Αν ο λόγος των καθέτων πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 4, τότε ο λόγος των προβολών τους στην υποτείνουσα είναι α.2 β.4 γ. 16 δ.

Transcript

1 σκήσεις σχολικού ιλίου σελίδς ρωτήσεις κτνόησης 1. Έν ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ ο 90 ) έχει 6 κι 8. Ποιο είνι το µήκος της διµέσου Μ ; κι Μ 5. ν ο λόος των κθέτων πλευρών ενός ορθοωνίου τριώνου είνι, τότε ο λόος των προολών τους στην υποτείνουσ είνι δ. 1 Κυκλώστε το ράµµ της σωστής πάντησης κι ιτιολοήστε την πάντηση σς νωρίζουµε ότι. Έν ορθοώνιο τρίωνο έχει κάθετες πλευρές ίσες µε 9cm κι 1cm.. Η πλευρά ισοπλεύρου τριώνου που έχει περίµετρο ίση µε την περίµετρο του ορθοωνίου τριώνου είνι ίση µε δ.1 Κυκλώστε το ράµµ της σωστής πάντησης κι δικιολοήστε την πάντηση σς Πυθόρειο : Περίµετρος του ορθοωνίου τριώνου : Π Πλευρά του ισοπλεύρου τριώνου : x 6 1

2 . Στο πρκάτω σχήµ υπολοίστε τ x κι ψ. x ψ πειδή η ωνί ˆ είνι εερµµένη σε Ηµικύκλιο, θ είνι ορθή άρ x 8 5 x 1 5 ψ 1 ψ 1 σκήσεις µπέδωσης 1. Σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) φέρουµε το ύψος. ν είνι κι, ν υπολοιστούν τ µήκη των τµηµάτων,, κι

3 . ν σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) είνι ˆB ˆ τότε ο λόος είνι ίσος µε: δ. ε... Κυκλώστε το ράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση κι ιτιολοήστε την πάντησή σς. Πυθόρειο: (1), (). ˆB + ˆ 90 ο ˆ + ˆ 90 ο ˆ 90 ο ˆ 0 ο () (1). Σε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) φέρουµε το ύψος. ν είνι 5 κι B 5, ν διτάξετε κτά ύξουσ σειρά µήκους τ τµήµτ,, κι (1), (), (), () < < < 60 () 1 () (1) ()

4 ποδεικτικές σκήσεις 1. Ν ποδειχθεί ότι το τρίωνο, που έχει πλευρές κ +λ, κλ κι κ λ, όπου κ, λ θετικοί κέριοι µε κ > λ, είνι ορθοώνιο. ( ) κ +λ κ + κ λ +λ κ λ ( ) κ λ κ κ λ +λ Πρτηρούµε ότι + άρ το τρίωνο είνι ορθοώνιο.. ν, Ζ είνι ντίστοιχ οι προολές δύο χορδών κι ενός κύκλου σε µί διάµετρό του, ν ποδείξετε ότι Ζ.. O Ζ Φέρουµε τις,.. ˆ 1 (ίνει σε ηµικύκλιο) τρ. ορθοώνιο µε ύψος. Ζ. Ζ.. (1) Οµοίως στο τρ. θ έχουµε...ζ () πό τις (1), () Ζ...

5 5. ν είνι µέσο της κάθετης πλευράς ενός ορθοωνίου τριώνου ( Â 1 ) κι η προολή του στη, τότε ν ποδείξετε ότι E +. Στη συνέχει διτάξτε κτά ύξουσ σειρά µήκους τ τµήµτ,,. Φέρουµε τη (ι ν έχουµε κι άλλ ορθοώνι τρίων) Τρ.: E Τρ.: Προσθέτουµε κτά µέλη, κι επειδή, έχουµε E +. (1) Τρ.: (1) E +. πό την ισότητ που ποδείξµε προκύπτει ότι <. πό το ορθοώνιο τρίωνο προκύπτει ότι <. Άρ < <.. ύο ορθοώνι τρίων κι ( Â Â 1 ) έχουν µ µ κι µ µ. Ν ποδείξετε ότι: i). Τι συµπερίνετε ι τ κι. E ' ' ' Οµοίως, πό τ τρίων, ΆΈ θ έχουµε E' ' Τρ.: + µ Τρ.Ά : + µ Άρ (1). + (). Προσθέτουµε κτά µέλη τις (1), (): () (1) () Άρ τρ. τρ..

6 6 5. Σε ισοσκελές τρίωνο ( ) φέρουµε το ύψος του. Ν ποδείξετε ότι Τρ.: Τρ.: + + Άρ ( + ) Σύνθετ Θέµτ 1. Θεωρούµε ορθοώνιο τρίωνο ( Â 1 ) κι το ύψος του. ν, Ζ είνι οι προολές του πάνω στις, ντίστοιχ, ν ποδείξετε ότι: i) Ζ i) Ζ.. Ζ Στο τρ.: Στο τρ.: Στο τρ.:.. Ζ. Ζ. (1) Στο τρ.:. A AB. Ζ Στο τρ.:. Ζ. Πολλπλσιάζουµε κτά µέλη: AB. Ζ.... Ζ. ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή ότι την οµοιότητ των τριώνων,. Ζ (1), το οποίο ισχύει πό

7 7. ίνοντι δύο κύκλοι (Κ, R) κι (Λ, ρ) που εφάπτοντι εξωτερικά στο. ν είνι κοινό εξωτερικό εφπτόµενο τµήµ τους κι (Ο, σ) ο κύκλος που εφάπτετι στους (Κ, R), (Λ, ρ) κι στη, ν ποδείξετε ότι: i) B Rρ i) R + ρ σ Μ Ο Φέρουµε τις ΚΛ, Κ, Λ κι ΛΜ Κ. Τότε ΛΜ ορθοώνιο Κ Λ ΚΜ Κ Μ R Λ R ρ Πυθόρειο στο τρ.μκλ ΜΛ ΚΛ ΚΜ ( R ) ( R ) +ρ ρ R + Rρ+ρ ( R Rρ+ρ ) R + Rρ+ρ R + Rρ ρ Rρ Rρ φρµόζουµε το i) ι τους κύκλους (Κ, R), (Ο, σ) µε κοινή εξωτερική εφπτοµένη κι ι τους κύκλους (Λ, ρ), (Ο, σ) µε κοινή εξωτερική εφπτοµένη. Τότε Rσ κι ρσ. + Rσ + ρσ Rρ Rσ + ρσ Rρ ιιρούµε τ δύο µέλη µε Rρσ, τότε R + ρ σ

8 8. Θεωρούµε τρπέζιο µε ˆ ˆ 1. ν Μ, Ν τ µέσ των διωνίων, ντίστοιχ κι Κ το σηµείο τοµής της Μ µε τη, ν ποδείξετε ότι: i) το Κ είνι ορθοώνιο i) ΜΝ. 1 Τρ.Μ τρ.μκ διότι Μ Μ Mˆ Mˆ (κτά κορυφή) κι 1 ˆ ˆ (εντός ενλλάξ) Ν Άρ Μ ΜΚ, δηλδή οι διώνιοι του Μ Κ διχοτοµούντι, άρ είνι πρ/µµο κι 1 επειδή έχει ωνί ορθή, είνι ορθοώνιο. Κ Πυθόρειο στο τρ.κ: Κ Κ (1) πό το i) έχουµε Κ. Στο τρίωνο Κ, το ΜΝ ενώνει µέσ Κ ΜΝ. (1) ( ΜΝ ) ΜΝ.. Σε κάθε ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ 90 ο ) ν ποδείξετε ότι µ. Ισχύει πειδή, όµως, µ. Οπότε, ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή ρκεί ν ποδείξουµε ότι, ή. +, ρκεί ν ποδείξουµε ότι +, ή ότι + 0, ή ότι ( ) 0, που ισχύει.

9 9 5. Θεωρούµε κύκλο (Ο, R), διάµετρό του κι µί χορδή του που τέµνει την στο κι σχηµτίζει µε υτή ωνί 5 ο. Ν ποδείξετε ότι + R. Ο Μ Φέρουµε ΟΜ κι την κτίν Ο. Τότε, το Μ είνι µέσο της κι το τρίωνο ΟΜ ορθοώνιο κι ισοσκελές. + EM+ M + ( Μ Μ ) ( ) Μ + Μ Μ + Μ + Μ Μ Μ + Μ + ( ΟΜ + Μ Μ Μ ) (1) Πυθόρειο στο τρίωνο ΜΟ ΟΜ + Μ Ο R. (1) + R. 6. Θεωρούµε ορθοώνιο τρίωνο ( ˆ 1 ) κι το ύψος του. ν x, y κι ω είνι ντίστοιχ τ µήκη οποιωνδήποτε οµόλοων ρµµικών στοιχείων των τριώνων (π.χ. διµέσων, υψών, κτίνων εερµµένων κύκλων κτλ.),,, τότε x + y ω. Τρ. όµοιο του τρ. x ω x ω (1) Τρ. όµοιο του τρ. y ω y ω () (1) + () x ω + y ω + x + y ω + x + y ω 1 x + y ω