3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Transcript

1 1.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Νόµος ηµίτονων ηµα β ηµβ ηµγ R. Νόµος συνηµίτονων β + β συνα κι κυκλικά ΣΧΟΛΙΑ ΜΕΘΟ ΟΙ 1. Τι σηµίνει επίλυση τριώνου Υπολοισµός των κύριων στοιχείων του (πλευρές ωνίες). Μι άλλη ρφή του νόµου των ηµίτονων RηµΑ κι κυκλικά Σηµείωση: Σηµντικό ρόλο πίζει η κτίν R.. Πως ενερούµε, νάλο µε τ δεδοµέν Νόµος ηµίτονων, ότν δίνοντι i) µί πλευρά κι δύο ωνίες ii) δύο πλευρές κι µη περιεχοµένη ωνί Νόµος συνηµίτονων, ότν δίνοντι i) δύο πλευρές κι η περιεχοµένη ωνί ii) οι τρεις πλευρές Σηµείωση: Αν δεν θέλετε ν θυµάστε τις περιπτώσεις, δοκιµάζετε διδοχικά τους δύο νόµους. 4. Πρτήρηση Οι δύο νόµοι (κυρίως ο νόµος των ηµίτονων) χρησιµοποιούντι κι στις σκήσεις που εµπλέκουν τις πλευρές κι τις ωνίες του τριώνου. Κυρίρχο ρόλο πίζει η κτίν R.

2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν επιλύσετε το τρίωνο ΑΒΓ ν + 1, Β 45 ο κι Γ 60 ο Α 180 ο Β Γ 180 ο 45 ο 60 ο 75 ο ηµα ηµ75 ο ηµ(0 ο + 45 ο ) ηµ0 ο συν 45 ο + συν0 ο ηµ45 ο ( + 1) RηµΑ + 1 R 4 ( + 1) R β RηµΒ ηµ45 ο RηµΓ ηµ60 ο 6 Πλευρά κι δύο ωνίες Νόµος ηµίτονων. Ν επιλύσετε το τρίωνο ΑΒΓ ν 1, β + 1, κι Α 15 ο ηµα ηµ15 ο ηµ(45 ο 0 ο ) ηµ45 ο συν 0 ο συν45 ο ηµ0 ο 1 4 ( 1) RηµΑ 1 R 4 ( 1) R ( 1) R 1 ( + 1) ( 1)( + 1) ύο πλευρές κι µη περιεχοµένη ωνί Νόµος ηµίτονων ( + 1) 1 ( + 1) β RηµΒ + 1 ηµβ ηµβ Β 45 ο ή Β 15 ο Ότν Β 45 ο, Γ 180 ο Α Β 180 ο 15 ο 45 ο 10 ο Ότν Β 15 ο, Γ 180 ο Α Β 180 ο 15 ο 15 ο 0 ο ( + 1)

3 . Ν επιλύσετε το τρίωνο ΑΒΓ ν β 6, + 1 κι Α 45 ο β + β συνα ( 6 ) + ( + 1) 6 ( + 1).συν45 ο ( + 1) ( + 1) RηµΑ Rηµ 45 ο R β RηµΒ 6 ηµβ ηµβ Ότν Β 60 ο, Γ 180 ο Α Β 180 ο 45 ο 60 ο 75 ο Ότν Β 10 ο, Γ 180 ο Α Β 180 ο 45 ο 10 ο 15 ο ύο πλευρές κι περιεχοµένη ωνί. Νόµος συνηµίτονων R Β 60 ο ή Β 10 ο 4. Σε τρίωνο ΑΒΓ, δίνετι ότι Α Γ, συνγ 4 Ν υπολοίσετε τις πλευρές κι β. Α Γ ηµα ηµγ ηµα ηµγσυνγ ηµα ηµγ 4 ηµα ηµγ β βσυνγ β.6β β 9β , β 9 ± 1 β 9β ή 4 κι 4.

4 4 5. Σε τρίωνο ΑΒΓ, οι πλευρές του είνι διδοχικοί φυσικοί ριθµοί κι η µελύτερη ωνί του είνι διπλάσι της µικρότερης. Ν υπολοίσετε τις πλευρές του. Έστω ν όπου ν φυσικός. Τότε β ν + 1, ν + κι Γ Α Γ Α ηµγ ηµα ηµγ ηµασυνα ηµγ ηµα συνα συνα ν+ συνα ν ν+ ν συνα β + βσυνα ν (ν + 1) + (ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν+ ν ν ν(ν + 1) + ν(ν + ) (ν + 1)(ν + ) ν ν(ν + ν + 1) + ν(ν + 4ν + 4) (ν + 1)(ν + 4ν + 4) ν ν + ν + ν + ν + 4ν + 4ν ν 4ν 4ν ν 4ν 4 ν ν ν ± 5 ± 5 4 ή 1 Η τιµή 1 πορρίπτετι, φού ο ριθµός 1 δεν είνι φυσικός. Γι ν 4 θ έχουµε 4, β 4 + 1, 4 + 4, β 5, 6 6. Σε τρίωνο ΑΒΓ, είνι β κι Α 60 ο. Ν βρείτε το είδος του τριώνου ως προς τις ωνίες του. β RηµΒ.R ηµγ ηµβ ηµγ ηµβ ηµ(α + Β) ηµβ ηµ(60 ο + Β) ηµβ (ηµ60 ο συνβ+ συν60 ο ηµβ) ηµβ (ηµ60 ο συνβ+ συν60 ο ηµβ) ηµβ ηµβ 1 συνβ + ηµβ συνβ + ηµβ 0 συνβ συνβ 0 Β 90 ο

5 5 7. Σε τρίωνο ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ, η διχοτόµος δ διιρεί την υποτείνουσ σε δύο τµήµτ µήκους κι κι το µήκος της δ. Νόµος ηµίτονων στο τρ. ΑΒ ντίστοιχ.. Ν υπολοίσετε τις ωνίες Β, Γ δ ηµβ ηµ45 ο δ ηµ45 ο δ δ ηµβ ηµβ 1 ηµβ δ ηµβ (1) Οµοίως στο τρ. ΑΓ δ ηµγ () (1), () ηµβ ηµγ ηµβ ηµγ συνγ ηµγ ηµγ συνγ 1 εφγ Γ 0 ο, άρ κι Β 60 ο Γ Α δ Β (1) δ ηµ60 ο 8. Σε τρίωνο ΑΒΓ, ν δείξετε ότι Νόµος συνηµίτονων β + βσυνα + βσυνα β + συνβ + βσυνγ βσυνα β + β + βσυνα 1 ο µέλος της ποδεικτές : + βσυνα β + + +β + +β + Οµοίως ι το ο κι το ο µέλος της ποδεικτές

6 6 9. Σε τρίωνο ΑΒΓ δίνετι ότι β+ + β + 1. Ν δείξετε ότι Γ π β+ + β 1 + ( + ) + β(β + ) (β + )( + ) + + β + β β + β β β + + β β (1) Νόµος συνηµίτονων : + β βσυνγ βσυνγ + β Η (1) βσυνγ β συνγ 1 Γ π 10. Σε τρίωνο ΑΒΓ δίνετι ότι 4 ( + β ) β 4 0. Ν ποδείξετε ότι Γ π ή Γ π 4 4 Θεωρούµε τη δοσµένη σχέση σν δευτεροβάθµι εξίσωση µε άνωστο. ( +β ) 4( 4 +β 4 ) ( ) 4( 4 + β + β 4 ) 4 4 4β 4 4( 4 + β + β 4 4 β 4 ) 8 β ( β ) +β ± β +β ± β Ότν +β + β (1) Νόµος συνηµίτονων : +β β συνγ () Από τις (1), () συµπερίνουµε β συνγ β συνγ Ότν +β β () Νόµος συνηµίτονων : +β β συνγ (4) Από τις (), (4) συµπερίνουµε β συνγ β συνγ Γ π 4 Γ π 4

7 7 11. Σε κάθε µη ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι ( + β )εφγ (β + )εφα ( + β )εφβ 1 ο µέλος ( + β )εφγ ( + β ) ηµγ συνγ Νόµος συνηµίτονων : +β β συνγ β συνγ +β συνγ +β β Νόµος ηµίτονων : RηµΓ ηµγ R (1) Η (1) ίνετι ( + β )εφγ ( + β ) ( + β ) β R Κυκλικά ι το ο κι ι το ο µέλος R +β β β R ( +β ) 1. Σε κάθε µη ορθοώνιο τρίωνο ΑΒΓ, ν ποδείξετε ότι β + συνα β + συνβ β β + συνγ 1 ο µέλος β + συνα +βσυνα β +β β + β β +β + β +β + β Κυκλικά ι το ο κι ι το ο µέλος