12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν."

Ἀελλώ Οικονόμου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΚΛΔΗΣΟΤ ΣΤΠΟΤ 1 Ηζσύει : 0 ι κάθε διάνςζμ Ηζσύει : ΑΒ = ΧΒ - ΧΑ 3 Ηζσύει : ΑΒ - BΑ 0,ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β 4 Ηζσύει : ΑΒ 0, ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β,Γ,Γ 5 Ηζσύει : 6 Ηζσύει : // 7 Ηζσύει : λ λ 8 Ηζσύει : λ μ λ μ 9 Ηζσύει : Ηζσύει : 0 //, ι κάθε διάνςζμ 11 Ηζσύει : ΑΓ ι οποιδήποηε ζημεί Α,Β,Γ,Γ 1 Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η υνί δςο μη μηδενικών δινςζμάηυν wwwantoniskokosgr 1

Ηζσύει : λ λ 8 Ηζσύει : λ μ λ μ 9 Ηζσύει : 0 0 10 Ηζσύει : 0 //, ι κάθε διάνςζμ 11 Ηζσύει : ΑΓ ι

2 ή 0 14 ( x) ( x ) x x 15 x x 16 x x ή - x det(, ) det(, ) 0 0 ( x, y) ι x κι j y 1 κι 0 (x,y) x ζςνθ κι y ημθ, όπος θ η ωνι ηος με ηον Οσ wwwantoniskokosgr

3 3 Αν Α( 3,4), Β(-1,-) κι Μ(1,1) ηο Μ μέζον ηος ΑΒ 4 Σ ζημεί Α(1,), Β(,1), Γ(3,) είνι ζςνεςθεικά ( ) ( ) wwwantoniskokosgr 3

4 Β ΔΡΩΣΖΔΗ ΑΝΑΠΣΤΞΖ ΑΚΖΔΗ 1 ςμπληπώζηε η κενά ζηιρ ππκάηυ ζσέζειρ, λμάνονηρ ςπότη όηι ηο εςθύπμμο ημήμ ΑΓ έσει διιπεθεί πό η ζημεί Β, Δ, Γ ζε ηέζζεπ ίζ ημήμη Α Β Δ Γ Γ AB= EB BA=(-1) AB + ΓΓ= AΓ= ΔΓ ΓA= 3 ΑΔ + ΓΔ= ΑΓ = ΔΓ ΑΓ = AΓ + ΓΒ = ηο ππκάηυ οπθοκνονικό ζύζηημ ζςνηεημένυν Οστ δίνεηι όηι ηο ΑΒΓΓ είνι ηεηπάυνο, Α(3,0) κι Β(0,4) Ν ςπολοίζεηε ηιρ ζςνηεημένερ ηυν ζημείυν Γ κι Γ y Γ Β(0,4) Γ x Ο Α(3,0) x y 3 Αν ι ηπί δικεκπιμέν ζημεί Α, Β κι Γ ιζσύει : (5κ-)ΟΑ + (1-κ)ΟΒ + (1-3κ)ΟΓ = 0, ποδείξηε όηι η ζημεί Α, Β κι Γ είνι ζςνεςθεικά wwwantoniskokosgr 4

Οστ δίνεηι όηι ηο ΑΒΓΓ είνι ηεηπάυνο, Α(3,0) κι Β(0,4) Ν ςπολοίζεηε ηιρ ζςνηεημένερ ηυν ζημείυν Γ κι Γ y Γ Β(0,4) Γ x Ο Α(3,0) x y 3 Αν ι

5 4 Έζηυ η δινύζμη = ( - 1, ), = (1, 3 - ), (, 3) Ν πάτεηε ηο διάνςζμ ζν πμμικό ζςνδςζμό ηυν κι 5 Γίνεηι ηο διάνςζμ u = (x-1, x -1) Ν πεθεί η ηιμή ηος x ζε κάθε μι πεπίπηυζη : (15μ) () ηο u είνι ππάλληλο με ηον άξον ηυν x () u = 0 () εθθ = 1, όπος θ η υνί ηος u με ηον ημιάξον Οx 6 Αποδείξηε δινςζμηικά όηι : εεπμμένη υνί πος ίνει ζε ημικύκλιο είνι ίζη με μι οπθή 7 ηο ππκάηυ ζσήμ δίνεηι όηι ηο ηπίυνο ΑΒΓ είνι οπθοώνιο ζηο Α κι όηι ηο Μ είνι ηο μέζον ηηρ ςποηείνοςζρ ΒΓ B Αποδείξηε όηι : AM Γ Μ Α Β 8 Αποδείξηε όηι : (i) η δινύζμη (ημθ,ζςνθ) κι ( ζςνθ,ημθ) είνι κάθεη κι όηι είνι δύνηον ν είνι ππάλληλ θ 0,π (ii) η δινύζμη = ι j κι ι j είνι κάθεη 9 Έζηυ η μη ζςπμμικά δινύζμη κι Αν ιζσύει : χ ψ 0, ποδείξηε όηι : σ = τ = 0 10 Έζηυ ηπίυνο ΑΒΓ κι ζημείο Μ ηηρ πλεςπάρ ΒΓ ηέηοιο ώζηε : χ ψ ΑΓ Αποδείξηε όηι ηο Μ είνι μέζον ηος ΒΓ, 1 ν κι μόνον ν, σ = τ = wwwantoniskokosgr 5

ηπίυνο ΑΒΓ είνι οπθοώνιο ζηο Α κι όηι ηο Μ είνι ηο μέζον ηηρ ςποηείνοςζρ ΒΓ B Αποδείξηε όηι : AM Γ Μ Α Β 8 Αποδείξηε όηι : (i) η δινύζμη (ημθ,ζςνθ) κι ( ζςνθ,ημθ) είνι κάθεη κι όηι είνι δύνηον ν είνι

6 11 Έζηυ η δινύζμη ( 1, ), (3,4 ) κι (5,6 ) () Γπάτηε έν διάνςζμ ππάλληλο ππορ ηο () Γπάτηε έν διάνςζμ κάθεηο ππορ ηο () Γπάτηε ηο διάνςζμ ζν πμμικό ζςνδςζμό ηυν κι 1 Έζηυ η δινύζμη (1, ), (3, 4) κι (15, ) Ν πάτεηε ηο διάνςζμ ζν πμμικό ζςνδςζμό ηυν δινςζμάηυν κι 13 Έζηυ ηπίυνο ΑΒΓ Αποδείξηε δινςζμηικά όηι : ν η υνί Α είνι οπθή, ηόηε Κι νηιζηπόθυρ: ν ιζσύει, ηόηε η υνί Α είνι οπθή ( Πςθόπειο Θεώπημ ) 14 Γίνεηι όηι : (ημθ, ζυνθ) κι ( ζυνθ, ημθ) Ν λύζεηε ηην εξίζυζη : χ ψ 0 Ν πείηε ι ποι σ, τ R ιζσύει η ιζόηηη 15 Γίνεηι ηο διάνςζμ =(3,4) () ν πείηε διάνςζμ u, ηέηοιο ώζηε ν είνι νηίπποπο ζηο κι ν έσει μέηπο διπλάζιο πό ηο μέηπο ηος () ν πείηε διάνςζμ v, ηέηοιο ώζηε ν είνι κάθεηο ζηο κι ν έσει μέηπο ίζο με ηο μέηπο ηος 16 Σ ζημεί Α, Β, Γ είνι κοπςθέρ ηπίυνος κι Α η ζημεί Μ, Ν, κι Κ είνι η μέζ ηυν πλεςπών ΒΓ, ΓΑ κι ΑΒ νηιζηοίσυρ Κ Ν Αν ΑΒ=, ΒΓ = κι ΓΑ =, ηοηε ν ποδειξεηε οηι : i) + + = 0 κι ii) AM + BN + ΓK = 0 Β Μ Γ wwwantoniskokosgr 6

Θεώπημ ) 14 Γίνεηι όηι : (ημθ, ζυνθ) κι ( ζυνθ, ημθ) Ν λύζεηε ηην εξίζυζη : χ ψ 0 Ν πείηε ι ποι σ, τ R ιζσύει η ιζόηηη 15 Γίνεηι ηο διάνςζμ =(3,4) () ν πείηε διάνςζμ u, ηέηοιο ώζηε ν είνι νηίπποπο

7 17 Σ ζημεί Α, Β κι Γ είνι κοπςθέρ ηπίυνος κι η ζημεί Γ, Δ, κι Ε είνι η μέζ ηυν πλεςπών ΒΓ, ΑΓ κι ΑΒ νηιζηοίσυρ Αν AB=, AΓ = κι Μ ηο μεζον ηος ΔΕ, ηοηε : ) Ν εκθπζεηε η δινςζμη ΑΓ κι ΑΜ ωρ ζςνπηηζη ηων κι ) Ν ποδειξεηε οηι η ζημει Α, Μ κι Γ εινι ζςνεςθεικ Α Ε Μ Δ Β Γ Γ 18 Οι κύκλοι πος θίνονηι ζη ζσήμη είνι συπιζμένοι ζε ηπί η ηέζζεπ ίζ μέπη ε κάθε πεπίπηυζη ν πείηε ηο άθποιζμ ηυν ηπιών ή ηεζζάπυν δινςζμάηυν πος έσοςν ζημειυθεί κι ν ηο δικιολοήζεηε δ δ δ 19 Έζηυ η δινύζμη, κι Ν ποδείξεηε όηι : ηέηοι ώζηε : 1 = - 'η 'η κι 0 Αν είνι ν ποδείξεηε όηι η, είνι νηίπποπ 1 Αν ζε ηπίυνο ΑΒΓ θευπήζοςμε ηιρ διμέζοςρ ΑΓ, ΒΔ κι ΓΕ ν ποδείξεηε όηι: 0 Έζηυ Ο ηςσίο ζημείο ηος σώπος Ν ποδείξεηε όηι η ζημεί Α, Β, Γ είνι ζςνεςθεικά, ν κι μόνον ν, ςπάπσοςν, R με 1 ηέηοιοι ώζηε ν είνι : wwwantoniskokosgr 7

ηεζζάπυν δινςζμάηυν πος έσοςν ζημειυθεί κι ν ηο δικιολοήζεηε δ δ δ 19 Έζηυ η δινύζμη, κι + + 1 Ν ποδείξεηε όηι : ηέηοι ώζηε : 1 = - 'η 'η κι 0 Αν είνι 3 4 0 ν ποδείξεηε όηι η, είνι νηίπποπ 1 Αν ζε

8 3 Αν η δινύζμη, δινύζμη + δεν είνι ππάλληλ, ν δείξεηε όηι κι η κι - 3 δεν είνι ππάλληλ 4 Αν η δινύζμη, δεν είνι ππάλληλ, ν πεθεί R ώζηε η δινύζμη κι δ 3 ν είνι ππάλληλ 5 Έζηυ η δινύζμη, κι πος νά δςο δεν είνι ππάλληλ Αν // κι //, ν ποδείξεηε όηι : 6 Ν ποδείξεηε όηι η ζημεί ( x1, y1), Β( x, y), κι Γ(3x 1 x,3y1 y) είνι ζςνεςθεικά 7 Γίνονηι η δινύζμη = (1,1) =(,5) κι (4,7) () ν ποδείξεηε όηι νά δςο δεν είνι ππάλληλ () ν πάτεηε ηο ζν πμμικό ζςνδςζμό ηυν κι 8 Ν πεθεί διάνςζμ με μέηπο 3, νηίπποπο ζηο = (, -3) 9 Γίνονηι η ζημεί Α(1, ) κι Β(-3, 0) Ν πεθεί ζημείο Γ ηος επιπέδος ώζηε ηο ηπίυνο ΑΒΓ ν είνι ιζόπλεςπο 30 Ν ποδείξεηε όηι η δινύζμη (, ) (, ) δεν είνι ζςπμμικά 31 Ν πεθούν η δινύζμη πος είνι ππάλληλ ζηο ( 6,8) κι έσοςν μέηπο 5 3 Ν πεθεί ο πιθμόρ R ώζηε η δινύζμη x i ( ) j κι y ( 1) i (1 ) j, ν είνι κάθεη 33 Αν 1, ν ποδείξεηε όηι: κι φ π κι κι ν πείηε ηην υνί ηυν 34 Αν, 4 δινςζμάηυν + κι - wwwantoniskokosgr 8

δεν είνι ππάλληλ () ν πάτεηε ηο ζν πμμικό ζςνδςζμό ηυν κι 8 Ν πεθεί διάνςζμ με μέηπο 3, νηίπποπο ζηο = (, -3) 9 Γίνονηι η ζημεί Α(1, ) κι Β(-3, 0) Ν πεθεί ζημείο Γ ηος επιπέδος ώζηε ηο ηπίυνο ΑΒΓ ν

9 35 Αν 1 κι +, ν ποδείξεηε όηι : = 36 Αν κι ηόηε : // κι // 37 Έζηυ η δινύζμη, κι πος νά δςο δεν είνι ππάλληλ Αν // κι //, ν ποδείξεηε όηι : // 38 Ν νλύζεηε ηο διάνςζμ (5, 0) ζε δςο κάθεηερ ζςνιζηώζερ πό ηιρ οποίερ η μί ν έσει ηην διεύθςνζη ηος (,1) 39 Σ κάθεη δινύζμη κι έσοςν μέηπ κι 3 νηίζηοισ Ν πεθεί διάνςζμ με μέηπο 1, πος δισοηομεί ηην υνί ηοςρ 40 Αν, ν ποδείξεηε όηι : Έζηυ εςθύπμμο ημήμ ΑΒ κι ζημείο Μ ώζηε : Αν Ο ζημείο 3 3 ζηο σώπο, ν ποδείξεηε όηι : 4 4 Έζηυ ηπίυνο ΑΒΓ N πεθεί ο ευμεηπικόρ ηόπορ ηυν ζημείυν Μ ηος επιπέδος ι η οποί είνι : 0 π 1 κι κι, 43 Aν, 3 ν πεθεί R ι ηον οποίο ιζσύει: 44 Έζηυ δύο κάθεη δινύζμη κι με μέηπ κι 3 νηίζηοισ Ν πείηε διάνςζμ ηος επιπέδος με μέηπο 4, ηέηοιο ώζηε ν είνι : π π, κι 6 3, wwwantoniskokosgr 9

ποδείξεηε όηι : 6 1 41 Έζηυ εςθύπμμο ημήμ ΑΒ κι ζημείο Μ ώζηε : Αν Ο ζημείο 3 3 ζηο σώπο, ν ποδείξεηε όηι : 4 4 Έζηυ ηπίυνο ΑΒΓ N πεθεί ο ευμεηπικόρ ηόπορ ηυν ζημείυν Μ ηος επιπέδος ι η οποί

10 45 Έζηυ η μη ζςπμμικά δινύζμη =( 1, ) κι ( 1, ) Ν πείηε διάνςζμ x ( x1, x) ι ηο οποίο είνι : x κι x όπος, μ R 46 Ν πεθεί διάνςζμ με μέηπο 1, κάθεηο ζηο διάνςζμ (1, 5) 47 Αν ι η δινύζμη, ιζσύοςν : 7, (+) ( - ) κι (, ), ηόηε ν ςπολοιζθούν η μέηπ 3 ηυν δινςζμάηυν, 48 Aν ι ηο ζημείο Μ ηος επιπέδος ενόρ ηπιώνος ΑΒΓ ιζσύοςν οι ζσέζειρ κι, ν ποδείξεηε όηι ηο Μ είνι ηο μέζον ηηρ πλεςπάρ ΒΓ 49 Γίνονηι δύο μη μηδενικά δινύζμη κι Αν ςπάπσει λ R ηέηοιορ ώζηε 1, ν ποδείξεηε όηι ηο εμδόν ηος ππλληλοπάμμος ΟΑΓΒ με ΟΑ= κι ΟΒ είνι μικπόηεπο ή ίζο ηος wwwantoniskokosgr 10

ζημείο Μ ηος επιπέδος ενόρ ηπιώνος ΑΒΓ ιζσύοςν οι ζσέζειρ κι, ν ποδείξεηε όηι ηο Μ είνι ηο μέζον ηηρ πλεςπάρ ΒΓ 49 Γίνονηι δύο μη μηδενικά

Σχετικά έγγραφα

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):

ζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων): o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.