A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΣΑ. να βρείτε την τιμή του x

Transcript

1 A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςησ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1) α) Να υπολογίςετε την τιμή τησ παράςταςησ : β) Αν 1 x να βρείτε την τιμή του x A ) Ο μιςθόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. ) Ζνασ αριθμόσ αποτελείται μόνο από τα ψηφία 1 και 2 και διαιρείται με το 6. Να βρείτε το μικρότερο αριθμό που υπάρχει. 4) Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Bˆ Γˆ 2Αˆ. Από τη κορυφή Γ φζρνουμε ευθεία ε παράλληλη προσ την πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμοσ τησ γωνίασ Ε και την ευθεία ε ςτο ςημείο Δ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ και τη γωνία ΒΓΔ ˆ ABΓ τζμνει πλευρά ΑΓ ςτο β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ είναι ιςοςκελή

2 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1) Ο μιςθόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος. 2) α) Αν ιςχφει ότι: β 4 5, α 6 γ 6 Να βρείτε την τιμή τησ παράςταςησ: 9 α 2β 16 2γ Γ α 12 4γ β) Να υπολογίςετε: A 2 ( ) ) Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κώςτασ και ο Γιάννησ. Η ηλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονών, και η ηλικία του Γιάννη, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονών. Το γινόμενο των ηλικιών τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άθροιςμα των ηλικιών τουσ. 4) Στο πιο κάτω ςχήμα τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΔΗΖ είναι ίςα με εμβαδόν 16cm 2 το κάθε ζνα. Αν Θ είναι το μζςο τησ ΒΓ και ΕΖ, να βρείτε το εμβαδόν ΑΒΘΖΗΔΑ.

3 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογϊντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. 1. Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κϊςτασ και ο Γιάννησ. Η ηλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονϊν, και η ηλικία του Γιάννη, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονϊν. Το γινόμενο των ηλικιϊν τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άθροιςμα των ηλικιϊν τουσ. 2. Αν A και B να υπολογίςετε τη διαφορά Β- Α.. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αριθμόσ διαδοχικϊν θετικϊν ακεραίων που όταν προςτεθοφν δίνουν τον αριθμό Να γράψετε αυτοφσ τουσ αριθμοφσ. 4. Στο παρακάτω ςχήμα τα δφο ορθογϊνια ΑΒΓΔ και ΑΕΖΗ είναι ίςα. Η πλευρά ΕΖ διχοτομεί την πλευρά ΓΔ ςτο ςημείο Μ. Αν ΑΒ=8cm και ΜΖ = 2cm, να βρεθεί το εμβαδόν τησ ςκιαςμζνησ επιφάνειασ των δφο ορθογωνίων.

4 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΡΧΙΑΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΝΟΕΜΒΡΙΟ 2014 A ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ : 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Δίνεηαι ηπίγωνο με ηα ζημεία και να είναι ηα μέζα ηων πλεςπών και ανηίζηοισα Αν και ηόηε α) Να βπείηε ηο ζςναπηήζει ηων και β) Να δείξεηε όηι γ) Να δείξεηε όηι ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξεηε όηι β) Να ςπολογίζεηε ηην παπάζηαζη ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σηο ζσήμα οι εςθείερ και είναι εθαπηόμενερ ηος κύκλος ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Να δείξεηε: α) β) γ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 α) Να δείξεηε όηι β) Αν ιζσύει όηι να δείξεηε όηι όπος και

5 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α) Να δείξετε ότι β) Να υπολογίςετε την παράςταςη ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξετε ότι όπου και β) Αν ιςχφει ότι να δείξετε ότι ΠΡΟΒΛΗΜΑ Στο διπλανό ςχήμα δφο μικροί κφκλοι τζμνονται μεταξφ τουσ και εφάπτονται ενόσ μεγαλφτερου κφκλου. Τα ςημεία βρίςκονται ςτην ίδια ευθεία και. Να υπολογίςετε το εμβαδό του ςκιαςμζνου χωρίου. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Έςτω μια ςυνάρτηςη με ( ),. Αν ιςχφει ότι, τότε να βρείτε την τιμή.

6 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. Θέμα 1 Δίνεται η ςυνάρτηςη με και και ιςχφουν οι προχποθζςεισ του Θ.Μ.Τ. ςτο διάςτημα με. Να αποδείξετε ότι Α) Β) Θέμα 2 Έζηω,, θαη. Να βξεζεί ε. Θέμα Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Θέμα 4 Μηα ππνινγηζηηθή κεραλή ππνινγίδεη (πξνζεγγηζηηθά) ηηο δπλάκεηο ηνπ αξηζκνύ (δειαδή ηηο ηηκέο ηνπ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ) ρξεζηκνπνηώληαο ην άζξνηζκα. (α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο είλαη κηθξόηεξε από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ. (β) Γηα πνηεο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ είλαη θαιή ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο (έρεη κηθξόηεξν ζθάικα); Γηα ηηο ηηκέο θνληά ζην ή γηα πην κεγάιεο ηηκέο; Να αηηηνινγήζεηε επαξθώο ηελ απάληεζε ζαο.

7 A ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ημερομθνία: 08/11/2014 Ώρα Εξζταςθσ: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1) α) Να υπολογίςετε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ : β) Αν 1 x α) να βρείτε τθν τιμι του x A A β) x x x x 1 10 x 2 4 x ) Ο μιςκόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος

8 ,4 9, Άπα ο Νίκορ θα παίπνει 10 ηην ώπα 9,6 ) Ζνασ αρικμόσ αποτελείται μόνο από τα ψθφία 1 και 2 και διαιρείται με το 6. Να βρείτε το μικρότερο αρικμό που υπάρχει. Αφοφ ο αρικμόσ διαιρείται με το 6 τότε διαιρείται με το 4 και 9. - Ο αρικμόσ διαιρείται με το 4 άρα τα δφο τελευταία ψθφία του πρζπει να ςχθματίηουν αρικμό πολλαπλάςιο του 4 δθλαδι 12 - Ο αρικμόσ διαιρείται με το 9 άρα το άκροιςμα το ψθφίων του πρζπει να είναι 9. Άρα ο πιο μικρόσ αρικμόσ είναι ο ) Δίνεται ιςοςκελζσ τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και Bˆ Γˆ 2Αˆ. Από τθ κορυφι Γ φζρνουμε ευκεία ε παράλλθλθ προσ τθν πλευρά ΑΒ. Η διχοτόμοσ τθσ γωνίασ τθν ευκεία ε ςτο ςθμείο Δ. α) Να υπολογίςετε τισ γωνίεσ του τριγϊνου ΑΒΓ και τθ γωνία ΒΓΔ β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ είναι ιςοςκελι ˆ ABΓ τζμνει πλευρά ΑΓ ςτο Ε και α) Το άκροιςμα γωνιϊν τριγϊνου είναι ˆ ˆ ˆ 0 ABΓ 180 ˆ ˆ ˆ 0 A2Α 2Α 180 τότε ˆΑ και ΒˆΓ ˆ 72 ΒΕ διχοτόμοσ τθσ γωνίασ Β τότε ΒAΓ ˆ ΑΓΔ ˆ 6 AΒE ˆ EBΓ ˆ 6 0 ωσ εντόσ εναλλάξ γωνίεσ ςτισ ΑΒ//ε ΒΓΔ ˆ BΓΕ ˆ ΕΓΔ ˆ β) - ΓΕΒ ˆ ΕΑΒ ˆ ΑBΕ ˆ ωσ εξωτερικι γωνία του τριγϊνου ΑΒΕ 0 ΑφοφΓΕΒ ˆ ΒΓΕ ˆ 72 τότε το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ιςοςκελζσ 0 - AΒΕ ˆ ΒΔΓ ˆ 6 ωσ εντόσ εναλλάξ γωνίεσ ςτισ ΑΒ//ε Τότε το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ιςοςκελζσ.

9 Β ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1) Ο μιςκόσ του Νίκου είναι 60 ηην εβδομάδα για επγαζία 44 ωπών. Αν ο εβδομαδιαίορ μιζθόρ ηος Νίκος αςξηθεί καηά 10% και οι ώπερ επγαζίαρ μειωθούν καηά 10%, να ςπολογίζεηε ηο νέο ωπιαίο μιζθό ηο Νίκος ,4 9, Άπα ο Νίκορ θα παίπνει 10 ηην ώπα 9,6 2) α) Αν ιςχφει ότι: β 4 5, α 6 γ 6 Να βρείτε τθν τιμι τθσ παράςταςθσ: 9 α 2β 16 2γ Γ α 12 4γ β) Να υπολογίςετε: A 2 ( ) 9 α 2β 16 2γ 9 α 2β 16 2γ α) Γ α 12 4γ α α γ 4γ 1 β β α 6 4 γ 2 α 6 γ

10 β) Να υπολογίςετε: A 2 ( ) α τρόποσ A 22 2 ( ) A A 2A A β τρόποσ A ) Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κώςτασ και ο Γιάννθσ. Η θλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονών, και θ θλικία του Γιάννθ, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονών. Το γινόμενο των θλικιών τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άκροιςμα των θλικιών τουσ. Αφοφ θ θλικία του Κώςτα είναι μεταξφ 0 και 40 και θ θλικία του Γιάννθ είναι μεταξφ 40 και 50 τότε το γινόμενο των θλικιών τουσ είναι μεταξφ 1200 και 2000 άρα αναηθτώ ζνα τζλειο κφβο μεταξφ 1200 και 2000 Το , 11 11, απορρίπτεται γιατί το 11 είναι πρώτοσ αρικμόσ ενώ Άρα ο Κώςτασ είναι 6 χρονών και ο Γιάννθσ 48 χρονών. Το άκροιςμα των θλικιών τουσ είναι

11 4) Στο πιο κάτω ςχιμα τα τετράγωνα ΑΒΓΔ και ΕΔΗΖ είναι ίςα με εμβαδόν 16cm 2 το κάκε ζνα. Αν Θ είναι το μζςο τθσ ΒΓ και ΕΖ, να βρείτε το εμβαδόν ΑΒΘΖΗΔΑ. Tο εμβαδόν του κάκε τετραγώνου είναι 16cm 2 τότε ΑΒ = ΕΖ = 4cm. Φζρνω το ευκφγραμμο τμιμα ΘΔ, τότε ςχθματίηονται δφο ίςα ορκογώνια τρίγωνα ΕΔΘ και ΘΔΓ. Το Θ αφοφ είναι το μζςον των ΕΖ και ΒΓ τότε ΕΘ = ΘΓ = 2cm. βυ 24 2 Το EΘΕΔ ΕΘΓΔ 4cm 2 2 Άρα το ηθτοφμενο εμβαδόν είναι Ε E E Ε Ε cm ΑΒΓΔ ΕΖΗΔ ΘΓΔ ΘΕΔ 2

12 Γ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογϊντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. 1. Υπάρχουν δφο αδζλφια ο Κϊςτασ και ο Γιάννθσ. Θ θλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 χρονϊν, και θ θλικία του Γιάννθ, είναι μεταξφ 40 και 50 χρονϊν. Το γινόμενο των θλικιϊν τουσ είναι τζλειοσ κφβοσ. Να βρείτε το άκροιςμα των θλικιϊν τουσ. Αφοφ θ θλικία του Κϊςτα είναι μεταξφ 0 και 40 και θ θλικία του Γιάννθ είναι μεταξφ 40 και 50 τότε το γινόμενο των θλικιϊν τουσ είναι μεταξφ 1200 και 2000 άρα αναηθτϊ ζνα τζλειο κφβο μεταξφ 1200 και 2000 Το , 11 11, απορρίπτεται γιατί το 11 είναι πρϊτοσ αρικμόσ ενϊ Άρα ο Κϊςτασ είναι 6 χρονϊν και ο Γιάννθσ 48 χρονϊν. Το άκροιςμα των θλικιϊν τουσ είναι Αν A και B να υπολογίςετε τθ διαφορά Β - Α. Ζςτω α τότε τότε A α 4 α 1 α α α 4 α α α α 9α 4α 12 A α 1α 12

13 τότε B α 4 α 1 α α α 4 α α α α 9α 4α 12 B α 1α 12 B A α 1α 12 α 1α 12 α 1α 12 α 1α Τότε BA 24. Ποιοσ είναι ο μικρότεροσ αρικμόσ διαδοχικϊν κετικϊν ακεραίων που όταν προςτεκοφν δίνουν τον αρικμό Να γράψετε αυτοφσ τουσ αρικμοφσ. α) Δεν μπορεί να είναι 2 διαδοχικοί κετικοί ακζραιοι γιατί το άκροιςμα τουσ είναι περιττόσ αρικμόσ β) ζςτω ότι είναι διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2 τότε 997 x x 1x x 1000 x 997 x Απορρίπτεται γιατί το x δεν είναι ακζραιοσ γ) ζςτω ότι είναι 4 διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2, x τότε 994 x x 1x 2x x x 994 x 4 Απορρίπτεται γιατί το x δεν είναι ακζραιοσ δ) ζςτω ότι είναι 5 διαδοχικοί ακζραιοι οι x, x 1, x 2, x, x 4 τότε x x 1x 2x x x x 990 x Άρα υπάρχουν 5 διαδοχικοί κετικοί ακζραιοι οι οποίοι είναι : 198, 199, 200, 201, Στο παρακάτω ςχιμα τα δφο ορκογϊνια ΑΒΓΔ και ΑΕΗΘ είναι ίςα. Θ πλευρά ΕΗ διχοτομεί τθν πλευρά ΓΔ ςτο ςθμείο Μ. Αν ΑΒ=8cm και ΜΗ = 2cm, να βρείτε το εμβαδόν τθσ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ των δφο τριγϊνων. Φζρνω τθν ΑΜ. Δθμιουργοφνται δφο ορκογϊνια τρίγωνα ΑΜΔ και ΑΜΕ. Αν ΑΔ=x τότε ΕΜ=x-2 και ΑΕ=8 Στο τρίγωνο ΑΜΔ από το πυκαγόρειο κεϊρθμα ιςχφει: AM AΔ ΔΜ (1) Στο τρίγωνο ΑΜΕ από το πυκαγόρειο κεϊρθμα ιςχφει: AM AE EΜ (2)

14 Από τισ (1) και (2) : AΔ ΔΜ AE EΜ x 4 8 x 2 x x 4x 4 x 1 Εμβαδόν μθ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ: AΔΔΜ AEEΜ E 70cm Συνεπϊσ το εμβαδόν τθσ ςκιαςμζνθσ επιφάνειασ είναι : Ε 2E 2Ε cm Σ ABΓΔ 2

15 A ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα θζματα, αιτιολογώντασ πλήρωσ τισ απαντήςεισ ςασ. 2. Κάθε θζμα βαθμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ή μαφρο μελάνι (τα ςχήματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται η χρήςη διορθωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται η χρήςη υπολογιςτικήσ μηχανήσ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 Γίνεηαι ηπίγωνο με ηα ζημεία και να είναι ηα μέζα ηων πλεςπών και ανηίζηοισα Αν και ηόηε α) Να βπείηε ηο ζςναπηήζει ηων και Λύζη: μέζο ΒΑ άπα μέζο ΑΓ άπα β) Να δείξεηε όηι γ) Να δείξεηε όηι θα πρέπει να δείξουμε ότι ιςχύει για κάποια ηιμή ηος κ. από ηο επώηημα β δείξαμε όηι άπα ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείξεηε όηι αθού είναι άθποιζμα θεηικών απιθμών ( ), άπα Α>Β

16 β) Να ςπολογίζεηε ηην παπάζηαζη = ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σηο ζσήμα οι εςθείερ και είναι εθαπηόμενερ ηος κύκλος ζηα ζημεία και ανηίζηοισα. Να δείξεηε: α) Σςγκπίνω ηα ηπίγωνα ακηίνα κάθεηη ζηην εθαπηομένη) ακηίνερ κοινή πλεςπά Τα ηπίγωνα είναι ίζα γιαηί είναι οπθογώνια με δύο ανηίζηοισερ πλεςπέρ ίζερ άπα και οι ηπίηερ πλεςπέρ ανηίζηοισα ίζερ μεηαξύ ηοςρ δηλαδή Δπίζηρ και οι ανηίζηοισερ γωνίερ ίζερ δηλαδή β) Σςγκπίνω ηα ηπίγωνα ΓΓ ακηίνα κάθεηη ζηην εθαπηομένη ακηίνερ κοινή πλεςπά Τα ηπίγωνα είναι ίζα γιαηί είναι οπθογώνια με δύο ανηίζηοισερ πλεςπέρ ίζερ άπα και οι ανηίζηοισερ γωνίερ ίζερ δηλαδή γ) Άπα επίζηρ και έηζι ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 α) Να δείξεηε όηι όπος και β) Αν ιζσύει όηι να δείξεηε όηι Από ηο επώηημα α πποκύπηει

17 Β ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 ΟΔΗΓΙΕ: 1. Να λφςετε όλα τα κζματα, αιτιολογώντασ πλιρωσ τισ απαντιςεισ ςασ. 2. Κάκε κζμα βακμολογείται με 10 μονάδεσ.. Να γράφετε με μπλε ι μαφρο μελάνι (τα ςχιματα επιτρζπεται με μολφβι). 4. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ διορκωτικοφ υγροφ. 5. Δεν επιτρζπεται θ χριςθ υπολογιςτικισ μθχανισ. ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 α) Να δείμεηε όηη αθνύ είλαη άζξνηζκα ζεηηθώλ αξηζκώλ ( ) άξα Α>Β β) Να ππνινγίζεηε ηελ παξάζηαζε = ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 α) Να δείμεηε όηη όπνπ θαη β) Αλ ηζρύεη όηη λα δείμεηε όηη Από ην εξώηεκα α πξνθύπηεη

18 ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Λφςθ Έςτω : Το εμβαδό του Μεγάλου Κφκλου : Το εμβαδό ενόσ από τουσ ΜικροφσΚφκλου : Το εμβαδό τθσ Τομισ των μικρών Κφκλων. Τότε το ηθτοφμενο εμβαδό ( υπολογίηεται από τθ ςχζςθ. Για τον υπολογιςμό του εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Φζρουμε τα ευκφγραμμα τμιματα. Ιςχφει ότι Άρα τα τρίγωνα και είναι ιςόπλευρα που ςθμαίνει το αποτελείται από δφο κυκλικά τμιματα κφκλων ακτίνασ και γωνίασ. ( ) ( ) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 4 Έζηω κηα ζπλάξηεζε κε,. Αλ ηζρύεη όηη, ηόηε λα βξείηε ηελ ηηκή. Λύση Εθαξκόδνπκε ηε ζπλάξηεζε Επνκέλωο έρνπκε όηη: ζηε ζρέζε ( ) ή ( ) Γηα, έρνπκε: [ ] Αλ Ξέξνπκε όκωο όηη, επνκέλωο, άξα ηειηθά έρνπκε

19 Γ ΛΤΚΕΙΟΤ Ημερομηνία: 08/11/2014 Ώρα Εξέτασης: 10:00-12:00 Θέμα 1 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Δίνεται θ ςυνάρτθςθ με και και ιςχφουν οι προχποκζςεισ του Θ.Μ.Τ. ςτο διάςτθμα με. Να αποδείξετε ότι Α) Β) Λφςθ ζτςι Α) Ιςχφουν οι προχποκζςεισ του Θ.Μ.Τ άρα : ( ) (*) Β) ζτςι για ιςχφει ότι αφξουςα Η είναι αφξουςα άρα για ιςχφει Από (*) Άρα

20 Θέμα 2 Έζηω,, θαη. Να βξεζεί ε. Λφςθ Τν είλαη πνιπώλπκν β βαζκνύ κε ζπληειεζηή ηνπ ην 5. L=. Αθνύ ην όξην ππάξρεη θαη ηζνύηαη κε ζεκαίλεη ε κηα ξίδα ηνπ είλαη ην 2, ώζηε λα γίλεηαη απινπνίεζε θαη λα κελ κεδελίδεηαη ν παξνλνκαζηήο. Θ έμα Σην δηπιαλό ζρήκα δύν κηθξνί θύθινη ηέκλνληαη κεηαμύ ηνπο θαη εθάπηνληαη ελόο κεγαιύηεξνπ θύθινπ. Τα ζεκεία βξίζθνληαη ζηελ ίδηα επζεία θαη. Να ππνινγίζεηε ην εκβαδό ηνπ ζθηαζκέλνπ ρωξίνπ. Λφςθ Ζςτω : Το εμβαδό του Μεγάλου Κφκλου : Το εμβαδό ενόσ από τουσ Μικροφσ Κφκλου : Το εμβαδό τθσ Τομισ των μικρών Κφκλων. Τότε το ηθτοφμενο εμβαδό υπολογίηεται από τθ ςχζςθ. Για τον υπολογιςμό του εργαηόμαςτε ωσ εξισ: Φζρουμε τα ευκφγραμμα τμιματα. Ιςχφει ότι Άρα τα τρίγωνα και είναι ιςόπλευρα που ςθμαίνει το αποτελείται από δφο κυκλικά τμιματα κφκλων ακτίνασ και γωνίασ. ( ) ( ) ( ) Θέμα 4 Μηα ππνινγηζηηθή κεραλή ππνινγίδεη (πξνζεγγηζηηθά) ηηο δπλάκεηο ηνπ αξηζκνύ (δειαδή ηηο ηηκέο ηνπ γηα δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ) ρξεζηκνπνηώληαο ην άζξνηζκα. (α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο είλαη κηθξόηεξε από ηελ πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ.

21 (β) Γηα πνηεο ζεηηθέο ηηκέο ηνπ είλαη θαιή ε πξνζέγγηζε ηεο ππνινγηζηηθήο κεραλήο (έρεη κηθξόηεξν ζθάικα); Γηα ηηο ηηκέο θνληά ζην ή γηα πην κεγάιεο ηηκέο; Να αηηηνινγήζεηε επαξθώο ηελ απάληεζε ζαο. Λφςθ (α) Ορίηεται θ ςυνάρτθςθ: υπολογιςτικισ μθχανισ. Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Επομζνωσ θ είναι αφξουςα, άρα Συνεπώσ ζχουμε, άρα που μασ δίνει το ςφάλμα του υπολογιςμοφ τθσ Επομζνωσ θ πραγματικι τιμι του υπολογιςτικι μθχανι. είναι μεγαλφτερθ από τθν προςζγγιςθ που δίνει θ (β) Η μασ δίνει το ςφάλμα του αποτελζςματοσ τθσ υπολογιςτικισ μθχανισ. Αποδείξαμε ότι θ είναι αφξουςα ςυνάρτθςθ για. Επομζνωσ όςο αυξάνονται οι τιμζσ του, αυξάνονται κι οι τιμζσ τθσ ςυνάρτθςθσ, άρα ουςιαςτικά αυξάνεται το ςφάλμα τθσ υπολογιςτικισ μθχανισ. Επομζνωσ μικρότερο ςφάλμα ζχουμε για τιμζσ του κοντά ςτο.