Θέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΔΤΙΚΗ & ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο θαη ζύλζεηα ζέκαηα Δπηκέιεηα: Άιθεο Τδειέπεο Αζήλα 0

2 Θέμα ο Έζησ νη α, β R. Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο είλαη πξαγκαηηθόο ( α βi) 000 ( β αi) 000 Θέμα ο Έζησ ε εμίζσζε ( α 6) 3α 3 0, α R, κε 4 α 4 i) Να ιπζεί ε εμίζσζε ii) Να δεηρηεί όηη, όηαλ ην α κεηαβάιιεηαη ζην δηάζηεκα [-4,4], ηόηε νη εηθόλεο ησλ ξηδώλ ηεο εμίζσζεο θηλνύληαη πάλσ ζε έλα νξηζκέλν θύθιν Θέμα 3 ο v Να δείμεηε όηη όιεο νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο 5( i) λ (4 3i)( i), v Ν * είλαη πξαγκαηηθέο Θέμα 4 ο Αλ δίλεηαη όηη, & 3 3, λα δεηρηεί όηη, Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: Θέμα 6 ο Αλ ι>0 θαη v Ν*, ώζηε: ( 7i) v ι 4 3i v Να βξεζεί ε κηθξόηεξε ηηκή πνπ κπνξεί λα πάξεη ην ι. Θέμα 7 ο 3v Να βξεζεί θάζε v Ν *, ώζηε λα ηζρύεη i Θέμα 8 ο Αλ γηα ηνπο κηγαδηθνύο, ηζρύεη Να δείμεηε όηη : Θέμα 9 ο Έζησ νη κηγαδηθνί, θαη 3, ώζηε: α) 3 θαη β) Να δεηρηεί όηη ην ηξίγσλν πνπ έρεη θνξπθέο ηηο εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ 0,, είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο Άλκης Τζελέπης

3 Θέμα 0 ο 6 Έζησ ε εμίζσζε () α) Να ιύζεηε ηελ εμίζσζε () β) Αλ, είλαη δηαθνξεηηθέο ξίδεο ηεο () λα δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο είλαη θαληαζηηθόο W Θέμα ο Έζησ νη δηαθνξεηηθνί κηγαδηθνί θαη γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: α) Να δεηρηεί όηη : β) Τν ηξίγσλν ΟΑΒ, όπνπ Ο(0,0), Α( ) θαη Β( ) είλαη νξζνγώλην; Να εμεγήζεηε. Θέμα ο Γύν κέιηζζεο Α θαη Β θηλνύληαη ζην κηγαδηθό επίπεδν, ώζηε αλ Α( ) θαη Β( ) είλαη νη ζέζεηο ηνπο αληίζηνηρα, λα ηζρύεη i α) Αλ νη κέιηζζεο Α θαη Β μεθηλάλε ηελ θίλεζή ηνπο από ην ίδην ζεκείν Μ, λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ Μ β) Αλ ε κέιηζζα Α θηλείηαη πάλσ ζηνλ θύθιν θέληξνπ K(,0) θαη αθηίλαο ξ =, λα δεηρηεί όηη ε κέιηζζα Β θηλείηαη πάλσ ζε κηα νξηζκέλε επζεία. Θέμα 3 Ο. α) Να ζεκεηώζεηε ζε θαζέλα από ηα παξαθάησ ην αληίζηνηρν γξάκκα Σ (ζσζηό) ή Λ (ιάζνο) Σην ζύλνιν C ηζρύεη: i) ii) 4 iii) β) Να αληηζηνηρίζεηε θάζε ηζόηεηα ηεο ζηήιεο Α ζηε γεσκεηξηθή παξάζηαζε πνπ εθθξάδεη ε ζηήιε Β. Σηήιε Α Σηήιε Β. i α) ε επζεία y = x. i( ) β) ν θύθινο (Κ(,),) 3. γ) ε επζεία y = -x 4. ( ) ( ) δ) ε ππεξβνιή 5. ε) ν θύθινο (0(,0),) η) νη άμνλεο ζπληεηαγκέλσλ. Έζησ C, ώζηε i 4 α) Να βξεζεί ν. β) λα βξεζεί ην κέγηζην θαη ην ειάρηζην ηνπ κέηξνπ ηνπ κηγαδηθνύ W 3 4i Άλκης Τζελέπης 3

4 Θέμα 4 ο ι 4i Έζησ ν κηγαδηθόο, ι R ιi α) Nα γξάςεηε ηνλ ζηε κνξθή α+βi, όπνπ α, β R β) Να βξεζεί θάζε ι R, ώζηε i) R ii) I γ) Να βξεζεί ν ι ώζηε ν λα έρεη κέγηζην κέηξν. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν κηγαδηθόο, αλ ηζρύεη i Θέμα 6 ο Έλα θηλεηό θηλείηαη ζην κηγαδηθό επίπεδν, ώζηε ε ρξνληθή ζηηγκή t 0 λα βξίζθεηαη ζηε ζέζε πνπ είλαη ε εηθόλα ηνπ κηγαδηθνύ. 4t 4ti α) Να δεηρηεί όηη ην θηλεηό θηλείηαη πάλσ ζε κηα νξηζκέλε παξαβνιή β) Να δεηρηεί όηη ην θηλεηό απέρεη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ απόζηαζε όρη κηθξόηεξε ηνπ γ) Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή ηνπ to πνπ ην επζύγξακκν ηκήκα πνπ ελώλεη ην θηλεηό θαη ηελ πξνβνιή ηνπ ζηνλ άμνλα x x θαίλεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ ππό ηε κεγαιύηεξε γσλία Θέμα 7 ο Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλσ ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ, αληίζηνηρα, κε ( i 3). Έζησ όηη ε κύγα Α θηλείηαη πάλσ ζε έλα θύθιν θέληξνπ 0(0,0) θαη αθηίλαο ξ=0 3 3 α) Να δεηρηεί όηη 8 β) Να δεηρηεί όηη θαη ε κύγα Β θηλείηαη θπθιηθά γ) Να δεηρηεί όηη ε απόζηαζε κεηαμύ ησλ δύν κπγώλ είλαη ζπλερώο ζηαζεξή θαη λα βξεζεί δ) Όηαλ ε κύγα Α βξίζθεηαη θαηά ηελ θίλεζή ηεο ζηνλ ζεηηθό εκηάμνλα Οy, πνηα είλαη ε ζέζε ηεο κύγαο Β ζην κηγαδηθό επίπεδν; Άλκης Τζελέπης 4

5 4 ΑΚΗΕΙ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ) Έζησ i 4, C 3 i.να βξεζεί ν γ.η. ηνπ = x + ςi. Αλ w I, κε w i i, λα βξεζεί ν γ.η. ηνπ. Nα βξεζεί ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ, πνπ πεξηθιείεηαη από ηηο γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ δύν πξνεγνύκελσλ γεσκεηξηθώλ ηόπσλ. ) α) Έζησ wc, θαη Α,Β νη εηθόλεο ηνπο ζην κηγαδηθό επίπεδν. Να δεηρζεί όηη: OA OB Re w β) Έζησ, C κε εηθόλεο αληίζηνηρα Α,Β,Γ, γηα ηνπο νπνίνπο: θαη, 3 0 η) OA OB OB O O OA 0 ηη) O A OB O Να δεηρζεί όηη: 3 3) α) Αλ ηζρύεη όηη, ηόηε είλαη Re( ), C, N * i β) Να δεηρζεί όηη ε εμίζσζε i δελ έρεη πξαγκαηηθή ξίδα. 997i γ) Έζησ Ρ θαη Μ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ,w κε w i.αλ ην Ρ θηλείηαη ζηνλ θύθιν κε εμίζσζε x, λα δεηρζεί όηη ην Μ θηλείηαη ζε έιιεηςε, ηεο νπνίαο λα βξεζνύλ νη εζηίεο θαη ηα κήθε ησλ αμόλσλ. i 4) Έζησ κηγαδηθόο = x + ςi, κε x, R, 4i.Αλ w λα βξεζεί ν γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ i 4 κηγαδηθώλ, ώζηε w Τόηε: η) λα βξεζνύλ ηα Re [f()], Im [f()] ηη) λα βξεζεί ν γ.η. ησλ ζεκείσλ Μ (f()) ηηη) λα βξεζεί ην f 5) α) Έζησ f i i, x i, x, R ηv) λα βξεζεί ν γ.η. ησλ, αλ ηζρύεη: 5 f. β) Αλ ν γ.η. ηνπ είλαη θύθινο θέληξνπ Ο(0,0) θαη αθηίλαο, λα δεηρζεί όηη ν γ.η. ηνπ w, κε είλαη έιιεηςε. w 6) Να ιπζεί ε εμίζσζε: i 0, C.Αλ Α,Β,Γ είλαη νη εηθόλεο ησλ κε κεδεληθώλ ιύζεσλ, λα δεηρζεί όηη ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζόπιεπξν. 7) Να δεηρζεί όηη, C ηζρύνπλ: & ηη) Re η) Re. Im Άλκης Τζελέπης 5

6 8) Έζησ C, κε 4 Re () = 3 Im () () θαη ζπλάξηεζε 3 Re( ) Re(3 ) 3Re( ) Im(3 ) F( ) 3, όπνπ ηθαλνπνηεί ηελ (). η) Να κειεηεζεί ε F, σο πξνο ηε κνλνηνλία & ηα αθξόηαηα. ηη) Να βξεζεί ε εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ΑΒ, όπνπ Α,Β νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, πνπ αληηζηνηρνύλ ζηα αθξόηαηα ηεο F. 9) Θεσξνύκε ηελ ζπλερή ζπλάξηεζε f : R R θαη ηνλ κηγαδηθό x if ( x), xr.. Αλ ηζρύεη f θαη 3 δεηρζεί όηη f (α ) = 0. f θαη γηα x 0, a 0) Να ιπζεί ην ζύζηεκα: { 3 & 6i }. ηζρύεη: a a, a a, 3a a, λα i ) Έζησ w,, C η) Να ππνινγηζζεί ν ζπλαξηήζεη ηνπ w. ηη) Αλ Μ ε εηθόλα ηνπ θαη Ν ε εηθόλα ηνπ w, λα δεηρζεί όηη:, όπνπ Α, Β ζηαζεξά ζεκεία ηηη) Να βξεζεί ν γ.η. ησλ ζεκείσλ Ν, όηαλ. ) Έζησ νη κηγαδηθνί : x i a i, ai, a *. η) Να βξεζεί ν γ.η. ηνπ, αλ ηη) Να βξεζεί ν γ.η. ηνπ, αλ, R i 9 i 3) Έζησ f ( ), i. Αλ w i θαη w f ( ) i, ηόηε: i η) Να δεηρζεί όηη ww 5 i ηη) Να βξεζεί ν w, αλ w w ηηη) Να ιπζεί ε εμίζσζε f ( ) i ηv) Αλ f ( ) R, λα βξεζεί ν γ.η. ησλ ζεκείσλ M () ) Αλ είλαη κηα ξίδα ηεο εμίζσζεο 0, λα δεηρζεί όηη: ) Να δεηρζεί όηη a i ai 0. a 6) Να δεηρζεί όηη: a I. a 7) Έζησ f ( ), C, Re( ) 0 η) Να δεηρζεί όηη: f f ( ) ηη) Αλ Im [f()] = 0, λα δεηρζεί όηη ν γ.η. ησλ εηθόλσλ Μ () έρεη θέληξν ζπκκεηξίαο ην Ο (0,0). Άλκης Τζελέπης 6

7 8) Γίλεηαη ε εμίζσζε: w w w i, N *. Να βξεζεί ν γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ ξηδώλ ηεο. 9) Να εμεηαζζεί αλ ν γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: i i, δηέξρεηαη από ηηο θνξπθέο Α θαη Α ηεο έιιεηςεο, πνπ γξάθνπλ νη εηθόλεο ησλ κηγαδηθώλ w, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: w w 4w w 64. 0) Γίλεηαη g παξαγσγίζηκε ζην [α,], κε g () =.Να δεηρζεί όηη ππάξρεη x0 a, ώζηε ε εθαπηνκέλε ζην ζεκείν ( x, f 0 x 0 ) ηεο C f, κε f ( x) g( x) ln x x, λα είλαη παξάιιειε κε ηνλ ρ ρ. Γίλεηαη όηη ην α, είλαη ε ηεηαγκέλε ηνπ θέληξνπ ηνπ θύθινπ, πνπ απνηειεί ην γ.η. ησλ εηθόλσλ ηνπ i κηγαδηθνύ, όηαλ w κε w I. ) Γίλεηαη f παξαγσγίζηκε ζην [α.β], έηζη ώζηε f (β) > 0 θαη f ( a) f ( ) 3. Έζησ νη κηγαδηθνί f ( a) if ( ) θαη f ( ). η) Αλ a, λα δεηρζεί όηη ππάξρεη x0 a, : f ( x 0 ) 0. ηη) Αλ if ( ) θαη if ( ) κε & f ( a) f ( ) 0, λα δεηρζεί όηη ππάξρεη a x ( a, ) έηζη ώζηε f ( x ) ) Γίλεηαη f ζπλερήο ζην [α,β] θαη νη κηγαδηθνί a if ( a), w if ( ) κε a 0, f ( a) f ( ) 0. Υπνζέηνπκε όηη ηζρύεη: w w θαη όηη f (α) < f (γ) < f (β).τόηε: η) ππάξρεη x : f x 0 0, ηη) ππάξρεη x : f x f 0 a, f ηηη) αλ f x e x a a, d, λα βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f., 3) η) Να δεηρζεί όηη ν γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: i Re( ) Im( ), είλαη δύν επζείεο, πνπ έρνπλ θέληξν ζπκκεηξίαο ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. ηη) Αλ ην γηλόκελν ησλ απνζηάζεσλ ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ w από ηηο πξνεγνύκελεο επζείεο i Im( ) είλαη 4/5, λα βξεζεί ν γ.η. ηνπ w, αλ Re( ) ηηη) Να δεηρζεί όηη νη επζείεο ηνπ (η) είλαη αζύκπησηεο ηνπ (ηη). 3 4) Γίλνληαη νη κε κεδεληθνί κηγαδηθνί,w κε w, όπνπ,, R ηέηνηνη ώζηε 3 νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ ζπλαξηήζεσλ f ( x) x x & g( x) x x, λα έρνπλ ζην θνηλό ηνπο ζεκείν Α (,3) θνηλή εθαπηνκέλε. Να βξεζεί ν γ.η. ηνπ w, αλ ν θηλείηαη ζε θύθιν κε εμίζσζε. Σηε ζπλέρεηα λα δεηρζεί όηη νη κηγαδηθνί, ησλ νπνίσλ νη εηθόλεο αλήθνπλ ζηε 9 5 θσληθή ηνκή ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο, ηθαλνπνηνύλ ηελ ηζόηεηα:. 4 Άλκης Τζελέπης 7

8 e 8 5) Να ππνινγηζζεί ην dx, όπνπ κηγαδηθόο κε a, όπνπ α είλαη ε πηζαλόηεηα 0 43 πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ ελδερνκέλνπ Α: παίξλνπκε ηνπιάρηζηνλ κηα ιεπθή ζθαίξα, από κηα θάιπε πνπ 5 πεξηέρεη 5 ιεπθέο θαη 8 καύξεο ζθαίξεο, όηαλ ηξαβήμνπκε από απηή 3 ζθαίξεο. ( a ) 43 6) i) Γίδνληαη νη κηγαδηθνί,, γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη: (). Να βξεζεί ν γ.η. ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ: w. f ( x) ηη) Γίδνληαη νη κηγαδηθνί ia θαη f ( x) i, πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ (), όπνπ f είλαη κηα παξαγσγίζηκε ζην R ζπλάξηεζε κε f (0)=0 θαη f 0 0. Να δεηρζεί όηη < α < 3. w( x) Im ηζρύεη ην Θ.Rolle ζην δηάζηεκα [γ,δ], λα δεηρζεί όηη: ηηη) Αλ γηα ηε ζπλάξηεζε e e f ( ) f ( ) f ( ), όηαλ f ( ). f ( ) Άλκης Τζελέπης 8