3.16 Αζκήζεις ζτ. βιβλίοσ ζελίδας 65 66

Transcript

1 3.6 ζκήζεις ζτ. βιβλίοσ ζελίδας Ερωηήζεις Καηανόηζης ν (Κ, R) και (, π) είναι δύο κύκλοι πος έσοςν διαθοπεηικά κάνηπα και R > π, Κ = δ, να ανηιζηοισίζεηε κάθε θπάζη ηηρ ππώηηρ ζηήληρ με ηην ανηίζηοιση ζσέζη ζηη δεύηεπη ζηήλη. ηήλη ηήλη α. Ο κύκλορ (, π) είναι 4 δ > R + π εζωηεπικόρ ηος κύκλος (Κ,R) β. Ο κύκλορ (, π) εθάπηεηαι εζωηεπικά 3 δ = R + π ηος (Κ, R) γ. Οι κύκλοι (, π) και (Κ, R) 8 3. δ = R π ηέμνονηαι δ. Οι κύκλοι εθάπηονηαι εξωηεπικά 4. δ < R π ε. Κάθε κύκλορ είναι εξωηεπικόρ ηος άλλος 5. δ = R π 6. π < δ < R 7. δ = Rπ 8. R π < δ < R + π Χαπακηηπίζηε ζωζηή ( ) ή λάθορ ( ) κάθε μία από ηιρ παπακάηω πποηάζειρ και αιηιολογήζηε ηην απάνηηζη ζαρ. i) Η διάκενηπορ δύο ηεμνομένων κύκλων είναι μεζοκάθεηορ ηηρ κοινήρ σοπδήρ ii) Η κοινή σοπδή δύο ίζων ηεμνόμενων κύκλων είναι μεζοκάθεηορ ηηρ διακένηπος iii) Σο ζημείο επαθήρ δύο εθαπηόμενων κύκλων είναι ζημείο ηηρ διακένηπος i) αζικό θεώπημα ii) Παπαηήπηζη ζελίδαρ 64 iii) αζική θεωπία

2 ζκήζεις Εμπέδωζης Να πποζδιοπιζηούν οι ζσεηικέρ θέζειρ ηων κύκλων (Κ, π) και (, π) αν i) Κ = ii) K = iii) Κ = iv) Κ = 3 v) Κ = 4 ύζη R R R R 3 i) Δίναι Κ < R R Άπα ο κύκλορ (Κ, π) είναι εζωηεπικόρ ηος (, π) ii) Δίναι Κ = R R Άπα οι κύκλοι εθάπηονηαι εζωηεπικά iii) Δίναι R R < Κ < R R Άπα οι κύκλοι ηέμνονηαι iv) Δίναι Κ = R R Άπα οι κύκλοι εθάπηονηαι εξωηεπικά v) Δίναι Κ > R R Άπα ο κάθε κύκλορ εξωηεπικόρ ηος άλλος. ίνεηαι κύκλορ (Ο,π) και μια ακηίνα ηος Ο. πάθοςμε κύκλο με διάμεηπο Ο. Ποια είναι η ζσεηική θέζη ηων δύο κύκλων; ύζη O K Η διάκενηπορ είναι ΟΚ = = λλά R R = Άπα ΟΚ = R R Οπόηε οι κύκλοι εθάπηονηαι εζωηεπικά

3 3. ίνεηαι εςθύγπαμμο ημήμα και ηο μέζο ηος Ο. πάθοςμε ηον κύκλο (, Ο) και ηον κύκλο με διάμεηπο Ο. Ποια είναι η ζσεηική θέζη ηων δύο κύκλων; ύζη A Ο Έζηω =. Σόηε Ο = Ο = και Ο = = 3 ιάκενηπορ = Ο + Ο = + = 3 R R = + = () () και () = R R Άπα οι κύκλοι εθάπηονηαι εξωηεπικά () 3

4 ποδεικηικές ζκήζεις ίνεηαι κύκλορ (Ο,R) και εξωηεπικό ζημείο ηος Ρ, ώζηε ΟΡ < R. πάθοςμε ηον κύκλο (Ο, R). Να αποδείξεηε όηι : i) ο κύκλορ (Ο, R) ηέμνει ηον κύκλο (Ρ, ΡΟ) ζε δύο ζημεία και ii) ηα εςθύγπαμμα ημήμαηα Ο και Ο ηέμνοςν ηον κύκλο (Ο, R) ζηα ζημεία και iii) ηα Ρ και Ρ εθάπηονηαι ζηον (Ο, R). ύζη Ο Ρ Οι ακηίνερ ηων κύκλων έζηω όηι είναι Ο = R = R Ο = R = R ΡΟ = R < R 3 i) πκεί να δεισθεί όηι R R < ΟΡ < R R ή απκεί R- R < OΡ < R + R ή απκεί R < ΟΡ <3R ηο οποίο ιζσύει ii) Σο ζημείο Ο είναι εζωηεπικό ζημείο ηος κύκλος (Ο,R) και ηο εξωηεπικό Άπα ηο ημήμα Ο ηέμνει ηον κύκλο, έζηω ζηο. Ομοίωρ για. iii) Δπειδή Ο = R και Ο = R, ηο είναι μέζο ηηρ σοπδήρ Ο ηος κύκλος (Ρ, ΡΟ), άπα ηο Ρ είναι απόζηημα, δηλαδή Ρ Ο. Άπα Ρ εθάπηεηαι ζηον κύκλο (Ο,R). 4

5 ίνονηαι οι κύκλοι O,R και O,R με O O R R R. i) Nα αποδείξεηε όηι ο έναρ βπίζκεηαι ζηο εξωηεπικό ηος άλλος. ii) Έζηω όηι η διάκενηπορ ηέμνει ηον ( O ) ζηα ζημεία Μ, Μ και ηον ( O ) ζηα ζημεία Ν, Ν ανηίζηοισα, με ηα Μ, Ν μεηαξύ ηων Μ, Ν. Nα αποδείξεηε όηι ΜΝ Μ Ν, όπος, ηςσαία ζημεία ηων κύκλων ( O ) και ( O ) ανηίζηοισα. ύζη i) Η ανιζόηηηα O O R R όηι ο έναρ βπίζκεηαι ζηο εξωηεπικό ηος άλλος. Η ανιζόηηηα R R R R R ii) M A B Μ Ν Ν OO O A + AB + B O OMMN NO OAAB MN AB BO AB AO + O O + O B AB O M + O O + O Ν Μ Ν 3. Έναρ κύκλορ κένηπος Κ είναι εξωηεπικόρ ενόρ άλλος κύκλος κένηπος. Μια κοινή εξωηεπική εθαπηομένη και μια κοινή εζωηεπική εθαπηομένη ηων δύο κύκλων ηέμνονηαι ζηο Ρ. Να αποδείξεηε όηι ˆ = 90 ο ύζη Κ Ρ Ρ, Ρ εθαπηόμενα ημήμαηα. Άπα ΡΚ δισοηόμορ ηηρ ˆ Ρ, Ρ εθαπηόμενα ημήμαηα Άπα Ρ δισοηόμορ ηηρ ˆ Έηζι, οι ΡΚ, Ρ είναι δισοηόμοι δύο εθεξήρ παπαπληπωμαηικών γωνιών άπα είναι κάθεηερ. 5