ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΙΟΣ Α.Μ

Transcript

1 ΡΕΙΙ ΡΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΙΟΣ Α.Μ ΔΙΡΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΓΑΣΙΑ ΕΡΙΒΛΕΡΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΑΡΤΗΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΑΘΗΝΑ,ΙΟΥΛΙΟΣ 2012

2 Η παροφςα Διπλωματικι Εργαςία εκπονικθκε ςτα πλαίςια των ςπουδϊν για τθν απόκτθςθ του Μεταπτυχιακοφ Διπλώματοσ Ειδίκευςθσ που απονζμει το Διαπανεπιςτθμιακό-Διατμθματικό Ρρόγραμμα Μεταπτυχιακϊν Σπουδϊν Διδακτικι και Μεκοδολογία των Μακθματικών Εγκρίκθκε τθν 4 θ Ιουλίου 2012 από Εξεταςτικι Επιτροπι αποτελοφμενθ από τουσ : Ονοματεπώνυμο Βακμίδα Τπογραφι 1. Ράπτθ Ευάγγελο Κακθγθτισ... (επιβλζπων Κακθγθτισ) 2. Λάππα Διονφςιο Αν. Κακθγθτισ Βάρςο Δθμιτριο Κακθγθτισ... 2

3 3

4 4 Στθν κόρθ μου Γεωργία

5 5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Αντί Προλόγου... 8 ΜΕΡΟ Ι 1. Πίνακεσ 1.1 Ρίνακεσ Είδθ πινάκων Μεταςχθματιςμοί Γραμμϊν Ρίνάκων Πολυώνυμα 2.1 Μονϊνυμα Ρολυϊνυμα Ανάγωγα Ρολυϊνυμα Μζγιςτοσ Κοινόσ Διαιρζτθσ Ρολυωνφμων Ευκλείδειοσ Αλγόρικμοσ Ελάχιςτο Κοινό Ρολλαπλάςιο Ρολυωνφμων Ρολυωνυμικζσ Εξιςϊςεισ Επίλυςθ Πολυωνυμικών Εξιςώςεων Μίασ Μεταβλθτισ Ρολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 1 ου βακμοφ Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Ρολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 2 ου βακμοφ Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Ρολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 3 ου βακμοφ Είδοσ ιηϊν Τριτοβάκμιασ Εξίςωςθσ Εφρεςθ του Είδουσ ιηϊν Τριτοβάκμιασ Εξίςωςθσ με τθν χριςθ τθσ Γλϊςςομάκειασ θ Μζκοδοσ Μεταςχθματιςμϊν Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Ρρόγραμμα επίλυςθσ εξίςωςθσ μζχρι τρίτου βακμοφ θ Μζκοδοσ Μεταςχθματιςμϊν Ρολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 4 ου βακμοφ Ρολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 5 ου βακμοφ και άνω Γραμμικζσ Απεικονίςεισ Πίνακασ Γραμμικισ Απεικόνιςθσ

7 ΜΕΡΟ ΙΙ 6. Διάταξθ Μονωνφμων Βάςεισ Groebner Ο Αλγόρικμοσ του Buchberger ΜΕΡΟ ΙΙΙ 9. Γραμμικά υςτιματα Μζκοδοσ Αντίκετων Συντελεςτϊν Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Μζκοδοσ Αντικατάςταςθσ Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Μζκοδοσ Cramer Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Η μζκοδοσ επίλυςθσ με τθν απαλοιφθ Gauss Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Μθ Γραμμικά υςτιματα Πολυωνφμων Μιασ Μεταβλθτισ Μζκοδοσ τθσ αντικατάςταςθσ Επίλυςθ με τθ χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Μζκοδοσ Ευκλείδειασ Διαίρεςθσ Διαίρεςθ Ρολυωνφμων με χριςθ του AXIOM Μθ Γραμμικά υςτιματα Πολυωνφμων Πολλών Μεταβλθτών Επίλυςθ υςτιματοσ με Βάςεισ Groebner Γραμμικά Συςτιματα Επίλυςθ με τθν χριςθ του AXIOM Μθ Γραμμικά Συςτιματα Επίλυςθ με τθν χριςθ του AXIOM Βιβλιογραφία Πθγζσ

8 Αντί Προλόγου Η παροφςα διπλωματικι εργαςία αναφζρεται κυρίωσ ςτισ μεκόδουσ επίλυςθσ ςυςτθμάτων, γραμμικϊν και μθ γραμμικϊν, κακϊσ και ςτθν καταςκευι προγραμμάτων για τθν επίλυςθ αυτϊν μζςω του εκπαιδευτικοφ περιβάλλοντοσ ΓλωςςοΜάκεια και του πακζτου ςυμβολικϊν υπολογιςμϊν AXIOM. Αναλυτικά, ςτο πρϊτο μζροσ παρουςιάηονται οι κυριότερεσ ζννοιεσ τθσ Άλγεβρασ, που μασ χρειάηονται για τθν επίλυςθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων. Εδϊ αναφζρονται ςτοιχεία του λογιςμοφ πινάκων, μια παρουςίαςθ των γραμμικϊν απεικονίςεων κακωσ και τθν ςχζςθ αυτϊν των δφο, μζςω του πίνακα τθσ γραμμικισ απεικόνιςθσ. Επίςθσ γίνεται εκτενισ αναφορά ςτα πολυϊνυμα, κυρίωσ ςτισ μεκόδουσ εφρεςθσ των ριηϊν πολυωνυμικϊν εξιςϊςεων μζχρι τετάρτου βακμοφ και τισ προυποκζςεισ επίλυςθσ μια πολυωνυμικισ εξίςωςθσ μεγαλφτερου βακμοφ. Το δεφτερο μζροσ τθσ εργαςίασ, αςχολειται με τισ βάςεισ Groebner, κακϊσ και τον αλγόρικμο του Buchberger για τθν εφρεςθ αυτϊν. Οι βάςεισ Groebner είναι το βάςικο εργαλείο επίλυςθσ μθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων, όπωσ παρουςιάηεται ςτο τρίτο μζροσ. Σε αυτό γίνεται αφενόσ μια αναλυτικι παρουςίαςθ των μεκόδων επίλυςθσ ςυςτθμάτων, αφετζρου θ καταςκευι προγραμμάτων για τθν επίλυςθ αυτϊν μζςω δφο λογιςμικϊν, τθσ ΓλωςςοΜάκειασ, κυρίωσ για τθν επίλυςθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων και του AXIOM, για τον υπολογιςμό των βάςεων Groebner και κατ επζκταςθ τθν επίλυςθ μθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων. Η επιλογι τθσ ΓλωςςοΜάκειασ ζγινε με δφο κριτιρια, εξίςου ςθμαντικά. Το πρϊτο είναι ότι το ςυγκεκριμζνο προγραμματιςτικό περιβάλλον είναι αυτό που υλοποιεί τθν γλϊςςα που διδάςκεται ςτα Λφκεια τθσ χϊρασ, και με αυτόν τον τρόπο, θ καταςκευι προγραμμάτων βοθκά τουσ μακθτζσ και ςτο να καταννοιςουν τισ μεκόδουσ επίλυςθσ που κζλουμε να διδάξουμε, αλλά ενιςχφουν και τισ γνϊςεισ τουσ πάνω ςτθν γλϊςςα προγραμματιςμοφ ςτθν οποία κα κλθκοφν να εξεταςκοφν ςτισ πανελλαδικζσ εξετάςεισ. Ο δεφτεροσ λόγοσ είναι ότι θ καταςκευι από τουσ μακθτζσ ζνοσ πρόγραμματοσ για τθν επίλυςθ ςυςτθμάτων ι πολυωνυμικϊν εξιςϊςεων είναι προτιμότερθ απο τθν χριςθ ενόσ απο τα πολλα λογιςμικά που κυκλοφοροφν ςτο διαδίκτυο, κακϊσ δεν βλζπουν απλά τθν λφςθ του προβλιματοσ, αλλά αντιλαμβάνονται κάκε βιμα τθσ επίλυςθσ του. Στο ςθμείο αυτό, κα ικελα να ευχαριςτιςω ιδιαίτερα τον επιβλζποντα κακθγθτι κ. Ευάγγελο άπτθ, για τθν υποςτιριξθ του ςτθν διάρκεια τθσ εκπόνθςθσ, κακϊσ και τουσ κακθγθτζσ κ.κ. Δθμιτριο Βάρςο και Διονφςιο Λάππα, για τθν τιμι που μου εκάναν να είναι μζλθ τθσ εξεταςτικισ επιτροπισ. 8

9 Τελειϊνοντασ, κα ικελα να ευχαριςτιςω όλουσ τουσ ςυντελεςτζσ του Ρρογράμματοσ Μεταπτυχιακϊν Σπουδϊν για τθν ςυνεργαςία τουσ και ιδιαίτερα τθν ςυνάδελφο και φίλθ Γεωργία Μυςτριϊτθ, με τθν οποία πορευκικαμε παράλλθλα ςε όλθ τθν διάρκεια του Ρρογράμματοσ. 9

10 ΜΕΟΣ Ι 10

11 Πίνακεσ Οριςμόσ Ζςτω ν και μ κετικοί ακζραιοι. Ονομάηουμε «Ρίνακα ν γραμμϊν και μ ςτθλϊν επί του R» ι απλοφςτερα ν x μ πίνακα επι του R, μια διάταξθ ςε ςχιμα ορκογωνίου παραλλθλογράμμου, που περιζχει ν x μ πλικοσ ςτοιχείων του R, τα οποία τοποκετοφνται εντόσ μιασ μεγάλθσ παρενκζςεωσ όπωσ παρακάτω. 1 2 μ 1 2 ν α 11 α 12 α 21 α 22 α 1μ α 2μ α ν1 α ν2 α νμ Ππου για i=1,2,,ν και j=1,2,,μ, το ςτοιχείο α ij ανικει ςτον R. Το ςτοιχείο α ij του πίνακα Α βρίςκεται ςτθν i- γραμμι και ςτθν j-ςτιλθ. Το ςφνολο όλων των ν x μ πινάκων με ςτοιχεία από το R ςυμβολίηεται R νxμ Οριςμόσ Δφο πίνακεσ Α και Β λζγονται ίςοι όταν ζχουν το ίδιο πλικοσ γραμμϊν και ςτθλϊν και τα αντίςτοιχα ςτοιχεία τουσ είναι ίςα. Δθλαδι αν Α = α 11 α 1ν α μ1 α μν και Β = β 11 β 1ν β μ1 β μν τότε Α=Β ανν α ij = β ij για κάκε 1 i ν, 1 j μ 1.2 Είδθ πινάκων Πίνακασ Γραμμι, Πίνακασ ςτιλθ και Πίνακασ ςτοιχείο Ζνασ πίνακασ που ζχει μόνο μια γραμμι, δθλαδι είναι 1 x μ, ονομάηεται πίνακασ γραμμι. Αντίςτοιχα, ζνασ πίνακασ μ x 1, δθλαδι ζνασ πίνακασ που ζχει μόνο μια ςτιλθ ονομάηεται πίνακασ ςτιλθ. Επίςθσ ζνασ πίνακασ που περιζχει μόνο ζνα ςτοιχείο, δθλαδι είναι 1 x 1, καλείται πίνακασ ςτοιχείο. 11

12 2 8 Για παράδειγμα αν Α= * , Β =, Γ = *7+, τότε ο πίνακασ Α είναι πίνακασ γραμμι, ο Β είναι πίνακασ ςτιλθ και ο Γ είναι πίνακασ ςτοιχείο Σετραγωνικόσ Πίνακασ Κάκε πίνακασ ν x ν, δθλαδι κάκε πίνακασ που ζχει το ίδιο πλικοσ γραμμϊν και ςτθλϊν, καλείται τετραγωνικόσ πίνακασ. α 11 α 12 α 13 Για παράδειγμα ο πίνακασ Α= α 21 α 22 α 23 είναι ζνασ τετραγωνικόσ πίνακασ. α 31 α 32 α 33 Τα ςτοιχεία α 11, α 22, α 33,, α νν, αποτελοφν τθν κφρια διαγϊνιο του τετραγωνικοφ πίνακα. Πταν όλα τα ςτοιχεία του πίνακα που δεν βρίςκονται ςτθν κφρια διαγϊνιο είναι 0, τότε ο πίνακασ καλείται διαγώνιοσ και ςυμβολίηεται diag(α 11, α 22, α 33,, α νν ) Πταν όλα τα ςτοιχεία του πίνακα που βρίςκονται κάτω (αντ. πάνω) από τθν κφρια διαγϊνιο είναι 0, τότε ο πίνακασ καλείται άνω τριγωνικόσ (αντ. κάτω τριγωνικόσ). Για παράδειγμα αν Α= , Β = , Γ = διαγϊνιοσ πίνακασ, ο Β είναι άνω τριγωνικόσ και ο Γ κάτω τριγωνικόσ. O A επίςθσ μπορεί να ςυμβολιςτεί και ωσ diag(7,5,5) Κλιμακωτοι Πίνακεσ Ζνασ πίνακασ καλείται κλιμακωτόσ, όταν, τότε ο Α είναι 1 ον Οι μθδενικζσ γραμμζσ του πίνακα βρίςκονται ςτο κάτω μζροσ αυτοφ, δθλαδθ πιο κάτω από τισ μθ μθδενικζσ γραμμζσ 2 ον Στισ μθ μθδενικζσ γραμμζσ, το πρϊτο από αριςτερά μθ μθδενικό ςτοιχείο, βρίςκεται δεξιότερα από το αντίςτοιχο τθσ προθγοφμενθσ (πιο πάνω) γραμμισ Για παράδειγμα ο Α= , είναι κλιμακωτόσ πίνακασ. Αν επίςθσ το πρϊτο μθ μθδενικό ςτοιχείο κάκε γραμμισ είναι το 1 και μάλιςτα είναι το μοναδικό μθ μθδενικό ςτοιχείο τθσ ςτιλθσ του, τότε ο πίνακασ καλείται ανθγμζνοσ κλιμακωτόσ. 12

13 0 1 0 Για παράδειγμα ο πίνακασ Α= είναι ανθγμζνοσ κλιμακωτόσ. 1.3 Μεταςχθματιςμοί Γραμμών Πίνάκων Οριςμόσ Ζςτω πίνακασ Α, ν x μ με ςτοιχεία από τον R. Οι παρακάτω μεταςχθματιςμοί ονομάηονται τοιχειώδεισ Μεταςχθματιςμοί των Γραμμών του Α. i) Ρολλαπλαςιάηουμε κάκε ςτοιχείο τθσ i- γραμμισ επι λ, ενϊ όλα τα υπόλοιπα ςτοιχεία του πίνακα παραμζνουν αναλλοίωτα. Το λ είναι ςτοιχείο του R διάφορο του 0. Συμβολικά : Γ i λγ i, λ 0 ii) Ρροςκζτουμε τα ςτοιχεία τθσ j-γραμμισ πολλαπλαςιαςμζνα με ζναν αρικμό λ 0 ςτα ςτοιχεία τθσ i-γραμμισ. Συμβολικά : Γ i Γ i + λγ j, λ 0 iii) Εναλλάςςουμε τθν i- γραμμι του πίνακα με μία j γραμμι του πίνακα Οριςμόσ Συμβολικά : Γ i Γ j Ζςτω Α και Β δφο ν x μ πίνακεσ. Θα λζμε ότι ο Α είναι γραμμοϊςοδφναμοσ προσ τον Β, αν ο Β μπορεί να προκφψει από τον Α με τθν εκτζλεςθ μιασ πεπεραςμζνθσ ακολουκίασ ςτοιχειωδϊν μεταςχθματιςμϊν γραμμϊν. Ραρατιρθςθ Αποδεικνφεται ότι - Κάκε πίνακασ μετατρζπεται ςε κλιμακωτό πίνακα με τθν εκτζλεςθ πεπεραςμζνου πλικουσ γραμμοπράξεων - Κάκε πίνακασ μετατρζπεται ςε ανθγμζνο κλιμακωτό πίνακα με τθν εκτζςεςθ πεπεραςμζνου πλθκουσ γραμμοπράξεων. Ο πίνακασ αυτόσ είναι μοναδικόσ. 13

14 1.3.3 Αλγόρικμοσ μετατροπισ πίνακα ςε ανθγμζνο κλιμακωτό Βιμα 1 o Bρίςκουμε τθν ςτιλθ του πίνακα, που περιζχει μθ μθδενικό ςτοιχείο και με κατάλλθλθ αντιμετάκεςθ δφο γραμμϊν μεταφζρουμε πρϊτθ κάποια γραμμι, που περιζχει ςτθ ςτιλθ αυτι μθ μθδενικό ςτοιχείο. Ρροτιμότερο είναι να μεταφζρουμε πρϊτθ εκείνθ τθ γραμμι που ζχει ςτθ ςτιλθ αυτι το μικρότερο απολφτωσ ςτοιχείο. Βιμα 2 ο Με κατάλλθλεσ γραμμοπράξεισ, μετατρζπουμε τα υπόλοιπα ςτοιχεία τθσ ςτιλθσ αυτισ ςε μθδζν. Βιμα 3 ο Εφόςον τελειϊςαμε με τθν πρϊτθ γραμμι, επαναλαμβάνουμε το 1 ο και το 2 ο βιμα ςτθν δεφτερθ γραμμι και οφτω κακεξισ μζχρι τθν τελευταία γραμμι. Βιμα 4 ο Κάνουμε μονάδα το πρϊτο από αριςτερά μθ μθδενικό ςτοιχείο κάκε γραμμισ. Παράδειγμα Να μετατραπεί ο πίνακασ Α= γραμμοπράξεισ ςε ανθγμζνο κλιμακωτό , με κατάλλθλεσ Γ 1 Γ 2, Γ 2 Γ 2 Γ 1, Γ 3 Γ 3 + Γ 1, Γ Γ 2, Γ 3 3Γ 2 2Γ 3, Γ 1 Γ 1 + Γ 3, Γ 2 Γ 2 + Γ 3, Γ 1 2Γ 1 3Γ 2, Γ Γ 1, Γ Γ 2, Γ 3 -Γ 3 Γ Α ~ 2 Γ 2 Γ 1 Γ3 Γ 3 +Γ 1 ~ ~ Γ 1 Γ 2 ~ ~ ~ Γ Γ 2 ~ ~ Γ 3 3Γ 2 2Γ 3 ~ ~ Γ ~ 1 Γ 1 +Γ 3 Γ2 Γ 2 +Γ 3 ~ ~ Γ 1 2Γ 1 3Γ 2 ~ ~ 14

15 Γ Γ 1 Γ ~ Γ2 Γ3 Γ 3 ~ Οριςμόσ Ζςτω ο πίνακασ Α R νxμ. Το πλόθοσ των μη μηδενικών γραμμών του ανηγμϋνου κλιμακωτού ιςοδύναμου πύνακα με τον Α, καλεύται τϊξη του πύνακα Α και ςυμβολύζεται με ranka. Παρϊδειγμα Έςτω ο πύνακασ Α= κλιμακωτόσ του είναι ο γραμμϊν του είναι 3, άρα ranka=3.. Ππωσ είδαμε πρίν, ο ανθγμζνοσ. Το πλικοσ των μθ μθδενικϊν 15

16 Πολυώνυμα Στο κεφάλαιο αυτό κα αναφεροφμε μερικεσ βαςικζσ ιδιότθτεσ των πολυωνφμων με ςυντελεςτζσ πραγματικοφσ αρικμοφσ. Θα δϊςουμε επίςθσ βαςικοφσ οριςμοφσ και αλγόρικμουσ που κα μασ χρειαςτοφμε παρακάτω. 2.1 Μονώνυμα Οι ακζραιεσ αλγεβρικζσ παραςτάςεισ, ςτισ οποίεσ μεταξφ των μεταβλθτϊν μόνο θ πράξθ του πολλαπλαςιαςμοφ, λζγονται μονώνυμα. Σ ζνα μονϊνυμο ο αρικμθτικόσ παράγοντασ λζγεται ςυντελεςτισ του μονωνφμου, ενϊ το γινόμενο όλων των μεταβλθτϊν του με τουσ αντίςτοιχουσ εκκζτεσ τουσ λζγεται κφριο μζροσ του μονωνφμου. Ο εκκζτθσ μιασ μεταβλθτισ λζγεται βακμόσ του μονωνφμου ωσ προσ τθ μεταβλθτι αυτι, ενϊ ο βακμόσ του μονωνφμου ωσ προσ όλεσ τισ μεταβλθτζσ του λζγεται το άκροιςμα των εκκετϊν των μεταβλθτϊν του. Ραράδειγμα Το μονϊνυμο 8 x 4 y 2 ω, ζχει ςυντελεςτι το 8 και κφριο μζροσ το x 4 y 2 ω. Επίςθσ το μονϊνυμο είναι 4 ου βακμοφ ωσ προσ x, 2 ου βακμοφ ωσ προσ y και 1 ου βακμοφ ωσ προσ ω, ενϊ ωσ προσ x,y και ω είναι 7 ου βακμοφ. Τα μονϊνυμα που ζχουν το ίδιο κφριο μζροσ λζγονται όμοια. Τα όμοια μονϊνυμα που ζχουν τον ιδιο ςυντελεςτι λζγονται ίςα ενϊ, αν ζχουν αντίκετουσ ςυντελεςτζσ, λζγονται αντίκετα. Πλοι οι αρικμοί κεωροφνται μονϊνυμα και τα ονομάηουμε ςτακερά μονώνυμα. Τα μονϊνυμα αυτά είναι μθδενικοφ βακμοφ. Ειδικότερα ο αρικμόσ 0 λζγεται μθδενικό μονώνυμο. 2.2 Πολυώνυμα Η αλγεβρικι παράςταςθ που προκφπτει από ζνα (τυπικό) «άκροιςμα» μονωνφμων, καλείται πολυώνυμο. Ριο απλά τα πολυϊνυμα κα τα κεωροφμε ωσ εκφράςεισ τθσ μορφισ 16

17 φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 όπου το n είναι ζνασ μθ αρνθτικόσ ακζραιοσ αρικμόσ και τα α i, I = 0,1,2,,n τα οποία ονομάηονται ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου, είναι ακζραιοι,ρθτοί, πραγματικοί ι ακόμα και μιγαδικοί αρικμοί.για το ςφμβολο x ζχει επικρατιςει θ ονομαςία μεταβλθτι του πολυωνφμου. Οι εκφράςεισ τθσ μορφισ α ι x ι λζγονται όροι του πολυωνφμου τοιχεία Πολυωνφμου Ιδιαίτερθ ςθμαςία ςε ζνα πολυϊνυμο ζχει να διευκρινίηεται ποιοσ είναι ο μεγαλφτεροσ δείκτθσ, ζςτω n, για τον οποίο ο αντίςτοιχοσ ςυντελεςτισ α n είναι διάφοροσ του μθδενόσ. Από δω και ςτο εξισ λοιπόν, όταν για ζνα πολυϊνυμο γράφουμε φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, κα εννοοφμε ότι α n 0 και τον μθ αρνθτικό αρικμό n τον ονομάηουμε βακμό του πολυωνφμου και ςυμβολίηουμε deg(φ(x)) = n. Τον όρο α n x n τον ονομάηουμε μεγιςτοβάκμιο όρο του πολυωνφμου και τον ςυντελεςτι α n μεγιςτοβάκμιο ςυντελεςτι ι πρώτο ςυντελεςτι. Αν ο μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ ς ζνα πολυϊνυμο είναι το 1, τότε το πολυϊνυμο ονομάηεται μονικό. Αν φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, τότε το πολυϊνυμο α n 1 φ(x) προφανϊσ ειναι μονικό και καλείται το αντίςτοιχο μονικό πολυώνυμο του φ(x). Στθ περίπτωςθ που το πολυϊνυμο ειναι μθδενικοφ βακμοφ, δθλαδι ζχουμε πολυϊνυμο τθσ μορφισ φ(x) = α 0, τότε αυτό ονομάηεται ςτακερό πολυώνυμο. Επίςθσ αν όλοι οι ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου ειναι μθδενικοί, τότε αυτό ονομάηεται μθδενικό πολυώνυμο και ςυνικωσ ςυμβολίηεται με το 0. Για το μθδενικό πολυϊνυμο δεν ορίηεται βακμόσ, εφόςον ολοι οι ςυντελεςτζσ του ειναι ιςοι με 0. Το ςφνολο ςυντελεςτϊν μπορεί να κεωρθκεί οτι αποτελείται απο τα ςτακερά πολυϊνυμα και με αυτι τθν ζννοια ζχουμε F F[x] Πράξεισ Πολυωνφμων Στο ςφνολο F[x+ όλων των πολυωνφμων ορίηονται δφο πράξεισ, θ πρόςκεςθ και ο πολλαπλαςιαςμόσ ωσ εξθσ. 17

18 Πρόςκεςθ Ζςτω φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 και κ(x) = β m x m + β m 1 x m β 1 x + β 0 δφο πολυϊνυμα με m>n. Το πολυϊνυμο φ(x) + κ(x) = β m x m + β m 1 x m β n+1 x n+1 + (α n + β n )x n + + (α n 1 + β n 1 )x n (α 1 + β 1 )x + (α 0 + β 0 ), λζγεται άκροιςμα των πολυωνφμων φ(x) και κ(x) και ςυμβολίηεται με (φ+κ)(x). Με λιγα λόγια, το άκροιςμα των πολυωνφμων είναι το πολυϊνυμο που ζχει ϊσ ςυντελεςτζσ το άκροιςμα ομοβάκμιων ςυντελεςτϊν. Στθν περίπτωςθ που ςε ζνα πολφωνυμο φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 «απουςιάηει» ζνασ όροσ, για παράδειγμα ο α i x i,τότε εννοείται οτι υπάρχει το 0x n. Για παράδειγμα, ζςτω τα πολυϊνυμα φ(x) = 5x 4 + 7x 3 + x, κ(x) = 8x 3 2x x 9. Τότε ζχουμε φ(x) = 5x 4 + 7x 3 + 0x 2 + x + 0 και κ(x) = 0x 4 +8x 3 2x x 9, και επομζνωσ φ(x) + κ(x) = (5+0)x 4 +(7+8)x x x = 5x x 3 2x 2 + 5x 9. Πολλαπλαςιάςμοσ Ζςτω φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 και κ(x) = β m x m + β m 1 x m β 1 x + β 0 δφο πολυϊνυμα. Το πολυϊνυμο φ(x) κ(x) = γ ρ x ρ + γ ρ 1 x ρ γ 1 x + γ 0, όπου γ 0 = α 0 β 0, γ 1 = a 0 β 1 + α 1 β 0 και γενικά γ κ = i+j =k a i b j λζγεται γινόμενο των πολυωνφμων φ(x) και κ(x) και ςυμβολίηεται με (φκ)(x). Δθλαδι το γινόμενο δφο πολυωνφμων υπολογίηεται αν ςε κάκε ηεφγοσ όρων απο τα δφο πολυϊνυμα πολλαπλαςιάςουμε τουσ ςυντελεςτζσ, εφαρμόςουμε τον κανόνα x i x j = x i+j, και ςτο τζλοσ κάνουμε αναγωγι ομοίων όρων. Για παράδειγμα, ζςτω τα πολυϊνυμα φ(x) = 5x 4 + 7x 3 + x, κ(x) = 8x 3 2x x 9. Τότε ζχουμε φ(x)κ(x)= (5 8)x x x x x 3 + (1 4) x 2 + (1 ( 9))x => φ(x)κ(x)= 40x x 6 + 6x 5 9x 4 65x 3 + 4x 2 9x. 18

19 2.2.3 Ιδιότθτεσ Πρόςκεςθσ και Πολλαπλαςιαςμοφ 1. (φ(x) + κ(x)) + ψ(x) = φ(x) + (κ(x) + ψ(x)), για όλα τα φ(x),κ(x),ψ(x) F[x] 2. φ(x) + κ(x) = κ(x) + φ(x), για όλα τα φ(x),κ(x) F[x] 3. φ(x) + 0 = 0 + φ(x) = φ(x), για όλα τα φ(x) F[x] 4. Για κάκε φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 F[x+, υπάρχει το -φ(x) = ( α n )x n +( α n 1 )x n α 1 x + ( α 0 ) F[x+ τζτοιο ϊςτε φ(x) + (-φ(x)) = (-φ(x)) + φ(x) = 0 5. (φ(x) κ(x)) ψ(x) = φ(x) (κ(x) ψ(x)), για όλα τα φ(x),κ(x),ψ(x) F[x] 6. φ(x) κ(x) = κ(x) φ(x), για όλα τα φ(x),κ(x) F[x] 7. φ(x) 1 = 1 φ(x) = φ(x), για όλα τα φ(x) F[x] 8. (φ(x) + κ(x)) ψ(x) = (φ(x) ψ(x)) + (κ(x) ψ(x)), για όλα τα φ(x),κ(x),ψ(x) F[x] Από τισ παραπάνω ιδιότθτεσ προκφπτει θ παρακάτω πρόταςθ Πρόταςθ Ζςτω φ(x) και κ(x) μθ μθδενικά πολυϊνυμα, τότε ιςχφει : 1. Είτε φ(x) + κ(x) = 0 είτε deg(φ(x) + κ(x)) max (deg φ(x), deg κ(x) ). Η ανιςότθτα ςτθν προθγοφμενθ ςχζςθ ειναι γνιςια μόνο ςτθν περίπτωςθ που τα δφο πολυϊνυμα ζχουν τον ίδιο βακμό και αντίκετουσ μεγιςτοβάκμιουσ ςυντελεςτζσ. 2. deg (φ(x) κ(x)) = deg φ(x) + deg κ(x) Διαιρετότθτα Πολυωνφμων Ανάλογα με το αλγόρικμο διαίρεςθσ ςτο ςφνολο Ζ των ακεραίων αρικμϊν, ιςχφει και ζνασ αλγόρικμοσ διαίρεςθσ ςτο ςφνολο F[x+ των πολυωνφμων, γεγονόσ που μασ 19

20 δίνει τθν δυνατότθτα να διαπιςτϊςουμε ότι τα ςφνολα Ζ και F[x+ ζχουν ςθμαντικζσ ομοιότθτεσ. Ζςτω δφο πολυϊνυμα φ(x) και κ(x) F[x+. Θα λζμε ότι το πολυϊνυμο φ(x) διαιρεί το πολυϊνυμο κ(x) και κα ςυμβολίηουμε φ(x) κ(x), αν υπάρχει π(x) F[x+ τζτοιο ϊςτε κ(x)=π(x)φ(x). Ιςοδφναμα, αντί του φ(x) διαιρεί το πολυϊνυμο κ(x), μποροφμε να λζμε ότι το κ(x) ειναι πολλαπλάςιο του φ(x) ι ότι το πολυϊνυμο κ(x) διαιρείται απο το πολυϊνυμο φ(x). Άμεςεσ ςυνζπειεσ του προθγοφμενου οριςμοφ ειναι οι εξισ. 1. Το μθδενικό πολυϊνυμο διαιρείται απο κάκε άλλο πολυϊνυμο. Ρράγματι, για κάκε φ(x) F[x+, ιςχφει φ(x)0 = 0. Το μθδενικό πολυϊνυμο διαιρεί μόνο το μθδενικό πολυϊνυμο. Επομζνωσ απο δϊ και πζρα, οταν λζμε φ(x) κ(x), κα εννοφμε ότι φ(x) Ζςτω φ(x) κ(x). Τότε υπάρχει μοναδικό π(x) F[x+ τζτοιο ϊςτε κ(x)=π(x)φ(x). Ρράγματι αν υπιρχε και άλλο π (x) F[x+ με κ(x)=π (x)φ(x), τότε κα είχαμε κ(x)=π(x)φ(x) = π (x)φ(x). Δθλαδι φ(x)*π(x)-π (x)+ = 0 και επείδθ το φ(x) δεν ειναι το μθδενικό πολυϊνυμο, ζχουμε π(x)-π (x) = 0, άρα π(x) = π (x). 3. Ζςτω φ(x) κ(x), τότε degφ(x) degκ(x). Αν φ(x) κ(x) και κ(x) φ(x), τότε degφ(x) = degκ(x). 4. Κάκε μθ μθδενικό, ςτακερό πολυϊνυμο c διαιρεί κάκε άλλο πολυϊνυμο. Ρράγματι για κάκε π(x) F[x+ ζχουμε φ(x) = c(c 1 φ(x)). 5. Αν φ(x) κ(x), τότε για κάκε 0 c F[x+ ζχουμε ότι c φ(x) κ(x). Άρα αν φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, τότε το μονικό πολυϊνυμο α n 1 φ(x) διαιρεί το κ(x). 6. Αν φ(x) κ(x) και κ(x) ψ(x) τότε φ(x) ψ(x). 7. Ζςτω φ(x) κ(x) και φ(x) κ (x) τότε φ(x) α(x)κ(x) + β(x)κ (x), για όλα τα πολυϊνυμα α(x), β(x) F[x]. 20

21 2.3 Ανάγωγα Πολυώνυμα Οριςμόσ Ζνα μι ςτακερό πολυϊνυμο p(x) F[x+, κα λζγεται ανάγωγο πολυώνυμο επι του F, αν οι μόνοι διαιρζτεσ του ςτο F[x+ είναι τα ςτακερά πολυϊνυμα και τα πολυϊνυμα τθσ μορφισ c p(x). Ιςοδφναμα το πολυϊνυμο p(x) F[x+ είναι ανάγωγο επί του F αν απο τθν ςχζςθ p(x)= φ(x) κ(x) με φ(x), κ(x) F[x+, προκφπτει ότι ζνα απο τα φ(x) και κ(x) ειναι ςτακερό πολυϊνυμο. Ειναι ςθμαντικό ςε αυτό το ςθμείο να αναφζρουμε ότι τα ανάγωγα πολυϊνυμα ζχουν ιδιότθτεσ ανάλογεσ με τισ ιδιότθτεσ των πρϊτων αρικμϊν ςτουσ ακεραίουσ. Ριο ςυγκεκριμζνα ιςχφουν τα ακόλουκα Θεώρθμα Κάκε μθ ςτακερό πολυϊνυμο φ(x) F[x+, γράφεται ωσ γινόμενο αναγϊγων πολυωνφμων ςτο F[x+ κατα μοναδικό τρόπο. Συγκεκριμζνα υπάρχουν μοναδικά μονικά ανάγωγα πολυϊνυμα p i (x) F[x], i=1,2,,n και μοναδικό c F[x+ τζτοια ϊςτε, αν δεν λθφκεί υπόψθ θ ςειρά των παραγόντων, φ(x) = cp 1 (x) p 2 (x) p n (x). Απόδειξθ Θα εφαρμόςουμε επαγωγι ςτο βακμό του πολυωνφμου φ(x). Αν deg(φ(x)) = 1, τότε το πολυϊνυμο φ(x) ειναι ανάγωγο και το κεϊρθμα ιςχφει (εδϊ κεωροφμε ότι ζχουμε γινόμενο με ανάγωγο όρο). Υποκζτουμε οτι το κεϊρθμα ιςχφει για όλα τα πολυϊνυμα με βακμό μικρότερου του βακμοφ του φ(x). Αν το φ(x) ειναι ανάγωγο, τότε πάλι ιςχφει το κεϊρθμα. Υποκζτουμε οτι το φ(x) δεν ειναι ανάγωγο. Άρα υπάρχουν πολυϊνυμα φ 1 (x) και φ 2 (x) τζτοια ϊςτε φ(x)= φ 1 (x) φ 2 (x). Ο βακμόσ των φ 1 (x) και φ 2 (x) ειναι μικρότεροσ του βακμοφ του φ(x), άρα το κεϊρθμα ιςχφει για αυτά τα πολυϊνυμα, οπότε και το φ(x) μπορεί να γραφτεί ςτθ μορφι φ(x) = cp 1 (x) p 2 (x) p n (x) με c F[x+ και τα p i x μονικά και ανάγωγα. Ασ υποκζςουμε τϊρα οτι φ(x) = c p 1 (x) p 2 (x) p n (x) = c q 1 (x) q 2 (x) q m (x) όπου τα c, c F[x+ και τα p i x, q i x μονικά και ανάγωγα επι του F. Το πολυϊνυμο q m x διαρεί 1 το γινόμενο c p 1 (x) p 2 (x) p n (x), επομζνωσ υπάρχει c F[x+ ζτςι ϊςτε q m x = c p i (x) για κάποιο δείκτθ i. Αλλά τα q m x και p i (x) ειναι μονικά, οπότε q m x = p i (x) και αλλάηοντασ, εν ανάγκθ, τθ ςειρά των παραγόντων μποροφμε να υποκζςουμε οτι q m x = p n (x). 1 Εδϊ χρθςιμοποιείται θ πρόταςθ «Εςτω p (x), p 1 x, p 2 x,,p n (x) F[x] ανάγωγα πολυϊνυμα επι του F. Υποκζτουμε οτι το πολυϊνυμο p(x) διαρεί το γινόμενο, p 1 x p 2 x p n (x), τότε υπάρχει c F[x+ τζτοιο ϊςτε p(x) = c p i x για κάποιο δείκτθ i» 21

22 Τϊρα από τθν ςχζςθ c p 1 (x) p 2 (x) p n (x) = c q 1 (x) q 2 (x) q m (x), ζχουμε ότι c p 1 (x) p 2 (x) p n 1 (x) = c q 1 (x) q 2 (x) q m 1 (x). Ο βακμόσ όμωσ του c p 1 (x) p 2 (x) p n 1 (x) είναι μικρότεροσ απο τον βακμό του φ(x), επομζνωσ απο τθν υπόκεςθ τθσ επαγωγισ ζχουμε ότι c = c και n-1 = m-1 και αλλάηοντασ, εν ανάγκθ, τθν ςειρά των παραγόντων q i x = p i x Πρόταςθ Κάκε μθ ςτακερό πολυϊνυμο φ(x) διαιρείται απο (τουλάχιςτον) ζνα ανάγωγο πολυϊνυμο. Απόδειξθ Θα εφαρμόςουμε επαγωγι ςτο βακμό n, του φ(x). Αν το φ(x) είναι ανάγωγο, τότε αυτό διαρείται απο τον ευατό του. Υποκζτουμε οτι το φ(x) δεν είναι ανάγωγο και ότι όλα τα μθ ςτακερά πολυϊνυμα με βακμό μικρότερο του n διαιροφνται απο ζνα ανάγωγο πολυϊνυμο. Για το φ(x) υπάρχουν μθ ςτακερά πολυϊνυμα φ 1 (x) και φ 2 (x) τζτοια ϊςτε φ(x)= φ 1 (x) φ 2 (x). Τα φ 1 (x) και φ 2 (x) ζχουν βακμό μικρότερο του n και επομζνωσ απο τθν υπόκεςθ τθσ επαγωγισ κάκε ζνα απο αυτά διαιρείται απο ζνα ανάγωγο πολυϊνυμο, άρα και το φ(x) διαιρείται απο ζνα ανάγωγο πολυϊνυμο Θεώρθμα (Σαυτότθτα Διαίρεςθσ Πολυωνφμων) Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+ με φ(x) 0. Τότε υπάρχουν μοναδικά π(x),υ(x) F[x+, τζτοια ϊςτε κ(x)=φ(x) π(x) + υ(x) και ι υ(x)=0 ι deg(υ(x)) < deg(φ(x)). Απόδειξθ Ζςτω οτι το φ(x) κ(x). Τότε προφανϊσ απο τθ ςχζςθ κ(x) = φ(x) π(x) ζχουμε οτι τα π(x) και υ(x) = 0 πλθροφν τισ υποκζςεισ του Θεωριματοσ. Υποκζτουμε οτι το φ(x) δεν διαιρεί το κ(x) και ζςτω Α=, κ(x) - φ(x) τ(x), όπου τ(x) F[x]}. Ζςτω υ(x) = κ(x) - φ(x) π(x) ζνα ςτοιχείο του ςυνόλου Α με τον μικρότερο δυνατό βακμό. Τότε προφανϊσ κ(x) = φ(x) π(x) + υ(x). Θα δείξουμε ότι deg(υ(x)) < deg (φ(x)). Ρράγματι, υποκζτουμε οτι υ(x) = κ(x) -φ(x) π(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, φ(x) = β m x m + + β m 1 x m β 1 x + β 0, και deg(υ(x)) = n m = deg(φ(x)). Τότε τα πολυϊνυμα υ(x) και (α n β m 1 )x n m φ(x) είναι του ίδιου βακμοφ και ζχουν αντίκετουσ ςυντελεςτζσ, επομζνωσ το πολυϊνυμο υ(x) - (α n β m 1 )x n m φ(x) ζχει βακμό μικρότερο απο το βακμό του υ(x) και επιπλζον υ(x) - (α n β m 1 )x n m φ(x) = κ(x) φ(x)π(x) - (α n β m 1 )x n m φ(x) = κ(x) (π(x) +(α n β m 1 )x n m ) φ(x) Α. Τούτο εύναι ϊτοπο απο την εκλογό του πολυωνύμου υ x ωσ πολυώνυμο με τον 22

23 μικρότερο βαθμό από όλα τα πολυώνυμα που ανόκουν ςτο ςύνολο Α. Επομϋνωσ deg υ x)) < deg φ x)). Τα πολυώνυμα π x και υ x με την ιδιότητα κ(x) = φ(x) π(x) + υ(x) και deg(υ(x)) < deg (φ(x)) ειναι μοναδικά. Ρράγματι, υποκζτουμε οτι εκτόσ απο τα π(x) και υ(x) υπάρχουν και τα πολυϊνυμα π (x) και υ (x) τζτοια ϊςτε κ(x) = φ(x) π (x) + υ (x) και deg(υ (x)) < deg (φ(x)). Τότε αφαιρϊντασ κατά μζλθ τισ ςχζςεισ κ(x) = φ(x) π(x) + υ(x) και κ(x) = φ(x) π (x) + υ (x) ζχουμε φ(x)( π(x) π (x) ) = υ(x) υ (x), αν υ(x) υ (x) 0, τότε και π(x) π (x) 0, οπότε από τθν πρόταςθ ζχουμε ότι deg(υ(x) υ (x)) deg(φ(x)). Αυτό είναι άτοπο, αφοφ deg(υ(x) υ (x)) max(deg(υ(x))), deg(υ (x)) < deg (φ(x)). Άρα υ(x) = υ (x) και π(x) = π (x). Τα πολυϊνυμα π(x) και υ(x) ςτο παραπάνω κεϊρθμα ονομάηονται αντίςτοιχα το πθλίκο και το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ του πολυωνφμου κ(x) δια του πολυωνφμου φ(x) Πόριςμα Ζνα ςτοιχείο α F είναι ρίηα του πολυωνφμου φ(x) F[x+ αν και μόνο αν το x-α είναι παράγοντασ του φ(x) ςτον F[x]. Απόδειξθ Υποκζτουμε ότι για κάποιο α F ιςχφει φ(α)=0. Από τον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ υπάρχουν π(x), υ(x) F[x+ τζτοια ϊςτε φ(x) = (x-α)π(x) + υ(x) με deg(υ(x))<1 Επομζνωσ πρζπει να ζχουμε υ(x)=c, για κάποιο c F, άρα Για x=α, ζχουμε Άρα φ(x) = (x-α)π(x) + c φ(α) = (α-α)π(α) + c 0=0 π(α) + c c=0 φ(x) = (x-α)π(x) Και επομζνωσ το x-α είναι παράγοντασ του φ(x) Αντιςτροφα, Ζςτω ότι το για κάποιο α F το x-α είναι παράγοντασ του φ(x). Τότε υπάρχει πολυϊνυμο β(x) F[x+, τζτοιο ϊςτε φ(x) = (x-α)β(x) 23

24 Για x=α, ζχουμε και επομζνωσ το α ειναι ρίηα του φ(x) φ(α) = (α-α)β(α) φ(α) = Παράδειγμα Διαίρεςθσ Πολυωνφμων μιασ Μεταβλθτισ Ζςτω κ(x) = 4x 5 3x 4 7x και φ(x) = x 3 + 7x 2 + 3x 2. Θζλουμε να κάνουμε τθν διαίρεςθ του κ(x) με το φ(x). Ραρατθροφμε οτι ο βακμόσ του κ(x) ειναι μεγαλφτεροσ απο το βακμό του φ(x) επομζνωσ πρζπει να βροφμε ζνα πολυϊνυμο π(x) τζτοιο ϊςτε deg(κ(x) φ(x)π(x)) < deg(φ(x)). Ο μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ του κ(x) ειναι 4, πολλαπλαςιάηουμε το πολυϊνυμο φ(x) με το μονϊνυμο 4x 5 3, το αποτζλεςμα (4x 5 3 )φ(x) = 4x x x 3 8x 2 το αφαιροφμε από το κ(x) και ζχουμε κ(x) ( 4x x x 3 8x 2 ) = 31x 4 12x 3 + x Το πολυϊνυμο π 1 x = 4x 2 είναι ζνα ενδιάμεςο πθλίκο και το πολυϊνυμο υ 1 x = 31x 4 12x 3 + x 2 + 6, ειναι ζνα ενδιάμεςο υπόλοιπο. χθματικά: Ραρατθροφμε ότι ο βακμόσ του υ 1 x = 31x 4 12x 3 + x είναι μικρότεροσ απο τον βακμό του κ(x) αλλά μεγαλφτεροσ απο τον βακμό του φ(x). Επαναλαμβάνουμε τθν παραπάνω διαδικαςία. Ο μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ του υ 1 x ειναι -31, πολλαπλαςιάηουμε το πολυϊνυμο φ(x) με το μονϊνυμο -31x 4 3, το αποτζλεςμα (-31x 4 3 )φ(x) = -31x 4 217x 3 93x x το αφαιροφμε από το υ 1 x και ζχουμε υ 1 x ( 31x 4 217x 3 93x x)= 205x x 2 62x + +6 Το πολυϊνυμο π 2 x = 31x είναι το επόμενο ενδιάμεςο πθλίκο και το πολυϊνυμο υ 2 x = 205x x 2 62x + 6, ειναι το επόμενο ενδιάμεςο υπόλοιπο. χθματικά: 24

25 Ραρατθροφμε ότι ο βακμόσ του υ 2 x = 205x x 2 62x + 6 είναι μικρότεροσ απο τον βακμό του υ 1 x αλλά δεν ειναι μικρότεροσ απο τον βακμό του φ(x). Επαναλαμβάνουμε τθν παραπάνω διαδικαςία. Ο μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ του υ 2 x ειναι 205, πολλαπλαςιάηουμε το πολυϊνυμο φ(x) με το μονϊνυμο - 205x 3 3 = 205, το αποτζλεςμα 205φ(x) = 205x x x 410 το αφαιροφμε από το υ 2 x και ζχουμε υ 2 x (205x x x 410) = = 1341x 2 677x Το πολυϊνυμο π 2 x = 205 είναι το επόμενο ενδιάμεςο πθλίκο και το πολυϊνυμο υ 3 x = 1341x 2 677x + 416, ειναι το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ, αφοφ, όπωσ παρατθροφμε, ζχει βακμό μικρότερο απο το βακμό του φ(x) και το πολυϊνυμο π(x) =4x 2 31x (το άκροιςμα των ενδιάμεςων πθλίκων) είναι το πθλίκο τθσ διαίρεςθσ. χθματικά Διάιρεςθ Πολυωνφμων Πολλών Μεταβλθτών Θα ορίςουμε μια διαδικαςία διαίρεςθσ ςτον δακτφλιο F[x 1, x 2,, x ν +, ζτςι ϊςτε δοκζντων των πολυωνφμων 1. Δ(x 1, x 2,, x ν ) 25

26 2. f 1 (x 1, x 2,, x ν ), f 2 (x 1, x 2,, x ν ), f 3 (x 1, x 2,, x ν ),, f μ (x 1, x 2,, x ν ) Ο αλγόρικμοσ να δίνει μια ζκφραςθ του πολυωνφμου Δ(x 1, x 2,, x ν ) ωσ εξισ : Δ(x 1, x 2,, x ν ) = π 1 (x 1, x 2,, x ν ) f 1 (x 1, x 2,, x ν ) + +π 2 (x 1, x 2,, x ν ) f 2 (x 1, x 2,, x ν ) π μ (x 1, x 2,, x ν ) f μ (x 1, x 2,, x ν )+ υ μ (x 1, x 2,, x ν ), όπου το πολυϊνυμο υ μ (x 1, x 2,, x ν ) κα το λζμε υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ και τθ διατεταγμζνθ μ-αδα πολυωνφμων (π 1 (x 1, x 2,, x ν ), π 2 x 1, x 2,, x ν,, π μ (x 1, x 2,, x ν )), τθν οποία κα τθν λζμε πθλίκο τθσ διαίρεςθσ Παράδειγμα Διαίρεςθσ Πολυωνφμων Πολλών Μεταβλιτων Να υπολογιςκεί το αποτζλεςμα τθσ διαίρεςθσ του πολυωνφμου Δ(x,y) = g(x,y) = xy με τα πολυϊνυμα (f 1 x, y = xy + 1, f 2 x, y = y + 1). Διαδικαςία Διαίρεςθσ Βιμα 1 ο Θεωροφμε τϊρα μια διάταξθ ςτισ μεταβλθτλεσ (πχ x>y). Η διάταξθ αυτι επάγει μια διάταξθ, τθν λεξικογραφιι, ςτα μονϊνμα ωσ εξισ : Ραρατθροφμε ότι κάκε μονϊνυμο ειναι τθσ μορφισ x κ y λ, όπου κ και λ ειναι μθ αρνθτικοί ακζραιοι.ζτςι κάκε μονϊνυμο κακορίηεται πλιρωσ απο ζνα ηεφγοσ (κ,λ). Ορίηουμε τϊρα (κ 1, λ 1 ) > (κ 2, λ 2 ) ορς κ 1 > κ 2 ι κ 1 = κ 2 και λ 1 > λ 2 και x κ 1y λ 1 > x κ 2y λ 2 ορς (κ 1, λ 1 ) > (κ 2, λ 2 ) Βιμα 2 ο Καταςκευάηουμε το παρακάτω διάγραμμα προκειμζνου να αρχίςουμε τθν διαίρεςθ, γράφοντασ τα πολφωνυμα που λαμβάνουν μζροσ ςτθ διαίρεςθ ωσ γραμμικό ςυνδυαςμό μονονφμων με φυίνουςα ςειρά. χθματικά 26

27 Βιμα 3 ο Θεωροφμε το μεγιςτοβακμιο όρο του Διαιρετζου (μαηί με τον ςυντελεςτι του), ο οποίοσ ςτθν περιπτωςι μασ ειναι ο xy 2 και τον μεγιςτοβάκμιο όρο του πρϊοτυ κατα ςειρλα πολυωνφμου του διαιρζτθ (μαηί με τον ςυντελεςτι του), που ειναι ο xy. Εκτελοφμε τθ διαίρεςθ xy 2 : xy και βρίςκουμε y. Εδϊ ςθμειϊνουμε οτι αν υπιρχαν και αρικμθτικοί ςυντελεςτζσ κα είχαμε και το πθλίκο αυτϊν. Θζτουμε ςτον πρϊτο όρο του πθλίκου π 1 (x, y) μετά το = το y. χθματικά 27

28 Βιμα 4 ο Ρολλαπλαςιάηουμε το πολυϊνυμο f 1 x, y = xy + 1 επί του y και το αφαιροφμε απο το g(x,y) = xy χθματικά Βιμα 5 ο Ρροζκυψε το πολυϊνυμο y+1, το οποίο ειναι ζνα ενδιάμεςο υπόλοιπο. Ο μεγιςτοβάκμιοσ όροσ του ειναι ο y. Ο μεγιςτοβακμιοσ όροσ του πρϊοτυ διαιρζτθ f 1 x, y = xy + 1 είναι ο xy. Ραρατθροφμε οτι ο μεγιςτοβάκμιοσ όροσ του xy του f 1 (x, y) δεν διαιρεί τον y. Θεωροφμε τϊρα τον μεγιςτοβάκμιο όρο του f 2 x, y = y + 1, ο οποίοσ ειναι ο y. Ο όροσ αυτόσ διαιρεί τον y που ειναι ο μεγιςτοβλακμιοσ όροσ του ενδιάμεςου υπολοίπου y +1 και το πθλίκο ειναι το -1. Κατόπιν πολλαπλαςιάηουμε το -1 με το f 2 x, y = y + 1 και το αφαιροφμε απο το ενδιάμεςο υπόλοιπο y +1. Βρίςκουμε ζτςι τον πρϊτο όρο του πθλίκου π 2 (x, y), ο οποίοσ ειναι ο -1 και το υπόλοιπο, που ειναι ο αρικμόσ 2. χθματικά 28

29 Βιμα 6 ο Εδϊ αναγκαςτικά ςταματάει θ διαδικαςία αυτι, διότι ο μεγιςτοβάκμιοσ όροσ του υπολοίπου υ x, y = 2 ειναι 2=2x 0 y 0, ο οποίοσ δεν διαιρείται οφτε απο τον μεγιςτοβλακμιο όρο του f 1 x, y οφτε απο τον μεγιςτοβάκμιο όρο του f 2 x, y. Διατυπϊνουμε το τελικό ςυμπζραςμα μασ λζγοντασ ότι το πθλίκο τθσ διαίρεςθσ του πολυωνφμου g(x,y) = xy δια του διατεταγμζνου ηεφγουσ πολυωνφμων (f 1 x, y = xy + 1, f 2 x, y = y + 1) ειναι το διατεταγμζνο ηευγοσ πολυωνφμων (π 1 x, y = y, π 2 x, y = 1) και το υπόλοιπο υ x, y =2. Δθλαδι ιςχφει g(x,y) = xy = f 1 x, y π 1 x, y + f 2 x, y π 2 x, y + υ x, y 2.4 Μζγιςτοσ Κοινόσ Διαιρζτθσ Πολυωνφμων Οριςμόσ Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+ όχι και τα δφο μθδενικά πολυϊνυμα. Ζνα πολυϊνυμο d(x) F[x] κα λζγεται μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ των φ(x) και κ(x) αν: i. d(x) φ(x) και d(x) κ(x). Δθλαδι το πολυϊνυμο d(x) ειναι κοινόσ διαρζτθσ των φ(x) και κ(x). ii. Το d(x) είναι μονικό πολυϊνυμο. iii. Αν δ(x) F[x+ με δ(x) φ(x) και δ(x) κ(x), τότε δ(x) d(x). Δθλαδι κάκε κοινόσ διαιρζτθσ των φ(x) και κ(x) ειναι διαρζτθσ του d(x). Το μζγιςτο κοινό διαιρζτθ των φ(x) και κ(x) κα τον ςυμβολίηουμε d(x) = μκδ (φ(x),κ(x)) ι απλα d(x) = (φ(x),κ(x)). 29

30 Αν και τα δφο πολυϊνυμα ιταν μθδενικά, τότε ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ δεν ορίηεται διότι θ (iii) ςτον οριςμό δεν ικανοποιείται. Ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ δφο πολυωνφμων, εκ των οποίων τουλάχιςτον το ζνα ειναι μθ μθδενικό, υπάρχει και ειναι μοναδικόσ. Η μοναδικότθτα αποδεικνφεται εφκολα ωσ εξισ. Ζςτω ότι υπάρχουν δφο πολυϊνυμα d 1 (x) και d 2 (x) με τισ ιδιότθτεσ του οριςμοφ. Τότε απο τισ (i) και (iii) του οριςμοφ ζχουμε οτι d 1 (x) d 2 (x) και d 2 (x) d 1 (x). Δθλαδι υπάρχει c F[x+ τζτοιο ϊςτε d 1 (x)=c d 2 (x).αλλά τα d 1 (x) και d 2 (x) είναι μονικά. Άρα d 1 (x) = d 2 (x). Η φπαρξθ του μζγιςτου κοινοφ διαιρζτθ εξαςφαλίηεται απο το παρακάτω κεϊρθμα Θεώρθμα Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+ όχι και τα δφο μθδενικά πολυϊνυμα. Τότε υπάρχει ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ d(x) των φ(x) και κ(x) και επιπλζον υπάρχουν α(x), β(x) F[x] τζτοια ϊςτε d(x) = α(x) φ(x) + β(x) κ(x). Απόδειξθ Ζςτω U =, λ(x) φ(x) + κ(x) κ(x) : λ(x), κ(x) F[x+-. Ραρατθροφμε ότι ςτο ςφνολο U ανικουν τα πολυϊνυμα φ(x) και κ(x). Επίςθσ ςτο ςφνολο U ανικουν μονικά πολυϊνυμα. Ρράγματι αν θ(x) = λ(x) φ(x) + κ(x) κ(x) είναι ζνα μθ μθδενικό ςτοιχείο του U με ςυντελεςτι του μεγιςτοβάκμιου όρου c, τότε το πολυϊνυμο c 1 θ(x) =(c 1 λ(x)) φ(x) + (c 1 κ(x)) κ(x) είναι μονικό και ανικει ςτο ςφνολο U. Από τισ προθγοφμενεσ παρατθριςεισ ζπεται ότι μποροφμε να επιλζξουμε ζνα ςτοιχείο d(x) = α(x) φ(x) + β(x) κ(x) του U, το οποίο να ειναι μονικό και να ζχει τον μικρότερο βακμό από όλα τα μθ μθδενικά ςτοιχεία του U. Το d(x) ειναι μονικό, άρα πλθροί τθ ςυνκικθ (ii) του οριςμοφ. Ζςτω δ(x) F[x+ με δ(x) φ(x) και δ(x) κ(x), τότε προφανϊσ δ(x) d(x). Άρα το d(x) πλθροί τθ ςυνκικθ (ii) του οριςμοφ. Απομζνει να αποδείξουμε τθ ςυνκθκθ (i) του οριςμοφ. Ζςτω r(x) = λ(x)φ(x)+ κ(x) κ(x) ζνα ςτοιχείο του ςυνόλου U, κα δείξουμε ότι d(x) r(x). Από τον αλγόρικμο διαίρεςθσ πολυωνφμων, υπάρχουν μοναδικά π(x),υ(x) F[x] τζτοια ϊςτε r(x) = π(x)d(x)+ υ(x), με υ(x) = 0 ι deg(υ(x)) < deg(d(x)). Επομζνωσ ζχουμε υ(x) = r(x) - π(x)d(x) = λ(x)φ(x)+ κ(x) κ(x) π(x) (α(x) φ(x) + β(x) κ(x)) = (λ(x) - π(x)α(x))φ(x) + (κ(x) - π(x)β(x) )κ(x) U. Υποκζτουμε οτι το υ(x) δεν ειναι το μθδενικό πολυϊνυμο, αν c ειναι ο ςυντελεςτισ του μεγιςτοβάκμιου όρου του, τότε το πολυϊνυμο c 1 υ(x) ειναι μονικό, ανικει ςτο U και ζχει βακμό ίςο με τον βακμό του υ(x), ο οποίοσ είναι γνιςια μικρότεροσ απο το βακμό του d(x). Αυτό ειναι άτοπο 30

31 απο τθν επιλογι του πολυωνφμου d(x). Άρα υ(x) = 0. Δθλαδι το d(x) είναι κοινόσ διαιρζτθσ όλων των ςτοιχείων του ςυνόλου U, άρα και των φ(x) και κ(x). 2.5 Ευκλείδειοσ Αλγόρικμοσ Το προθγοφμενο Θεϊρθμα δεν μασ δίνει ζναν τρόπο υπολογιςμοφ του μζγιςτου κοινοφ διαιρζτθ δφο πολυωνφμων φ(x) και κ(x), πολφ δε περιςςότερο πϊσ μποροφμε να υπολογίςουμε πολυϊνυμα ςυντελεςτζσ α(x) και β(x) τζτοια ϊςτε μ.κ.δ (φ(x),κ(x))= α(x) φ(x) + β(x) κ(x). Ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ υπολογίηεται μζςω ενόσ αλγορίκμου, γνωςτοφ και ωσ Ευκλείδειοσ Αλγόρικμοσ. Ρρωτοφ τον παρουςιάςουμε, ασ δοφμε μια πρόταςθ που αποτελεί το κφριο βιμα ςτον Ευκλείδειο Αλγόρικμο Πρόταςθ Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+ όχι και τα δφο μθδενικά πολυϊνυμα. Αν υ(x) ειναι το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ του κ(x) δια του φ(x), τότε μ.κ.δ.(κ(x), φ(x)) = μ.κ.δ.(υ(x), φ(x)). Απόδειξθ Από τθν ταυτότθτα τθσ διαίρεςθσ ζχουμε οτι υπάρχει π(x) F[x+ τζτοιο ϊςτε κ(x)=φ(x) π(x) + υ(x). Ζςτω οτι d 1 (x) = μ.κ.δ.(κ(x), φ(x)) και d 2 (x) = μ.κ.δ.(υ(x), φ(x)) Τότε προφανϊσ το d 1 (x) ειναι ζνασ κοινόσ διαιρζτθσ των υ(x) = κ(x)-φ(x) π(x) και φ(x), άρα d 1 (x) d 2 (x). Επίςθσ το πολυϊνυμο d 2 (x) ειναι ζνασ κοινόσ διαιρζτθσ των φ(x) και κ(x)= φ(x) π(x) + υ(x), άρα d 2 (x) d 1 (x). Οπότε επειδι τα d 1 (x) και d 2 (x) είναι μονικά ζχουμε ότι d 1 (x)= d 2 (x). Εχοντασ λοιπόν τθν παραπάνω πρόταςθ, ασ δοφμε πωσ λειτουργεί ο Ευκλείδειοσ Αλγόρικμοσ για τον υπολογιςμό του μζγιςτου κοινοφ διαιρζτθ δφο πολυωνφμων φ(x) και κ(x), κακϊσ και τθσ εφρεςθσ των ςυντελεςτϊν α(x) και β(x) τζτοιων ϊςτε μ.κ.δ (φ(x),κ(x))= α(x) φ(x) + β(x) κ(x). Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+, με το φ(x) μθ μθδενικό, τότε απο τον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ διαδοχικά ζχουμε: κ(x) = π 1 (x) φ(x) + υ 1 (x), deg(υ 1 (x)) < deg(φ(x)) φ(x) = π 2 (x) υ 1 (x) + υ 2 (x), deg(υ 2 (x)) < deg(υ 1 (x)) υ 1 (x) = π 3 (x) υ 2 (x) + υ 3 (x), deg(υ 3 (x)) < deg(υ 2 (x)) υ 2 (x) = π 4 (x) υ 3 (x) + υ 4 (x), deg(υ 4 (x)) < deg(υ 3 (x))... υ n 2 (x) = π n (x) υ n 1 (x) + υ n (x), deg(υ n (x)) < deg(υ n 1 (x)) υ n 1 (x) = π n+1 (x) υ n (x)

32 Μετά απο n βιματα, ο αρικμόσ των οποίων δεν ξεπερνά τον βακμό του φ(x), το τελευταίο υπόλοιπο υ n+1 (x) ειναι το μθδενικό πολυϊνυμο, αφοφ deg(φ(x)) > deg(υ 1 (x)) > deg(υ 2 (x)) > deg(υ 3 (x)) >... Εφαρμόηοντασ διαδοχικά τθν προθγοφμενθ Ρρόταςθ ζχουμε μ.κ.δ.(κ(x), φ(x)) = μ.κ.δ.(φ(x), υ 1 (x)) = μ.κ.δ.( υ 1 (x), υ 2 (x)) = = μ.κ.δ.( υ n (x), 0). Οπότε το αντίςτοιχο μονικό πολυϊνυμο του υ n (x) ειναι ο ηθτοφμενοσ μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ. Για τον υπολογιςμό των πολυωνφμων ςυντελεςτϊν α(x) και β(x) ςτθν ζκφραςθ μ.κ.δ (φ(x),κ(x))= α(x) φ(x) + β(x) κ(x), εργαηόμαςτε ωσ εξισ. Ξεκινϊντασ απο τθν προτελευταία ςχζςθ ζχουμε υ n (x) = υ n 2 (x) - π n (x) υ n 1 (x). Αλλά υ n 1 (x) = υ n 3 (x) - π n 1 (x) υ n 2 (x) και υ n 2 (x) = υ n 4 (x) - π n 2 (x) υ n 3 (x), οπότε αντικακιςτϊντασ ςτθν προθγοφμενθ ςχζςθ ζχουμε μια παράςταςθ τθσ μορφισ υ n (x) = β n 3 (x) υ n 4 (x) + α n 2 (x) υ n 3 (x). Συνεχίηοντασ με τθν ίδια διαδικαςία καταλιγουμε ςε μια παράςταςθ τθσ μορφισ υ n (x) = β 2 (x) υ 1 (x) + α 3 (x) υ 2 (x) και τελικά υ n (x) = β 1 (x) θ (x) + α 2 (x) φ (x). Ζςτω r ο μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ του υ n (x), τότε προφανϊσ τα ηθτοφμενα πολυϊνυμα ςυντελεςτζσ ειναι α(x) = r 1 α 2 (x) και β(x) = r 1 β 1 (x) Οριςμόσ Δφο πολυϊνυμα φ(x),κ(x) F[x+ κα λζγονται ςχετικά πρώτα ι πρώτα μεταξφ τουσ αν μ.κ.δ.(φ(x),κ(x)) = 1 Παράδειγμα Να υπολογιςκεί ο μζγιςτοσ κοινόσ διαιρζτθσ των πολυωνφμων φ(x) = 2x 4 3x 3 3x 2 + 2x + 2 και κ(x) = x 3 2x 2 3x + 4, κακϊσ και τα πολυϊνυμα α(x) και β(x) τζτοια ϊςτε μ.κ.δ (φ(x),κ(x))= α(x) φ(x) + β(x) κ(x). Λφςθ 2x 4 3x 3 3x 2 + 2x + 2 = (2x + 1)(x 3 2x 2 3x + 4) +( 5x 2 3x 2) x 3 2x 2 3x + 4 = ( 1 x 7 ) ( x2 3x 2) + ( x 2 3x 2 = ( )( x ) + 0. x ) Εφόςον το τετλευταίο υπόλοιπο ειναι το μθδενικό πολυϊνυμο, ζχουμε ότι ο μ.κ.δ. των φ(x) = 2x 4 3x 3 3x 2 + 2x + 2 και κ(x) = x 3 2x 2 3x + 4 είναι το πολυϊνυμο 25 ( x + ) = x

33 Για τον υπολογιςμό πολυωνφμων ςυντελεςτϊν ςτθν ζκφραςθ του μ.κ.δ. ωσ γραμμικό ςυνδιαςμό των δφο πολυωνφμων φ(x) = 2x 4 3x 3 3x 2 + 2x + 2 και κ(x) = x 3 2x 2 3x + 4, εφαρμόηοντασ τθν αντίςτροφθ διαδικαςία ζχουμε διαδοχικά: ( x + ) = (x3 2x 2 3x + 4) - ( 1 x 7 ) ( x2 3x 2) = = (x 3 2x 2 3x + 4) - ( 1 x 7 ) [ 5 25 (2x4 3x 3 3x 2 + 2x + 2) - (2x + 1)(x 3 2x 2 3x + 4)] = ( 1 x )(2x4 3x 3 3x 2 + 2x + 2) + (( 1 x 7 )(2x + 1) + 1) 5 25 (x 3 2x 2 3x + 4) = ( 1 x )(2x4 3x 3 3x 2 + 2x + 2) + ( 2 5 x x + ) (x 3 2x 2 3x + 4). Πποτε τα ηθτοφμενα πολυϊνυμα ςυντελεςτζσ είναι τα πολυϊνυμα α(x) = ( ) 1 ( 1 x 7 ) και β(x) = ( ) 1 ( 2 5 x x ). Σε αυτό το ςθμείο, ασ δοφμε μερικζσ ακόμα χριςιμεσ προτάςεισ ςτθ διαιρετότθτα πολυωνφμων Πρόταςθ Ζςτω φ(x), κ(x), ς(x) F[x+ με μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = 1 και φ(x) κ(x)ς(x). Τότε φ(x) ς(x). Απόδειξθ Επειδι μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = 1 υπάρχουν πολυϊνυμα α(x) και β(x) τζτοια ϊςτε μ.κ.δ.( φ(x), κ(x))= α(x)φ(x) + β(x)κ(x) = 1. Ρολλαπλαςιάηοντασ και τα δφο μζλθ τθσ ιςότθτασ με το πολυϊνυμο ς(x) ζχουμε, α(x)φ(x)ς(x) + β(x)κ(x)ς(x) = ς(x). Το πολυϊνυμο φ(x) διαιρεί το β(x)κ(x)ς(x) από τν υπόκεςθ, προφανϊσ διαιρεί και το α(x)φ(x)ς(x), άρα διαρεί και το άκροιςμα α(x)φ(x)ς(x) + β(x)κ(x)ς(x) = ς(x) Πρόταςθ Ζςτω φ(x), κ(x), ς(x) F[x+ με μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = 1 και φ(x) ς(x) και κ(x) ς(x). Τότε φ(x)κ(x) ς(x). Απόδειξθ Ζςτω φ(x), κ(x), ς(x) F[x+ με μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = 1 και φ(x) ς(x) και κ(x) ς(x). Εφόςον φ(x) ς(x), υπάρχει πολυϊνυμο α(x) τζτοιο ϊςτε ς(x) = α(x)φ(x). Πμοια, εφόςον κ(x) ς(x), υπάρχει πολυϊνυμο β(x) τζτοιο ϊςτε ς(x) = β(x)κ(x). Επειδι μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = 1 υπάρχουν πολυϊνυμα α(x) και β(x) τζτοια ϊςτε μ.κ.δ.( φ(x), κ(x))= α(x)φ(x) + β(x)κ(x) = 1. Ρολλαπλαςιάηοντασ τθν ιςότθτα με το ς(x) και ζχουμε 33

34 α(x)φ(x)ς(x) + β(x)κ(x)ς(x) = ς(x) => α(x)φ(x)β(x)κ(x) + β(x)κ(x)α(x)φ(x) = ς(x) => α(x)β(x)* φ(x)κ(x) + κ(x)φ(x)+=ς(x) Από τθν παραπάνω ιςότθτα ζχουμε το επικυμθτό Πρόταςθ Ζςτω φ(x), κ(x) F[x+ και ζςτω φ(x) = c 1 p 1 ξ 1 x p 2 ξ 2 x p m ξ m x και κ(x) = c 2 p 1 ν 1 x p 2 ν 2 x p m ν m x, οι αναλφςεισ τουσ ςε γινόμενο μονικϊν ανάγωγων πολυωνφμων, όπου τα ξ i και ν ι ενδεχομζνοσ να ειναι και μθδζν όταν ο παράγοντασ δεν εμφανίηεται ςτθν αντίςτοιχθ ανάλυςθ του πολυωνφμου. Θζτουμε μ i = min ξ i, ν i. Τότε ιςχφει μ.κ.δ.( φ(x), κ(x)) = p 1 μ 1 x p 2 μ 2 x p m μ m x. Απόδειξθ Το πολυϊνυμο p 1 μ 1 x p 2 μ 2 x p m μ m x είναι μονικό. Επίςθσ για κάκε p i μ i εφόςον μ i = min ξ i, ν i, τότε το p i μ i p i ξ i και p i μ i p i ν i. Άρα είναι διαιρζτθσ των φ(x) και κ(x). Τζλοσ, ζςτω δ(x)= p 1 λ 1 x p 2 λ 2 x p m λ m x κοινόσ διαρζτθσ των φ(x) και κ(x). Το λ i < ξ i και λ i < ν i επομζνωσ και λ i < min ξ i, ν i = μ i. Άρα p 1 μ 1 x p 2 μ 2 x p m μ m x δ(x). Επομζνωσ ζχουμε το επικυμθτό. Η παραπάνω πρόταςθ μασ δίνει ζναν πολφ εφχρθςτο τρόπο εφρεςθσ του μ.κ.δ. περιςςοτζρων των δφο ςτο πλικοσ πολυωνφμων. Για παράδειγμα αν κζλουμε να βροφμε τον μ.κ.δ. των πολυωνφμων φ(x) = x 7 3x 6 + 9x x 4 72x x + 48, κ(x) =x 10 9x x x 7 119x 6 157x x x 3 200x 2 384x 128 και ς(x) = x 8 12x x x 5 780x x x x Γράφουμε τα πολυϊνυμα ςε ανάλυςθ πρϊτων παραγόντων και ζχουμε. φ(x) = (x + 1) 2 (x 2) 4 (x + 3) κ(x) = (x + 1) 5 (x 2) 3 (x 4) 2 ς(x) = (x 2) 3 (x + 3) 2 (x 4) 3 και ςφμφωνα με τθν παραπάνω πρόταςθ, ο μ.κ.δ.(φ(x),κ(x),ς(x))= (x + 1) 0 (x 2) 3 (x + 3) 0 (x 4) 0 = (x 2) 3. 34

35 2.6 Ελάχιςτο Κοινό Πολλαπλάςιο Πολυωνφμων Ρριν δϊςουμε τον οριςμό του ελάχιςτου κοινοφ πολλαπλαςίου δφο πολυωνφμων κα κζλαμε να παρατθριςουμε ότι αν φ(x), κ(x) F[x+, τότε υπάρχουν μονικά κοινά πολλαπλάςια των φ(x) και κ(x) Οριςμόσ Ζςτω φ(x), κ(x) F[x+ και ζςτω φ(x) = c 1 p 1 ξ 1 x p 2 ξ 2 x p m ξ m x και κ(x) = c 2 p 1 ν 1 x p 2 ν 2 x p m ν m x, οι αναλφςεισ τουσ ςε γινόμενο μονικϊν ανάγωγων πολυωνφμων, όπου τα ξ i και ν ι ενδεχομζνοσ να ειναι και μθδζν όταν ο παράγοντασ δεν εμφανίηεται ςτθν αντίςτοιχθ ανάλυςθ του πολυωνφμου. Θζτουμε Μ Μ 1 = max ξ i, ν i. Τότε το πολυϊνυμο p 1 Μ 1 x p 2 Μ 2 x p m m x κα λζγεται ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο των πολυωνφμων φ(x) και κ(x). Το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο δφο πολυωνφμων φ(x) και κ(x) κα το ςυμβολιηουμε με m(x) = ε.κ.π.( φ(x),κ(x)) ι απλά *φ(x),κ(x)]. Παράδειγμα Να βρεκεί το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο των πολυωνφμων φ(x) = x 7 3x 6 + 9x x 4 72x x + 48, κ(x) =x 10 9x x x 7 119x 6 157x x x 3 200x 2 384x 128 και ς(x) = x 8 12x x x 5 780x x x x Λφςθ Γράφουμε τα πολυϊνυμα ςε ανάλυςθ πρϊτων παραγόντων και ζχουμε. φ(x) = (x + 1) 2 (x 2) 4 (x + 3) κ(x) = (x + 1) 5 (x 2) 3 (x 4) 2 ς(x) = (x 2) 3 (x + 3) 2 (x 4) 3 και ςφμφωνα με τον οριςμό του ε.κ.π., ο ε.κ.π.(φ(x),κ(x),ς(x))= (x + 1) 5 (x 2) 4 (x + 3) 2 (x 4) 3. Ασ δοφμε τϊρα ζναν χαρακτθριςμό του ελάχιςτου κοινοφ πολλαπλαςίου μζςω μιασ πρόταςθσ αντίςτοιχθσ του οριςμοφ του μζγιςτου κοινοφ διαιρζτθ. 35

36 2.6.2 Πρόταςθ Ζςτω φ(x),κ(x) F[x+ όχι και τα δφο μθδενικά πολυϊνυμα. Ζνα πολυϊνυμο m(x) F[x+ κα λζγεται ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο των φ(x) και κ(x) αν: i. φ(x) m(x) και κ(x) m(x). Δθλαδι το πολυϊνυμο m(x) ειναι κοινό πολλαπλάςιο των φ(x) και κ(x). ii. Το m(x) είναι μονικό πολυϊνυμο. iii. Αν μ(x) F[x+ με φ(x) μ(x) και κ(x) μ(x), τότε m(x) μ(x). Δθλαδι κάκε κοινό πολλαπλάςιο των φ(x) και κ(x) ειναι πολλαπλάςιο του m(x). Αν ζχουμε δφο μθ μθδενικά πολυϊνυμα φ(x),κ(x) F[x+ και αν υποκζςουμε ότι οι μεγιςτοβάκμιοι ςυντελεςτζσ αυτϊν ειναι οι c και r αντίςτοιχα, τότε προφανϊσ ε.κ.π.(φ(x),κ(x)) = ε.κ.π.(c 1 φ(x), r 1 κ(x)). Επομζνωσ για τθν εφρεςθ του ε.κ.π. δφο πολυωνφμων αρκεί να «περιοριςκοφμε» ςε μονικά πολυϊνυμα. Μετά απο αυτι τθν παρατιρθςθ, ασ δοφμε τθν παρακάτω πρόταςθ Πρόταςθ Ζςτω δφο μθ μθδενικά πολυϊνυμα φ(x),κ(x) F[x+. Τότε το ε.κ.π. των δφο πολυωνφμων ειναι το μονικό πολυϊνυμο με το μικρότερο βακμό, το οποίο διαρείται απο το φ(x) και το κ(x). Απόδειξθ Ζςτω V ={ ς(x) F[x+ ς(x) κοινό πολλαπλάςιο των φ(x) και κ(x)-. Το ςφνολο V περιζχει μθ μθδενικά πολυϊνυμα. Επίςθσ, όπωσ ζχουμε παρατθριςει, το V περιζχει μονικά πολυϊνυμα. Ζςτω m(x) V ζνα μονικό πολυϊνυμο με τον μικρότερο βακμό. Το m(x) διαιρεί κακε πολυϊνυμο που ανικει ςτο V. Ρράγματι, αν ς(x) είναι ζνα ςτοιχείο του ςυνόλου V, τότε απο τον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ ζχουμε ότι υπάρχουν πολυϊνυμα π(x),υ(x) F[x+ τζτοια ϊςτε ς(x)=m(x) π(x) + υ(x) και ι υ(x)=0 ι deg(υ(x)) < deg(m(x)). Υποκζτουμε ότι deg(υ(x)) < deg(m(x)). Τα πολυϊνυμα φ(x) και κ(x) διαιροφν το πολυϊνυμο ς(x) π(x)m(x) = υ(x). Δθλαδι το υ(x) είναι κοινό πολλαπλάςιο των φ(x) και κ(x), άρα ζνα ςτοιχείο του ςυνόλου V. Τοφτο ειναι άτοπο απο τθν επιλογι του πολυωνφμου m(x). Αρα υ(x) = 0. Σε αυτό το ςθμείο και αφοφ ζχουμε ορίςει τον μζγιςτο κοινό διαιρζτθ και το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο δφο μονικϊν πολυωνφμων, ασ δοφμε και μία ςχζςθ που ςυνδζει αυτά τα δφο. 36

37 2.6.4 Πρόταςθ Ζςτω δφο μονικά πολυϊνυμα φ(x),κ(x) F[x+. Τότε ε.κ.π.(φ(x),κ(x)) μ.κ.δ.(φ(x),κ(x)) = φ(x) κ(x). Απόδειξθ Ζςτω φ(x), κ(x) F[x+ και ζςτω φ(x) = p 1 ξ 1 x p 2 ξ 2 x p m ξ m x και κ(x) = p 1 ν 1 x p 2 ν 2 x p m ν m x, οι αναλφςεισ τουσ ςε γινόμενο μονικϊν ανάγωγων πολυωνφμων, όπου τα ξ i και ν ι ενδεχομζνοσ να ειναι και μθδζν όταν ο παράγοντασ δεν εμφανίηεται ςτθν αντίςτοιχθ ανάλυςθ του πολυωνφμου. Θζτουμε Μ i = max ξ i, ν i και m i = min ξ i, ν i. Aπο τουσ οριςμοφσ των μ.κ.δ και ε.κ.π. ζχουμε μ.κ.δ.(φ(x), κ(x)) = p 1 μ 1 x p 2 μ 2 x p m μ m x και ε.κ.π.(φ(x),κ(x)) = = p 1 Μ 1 x p 2 Μ 2 x p m Μ m x. Επίςθσ φ(x)κ(x)=p 1 ξ 1 +ν 1 x p 2 ξ 2 +ν 2 x p m ξ m +ν m x και ε.κ.π.(φ(x),κ(x)) μ.κ.δ.(φ(x),κ(x))= p 1 Μ 1 +μ 1 x p 2 Μ 2 +μ 2 x p m Μ m +μ m x. Αρκεί να δείξω λοιπόν ότι : ξ i + ν i = max ξ i, ν i + min ξ i, ν i. Από τθν αρχι τθσ τριχοτομίασ ζχουμε ότι ξ i > ν i ό ξ i < ν i ό ξ i = ν i. Αν ξ i > ν i Τότε max ξ i, ν i = ξ i και min ξ i, ν i = ν i.άρα max ξ i, ν i + min ξ i, ν i = ξ i + ν i. Αν ξ i < ν i Τότε max ξ i, ν i = ν i και min ξ i, ν i = ξ i.άρα max ξ i, ν i + min ξ i, ν i = ξ i + ν i. Αν ξ i = ν i Τότε χωρίσ βλάβθ τθσ γεννικότθτασ μπορϊ να ορίςω max ξ i, ν i = ξ i και min ξ i, ν i = ν i.άρα max ξ i, ν i + min ξ i, ν i = ξ i + ν i. 2.7 Πολυωνυμικζσ Εξιςώςεισ Ρολυωνυμικι εξίςωςθ n βακμοφ, ονομάηουμε κάκε εξίςωςθ τθσ μορφισ α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0, α n Ρίηεσ Πολυωνφμων Στθν επόμενθ παράγραφο κα μελετιςουμε τισ πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ και τον τρόπο επίλυςθσ των ανάλογα με τον βακμό τουσ. Στθν παράγραφο αυτι κα μελετιςουμε το πρόβλθμα κατα πόςο υπάρχουν ρίηεσ και πωσ υπολογιηονται επικαλοφμενοι το Θεμελιϊδεσ Θεϊρθμα τθσ Άλγεβρασ. 37

38 Ζςτω ζνα πολυϊνυμο φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 F[x+ και α F. Το ςτοιχείο α n α n + α n 1 α n α 1 α + α 0 του ςυνόλου F κα το ςυμβολίηουμε φ(α) και κα το ονομάηουμε τιμι του πολυωνφμου ςτθ κζςθ α. Ππωσ βλεπουμε, για να υπολογίςουμε τθν τιμι ενόσ πολυωνφμου ςτθ κζςθ α δεν ζχουμε παρά να αντικαταςτιςουμε τθ μεταβλθτι x με το ςτοιχείο α και απλϊσ να κάνουμε τισ πράξεισ. Παράδειγμα Ζςτω φ(x) = 2x 4 3x 3 3x 2 + 2x + 2. Η τιμι του πολυωνφμου ςτθ κζςθ 3 ειναι ίςθ με = = 62. Η αντικατάςταςθ τθσ μεταβλθτισ για τθν εφρεςθ τθσ τιμισ ενόσ πολυωνφμου ειναι ςυμβιβαςτι με τθν πρόςκεςθ και τον πολλαπλαςιαςμό πολυωνφμων. Δθλαδι, αν φ(x),κ(x) F[x+ και α F[x+, τότε φ(α) + κ(α) = (φ+κ)(α) και φ(α)κ(α) = (φ κ)(α). Ζνα ςτοιχείο ξ F κα λζγεται ρίηα του πολυωνφμου φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 F[x+, αν θ τιμι του πολυωνφμου ςτθ κζςθ ξ ειναι μθδζν, δθλαδι φ(ξ)=0. Για παράδειγμα το 3 είναι ρίηα του πολυωνφμου φ(x) = x 2 5x + 6 R [x], αφοφ =0. Απο τθν άλλθ για το πολυϊνυμο φ(x) = x 2 + 2x + 6 R [x+ δεν υπάρχει κανζνα ξ R τζτοιο ϊςτε φ(ξ)=0. Γενικά αν δεν υπάρχει ξ F ζτςι ϊςτε φ(ξ)=0, τότε λζμε ότι το φ(x) δεν ζχει ρίηα ςτο F Πρόταςθ Ζςτω φ(x) F[x+. Ζνα ςτοιχείο α F[x+ είναι ρίηα του φ(x) αν και μόνο αν το x-α διαιρεί το φ(x). Απόδειξθ ( => ) Από τον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ ζχουμε ότι υπάρχουν π(x), υ(x) F[x+ τζτοια ϊςτε φ(x)=π(x) (x-α) + υ(x) με το υ(x) να ειναι ςτακερό πολυϊνυμο, αφοφ το x-α ειναι πρωτοβάκμιο. Υποκζτουμε ότι το α ειναι ρίηα του φ(x). Αντικακιςτϊντασ ςτθν προθγοφμενθ ςχζςθ το x με το α, ζχουμε φ(α)=π(α) (α-α) + υ. Δθλαδι υ = 0.Άρα το x-α διαρεί το φ(x) ( <= ) Ζςτω x-α διαιρεί το φ(x). Επομζνωσ υπάρχει πολυϊνυμο π(x) F[x+ τζτοιο ϊςτε φ(x)=π(x) (x-α). Αντικακιςτϊντασ τϊρα το x με το α ζχουμε, φ(α)=π(α) (α-α). Άρα φ(α) = 0 και επομζνωσ το α ειναι ρίηα του φ(x). Με το ίδιο ςκεπτικο τθσ απόδειξθσ τθσ παραπάνω πρόταςθσ μποροφμε να καταλιξουμε ςε κάτι γενικότερο. Αν εξαιρζςουμε τθν υποκζςθ οτι το α ειναι ρίηα του πολυωνφμου και αντικαταςτιςουμε τθν ςχζςθ φ(x)=π(x) (x-α) + υ(x) με το υ(x) 38

39 να ειναι ςτακερό πολυϊνυμο, αφοφ το x-α ειναι πρωτοβάκμιο, με το α, ζχουμε φ(α)=π(α) (α-α) + υ => φ(α) = υ. Επομζνωσ καταλιγουμε ςτο ςυμπζραςμα ότι το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ του πολυωνφμου φ(x) με το x-α ιςοφται με φ(α), τθν τιμι του πολυωνφμου ςτθ κζςθ α. Ασ δοφμε τϊρα μια πρόταςθ για το πλικοσ των ριηϊν ενόσ πολυωνφμου Πρόταςθ Ζςτω φ(x) F[x+ ζνα μθ μθδενικό πολυϊνυμο. Το φ(x) ζχει το πολφ deg(φ(x)) το πλικοσ ρίηεσ. Απόδειξθ Ζςτω φ(x) F[x+ και φ(x) = p 1 d 1 x p 2 d 2 x p m d m x θ ανάλυςθ του ςε γινόμενο ανάγωγων μονικϊν πολυωνφμων. Αν α F, τότε προφανϊσ το x-α διαρεί το φ(x) αν και μόνο αν το x-α διαρεί ακριβϊσ ζναν απο τουσ ανάγωγουσ παράγοντεσ p i x. Δθλαδι αν και μόνο αξν p i x = x a για κάποιο i. Επομζνωσ υπάρχουν τόςεσ διαφορετικζσ ρίηεσ ξ j F του πολυωνφμου φ(x) όςοι και οι διαφορετικοί παράγοντεσ τθσ μορφισ x ξ j ςτθν ανάλυςι του ςε γινόμενο ανάγωγων μονικϊν πολυωνφμων. Ρροφανϊσ το πλικοσ των ανάγωγων μονικϊν πολυωνφμων ςτα οποία αναλφεται το φ(x) μπορεί να ειναι το πολφ οςο ο βακμόσ του πολυωνφμου. Ο εκκζτθσ ν j ενόσ παράγοντα τθσ μορφισ x ξ j ςτθν ανάλυςθ του πολυωνφμου ονομάηεται πολλαπλότθτα τθσ ρίηασ ξ j. Σε αυτό το ςθμείο καλό ειναι να επιςθμάνουμε ότι ζνα ανάγωγο πολυϊνυμο φ(x) F[x+ με βακμό μεγαλφτερο του 1, προφανϊσ, δεν ζχει ρίηα ςτο F. Το αντίςτροφο όμωσ, δθλαδι ότι κάκε πολυϊνυμο ςτο F[x+, που δεν ζχει ρίηα ςτο F, ειναι ανάγωγο, δεν αλθκεφει εν γενει. Για παράδειγμα, το πολυϊνυμο φ(x) = x 4 + 6x R[x+ δεν είναι ανάγωγο επι του R, εφόςον φ(x) = (x 2 + 4)(x 2 + 2) και δεν ζχει ρίηα ςτον R. Ιςχφει όμωσ θ παρακάτω πρόταςθ Πρόταςθ Ζςτω φ(x) F[x+ με βακμό 2 ι 3. Το φ(x) ζχει ρίηα ςτο F αν και μόνο αν δεν είναι ανάγωγο επι του F. Απόδειξθ Υποκζτουμε οτι το φ(x) δεν ειναι ανάγωγο επι του F. Επομζνωσ υπάρχουν μθ ςτακερά πολυϊνυμα φ 1 (x), φ 2 (x) F[x+ τζτοια ϊςτε φ(x)= φ 1 (x)φ 2 (x) και με 39

40 deg(φ 1 (x)), deg(φ 2 (x)) deg(φ(x)). Επειδι όμωσ ο βακμόσ του φ(x) είναι 2 ι 3, ζπεται οτι ο βακμόσ ενόσ απο τα φ 1 (x) και φ 2 (x) αναγκαςτικά κα είναι ιςοσ με 1. Δθλαδι ζνα από τα φ 1 (x), φ 2 (x) κα είναι τθσ μορφισ αx + β,με α,β F και α 0, οπότε το ςτοιχείο α 1 β F είναι ρίηα του φ(x) Ανάγωγα Πολυώνυμα επί του και επι του R Ζςτω το πολυϊνυμο φ(x) = x Το πολυϊνυμο αυτό ειναι ανάγωγο επί του R. Αν όμωσ πάμε ςτον χϊρο των μιγαδικϊν αρικμϊν, παρατθροφμε ότι το φ(x) αναλφεται ςε γινόμενο πρωτοβάκμιων παραγόντων ωσ εξισ : φ(x) = (x- 5 i) (x+ 5 i) Δθλαδι ζχει ρίηεσ του μιγαδικοφσ αρικμοφσ ξ 1 = 5 i και ξ 2 =- 5 i. Σ αυτο το ςθμείο κα εξετάςουμε πότε ζνα πολυϊνυμο με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ ειναι ανάγωγο επί του R και πότε επί του Πρόταςθ Ζςτω φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 μθ ςτακερό πολυϊνυμο με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ και z μια μιγαδικι του ρίηα. Τότε ο z είναι ρίηα του φ(x). Απόδειξθ Επειδι ο μιγαδικόσ αρικμόσ z ειναι ρίηα του πολυωνφμου ζχουμε ότι φ(z) = α n z n + α n 1 z n α 1 z + α 0 = 0. Επομζνωσ και ο ςυηυγισ μιγαδικόσ αρκμόσ φ(z) κα ιςοφται με το μθδζν. Δθλαδι α n z n + α n 1 z n α 1 z + α 0 = α n z n + α n 1 z n α 1 z + α 0 = 0. Επομζνωσ α n z n + α n 1 z n α 1 z + α 0 = Πρόταςθ Κάκε πολυϊνυμο φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ περιττοφ βακμοφ ζχει μία πραγματικι ρίηα. Απόδειξθ Ζνα πρωτοβακμιο πολυϊνυμο ειναι τθσ μορφισ αx + β,με α,β R και α 0, οπότε ο πραγματικόσ αρικμόσ α 1 β F είναι ρίηα του φ(x). Υποκζτουμε οτι το αποτζλεςμα ιςχφει για όλα τα πολυϊνυμα περιττοφ βακμοφ μικρότερου ι ίςου με 2κ+1. Ζςτω το πολυϊνυμο φ(x) με βακμό 2(κ+1) + 1. Από τα προθγοφμενα ζπεται ότι αν το πολυϊνυμο ζχει μία μιγαδικι ρίηα z τότε ζχει και τθν ςυηθγι αυτισ z. Επομζνωσ τα μονϊνυμα x-z και x-z διαροφν το φ(x). Άρα το γινόμενο (x-z)(x-z ) διαιρεί το φ(x) ςτο. Αλλά το πολυϊνυμο (x-z)(x-z ) ζχει πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ, επομζνωσ και το πθλίκο τθσ διαίρεςθσ, ζςτω π(x), είναι ζνα πολυϊνυμο με πραγματικοφσ 40

41 ςυντελεςτζσ και με βακμό ίςο με 2κ + 1. Από τθν υπόκεςθ ζχουμε ότι το π(x) ζχει τουλάχιςτον μια πραγματικι ρίηα, άρα το φ(x) ζχει τουλάχιςτον μια πραγματικι ρίηα Πρόταςθ Τα ανάγωγα πολυϊνυμα επί του R είναι τα πρωτοβάκμια και τα πολυϊνυμα τθσ μορφισ ax 2 + βx + γ, όπου β 2 4αγ < 0. Απόδειξθ Ρροφανϊσ τα πρωτοβάκμια πολυϊνυμα και τα πολυϊνυμα τθσ μορφισ ax 2 + βx + γ, όπου β 2 4αγ < 0 είναι ανάγωγα επί του R. Κάκε άλλο πολυϊνυμο δευτζρου βακμοφ δεν είναι ανάγωγο. Ζςτω φ(x) ζνα πολυϊνυμο με deg(φ(x)) 3. Ππωσ και ςτθν προθγοφμενθ πρόταςθ ζχουμε ότι το φ(x), αν δεν ζχει μια πραγματικι ρίηα, κα περιζχει ζναν παράγοντα τθσ μορφισ (x-z)(x-z ). Άρα δεν είναι ανάγωγο Θεμελιώδεσ Θεώρθμα τθσ Άλγεβρασ Ζςτω φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 μθ ςτακερό πολυϊνυμο με μιγαδικοφσ ςυντελεςτζσ. Τότε το φ(x) ζχει μία μιγαδικι ρίηα. Απόδειξθ Για τθν απόδειξθ του Θεμελιϊδουσ Θεωριματοσ τθσ Άλγεβρασ, χρειαηόμαςτε τισ Ρρόταςεισ και κακϊσ και δφο λιμματα, οι διατυπϊςεισ και οι αποδείξεισ των οποίων είναι οι παρακάτω Λιμμα Κάκε πολυϊνυμο δευτζρου βακμοφ με μιγαδικοφσ ςυντελεςτζσ ζχει μιγαδικζσ ρίηεσ. Απόδειξθ Ζςτω το πολυϊνυμο φ x = ax 2 + βx + γ. Οι ρίηεσ του είναι οι x 1,2 = β ± β2 4αγ 2α Από τον τφπο του DeMoivre γνωρίηουμε ότι θ τετραγωνικι ρίηα κάκε μιγαδικοφ αρικμοφ είναι μιγαδικόσ αρικμόσ. Συνεπϊσ x 1, x 2. 41

42 Λόμμα Έςτω το πολυώνυμο φ(x) F[x] με ρύζεσ ρ 1,, ρ ν F [x]. Αν υποθϋςουμε ότι το θ x = θ(x, ρ 1,, ρ ν ) F [x] εύναι ςυμμετρικό πολυώνυμο ωσ προσ τισ ρύζεσ ρ 1,, ρ ν τότε το θ(x) F[x]. Απόδειξη Αν το θ x = θ(x, ρ 1,, ρ ν ) εύναι ςυμμετρικό πολυώνυμο ωσ προσ τισ ρύζεσ ρ 1,, ρ ν, τότε ςύμφωνα με το Θεμελιώδεσ Θεώρημα των ςυμμετρικών πολυωνύμων 2, μπορεύ να γραφεύ ωσ ςυμμετρικό πολυώνυμο ςυναρτόςει των ςτοιχειωδών ςυμμετρικών πολυωνύμων. Αυτϊ όμωσ εύναι και ςυντελεςτϋσ του φ x, επομϋνωσ ανόκουν ςτο αρχικό ςώμα F. Έτςι αφού εύναι ςυντελεςτϋσ του θ x ανόκουν ςτο F, τότε θ(x) F[x]. Απόδειξη Θεμελιώδουσ Θεωρόματοσ τησ Άλγεβρασ Σύμφωνα με την πρόταςη 2.7.6, αρκεύ να δεύξουμε ότι το πολυώνυμο φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ και α n 0, ζχει τουλάχιςτον μια μιγαδικι ρίηα. Εφαρμόηουμε τθν μζκοδο τθσ μακθματικισ επαγωγισ πάνω το βακμό του πολυωνφμου. Μποροφμε να γράψουμε το βακμό n του πολυωνφμου με μοναδικό τρόπο ωσ n = 2 m q, όπου q περιττόσ. Εφαρμόηουμε επαγωγι ςτον m. Αν m=0,τότε το φ(x) είναι περιττοφ βακμοφ και το κεϊρθμα αποδείχτθκε από τθν πρόταςθ Υποκζτουμε τϊρα ότι το κεϊρθμα ιςχφει για όλα τα πολυϊνυμα βακμοφ d = 2 k q,όπου k<m και q περιττόσ. Θα δείξουμε ότι ιςχφει και για το πολυϊνυμο φ(x) βακμοφ n = 2 m q όπου q περιττόσ. Ζςτω F το ςϊμα αναλφςεωσ του φ(x) πάνω ςτον R ςτο οποίο ζχει ρίηεσ ρ 1,, ρ ν. Σχθματίηουμε το πολυϊνυμο Η x = (x ρ ι + ρ j + ρ ι ρ j )) 1 i j n F [x] H ιςότθτα x (ρ ι + ρ j + ρ ι ρ j ) = x (ρ j + ρ i + ρ j ρ i ) Δείχνει ότι το H(x) είναι γινόμενο που κακορίηεται από ηεφγθ ριηϊν και μζνει αναλλοίωτο από τισ μετακζςεισ τουσ. Ζτςι για να ςχθματίςουμε το H(x) παίρνουμε ηεφγθ ριηϊν (ρ i, ρ j ), οφτωσ ϊςτε το πλικοσ αυτϊν των ηευγϊν να ιςοφται με τον 2 Κάκε ςυμμετρικό πολυϊνυμο μπορεί να γραφεί ωσ πολυϊνυμο των ςτοιχειωδϊν ςυμμετρικϊν πολυωνφμων. 42

43 αρικμό των επιλογϊν δφο ςτοιχείων από n = 2 m q ςτοιχεία. Το πλικοσ αυτό είναι ίςο με n(n 1) 2 = (2m q)(2 m q 1) 2 = 2 m 1 q 2 m q 1 = 2 m 1 q με q περιττό ωσ γινόμενο δφο περιττϊν. Επομζνωσ ο βακμόσ του H(x) είναι 2 m 1 q. Το Η(x) είναι ςυμμετρικό πολυϊνυμο των ριηϊν ρ 1,, ρ ν. Επειδι όμωσ αυτζσ είναι ρίηεσ πολυωνφμου με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ, από το Λιμμα κάκε πολυϊνυμο ςυμμετρικό ωσ πρόσ τισ ρίηεσ του, ςτο ςϊμα αναλφςεωσ του, ζχει πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ. Επομζνωσ Η(x) R[x+ με βακμό 2 m 1 q. Από τθν υπόκεςθ τθσ μακθματικισ επαγωγισ, το H(x) κα ζχει μία μιγαδικι ρίηα. Το οποίο ςθμαίνει πωσ, λόγω τθσ καταςκευισ του Η(x), υπάρχει ηεφγοσ (ρ i, ρ j ) με ρ ι + ρ j + ρ ι ρ j C Εφόςον ο h είναι τυχαίοσ ακζραιοσ, για κάκε ακζραιο i κα πρζπει να υπάρχει τζτοιο ηεφγοσ (ρ i, ρ j ) με ρ ι + ρ j + i ρ ι ρ j C Ο i μεταβάλλεται ςτο ςφνολο των ακεραίων. Επειδι όμωσ τα ηεφγθ (ρ i, ρ j ) είναι πεπεραςμζνα ςε πλικοσ κα πρζπει να υπάρχουν τουλάχιςτον δφο διαφορετικοί ακζραιοι 1, 2 Ζ C ςυμπεραίνουμε ότι ρ i, ρ j C. Ζτςι το πολυϊνυμο κ x = x ρ i x ρ j = x 2 (ρ i + ρ j )x + ρ i ρ j C[x] Το κ(x) όμωσ είναι ζνα δευτεροβάκμιο πολυϊνυμο κι ζτςι από το Λιμμα ζχει μιγαδικζσ ρίηεσ οι οποίεσ είναι οι ρ i και ρ j. Οπότε ρ i, ρ j C,δθλαδι και το αρχικό πολυϊνυμο φ(x) ζχει τουλάχιςτον μία μιγαδικι ρίηα Πρόταςθ 3 Για κάκε μθ ςτακερό πολυϊνυμο φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 με μιγαδικοφσ ςυντελεςτζσ βακμοφ n υπάρχουν z 1, z 2,, z n (όχι απαραίτθτα διακεκριμζνα) ζτςι ϊςτε φ(x) = α n x n + α n 1 x n α 1 x + α 0 = α n (x-z 1 ) (x- z n ). Απόδειξθ Άμεςο με επαγωγι ςτον βακμό του πολυωνφμου. 3 Η ςυγκεκριμζνθ πρόταςθ μπορεί να διατυπωκει ιςοδφναμα και ωσ εξισ : «Τα μόνα ανάγωγα πολυϊνυμα επί του C είναι τα πολυϊνυμα βακμοφ ζνα» 43

44 Επίλυςη πολυωνυμικών εξιςώςεων μιασ μεταβλητήσ Πολυωνυμικζσ εξιςώςεισ 1 ου βακμοφ Ζςτω f(x) = αx + β, με α 0. Ρροκειμζνου να βροφμε τθν ρίηα του πολυωνφμου αρκεί να λφςουμε τθν εξίςωςθ αx + β = 0. H επίλυςθ ειναι απλι με τθν μζκοδο διαχωριςμοφ γνωςτων και αγνϊςτων και διδάςκεται ςτθν Α γυμναςίου. Τα παιδιά γνωρίηουν πωσ να λφνουν τζτοιεσ εξιςϊςεισ και απο το δθμοτικό αλλά ςε πιό απλι μορφι, ζχοντασ γίνει απο πρίν ο διαχωριςμόσ και φυςικά χωρίσ αρνθτικοφσ αρικμοφσ. Επίλυςθ αx + β = 0 αx = - β x = - β α Ζαν ςτισ υποκζςεισ μασ παραλείψουμε το α 0, τότε θ επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ διαμορφϊνεται ανάλωγα με τισ περιπτϊςεισ. Ζτςι ζχουμε. 1 θ Ρερίπτωςθ : α 0 Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ αx + β = 0 αx = - β x = - β α 2 θ Ρερίπτωςθ : α = 0 και β = 0 Η εξίςωςθ είναι αόριςτθ. 0x = 0 3 θ Ρερίπτωςθ : α = 0 και β 0 Η εξίςωςθ ειναι αδφνατθ. 0x = - β 44

45 3.1.2 Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Η πρωτοβάκμια εξίςωςθ είναι θ πιο απλι ςτθν επίλυςθ τθσ, γι αυτό και ζνα πρόγραμμα επιλυςισ τουσ δεν είναι και τόςο απαραίτθτο. Ραρ όλα αυτά, το παρουςιάηουμε ςε αυτό το ςθμείο, κακϊσ κα μασ χρειαςτεί ςτο τελευταίο πρόγραμμα επίλυςθσ εξιςϊςεων γενικά, ανεξάρτθτα απο το βακμό τουσ, ϊσ μζροσ του αλγόρικμου. Το διαγραμμα ροισ του προγράμματοσ ειναι το παρακάτω. ΑΡΧΗ ΓΡΑΨΔ 'Γωζε ηον ζςνηελεζηη ηος x' ΓΙΑΒΑΣΔ α ΓΡΑΨΔ 'Γωζε ηον ζηαθεπο οπο' ΓΙΑΒΑΣΔ β ΓΡΑΨΔ 'Η εξιζωζη πος θερ να λςθει ειναι η', α, 'x +', β, '=0' ΓΡΑΨΔ 'Σωζηα Ν(αι)/Ο(σι)?' ΓΙΑΒΑΣΔ π π = 'Ν'Η π='ν' Α Ψ α=0 Α Ψ β=0 Α Ψ ΓΡΑΨΔ 'Η εξίζωζη ειναι αόπιζηη' ΓΡΑΨΔ 'H εξίζωζη ειναι αδςναηή' x <-- (-1)*β/α ΓΡΑΨΔ 'Η εξίζωζη έσει μοναδική λύζη ηην x=', x ΓΡΑΨΔ ' Τπέξε ξανα ηο ππόγπαμμα' ΤΔΛΟΣ 45

46 Το πρόγραμμα διακζτει ϊσ δεδομζνα ειςόδου μόνο τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο' Διαβαςε β Η μεταβλθτεσ ειςόδου «α» και «β» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x +',β,'=0' Γραψε 'Σωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Εδϊ θ μεταβλθτι ειςόδου «test» είναι ΧΑΑΚΤΗΑΣ.Σε αυτό το ςθμείο ειςάγουμε τθν εντολι αν... τότε.εάν το «test» πάρει τιμι διαφορετικι απο το «Ν» ι «ν», τερματίηει το πρόγραμμα βγάηοντασ τθν ζνδειξθ «Τρζξε ξανά το πρόγραμμα». Αλλιϊσ, αν λάβει τιμι «Ν» ι «ν», ςυνεχίηει ςτθν επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ. Το πρόγραμμα ςυνεχίηεται με εντολθ αν... τότε ϊςτε να μελετιςει τισ τρείσ διαφορερικζσ περιπτϊςεισ επίλυςθσ. Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αόριςτθ' Αλλιϊσ Γραψε 'H εξίςωςθ ειναι αδυνατι' Τζλοσ_αν Σε αυτό το ςθμείο καλφπτουμε τισ περιπτϊςεισ το ςυςτθμα να ζχει ςυντελεςτι του x το μθδζν, και επομζνωσ να είναι είτε αδφνατο ζιτε αόριςτο. Συνεχίηουμε αλλιωσ x <-- (-1)*β/α Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Τζλοσ_αν Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Ρρόγραμμα πρωτοβακμια_εξιςωςθ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ: α,β,x ΧΑΑΚΤΗΕΣ: test 46

47 Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο' Διαβαςε β Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x +',β,'=0' Γραψε 'Σωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Αν π = 'Ν'ι π='ν' τοτε Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αόριςτθ' Αλλιϊσ Γραψε 'H εξίςωςθ ειναι αδυνατι' Τζλοσ_αν Αλλιϊσ x <-- (-1)*β/α Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Τζλοσ_αν Αλλιωσ Γραψε ' Τρζξε ξανα το πρόγραμμα' Τελοσ_αν ΤΕΛΟΣ_ΡΟΓΑΜΜΑΤΟΣ 47

48 Ραράδειγματα 1. 3x + 5 = 0 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». 48

49 Το πρόγραμμα υπολογίηει τθν λφςθ τθσ εξίςωςθσ 49

50 2. Αόριςτθ (α=0, β=0) 3. Αδφνατθ (α=0, β 0) 50

51 3.2.1 Πολυωνυμικζσ εξιςώςεισ 2 ου βακμοφ Ζςτω f(x)=ax 2 + βx + γ, a 0. H εφρεςθ των ριηϊν τθσ ςυνάρτθςθσ προκφπτει από τθν λφςθ τθσ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ ax 2 + βx + γ = 0 ςτον C. Η μζκοδοσ που διδάςκεται ςτο ςχολείο και αρχικά ςτθν Γ Γυμναςίου, ειναι θ μζκοδοσ ςυμπλιρωςθσ τετραγϊνου. Στθν Γ Γυμναςίου και ςτθν Α Λυκείου, αναηθτοφμε τισ λφςεισ τθσ εξίςωςθσ ςτον Rκαι όχι ςτον C, κάτι το οποίο γίνεται μόνο ςτθν Γ Λυκείου και ςυγκεκριμζνα ςτο μάκθμα τθσ Θετικισ και τθσ Τεχνολογικισ Κατεφκυνςθσ. Ασ δοφμε τθν μζκοδο αναλυτικά. ax 2 + βx + γ = 0 x 2 + β α x + γ α = 0 (αφοφ α 0) x 2 + β α x = γ α x β 2α x = γ α x β β 2 x + = γ + β 2 2α 4α 2 α 4α 2 (Συμπλθρϊςαμε το 1ο μζλοσ ϊςτε να γίνει τετράγωνο) ( x + β ) 2 = β 2 4αγ 2α 4α 2 Αν κζςουμε Δ= β 2 4αγ, τότε θ τελευταία εξίςωςθ γίνεται : ( x + β 2α ) 2 = Δ 4α 2 Διακρίνουμε περιπτϊςεισ. 1 θ Ρερίπτωςθ : Δ>0 Στθν περίπτωςθ αυτι ζχουμε : x + β 2α = 2α Δ ι x + β 2α = - 2α Δ Δθλαδι x = β+ Δ 2α ι x= β Δ 2α 2 θ Ρερίπτωςθ : Δ=0 Στθν περίπτωςθ αυτι ζχουμε : ( x + β 2α ) 2 = 0 Δθλαδι 51

52 x = β 2α Σε αυτιν τθν περίπτωςθ λζμε ότι θ εξίςωςθ ζχει διπλι ρίηα τθν β 2α. 3 θ Ρερίπτωςθ : Δ<0. Αν είμαςτε ςτον χϊρο των πραγματικϊν αρικμϊν, τότε θ εξίςωςθ δεν ζχει ρίηεσ. Αν όμωσ βριςκόμαςτε ςτον C τότε ζχουμε : x + β 2α = i Δ 2α ι x + β 2α = - i Δ 2α Δθλαδι x = β+i Δ 2α ι x= β i Δ 2α Σε αυτιν τθν περίπτωςθ λοιπον, θ εξίςωςι μασ ζχει δφο ρίηεσ μιγαδικζσ και μάλιςτα, όπωσ περιμζναμε και απο τισ προθγοφμενεσ προτάςεισ, ςυηυγείσ. Συνοψίηοντασ λοιπόν, όταν κζλουμε να λφςουμε τθν εξίςωςθ : ax 2 + βx + γ = 0, βρίςκουμε τθν διακρίνουςα Δ=β 2 4αγ και διακρίνουμε περιπτϊςεισ i) Αν Δ>0, τότε x 1,2 = ii) iii) β± Δ 2α Αν Δ=0, τότε x = β 2α Αν Δ<0, τότε x 1,2 = β±i Δ 2α Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τον ςυντελεςτι του x 2, τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε γ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β» και «γ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. 52

53 Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^2 +',β,'x +',γ,'=0' Γραψε 'Σωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Εδϊ θ μεταβλθτι ειςόδου «test» είναι ΧΑΑΚΤΗΑΣ.Σε αυτό το ςθμείο ειςάγουμε τθν εντολι αν... τότε.εάν το «test» πάρει τιμι διαφορετικι απο το «Ν» ι «ν», τερματίηει το πρόγραμμα βγάηοντασ τθν ζνδειξθ «Τρζξε ξανά το πρόγραμμα». Αλλιϊσ, αν λάβει τιμι «Ν» ι «ν», ςυνεχίηει ςτθν επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ. Σαν πρϊτο βιμα, το πρόγραμμα πρζπει να ελζγξει αν όντωσ θ εξίςωςθ που δϊςαμε είναι δευτεροβάκμια. Αυτό γίνεται ελζγχοντασ αν το α 0. Αν το α=0 τότε ςυνεχίηει λφνοντασ τθν εξίςωςθ ςαν να είναι πρωτοβάκμια, χρθςιμοποιϊντασ το πρόγραμμα που παρουςιάςαμε ςτθν επίλυςθ πρωτοβάκμιασ εξίςωςθσ, ωσ εξισ. Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Αν γ=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αδφνατθ' Αλλιϊσ Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αόριςτθ' Τζλοσ_αν Αλλιϊσ X <-- (-1)*γ/β Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Τζλοσ_αν Αλλιϊσ Στθν περίπτωςθ που το α 0, το πρόγραμμα καλείται να υπολογίςει τθν Διακρίνουςα τθσ εξίςωςθσ. Δ <-- β^2-4*α*γ Και να διακρίνει περιπτϊςεισ ϊςτε να οδθγικει ςτθν λφςθ τθσ εξίςωςθσ και να παρουςιάςει τισ λφςεισ αυτισ. 1 θ περιπτωςθ. Δ>0 Αν Δ>0 τότε x1 <-- ((-1)*β+Τ_(Δ))/(2*α) x2 <-- ((-1)*β-Τ_(Δ))/(2*α) Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει δφο ρίηεσ πραγματικζσ και άνιςεσ τισ' 53

54 Γραψε ' x1 =',x1, 'και x2 = ',x2 2 θ Ρερίπτωςθ. Δ=0 Αλλιϊσ_αν Δ=0 τότε x <-- ((-1)*β)/(2*α) Γραψε 'H εξίςωςθ ζχει μια διπλι ρίηα τθν x=', x 3 θ Ρερίπτωςθ. Δ<0 Αλλιϊσ Γραψε 'Η εξίςωςθ δεν ζχει πραγματικζσ ρίηεσ' Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Ρρόγραμμα δευτεροβάκμια ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ: α,β,γ,x,x1,x2,δ ΧΑΑΚΤΗΕΣ: π Αρχθ Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε γ Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^2 +',β,'x +',γ,'=0' Γραψε 'Σωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε π Αν π = 'Ν'ι π='ν' τοτε Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Αν γ=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αδφνατθ' Αλλιϊσ Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αόριςτθ' Τζλοσ_αν Αλλιωσ x <-- (-1)*γ/β Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Τζλοσ_αν Αλλιϊσ Δ <-- β^2-4*α*γ Αν Δ>0 τότε x1 <-- ((-1)*β+Τ_(Δ))/(2*α) x2 <-- ((-1)*β-Τ_(Δ))/(2*α) 54

55 Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει δφο ρίηεσ πραγματικζσ και άνιςεσ τισ' Γραψε ' x1 =',x1, 'και x2 = ',x2 Αλλιϊσ_αν Δ=0 τότε x <-- ((-1)*β)/(2*α) Γραψε 'H εξίςωςθ ζχει μια διπλι ρίηα τθν x=', x Αλλιϊσ Δ <-- (-1)*Δ z1 <-- Τ_(Δ)/(2*α) x1 <-- (((-1)*β)/2*α) Γραψε 'Η εξίςωςθ δεν ζχει δυο ςυηυγεισ μιγαδικεσ ρίηεσ' Γραψε 'x1=',x1,'+',z1,'i','και x2=',x1,'-',z1,'i' Τελοσ_αν Τελοσ_αν Aλλιϊσ Γραψε 'Τρεξε ξανά το πρόγραμμα' Tζλοσ_αν ΤΕΛΟΣ_ΡΟΓΑΜΜΑΤΟΣ Ραραδείγματα 1. x 2 + 5x + 6 = 0 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τον ςυντελεςτι του x 2, τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. 55

56 Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». Το πρόγραμμα υπολογίηει τισ λφςεισ τθσ εξίςωςθσ 56

57 2. x 2 + 4x + 4 = 0 3. x 2 + 4x + 5 = 0 57

58 58

59 3.3.1 Πολυωνυμικζσ εξιςώςεισ 3 ου βακμοφ Ζςτω f(x)=ax 3 + βx 2 + γx + δ, a 0. H εφρεςθ των ριηϊν τθσ ςυνάρτθςθσ προκφπτει από τθν λφςθ τθσ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ ax 3 + βx 2 + γx + δ = 0 ςτον C. Στο ςχολείο και ςυγκεκριμζνα ςτθν Β Λυκείου, οι μακθτζσ μακαίνουν να λφνουν ςυγκεκριμζνεσ μόνο πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 3 ου βακμοφ. Αυτζσ είτε παραγοντοποιοφνται εφκολα ςυνικωσ με τθν μζκοδο τθσ ομαδοποίθςισ, είτε λφνονται με το ςχιμα Horner ζχοντασ ςίγουρα μια ακζραια ρίηα. Ραρακάτω κα παρουςιάςουμε αναλυτικά τον τρόπο επίλυςθσ μιασ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ 3 ου βακμοφ με δφο τρόπουσ. Ρρίν όμωσ τθν παρουςίαςθ, είναι ενδιαφζρον να δοφμε μια μζκοδο εφρεςθσ του είδουσ των ριηϊν μιασ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ 3 ου βακμοφ, μζςω δφο διακρινουςϊν όπωσ παρακάτω Είδοσ Ριηών Σριτοβάκμιασ Εξίςωςθσ. Ζςτω θ εξίςωςθ τρίτου βακμοφ : f(x) = ax 3 + βx 2 + γx + δ = 0, με α, β, γ, δ R, a 0. (1) Η εξίςωςθ αυτι μπορεί να ζχει 4 είδθ ριηϊν. i. Τρείσ άνιςεσ πραγματικζσ ρίηεσ : ρ 1 < ρ 2 < ρ 3 ii. Μία απλι και μία διπλι πραγματικι ρίηα : ρ 1 και ρ 2 = ρ 3 iii. Μια τριπλι πραγματικι ρίηα : ρ 1 = ρ 2 = ρ 3 iv. Μια πραγματικι και δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ ρ 1, z και z To είδοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ κα το προςδιορίςουμε μζςω δφο Διακρινουςϊν, τθσ κφριασ Διακρίνουςασ Δ 1 και τθσ δευτερεφουςασ Διακρίνουςασ Δ 2, οι οποίεσ ορίηονται ωσ εξισ. Διακρίνουμε περιπτϊςεισ Δ 1 = 4αγ 3 + 4δβ α 2 δ 2 β 2 γ 2 18αβγδ Και Δ 2 = β 2 3αγ i. Αν Δ 1 < 0, τότε θ εξίςωςθ ζχει τρείσ άνιςεσ πραγματικζσ ρίηεσ ii. Αν Δ 2 > 0 και Δ 1 = 0, τότε θ εξίςωςθ ζχει μια απλι πραγματικι και μία διπλι πραγματικι ρίηα iii. Αν Δ 2 = 0 και Δ 1 = 0, τότε θ εξίςωςθ ζχει μια τριπλι πραγματικι ρίηα iv. Αν Δ 2 > 0 και Δ 1 > 0, θ εξίςωςθ ζχει μια πραγματικι και δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ. 59

60 Ραραδείγματα 1. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ Υπολογίηω τισ διακρίνουςεσ x 3 6x x 6 = 0 Λφςθ Δ 1 = ( 6) Δ 1 = 4 Και Δ 2 = ( 6) Δ 2 = 3 Άρα εφόςον Δ 1 = 4 < 0, θ εξίςωςθ ζχει τρείσ άνιςεσ πραγματικζσ ρίηεσ. 2. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ Υπολογίηω τισ διακρίνουςεσ x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 Λφςθ Δ 1 = ( 4) Δ 1 = 0 Και Δ 2 = ( 5) Δ 2 = 1 Άρα εφόςον Δ 1 = 0 και Δ 2 = 1 > 0 θ εξίςωςθ ζχει μια απλι πραγματικι και μία διπλι πραγματικι ρίηα. 3. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 Λφςθ 60

61 Υπολογίηω τισ διακρίνουςεσ Δ 1 = Δ 1 = 0 Και Δ 2 = Δ 2 = 0 Άρα εφόςον Δ 1 = 0 και Δ 2 = 0 θ εξίςωςθ ζχει μια τριπλι πραγματικι ρίηα. 4. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ Υπολογίηω τισ διακρίνουςεσ x 3 x 2 x 2 = 0 Λφςθ Δ 1 = 4 1 ( 1) ( 1) ( 2) 2 ( 1) 2 ( 1) ( 2) Δ 1 = 135 Και Δ 2 = ( 1) ( 1) Δ 2 = 4 Άρα εφόςον Δ 1 = 135 > 0 και Δ 2 = 4 > 0 θ εξίςωςθ ζχει μια πραγματικι και δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ Εφρεςθ του Είδουσ Ριηών Σριτοβάκμιασ Εξίςωςθσ με τθν χριςθ τθσ Γλώςςομάκειασ Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τον ςυντελεςτι του x 3, τον ςυντελεςτι του x 2, τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^3' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε γ Γραψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' 61

62 Διαβαςε δ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ» και «δ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^3 +',β,'x^2 +',γ,'x+',δ,'=0' Γραψε 'ωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Εδϊ θ μεταβλθτι ειςόδου «test» είναι ΧΑΑΚΤΗΑΣ.Σε αυτό το ςθμείο ειςάγουμε τθν εντολι αν... τότε.εάν το «test» πάρει τιμι διαφορετικι απο το «Ν» ι «ν», τερματίηει το πρόγραμμα βγάηοντασ τθν ζνδειξθ «Τρζξε ξανά το πρόγραμμα». Αλλιϊσ, αν λάβει τιμι «Ν» ι «ν», ςυνεχίηει ςτθν επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ. Το πρόγραμμα ςυνεχίηει με τον υπολογιςμό των Διακρινουςϊν ωσ εξισ Δ1 <-- 4*α*(γ^3)+4*δ*(β^3)+27*(α^2)*(δ^2)-(β^2)*(γ^2)-18*α*β*γ*δ Δ2 <-- (β^2)-3*α*γ Στθν ςυνζχεια διερευνά το είδοσ των ριηϊν ανάλογα με το πρόςθμο των Δ1 και Δ2. Αυτι θ διαδικαςία γίνεται με τισ παρακάτω εντολζσ. Αν Δ1<0 και Δ2>0 τότε Γραψε 'Σρεισ λφςεισ πραγματικζσ και άνιςεσ' Αλλιϊσ_αν Δ2>0 και Δ1=0 τότε Γραψε 'Μια απλι πραγματικι και μία διπλι πραγματικι ρίηα' Αλλιϊσ_αν Δ1=0 και Δ2=0 τότε Γραψε 'Μια τριπλι πραγματικι ρίηα' Αλλιωσ Γραψε 'Μια πραγματικι και δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ' Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Πρόγραμμα ΕίδοσΡιηων ΜΕΣΑΒΛΗΣΕ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ: α,β,γ,δ,δ1,δ2 ΧΑΡΑΚΣΗΡΕ: test Αρχθ Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^3' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' 62

63 Διαβαςε γ Γραψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε δ Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να διερευνιςεισ το είδοσ των ριηϊν τθσ ειναι θ' Γραψε α,'x^3 +',β,'x^2 +',γ,'x+',δ,'=0' Γραψε 'ωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε Αν α=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ που κεσ να λυςεισ δεν ειναι τριτοβάκμια' Aλλιϊσ Δ1 <-- 4*α*(γ^3)+4*δ*(β^3)+27*(α^2)*(δ^2)-(β^2)*(γ^2)-18*α*β*γ*δ Δ2 <-- (β^2)-3*α*γ Γραψε 'Οι Διακρίνουςεσ τθσ εξίςωςθσ ειναι οι' Γραψε 'Δ1=',Δ1,'και Δ2=',Δ2 Γραψε ' ' Γραψε ' και επομζνωσ θ εξίςωςθ ζχει' Αν Δ1<0 και Δ2>0 τότε Γραψε 'Σρεισ λφςεισ πραγματικζσ και άνιςεσ' Aλλιϊσ_αν Δ2>0 και Δ1=0 τότε Γραψε 'Μια απλι πραγματικι και μία διπλι πραγματικι ρίηα' Aλλιϊσ_αν Δ1=0 και Δ2=0 τότε Γραψε 'Μια τριπλι πραγματικι ρίηα' Αλλιωσ Γραψε 'Μια πραγματικι και δφο ςυηυγείσ μιγαδικζσ ρίηεσ' Tελοσ_αν Tζλοσ_αν Aλλιϊσ Γραψε 'Ξανατρζξε το πρόγραμμα' Tζλοσ_αν ΣΕΛΟ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΟ Ραραδείγματα 1. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ x 3 6x x 6 = 0 Λφςθ Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τον ςυντελεςτι του x 3,τον ςυντελεςτι του x 2 τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. 63

64 Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». Το πρόγραμμα παρουςιάηει τισ Διακρίνουςεσ κακϊσ και το είδοσ των ριηϊν τθσ εξίςωςθσ 64

65 2. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 65

66 3. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = 0 4. Να βρεκεί το είδοσ των ριηϊν, χωρίσ να υπολογιςτοφν, τθσ εξίςωςθσ x 3 x 2 x 2 = 0 66

67 67

68 θ Μζκοδοσ Μεταςχθματιςμών Ζςτω θ εξίςωςθ τρίτου βακμοφ : f(x) = ax 3 + βx 2 + γx + δ = 0, με α, β, γ, δ R, a 0. (1) Εφόςον το α είναι διαφορετικό απο το μθδζν, μποροφμε να διαιρζςουμε το f(x) με το α και να καταλιξουμε ςτο μονικό πολυϊνυμο f*(x) = f(x), το οποίο ζχει τισ ίδιεσ ρίηεσ με το f(x). Επομζνωσ θ αναηιτθςθ των ριηϊν του f(x) μετατράπθκε ςε αναηιτθςθ των ριηϊν τθσ f*(x). a f*(x) = f(x) a = x 3 + β α x2 + γ α x + δ α = 0, με α, β, γ, δ R, a 0. Επειδι το πολυϊνυμο f*(x) ειναι τρίτου βακμοφ με πραγματικοφσ ςυντελεςτζσ, κα υπάρχει τουλάχιςτον μία ρίηα πραγματικι και ακόμθ δφο, είτε πραγματικζσ είτε ςυηυγείσ μιγαδικζσ. Ασ κζςουμε Α = β α εξίςωςθ., Β = γ α, Γ = δ α. Ζχουμε λοιπόν να λφςουμε τθν παρακάτω Κάνουμε τον μεταςχθματιςμό x 3 + Αx 2 + Βx + Γ = 0 (2) x = t A 3 (3) και ζτςι καταλιγουμε ςτθν εξίςωςθ με t 3 + tp + q = 0 (4) p = B A2 3, q = Γ + 2Α3 9ΑΒ 27 (5) Ρροκειμζνου να λφςουμε τθν εξίςωςθ (4), εργαηόμαςτε ωσ εξισ. Ζςτω ξ, ω με ξ 3 ω 3 = q, (ξ ω) 3 = ξ 3 ω 3 = p 3 27 (6) Οι παραπάνω εξιςϊςεισ μασ λζνε οτι γνωρίηουμε τθ διαφορά ξ 3 ω 3 = q και το γινόμενο ξ 3 ω 3 = p 3 δφο ποςοτιτων. Εφκολο ειναι να τισ βροφμε οδθγοφμενοι 27 ςε ζνα δευτεροβάκμιο τριϊνυμο. Βρίςκουμε λοιπόν τα παρακάτω : ξ 3 = q 2 + q p 3 27, ω3 = q 2 q p 3 27 (7) Αν κεωριςουμε τθν ταυτότθτα : 68

69 (ω ξ) 3 = ω 3 3ω 2 ξ + 3ωξ 2 ξ 3 (ω ξ) 3 = ω 3 3ωξ(ω ξ) ξ 3 (8) Τότε θ ςχζςθ (7) γράφεται (ω ξ) 3 + ξ 3 ω 3 + 3ωξ ω ξ = 0 (9) Και αντικακιςτϊντασ τισ ςχζςεισ απο τθν (6), ζχουμε (ω ξ) 3 + q + p ω ξ = 0 (10) Ραρατθροφμε απο τθν τελευταία ςχζςθ ότι οι ρίηεσ που ψάχνουμε ειναι τθσ μορφισ ω ξ, αλλά τισ τιμζσ των ω, ξ τισ ζχουμε ιδθ υπολογίςει. Ραρατθροφμε επίςθσ, ότι απο τισ ςχζςεισ (7) οδθγοφμαςτε ςε τρείσ τιμζσ για το ξ και τρείσ τιμζσ για το ω. Πμωσ το πολυϊνυμο ζχει ακριβϊσ τρείσ ρίηεσ ςτο ςφνολο C των μιγαδικϊν αρικμϊν. Συνεχίηουμε ϊσ εξισ: i) Οι τρείσ ρίηεσ τθσ μονάδασ, δθλαδι του πολυωνφμου x 3 1 ςτο ςφνολο C των μιγαδικϊν αρικμϊν ειναι οι z 0 = 1, z 1 = i 3 2, z 2 = 1 2 i 3 2 ii) Από τισ ςχζςεισ (7), ζχουμε για το ξ τρείσ τιμζσ τισ ξ 0 = 3 q + q 2 + p , ξ 1 = z 1 3 q + q 2 + p , ξ 2 = z 2 3 q + q 2 + p iii) Πμοια, για το ω ζχουμε άλλεσ τρείσ τιμζσ, τισ: 3 ω 0 = q + q 2 + p , ω 1 = z 1 q + q 2 + p , 3 ω 2 = z 2 q + q 2 + p iv) Οι εξιςϊςεισ (6) μασ λζνε τελικά ότι οι τρείσ ρίηεσ του πολυωνφμου, που ψάχνουμε ειναι: 69

70 ω 0 ξ 0, ω 2 ξ 1, ω 1 ξ Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Ο παρακάτω αλγόρικμοσ αναφζρεται ςτο πρόγραμμα επίλυςθσ τριτοβάκμιασ εξίςωςθσ, και μόνο. Δεν επιλφει δθλαδι το πρόγραμμα τθν περίπτωςθ που του α=0. Αυτό γίνεται διότι, μετά το τζλοσ τθσ παρουςίαςθσ του ςυγκεκριμζνου προγράμματοσ, κα παρουςιάςουμε ζνα πρόγραμμα που κα επιλφει κάκε εξίςωςθ τθσ μορφισ ax 3 + βx 2 + γx + δ = 0, ανεξάρτθτα απο το αν το α=0 ι όχι. Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τον ςυντελεςτι του x 3, τον ςυντελεςτι του x 2, τον ςυντελεςτι του x και τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^3' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε γ Γραψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε δ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ» και «δ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^3 +',β,'x^2 +',γ,'x+',δ,'=0' Γραψε 'ωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Εδϊ θ μεταβλθτι ειςόδου «test» είναι ΧΑΑΚΤΗΑΣ.Σε αυτό το ςθμείο ειςάγουμε τθν εντολι αν... τότε.εάν το «test» πάρει τιμι διαφορετικι απο το «Ν» ι «ν», τερματίηει το πρόγραμμα βγάηοντασ τθν ζνδειξθ «Τρζξε ξανά το πρόγραμμα». Αλλιϊσ, αν λάβει τιμι «Ν» ι «ν», ςυνεχίηει ςτθν επίλυςθ τθσ εξίςωςθσ. Ωσ πρϊτο βιμα, το πρόγραμμα κα κάνει τισ μεταβολζσ που χρειάηεται ϊςτε το πολυϊνυμο f(x)=ax 3 + βx 2 + γx + δ, a 0, να γίνει μονικό. Τον μεταςχθματιςμό δθλαδι, x 3 + Αx 2 + Βx + Γ = 0 με Α = β α, Β = γ α, Γ = δ α. 70

71 Αυτό πραγματοποιείται με τισ εντολζσ. Κ <-- β/α Λ <-- γ/α Μ <-- δ/α Στθν ςυνζχεια, υπολογίηουμε τα p = B A2 3, q = Γ + 2Α3 9ΑΒ 27 με τισ εντολζσ p <-- Λ-((Κ^2)/3) q <-- Μ +(((2*Κ^3)-9*Κ*Λ)/27) Ρροκειμζνου να οδθγθκοφμε ςτθν λφςθ τθσ εξίςωςθσ, χρειάηεται ο υπολογιςμόσ των ξ 3 = q + q 2 + p εντολζσ 27, ω3 = q 2 + q p Αυτό επιτυγχάνεται με τισ ξ <-- (Α_Σ((q/2)+(Σ_Ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27)))))^(1/3) ω <-- (Α_Σ((-q/2)+(Σ_Ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27)))))^(1/3) Σε αυτό το ςθμείο, το πρόγραμμα είναι ζτοιμο να παρουςιάηει τισ λφςεισ. Οπωσ είδαμε και παραπάνω, οι τρείσ λφςεισ είναι οι ω 0 ξ 0, ω 2 ξ 1, ω 1 ξ 2, όπου ξ 0 = 3 q + q 2 + p , ξ 1 = z 1 3 q + q 2 + p , ξ 2 = z 2 3 q + q 2 + p Και 3 ω 0 = q + q 2 + p , ω 1 = z 1 q + q 2 + p , ω 2 = z 2 q + q 2 + p Αυτό επιτυγχάνεται με τισ εντολζσ Γραψε 'Οι λυςεισ τθσ εξίςωςθσ ειναι οι' Γραψε 'ω-ξ,ω2-ξ1, ω1-ξ2' Γραψε ' Οπου ω=',ω,'ξ=',ξ, 'και' Γραψε ' ξ1=ξ*z1, ξ2=ξ*z2,ω1=v*z1, ω2=ω*z2' Γραψε ' με z1=-1/2 + (i*3^(1/2))/2, z2=-1/2 - (i*3^(1/2))/2' Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Πρόγραμμα τριτοβακμια ΜΕΣΑΒΛΗΣΕ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ: α,β,γ,δ,κ,λ,μ,q,p,ξ,ω ΧΑΡΑΚΣΗΡΕ: test Αρχθ 71

72 Ραράδειγμα Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^3' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε γ Γραψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε δ Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^3 +',β,'x^2 +',γ,'x+',δ,'=0' Γραψε 'ωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε Αν α=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ που κεσ να λυςεισ δεν ειναι τριτοβάκμια' αλλιϊσ Κ <-- β/α Λ <-- γ/α Μ <-- δ/α p <-- Λ-((Κ^2)/3) q <-- Μ +(((2*Κ^3)-9*Κ*Λ)/27) ξ <-- (Α_Σ((q/2)+(Σ_Ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27)))))^(1/3) ω <-- (Α_Σ((-q/2)+(Σ_Ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27))))))^(1/3) Γραψε 'Οι λυςεισ τθσ εξίςωςθσ ειναι οι' Γραψε 'ω-ξ,ω2-ξ1, ω1-ξ2' Γραψε ' Οπου ω=',ω,'ξ=',ξ, 'και' Γραψε ' ξ1=ξ*z1, ξ2=ξ*z2,ω1=v*z1, ω2=ω*z2' Γραψε ' με z1=-1/2 + (i*3^(1/2))/2, z2=-1/2 - (i*3^(1/2))/2' τζλοσ_αν αλλιϊσ Γραψε 'Ξανατρζξε το πρόγραμμα' τζλοσ_αν ΣΕΛΟ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΟ 1. x 3 3x 2 + 5x 4 = 0 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τον ςυντελεςτι του x 3,τον ςυντελεςτι του x 2 τον ςυντελεςτι του x και 72

73 τον ςτακερό όρο τθσ εξίςωςθσ. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». Το πρόγραμμα υπολογίηει τισ λφςεισ τθσ εξίςωςθσ 73

74 74

75 ΑΡΧΗ ΓΡΑΨΔ 'Γώζε ηον ζςνηελεζηή ηος x^3' ΓΙΑΒΑΣΔ α ΓΡΑΨΔ 'Γώζε ηον ζςνηελεζηή ηος x^2' ΓΙΑΒΑΣΔ β ΓΡΑΨΔ 'Γώζε ηον ζςνηελεζηή ηος x' ΓΙΑΒΑΣΔ γ ΓΡΑΨΔ 'Γώζε ηον ζηαθεπό όπο' ΓΙΑΒΑΣΔ δ ΓΡΑΨΔ 'Η εξιζωζη πος θερ να λςθει ειναι η', α, 'x^3 +', β, 'x^2 +', γ, 'x+', δ, '=0' ΓΡΑΨΔ 'Σωζηα Ν(αι)/Ο(σι)?' ΓΙΑΒΑΣΔ π π = 'Ν'Η π='ν' Α Ψ α=0 Α Ψ ΓΡΑΨΔ 'Η εξίζωζη πος θερ να λςζειρ δεν ειναι ηπιηοβάθμια' Κ <-- β/α Λ <-- γ/α Μ <-- δ/α p <-- Λ-((Κ^2)/3) q <-- Μ +(((2*Κ^3)-9*Κ*Λ)/27) ξ <-- ((q/2)+(τ_ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27))))^(1/3) ω <-- ((-q/2)+(τ_ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27))))^(1/3) ΓΡΑΨΔ 'Οι λςζειρ ηηρ εξίζωζηρ ειναι οι' ΓΡΑΨΔ 'ω-ξ,ω2-ξ1, ω1-ξ2' ΓΡΑΨΔ ' Οπος ω=', ω, 'ξ=', ξ, 'και' ΓΡΑΨΔ ' ξ1=ξ*z1, ξ2=ξ*z2,ω1=v*z1, ω2=ω*z2' ΓΡΑΨΔ ' με z1=-1/2 + (i*3^(1/2))/2, z2=-1/2 - (i*3^(1/2))/2' ΓΡΑΨΔ 'Ξαναηπέξε ηο ππόγπαμμα' ΤΔΛΟΣ 75

76 3.3.6 Πρόγραμμα επίλυςθσ εξίςωςθσ μζχρι τρίτου βακμοφ. Είδαμε παραπάνω τρια προγράμματα για τθν επίλυςθ πρωτοβάκμιων, δευτεροβάκμιων και τριτοβάκμιων εξιςϊςεων. Σε αυτό το ςθμείο κα παρουςιάςουμε ζνα πρόγραμμα που περιζχει και τα τρία επιμζρουσ προγράμματα, με τζτοιον τρόπο ϊςτε θ Γλωςςομάκεια να είναι ςε κζςθ να αναγνωρίηει το είδοσ τθσ εξίςωςθσ και να τθν επιλφει καταλλιλωσ. Το γενικό πρόγραμμα είναι το ακόλουκο. Πρόγραμμα Γενικο ΜΕΣΑΒΛΗΣΕ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΕ: α,β,γ,δ,κ,λ,μ,q,p,ξ,ω,x,x1,x2,d ΧΑΡΑΚΣΗΡΕ: test Αρχθ Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^3' Διαβαςε α Γραψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x^2' Διαβαςε β Γράψε 'Δϊςε τον ςυντελεςτι του x' Διαβαςε γ Γραψε 'Δϊςε τον ςτακερό όρο' Διαβαςε δ Γραψε 'Η εξιςωςθ που κεσ να λυκει ειναι θ',α,'x^3 +',β,'x^2 +',γ,'x+',δ,'=0' Γραψε 'ωςτα Ν(αι)/Ο(χι)?' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τότε Αν α=0 τότε Αν β=0 τοτε Αν γ=0 τότε Αν δ=0 τότε Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αόριςτθ' Αλλιϊσ Γραψε 'Η εξίςωςθ ειναι αδφνατθ' Σζλοσ_αν Aλλιϊσ x <-- (-1)*δ/γ Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Σζλοσ_αν Αλλιϊσ D <-- γ^2-4*β*δ Αν D>0 τότε x1 <-- ((-1)*γ+Σ_Ρ(D))/(2*β) x2 <-- ((-1)*γ-Σ_Ρ(D))/(2*β) Γραψε 'Η εξίςωςθ ζχει δφο ρίηεσ πραγματικζσ και άνιςεσ τισ' Γραψε ' x1 =',x1, 'και x2 = ',x2 Αλλιϊσ_αν D=0 τότε 76

77 x <-- ((-1)*γ)/(2*β) Γραψε 'H εξίςωςθ ζχει μια διπλι ρίηα τθν x=', x Αλλιϊσ Γραψε 'Η εξίςωςθ δεν ζχει πραγματικζσ ρίηεσ' Σελοσ_αν Σελοσ_αν Aλλιϊσ Κ <-- β/α Λ <-- γ/α Μ <-- δ/α p <-- Λ-((Κ^2)/3) q <-- Μ +(((2*Κ^3)-9*Κ*Λ)/27) ξ <-- ((q/2)+(σ_ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27))))^(1/3) ω <-- ((-q/2)+(σ_ρ(((q^2)/4)+((p^3)/27))))^(1/3) Γραψε 'Οι λυςεισ τθσ εξίςωςθσ ειναι οι' Γραψε 'ω-ξ,ω2-ξ1, ω1-ξ2' Γραψε ' Οπου ω=',ω,'ξ=',ξ, 'και' Γραψε ' ξ1=ξ*z1, ξ2=ξ*z2,ω1=v*z1, ω2=ω*z2' Γραψε ' με z1=-1/2 + (i*3^(1/2))/2, z2=-1/2 - (i*3^(1/2))/2' Tζλοσ_αν Aλλιϊσ Γραψε 'Ξανατρζξε το πρόγραμμα' Tζλοσ_αν ΣΕΛΟ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΟ Το διάγραμμα ροισ του προγράμματοσ ειναι το ακόλουκο 77

78 78

79 θ Μζκοδοσ Μεταςχθματιςμών. Ζςτω θ εξίςωςθ τρίτου βακμοφ : f(x) = ax 3 + βx 2 + γx + δ = 0, με α, β, γ, δ R, a 0. Υπολογίηουμε τισ ποςότθτεσ p = β2 3α 2 + γ α και q = 2β3 27α 3 βγ 3α 2 + δ α Μζςω των p και q, καταςκευάηουμε τθν εξίςωςθ w 2 + qw p3 27 = 0 Και λφνουμε βρίςκοντασ τα w 1 και w 2. Στθν ςυνζχεια, υπολογίηουμε τισ απλοφςτερεσ κυβικζσ ρίηεσ ν 1 και ν 2 των w 1 και w 2. Διακρίνουμε περιπτϊςεισ 1 θ Ρερίπτωςθ : Αν w 1 και w 2 είναι πραγματικοί αρικμοί, τότε 3 ν 1 = sign w 1 w 1 3 και ν 2 = sign w 2 w 2 Ππου sign w = 1 αν w < 0 0 aν w = 0 1 αν w > 0 2 θ Ρερίπτωςθ : Αν w 1 και w 2 είναι μιγαδικοί αρικμοί τότε 3 ν 1 = w 1 (ςυν φ 3 + iημ φ 3 ) και ν 3 2 = w 1 (ςυν φ 3 iημ φ 3 ) Οι ρίηεσ τθσ τριτοβάκμιασ εξίςωςισ μασ, ανεξάρτθτα απο το είδοσ τουσ, δίνονται απο τουσ τφπουσ x 1 = ν 1 + ν 2 β 3α x 2 = 1 2 ν 1 + ν 2 + i 3 2 ν 1 ν 2 β 3α 79

80 x 3 = 1 2 ν 1 + ν 2 i 3 2 ν 1 ν 2 β 3α Ραραδείγματα. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ x 3 6x x 6 = 0 Λφςθ Υπολογίηουμε τα p και q p = ( 6) ( 6)3 και q = ( 6) p = 1 και q = 0 Άρα θ εξίςωςθ ςτθν οποία οδθγοφμαςτε ζιναι θ Η εξίςωςθ αυτι ζχει ρίηεσ τισ w = 0 w 1 = i 3 3 και w 2 = i 3 3 Και οι απλοφςτερεσ κυβικζσ ρίηεσ των w 1 και w 2 είναι οι ν 1 = 1 6 (3 i 3) και ν 2 = 1 (3 i 3) 6 Αντικακιςτϊντασ ςτουσ τφπουσ βρίςκουμε τισ ρίηεσ x 1 = 1, x 2 = 2 και x 3 = 3 2. Να λυκεί θ εξίςωςθ x 3 5x 2 + 8x 4 = 0 Λφςθ Υπολογίηουμε τα p και q 80

81 p = ( 5) ( 5)3 και q = ( 5) p = 1 3 και q = 2 27 Άρα θ εξίςωςθ ςτθν οποία οδθγοφμαςτε ζιναι θ Η εξίςωςθ αυτι ζχει ρίηεσ τισ w w = 0 w 1 = w 2 = 1 27 Και οι απλοφςτερεσ κυβικζσ ρίηεσ των w 1 και w 2 είναι οι ν 1 = ν 2 = 1 3 Αντικακιςτϊντασ ςτουσ τφπουσ βρίςκουμε τισ ρίηεσ x 1 = 1, x 2 = 2 και x 3 = Πολυωνυμικζσ εξιςώςεισ 4 ου βακμοφ Ζςτω f(x)=ax 4 + βx 3 + γx 2 + δx + ε, a 0. H εφρεςθ των ριηϊν τθσ ςυνάρτθςθσ προκφπτει από τθν λφςθ τθσ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ ax 4 + βx 3 + γx 2 + δx + ε = 0 ςτον. Στο ςχολείο και ςυγκεκριμζνα ςτθν Β Λυκείου, οι μακθτζσ μακαίνουν να λφνουν ςυγκεκριμζνεσ μόνο πολυωνυμικζσ εξιςϊςεισ 4 ου βακμοφ. Αυτζσ είτε παραγοντοποιοφνται εφκολα ςυνικωσ με τθν μζκοδο τθσ ομαδοποίθςισ, είτε λφνονται με το ςχιμα Horner, βρίςκοντασ πρϊτα με δοκιμζσ μια ακζραια ρίηα, παραγοντοποιϊντασ το πολυϊνυμο ωσ γινόμενο ενόσ πρωτοβάκμιου και ενόσ τριτοβάκμιου πολυωνφμου και ςτθν ςυνζχεια λφνοντασ το τριτοβάκμιο πολυϊνυμο πάλι με ςχιμα Horner βρίςκοντασ με δοκιμζσ μια ακόμα ακζραια ρίηα. Ραρακάτω παρουςιάηουμε αναλυτικά τον τρόπο επίλυςθσ μιασ πολυωνυμικισ εξίςωςθσ 4 ου βακμοφ με τθν βοικεια μεταςχθματιςμϊν. Ζςτω θ εξίςωςθ τετάρτου βακμοφ : f(x) ax 4 + βx 3 + γx 2 + δx + ε = 0, με α, β, γ, δ, ε R, a 0. (1) 81

82 Εφόςον το α είναι διαφορετικό απο το μθδζν, μποροφμε να διαιρζςουμε το f(x) με το α και να καταλιξουμε ςτο μονικό πολυϊνυμο f*(x) = f(x), το οποίο ζχει τισ ίδιεσ ρίηεσ με το f(x). Επομζνωσ θ αναηιτθςθ των ριηϊν του f(x) μετατράπθκε ςε αναηιτθςθ των ριηϊν τθσ f*(x). a f*(x) = f(x) a = x 4 + β α x3 + γ α x2 + δ α x + ε α = 0, με α, β, γ, δ, ε R, a 0. (2) Ασ κζςουμε Α = β α εξίςωςθ., Β = γ α, Γ = δ α, Δ = ε α. Ζχουμε λοιπόν να λφςουμε τθν παρακάτω Κάνουμε τον μεταςχθματιςμό x 4 + Αx 3 + Βx 2 + Γx + Δ = 0 (2) x = t A 4 (3) και ζτςι καταλιγουμε ςτθν εξίςωςθ Γράφουμε τϊρα t 4 + pt 2 + qt + r = 0 (4) t 4 + pt 2 + qt + r = t 2 + κt + λ (t 2 + μt + ξ) Και προςπακοφμε να υπολογίςουμε τα κ, λ, μ, ξ Ζχουμε μ + κ = 0 λ + κ μ + ξ = 0 λ μ + κ ξ = q λ ξ = r Ζχουμε επίςθσ λ + ξ = p + κ 2 κ ξ λ = q λ ξ = r Θεωροφμε τθν ταυτότθτα (λ + ξ) 2 (ξ λ) 2 = 4λξ (5) Και αντικακιςτϊντασ ςτθν ταυτότθτα αυτι λ + ξ = p + κ 2, κ ξ λ = q, λ ξ = r, οδθγοφμαςτε ςε μια εξίςωςθ τρίτου βακμοφ ωσ προσ κ 2. Λφνουμε τθν εξίςωςθ τρίτου βακμοφ, με τθν βοικεια των μεταςχθματιςμϊν που είδαμε πριν, ωσ προσ κ 2 και βρίςκουμε το κ. Εν ςυνεχεία μποροφμε να βροφμε τα λ και ξ και μετά τισ ρίηεσ που ψάχνουμε. 82

83 3.5 Πολυωνυμικζσ εξιςώςεισ 5 ου βακμοφ και άνω Στισ προθγοφμενεσ παραγράφουσ είδαμε ότι αν ζχουμε ζνα πολυϊνυμο βακμοφ ζωσ 4, υπάρχει αλγόρικμοσ που ζχει ωσ είςοδο τουσ ςυντελεςτζσ του πολυωνφμου και ωσ ζξοδο τισ ρίηεσ του. Οι ρίηεσ αυτζσ περιγράφονται χρθςιμοποιϊντασ τισ 4 πράξεισ του ςϊματοσ δθλαδι τθν πρόςκεςθ, τθν αφαίρεςθ, τον πολλαπλαςιαςμό και τθν διαίρεςθ, και εξαγωγι ρίηασ. Στο ερϊτθμα τι γίνεται για πολυϊνυμα βακμοφ 5 και πάνω, απάντθςε ζδωςε ο ςπουδαίοσ μακθματικόσ Evariste Galois ( ), αποδεικνφωντασ ότι δεν υπάρχει αλγόρικμοσ που να ζχει ωσ είςοδο τουσ ςυντελεςτζσ ενόσ τζτοιου πολυωνφμου και ωσ ζξοδο τισ ρίηεσ του, με τθ βοικεια των 4 πράξεων του ςϊματοσ των ςυντελεςτϊν και εξαγωγι ρίηασ. Η απόδειξθ του Galois ςτθρίηεται ςτθν μακθματικι ςφλλθψθ ότι κάκε πολυϊνυμο χαρακτθρίηεται απο τισ «ςυμμετρίεσ του», τισ «αρμονίεσ του». Αυτζσ οι «ςυμμετρίεσ» αποτελοφν μια ομάδα. Η ομάδα που επιςυνάπτεται κατα φυςιολογικό τρόπο ςτο πολυϊνυμο f(x) και το χαρακτθρίηει λζγεται ομάδα Galois του πολυωνφμου και ςυμβολίηεται G(f) Θεώρθμα (Galois) Εάν το ςϊμα F περιζχει τισ n-οςτεσ ρίηεσ τθσ μονάδασ για κάκε n, τότε ζνα f(x) F[x] είναι επιλφςιμο με ριηικά εάν και μόνο εάν θ G(f) επι του F ειναι επιλφςιμθ 4. Απόδειξθ Ζςτω Ε το ςϊμα ριηϊν του f(x) επί του F και Κ μια επζκταςθ με ριηικά του F που περιζχει το Ε. Γνωρίηουμε ότι εάν Ε/F ειναι μια επζκταςθ με ριηικά, τότε υπάρχει μια επζκταςθ Κ/Ε, τζτοια ϊςτε θ Κ/F είναι επζκταςθ Galois και επζκταςθ με ριηικά. Γι αυτό το λόγω μποροφμε, χωρίσ βλάβθ τθσ γενικότθτασ, να υποκζςουμε ότι θ επζκταςθ K/F ειναι Galois. Επείδθ θ Κ/F είναι επζκταςθ με ριηικά, υπάρχει μια αλυςίδα ςωμάτων F=F 0, F 1, F 2,, F m = K και α 0, α 1,, α m Κ και r 0, r 1,, r m κετικοί ακζραιοι, ϊςτε F i = F i 1 (α i ) και α r i ι F i 1, i=1,2,, m. To α i είναι ρίηα του x r i a i r i F i 1 [x] και επομζνωσ θ ομάδα G(F i, F i 1 ) είναι κυκλικι για i=1,2,, m. Επειδι F i = F i 1 (α i ) και το F i μαηί με το α i περιζχει το α i ζ k, k = 1,2,, r i 1, όπου η μια αρχικι r i οςτι ρίηα τθσ μονάδασ, ςυμπεραίνουμε ότι το F i είναι το ςϊμα ριηϊν του x r i ai r i F i 1 [x] και επομζνωσ θ επζκταςθ F i /F i 1 είναι Galois. Συνεπϊσ κατα το Θεμελιϊδεσ Θεϊρθμα τθσ Θεωρίασ Galois 5 ζχουμε 4 Μία ομάδα Γ λζγεται επιλφςιμθ εάν υπάρχει πεπεραςμζνθ ακολουκία υποομάδων Γ 0 ={e}, Γ 1, Γ 2,, Γ ν = Γ ζτςι ϊςτε Γ i Γ i+1 και κάκε ομάδα πθλίκο Γ i+1 Γi είναι αβελιανι ομάδα. 5 Ζςτω Ε/F μια επζκταςθ Galois. Συμβολίηουμε με S το ςφνολο των ςωμάτων Κ με F K E και Τ το ςύνολο των υποομϊδων τησ ομϊδασ Galois G(E,F). T;ote 83

84 G(K, F i ) G(K, F i 1 ) και G(K, F i 1 )/ G(K, F i ) G(G(F i, F i 1 ) Κατα αυτόν τον τρόπο ορίηεται μια κανονικι ςειρά υποομάδων τθσ G(K,F), θ κανονικι ςειρά G(K,F)=H 0 H 1 H m = 1 Ππου H i =G(K,F) και θ H i 1 /H i είναι κυκλικι για i=1,2,,m. Άρα θ G(K,F) είναι επιλφςιμθ ομάδα. Τϊρα το ςϊμα Ε είναι επζκταςθ Galois του F και επομζνωσ G(K,E) G(K,F) και G(E,F) G(K,F)/G(K,E) Άρα θ G(E,F), που είναι ομάδα Galois του f(x) επί του F, είναι επιλφςιμθ ωσ πθλίκο μιασ επιλφςιμθσ ομάδασ. Αντιςτρόφωσ αν υποκζςουμε ότι θ G(E,F) είναι επιλφςιμθ, τότε υπάρχει μια ςυνκετικι ςειρά G(Ε,F)=H 0 H 1 H m = 1 όπου κάκε πθλίκο H i 1 /H i είναι μία κυκλικι ομάδα με τάξθ πρϊτο αρικμό. Ζςτω F i = FixH i, το ςτακερό ςϊμα τθσ H i για i=0,1,2,...,m, οπότε H i =G(E, F i ). Επειδι H i H i 1 κατα το Θεμελιϊδεσ Θεϊρθμα τθσ Θεωρίασ Galois, κάκε F i είναι επζκταςθ Galois του F i 1 και επιπλζον G(F i, F i 1 ) G(Ε, F i 1 )/G(Ε, F i ) H i 1 /H i Άρα θ ομάδα G(F i, F i 1 ) είναι κυκλικι, ζςτω τάξεωσ r i. Επομζνωσ, υπάρχει b i τζτοιο ϊςτε το F i είναι το ςϊμα ριηϊν τθσ x r i bi r i F i 1 [x]. Τότε όμωσ αν a i είναι μια ρίηα του x r i b i, κα ζχουμε F i = F i 1 (a i ) με α i r i = b i F i 1,με i=1,2,,m, γιατί από τθν υπόκεςθ το F, όπωσ και κάκε επζκταςθ του, περιζχει όλεσ τισ ρίηεσ τθσ μονάδασ. Επειδι τϊρα F=F 1 F m = E, το Ε είναι μία επζκταςθ με ριηικά του F. Το εφλογο ερϊτθμα που προκφπτει ειναι ςε τι βοθκάει αυτι θ μετάφραςθ του προβλιματοσ. Αυτό που αποδεικνφει κανείσ είναι οτι θ ομάδα Galois του πολυωνφμου G(f) είναι πεπεραςμζνθ και μάλιςτα ιςόμορφθ με μια υποομάδα τθσ ομάδασ μετακζςεων S ν, όπου ν είναι ο βακμόσ του πολυωνφμου. Αφοφ κάκε ομάδα Galois είναι πεπεραςμζνθ, μποροφμε να εξετάςουμε ςχετικά εφκολα αν είναι επιλφςιμθ. Επίςθσ μποροφμε να αποδείξουμε οτι κάκε υποομάδα τθσ S 3 και S 4 είναι επιλφςιμθ. Πμωσ θ S 5 δεν είναι επιλφςιμθ. Επιςθμαίνουμε ότι ο δείκτθσ ςτθν ομάδα a. Υπϊρχει μια 1-1 και επύ απεικόνιςη φ: S -> T τϋτοια ώςτε Κ φ = G(E, K) για Κ S και Η φ 1 = FixH για Η G(E,F) b. Εϊν Κ S, τότε i. [E:K]= G(E,K) ii. [K:F]= G(E,F):G(E,K) c. Εάν Κ S τότε το Κ εύναι επϋκταςη Galois του F, εαν και μόνο εαν G(E,K) < G(E,F και τότε G(K,F) G(E,F)/G(E,K). 84

85 S ςχετίηεται με τον βακμό του πολυωνφμου. Σφμφωνα λοιπόν με αυτό, δεν υπάρχει αλγόρικμοσ που να δίνει τισ ρίηεσ ενόσ πολυωνφμου χρθςιμοποιϊντασ ριηικά. 85

86 Γραμμικέσ Απεικονίςεισ 4.1 Οριςμόσ Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι επι του F. Μια απεικόνιςθ f : V W κα λζγεται γραμμικι απεικόνιςθ αν ιςχφουν τα παρακάτω: i) f(x + y) = f(x) + f(y), για κάκε x,y V ii) f λx = λf(x για κϊθε λ F και x V Ραρατιρθςθ. Το ςφμβολο + ςτο πρϊτο μζλοσ τθσ (i) είναι το ςφμβολο τθσ πρόςκεςθσ ςτον V ενϊ το + ςτο δεφτερο μζλοσ είναι το ςφμβολο τθσ πρόςκεςθσ ςτο W. Ανάλογθ παρατιρθςθ ιςχφει και για τθν ιδιότθτα (ii). Οι δφο ςυνκικεσ του οριςμοφ μποροφν να αντικαταςτακοφν με μία μζςω τθσ επόμενθσ πρόταςθσ. 4.2 Πρόταςθ Μια απεικόνιςθ f : V W είναι γραμμικι αν και μόνο αν f λx+μy = λf(x +μf(y για κϊθε λ,μ F και x,y V. Απόδειξη Αν λ = μ = 1, τότε ζχουμε τθν πρϊτθ ιδιότθτα για να είναι θ f γραμμικι. Αν τϊρα κζςουμε μ = 0, τότε ζχουμε τθν δεφτερθ ιδιότθτα για να είναι θ f γραμμικι. Αντίςτροφα αν θ f ειναι γραμμικι, x,y V και λ,μ F, τότε ϋχουμε f λx+μy) = f λx)+f μy = λf(x +μf(y). 4.3 Οριςμόσ Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι επι του F και f : V W μια γραμμικι απεικόνιςθ. i) Εϊν η f εύναι 1-1, τότε η γραμμικό απεικόνιςη f, θα λϋγεται και μονομορφιςμόσ. ii) Εϊν η f εύναι επύ, δηλαδό f(v)=w, τότε η γραμμικό απεικόνιςη f θα λϋγεται και επιμορφιςμόσ. iii) Εϊν η f εύναι ταυτόχρονα μονομορφιςμόσ και επιμορφιςμόσ θα λϋγεται ιςομορφιςμόσ. 86

87 4.4 Πυρόνασ και Εικόνα Γραμμικόσ Απεικόνιςησ Θεώρημα Έςτω V και W δύο διανυςματικοί χώροι επι του F και f : V W μια γραμμική απεικόνιςη, Α ένασ υπόχωροσ του V και Β ένασ υπόχωροσ του W. Τότε το ςύνολο f(a)= {w W w=f(x), x A} είναι ένασ υπόχωροσ του W και το ςύνολο f 1 (B)= {x V f(x) B} είναι ένασ υπόχωροσ του V. Απόδειξη Κατ αρχόν f(0 V ) = 0 W. Έτςι 0 V f(a). Έςτω w 1, w 2 f(a). Tότε υπϊρχουν x 1, x 2 A με την ιδιότητα f(x 1 ) = w 1 και f(x 2 ) = w 2. Τότε w 1 + w 2 = f(x 1 ) +f(x 2 )= = f(x 1 + x 2 ) f(a. Αν τώρα w f(a, υπϊρχει x A με f(x) = w. Δεδομϋνου ενόσ λ F, ϋχουμε f λx = λf(x = λw. Έτςι λw f(a. Τελικϊ το ςύνολο f(a εύναι ϋνασ υπόχωροσ του W. Θα αποδεύξουμε τώρα ότι το ςύνολο f 1 (B) είναι ένασ υπόχωροσ του διανυςματικού χώρου V. Κατ αρχήν f(0 V ) = 0 W, ϊρα 0 V f 1 (B). Θεωρούμε δύο ςτοιχεία x 1, x 2 f 1 (B).Έχουμε f(x 1 + x 2 ) = f(x 1 ) +f(x 2 ) Β. Άρα x 1 + x 2 f 1 (B). Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε επίςησ οτι αν x f 1 (B) και λ F, τότε λx f 1 (B), φτάνοντασ τελικά ςτην απόδειξη ότι το ςύνολο f 1 (B) είναι ένασ υπόχωροσ του V Οριςμόσ Έςτω V και W δύο διανυςματικοί χώροι επι του F και f : V W μια γραμμική απεικόνιςη. 1. Το ςφνολο f 1 ({0 W })= {x V f(x)= 0 W } λέγεται πηρύνασ τησ γραμμικήσ απεικόνιςησ f και ςυμβολίζεται με Kerf 2. To ςύνολο f(v)= {w W w=f(x), x V} λέγεται εικόνα τησ γραμμικήσ απεικόνιςησ f και ςυμβολίζεται με Imf Από το προθγοφμενο κεϊρθμα προκφπτει άμεςα ότι ο πθρφνασ μιασ γραμμικισ απεικόνιςθσ f : V W είναι υπόχωροσ του V και η εικόνα υπόχωροσ του W. Πριν προχωρήςουμε ςτην ςύνδεςη των πινάκων με τισ γραμμικέσ απεικονίςεισ, θα ήταν καλό να αναφέρουμε τα ακόλουθα δύο θεωρήματα, τα οποία μασ δείχνουν ότι μια γραμμική απεικόνιςη f : V W καθορίζεται πλήρωσ απο τισ εικόνεσ των ςτοιχείων ενόσ ςυνόλου γεννητόρων του V. Δηλαδή, αν Κ είναι ένα ςύνολο γεννητόρων του V και f,g : V W γραμμικέσ απεικονίςεισ με f(κ) = g(κ) για κάθε κ Κ, τότε f(x) = g(x) για κάθε x V, δηλαδή f = g Θεώρημα 87

88 Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι επι του F και f,g : V W δφο γραμμικζσ απεικόνιςεισ. Αν, a 1, a 2,, a μ - είναι ζνα ςφνολο γεννθτόρων του V και f(a 1 ) = g(a 1 ), f(a 2 ) = g(a 2 ),..., f(a μ ) = g(a μ ), τότε f(x) = g(x) για κάθε x V, δηλαδή f = g. Απόδειξη Ζςτω x V. Επειδή το ςύνολο { a 1, a 2,, a μ - είναι ζνα ςφνολο γεννθτόρων του V, ζχουμε ότι υπάρχουν λ 1, λ 2,, λ μ F έτςι ώςτε x=λ 1 α 1 + λ 2 α λ μ α μ. Άρα f(x) = f(λ 1 α 1 + λ 2 α λ μ α μ ) = λ 1 f(α 1 ) + λ 2 f(α 2 ) + + λ μ f(α μ ) = λ 1 g(α 1 ) + λ 2 g(α 2 ) + + λ μ g(α μ ) = Επομένωσ δίξαμε ότι f(x) = g(x) για κάθε x V, δηλαδή f = g Θεώρημα g(λ 1 α 1 + λ 2 α λ μ α μ ) = g(x). Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι επι του F και (a 1, a 2,, a ν ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του V και (β 1, β 2,, β ν ) μία διατεταγμζνθ ν-άδα ςτοιχείων του W. Τότε υπάρχει μοναδικι γραμμικι απεικόνιςθ f : V W με την ιδιότητα f(a 1 ) =β 1, f(a 2 ) =β 2,..., f(a v ) = β ν. Απόδειξη Ύπαρξη: Θα ορίςουμε μια απεικόνιςη f : V W έτςι ώςτε f(a i ) =β i, i=1,2,,ν. Έςτω x V, τότε επειδή (a 1, a 2,, a ν ) είναι μία διατεταγμζνθ βάςθ του V, το x γράφεται με μοναδικό τρόπο ωσ x = λ 1 a 1 + λ 2 a λ ν a ν Δθλαδι ςε κάκε x V αντιςτοιχεί ακριβώσ μια διατεταγμένη ν-αδα ςτοιχείων του F, (λ 1, λ 2,, λ ν ). Συνεπϊσ ο κανόνασ που αντιςτοιχίηει ςτο x V το λ 1 β 1 + λ 2 β λ ν β ν W είναι μία απεικόνιςη απο το V ςτο W, που ςυμβολίζουμε με f : V W. Έυκολα βλέπουμε ότι η f ειναι γραμμική. Τώρα a 1 = 1a 1 + 0a a ν. Άρα f(a 1 ) =β 1. Ανάλογα έχουμε ότι f(a i ) =β i, i=1,2,,ν. Μοναδικότητα: Έςτω f,g : V W δφο γραμμικζσ απεικόνιςεισ με τθν ιδιότθτα f(a 1 ) = g(a 1 ), f(a 2 ) = g(a 2 ),..., f(a ν ) = g(a ν ). Τότε απο το προηγούμενο θεώρημα έχουμε ότι f=g. 88

89 Πίνακασ Γραμμικήσ Απεικόνιςησ Στον ςθμείο αυτό κα δείξουμε ότι κάκε γραμμικι απεικόνιςθ από ζνα διανυςματικό χϊρο πεπεραςμζνθσ διάςταςθσ ς ζνα άλλο μπορεί να αναπαραςτακεί με ζναν πίνακα. Για τθν αναπαράςταςθ αυτι χρειάηεται μια επιλογι βάςεων των δφο χϊρων. Θα δοφμε επίςθσ οτι θ αναπαράςταςθ αυτι είναι τζτοια ϊςτε ο πίνακασ του ακροίςματοσ δφο γραμμικϊν απεικονίςεων ιςοφται με το άκροιςμα των αντίςτοιχων πινάκων, και ο πίνακασ τθσ ςφνκεςθσ δφο γραμμικϊν απεικονίςεων ιςοφται με το γινόμενο των δφο αντίςτοιχων πινάκων. 5.1 Οριςμόσ Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι πεπεραςμζνθσ διάςταςθσ επι του F και f : V W μια γραμμικι απεικόνιςθ.αν α = (a 1, a 2,, a μ ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του V και β = (β 1, β 2,, β ν ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του W τότε ο πίνακασ Α= x 11 x 21 x 1μ x 2μ x i1 x ιμ x ν1 x νμ F ν μ όπου θ i ςτιλθ του Α είναι θ x 1i x 2ι x νι με f(α i ) = x 1i β 1 + x 2i β x νi β ν, λζγεται ο πίνακασ τθσ γραμμικισ απεικόνιςθσ f ϊσ πρόσ τισ διατεταγμζνεσ βάςεισ α και β, και ςυμβολίηεται με (f : α, β). Ραραδείγματα 1. Ζςτω θ γραμμικι απεικόνιςθ f : R 2 R 3 με f(x,y) = (x+y, 2x y, x). κεωροφμε τισ ακόλουκεσ διατεταγμζνεσ βάςεισ των R 2 και R 3 Τότε Α = (f : α, β) R 3 2 και α = ((1,0), (0,1)) και β = ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) 1 θ ςτιλθ του Α = f 1,0 β 2 θ ςτιλθ του Α = [f(0,1)] β Ζχουμε f 1,0 = (1,2,1) = 1(1,0,0) + 2(0,1,0) + 1(0,0,1) f 0,1 = (1,-1,0) = 1(1,0,0) -1(0,1,0) + 0(0,0,1) άρα 89

90 f 1,0 β = και f 0,1 β = Και ςυνεπϊσ Α = (f : α, β) = Ζςτω θ γραμμικι απεικόνιςθ f : R 3 [x] R 2 [x] με p(x) p (x). Θεωροφμε τισ διατεταγμζνεσ βάςεισ των R 3 [x] και R 2 [x] τισ : α = (1, x, x 2, x 3 ) και β = (1, x, x 2 ) Τότε Α = (f : α, β) R 3 4 και 1 θ ςτιλθ του Α = f(1) β 2 θ ςτιλθ του Α = [f(x)] β 3 θ ςτιλθ του Α = f(x 2 ) β 4 θ ςτιλθ του Α = [f(x 3 )] β Ζχουμε f(1) = 0 = 0 + 0x + 0x 2 f(x) = 1 = 1 + 0x + 0x 2 f(x 2 ) = 2x = 0 + 2x + 0x 2 f(x 3 ) = 3x 2 = 0 + 0x + 3x 2 άρα Α = (f : α, β) = Θεώρθμα Ζςτω V και W δφο διανυςματικοί χϊροι επι του F και f,g : V W δφο γραμμικζσ απεικόνιςεισ και λ F.Αν α = (a 1, a 2,, a μ ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του V και β = (β 1, β 2,, β ν ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του W τότε: 90

91 i) (f+g : α, β) = (f : α, β) + (g : α, β) ii) (λf : α, β) = λ (f : α, β) Απόδειξθ Ζςτω f(α 1 ) = x 11 β 1 + x 21 β x ν1 β ν f(α 2 ) = x 12 β 1 + x 22 β x ν2 β ν f(α μ ) = x 1μ β 1 + x 2μ β x νμ β ν Τότε (f : α, β) = x 11 x 12 x 1μ x ν1 x ν2 x νμ Ζςτω g(α 1 ) = ρ 11 β 1 + ρ 21 β ρ ν1 β ν g(α 2 ) = ρ 12 β 1 + ρ 22 β ρ ν2 β ν g(α μ ) = ρ 1μ β 1 + ρ 2μ β ρ νμ β ν Τότε (g : α, β) = ρ 11 ρ 12 ρ 1μ ρ ν1 ρ ν2 ρ νμ Ραρατθροφμε ότι (f+g)( α i ) = f(α i ) + g(α i ) = x 1i β 1 + x 2i β x νi β ν + ρ 1i β 1 + ρ 2i β ρ νi β ν = (x 1i + ρ 1i ) β 1 + (x 2i + ρ 2i )β (x νi + ρ νi )β ν, για κάκε 1 I μ. Άρα (f+g : α, β) = x 11 + ρ 11 x 1μ + ρ 1μ = (f : α, β) + (g : α, β) x ν1 + ρ ν1 x νμ + ρ νμ Για το (ii) ζχουμε ότι 91

92 Άρα f λα i = λf(α i ) = λ(x 1i β 1 + x 2i β x νi β ν ) = (λx 1i )β 1 + (λx 2i )β (λx νi )β ν (λf : α, β) = λx 11 λx 12 λx 1μ λx ν1 λx ν2 λx νμ = λ (f : α, β) 5.3 Θεώρθμα Ζςτω V, W, U τρείσ διανυςματικοί χϊροι επι του F και α = (a 1, a 2,, a μ ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του V, β = (β 1, β 2,, β ν ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του W και γ = (γ 1, γ 2,, γ ξ ) μία διατεταγμζνθ βάςθ του U. Αν f : V W και g : W U δφο γραμμικζσ απεικονίςεισ, τότε : Απόδειξθ Ζςτω (gof : α, γ) = (g : β, γ)(f : α, β) (f : α, β) = x 11 x 12 x 1μ x ν1 x ν2 x νμ Και (g : β, γ) = ρ 11 ρ 12 ρ 1ν ρ ξ1 ρ ξ2 ρξν Άρα g(β τ ) = ρ 1τ γ 1 + ρ 2τ γ ρ ξτ γ ξ με 1 τ ν. Τότε το ij- ςτοιχείο του πίνακα (g : β, γ)(f : α, β) είναι το ν κ=1 ρ iκ x κj. Ζςτω ότι (gof : α, γ) = ς 11 ς 12 ς 1μ ς ξ1 ς ξ2 ς ξμ Συνεπϊσ (gof)(α τ ) = ς 1τ γ 1 + ς 2τ γ ς ξτ γ ξ με 1 τ μ. Θεωροφμε το ςτοιχείο (gof)(α j ) = g(f(α j )) = g(x 1j β 1 + x 2j β x νj β ν ) = 92

93 = x 1j g(β 1 ) + x 2j g(β 2 ) x νj g(β ν ) = =x 1j ξ ξ λ=1 ρ λ1 γ λ + x 2j λ=2 ρ λ2 γ λ x νj λ=ν ρ λν γ λ ξ Το ij ςτοιχείο του (gof : α, γ) είναι ο ςυντελεςτισ του γ i ςτθν ανωτζρω ιςότθτα. Άρα το ij ςτοιχείο του (gof : α, γ) είναι το x 1j ρ i1 + x 2j ρ i x νj ρ iν = ν κ=1 ρ iκ x κj. Δείξαμε ότι ij ςτοιχείο του (g : β, γ)(f : α, β) = το ij ςτοιχείο του (gof : α, γ) Επομζνωσ δείξαμε το ηθτοφμενο. Ραράδειγμα Ζςτω f : R 3 R 3 θ γραμμικι απεικόνιςθ f(x,y,z) = (x-2y, z, x+y) και g : R 3 R 3 θ γραμμικι απεικόνιςθ g(x,y,z) = (x+y+z, 0, x). Αν e = 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1 βαςθ του R 3, ζχουμε (f: e, e ) = και (g: e, e ) = (f + g: e, e ) = (fog: e, e ) = (gof: e, e ) = = = =

94 ΜΕΟΣ ΙI 94

95 Διάταξη Μονωνύμων Ο Αλγόρικμοσ τθσ διαίρεςθσ των πολυωνφμων βαςίηεται ςε μια διάταξθ που ορίηουμε ςτουσ όρουσ κάκε πολυωνφμου. Συγκεκριμζνα για να διαιρζςουμε δφο πολυϊνυμα f και g μιασ μεταβλθτισ ακολουκοφμε τα εξισ βιματα. 1 ο Βιμα. Γράφουμε τουσ όρουσ των πολυωνφμων ςε φκίνουςα διαταξθ ωσ προσ τον βακμό τουσ. 2 ο Βιμα. Ελζγχουμε αν ο μεγιςτοβάκμιοσ όροσ του f διαιρείται από τον μεγιςτοβάκμιο όρο του g και αν αυτό ςυμβαίνει τότε πολλαπλαςιάηουμε το g με κατάλλθλθ δφναμθ του x και αφαιροφμε το γινόμενο απο το f ϊςτε να απαλείψουμε τον μεγιςτοβάκμιο όρο του 3 ο Βιμα. Συνεχίηουμε μζχρι να πάρουμε ϊσ υπόλοιπο ζνα πολυϊνυμο βακμοφ μικρότερου του βακμοφ g. Επομζνωσ θ διάταξθ που χρθςιμοποιοφμε ςτθν περίπτωςθ πολυωνφμων μιασ μεταβλθτισ είναι θ > x m +1 > x m > > x 2 > x > 1 Ασ δϊςουμε εδϊ ζναν γενικό οριςμό τθσ διάταξθσ μονωνφμων. 6.1 Οριςμόσ Μια διάταξθ μονωνφμων ςτον k[x 1,, x n ] είναι μια οποιαδιποτε ςχζςθ > ςτο ςφνολο των μονωνφμων x α θ οποία ικανοποιεί τισ: i. Η > είναι μια ολικι ςχζςθ διάταξθσ ii. Η > ςζβεται τον πολλαπλαςιαςμό ςτον k[x 1,, x n ], δθλαδι αν x α > x β, iii. τότε για οποιοδιποτε μονϊνυμο x γ ιςχφει x α x γ = x α+γ > x β +γ = = x β x α Η > είναι καλι διάταξθ, δθλαδι κακε μθ κενό ςφνολο μονωνφμων ζχει ελάχιςτο ςτοιχείο. Σε δακτφλιουσ πολυωνφμων όπωσ ο k[x 1,, x n ] μποροφμε να ορίςουμε πολλζσ διατάξεισ μονωνφμων. Η παράςταςθ των εκκετϊν ενόσ μονωνφμου x α ωσ ζνα διάνυςμα α = (α 1,, α n ), υπονοεί μια διάταξθ των μεταβλθτϊν x 1 > > x n. Με αυτιν τθν διάταξθ των μεταβλθτϊν μποροφμε και πάλι να ορίςουμε διάφορεσ διατάξεισ των μονωνφμων. Δυο από τισ ςυχνότερα χρθςιμοποιοφμενεσ είναι οι παρακάτω. 95

96 6.2 Οριςμόσ (Λεξικογραφικι Διάταξθ) Ζςτω x α και x β δφο μονϊνυμα ςτον k[x 1,, x n ], τότε x α > lex x β αν ςτο διάνυςμα α-β Ζ n η πρώτη μη μηδενικό ςυνεταγμϋνη ειναι θετικό. Παρατόρηςη Η λεξικογραφικό διϊταξη ειναι ανϊλογη τησ διϊταξησ που χρηςιμοποεύται ςτα λεξικϊ. 6.3 Οριςμόσ Διαβαθιςμϋνη λεξικογραφικό διϊταξη Ζςτω x α και x β δφο μονϊνυμα ςτον k[x 1,, x n ], τότε x α > grlex x β αν n n n i=1 a i > i=1 β i ι αν i=1 a i = i=1 β i και α < lex β. Ραραδείγμα. Ζςτω x > y > w. Τότε n x 5 y 3 z > lex x 3 y 7 z 10 εφόςον 5,3,1 -(3,7,10)=(2,-4,-9) και x 3 y 7 z 10 > grlex x 5 y 3 z Τώρα μπορούμε ςε αναλογύα με την περύπτωςη πολυωνύμων ςτον k[x, να ορύςουμε μεγιςτοβϊθμιουσ όρουσ και μεγιςτοβϊθμια μονώνυμα ςε πολυώνυμα ςτον k[x 1,, x n ]. 6.4 Οριςμόσ Ζςτω μια διάταξθ μονωνφμων > και f= a c a x a ζνα πολυϊνυμο ςτον k[x 1,, x n ]. Τότε i. Ο μϋγιςτοσ βαθμόσ του f ειναι MB(f)=max{α Ζ + n c a 0} ii. O μεγιςτοβάκμιοσ ςυντελεςτισ του f είναι ΜΣ(f)= a multideg (f) k. iii. Το μεγιςτοβάκμιο μονϊνυμο του f είναι multideg (f) ΜΜ(f)=x iv. O μεγιςτοβάκμιοσ όροσ του f είναι ΜΟ(f)= ΜΣ(f) ΜΜ(f) Ραράδειγμα 96

97 Ζςτω f=7x 2 y 5 w 3 + 2x y 8 w 5x : y 2. Τότε με τθν λεξικογραφικι διάταξθ ζχουμε Multideg(f)=(2,5,3) ΜΣ(f)= 7 MM(f)= x 2 y 5 w 3 MO(f)= 7x 2 y 5 w 3 97

98 Βάςεισ Groebner 7.1 Οριςμόσ n Ζνα ιδεϊδεσ Ι k*x1,,xn+ είναι ιδεϊδεσ μονωνφμων αν υπάρχει ζνα ςφνολο Α Ζ + τϋτοιο ώςτε το Ι να αποτελεύται απο όλα τα πολυώνυμα τα οπούα εύναι πεπεραςμϋνα αθρούςματα τησ μορφόσ f= α A a x a με a k [x 1,, x n ]. Θα ςυμβολίηουμε ζνα τζτοιο ιδεϊδεσ Ι=< x a α Α>. 7.2 Λόμμα Έςτω Ι=< x a α Α> ϋνα ιδεώδεσ μονωνύμων. Τότε ϋνα μονώνυμο x β ανηκει ςτο Ι αν και μόνο αν το x β διαιρεύται απο κϊποιο μονώνυμο x α για κϊποιο α Α. Απόδειξη Αν το μονώνυμο x β διαιρεύται απο κϊποιο μονώνυμο x α για κϊποιο α Α, τότε το x β ανόκει το Ι από τον οριςμό του ιδεώδουσ. Για το αντύςτροφο αν το x β ανόκει ςτο Ι τότε x β = s i=1 i x a(i), όπου i k [x 1,, x n ]. και α(i) Α. Εφόςον κάκε i είναι γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ μονωνφμων, κάκε όροσ ςτο δεξί μζροσ τθσ προθγοφμενθσ εξίςωςθσ διαιρείται απο κάποιο x a(i). Επομζνωσ και το αριςτερό μζροσ τθσ εξίςωςθσ πρζπει να ζχει τθν ίδια ιδιότθτα, δθλαδι το x β διαιρείται απο κάποιο μονϊνυμο x a(i) για κάποιο α(i) Α. Ασ δοφμε τϊρα ζνα πόριςμα που μασ εξαςφαλίηει ζνα κριτιριο για το αν κάποιο πολυϊνυμο f ανικει ςε ζνα ιδεϊδεσ μονωνφμων Ι. 7.3 Πόριςμα Ζςτω Ι ζνα ιδεϊδεσ μονωνφμων και f k [x 1,, x n ]. Τότε τα παρακάτω ειναι ιςοδφναμα: i. f I ii. Κϊθε όροσ του f ανόκει ςτο Ι iii. Το f εύναι γραμμικόσ ςυνδυαςμόσ μονωνύμων του Ι με ςυντελεςτϋσ από το k. Απόδειξη iii -> ii και απο το ii-> i εύναι προφανό. Απο το i ->iii εργαζόμαςτε όπωσ ςτο προηγούμενο λόμμα. 98

99 7.4 Πρόταςη Λόμμα του Dickson) Κάθε ιδεώδεσ μονωνύμων Ι=< x a α Α> k [x 1,, x n ] μπορεί να γραφεί ςτην μορφή Ι = <x a(1), x a(2),, x a(s) >, όπου α(1), α(2),...,α(s) Α. Ειδικότερα το Ι εύναι πεπεραςμϋνα παραγόμενο. Απόδειξη Με επαγωγό ςτο πλόθοσ n των μεταβλητών. Έςτω n=1. Τότε αφού το ιδεώδσ μονωνύμων εύναι μη κενό, υπϊρχει μονώνυμο ελαχύςτου βαθμού f(x. Το ιδεώδεσ τότε παρϊγεται απο το μονώνυμο αυτό. Γιατύ προφανώσ <f(x)> <MO(I > και αν h(x) <ΜΟ Ι >, τότε h(x =π x)f(x +υ x), με υ x =0 ό degυ x) degf(x. Άρα αν υ x 0 τότε υ x) <ΜΟ Ι >, ϊτοπο από τον οριςμό του f(x και τελικϊ h(x <f(x)>. Έςτω ότι ιςχύει για n-1 μεταβλητϋσ, δηλαδό κϊθε ιδεώδεσ μονωνύμων ςτον δακτύλιο F[x 1,, x n ] εύναι πεπεραςμϋνα παραγόμενο. Για ευκολύα θα a ςυμβολύζουμε το μονώνυμο x 1 a 1 x 2 a 2 x n 1 n 1 με x a, όπου α= a 1, a 2,, a n 1 ) και x=x 1, x 2,, x n 1. Aν Μ ειναι ϋνα ιδεώδεσ μονωνύμων του F[x 1,, x n 1, y], θεωρούμε το ιδεώδεσ μονωνύμων J του F[x 1,, x n 1 ] που παρϊγεται απο τα μονώνυμα x a a =x 1 a 1 x 2 a 2 x n 1 n 1 για τα οπούα ιςχύει x a y m Μ για κϊποιο m 0. Από την επαγωγικό υπόθεςη το J εύναι πεπεραςμϋνα παραγόμενο, δηλαδό J=<x a(1), x a(2),, x a(s) >. Από τον οριςμό του J, για κϊθε x a(i), 1 i s, ιςχύει x a(i) y m i M για κϊποιο m i. Έςτω m το μϋγιςτο των m i. Τότε για κϊθε k, 0 k m, θεωρούμε το ιδεώδεσ μονωνύμων J k του F[x 1,, x n 1 ] το οπούο παρϊγεται από τα μονώνυμα x β με x β y k M. To ιδεώδεσ J k εύναι το «τμόμα» του Μ το οπούο παρϊγεται από τα μονώνυμα που περιϋχουν το y υψωμϋνο ςτην k. Από την επαγωγικό υπόθεςητα J k εύναι πεπεραςμϋνα παραγόμενα δηλαδό J k =< x αk(1), x αk(2),, x α k(s k ) >. Τότε κϊθε J k ςυνειςφϋρει τα παρακϊτω μονώνυμα, τα οπούα ςυνολικϊ παρϊγουν το Μ: J 0 : x α 0(1), x α 0(2),, x α 0(s 0 ) J 1 : x α 1(1) y, x α 1 2 y,, x α 1(s 1 ) y... J m 1 : x α m 1(1) y m 1, x α m 1(2) y m 1,, x α m 1(s m 1 ) y m 1 J : x α (1) y m, x α (2) y m,, x α (s ) y m Για να δείξουμε ότι τα παραπάνω μονϊνυμα παράγουν το Μ αρκεί να δείξουμε ότι κάκε μονϊνυμο x α y r M διαρεύται από κϊποιο από αυτϊ και ότι κϊθε ϋνα απο αυτϊ ανόκει ςτο Μ. Για το πρώτο αν, r m τότε από τον οριςμό του J, το x α y r διαιρεύται από κϊποιο x a(i) y m και αν r<μ τότε από τον οριςμό του J r, το x α y r 99

100 διαιρεύται από κϊποιο x α r (j) y r. Το δεύτερο ειναι προφανϋσ απο την καταςκευεύ των J, J r. 7.5 Οριςμόσ Έςτω {0} Ι k [x 1,, x n ] ιδεώδεσ. i. Συμβολίηουμε με ΜΟ(Ι) το ςφνολο των μεγιςτοβάκμιων όρων του Ι, δθλαδι ΜΟ(Ι) =,cx a υπϊρχει f Ι με ΜΟ f = cx a } ii. Συμβολίηουμε με <ΜΟ(Ι)> το ιδεϊδεσ που παράγεται από τα ςτοιχεία του ΜΟ(Ι) Ραράδειγμα Ζςτω Ι = <f 1, f 1 >, όπου f 1 = x 3 2xy και f 2 = x 2 y 2y 2 + x και χρθςιμοποιοφμε τθσ λεξικογραφικι διάταξθ των μονωνυμων ςτο k[x,y+. Επομζνωσ x(x 3 2xy) y x 2 y 2y 2 + x = x 2 Άρα x 2 Ι. Επομζνωσ x 2 = ΜΟ x 2 < ΜΟ Ι >. 7.6 Πρόταςθ Ζςτω Ι k [x 1,, x n ] ιδεϊδεσ. Τότε i. Το <ΜΟ(Ι)> είναι ιδεϊδεσ μονονφμων. ii. Υπάρχουν g 1,, g s I τζτοια που <ΜΟ(Ι)> = <ΜΟ(g 1 ),...,<ΜΟ(g s )> Απόδειξθ i. Τα μεγιςτοβάκμια μονϊνυμα ΜΜ(g) των g I \{0} παάγουν το ιδεϊδεσ <ΜΜ(g) g I\{0}>. Αφοφ τα ΜΜ(g), MO(g) διαφζρουν κατα μια ςτακερά ζχουμε ότι <ΜΜ(g)> = <MO(g)>. Άρα το <ΜΜ(g)> είναι ιδεϊδεσ μονωνφμων. ii. Από το i ζχουμε ότι <ΜΟ(g)> = <ΜΜ(g)> άρα απο το Λιμμα του Dickson υπάρχουν g 1,, g s I ϊςτε <ΜΟ(g)>=< ΜΟ(g 1 ),...,<ΜΟ(g s )>. Άρα <ΜΟ(g)> = <ΜΟ(g 1 ),...,<ΜΟ(g s )> Aποδείξαμε λοιπόν ότι για κάκε ιδεϊδεσ Ι πολυωνφμων το <ΜΟ(Ι)> είναι ιδεϊδεσ μονωνφμων και ότι υπάρχουν πεπεραςμζνα ςτοιχεία που το παράγουν. 7.7 Θεώρθμα (Βαςθ Hilbert) Κάκε ιδεϊδεσ Ι k [x 1,, x n ] έχει πεπεραςμένο υποςύνολο που το παράγει, δηλαδή Ι=<g 1,, g s > για κάποια g 1,, g s I 100

101 Απόδειξη Αν Ι = {0}, τότε Ι=<0>. Άν Ι {0} δηλαδή περιέχει ένα μη μηδενικό πολυώνυμο, θα καταςκευάςουμ το ςύνολο που το παράγει ωσ εξήσ. Από πρόταςη 7.6 υπάρχουν g 1,, g s I ώςτε <ΜΟ(g)> = <ΜΟ(g 1 ),...,<ΜΟ(g s )>. Ιςχυριηόμαςτε ότι Ι=<g 1,, g s >. Είναι ςαφέσ ότι <g 1,, g s > Ι. Έςτω τυχαύο f I. Διαιρώντασ το f με το { g 1,, g s } ϋχουμε Ζςτω r 0. Τότε f = a 1 g a s g s + r r = f a 1 g 1 a s g s I Εφόςον r 0 ζχουμε ότι ΜΟ(r) <ΜΟ(Ι)> άρα από Λιμμα 7.2 υπάρχει g ι για κάποιο 1 I s, ϊςτε ο ΜΟ(g ι ) να διαιρεί τον ΜΟ(r). Άτοπο από τθν ιδιότθτα του υπολοίπου ςτον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ. Άρα r=0, δθλαδι f = a 1 g a s g s + 0 <g 1,, g s >, δηλαδή f <g 1,, g s >. Τελικά έχουμε Ι = <g 1,, g s > 7.8 Οριςμόσ (Βάςη Groebner) Ένα πεπεραςμένο ςύνολο G={g 1,, g s } του ιδεώδουσ πολυωνύμων Ι λέγεται βάςη Groebner αν <ΜΟ(Ι)> = <ΜΟ(g 1 ),, ΜΟ(g s )>. Ιςοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι ένα ςύνολο G={g 1,, g s } του ιδεώδουσ πολυωνύμων Ι είναι βάςη Groebner αν και μόνο αν ο μεγιςτοβάθμιοσ όροσ κάθε πολυωνύμου του Ι διαιρείται απο κάποιο από τουσ ΜΟ(g ι ) για κάποιο g ι ςτο G. 7.9 Πόριςμα Κάθε μη μηδενικό ιδεώδεσ Ι k [x 1,, x n ] έχει βάςη Groebner. Επίςησ κάθε βάςη Groebner ενόσ ιδεώδουσ Ι παράγει το ιδεώδεσ αυτό. Απόδειξη Έςτω το μη μηδενικό ιδεώδεσ Ι k [x 1,, x n ] και G={g 1,, g s } όπωσ αυτό καταςκευάςτηκε ςτην απόδειξη τουσ θεωρήματοσ βάςησ Hilbert. Τότε, εξ οριςμού αυτό είναι μία βάςη Groebner. Όςον αφορά τον δεύτερο ιςχυριςμό, 101

102 αν <ΜΟ(Ι)> = <ΜΟ(𝑔1 ),, 𝛭𝛰(𝑔𝑠 )>, τότε πάλι απο το θεώρημα βάςησ Hilbert βλέπουμε ότι Ι = <𝑔1,, 𝑔𝑠 >, έτςι ώςτε G είναι μια βάςη του I Πόριςμα Έςτω το ιδεώδεσ Ι k [𝑥1,, 𝑥𝑛 ] και G={𝑔1,, 𝑔𝑠 } μια βάςη Groebner του Ι. Το υπόλοιπο τησ διαίρεςησ κάθε πολυωνύμου 𝑓 k [𝑥1,, 𝑥𝑛 ] δια τη βάςη Groebner είναι μοναδικό. Απόδειξη Έςτω 𝑟1 𝜅𝛼𝜄 𝑟2 δύο διαφορετικά μεταξύ τουσ υπόλοιπα τησ διαίρεςησ του τυχαίου f με το ςύνολο G. Από τον αλγόριθμο τησ διαίρεςησ ςτον k [𝑥1,, 𝑥𝑛 ] έχουμε ότι 𝑓 = 𝑎1 𝑔1 + + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 + 𝑟1 𝑓 = 𝛽1 𝑔1 + + 𝛽𝑠 𝑔𝑠 + 𝑟2 Τότε 𝑟2 𝑟1 = 𝑎1 𝑔1 + + 𝑎𝑠 𝑔𝑠 𝛽1 𝑔1 𝛽𝑠 𝑔𝑠 Ι. Επομζνωσ εφόςον 𝑟2 𝑟1 0, τότε ΜΟ(𝑟2 𝑟1 ) ΜΟ(Ι) = < ΜΟ(𝑔1 ),, 𝛭𝛰(𝑔𝑠 )>. Από το Λήμμα 7.2 έπεται ότι ο ΜΟ(𝑟2 𝑟1 ) διαιρείται απο κάποιον από τουσ ΜΟ(𝑔1 ),, 𝛭𝛰(𝑔𝑠 ). Αυτό όμωσ είναι άτοπο αφού από τον αλγόριθμο τησ διαίρεςησ έπεται ότι κανένασ από τουσ όρουσ των 𝑟1, 𝑟2 δεν διαιρείται από οποιονδιποτε από τουσ ΜΟ(𝑔1 ),, 𝛭𝛰(𝑔𝑠 ). Άρα 𝑟2 𝑟1 = Λήμμα Έςτω G μια βάςη Groebner του Ι k [𝑥1,, 𝑥𝑛 ]. Αν p G ώςτε ΜΟ(p) <ΜΟ(G\{p})> τότε το ςύνολο G\{p} είναι επίςησ βάςη Groebner του Ι. Απόδειξη Ξέρουμε από οριςμό βάςησ Groebner οτι <ΜΟ(G)> = <ΜΟ(Ι)>. Αν ΜΟ(p) <ΜΟ(G\{p})> τότε <ΜΟ(G\{p})> = ΜΟ(G)> = <ΜΟ(Ι)>, άρα το ςύνολο G\{p} είναι επίςησ βάςη Groebner του Ι Οριςμόσ Ελάχιςτη βάςη Groebner του ιδεώδουσ Ι είναι μια βάςη Groebner G={𝑔1,, 𝑔𝑠 } με τισ επιπλέον ιδιότητεσ : i) ii) Οι αρικμθτικοί ςυντελεςτζσ των ΜΟ(𝑔𝑖 ) είναι ίςοι με 1. Για κάκε i=1,2,...,s ιςχφει ότι ΜΟ(𝑔𝑖 ) < ΜΟ(𝑔1 ),, 𝛭𝛰 𝑔𝑖 1, 𝛭𝛰 𝑔𝑖+1,, 𝛭𝛰(𝑔𝑠 )> 102

103 Ραρατιρθςθ Σφμφωνα με τον οριςμό μποροφμε εφκολα να μετατρζψουμε μια τυχοφςα βάςθ Groebner ςε ελάχιςτθ διαιρϊντασ τα ςτοίχεια τθσ με τουσ αντίςτοιχουσ μεγιςτοβάκμιουσ ςυντελεςτζσ και ελζγχοντασ αν υπάρχουν μεγιςτοβάκμιοι όροι που διαιροφνται μεταξφ τουσ, τα αντίςτοιχα πολυϊνυμα αφιαροφνται από το ςφνολο και τότε θ βάςθ Groebner είναι ελάχιςτθ. Είναι φανερό ότι θ ελάχιςτθ βάςθ είναι πιο βολικι για τουσ υπολογιςμοφσ, αφοφ ζχει ελάχιςτο αρικμό ςτοιχείων. Το τελικό βιμα είναι να βροφμε μια ακόμα «καλφτερθ» βάςθ Groebner, θ οποία κα ζχει τθν ςπουδαία ιδιότθτα να είναι μοναδικι για κάκε ιδεϊδεσ Οριςμόσ Ανθγμζνθ βάςθ Groebner είναι μια ελάχιςτθ βάςθ Groebner G={𝑔1,, 𝑔𝑠 } με την επιπλέον ιδιότητα να μην υπάρχει μονώνυμο του 𝑔𝑖, 1 i κ, που να διαιρείται από κάποιο ΜΟ(𝑔𝑗 ), j i Θεώρημα Κάθε ιδεώδεσ Ι έχει μοναδική ανηγμένη βάςη Groebner. Απόδειξη Αν έχουμε μια ελάχιςτη βάςη Groebner μπορούμε εύκολα να φτάςουμε ςτην ανηγμένη βάςη Groebner του ιδεώδουσ ακολουθώντασ τον οριςμό. Παίρνουμε τα 𝑔𝑖 που δεν ικανοποιούν την ιδιότητα (ii) και τα αντικαθιςτούμε με το υπόλοιπο 𝑔𝑖 mod(g-{𝑔𝑖 }). To τελευταίο υπολογίζεται απο τον αλγόριθμο τησ διαίρεςησ, και είναι βέβαιο πωσ ικανοποιεί την ιδιότητα (ii). Η διαδικαςία που μετατρέπει μια τυχαία πρώτα βάςη ςε ελάχιςτη και κατόπιν ςτην ανηγμένη λέγεται αυτοαναγωγή. 103

104 O Αλγόριθμοσ του Buchberger Ωσ τϊρα ζχουμε ςυηθτιςει και αποδείξει τθν φπαρξθ βάςθσ Groebner ενόσ ιδεϊδουσ Ι. Ραρακάτω κα διατυπϊςουμε ζναν αλγόρικμο εφρεςθσ βάςθσ Groebner που οφείλεται ςτον Buchberger μακθτι του Groebner. 8.1 Οριςμόσ Για δφο πολυϊνυμα f 1, f 2 k [x 1,, x n ]. Καλοφμε S-πολυϊνυμο των f 1, f 2 το S(f 1, f 2 ) := x y MO(f 1 ) f 1 xy MO(f 2 ) f 2 Ππου x y το ελάχιςτο κοινό πολλαπλάςιο των ΜΜ(f 1 ) και ΜΜ(f 2 ). Ραράδειγμα Ζςτω f 1 = x 3 y 2 x 2 y 3 + x και f 2 = 3x 4 y + y 2 πολυϊνυμα ςτον R[x,y+. Τότε S(f 1, f 2 ) = x 4 y 2 x 3 y 2 f 1 x 4 y 2 3x 3 y f 2 = xf yf 2 = x 3 y 3 + x y3 Ραρατθροφμε λοιπόν πωσ ζνα S-πολυϊνυμο δφο πολυωνφμων f 1, f 2 λόγω καταςκευισ του προκαλεί ακφρωςθ των μεγιςτοβάκμιων όρων των f 1, f 2.Επίςθσ αφοφ το S(f 1, f 2 ) ανικει ςτο <f 1, f 2 > αλλά ΜΟ(S(f 1, f 2 )) <ΜΟ(f 1 ), ΜΟ(f 2 )>, αν το S(f 1, f 2 ) δεν είναι το μθδενικό πολυϊνυμο, τότε το ςφνολο,f 1, f 2 - δεν είναι βάςθ Groebner του ιδεϊδουσ <f 1, f 2 >. Στθν πραγματικότθτα οι μόνεσ ακυρϊςεισ μεγιςτοβάκμιων όρων πολυωνφμων ςτο <f 1, f 2 > οφείλονται ςτα S-πολυϊνυμα. Οι παρατθριςεισ αυτζσ οδθγοφν ςτο επόμενο κεϊρθμα. 8.2 Θεώρθμα Ζςτω k [x 1,, x n ] ο δακτφλιοσ των πολυωνφμων και Ι=<f 1, f 2,, f m > ζνα ιδεϊδεσ αυτοφ. Το ςφνολο G={f 1, f 2,, f m } είναι βάςθ Groebner του ιδεϊδουσ Ι, αν και μόνο αν το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ S(f i, f j ) δια του G είναι μθδζν για κάκε ηεφγοσ i,j, i j, I,j = 1,2,,n 104

105 Ο Αλγόρικμοσ του Buchberger Βιμα 1 ο Τοποκετοφμε ςε μια ςειρά τα πολυϊνυμα f 1, f 2,, f m Βιμα 2 ο Υπολογίηουμε το πολυϊνυμο S(f 1, f 2 ) Βιμα 3 ο Υπολογίηουμε το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ του S(f 1, f 2 ) δια του ςυνόλου {f 1, f 2,, f m } Βιμα 4 ο Ζαν το προθγοφμενο υπόλοιπο είναι μθδζν, τότε ςυνεχίηουμε με το S(f 1, f 3 ) διαιρϊντασ το με το ςφνολο,f 1, f 2,, f m }. Ζαν όμωσ δεν είναι μθδζν κεωροφμε το νζο ςφνολο,f 1, f 2,, f m, υ(s f 1, f 2 ) - ςτθ κζςθ του παλαιοφ. Βιμα 5 ο Συνεχίηουμε τον αλγόρικμο ελζγχοντασ όλα τα S(f i, f j ) αν χρειάηεται. Βιμα 6 ο Ο αλγόρικμοσ τερματίηει αν ςε όλουσ τουσ ελζγχουσ που περιγράψαμε όλα τα υπόλοιπα είναι μθδζν. Ραράδειγμα Ζςτω f 1 = x 3 2xy f 2 = x 2 y 2y 2 + x Αρχίηουμε από το δοςμζνο ςφςτθμα G={ f 1 = x 3 2xy, f 2 = x 2 y 2y 2 + x }. To f 3 = S f 1, f 2 = x 2 το οποίο δεν αφινει υπόλοιπο μθδζν με τα πολυϊνυμα του G, άρα διευρφνουμε το G ςε G 1 = { f 1, f 2,f 3 }. To S f 1, f 2 = f 3 αφινει υπόλοιπο μθδζν με το G 1, όμωσ το f 4 = S f 1, f 3 = 2xy δεν αφινει υπόλοιπο μθδζν με τα πολυϊνυμα G

106 Επομζνωσ διευρφνουμε ςε G 2 = { f 1, f 2,f 3, f 4 -. Τα S f 1, f 2 =f 3, S f 1, f 3 = f 4 όπωσ επίςθσ και το S f 1, f 4 = 2xy 2 = yf 4 αφινουν υπόλοιπο μθδζν με τα πολυϊνυμα του G 2. Διευρφνουμε πάλι ςε G 3 = { f 1, f 2,f 3, f 4, f 5 - το οποίο ικανοποιεί το κριτίριο του κεωριματοσ και επομζνωσ το ςφςτθμα γεννθτόρων Είναι βάςθ Groebner του Ι. {x 3 2xy, x 2 y 2y 2 + x, x 2, 2xy, 2y 2 + x} 106

107 ΜΕΟΣ IΙI 107

108 Γραμμικά Συςτήματα Στο κεφάλαιο αυτό, κα μελετιςουμε τουσ τρόπουσ επίλυςθσ γραμμικϊν ςυςτθμάτων. Θα αναφερκοφμε ςτουσ δφο τρόπουσ επίλυςθσ που περιζχονται ςτο αναλυτικό πρόγραμμα του Γυμναςίου και του Λυκείου, τθν διερεφνθςθ ςυςτθμάτων κακϊσ και λφςθ ςτυςτθμάτων με τον τφπο του Cramer, κακϊσ επίςθσ και ςτθν επίλυςθ με τθν μζκοδο τθσ απαλοιφισ του Gauss. Σε κάκε μια περίπτωςθ, κα αναφζρουμε αναλυτικά τθν καταςκευι αλγορίκμου μεςω τoυ λογιςμικοφ Γλωςςομάκεια, προκειμζνου οι μακθτζσ αφενόσ να ζχουν ςτα χζρια τουσ ζνα τεχνολογικό εργαλείο ωσ ςφμμαχο ςτθν προςπάκεια τουσ να επιλφουν ςυςτιματα, αφετζρου όμωσ να κατανοιςουν τισ μεκόδουσ επίλυςθσ, καταςκευάηοντασ μόνοι τουσ το πρόγραμμα και όχι απλά ειςάγοντασ δεδομζνα ςε ζνα ζτοιμο λογιςμικό. Οριςμόσ φςτθμα γραμμικών μ εξιςώςεων με ν αγνώςτουσ ι αλλιϊσ γραμμικό ςφςτθμα μ x ν, είναι ζνα ςφνολο από γραμμικζσ εξιςϊςεισ με τουσ ίδιουσ αγνϊςτουσ, τουσ οποίουσ προςπακοφμε να προςδιορίςουμε ϊςτε να επαλθκεφουν όλεσ τισ εξιςϊςεισ ι ανιςϊςεισ του ςυνόλου. Ζςτω το γραμμικό ςφςτθμα μ εξιςϊςεων με ν αγνϊςτουσ: Ππου α ij F, β i F, 1 i μ, 1 j ν. α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α μ1 x 1 + α μ2 x α μν x ν = β μ Σε μορφι πινάκων αυτό γράφεται ωσ ΑΧ = Β, όπου Α = (α ij ) = ( Α (1), Α (2),..., Α (ν) ) F μ ν και Β = β 1 β 2 β μ F μ

109 Ζνα ςτοιχείο Λ = λ 1 λ 2 λ μ F μ 1, είναι μία λφςθ του ΑΧ = Β αν και μόνο αν ΑΛ = Β ι ιςοδφναμα αν και μόνο αν Β = λ 1 Α (1) +λ 2 Α (2) λ ν Α (ν) Μζκοδοσ Αντίκετων υντελεςτών Η μζκοδοσ αντίκετων ςυντελεςτϊν ειναι θ 2 θ ςτθ ςειρά μζκοδοσ που διδάςκεται ςτο Γυμνάςιο και θ πιο προςφιλισ ςτθν τάξθ των μακθτϊν. Εφαρμόηεται κυρίωσ (ςτο ςχολείο αποκλειςτικά) για ςυςτιματα 2 x 2, αν και μπορεί να εφαρμοςκεί και ςε πιο «μεγάλα» ςυςτιματα. Η διαδικαςία ςτα μεγαλφτερα ςυςτιματα ομωσ ειναι ιδιαίτερα επίπονθ για τουσ μακθτζσ και αποφεφγεται. Ο περιοριςμόσ λοιπόν τθσ μεκόδου ςε 2 x 2 ςυςτιματα ειναι ο λόγοσ που τθν παρουςίαηουμε εδω πρϊτθ. Αναλυτικά Ζςτω το ςφςτθμα αx + βy = γ a x + β y = γ με α,α,β,β 0 Διαλζγουμε ζναν άγνωςτο. Ρροτιμότερο είναι να διαλζξουμε τον άγνωςτο οπου οι ςυντελεςτζσ του ειναι ετερόςθμοι. Αυτο κα το δοφμε αναλυτικά ςτα παραδείγματα. Ζςτω ο αγνωςτοσ x. Βρίςκουμε το ΕΚΡ των ςυντελεςτϊν του. Ζςτω ε = εκπ(α,α ). Στθν ςυνζχεια υπολογίηουμε τουσ λόγουσ δ = εκπ (α,α ) α και δ = εκπ (α,α ). α Ρολλαπλαςιάηουμε τισ δφο εξιςϊςεισ του ςυςτιματοσ με τα δ και δ, τθν μζν πρϊτθ με το δ τθ δε δεφτερθ με το δ, φροντίηοντασ όμωσ ςτο ςφςτθμα που κα προκφψει οι ςυντελεςτζσ του x να είναι ετερόςθμοι. Ασ υποκζςουμε λοιπόν εδϊ ότι τα α α >0. Τότε ζχουμε αx + βy = γ δ a x + β y = γ ( δ ) α εκπ (α,α ) x + βδy = γδ α a εκπ (α,α ) α x β δ y = γ δ εκπ(α, α )x + βδy = γδ εκπ(α, α )x β δ y = γ δ 109

110 Ρροςκζτοντασ κατα μζλθ τισ δφο εξιςϊςεισ καταλιγουμε ςε μία εξίςωςθ με ζναν μόνο άγνωςτο, τον y. Διακρίνουμε περιπτϊςεισ. εκπ α, α x + βδy = γδ εκπ α, α x β δ y = γ δ + (βδ β δ ) y = γδ γ δ 1 θ περίπτωςθ : βδ β δ = 0 και γδ γ δ = 0, τότε το ςφςτθμά μασ ειναι Αόριςτο 2 θ περίπτωςθ : βδ β δ = 0 και γδ γ δ 0, τότε το ςφςτθμά μασ ειναι Αδφνατο 3 θ περίπτωςθ : βδ β δ 0 και γδ γ δ 0 Λφνοντασ ωσ πρόσ y ζχουμε τθν πρϊτθ λφςθ. y = γδ γ δ βδ β δ Αντικακιςτοφμε το y ςε όποια απο τισ δφο αρχικζσ εξιςϊςεισ του ςυςτιματοσ κζλουμε και υπολογίηουμε το x. x = γ γδ γ δ βδ β δ α β. Άρα το ηθτοφμενο ηευγάρι λφςεων ειναι το (x,y) = ( γ γδ γ δ βδ β δ α β, γδ γ δ βδ β δ ) Παραδείγματα 1.Να λυκεί το ςφςτθμα 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 Ασ απαλοίψουμε τον άγνωςτο x. Βρίςκουμε το ΕΚΡ (3,2) = 6. Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του x. Ζχουμε 6 3 = 2 και 6 2 = 3. Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. 110

111 3x + 5y = 1 2 2x + 7y = 8 3 6x 10y = 2 6x + 21y = y = 22 y = 2 Αντικακιςτοφμε το y ςτθν πρϊτθ εξιςωςθ και ζχουμε 3x = 1 3x = 1 10 x = 3 Άρα το ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ, τθν (x,y) = (-3,2) 2. Να λυκεί το ςφςτθμα 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 Ασ απαλοίψουμε τον άγνωςτο x. Βρίςκουμε το ΕΚΡ (5,2) = 10. Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του x. Ζχουμε = 2 και = Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. Άρα το ςφςτθμα είναι αδφνατο. 3. Να λυκεί το ςφςτθμα 5x + 10y = 1 2 2x + 4y = x 20y = 2 10x + 20y = y = 22 x 3y = 2 2x 6y = 4 Ασ απαλοίψουμε τον άγνωςτο x. Βρίςκουμε το ΕΚΡ (1,2) =

112 Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του x. Ζχουμε 2 1 = 2 και 2 2 = 1. Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. Άρα το ςφςτθμα είναι Αόριςτο. x 3y = 2 2 2x 6y = 4 1 2x 6y = 4 + 2x + 6y = y = 0 Στθν περίπτωςθ που το ςφςτθμα είναι αόριςτο, μποροφμε να βροφμε τθν ςχζςθ των άπειρων ηευγαριϊν (x,y) που λφνουν το ςφςτθμα. Θζτουμε τον ζναν άγνωςτο, ζςτω τον y=κ. Τότε x 3κ = 2 x = 2 + 3κ Άρα το ςυςτθμά μασ ζχει άπειρεσ λφςεισ τθσ μορφισ (x,y) = (2+3κ, κ) 4. Να λυκεί το ςφςτθμα 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 Ραίρνουμε τισ δφο πρϊτεσ εξιςϊςεισ και ακολουκοφμε τθν διαδικαςία τθσ μεκόδου των αντίκετων ςυντελεςτϊν για το x. Βρίςκουμε το το ΕΚΡ (2,1) = 2. 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του x. Ζχουμε 2 2 = 1 και 2 1 = 2. Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. 2x y + 3w = 9 ( 1) x + 3y w = x + y 3w = 9 2x + 6y 2w =

113 7y 5w = 29 Πμοια παίρνουμε τθν πρϊτθ και τθν τρίτθ εξιςϊςθ και ακολουκοφμε τθν διαδικαςία τθσ μεκόδου των αντίκετων ςυντελεςτϊν για το x. Βρίςκουμε το το ΕΚΡ (2,3) = 6. 2x y + 3w = 9 3x + y w = 8 Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του x. Ζχουμε 6 2 = 3 και 6 3 = 2. Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. 2x y + 3w = 9 ( 3) 3x + y w = 8 2 6x + 3y 9w = 27 6x + 2y 2w = y 11w = 43 Ραίρνουμε τϊρα τισ δφο εξιςϊςεισ που προζκυψαν και εφαρμόηουμε τθν μεκοδο των αντίκετων ςυντελεςτϊν για το y. Βρίςκουμε το το ΕΚΡ (7,5) = 35. 7y 5w = 29 5y 11w = 43 Διαιροφμε το ΕΚΡ με τουσ ςυντελεςτζσ του y. Ζχουμε = 5 και = Ρολλαπλαςιάηουμε τισ εξιςϊςεισ με τα αποτελζςματα προςζχοντασ να δθμιουργθκοφν αντίκετοι ςυντελεςτζσ. 7y 5w = 29 ( 5) 5y 11w = y + 25w = y 77w = w = w = 156 w = 3 Αντικακιςτϊντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ του δεφτερου ςυςτιματοσ με w = -3, ζχουμε 113

114 7y 5( 3) = 29 7y = y = 2 Ζχοντασ βρεί πλεον τα y και w, μποροφμε εφκολα να βροφμε το x. 2x y + 3w = 9 2x 2 + 3( 3) = 9 2x = 2 x = 1 Άρα το ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ, τθν (x,y,w) = (1,2,-3) Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Ζςτω το ςφςτθμα αx + βy = γ κx + λy = μ Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ 114

115 Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ», «κ», «λ», «μ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Το πρόγραμμα κα «δθμιουργιςει» αντίκετουσ ςυντελεςτζσ ωσ προσ τον x. Αυτό κα το επιτφχει πολλαπλαςιάηοντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ με το «κ» και τθν δεφτερθσ με το «-α». κ αx + κ βy = κ γ α κx α λy = α μ Στθν ςυνζχεια προςκζτωντασ τισ δφο εξιςϊςεισ, είναι το πρόγραμμα ςε κζςθ να λφςει ωσ προσ y. Δθλαδι y = κ γ α μ κ β α λ Ρρωτα απ ολα, το πρόγραμμα ελζγχει αν το ςφςτθμα είναι αδφνατο ι αόριςτο. Αυτό πραγματοποιείται υπολογίηοντασ το κ β α λ. Εάν θ διαφορα αυτι ειναι μθδζν τότε το ςφςτθμα είναι είτε αόριςτο είτε αδφνατο. Αυτό εξαρτάται απο τθν διαφορά κ γ α μ. Αυτι θ διερεφνθςθ γίνεται με τισ παρακάτω εντολζσ. D1 <-- (κ*β)-(α*λ) D2 <-- (κ*γ)-(α*μ) Αν D1=0 τότε Αν D2=0 τοτε Γραψε 'το ςφςτθμα ειναι αοριςτο' Αλλιϊσ Γραψε 'το ςφςτθμα ειναι αδυνατο' Σελοσ_αν Αφοφ ζχουμε διερευνιςει τισ περιπτϊςεισ αδφνατο και αόριςτο, ςυνεχίηουμε ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ, πρϊτα ωσ προσ y και μετα χρθςιμοποιϊντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. y <-- D2/D1 x <-- (γ-β*y)/α Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' 115

116 Γραψε 'x = ',x, 'και y =',y Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Προγραμμα Αντικετοιςυνετελεςτεσ Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,d1,d2,x,y,ν,ο Χαρακτιρεσ: π Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε D1 <-- (κ*β)-(α*λ) D2 <-- (κ*γ)-(α*μ) Αν D1=0 τότε Aν D2=0 τοτε Γραψε 'το ςφςτθμα ειναι αοριςτο' Αλλιϊσ Γραψε 'το ςφςτθμα ειναι αδυνατο' Tελοσ_αν Αλλιωσ y <-- D2/D1 x <-- (γ-β*y)/α Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε 'x = ',x, 'και y =',y Tζλοσ_αν Aλλιϊσ Γραψε 'επανεκινθςθ' Tζλοσ_αν Tζλοσ_προγράμματοσ 116

117 Ραραδείγματα 1. 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». 117

118 πρόγραμμα υπολογίηει τισ λφςεισ τθ λφςθ του ςυςτιματοσ. Το 118

119 2. 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 119

120 3. x 3y = 2 2x 6y = 4 120

121 121

122 9.2.1 Μζκοδοσ Αντικατάςταςθσ Η μζκοδοσ τθσ αντικατάςταςθσ ειναι θ πρϊτθ μζκοδοσ αλγεβρικισ επίλυςθσ γραμμικϊν ςυςτθμάτων που διαδάςκεται ςτο Γυμνάςιο. Η διαφορά τθσ ςε ςχζςθ με τθν μζκοδο των αντίκετων ςυντελεςτων είναι ότι εφαρμόηεται με τον ίδιο τρόπο ςε κάκε είδουσ ςφςτθμα. Ειναι δε ο μοναδικόσ τρόποσ επίλυςθσ 3 x 3, 4 x 4 και μεγαλφτερων ςυςτθμάτων που διδάςκεται ςε όλεσ τισ τάξεισ του ςχολείου. Ι. υςτιματα ν x v Ζςτω το ςφςτθμα α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α ν1 x 1 + α ν2 x α νν x ν = β ν με (α ij ) 0 για κάκε 1 i, j ν Ακολουκοφμε τθν εξισ διαδικαςία. Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x 1. x 1 = β 1 (α 12 x α 1ν x ν ) α 11 Αντικακιςτοφμε ςτισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ το x 1 που βρικαμε παραπάνω και καταλιγουμε ςε ζνα ςφςτθμα (ν-1) x (ν-1). Στο καινοφργιο ςφςτθμα, ακολουκοφμε τθν ίδια διαδικάςια για το x 2 με τθν πρϊτθ εξίςωςθ του καινοφργιου ςυςτιματοσ. Αντικακιςτοφμε ςτισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ το x 2 poy βρικαμε και καταλιγουμε ςε ζνα ςφςτθμα (ν-2) x (ν-2). Συνεχίηοντασ τθν ιδια διαδικαςία, κα καταλιξουμε ςε ςε μία εξίςωςθ με μοναδικό άγνωςτον τον x ν. Λφνοντασ και γυρίηοντασ προσ τα πίςω καταλιγουμε ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ. Ραραδείγματα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα. Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. x + y = 20 x + 3y = 44 x + y =

123 x = 20 y (*) Αντικακιςτοφμε το x που βρικαμε ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ. x + 3y = 44 (20 y) + 3y = y + 3y = 44 2y = 24 y = 12 To y που βρικαμε, το αντικακιςτάμε ςτθν εξίςωςθ (*) και βρίςκουμε το x. x = 20 y x = x = 8 Άρα το ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ, τθν (x,y) = (8,12). 2. Να λυκεί το ςφςτθμα. Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 5x + 10y = 1 5x = 1 10y x = 1 10y 5 Αντικακιςτοφμε το x που βρικαμε ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ. 2x + 4y = y y+20y 5 + 4y = 8 = 8 0y = Άρα το ςφςτθμα είναι αδφνατο. 123

124 3. Να λυκεί το ςφςτθμα. Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. x 3y = 2 2x 6y = 4 x 3y = 2 x = 2 + 3y Αντικακιςτοφμε το x που βρικαμε ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ. Άρα το ςφςτθμα είναι Αόριςτο. 2x 6y = 4 2(2 + 3y) 6y = y 6y = 4 0y = 0 Στθν περίπτωςθ που το ςφςτθμα είναι αόριςτο, μποροφμε να βροφμε τθν ςχζςθ των άπειρων ηευγαριϊν (x,y) που λφνουν το ςφςτθμα. Θζτουμε τον ζναν άγνωςτο, ζςτω τον y=κ. Τότε x 3κ = 2 x = 2 + 3κ Άρα το ςυςτθμά μασ ζχει άπειρεσ λφςεισ τθσ μορφισ (x,y) = (2+3κ, κ) 4. Να λυκεί το ςφςτθμα Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 2x y + 3w = 9 2x = 9 + y 3w 124

125 x = 9 + y 3w 2 Αντικακιςτοφμε το x που βρικαμε ςτθν δεφτερθ και τθν τρίτθ εξίςωςθ. Ζτςι ζχουμε το νζο ςφςτθμα 2 x 2. 9+y 3w y 3w 2 + 3y w = 10 + y w = y 3w + 6y 2w = 20 3( 9 + y 3w) + 2y 2w = 16 7y 5w = 29 5y 11w = 43 Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ y. 7y 5w = 29 7y = w y = 29+5w 7 Αντικακιςτοφμε το y που βρικαμε ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ. 5y 11w = w 7 11w = 43 5(29 + 5w) 77w = w 77w = w = 156 w = 3 Ζχοντασ βρεί πλεον το w = -3, βρίςκουμε το y. 125

126 y = 29+5w 7 y = 29+5( 3) 7 y = 2 Και ςτθν ςυνζχεια το x. x = 9+y 3w 2 x = x = 1 Άρα το ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ, τθν (x,y,w) = (1,2,-3) ΙΙ. υςτιματα ν εξιςώςεων με μ αγνώςτουσ, με ν μ. Στθν περίπτωςθ αυτι, όταν δθλαδι οι εξιςϊςεισ ειναι περιςςότερεσ απο τουσ αγνϊςτουσ, τότε δθμιουργοφμε ζνα καινοφργιο ςφςτθμα χρθςιμοποιϊντασ τόςεσ εξιςϊςεισ όςεσ και οι άγνωςτοι και ςτθν ςυνζχεια ελζγχουμε αν οι λφςεισ ικανοποιοφν τισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ. Ραραδείγματα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα. 2x y = 7 x + 3y = 14 3x + y = 18 Εφόςον ζχουμε 2 αγνϊςτουσ, δθμιουργοφμε το ςφςτθμα με τισ δφο πρϊτεσ εξιςϊςεισ. Λφνουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ y. Και αντικακιςτοφμε ςτθν δεφτερθ. 2x y = 7 x + 3y = 14 y = 2x 7 x + 3y =

127 x + 3(2x 7) = 14 7x = 35 x = 5 Και επομζνωσ y = 2x 7 y = y = 3 Το ηζυγοσ λφςεων λοιπόν ειναι (x,y) = (5,3). Ελζγχουμε τϊρα αν το ςυγκεκριμζνο ηευγάρι επαλθκεφει και τθν τρίτθ εξίςωςθ. 3x + y = = = 18 Άρα το ςφςτθμα μασ ζχει μοναδικι λυςθ τθν (x,y) = (5,3). 2.Να λυκεί το ςφςτθμα 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 7x y + 5w = 7 Εφόςον ζχουμε 3 αγνϊςτουσ, δθμιουργοφμε το ςφςτθμα με τισ τρείσ πρϊτεσ εξιςϊςεισ. 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 Ππωσ είδαμε ςε προθγοφμενθ αςκιςθ, το παραπάνω ςφςτθμα ζχει λφςθ τθν (x,y,w) = (1,2.-3). Ελζγχουμε τϊρα αν το ςυγκεκριμζνο ηευγάρι επαλθκεφει και τθν τζταρτθ εξίςωςθ. Άρα το ςφςτθμα μασ ειναι αδφνατο. 7x y + 5w = = 7 20 = 7 127

128 ΙΙΙ. υςτιματα ν εξιςώςεων με μ αγνώςτουσ, με ν μ. Στθν περίπτωςθ αυτι, όταν δθλαδι οι άγνωςτοι ειναι περιςςότεροι απο τισ εξιςϊςεισ, τότε εργαηόμαςτε ωσ εξισ. Ρροςκζτουμε ςτο ςφςτθμα μασ τόςεσ εξιςϊςεισ όςεσ μασ λείπουν προκειμζνου το ςφςτθμα να γίνει ν x ν, χρθςιμοποιϊντασ ωσ μεταβλθτζσ τουσ «παραπάνω» αγνϊςτουσ, όπωσ ςτο παρακάτω παράδειγμα. Να λυκεί το ςφςτθμα Δθμιουργοφμε το παρακάτω ςφςτθμα 2x + 3y w + z = 5 x y + 2w 3z = 7 2x + 3y w + z = 5 x y + 2w 3z = 7 w = κ z = λ Ζχουμε λοιπόν τϊρα ζνα ςφςτθμα 4x4 και εργαηόμαςτε ωσ εξισ. Αντικακιςτοφμε τισ μεταβλθτζσ w και z με τισ ιςοδφναμεσ μεταβλθτζσ τουσ και λφνουμε το νεό ςφςτθμα ωσ προσ x και y. Λφνω τθν δεφτερθ εξιςωςθ ωσ προσ x 2x + 3y κ + λ = 5 x y + 2κ 3λ = 7 2x + 3y = 5 + κ λ x y = 7 2κ + 3λ x y = 7 2κ + 3λ x = y + 7 2κ + 3λ Και αντικακιςτοφμε ςτθν πρϊτθ εξίςωςθ ωςτε να βροφμε το y 2x + 3y = 5 + κ λ 2(y + 7 2κ + 3λ) + 3y = 5 + κ λ 5y = 5κ 7λ 9 y = 5κ 7λ 9 5 Και άρα x = y + 7 2κ + 3λ 128

129 x = 5κ 7λ 9 5 x = + 7 2κ + 3λ 5κ + 8λ Άρα το ςφςτθμα μασ ζχει άπειρεσ λφςεισ τθσ μορφισ (x,y,z,w) = ( 5κ+8λ+26 5, 5κ 7λ 9 5, κ,λ ) Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Ζςτω το ςφςτθμα αx + βy = γ κx + λy = μ Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ», «κ», «λ», «μ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test 129

130 Ωσ πρϊτο βιμα, το πρόγραμμα κα λφςει τθν πρϊτθ εξίςωςθ ϊσ προσ y και κα ελζγξει αν το ςφςτθμα είναι αόριςτο ι αδφνατο. Αυτό επιτυγχάνεται με τον ζλεγχο τθσ εξίςωςθσ λ κβ α. Αν λ κβ = 0 τότε ελζγχουμε τθν εξίςωςθ μ κγ. Αν μ κγ = 0 τότε το ςφςτθμα α α α είναι αόριςτο και αν μ κγ 0, το ςφςτθμα είναι αδφνατο. α Επίςθσ ςτθν περίπτωςθ που το ςφςτθμα είναι αόριςτο, λφνοντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ ϊσ προσ y ζχουμε τθν μορφι των λφςεων. Αυτι θ διερεφνθςθ γίνεται με τισ παρακάτω εντολζσ. Αν (λ-(κ*β)/α)=0 τότε Αν (μ-(κ*γ)/α)=0 τότε ς <-- γ/α ρ <-- β/α Γραψε 'το ςυςτθμα ειναι αοριςτο' Γραψε 'και εχει λυςεισ τθσ μορφθσ' Γραψε '(x,y)','=','(x,',ς,'-',ρ,'x)' Αφοφ ζχουμε διερευνιςει τισ περιπτϊςεισ αδφνατο και αόριςτο, ςυνεχίηουμε ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ, πρϊτα ωσ προσ y και μετα χρθςιμοποιϊντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ ωσ προσ x. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. y <-- (μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)) x <-- (γ/α)-((β/α)*y) Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε 'x = ',x, 'και y =',y Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Προγραμμα αντικαταςταςθ Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,x,y,ν,ο,ς,ρ Χαρακτιρεσ: test Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ 130

131 Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τότε Αν (λ-(κ*β)/α)=0 τότε Αν (μ-(κ*γ)/α)=0 τότε ς <-- γ/α ρ <-- β/α Γραψε 'το ςυςτθμα ειναι αοριςτο' Γραψε 'και εχει λυςεισ τθσ μορφθσ' Γραψε '(x,y)','=','(x,',ς,'-',ρ,'x)' Αλλιωσ Γραψε 'το ςυςτθμα ειναι αδυνατο' Tελοσ_αν Aλλιωσ y <-- (μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)) x <-- (γ/α)-((β/α)*y) Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε 'x = ',x, 'και y =',y Tζλοσ_αν Aλλιϊσ Γραψε 'Ξανατρζξε το πρόγραμμα' Tζλοσ_αν ΣΕΛΟ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΟ Ραραδείγματα 1. 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. 131

132 Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». 132

133 Το πρόγραμμα υπολογίηει τισ λφςεισ τθ λφςθ του ςυςτιματοσ. 133

134 2. 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 134

135 3. x 3y = 2 2x 6y = 4 135

136 136

137 9.3.1 Μζκοδοσ Cramer Η μζκοδοσ Cramer είναι θ τρίτθ μζκοδοσ επίλυςθσ ςυςτθμάτων που διδάςκεται ςτο ςχολείο και ςυγκεκριμζνα ςτθν Α Λυκείου. Εκεί αναφζρεται ωσ επίλυςθ γραμμικϊν ςυςτθμάτων με ορίηουςεσ και χρθςιμοποιείται κυρίωσ για τθν διερεφνθςθ ςυςτθματων ν x ν με μεταβλθτζσ. Αναλυτικά,ζςτω το ςφςτθμα ι ιςοδφναμα με μορφι πινάκων α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α ν1 x 1 + α ν2 x α νν x ν = β ν ΑΧ = Β, όπου Α= α 11 α 12 α 21 α α 1ν 22 α 2ν, Χ= α ν1 α ν2 α νν x 1 x 2 x ν, Β= β 1 β 2 β ν Υπολογίηουμε τθν ορίηουςα D του πίνακα Α και ςτθν ςυνζχεια τισ ορίηουςεσ D xi, οι οποίεσ αντιςτοιχοφν ςτον πίνακα Α αν αντικαταςτιςουμε τθν i ςτιλθ αυτοφ με τον πίνακα ςτιλθ Β. Διακρίνουμε περιπτϊςεισ. 1 θ Ρερίπτωςθ. D 0. Σε αυτι τθν περίπτωςθ, το ςφςτθμά μασ ζχει μοναδικι λφςθ τθν x 1, x 2,, x ν = ( D x 1 D, D x 2 D,, D x ν D ) 2 θ Ρερίπτωςθ. D=0 και D xi =0 για κάκε i=1,2,...,ν Σε αυτι τθν περίπτωςθ το ςφςτθμά μασ ειναι αόριςτο. 3 θ Ρερίπτωςθ. D=0 και υπϊρχει i [1, ν] τϋτοιο ώςτε D xi 0. Σε αυτι τθν περίπτωςθ το ςφςτθμά μασ ειναι αδφνατο. Ραραδείγματα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 137

138 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y, B= 1 8. Υπολογίηουμε τθν ορίηουςα D του Α D= = = = 11 Ζχουμε λοιπον D 0, άρα το ςφςτθμά μασ ζχει μοναδικι λφςθ. Υπολογίηουμε τισ D x και D y. D x = D y = = = 7 40 = 33 = = 24 2 = 22 Άρα οι λφςεισ του ςυςτιματοσ μασ ειναι x = D x D = = 3 y = D y D = = 2 2. Να λυκεί το ςφςτθμα 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y, B= 1 8. Υπολογίηουμε τθν ορίηουςα D του Α D= = = = 0 Ζχουμε λοιπον D=0.Υπολογίηουμε τισ D x και D y. D x = D y = = = 4 80 = 76 = = 40 2 = 38 Άρα το ςφςτθμά μασ ειναι αδφνατο. 3. Να λυκεί το ςφςτθμα 5x + 10y = 15 2x + 4y = 6 138

139 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y, B= Υπολογίηουμε τθν ορίηουςα D του Α D= = = = 0 Ζχουμε λοιπον D=0.Υπολογίηουμε τισ D x και D y. D x = D y = = = = 0 = = = 0 Άρα το ςφςτθμά μασ ειναι αόριςτο. 4.Να λυκεί το ςφςτθμα 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y, B= Υπολογίηουμε τθν ορίηουςα D του Α D= = ( ) = = = = 26 Άρα εφόςον D=-26, το ςφςτθμά μασ ζχει μοναδικι λφςθ. Υπολογίηουμε τισ D x, D y και D w D x = = = = = Άρα D x = 26 = =

140 2 9 3 D y = = = = = = Άρα D y = 52 = = D w = = ( 9) = = = = Άρα D w = 78 Άρα οι λφςεισ του ςυςτιματοσ μασ ειναι = = 78 x = D x D = = 1 y = D y D = = 2 w = D w D = = 3 5. Να λυκεί το ςφςτθμα λx y = λ 1 λ 2 x 2y = λ Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= λ 1 λ 2 2, Χ= x y Υπολογίηουμε τισ ορίηουςα D, D x, D y του ςυςτιματοσ, B= λ 1 λ. D= D x = λ 1 λ D y = λ 1 λ 2 2 = -2 λ (-1) λ2 = 2λ + λ 2 = λ(λ 2) λ λ 1 λ 2 λ Διακρίνουμε περιπτϊςεισ 1 2 = -2 (λ-1) (-1) λ = 2λ λ = 2 λ = λ λ λ 2 λ 1 = λ 2 λ 3 + λ 2 = λ 2 (2 λ) 140

141 1 θ Ρερίπτωςθ. D 0, δθλαδι λ(λ 2) 0 => λ 0 και λ 2. Σε αυτι τθν περίπτωςθ το ςφςτθμά μασ ζχει μοναδικι λφςθ και οι λφςεισ είναι x = D x D = 2 λ λ(λ 2) = 1 λ y = D y D = λ2 (2 λ) λ(λ 2) = λ 2 θ Ρερίπτωςθ. λ=0 Σε αυτι τθν περίπτωςθ D = 0 D x = 2 D y = 0 Άρα το ςφςτθμα μασ είναι αδφνατο. 3 θ Ρερίπτωςθ. λ=0 Σε αυτι τθν περίπτωςθ D = 0 D x = 0 D y = 0 Άρα το ςφςτθμα μασ είναι αόριςτο Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Ζςτω το ςφςτθμα αx + βy = γ κx + λy = μ Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. 141

142 Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ», «κ», «λ», «μ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Το πρϊτο βιμα το προγράμματοσ είναι να υπολογίςει τθν Ορίηουςα D του πίνακα Α του ςυςτιματοσ, κακϊσ επίςεισ και τισ ορίηουςεσ D x και D y. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. D <-- (α*λ)-(β*κ) D1 <-- (γ*λ)-(μ*β) D2 <-- (α*μ)-(κ*γ) Επόμενθ κίνθςθ του προγράμματοσ είναι να διερευνιςει αν το ςφςτθμα ειναι αδφνατο ι αόριςτο. Αν δθλαδι θ D=0, και αν ναι, τι ςυμβαίνει με τισ D x και D y. Επίςθσ ςτθν περίπτωςθ που το ςφςτθμα είναι αόριςτο, λφνοντασ τθν πρϊτθ εξίςωςθ ϊσ προσ y ζχουμε τθν μορφι των λφςεων. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. Αν D=0 τότε Αν D1=0 και D2=0 τότε Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αοριςτο' ν <-- γ/α ο <-- -β/α 142

143 Γραψε 'και εχει λφςεισ τθσ μορφθσ x=',ν,'+(',ο,')ξ','και y=ξ' Αλλιωσ Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αδυνατο' Σζλοσ_αν Αφοφ ζχουμε διερευνιςει τισ περιπτϊςεισ αδφνατο και αόριςτο, ςυνεχίηουμε ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ,υπολογίηοντασ το x = D x D και το y = D y D. Γραψε 'Σο ςυςτθμα εχει μοναδικθ λυςθ' x <-- D1/D y <-- D2/D Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε 'x =',x,'και y =',y Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Προγραμμα Cramerδυοεπιδυο Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,d,d1,d2,x,y,ν,ο Xαρακτιρεσ: test Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε D <-- (α*λ)-(β*κ) D1 <-- (γ*λ)-(μ*β) D2 <-- (α*μ)-(κ*γ) Αν D=0 τότε Αν D1=0 και D2=0 τότε Γραψε 'D=0, D1=0, D2=0' 143

144 Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αοριςτο' ν <-- γ/α ο <-- -β/α Γραψε 'και εχει λφςεισ τθσ μορφθσ x=',ν,'+(',ο,')ξ','και y=ξ' Αλλιωσ Γραψε 'D=',D,',D1=',D1,',D2=',D Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αδυνατο' Σζλοσ_αν Αλλιωσ Γραψε 'D=',D,',D1=',D1,',D2=',D Γραψε 'Σο ςυςτθμα εχει μοναδικθ λυςθ' x <-- D1/D y <-- D2/D Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε 'x =',x,'και y =',y Σζλοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε 'Ξανατρζξε το πρόγραμμα' Σελοσ_αν Σζλοσ_προγράμματοσ 144

145 Ραραδείγματα 1. 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». Το πρόγραμμα υπολογίηει τισ ορίηουςεσ του ςυςτιματοσ και τισ εμφανίηει μαηί με τισ λφςεισ αυτοφ. 145

146 2. 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 146

147 3. x 3y = 2 2x 6y = 4 Με τον ίδιο τρόπο καταςκευάηεται το πρόγραμμα για ςυςτιματα 3x3,προςκζτωντασ μια ορίηουςα ακόμα, τθν D z. Μποροφμε να επεκτακοφμε με αυτόν τον τρόπο και ςε μεγαλφτερα νxν, ςυςτιματα. Γι αυτο το λόγο και με χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ, είναι ο πιο εφκολοσ τρόποσ λφςθσ ενόσ ςυςτιματοσ. Το πρόγραμμα για ςυςτιματα 3x3 είναι το ακόλουκο. Προγραμμα Cramerτριαεπιτρια Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,π,ρ,ς,d,d1,d2,d3,x,y,z,ν,ο,δ,ξ,τ Χαρακτιρεσ: test Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του z ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε δ 147

148 Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του z ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε ξ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 3θ εξιςωςθ' Διαβαςε π Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 3θ εξιςωςθ' Διαβαςε ρ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του z ςτθν 3θ εξιςωςθ' Διαβαςε ς Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 3θ εξιςωςθ' Διαβαςε τ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','+',γ,'z','=',δ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','+',μ,'z','=',ξ Γραψε π,'x','+',ρ,'y','+',ς,'z','=',τ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε D <-- (α*((λ*ς)-(μ*ρ)))-(β*((κ*ς)-(π*μ)))+(γ*((κ*ρ)-(π*λ))) D1 <-- (δ*((λ*ς)-(μ*ρ)))-(β*((ξ*ς)-(τ*μ)))+(γ*((ξ*ρ)-(τ*λ))) D2 <-- (α*((ξ*ς)-(μ*τ)))-(δ*((κ*ς)-(π*μ)))+(γ*((κ*τ)-(π*ξ))) D3 <-- (α*((λ*τ)-(ρ*ξ)))-(β*((κ*τ)-(π*ξ)))+(δ*((κ*ρ)-(π*λ))) Αν D=0 τότε Αν D1=0 και D2=0 και D3=0 τότε Γράψε 'D=0, D1=0, D2=0 και D3=0' Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αοριςτο' Αλλιωσ Γραψε 'D=',D,',D1=',D1,',D2=',D2,'D3=',D3 Γραψε 'Σο ςυςτθμα ειναι Αδυνατο' Σζλοσ_αν Αλλιωσ Γραψε 'Σο ςυςτθμα εχει μοναδικθ λυςθ' x <-- D1/D y <-- D2/D z <-- D3/D Γραψε 'D=',D,',D1=',D1,',D2=',D2,'D3=',D3 Γραψε 'x =',x,'y =',y,'και z=',z Σζλοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε Ξανατρζξε το πρόγραμμα Σελοσ_αν Σζλοσ_προγράμματοσ 148

149 Ραράδειγμα 2x y + 3w = 9 x + 3y w = 10 3x + y w = 8 149

150 150

151 9.4.1 Η μζκοδοσ επίλυςθσ με τθν απαλοιφθ Gauss Η μζκοδοσ που κα περιγράψουμε παρακάτω δεν διαδάςκεται ςε καμία τάξθ του ςχολείου. Η διαδικαςία τθσ επίλυςθσ ςυςτθμάτων με απαλοιφι Gauss βαςίηεται ςτθν πρόςκεςθ ςε κάκε εξίςωςθ του ςυςτιματοσ κατάλλθλων πολλαπλαςίων μιασ άλλθσ εξίςωςθσ του ςυςτιματοσ με ςκοπο να οδθγθκοφμε ςε ζνα απλοφςτερο και ιςοδφναμο με το αρχικό ςφςτθμα. Αν μάλιςτα χρθςιμοποιιςουμε τον επαυξθμζνο πίνακα του ςυςτιματοσ, θ διαδικαςία ιςοδυναμι με τθν εφρεςθ του ανθγμζνου κλιμακωτου επαυξθμζνου πίνακα, μζςω καταλλιλων γραμμοπράξεων. Ρρίν αρχίςουμε τθν ανάλυςθ τθσ μεκόδου ασ δοφμε τι είναι ο επαυξθμζνοσ πίνακασ ενόσ ςυςτιματοσ. Ζςτω το ςφςτθμα ΑΧ=Β. Επαυξθμζνοσ πίνακασ του ςυςτιματοσ καλείται ο πίνακασ που προκφπτει αν ςτον πίνακα Α προςκζςουμε ςτο τζλοσ μια ακόμα ςτιλθ, με ςτοιχεία, τα ςτοιχεία του πίνακα Β. Ασ δοφμε τϊρα αναλυτικά τθν μζκοδο επίλυςθσ με απαλοιφθ Gauss. Ζςτω το ςφςτθμα ι ιςοδφναμα με μορφι πινάκων α 11 x 1 + α 12 x α 1ν x ν = β 1 α 21 x 1 + α 22 x α 2ν x ν = β 2 α ν1 x 1 + α ν2 x α νν x ν = β ν ΑΧ = Β, όπου Α= α 11 α 12 α 21 α α 1ν 22 α 2ν, Χ= α ν1 α ν2 α νν x 1 x 2 x ν, Β= β 1 β 2 β ν Ο επαυξθμζνοσ πίνακασ του ςυςτιματοσ ειναι ο (Α Β) = α 11 α 12 α 21 α 22 α 1ν α 2ν β 1 β 2 α ν1 α ν2 α νν β ν Μζςω κατάλλθλων μεταςχθματιςμϊν, υπολογίηουμε τον ανθγμενο κλιμακϊτο του (Α Β). Με αυτόν τον τρόπο οδθγοφμαςτε ςε ζνα ιςοδφναμο ςφςτθμα, πολφ πιο απλό απο το αρχικό, εφόςον οι εξιςϊςεισ που κα το απαρτίηουν κα ζχουν λιγότερουσ αγνωςτοφσ. 151

152 Ραραδείγματα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα x y w = 1 2x y + w = 3 x 3y + 2w = 7 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y w, B= Ο επαυξθμζνοσ πίνακασ του ςυςτιματοσ ειναι ο (Α Β) = Βρίςκουμε τον ανθγμζνο κλιμακωτό γραμμοιςοδφναμο του (Α Β). Ζχουμε Γ ~ 2 Γ 2 2Γ 1 Γ3 Γ 3 Γ 1 ~ ~ Γ3 Γ 3 +2Γ 2 ~ ~ Γ3 1 9 Γ 3 ~ ~ Γ3 1 9 Γ 3 ~ Γ ~ 2 Γ 2 2Γ 3 Γ1 Γ 1 2Γ 3 ~ Ο τελευταίο πίνακασ είναι γραμμοιςοδφναμοσ με τον (Α Β) και το ςφςτθμα που αντιςτοιχεί ςε αυτόν τον πίνακα ειναι ιςοδφναμο με το αρχικό. Το ιςοδφναμο ςφςτθμα λοιπόν ειναι το x = 2 y = 11 w = 2 Του οποίου θ λφςθ ειναι θ (x,y,w) = (-2, -11, 2) 2. Να λυκεί το ςφςτθμα 3x + 2y + w = 4 x + 2y + 3w = 8 2x 4y 6w = 16 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y w, B=

153 Ο επαυξθμζνοσ πίνακασ του ςυςτιματοσ ειναι ο (Α Β) = Βρίςκουμε τον ανθγμζνο κλιμακωτό γραμμοιςοδφναμο του (Α Β). Ζχουμε ~ Γ1 Γ 2 ~ Γ ~ 2 Γ 2 3Γ 1 Γ3 Γ 3 2Γ 1 ~ ~ Γ1 1 4 Γ 2 ~ ~ Γ1 Γ 1 2Γ 2 ~ Ο τελευταίο πίνακασ είναι γραμμοιςοδφναμοσ με τον (Α Β) και το ςφςτθμα που αντιςτοιχεί ςε αυτόν τον πίνακα ειναι ιςοδφναμο με το αρχικό. Το ιςοδφναμο ςφςτθμα λοιπόν ειναι το x w = 2 y + 2w = 11 0w = 0 => Άρα για κάκε κ R ςυςτόματοσ. x = 2 + w y = 11 2w τα x = 2 + κ, y = 11 2κ, w = κ ειναι λύςεισ του 3. Να λυθεύ το ςύςτημα 3x + 5y + 2w = 0 4x + 7y + 5w = 0 x + y 4z = 1 2x + 9y + 6z = 1 Το ςφςτθμα ιςοδφναμα γράφεται ΑΧ=Β με Α= , Χ= x y w, B= Ο επαυξθμζνοσ πίνακασ του ςυςτιματοσ ειναι ο (Α Β) = Βρίςκουμε τον ανθγμζνο κλιμακωτό γραμμοιςοδφναμο του (Α Β). Ζχουμε ~ Γ1 Γ 3 ~ Γ ~ 2 Γ 2 4Γ 1 Γ3 Γ 3 3Γ 1 ~ Γ 4 Γ 4 2Γ 1 153

154 ~ Γ2 1 3 Γ 2 ~ / Γ ~ 3 Γ 3 2Γ 2 Γ4 Γ 4 7Γ 2 ~ / /3 19/3 Ο τελευταίο πίνακασ είναι γραμμοιςοδφναμοσ με τον (Α Β) και το ςφςτθμα που αντιςτοιχεί ςε αυτόν τον πίνακα ειναι ιςοδφναμο με το αρχικό. Το ιςοδφναμο ςφςτθμα λοιπόν ειναι το To οποίο είναι ςαφζσ ότι ειναι αδφνατο. x + y 4w = 1 y + 7w = 4/3 0 = 1/3 35w = 19/ Επίλυςθ με τθν χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ. Ζςτω το ςφςτθμα αx + βy = γ κx + λy = μ Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ», «κ», «λ», «μ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. 154

155 Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Το πρόγραμμα κα μετατρζψει τον επαυξθμζνο πίνακα του ςυςτιματοσ ςε ανθγμζνο κλιμακωτό. Η μετατροπι αυτι είναι θ παρακάτω. Με α β γ κ λ μ 1 0 ξ 0 1 ν ξ = γ α β α κγ α (μ ) και ν= λ κβ α μ κγ α λ κβ α Αυτόσ ο μεταςχθματιςμόσ γίνεται με τισ παρακάτω εντολζσ. ξ <-- (γ/α)-((β/α)*((μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)))) π <-- (μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)) Ρροτοφ όμωσ το πρόγραμμα κάνει τθν μετατροπι αυτι, κα πρζπει να διερευνιςουμε αν το ςφςτθμα ειναι αόριςτο ι αδφνατο. Αυτό εξαρτάται απο τον κλάςμα λ κβ. Αν λ κβ = 0, ελζγχουμε το κλάςμα μ κγ. Αν μ κγ = 0 τότε το α α α α ςφςτθμα είναι αόριςτο, αλλίωσ το ςφςτθμα είναι αδφνατο. Ο ζλεγχοσ αυτόσ γίνεται με τισ εντολζσ. Αν (λ-((κ*β)/α))=0 τότε Αν (μ-((κ*γ)/α))=0 τότε Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι αοριςτο' Αλλιωσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι αδυνατο' Σελοσ_αν Αφοφ ζχουμε διερευνιςει τισ περιπτϊςεισ αδφνατο και αόριςτο, ςυνεχίηουμε ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ, με τθν βοικεια του ανθγμενου κλιμακωτοφ πίνακα. Αυτό γίνεται με τισ εντολζσ. Γραψε 'ο επαυξθμενοσ πινακασ του ςυςτθματοσ ςου ειναι ο ' Γραψε ' ' Γραψε α, β, γ Γραψε κ, λ, μ Γραψε ' ' Γραψε ' και ο ανθγμενοσ κλιμακωτοσ αυτου ειναι ο ' 155

156 Γραψε ' ' Γραψε ' 1 0 ',ξ Γραψε ' 0 1 ',π Γραψε ' ' Γραψε 'και επομενωσ το ςυςτθμα εχει λυςθ' Γραψε 'x=',ξ,' και y=',π Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Προγραμμα gaussδυοεπιδυο Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,x,y,ν,ο,ξ,π Χαρακτιρεσ: test Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του y ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x','+',β,'y','=',γ Γραψε κ,'x','+',λ,'y','=',μ Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τότε Αν (λ-((κ*β)/α))=0 τότε Αν (μ-((κ*γ)/α))=0 τότε Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι αοριςτο' Αλλιωσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι αδυνατο' Σελοσ_αν Αλλιϊσ ξ <-- (γ/α)-((β/α)*((μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)))) π <-- (μ-((κ*γ)/α))/(λ-((κ*β)/α)) Γραψε 'ο επαυξθμενοσ πινακασ του ςυςτθματοσ ςου ειναι ο ' Γραψε ' ' Γραψε α, β, γ Γραψε κ, λ, μ Γραψε ' ' 156

157 Γραψε ' και ο ανθγμενοσ κλιμακωτοσ αυτου ειναι ο ' Γραψε ' ' Γραψε ' 1 0 ',ξ Γραψε ' 0 1 ',π Γραψε ' ' Γραψε 'και επομενωσ το ςυςτθμα εχει λυςθ' Γραψε 'x=',ξ,' και y=',π Σελοσ_αν Αλλιϊσ Γράψε 'Ξανατρεξε το πρόγραμμα' Σζλοσ_αν Σελοσ_προγραμματοσ Ραραδείγματα 1. 3x + 5y = 1 2x + 7y = 8 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». 157

158 Το πρόγραμμα εμφανίηει τον ανθγμζνο κλιμακωτό πίνακα του ςυςτιματοσ κακϊσ και τισ λφςεισ αυτοφ. 158

159 2. 5x + 10y = 1 2x + 4y = 8 3. x 3y = 2 2x 6y = 4 159

160 160

161 Μη Γραμμικά Συςτήματα πολυωνύμων μιασ μεταβλητήσ Στο κεφάλαιο αυτό κα δοφμε τθν μζκοδο επίλυςθσ ςυςτθμάτων τθσ μορφισ α 11 x n + α 12 x n α 1(ν 1) x + α 1ν = 0 α 21 x n + α 22 x n α 2(ν 1) x + α 2ν = 0 α μ1 x n + α μ2 x n α μ(ν 1) x + α μν = Μζκοδοσ τθσ Αντικατάςταςθσ H μζκοδοσ επίλυςθσ είναι θ ακόλουκθ. Επιλφουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ι τθν πιό ζυκολθ όςο αναφορά ςτθν επίλυςθ, εξίςωςθ. Στθν ςυνζχεια ελζγχουμε αν οι λφςεισ αυτζσ επαλθκζυουν και τισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ. Πςεσ απο αυτζσ το πραγματοποιοφν, ςυμπεριλαμβάνονται ςτο ςφνολο λφςεων του ςυςτιματοσ. Ραράδειγμα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα Λφςθ x 2 5x + 6 = 0 x 2 + x 6 = 0 Επιλφουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ του ςυςτιματοσ, με τθν μζκοδο επίλυςθσ που περιγράψαμε ςε προθγοφμενο κεφάλαιο. Ζχουμε λοιπόν x 2 5x + 6 = 0 Δ = Δ = 1 Και επομζνωσ οι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ είναι οι x 1 = 2 και x 2 = 3 Ελζγχουμε τϊρα, ξεχωριςτά κάκε μια λφςθ, αν επαλθκεφει τθν δεφτερθ εξίςωςθ. 161

162 Για x 1 = = 0 0 = 0 Άρα το x 1 = 2 ανικει ςτο ςφνολο λφςεων του ςυςτιματοσ. Για x 2 = = 0 6 = 0 Άρα το x 2 = 3 δεν ανικει ςτο ςφνολο λφςεων του ςυςτιματοσ. Επομζνωσ το ςφςτθμα ζχει ςφνολο λφςεων ΣΛ = {2} Επίλυςθ με τθ χριςθ τθσ Γλωςςομάκειασ Το παρακάτω πρόγραμμα επιλφει ςυςτιματα μθ γραμμικϊν εξιςϊςεων μιασ μεταβλθτισ, 2 ου βακμοφ. Για περιπτϊςεισ εξιςϊςεων μεγαλφτερου βακμοφ, κα δοφμε παρακάτω τρόπο επίλυςεισ με τθν βοικεια του AXIOM κάκωσ με τθν γλωςςομάκεια θ καταςκευι ενόσ τζτοιου προγράμματοσ κα ιταν ιδιαίτερα δφςκολθ και ζξω απο τουσ ςκοποφσ τθσ ςυγκεκριμζνθσ εργαςίασ. Ασ δοφμε το πρόγραμμα αναλυτικά. Ζςτω το ςφςτθμα αx 2 + βx γ = 0 κx 2 + λx μ = 0 Το πρόγραμμα που κα καταςκευάςουμε, κα ζχει ϊσ μεταβλθτζσ ειςόδου μόνο τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Ειςάγουμε τα δεδομζνα μασ με τισ παρακάτω εντολζσ. Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x^2 ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x^2 ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ 162

163 Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Οι μεταβλθτεσ ειςόδου «α», «β», «γ», «κ», «λ», «μ» είναι ΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ. Στθν ςυνζχεια, και ςαν επιβεβαίωςθ των ςτοιχείων που ζχουμε δϊςει ςτο πρόγραμμα, αυτό μασ ρωτά αν θ εξίςωςθ που κζλουμε να λφςουμε ειναι ςωςτι. Αυτό γίνεται με το ερϊτθμα. Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x^2','+',β,'x','-',γ,'=0' Γραψε κ,'x^2','+',λ,'x','-',μ,'=0' Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Με το ςυγκεκριμζνο πρόγραμμα μποροφμε να λφςουμε και ςυςτιματα όπου μια απο τισ δφο εξιςϊςεισ,ι ακομα και οι δφο, να μθν 2 ου βακμοφ. Σε πρϊτθ φάςθ το πρόγραμμα επιλφει τθν 1 θ εξίςωςθ χρθςιμοποιϊντασ τον αλγόρικμο του προγράμματοσ για τθν επίλυςθ τριωνφμου. Αν θ πρϊτθ εξίςωςθ είναι 1 ου βακμοφ και αόριςτθ, τότε το πρόγραμμα ςυνεχίηει ςτθν επίλυςθ τθσ 2 θσ εξίςωςθσ, και παρουςιάηει ωσ λφςεισ του ςυςτιματοσ τισ λφςεισ αυτισ. Αν θ πρϊτθ εξίςωςθ ειναι 1 ου βακμοφ και αδφνατθ, τότε το πρόγραμμα τερματίηει ενθμερϊνοντασ μασ ότι το ςφςτθμα είναι Αδφνατο. Αυτζσ οι δφο ενζργειεσ γίνονται με τισ παρακάτω εντολζσ. Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Αν γ=0 τότε Γραψε 'θ πρωτθ ειναι αοριςτθ ελεγχω τθν 2θ' Αν κ=0 τότε Αν λ=0 τότε Αν μ=0 τότε Γραψε 'Και θ 2θ εξιςωςθ ειναι Αόριςτθ, Άρα' Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αόριςτο' Αλλιϊσ Γραψε 'Η 2θ εξίςωςθ είναι Αδφνατθ, Άρα' Γραψε '' Γραψε 'Σο φςτθμα ειναι Αδφνατο' Σζλοσ_αν Αλλιωσ x <-- μ/λ 163

164 Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Σζλοσ_αν Αλλιϊσ R <-- λ^2-4*κ*μ Αν R>0 τότε x1 <-- ((-1)*λ+Σ_Ρ(R))/(2*κ) x2 <-- ((-1)*λ-Σ_Ρ(R))/(2*κ) Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει δφο λφςεισ τισ' Γραψε ' x1 =',x1, 'και x2 = ',x2 Αλλιϊσ_αν R=0 τότε x <-- ((-1)*λ)/(2*κ) Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα εχει μια λφςθ τθν x=', x Αλλιϊσ Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδφνατο ' Σελοσ_αν Σελοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδυνατο' Σζλοσ_αν Αν τϊρα θ 1 θ εξίςωςθ είναι 1 ου βακμοφ και ζχει μοναδικι λφςθ, το πρόγραμμα τθν υπολογίηει και ελζγχει αν ικανοποιεί τθν 2 θ εξίςωςθ. Οι εντολζσ Αλλιωσ x <-- γ/β Γραψε '' F <-- (κ*(x^2))+(λ*x) Αν F= μ τότε Γραψε 'Σο ςυςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε ' x=',x Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Σζλοσ_αν Στθν περίπτωςθ που θ 1 θ εξίςωςθ είναι δευτζρου βακμοφ, το πρόγραμμα τθν επιλφει με τον αλγόρικμο του προγράμματοσ επίλυςεισ τριωνφμου και ςτθν ςυνζχεια ζλεγχει αν οι λφςεισ που βρικε επαλθκεφουν τθν 2 θ εξίςωςθ. Αν αυτό ςυμβαίνει, τισ παρουςιάηει. Αλλιϊσ μασ ενθμερϊνει ότι το ςφςτθμά μασ είναι αδφνατο. Οι εντολζσ για το παραπάνω. 164

165 Αλλιϊσ D <-- β^2-4*α*γ Αν D>0 τότε x1 <-- ((-1)*β+Σ_Ρ(D))/(2*α) x2 <-- ((-1)*β-Σ_Ρ(D))/(2*α) Γραψε '' Γραψε '' F <-- (κ*(x1^2))+(λ*x1) G <-- (κ*(x2^2))+(λ*x2) Αν F= (-1)*μ τότε Γραψε ' Σο ςφςτθμα ζχει λφςθ τθν ',x1 Αλλιϊσ Γραψε '' Σελοσ_αν Αν G=(-1)*μ τοτε Γραψε ' Σο ςφςτθμα ζχει λφςθ τθν ',x2 Αλλιϊσ Γραψε '' Σζλοσ_αν Αν F<>0 και G<>0 τότε Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Αλλιϊσ_αν D=0 τότε x <-- ((-1)*β)/(2*α) Γραψε '' F <-- (κ*(x^2))+(λ*x) Αν F=(-1)*μ τότε Γραψε 'το ςυςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε ' x=',x Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' τελοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Σελοσ_αν Ζχουμε πλζον καλφψει όλεσ τισ πικανζσ περιπτϊςεισ. Ασ δοφμε τϊρα ολόκλθρο το πρόγραμμα και κάποια παραδείγματα. Προγραμμα Μθγραμμικα Μεταβλθτεσ Πραγματικεσ: α,β,γ,κ,λ,μ,f,d,r,g,x,x1,x2 Χαρακτιρεσ: test 165

166 Αρχθ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x^2 ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε α Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε β Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 1θ εξιςωςθ' Διαβαςε γ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x^2 ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε κ Γραψε 'Δωςε τον ςυντελεςτθ του x ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε λ Γραψε 'Δωςε τον ςτακερο ορο ςτθν 2θ εξιςωςθ' Διαβαςε μ Γραψε 'Σο ςυςτθμα που κεσ να λυςεισ ειναι το' Γραψε α,'x^2','+',β,'x','-',γ,'=0' Γραψε κ,'x^2','+',λ,'x','-',μ,'=0' Γραψε 'ωςτα? N(αι)/Ο(χι)' Διαβαςε test Αν test = 'Ν'ι test='ν' τοτε Αν α=0 τότε Αν β=0 τότε Αν γ=0 τότε Γραψε 'θ πρωτθ ειναι αοριςτθ ελεγχω τθν 2θ' Αν κ=0 τότε Αν λ=0 τότε Αν μ=0 τότε Γραψε 'Και θ 2θ εξιςωςθ ειναι Αόριςτθ, Άρα' Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αόριςτο' Αλλιϊσ Γραψε 'Η 2θ εξίςωςθ είναι Αδφνατθ, Άρα' Γραψε '' Γραψε 'Σο φςτθμα ειναι Αδφνατο' Σζλοσ_αν Αλλιωσ x <-- μ/λ Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν x=', x Σζλοσ_αν Αλλιϊσ R <-- λ^2-4*κ*μ Αν R>0 τότε x1 <-- ((-1)*λ+Σ_Ρ(R))/(2*κ) x2 <-- ((-1)*λ-Σ_Ρ(R))/(2*κ) Γραψε 'Σο ςφςτθμα ζχει δφο λφςεισ τισ' Γραψε ' x1 =',x1, 'και x2 = ',x2 Αλλιϊσ_αν R=0 τότε 166

167 x <-- ((-1)*λ)/(2*κ) Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα εχει μια λφςθ τθν x=', x Αλλιϊσ Γραψε '' Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδφνατο ' Σελοσ_αν Σελοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδυνατο' Σζλοσ_αν Αλλιωσ x <-- γ/β Γραψε '' F <-- (κ*(x^2))+(λ*x) Αν F= μ τότε Γραψε 'Σο ςυςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε ' x=',x Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Σζλοσ_αν Αλλιϊσ D <-- β^2-4*α*γ Αν D>0 τότε x1 <-- ((-1)*β+Σ_Ρ(D))/(2*α) x2 <-- ((-1)*β-Σ_Ρ(D))/(2*α) Γραψε '' Γραψε '' F <-- (κ*(x1^2))+(λ*x1) G <-- (κ*(x2^2))+(λ*x2) Αν F= (-1)*μ τότε Γραψε ' Σο ςφςτθμα ζχει λφςθ τθν x=',x1 Αλλιϊσ Γραψε '' Σελοσ_αν Αν G=(-1)*μ τοτε Γραψε ' Σο ςφςτθμα ζχει λφςθ τθν x= ',x2 Αλλιϊσ Γραψε '' Σζλοσ_αν Αν F<>(-1)*μκαι G<>(-1)*μ τότε Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Αλλιϊσ_αν D=0 τότε x <-- ((-1)*β)/(2*α) Γραψε '' 167

168 F <-- (κ*(x^2))+(λ*x) Αν F=(-1)*μ τότε Γραψε 'το ςυςτθμα ζχει μοναδικι λφςθ τθν' Γραψε ' x=',x Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα είναι Αδφνατο' τελοσ_αν Αλλιϊσ Γραψε 'Σο ςφςτθμα ειναι Αδφνατο' Σελοσ_αν Σελοσ_αν αλλιϊσ Γραψε 'Σρεξε ξανά το πρόγραμμα' Tζλοσ_αν ΣΕΛΟ_ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΣΟ Ραραδείγματα 1. x 2 5x + 6 = 0 x 2 + x 6 = 0 Ρατάμε ςτο κουμπί «Εκτζλεςθ» και το πρόγραμμα ξεκινάει ηθτϊντασ μασ να δϊςουμε τουσ ςυντελεςτζσ α,κ του x, τουσ ςυντελεςτζσ β,λ του y και τουσ ςτακεροφσ όρουσ γ,μ του ςυςτιματοσ. Στθν ςυνζχεια εμφανίηεται θ ερϊτθςθ επιβεβαίωςθσ τθσ εξίςωςθσ, ςτθν οποία ϊσ απάντθςθ δίνουμε «ν». 168

169 Το πρόγραμμα υπολογίηει τισ λφςεισ τθσ πρϊτθσ εξίςωςθσ και ελζγχει ποιζσ απο αυτζσ επαλθκεφουν τθν δεφτερθ, παρουςιάηοντασ τισ λφςεισ του ςυςτιματοσ. 169

170 2. x 2 + 5x + 6 = 0 3x x + 18 = 0 3. x 2 4x + 4 = 0 x 2 + x 6 = 0 170

171 171

172 172

173 Μζκοδοσ Ευκλείδειασ Διαίρεςθσ. Ζςτω το ςφςτθμα f x = 0 g x = 0 με deg (g) deg (f) Από τον αλγόρικμο τθσ διαίρεςθσ, υπάρχουν μοναδικά π(x), υ(x), τζτοια ϊςτε f x = g x π x + υ(x) (1) Ζςτω x 1 μια λφςθ του ςυςτιματοσ, δθλαδι f x 1 = g x 1 = 0. Αντικακιςτϊντασ το x 1 ταυτότθτα (1), ζχουμε f x 1 = g x 1 π x 1 + υ(x 1 ) Ραρατθροφμε λοιπόν ότι το x 1 είναι λφςθ και τθσ υ(x). Δείξαμε λοιπόν ότι το ςυςτθμά μασ ζχει το ίδιο ςφνολο λφςεων με το ςφςτθμα g x = 0 υ x = 0 Συνεχίηοντασ τθν ίδια διαδικαςία, μποροφμε να οδθγθκοφμε ςε ζνα πιό εφκολο, ιςοδφναμο ςφςτθμα. Ραράδειγμα 1. Να λυκεί το ςφςτθμα Λφςθ x 3 + 2x 2 + x + 2 = 0 x 2 + 5x + 6 = 0 Διαιροφμε το πολυϊνυμο x 3 + 2x 2 + x + 2 με το x 2 + 5x

174 Επομζνωσ x 3 + 2x 2 + x + 2 = (x 2 + 5x + 6) x 3 + (10x + 20) Άρα το ιςοδφναμο ςφςτθμα είναι το x 2 + 5x + 6 = 0 10x + 20 = 0 Το ςφςτθμα αυτό είναι πιό εφκολο, αφοφ περιζχει και μια εξίςωςθ πρϊτου βακμοφ. Λφνουμε λοιπόν τθν δεφτερθ και ελζγχουμε αν θ λφςθ επαλθκεφει τθν πρϊτθ. Για x = 2 10x + 20 = 0 x = 2 ( 2) 2 + 5( 2) + 6 = 0 0 = 0 Άρα το x = 2 είναι λφςθ του ςυςτιματοσ Διαίρεςθ Πολυωνφμων με χριςθ του AXIOM Να λυκεί το ςφςτθμα x 3 + 2x 2 + x + 2 = 0 x 2 + 5x + 6 = 0 174

175 Αρχικά κα ειςάγουμε ςτο πρόγραμμά μασ τα πολυϊνυμα του ςυςτιματοσ, τα οποία και κζλουμε να διαιρζςουμε ϊςτε να βροφμε το υπόλοιπο. Το AXIOM περζχει εντολι για τθ διαίρεςθ δφο πολυωνφμων μιασ μεταβλθτισ με ρθτοφσ ςυντελεςτζσ εφόςον ο διαιρζτθσ είναι μονικό πολυϊνυμο. Εάν δεν είναι μποροφμε, εφόςον ζχουμε ςφςτθμα εξιςϊςεων, να μετατρζψουμε αυτό ςε ζνα ιςοδφναμο ςφςτθμα με τον διαιρζτθ να είναι μονικό. Η διαίρεςθ αυτι γίνεται με τθν παρακάτω εντολι. Σε αυτό το ςθμείο να αναφερκοφμε ςτο υπόλοιπο όπωσ παρακάτω Οδθγθκικαμε λόιπόν ςτο ευκολότερο ςφςτθμα x 2 + 5x + 6 = 0 10x + 20 = 0 175

176 Μη Γραμμικά Συςτήματα Εξιςώςεων Πολλών Μεταβλητών Μζκοδοσ Αντικατάςταςθσ Η μζκοδοσ που κα περιγράψουμε, είναι ιδιαίτερα εφκολθ, όταν ζχουμε ςυςτιματα με «απλζσ» εξιςϊςεισ. Για πιό ςφνκετεσ εξιςϊςεισ, καλφτερθ μζκοδόσ ειναι θ επίλυςθ με βάςεισ Groebner, που κα περιγράψουμε παρακάτω. Ζςτω το ςφςτθμα f 1 (x 1, x 2,, x n ) f 2 (x 1, x 2,, x n ) f m (x 1, x 2,, x n ) Επιλφουμε τθν πρϊτθ εξίςωςθ ϊσ προσ τον αγνωςτο x 1 και αντικακιςτοφμε το x 1 ςτισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ. Συνεχίηουμε τθν ίδια διαδικαςία ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ για τον άγνωςτο x 2 και ουτω κακεξισ καταλιγουμε ςε μια εξίςωςθ με ζναν μόνο άγνωςτο, τον x m. Βρίςκουμε το x m και γυρίηοντασ πρόσ τα πίςω υπολογίηουμε και τουσ υπόλοιπουσ αγνϊςτουσ. Ασ δοφμε ζνα πρόβλθμα που ςυναντάμε ςυχνά ςτθν Β Λυκείου, και ςυγκεκριμζνα ςτθν Αναλυτικι Γεωμετρία, και που μασ οδθγεί ςτθν επίλυςθ ενόσ ςυςτιματοσ εξιςϊςεων πολλϊν μεταβλθτϊν. «Να βρεκοφν τα ςθμεία τομισ τθσ ευκείασ x 2 + y 2 = 10» x + y 4 = 0 και του κφκλου Λφςθ Το πρόβλθμα ζγκειται ςτθν επίλυςθ του ςυςτιματοσ Επιλφουμε τθν πρϊτθ ϊσ πρόσ x. x + y 4 = 0 x 2 + y 2 = 10 x = y + 4 (1) Αντικακιςτοφμε το x ςτθν δεφτερθ εξίςωςθ, y y 2 = 10 => y 2 8y y 2 = 10 => 176

177 2y 2 8y + 6 = 0 Ζχουμε λοιπόν Δ = Δ = 16 Και επομζνωσ οι λφςεισ τθσ εξίςωςθσ είναι οι y 1 = 1 και y 2 = 3 Για y 1 = 1 ζχουμε x 1 = x 1 = 3 Για y 2 = 3 ζχουμε x 2 = x 1 = 1 Επομζνωσ οι λφςεισ του ςυςτιματοσ και επομζνωσ τα κοινά ςθμεία είναι τα x, y = 1,3 και x, y = (3,1) 177

178 Eπίλυςη Συςτήματοσ με βάςεισ Groebner Στθν παράγραφο αυτι κα αςχολθκοφμε με τθν μζκοδο επίλυςθσ ςυςτθμάτων με τισ βάςεισ Groebner. Ζςτω το ςφςτθμα f 1 x 1, x 2,, x n = 0 f 2 x 1, x 2,, x n = 0 f m x 1, x 2,, x n = 0 Αρχικά εφαρμόηουμε τον αλγόρικμο του Buchberger για να βροφμε μια βάςθ Groebner του ιδεϊδουσ Ι=<f 1, f 2,, f m > ωσ πρόσ τθν λεξικογραφικι διάταξθ. Στθν ςυνζχεια εφαρμόηουμε τθν διαδικαςία για τθν εφρεςθ τθσ ανθγμζνθσ βάςθσ Groebner. Ζςτω ότι αυτι ειναι θ,g 1, g 2,, g r }. Με αυτόν τον τρόπο οδθγοφμαςτε ς ενα ιςοδφναμο ςφςτθμα, ευκολότερο όμωσ ςτθν λφςθ. Το ςφςτθμα αυτό είναι το g 1 x 1, x 2,, x n = 0 g 2 x 1, x 2,, x n = 0 g m x 1, x 2,, x n = 0 Ασ δοφμε τωρα παραδείγματα εφαρμογισ τθσ μεκόδου επίλυςθσ με βάςεισ Groebner Γραμμικά υςτιματα Ζςτω το γραμμικό ςφςτθμα f 1 = 3x 6y 2z = 0 f 2 = 2x 4y + 4w = 0 f 3 = x 2y z w = 0 Εφαρμόηουμε πρϊτα τον αλγόρικμο του Buchberger για να βροφμε μια βάςθ Groebner του ιδεϊδουσ Ι=<f 1, f 2, f 3 > ωσ πρόσ τθν λεξικογραφικι διάταξθ. Ζχουμε S(f 1, f 2 ) = x f 3x 1 x f 2x 2 = 2 z 2w 3 Το υπόλοιπο τθσ διαίρεςθσ του S(f 1, f 2 ) με τα πολυϊνυμα,f 1, f 2, f 3 - είναι διάφορο του μθδενόσ, άρα κα πρζπει να διευρφνουμε το ςφνολο γεννθτόρων με το 178

179 f 4 = 2 z 2w 3 Συνεχίηουμε τθν διαδικαςία. S(f 1, f 3 ) = x 3x f 1 x x f 3 = 1 3 z + w = 1 2 f 4, υπόλοιπο μθδζν. S(f 2, f 3 ) = x 2x f 2 x x f 3 = z + 3w = 3 2 f 4, υπόλοιπο μθδζν. S(f 1, f 4 ) = xz f 3x 1 xz 2 f 3 z 4 = 3xw 2yz 2 3 z2 = 3 y + 1 z f 3 4 wf 1, υπόλοιπο μθδζν. S(f 2, f 4 ) = xz f 2x 2 xz 2 f 3 z 4 = 3xw 2yz + 2wz = S(f 1, f 4 ) zf 4, υπόλοιπο μθδζν. S(f 3, f 4 ) = xz f x 3 xz 2 f 3 z 4 = 3xw 2yz z 2 wz = S f 2, f zf 2 4, υπόλοιπο μθδζν. Συνεπϊσ θ βάςθ Groebner που παίρνουμε είναι θ {f 1 = 3x 6y 2z, f 2 = 2x 4y + 4w, f 3 = x 2y z w, f 4 = 2 z 2w} Εφαρμόηουμε τϊρα τθν διαδικαςία για τθν εφρεςθ τθσ ανθγμζνθσ βάςθσ Groebner. Ρρϊτα απ ολα πολλαπλαςιάηουμε κάκε όρο με κατάλλθλθ ςτακερά ϊςτε ο οδθγόσ ςυντελεςτισ να είναι 1. Ραίρνουμε ϊσ νζα βάςθ Groebner τθν {g 1 = x 2y 2 3 z, g 2 = x 2y + 2w, g 3 = x 2y z w, g 4 = z + 3w} Ζχουμε ΜΟ(g 1 ) = x <MO(g 2 ) = x, MO(g 3 ) = x, MO(g 4 ) = z> ςυνεπώσ το βγϊζουμε απο την βϊςη. Επύςησ ΜΟ(g 2 ) = x <MO(g 3 ) = x, MO(g 4 ) = z >, ϊρα το βγϊζουμε και αυτό από την βϊςη. Επομϋνωσ ϋχουμε ωσ νϋα βϊςη την {g 3 = x 2y z w, g 4 = z + 3w}. 3 Ο όροσ z του g 3 ανόκει ςτο <ΜΟ g 4 )= z> και επομϋνωσ αντικαθιςτούμε το g 3 με το g 5 = g 3 + g 4 = x 2y + 2w και ϋχουμε ωσ νϋα βϊςη την {g 5 = x 2y + 2w, g 4 = z + 3w}, Η οπούα μπορούμε να δούμε οτι εύναι μια ανηγμϋνη βϊςη Groebner. Επομϋνωσ το αρχικό ςύςτημα εύναι ιςοδύναμο με το x 2y + 2w = 0 z + 3w = 0 Το οπούο ςυμπύπτει με το ςύςτημα που προκύπτει από την απαλοιφό Gauss. 179

180 Επύλυςη με χρόςη του ΑΧΙΟΜ Αρχικά κα ειςάγουμε ςτο πρόγραμμά μασ τα πολυϊνυμα του ςυςτιματοσ. Στθν ςυνζχεια κα υπολογίςουμε τθν ανθγμζνθ βάςθ Groebner που παράγεται απο το Με τθν εντολι Οδθγοφμαςτε λοιπόν ςτο πιό εφκολο ιςοδφναμο ςφςτθμα x 2y + 2w = 0 z + 3w = 0 180

181 Μθ Γραμμικά υςτιματα Ζςτω το ςφςτθμα 3x 2 + 2yz 2xw = 0 2xz 2yw = 0 2xy 2z 2zw = 0 x 2 + y 2 + z 2 1 = 0 Η ανθγμζνθ βάςθ Groebner που αντιςτοιχεί ςτο παραπάνω ςφςτθμα είναι θ f 1 = w 3 2 x yz z z z2 f 2 = x 2 + y 2 + z 2 1 f 3 = xy z z z f 4 = xz + yz z z z f 5 = y 3 + yz 2 y z z z f 6 = y 2 z z z z f 7 = yz 3 + yz z z z2 f 8 = z z z z Αν και το αντίςτοιχο ςφςτθμα εξιςϊςεων είναι πολφ μεγαλφτερο από το αρχικό, παρατθροφμε όμωσ ότι ειναι ςε διαγϊνιο μορφι. Το λφνουμε αρχίηοντασ απο τθν τελευταία εξίςωςθ f 8 = 0, που περιλαμβάνει μία μόνο μεταβλθτι, και προχωράμε προσ τα πάνω με αντικατάςταςθ. Η εξίςωςθ f 8 = 0 ζχει ϊσ λφςεισ τισ z = 0, ±1, ± 2 3, ± Αντικακιςτϊντασ, βρίςκουμε τισ λφςεισ του ςυςτιματοσ. z = 0, y = 0, x = 1 z = 0, y = ±1, x = 0 181

182 z = ±1, y = 0, x = 0 z = 2 3, y = 1 3, x = 2 3 z = 2, y = 1, x = z = , y =, x = z = 11, y = 3 11, x = Η τιμι τθσ μεταβλθτισ w κακορίηεται μοναδικά από τθν πρϊτθ εξίςωςθ f 1 = Επίλυςθ με χριςθ του ΑΧΙΟΜ Αρχικά κα ειςάγουμε ςτο πρόγραμμά μασ τα πολυϊνυμα του ςυςτιματοσ, κεωρϊντασ τθν λεξικογραφικι διάταξθ. Στθν ςυνζχεια κα υπολογίςουμε τθν ανθγμζνθ βάςθ Groebner που παράγεται απο το Με τθν εντολι 182

183 Ραρατθροφμε τϊρα ότι ςτθν βάςθ Groebner υπάρχει το πολυϊνυμο Το οποίο ζχει μοναδικό άγνωςτο τον w. Μποροφμε να βροφμε τισ ρίηεσ του πολυωνφμου αυτοφ με τθν παρακάτω εντολι. Για κάκε μία απο τισ ρίηεσ αυτζσ, γυρίηουμε πίςω ςτισ υπόλοιπεσ εξιςϊςεισ και βρίςκουμε τουσ υπόλοιπουσ αγνϊςτουσ. Για παράδειγμα, παίρνωντασ το w=-1 και το πολυϊνυμο Μπορϊ να βρϊ τισ τιμζσ του x, με τθν εντολι. 183

184 Και ςυνεχίηουμε για όλουσ τουσ ςυνδιαςμοφσ. Επειδι το ςυγκεκριμζνο παράδειγμα ζχει πολλοφσ ςυνδιαςμοφσ λφςεων, ασ δοφμε ζνα πιο εφκολο παράδειγμα απο τθν αρχι μζχρι το τζλοσ. Να λυκεί το ςφςτθμα 6x + 3xy = 0 4x 2 y 2 = 0 Αρχικά κα ειςάγουμε ςτο πρόγραμμά μασ τα πολυϊνυμα του ςυςτιματοσ, κεωρϊντασ τθν λεξικογραφικι διάταξθ. Στθν ςυνζχεια κα υπολογίςουμε τθν ανθγμζνθ βάςθ Groebner που παράγεται απο το Με τθν εντολι Σε αυτό το ςθμείο καλό κα ιταν να δοφμε μια επιλογι που μασ δίνει το πρόγραμμα. Χρθςιμοποιϊντασ ςαν δεφτερο όριςμα τθν επιλογι redcrit μποροφμε να δοφμε διαδοχικά τα πολυϊνυμα που το AXIOM προςκζτει ςτθ βάςθ. 184

185 Συνεχίηουμε παρατθρϊντασ ότι το τρίτο πολυϊνυμο τθσ βάςθσ Groebner ζχει ϊσ μοναδικό άγνωςτο τον y. Μποροφμε λοιπόν να υπολογίςουμε τισ ρίηεσ του G(3) Και να τισ χρθςιμοποιιςουμε μια μια ςτισ υπόλοιπεσ δφο εξιςϊςεισ για να βροφμε τα αντίςτοιχα x. Για y = 2 Δθλαδι ικανοποιείται για κακε x. Δθλαδι για y = 2 ςυςτιματοσ ειναι οι : παίρνουμε τισ τιμζσ x = ±1. Άρα οι δφο λφςεισ του 1, 2 και ( 1, 2) 185