ μνιμθ αρχικοποιείται από κϊδικα MATLAB, ο οποίοσ δίνεται ςτο Ραράρτθμα. Καταχωρθτισ ολίςκθςθσ S Για αφξθςθ τθσ ταχφτθτασ, ο καταχωρθτισ ολίςκθςθσ S ςχεδιάςτθκε ζτςι ϊςτε να ολιςκαίνει κατά δφο ςτάδια ςε ζνα κφκλο ρολογιοφ. Επίςθσ με χριςθ πολυπλεκτϊν δίνεται θ δυνατότθτα φόρτωςθσ των τιμϊν των ςυνδρόμων για αρχικοποίθςθ του καταχωρθτι πριν από κάκε νζο κφκλο επαναλιψεων. Θ ςχεδίαςθ του καταχωρθτι ολίςκθςθσ φαίνεται ςτο Ραράρτθμα. Λοιποί καταχωρθτζσ Οι υπόλοιποι καταχωρθτζσ υλοποιοφνται απλά με t + 1 ςτάδια από registers των m bits. Λογικι ελζγχου Είναι απαραίτθτο όλεσ οι λειτουργίεσ που εκτελοφν τα παραπάνω κυκλϊματα να ςυγχρονιςτοφν, ϊςτε να γίνονται οι πράξεισ με τθ ςωςτι ςειρά και ςτο ςωςτό αρικμό επαναλιψεων. Με δεδομζνο πλζον το χρονιςμό ειςόδων/εξόδων των υποκυκλωμάτων, θ

70 70 ςχεδίαςθ τθσ λογικισ ελζγχου ςυνίςταται ςτο ςυνδυαςμό ενόσ κυκλικοφ μετρθτι με κυκλϊματα ςφγκριςθσ και πολυπλζκτεσ. Κακϊσ πολλά από τα ςιματα εξόδου τθσ λογικισ ελζγχου επαναλαμβάνονται απαιτείται και θ χριςθ καταχωρθτϊν για να κακυςτεροφν το ςιμα. Θ ζξοδοσ τθσ λογικισ ελζγχου είναι μία ςειρά από ςιματα enable τα οποία ενεργοποιοφν ι απενεργοποιοφν τα διάφορα κομμάτια του κυκλϊματοσ του Berlekamp αλγορίκμου με τθν κατάλλθλθ ςειρά. Εκτόσ από ςιματα enable, χρθςιμοποιοφνται και κάποια ςιματα load (βλ. Ραράρτθμα) για να φορτωκοφν οι τιμζσ εξόδου ενόσ προθγοφμενου block ςε ζνα επόμενο. Ζνα ςιμα load είναι ςτθ ουςία ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ ο οποίοσ χρθςιμεφει για να φορτωκοφν οι ςυντελεςτζσ ενόσ ςτοιχείου ςτον κυκλικό καταχωρθτι C register του κυκλϊματοσ πολλαπλαςιαςμοφ Yλοπούηςη του αλγορύθμου Chien Το διάγραμμα δομισ του κυκλϊματοσ υλοποίθςθσ του αλγορίκμου Chien περιγράφθκε ςτθν Ενότθτα Το κφκλωμα αποτελείται από πολλαπλαςιαςτζσ και από μία πράξθ ςφγκριςθσ, και ςε κάκε παλμό ρολογιοφ διορκϊνει, αν χρειάηεται, και από ζνα bit, ξεκινϊντασ από τα πιο ςθμαντικά bits. χήμα 5.15 Κφκλωμα υλοποίθςθσ του αλγορίκμου Chien για BCH(15,5,3) Θ υλοποίθςθ του κάκε πολλαπλαςιαςτι αυτι τθ φορά δεν υλοποιείται όπωσ ςτο Σχιμα 5.14, διότι τϊρα είναι εκ των προτζρων γνωςτό το ςτοιχείο με το οποίο πολλαπλαςιάηουμε. Συνεπϊσ κα χρθςιμοποιθκοφν πιο απλά κυκλϊματα, όπωσ αυτό του Σχιματοσ 2.2 τθσ

71 71 Ενότθτασ 2.2.4, που υλοποιεί πολλαπλαςιαςμό επί a. Ο πολλαπλαςιαςμόσ επί οποιοδιποτε α i υλοποιείται με κυκλϊματα που προκφπτουν με τον ίδιο τρόπο. Αφοφ πραγματοποιθκοφν οι πολλαπλαςιαςμοί πρζπει να γίνει να ελεγχκεί αν t t k=1 σ k = 1 ι ιςοδφναμα αν k=0 σ k = 0. Στθν παροφςα υλοποίθςθ ελζγχεται θ ςυνκικθ τθσ δεφτερθσ μορφισ με μία πράξθ XOR, ζτςι ϊςτε θ ζξοδοσ να είναι 1 όταν υπάρχει λάκοσ. Για ζνα BCH(15,5,3) κϊδικα το κφκλωμα που υλοποιεί τον αλγόρικμο Chien φαίνεται ςτο Σχιμα Τα λευκά blocks πραγματοποιοφν τουσ πολλαπλαςιαςμοφσ και οι ςυντελεςτζσ των εξόδων τουσ προςτίκενται. Τζλοσ, ελζγχεται αν το αποτζλεςμα είναι ίςο με το μθδζν. Με βάςθ τισ παραπάνω περιγραφζσ είναι ςαφζσ ότι θ ζξοδοσ ErrorBit πρζπει να βγαίνει ςυγχρονιςμζνα με τθ λθφκείςα λζξθ από το buffer. Αν υπάρχει λάκοσ τότε το αντίςτοιχο bit του ςιματοσ ErrorBit είναι 1, ϊςτε προςτικζμενο με το λάκοσ bit τθσ λθφκείςασ λζξθσ να του αλλάξει τιμι. Αν δεν υπάρχει λάκοσ, το αντίςτοιχο bit του ErrorBit είναι μθδζν και θ πρόςκεςι του ςτο bit τθσ λθφκείςασ λζξθσ δεν ζχει καμία επίδραςθ πάνω τθσ Τλοπούηςη τησ λογικόσ ελϋγχου των υποςυςτημϊτων Θ λογικι ελζγχου και πάλι υλοποιείται με ζνα μετρθτι και κυκλϊματα ςφγκριςθσ. Στο ςχιμα 5.16 φαίνονται τα διάφορα ςιματα εξόδου τθσ λογικισ αυτισ. χήμα 5.16 Σιματα εξόδου τθσ λογικισ ελζγχου του αποκωδικοποιθτι BCH(15,5,3) Περιγραφι ςθμάτων EnableSyndromeCalc: Το ςιμα αυτό είναι το πρϊτο που παράγεται, και ενεργοποιεί τον υπολογιςμό των ςυνδρόμων, δθλαδι το πρϊτο βιμα τθσ αποκωδικοποίθςθσ. Το ίδιο ςιμα χρθςιμοποιείται και ωσ ςιμα Wr του buffer, διότι οι δφο αυτζσ λειτουργίεσ γίνονται ταυτόχρονα και απαιτοφν τον ίδιο αρικμό κφκλων ρολογιοφ. Ζχει διάρκεια n κφκλουσ ρολογιοφ, κακϊσ τόςοι κφκλοι απαιτοφνται για τθν εγγραφι τθσ λζξθσ ειςόδου ςτο buffer αλλά και για τθ λειτουργία των LFSR που υπολογίηουν τα ςφνδρομα.

72 72 LoadSynReg,EnableBerlekamp: Μόλισ τα ςφνδρομα είναι πλζον διακζςιμα, παράγονται αυτά τα δφο ςιματα. Το ςιμα LoadSynReg είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ, που χρθςιμοποιείται για να φορτϊςει τισ τιμζσ των ςυνδρόμων ςτον κυκλικό καταχωρθτι Sreg. Το ςιμα EnableBerlekamp ενεργοποιεί το κφκλωμα που υλοποιεί τον αλγόρικμo Berlekamp. Θ διάρκειά του κα είναι το άκροιςμα του ενόσ κφκλου που απαιτεί θ φόρτωςθ του καταχωρθτι Sreg ςυν το χρόνο που απαιτοφν οι t επαναλιψεισ του αλγορίκμου. Κάκε επανάλθψθ απαιτεί 2m + 1 κφκλουσ, άρα ςυνολικά το ςιμα αυτό ζχει διάρκεια t 2m κφκλουσ ρολογιοφ. LoadLreg,EnableChienSearch: Αντίςτοιχα, το ςιμα LoadLreg είναι ζνασ παλμόσ μικουσ ενόσ κφκλου ρολογιοφ, που χρθςιμοποιείται για να φορτϊςει τισ τιμζσ των ςυντελεςτϊν του σ(x) ςτουσ καταχωρθτζσ των πολλαπλαςιαςτϊν του επόμενου κυκλϊματοσ. Ζτςι το ςιμα EnableChienSearch ζχει διάρκεια n + 1 κφκλουσ ρολογιοφ. EnableOutput: Το ςιμα αυτό είναι το ςιμα Rd του buffer, και ενεργοποιεί τθν ανάγνωςθ του buffer ζτςι ϊςτε οι ζξοδοι του buffer και του block που υλοποιεί τον αλγόρικμο Chien να ζχουν τον κατάλλθλο ςυγχρονιςμό Έλεγχοσ λειτουργύασ του ςυςτόματοσ Ο ζλεγχοσ τθσ λειτουργίασ του ςυςτιματοσ πραγματοποιικθκε και με χριςθ κϊδικα MATLAB, αλλά και με τθ βοικεια των κυματομορφϊν του WaveScope, όπωσ και ςτον κωδικοποιθτι. Σαν παράδειγμα, παρουςιάηεται εδϊ θ αποκωδικοποίθςθ τθσ κωδικολζξθσ , ςτθν οποία ζχουν ειςαχκεί τρία λάκθ. Συνεπϊσ θ είςοδοσ του αποκωδικοποιθτι είναι θ λζξθ Τα αποτελζςματα τθσ εξομοίωςθσ φαίνονται ςτο Σχιμα χήμα 5.17 Αποτελζςματα εξομοίωςθσ για είςοδο

73 Κωδικοποιητόσ και αποκωδικοποιητόσ για το DVB-S2 Ραραπάνω αναλφκθκε ο ςχεδιαςμόσ του hardware με χριςθ του παραδείγματοσ ενόσ BCH(15,5,3) κϊδικα. Με βάςθ τισ παραπάνω τεχνικζσ ςχεδιάςτθκε και ζνασ κωδικοποιθτισ και αποκωδικοποιθτισ ςυμβατόσ με το πρότυπο DVB-S2, για ζνα BCH(16200,16008,12) κϊδικα. Θ υλοποίθςθ του κωδικοποιθτι είναι απλά μία επζκταςθ του κωδικοποιθτι που αναλφκθκε ςτο παράδειγμα, και δεν παρουςίαςε καμία επιπλζον δυςκολία πζραν του αυξθμζνου μεγζκουσ του κυκλϊματοσ. Θ υλοποίθςθ του αποκωδικοποιθτι όμωσ, όπωσ περιγράφθκε ςτθ Ενότθτα 5.3, βαςίςτθκε ςε κάποιεσ αλγεβρικζσ πράξεισ οι οποίεσ είναι δφςκολο να πραγματοποιθκοφν με το χζρι για ζνα κϊδικα διόρκωςθσ 12 λακϊν, οριςμζνο ςτο GF(2 16 ), όπωσ ο BCH(16200,16008,12). Συγκεκριμζνα, αυτό το πρόβλθμα παρουςιάςτθκε μόνο ςτα ςτάδια του ςχεδιαςμοφ του κυκλϊματοσ υπολογιςμοφ των ςυνδρόμων και του κυκλϊματοσ υλοποίθςθσ του αλγορίκμου Chien. Ραρακάτω αναλφεται πωσ αντιμετωπίςτθκαν τα προβλιματα αυτά. Υπολογιςμόσ των ςυνδρόμων Στο κφκλωμα υπολογιςμοφ των ςυνδρόμων το πρϊτο πρόβλθμα που παρουςιάςτθκε ιταν ο προςδιοριςμόσ των ελαχίςτων πολυωνφμων των ςτοιχείων a, a 3, a 5,, a 2t 1. Το πρόβλθμα αυτό αντιμετωπίςτθκε με χριςθ κατάλλθλου κϊδικα MATLAB, και ςυγκεκριμζνα τθσ ςυνάρτθςθσ gfminpol, θ οποία υπολογίηει τα ελάχιςτα πολυϊνυμα ςτοιχείων ενόσ οποιουδιποτε πεδίου GF(2 m ) με m 16. Το δεφτερο πρόβλθμα που παρουςιάςτθκε ιταν το πϊσ κα γίνει ο ςωςτόσ ςυνδυαςμόσ των ςυντελεςτϊν του b(x) ϊςτε να υπολογιςτεί το κάκε ζνα από τα 24 ςφνδρομα. Και πάλι με χριςθ κϊδικα MATLAB (βλ. Ραράρτθμα) καταςκευάςτθκε ζνασ πίνακασ S_matrix, ο οποίοσ ζχει τα εξισ χαρακτθριςτικά: Για κάκε ςφνδρομο S κάκε γραμμι του πίνακα αντιςτοιχεί ςε ζνα ςυντελεςτι του ςυνδρόμου, ενϊ κάκε ςτιλθ αντιςτοιχεί ςε ζνα ςυντελεςτι του αντίςτοιχου πολυωνφμου b(x). Για κάκε ςυντελεςτι του ςυνδρόμου (γραμμι του πίνακα) εμφανίηεται 1 ςτθ ςτιλθ του κάκε ςυντελεςτι του b(x) που πρζπει να προςτεκεί για να βρεκεί ο ςυντελεςτισ αυτόσ του ςυνδρόμου. Τα υπόλοιπα ςτοιχεία του πίνακα είναι 0. Συνεπϊσ με τθ βοικεια του πίνακα S_matrix και με τροποποίθςθ του κυκλϊματοσ ζτςι ϊςτε να δίνει τθ δυνατότθτα ςε κάκε ςυντελεςτι ενόσ ςυνδρόμου να μπορεί να προκφψει ωσ άκροιςμα οποιωνδιποτε ςυντελεςτϊν του b(x), λφνεται το πρόβλθμα. Μειονζκτθμα αυτισ τθσ μεκόδου είναι ότι απαιτεί πάρα πολφ μεγάλο area κακϊσ χρειάηεται να ςχεδιαςτοφν πολλοί ακροιςτζσ (ςυνολικά 2t ακροιςτζσ m ειςόδων) χωρίσ όμωσ να χρθςιμοποιοφνται όλεσ οι είςοδοί τουσ.

74 74 Υλοποίθςθ του αλγορίκμου Chien Για τθν υλοποίθςθ του αλγορίκμου Chien απαιτείται θ χριςθ πολλαπλαςιαςτϊν ενόσ ςτοιχείου του GF(2 16 ) επί a, a 2,, a 12. Θ υλοποίθςθ των πολλαπλαςιαςτϊν αυτϊν με χριςθ κυκλωμάτων όπωσ αυτό του Σχιματοσ 2.2 δεν είναι εφικτι, διότι αυτι θ υλοποίθςθ βαςίηεται ςε αλγεβρικζσ πράξεισ, οι οποίεσ ςτθν περίπτωςθ του BCH(16200,16008,12) είναι πολφ πολφπλοκεσ. Γι αυτό το λόγο χρθςιμοποιείται το κφκλωμα πολλαπλαςιαςμοφ του Σχιματοσ 2.4 με ζνα επιπλζον ςιμα control που μπαίνει ωσ είςοδοσ ςε όλεσ τισ πφλεσ AND. Ρρζπει να χρθςιμοποιθκοφν t τζτοια κυκλϊματα, και ςτον Register C του κακενόσ φορτϊνονται οι ςυντελεςτζσ του αντίςτοιχου a i ενϊ ςτον Register B οι ςυντελεςτζσ του σ(x). Μετά από m κφκλουσ ρολογιοφ με control=1 το κφκλωμα κα ζχει υπολογίςει τo σ(a). Τότε απενεργοποιοφνται οι πφλεσ AND κζτοντασ control=0, δθλαδι δουλεφει μόνο ο LFSR Α. Ζτςι ςτον m + 1 κφκλο ρολογιοφ υπολογίηεται το σ(a 2 ), ςτον m + 2 κφκλο το σ(a 3 ) κ.ο.κ. Μειονζκτθμα τθσ μεκόδου αυτισ είναι ότι προςκζτει μία κακυςτζρθςθ m κφκλων ρολογιοφ μζχρι να υπολογιςτεί θ πρϊτθ ζξοδοσ. Κατά ςυνζπεια, απαιτεί και μία μικρι αλλαγι ςτο κφκλωμα τθσ λογικισ ελζγχου για το ςυγχρονιςμό των ςθμάτων. 5.5 υμπερϊςματα και προτϊςεισ για περαιτϋρω ϋρευνα Στθν παροφςα εργαςία μελετικθκαν οι κϊδικεσ BCH και ςχεδιάςτθκαν κυκλϊματα κωδικοποίθςθσ και αποκωδικοποίθςθσ για BCH κϊδικεσ, με χριςθ του εργαλείου XILINX System Generator. Οι BCH κϊδικεσ ορίηονται πάνω ςε πεδία Galois. Για αυτό το λόγο ςτο Κεφάλαιο 2 παρουςιάςτθκε θ βαςικι κεωρία τθν άλγεβρασ πεπεραςμζνων πεδίων κακϊσ και τρόποι υλοποίθςθσ αρικμθτικισ πεπεραςμζνων πεδίων. Στο Κεφάλαιο 3 παρουςιάςτθκαν βαςικζσ ιδζεσ κυκλωμάτων κωδικοποίθςθσ και αποκωδικοποίθςθσ. Με βάςθ αυτζσ τισ γνϊςεισ, ςχεδιάςτθκε με αρκετά απλό και χαμθλισ πολυπλοκότθτασ hardware ο κωδικοποιθτισ. Ο αποκωδικοποιθτισ είναι εξ οριςμοφ ζνα πολφ πιο πολφπλοκο κφκλωμα, το πιο απαιτθτικό και αργό κομμάτι του οποίου είναι το υποκφκλωμα του Berlekamp αλγορίκμου. Το υποκφκλωμα αυτό παρουςιάηει κακυςτζρθςθ t 2m κφκλων ρολογιοφ. Αυτό μασ οδθγεί ςτα ακόλουκα ςυμπεράςματα: Θ κακυςτζρθςθ που ειςάγει ο Berlekamp είναι ανεξάρτθτθ των k και n. Συνεπϊσ ο ίδιοσ αποκωδικοποιθτισ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί για αποκωδικοποίθςθ οποιουδιποτε κϊδικα BCH(n, k) αρκεί να μθν αλλάηει ο αρικμόσ των λακϊν που αυτόσ διορκϊνει και το Galois πεδίο πάνω ςτο οποίο ορίηεται. Συνεπϊσ ο BCH(16200,16008,12) αποκωδικοποιθτισ που ςχεδιάςτθκε μπορεί να χρθςιμοποιθκεί και για τουσ BCH κϊδικεσ (21600,21408,12), (25920,25728,12), (32400,32208,12), (38880,38688,12), (48600,48408,12) και (51840,51648,12) που

75 75 χρθςιμοποιεί το πρότυπο DVB-S2, με μερικζσ μικρζσ αλλαγζσ ςτουσ μετρθτζσ τθσ λογικισ ελζγχου. Για τον BCH(15,5,3) αποκωδικοποιθτι θ κακυςτζρθςθ που ειςάγει ο Berlekamp είναι 46 κφκλοι ρολογιοφ, δθλαδι πολφ μεγάλθ ςε ςφγκριςθ με το n. Για τον BCH(16200,16008,12) όμωσ θ κακυςτζρθςθ του Berlekamp είναι 469 κφκλοι ρολογιοφ, δθλαδι πολφ μικρι ςυγκριτικά με το n, ακόμα κι αν προςκζςουμε τουσ επιπλζον 16 κφκλουσ που προςκζτει ο αλγόρικμοσ Chien ςε αυτι τθν περίπτωςθ. Συνεπϊσ, για μεγάλα μεγζκθ block ο θ υλοποίθςθ του Berlekamp γίνεται πιο αποδοτικι από άποψθ κακυςτζρθςθσ. Φυςικά, πολλά κομμάτια των κυκλωμάτων που περιγράφθκαν ςτθν παροφςα εργαςία μποροφν να βελτιςτοποιθκοφν. Οι παλμοί load που χρθςιμοποιοφνται για τθ φόρτωςθ των καταχωρθτϊν μποροφν, με προςεκτικι μελζτθ των χρονιςμϊν, να δίνονται ταυτόχρονα με άλλεσ λειτουργίεσ ϊςτε να μθν επιβαρφνουν περιςςότερο τθν κακυςτζρθςθ του κυκλϊματοσ. Επίςθσ είναι εφικτό να γίνει pipeline χρονοπρογραμματιςμόσ ςτο κομμάτι που αφορά τον αλγόρικμο Berlekamp. Συγκεκριμζνα, παρατθροφμε ότι κάποιεσ από τισ λειτουργίεσ του Berlekamp είναι ανεξάρτθτεσ και ςυνεπϊσ μποροφν να εκτελεςτοφν παράλλθλα, όπωσ για παράδειγμα θ πράξθ ενθμζρωςθσ του καταχωρθτι Β (τελευταίο βιμα μιασ επανάλθψθσ) με τθν πράξθ υπολογιςμοφ των γινομζνων L i up S k i και κατόπιν υπολογιςμοφ του d (πρϊτο βιμα μιασ επανάλθψθσ). Αυτό ςθμαίνει ότι είναι δυνατό να ξεκινιςουμε μία νζα επανάλθψθ πριν να τελειϊςει θ προθγοφμενθ, εξοικονομϊντασ χρόνο. Επιπλζον, τα κυκλϊματα αποκωδικοποίθςθσ που παρουςιάςτθκαν είναι δυνατό να επεκτακοφν με τζτοιο τρόπο ϊςτε να είναι εφικτι θ διόρκωςθ μεταβλθτοφ αρικμοφ λακϊν. Αυτό βαςίηεται ςτθ ιδζα ότι το βαςικό κφκλωμα αποκωδικοποίθςθσ είναι πάντα το ίδιο. Αν ζνασ αποκωδικοποιθτισ ςχεδιαςτεί ζτςι ϊςτε να διορκϊνει το μζγιςτο αρικμό λακϊν, τότε το μεγαλφτερο μζροσ του hardware μπορεί να χρθςιμοποιθκεί ςαν αποκωδικοποιθτισ διόρκωςθσ λιγότερων λακϊν. Σε αυτιν τθν περίπτωςθ απαιτείται μία επιπλζον είςοδοσ θ οποία κα κακορίηει το είδοσ του κϊδικα που χρθςιμοποιείται. Με βάςθ αυτι τθν είςοδο κα διαλζγονται από ζνα lookup table τα μεταβλθτά χαρακτθριςτικά του κϊδικα, όπωσ το k και το t. Αυτοί οι αρικμοί μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν ςαν μζροσ μίασ μθχανισ πεπεραςμζνων καταςτάςεων που ελζγχει τουσ μετρθτζσ.

76 76

77 77 Παρϊρτημα 1. Κϊδικασ MATLAB για κωδικοποίθςθ με BCH(15,5,3) %***********************BCH encoder (15,5,3)************************* n = 15; k = 5; %Calculate the generator polynomial [gen_poly, t] = bchgenpoly(n, k); %Descending powers %Encoding process for all possible messages message = [ ] %Possible messages rot = gf([1 zeros(1, n-k)]); information = conv(rot, message); %information is (x^(n-k))m(x) [Q1, parity] = deconv(information, gen_poly); %parity is (x^(n-k))m(x) mod g(x) codeword = information + parity; correct = codeword.x; code = codeword.x; %descending powers minpolys = gfminpol([1 3 5], [ ]) %ascending powers %******************************************************************** 2. Κϊδικασ MATLAB για αρχικοποίθςθ τθσ ROM (υπολογιςμόσ αντιςτρόφων ςτοιχείων) % Compute inverses for all GF(2^4) elements for lookup table Inverse = []; for i=0:1:15 b = gf(i,m); b_inv = b^(14); Inverse(i+1) = b_inv.x; end Data_out = []; %********************************************************************

78 3. Υλοποίθςθ του καταχωρθτι ολίςκθςθσ S 78

79 4. Υλοποίθςθ του αλγορίκμου Berlekamp 79