2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ

Transcript

1 1.3 ΜΕΤΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΙ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗΣ ΘΕΩΡΙ 1. Μετβολή του ηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, υξάνετι κι το ηµίτονο της. ηλδή ν ω > φ τότε ηµω > ηµφ. Μετβολή του συνηµιτόνου : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, ελττώνετι το συνηµίτονό της. ηλδή ν ω > φ τότε συνω < ηµφ 3. Μετβολή της εφπτοµένης : Ότν µί οξεί ωνί υξάνετι, υξάνετι κι η εφπτοµένη της. ηλδή ν ω > φ τότε εφω > εφφ ΣΧΟΛΙ 1. πό νισότητ τριωνοµετρικών ριθµών σε νισότητ ωνιών ν ηµω > ηµφ τότε ω > φ ν συνω > συνφ τότε ω < φ ν εφω > εφφ τότε ω > φ Σηµείωση : οι ωνίες είνι οξείες. πό ισότητ τριωνοµετρικών ριθµών σε ισότητ ωνιών ν ηµω ηµφ τότε ω φ ν συνω συνφ τότε ω φ ν εφω εφφ τότε ω φ Σηµείωση : οι ωνίες είνι οξείες

2 ΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ν τοποθετήσετε σε ύξουσ σειρά τους ριθµούς ) ηµ ο, ηµ ο, ηµ80 ο, ηµ45 ο, ηµ65 ο β) συν11 ο, συν81 ο, συν34 ο, συν73 ο, συν50 ο ) εφ5 ο, εφ45 ο, εφ8 ο, εφ 5 ο, εφ67 ο ) ηµ ο < ηµ ο < ηµ45 ο < ηµ65 ο < ηµ80 ο β) συν81 ο < συν73 ο < συν50 ο < συν34 ο < συν11 ο ) εφ5 ο < εφ 5 ο < εφ45 ο < εφ67 ο < εφ8 ο Θεωρί Ν χρκτηρίστε τις πρκάτω προτάσεις µε Σ ν είνι σωστές κι µε Λ ν είνι λνθσµένες ) συν5 ο < συν 7 ο β) ηµ8 ο > ηµ35 ο ) εφ45 ο < εφ 56 ο δ) συν 36 ο > συν55 ο ε) εφ5 ο > εφ 18 ο στ) ηµ4 ο < ηµ 43 ο ) Σωστό φού 5 ο > 7 ο β) Λάθος φού 8 ο <35 ο ) Σωστό φού 45 ο < 56 ο δ) Σωστό φού 36 ο < 55 ο ε) Λάθος φού 5 ο <8 ο στ) Σωστό φού 4 ο < 43 ο

3 3 3. ι τ διπλνά σχήµτ επιλέξετε την σωστή πάντηση ) ω< φ, ω φ, ω > φ β) x y, x > y, x < y ) Πυθόρειο στο τρίωνο : άρ Οπότε ηµφ 1 13 λλά 1 13 > 5 13 κι ηµω 5 13 άρ ηµφ > ηµω οπότε φ > ω β) Στο τρίωνο ΚΛΡ : ΛΡ ΡΚ + ΚΛ ( 3 ) Συνεπώς ΛΡ 16 4 Οπότε ηµy ΡΚ ΡΛ λλά 4 > 4 κι ηµx ΛΚ ΡΛ 4 άρ ηµy > ηµx οπότε y > x 4. Στο διπλνό σχήµ είνι 3, Ε 1. Ν υπολοίσετε τ µήκη, κι Ε. Στο τρίωνο Ε : ηµ0 ο Ε Ε άρ 0,340 Ε 1 συν0 ο Ε άρ 0, Στο τρίωνο : ηµ0 ο άρ 0, , 8,7,5 A 0 ο Ε B άρ Ε 4,1 άρ 11, άρ 8,7

4 4 5. ν ω είνι µί οξεί ωνί ορθοωνίου τριώνου δείξτε ότι ) εφω συνω ηµω 1 β) ηµω συνω εφω + ηµω συνω εφω 1 ) συν ω + ηµ ω + εφ 1 ω συν ω δ) (1 συν ω)( 1 + εφ ω ) εφ ω Ισχύουν ηµω β, συνω, εφω β, β + ω ) εφω συνω ηµω συνω ηµω συνω β) β 1 ηµω ηµω συνω εφω + ηµω συνω ηµω συνω εφω συνω + ηµω συνω 1 ηµω σνω ηµ ω + συν ω ) β + β + β + 1 συν ω + ηµ ω + εφ ω + β + β + β + β β + β δ) (1 συν ω)( 1 + εφ β ω ) συν ω

5 5 1 β β 1+ + β β β εφ ω 6. Στο διπλνό σχήµ, ν υπολοίσετε την περίµετρο κι το εµβδόν του Ε. Ε m εφ4 ο άρ 0,9 οπότε 1,8 m εφ1 ο άρ 0,16 οπότε A 0,4 m συν1 o άρ 0,9781 οπότε,04 m Προφνώς Ε 1,8 m Η περίµετρος Π του τετρπλεύρου είνι Π Ε Ε + 1,8 + 0,4 +,04 + 1,8 8,04 m Το εµβδόν Ε () + (Ε) + Ε 0,4 + 1,8 4 m Ε 7. Το εροπλάνο του διπλνού σχήµτος νέρχετι, σε σχέση µε τον ορίζοντ υπό ωνί 5 ο. Ν βρείτε το ύψος του εροπλάνου ότν υτό έχει δινύσει km κι την οριζόντι πόστσή του πό την πίστ ποείωσης. ηµ5 ο άρ 0,46 άρ 0,845 km ηλδή το ύψος του εροπλάνου είνι 845m ι την οριζόντι πόστση του, είνι συν5 ο άρ B 5 ο km A 0,9063 1,81 km

6 6 8. Στο διπλνό σχήµ το τρίωνο είνι ισοσκελές. Ν υπολοίσετε τις ποστάσεις, κι Είνι 180m κι ɵ 35 ο Οπότε 180 ο 35 o 35 o 110 ο κι συνεπώς 70 ο. ηµ70 ο άρ 0, ηµ35 ο συν35 ο οπότε 169,1 m 35 ο 180m 169,1 άρ 0,5736 οπότε 94,8 m άρ 0,819 οπότε 41,5 m 94,8 9. Στο διπλνό σχήµ ν βρείτε την περίµετρο κι το εµβδόν του τριώνου. ηµ3 ο συν3 ο συν50 ο ηµ50 ο άρ 0, άρ 0, άρ 0,648 8,48 άρ 5,99 m άρ 8,48 m άρ 13,19 m A 10m B 50 ο 3 ο άρ 0,7660 άρ 10,1 m 13,19 Η περίµετρος Π είνι Π ,19 + 5, ,1 38,589 m 15,399 8,48 Το εµβδόν Ε 65,9m 10. Στο διπλνό σχήµ ν υπολοίσεις τ ηµφ, συνφ, εφφ ν συνω 0,5, 6 κι 13 6 συνω άρ 0,5 οπότε 1 1 ηµφ 13 Πυθόρειο στο : άρ συνφ 13 κι εφφ ω 13 φ

7 7 11. Στο διπλνό σχήµ είνι φ ω. Ν υπολοίσετε το τµήµ 3 Πυθόρειο στο : άρ ηµφ (1) 5 ω φ Επειδή φ ω θ είνι ηµφ ηµω 3 5 Τότε η (1) ίνετι οπότε B Στο τρίωνο ν υπολοίσετε την περίµετρο κι το εµβδόν. ηµ40 ο 8 άρ 0,648 οπότε 1,4 συν40 ο άρ 0,766 οπότε 9,49 1,4 1 9,49,51 Πυθόρειο στο : + 8 +, ,3 70,3 οπότε 70,3 8,38 Περίµετρος Π 1,4 + 8, , Εµβδόν Ε 48 τετρωνικές µονάδες 40ο 8 1

8 8 13. ύο πρτηρητές πρτηρούν πό τ σηµεί κι έν εροπλάνο υπό ωνίες 60 ο κι 50 ο. Η πόστση των πρτηρητών είνι 1000m κι το ύψος των µτιών τους, πό το οριζόντιο επίπεδο, είνι 1,70m. Ν βρείτε το ύψος του εροπλάνου κι τις ποστάσεις κι. εφ60 ο h άρ 1,731 h h άρ 1,731 h Οµοίως 1,1918 h άρ 1,731 + h 1, ηµ60 ο h ηµ50 ο h 1,1918h + 1,731h 1,731 1, ,939h 063, 3167 περίπου. Οπότε h 705, 6 άρ 0, ,6 άρ 0, ,6 άρ 814,78 άρ 91,14 h 60 ο 50 ο Σε έν πρλληλόρµµο, δύο διδοχικές πλευρές του έχουν µήκη 8,5 m κι 6m κι σχηµτίζουν ωνί 40 ο. Ν βρεθεί το εµβδόν του πρλληλοράµµου. Έστω το πρλληλόρµµο µε 8,5 m, 6m κι 40 ο ηµ40 ο Κ 40 ο άρ 0,648 Κ άρ Κ 3,85 m 6 A Κ B Ε Κ 8,5 3,85 3,75 m

9 9 15. Σε έν τετράπλευρο, οι διώνιες κι τέµνοντι κάθετ. ν είνι 6 m κι 10m κι 9m, ν υπολοίστε τη ωνί κι τη διώνιο. Επειδή 6 m κι 10m, η είνι µεσοκάθετος της. Εποµένως Κ Κ 4,5 συνω Κ 4,5 6 0,75 κι πό τους πίνκες ω 41 ο συνφ Κ 4,5 10 0,45 κι πό τους πίνκες ɵ φ 63 ο άρ ω + ɵ φ 104 ο ηµω Κ άρ 0,6561 Κ 6 άρ Κ 3,9 m ηµφ Κ Κ άρ 0, άρ Κ 8,91 m Κ + Κ 3,9 + 8,91 1,81 m 6 Κ 6 ω φ Ν προσδιορίσετε τις τιµές των οξειών ωνιών ω ι τις οποίες ισχύουν ) 4ηµω 3 β) 5συνω 0 ) εφ ω 4 δ) 5ηµω 4 < 0 ε) 4συνω 1 > 0 στ) εφω 4 > 0 Χρησιµοποιώντς τριωνοµετρικούς πίνκες έχουµε ) 4ηµω 3 άρ ηµω 3 0,75 ηµ49ο άρ 4 ω 49 ο Σχόλι 1- β) 5συνω 0 άρ συνω 5 0,4 συν66ο άρ ω 66 ο ) εφ ω 4 άρ εφω ή εφω άρ εφω εφ63 ο άρ ω 63 ο Η εξίσωση εφω είνι δύντη ι οξείες ωνίες ω δ) 5ηµω 4< 0 άρ ηµω < 4 5 0,8 ηµ53ο ε) ηµω < ηµ53 ο συνεπώς 0 < ω < 53 ο 4συνω 1 > 0 άρ συνω > 1 0, 5 συν74ο 4 συνω > συν73 ο συνεπώς 0 < ω < 73 ο στ ) εφω 4 > 0 άρ εφω > 4 εφ76 ο συνεπώς 90 > ω > 76 ο