ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

Transcript

1 ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0

2 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν ηέηνην ώζηε: O Αλ ην ζεκείν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν, ηόηε πξνθαλώο ηα ζεκεία, θαη είλαη ζπλεπζεηαθά (δηόηη O ) (Γειαδή: Σν αξρέηππν, ε εηθόλα θαη ην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο, είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία) Σν ιόγν ηεο νκνηνζεζίαο ηνλ ζεωξνύκε πξαγκαηηθό αξηζκό δηάθνξν ηνπ κεδελόο θαη ηεο κνλάδαο, γηα λα απνθύγνπκε ηεηξηκκέλεο πεξηπηώζεηο ΟΜΟΙΟΘΔΣΑ ΓΔΧΜΔΣΡΙΚΧΝ ΥΗΜΑΣΧΝ Σν νκνηόζεην επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν είλαη επζύγξακκν ηκήκα, όπνπ, είλαη ηα νκνηόζεηα ηωλ ζεκείωλ, (αληίζηνηρα) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν Σν επζύγξακκν ηκήκα είλαη παξάιιειν κε ην επζύγξακκν ηκήκα θαη ηζρύεη: ( ) ( ) σήμα ελίδα από 3

3 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Σν νκνηόζεην θύθινπ C (O, ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν K θαη ιόγν είλαη θύθινο C (O, ), όπνπ O είλαη ην νκνηόζεην ηνπ θέληξνπ O θαη ε νκνηόζεηε (νπνηαζδήπνηε) αθηίλαο ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν K θαη ιόγν Σν νκνηόζεην ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν είλαη ηξίγωλν όκνην κε ην αξρέηππν Αλ ην ηξίγωλν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν, ηόηε όια ηα νκόινγα ζηνηρεία ηωλ δύν ηξηγώλωλ είλαη νκνηόζεηα ωο πξνο ηελ ίδηα νκνηνζεζία Γειαδή (γηα παξάδεηγκα) ην νξζόθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ, είλαη ην νκνηόζεην ηνπ νξζνθέληξνπ ηνπ ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν Η ζπκκεηξία ωο πξνο θέληξν, είλαη νπζηαζηηθά ε νκνηνζεζία κε θέληξν θαη ιόγν Γίλνληαη νη θύθινη C ( K, ) θαη C ( K ) κε Θεωξνύκε ηπρνύζα δηάκεηξν A B ηνπ θύθινπ C ( K, ) θαη A B δηάκεηξν ηνπ θύθινπ C ( K ) κε A B // A B Οη επζείεο A B, A B θαη A A, B B ηέκλνληαη ζηα ζεκεία O,O ηα βξίζθνληαη επάλω ζηε δηάθεληξν K K (σήμα ) Σνπο θύθινπο C ( K, ) θαη C ( K ) κε κπνξνύκε λα ηνπο ζεωξήζνπκε νκνηόζεηνπο ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξα ηα ζεκεία O ή O θαη ιόγνπο ή αληίζηνηρα σήμα Δθαξκόδνληαο αλάινγε δηαδηθαζία, θαηαιήγνπκε ζηα ίδηα ζπκπεξάζκαηα θαη ζηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη βξίζθνληαη ν έλαο εληόο ηνπ άιινπ (σήμα 3) ηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη είλαη νκόθεληξνη, ηόηε έρνπκε έλα θέληξν νκνηνζεζίαο (ην θνηλό θέληξν) ελίδα 3 από 3

4 Γεληθόηεξα δύν νπνηνπζδήπνηε θύθινπο, κε δηαθνξεηηθέο αθηίλεο κπνξνύκε πάληα λα ηνπο ζεωξνύκε νκνηόζεηνπο θαη λα πξνζδηνξίδνπκε ην θέληξν θαη ην ιόγν ηεο νκνηνζεζίαο σήμα 3 ηε πεξίπηωζε πνπ νη θύθινη εθάπηνληαη, ηόηε έλα θέληξν νκνηνζεζίαο είλαη ην ζεκείν επαθήο ελίδα 4 από 3

5 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ ΑΚΗΔΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c ( K, ) και c ( K ) με εθάπηονηαι εζωηεπικά ζηο ζημείο Σςσούζα εςθεία ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ (διαδοσικά) ζηα ζημεία A, B, C και D Αποδείξηε όηι AÔB CÔD Λύζη Δθόζνλ νη θύθινη c ( K, ) θαη c ( K ) εθάπηνληαη ζην ζεκείν, κπνξνύκε λα ππνζέζνπκε όηη ν θύθινο c ( K, ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ c ( K ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν ή όηη ν θύθινο c ( K ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ c ( K, ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν Πξνεθηείλνπκε ηηο B, C θαη έζηω όηη ηέκλνπλ ην θύθιν c ( K, ) ζηα ζεκεία E θαη F αληίζηνηρα Σόηε ην ηκήκα EF είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηκήκαηνο BC ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν θαη ιόγν Άξα ην ηκήκα EF είλαη παξάιιειν κε ην ηκήκα BC Οπόηε ην ηεηξάπιεπξν AEFD, είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην θαη θαηά ζπλέπεηα AE DF Δύθνια ηώξα ζπκπεξαίλνπκε όηη νη γωλίεο A ÔE θαη F ÔD είλαη ίζεο (δηόηη είλαη εγγεγξακκέλεο ζηνλ ίδην θύθιν θαη βαίλνπλ ζε ίζα ηόμα) ελίδα 5 από 3

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c (O, ) και c (O ) με εθάπηονηαι εξωηεπικά ζηο ζημείο Από ηο ζημείο K (ζηο οποίο ηέμνονηαι οι εξωηεπικέρ κοινέρ εθαπηόμενερ ηων δύο κύκλων) θεωπούμε ηςσούζα εςθεία πος ηέμνει ηοςρ κύκλοςρ (διαδοσικά) ζηα ζημεία A, B, C και D Αποδείξηε όηι AÔC o BÔD 90 Λύζη Ο θύθινο c (O, ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ θύθινπ c (O ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Σν ζεκείν C είλαη ε εηθόλα (ή είλαη ην νκνηόζεην) ηνπ ζεκείνπ A ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Σν ζεκείν M είλαη ε εηθόλα (ή είλαη ην νκνηόζεην) ηνπ ζεκείνπ O ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Άξα ην επζύγξακκν ηκήκα MC είλαη ην νκνηόζεην ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο OA, νπόηε ζα ηζρύεη: MC // OA Δπεηδή όκωο MC OC (δηόηη ε γωλία M ĈO βαίλεη ζε δηάκεηξν ζην θύθιν c (O, ) ), o έρνπκε ηειηθά AÔC 90 o Όκνηα απνδεηθλύνπκε όηη BÔD 90 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Γύο κύκλοι c (O, ) και c (O ) με εθάπηονηαι εζωηεπικά ζηο ζημείο K Από ζημείο A ηος μεγάλος κύκλος θεωπούμε εθαπηόμενη ππορ ηον μικπό και έζηω B ηο ζημείο επαθήρ Αν η εθαπηομένη ηέμνει για δεύηεπη θοπά ηον μεγάλο κύκλο ζηο ζημείο C, ηόηε η KB είναι δισοηόμορ ηηρ γωνίαρ A Kˆ C ελίδα 6 από 3

7 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Λύζη Ο θύθινο c (O, ) είλαη ν νκνηόζεηνο ηνπ θύθινπ c (O ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν ηελ νπνία ζπκβνιίδνπκε (γηα ζπληνκία) κε h Σν ζεκείν O είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ O ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Γηα ζπληνκία γξάθνπκε h(o ) O () Η πξνέθηαζε ηεο KB ηέκλεη ην θύθιν c (O, ) ζην ζεκείν D Σν ζεκείν D είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ B ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Γηα ζπληνκία γξάθνπκε h( B ) D ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ) ζπκπεξαίλνπκε όηη h( BO ) DO Γειαδή όηη: Σν ηκήκα DO είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηκήκαηνο BO ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν K θαη ιόγν Άξα DO // BO Δπεηδή όκωο BO AC, ζα ηζρύεη DO AC θαη θαηά ζπλέπεηα ην ζεκείν D είλαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ AC Γειαδή ε KD είλαη ε δηρνηόκνο ηεο γωλίαο A Kˆ C ελίδα 7 από 3

8 4 ΔΤΘΔΙΑ EULE Σο οπθόκενηπο, ηο πεπίκενηπο και ηο βαπύκενηπο G κάθε ηπιγώνος βπίζκονηαι επάνω ζηην ίδια εςθεία (Δςθεία ηος Euler) και ιζσύει G GO Απόδειξη Έζηω,, ηα κέζα ηωλ πιεπξώλ,, (αληίζηνηρα) ηνπ ηξηγώλνπ Γλωξίδνπκε όηη ην βαξύθεληξν ρωξίδεη ηε δηάκεζν ζε δύν ηκήκαηα, εθ ηωλ νπνίωλ ην έλα είλαη δηπιάζην ηνπ άιινπ Άξα ζα ηζρύνπλ νη δηαλπζκαηηθέο ηζόηεηεο: G G, G G θαη G G σήμα 4 Άξα ην ηξίγωλν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν Δθόζνλ // θαη ζα ηζρύεη: () Δθόζνλ // θαη ζα ηζρύεη: ( ) Δθόζνλ // θαη ζα ηζρύεη: ( 3) Από ηηο ζρέζεηο ( ),( ) θαη ( 3 ) ζπκπεξαίλνπκε όηη: Σο ζημείο είναι ηο οπθόκενηπο ηος ηπιγώνος,, Αλ ινηπόλ, Σο ζημείο είναι ηο οπθόκενηπο ηος ηπιγώνος, ηόηε ην ζεκείν ζα είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν Γειαδή ζα ηζρύεη: G G Άξα ηα ζεκεία, G, είλαη ζπλεπζεηαθά θαη G GO ελίδα 8 από 3

9 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ 5 ΚΤΚΛΟ EULE Κένηπο ηος κύκλος ηος Euler ηπιγώνος, είναι ηο μέζο ηος εςθςγπάμμος ημήμαηορ και η ακηίνα ηος ιζούηαι με ηο μιζό ηηρ ακηίναρ ηος πεπιγεγπαμμένος κύκλος Απόδειξη Έζηω, θαη ηα κέζα ηωλ πιεπξώλ, θαη (αληίζηνηρα) ηνπ ηξηγώλνπ ύκθωλα κε ηε πξνεγνύκελε απόδεημε ην ηξίγωλν είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ηξηγώλνπ ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν σήμα 5 Ο πεξηγεγξακκέλνο θύθινο ηνπ ηξηγώλνπ, είλαη ν θύθινο ηνπ Euler ηνπ ηξηγώλνπ Άξα ην ζεκείν (πνπ είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ) είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ (πνπ είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ) ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην βαξύθεληξν G θαη ιόγν Γειαδή ηζρύεη ε δηαλπζκαηηθή ζρέζε: G G Πξνζζέηνληαο θαη ζηα δύν κέιε ηεο ηειεπηαίαο ζρέζεο ην δηάλπζκα G, έρνπκε: 3 G G G G G () ελίδα 9 από 3

10 Δπεηδή όκωο G G, θαηαιήγνπκε δηαδνρηθά ζηηο παξαθάηω δηαλπζκαηηθέο ζρέζεηο: G G G G G G 3 G G G ( ) Από ηηο ζρέζεηο ( ) θαη ( ), έρνπκε: Γειαδή ην ζεκείν είλαη ην κέζν ηνπ ηκήκαηνο Αλ ηώξα είλαη ε αθηίλα ηνπ θύθινπ ηνπ Euler ηόηε πξνθαλώο 6 ΠΡΟΚΡΙΜΑΣΙΚΟ 008 Γειαδή Οι δισοηόμοι ηων γωνιών Â, ˆ, ˆ ηπιγώνος AB ηέμνοςν ηο πεπιγεγπαμμένο κύκλο ηος C (, ) ζηα ζημεία A,B, ανηίζηοισα Οι εθαπηόμενερ ζηα ζημεία A,B, ηος πεπιγεγπαμμένος κύκλος ηέμνονηαι ζηα ζημεία A3,B3, 3 (Σο ζημείο A βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο, ηο ζημείο 3 βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο και ηο 3 ζημείο 3 βπίζκεηαι ζηο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή ηη πος πεπιέσει ηο ζημείο ) Αν ο εγγεγπαμμένορ κύκλορ C ( I, ) ηος ηπιγώνος AB εθάπηεηαι ζηιρ πλεςπέρ B,, ζηα ζημεία A,B, ανηίζηοισα, αποδείξηε όηι οι εςθείερ,,, 3, 3, 3 πεπνάνε από ηο ίδιο ζημείο Λύζη Έζηω ην έθθεληξν θαη O ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ AB ελίδα 0 από 3

11 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ Θα απνδείμνπκε όηη: IA B, IB A θαη I A B Γηα ηηο παξαθάηω ηζόηεηεο γωληώλ ρξεζηκνπνηνύκε ην γεγνλόο όηη ηα ζεκεία A,B,, είλαη κέζα ηωλ αληίζηνηρωλ ηόμωλ ˆ Â ˆ Ιζρύνπλ νη ηζόηεηεο γωληώλ:, xˆ θαη ŷ ˆ Άξα IA B Με όκνην ηξόπν απνδεηθλύνπκε όηη IB A θαη I A B Οπόηε ζπκπεξαίλνπκε όηη A B // A B, A // θαη B // B Άξα ηα ηξίγωλα AB θαη AB είλαη νκνηόζεηα θαη θαηά ζπλέπεηα νη επζείεο, θαη πνπ ζπλδένπλ ηηο νκόινγεο θνξπθέο ηνπο ζα ζπληξέρνπλ ζην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο (πνπ έζηω όηη είλαη ην ζεκείν P ) Σν ζεκείν O είλαη ην πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ AB θαη ην έθθεληξν I ηνπ ηξηγώλνπ, είλαη πεξίθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ AB Δπεηδή όκωο ηα ηξίγωλα AB, AB είλαη νκνηόζεηα, ζα είλαη νκνηόζεηα θαη ηα πεξίθεληξά ηνπο Γειαδή ην ζεκείν O είλαη ην νκνηόζεην ηνπ ζεκείνπ I ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν P θαη ιόγν (όπνπ θαη είλαη νη αθηίλεο ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ C (O, ) θαη εγγεγξακκέλνπ C ( I, ) θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ AB αληίζηνηρα) Πξνθαλώο ινηπόλ νη θύθινη C (O, ) θαη C ( I, ) είλαη νκνηόζεηνη ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην ζεκείν P θαη ιόγν Δπί πιένλ κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη θαη ηα ζεκεία O,I, P είλαη ζπλεπζεηαθά θαη PO PI () Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C (O, ) ζην κέζν ηνπ ηόμνπ, άξα // 3 3 ελίδα από 3

12 Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C (O, ) ζην κέζν ηνπ ηόμνπ, άξα 3 3 // Η 3 3 εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C (O, ) ζην κέζν ηνπ ηόμνπ, άξα 3 3 // Από ηηο ηξείο πξνεγνύκελεο παξαιιειίεο ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ηξίγωλα AB θαη A 3 B 3 3 είλαη νκνηόζεηα θαη θαηά ζπλέπεηα νη επζείεο AA 3, BB 3 θαη 3 πνπ ζπλδένπλ ηηο νκόινγεο θνξπθέο ηνπο ζα ζπληξέρνπλ ζην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο (πνπ έζηω όηη είλαη ην ζεκείν T ) Οη θύθινη C (O, ) θαη C ( I, ) είλαη νη εγγεγξακκέλνη θύθινη ηωλ νκνηόζεηωλ ηξηγώλωλ A 3 B 3 3 θαη AB αληίζηνηρα ζηελ νκνηνζεζία κε θέληξν ην T θαη ιόγν Δπη πιένλ κπνξνύκε λα ζπκπεξάλνπκε όηη θαη ηα ζεκεία O,I, T είλαη ζπλεπζεηαθά θαη TO TI () Από ηηο ζρέζεηο () θαη () ζπκπεξαίλνπκε όηη ηα ζεκεία P θαη T ηαπηίδνληαη Παπαηήπηζη Μπνξνύκε λα απνδείμνπκε όηη ηα ζεκεία P θαη T ηαπηίδνληαη θαη κε ηνλ εμήο ηξόπν: Σα ζεκεία A,B, είλαη ηα ζεκεία επαθήο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ C (O, ) ηνπ ηξηγώλνπ A 3 B 3 3 κε ηηο πιεπξέο ηνπ Σα ζεκεία A,B, είλαη ηα ζεκεία επαθήο ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ C ( I, ) ηνπ ηξηγώλνπ AB κε ηηο πιεπξέο ηνπ Δπεηδή όκωο ηα ηξίγωλα είλαη νκνηόζεηα, νη επζείεο A A,BB θαη πνπ νξίδνπλ ηα νκόινγα ζεκεία επαθήο ζα δηέξρνληαη από ην θέληξν ηεο νκνηνζεζίαο T ελίδα από 3

13 ΟΜΟΙΟΘΔΙΑ ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ ΟΜΟΙΟΘΔΣΑ ΓΔΩΜΔΣΡΙΚΩΝ ΥΗΜΑΣΩΝ ΑΚΗΔΙ-ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 5 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 3 ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 4 ΔΤΘΔΙΑ EULE 8 5 ΚΤΚΛΟ EULE 9 6 ΠΡΟΚΡΙΜΑΣΙΚΟ ελίδα 3 από 3