Δηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.

Transcript

1 367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ

2 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους με. Ορίζουμε κόμ ότι: με 0 - ν 1 ν. Ποιες είνι οι ιδιότητές των δυνάμεων; ηλδή, ν ν πράγοντες με 0 κι ν 1,, 3,.. ι δυνάμεις, με εκθέτες γενικά κέριους ριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες μ ν μ+ν μ ν μ ν ν ν ( ) ν ν ν μ ( ) ν Οι ιδιότητες υτές ισχύουν με την προϋπόθεση ότι κάθε φορά ορίζοντι οι δυνάμεις κι οι πράξεις που σημειώνοντι. μν 3. Τι ονομάζετι τετργωνική ρίζ θετικού ριθμού ; Ονομάζετι τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού που, ότν υψωθεί στο τετράγωνο, μς δίνει τον ριθμό. Η τετργωνική ρίζ του συμολίζετι με πομένως : χ ν κι μόνο χ Ορίζουμε κόμη Ποιες είνι οι ιδιότητές των ριζών;

3 369 I. πό τον ορισμό τις τετργωνικής ρίζς ενός ριθμού 0 προκύπτει ότι: ( ) II. ι κάθε πργμτικό ριθμό ισχύει III. ν 0 κι 0, τότε IV. ν 0 κι 0, τότε 5. ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, πόδειξη ίνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε. Έτσι έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) που ισχύει. 6. ν 0 κι 0 ν ποδείξετε ότι, V. πόδειξη ίνι γνωστό ότι ν οι κι είνι μη ρνητικοί ριθμοί τότε, Έτσι έχουμε: ( ) ( ), που ισχύει. 7. Πως συγκρίνουμε( διτάσουμε) δύο πργμτικούς ριθμούς; ν οι κι είνι δύο πργμτικοί ριθμοί τότε: Λέμε ότι ο είνι μεγλύτερος του κι το συμολίζουμε >, ότν > 0.

4 370 Λέμε ότι ο είνι μικρότερος του κι το συμολίζουμε <, ότν < 0. Λέμε ότι ο είνι ίσος με τον κι το συμολίζουμε, ότν 0. ντίστροφ ν > 0, τότε ο είνι μεγλύτερος του. ν < 0, τότε ο είνι μικρότερο του. ν 0, τότε ο είνι ίσος με τον. 8. Τι ονομάζετι νισότητ κι ποι τ χρκτηριστικά της; Η σχέση της μορφής > ( ή < ) ονομάζετι νισότητ με μέλη, πρώτο κι δεύτερο, τ κι ( ή τ κι ) ντίστοιχ. Οι νισότητες < κι γ < δ ( ή > κι γ > δ ) λέγοντι ομοιόστροφες ( έχουν την ίδι φορά ) Οι νισότητες < κι γ > δ ( ή > κι γ < δ ) λέγοντι ετερόστροφες ( έχουν ντίθετη φορά ) ι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός είνι τυτόχρον μεγλύτερος του χ κι μικρότερος του ψ, γράφουμε τη «διπλή» νισότητ χ < < ψ. ι ν δηλώσουμε ότι ένς ριθμός χ είνι μεγλύτερος ή ίσος με τον ριθμό, γράφουμε χ. 9. Ποιες είνι οι ιδιότητες των νισοτήτων; ν προσθέσουμε κι στ δύο μέλη μις νισότητς τον ίδιο ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν >, τότε + γ > + γ. ν προσθέσουμε κτά μέλη δύο ή περισσότερες νισότητες της ίδις φοράς, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν > κι γ > δ, τότε + γ > + δ. ν πολλπλσιάσουμε κι τ δύο μέλη μιάς νισότητς με τον ίδιο θετικό ριθμό, προκύπτει νισότητ της ίδις φοράς. ηλδή ν > κι γ > 0, τότε γ > γ. ν πολλπλσιάσουμε κι τ δύο μέλη μιάς νισότητς με τον ίδιο ρνητικό ριθμό, προκύπτει νισότητ ντίθετης φοράς. ηλδή ν > κι γ < 0, τότε γ < γ. 10. Τι ονομάζετι λγερική πράστση; Ονομάζετι λγερική πράστση κάθε έκφρση που συνδυάζει πράξεις μετξύ ριθμών κι μετλητών. 11. Τι ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης;

5 371 Ονομάζετι ριθμητική τιμή λγερικής πράστσης ο ριθμός που θ προκύψει ν ντικτστήσουμε τις μετλητές της με ριθμούς κι εκτελέσουμε τις πράξεις. 1. Πότε μι λγερική πράστση ονομάζετι: ) κλσμτική, ) άρρητη; Μι λγερική πράστση ονομάζετι κλσμτική ότν περιέχει μί τουλάχιστον μετλητή σε πρνομστή. Μι λγερική πράστση ονομάζετι άρρητη ότν περιέχει ρίζ με μί τουλάχιστον μετλητή στο υπόριζο. 13. Τι ονομάζετι μονώνυμο κι πι τ μέρη πό τ οποί ποτελείτι; Ονομάζετι μονώνυμο μι λγερική πράστση στην οποί σημειώνετι μόνο η πράξη του πολλπλσισμού μετξύ ριθμού κι μις ή περισσοτέρων μετλητών. Σε έν μονώνυμο ο ριθμητικός πράγοντς που γράφετι πρώτος ονομάζετι συντελεστής του μονωνύμου, ενώ το γινόμενο όλων των μετλητών ονομάζετι κύριο μέρος του μονωνύμου. 14. Ποι μονώνυμ ονομάζοντι όμοι; Ονομάζοντι όμοι δύο ή περισσότερ μονώνυμ τ οποί έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Πως ορίζετι το άθροισμ ομοίων μονωνύμων; Το άθροισμ ομοίων μονωνύμων είνι έν μονώνυμο όμοιο με υτά που έχει συντελεστή το άθροισμ των συντελεστών τους. 15. Τι ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων; Ονομάζετι νγωγή ομοίων όρων η πρόσθεση ομοίων μονωνύμων. 16. Πως ορίζετι το γινόμενο μονωνύμων; Το γινόμενο μονωνύμων είνι έν μονώνυμο που έχει ως συντελεστή το γινόμενο των συντελεστών τους κι ως κύριο μέρος όλες τις μετλητές με εκθέτη σε κάθε μι το ά- θροισμ των εκθετών της. 17. Τι ονομάζετι πολυώνυμο; Ονομάζετι πολυώνυμο έν άθροισμ μονωνύμων τ οποί δεν είνι όμοι. 18. Τι ονομάζετι τυτότητ; Ονομάζετι τυτότητ κάθε ισότητ που περιέχει μετλητές κι επληθεύετι γι κάθε τιμή των μετλητών υτών. 19. Ν ποδείξετε τις τυτότητες: i. ( +) + + ii. ( ) + iii. ( + ) iv. ( ) v. ( )( + )

6 37 πόδειξη i. ( + ) ( + ) ( + ) ii. ( ) ( ) ( ) + + iii. ( a + ) 3 ( a + ) ( a + ) (a + a + ) ( a + ) a 3 + a + a + a + a + b 3 a 3 + 3a + 3a + 3 iv. ( ) 3 ( ) ( ) ( + ) ( ) 3 + a a v. ( ) ( + ) + 0. Τι ονομάζετι πργοντοποίηση; Ονομάζετι πργοντοποίηση ενός πολυωνύμου ή γενικότερ μις λγερικής πράστσης η διδικσί μεττροπής της πράστσης σε γινόμενο. 1. Τι ονομάζετι εξίσωση: ) 1 ου θμού ) ου θμού, με ένν άγνωστο ; Ονομάζετι εξίσωση πρώτου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής χ + 0 με 0. Ο λέγετι συντελεστής του γνώστου κι ο στθερός ( ή γνωστός ) όρος. Ρίζ της εξίσωσης ονομάζετι ο ριθμός που ν ντικτστήσει τον χ στην εξίσωση προκύπτει ισότητ που ληθεύει. πίλυση μις εξίσωσης πρώτου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τη λύση της. Ονομάζετι εξίσωση δευτέρου θμού με ένν άγνωστο κάθε ισότητ της μορφής χ + χ + γ 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. Οι ριθμοί κι ονομάζοντι συντελεστές του δευτεροθμίου κι πρωτοθμίου όρου ντίστοιχ κι ο ριθμός γ στθερός όρος. πίλυση μις εξίσωσης δευτέρου θμού λέγετι η διδικσί εκείνη με την οποί ρίσκουμε τις τιμές του χ που την επληθεύουν.. Ν ποδείξετε τον τύπο που δίνει την λύση της δευτεροάθμις εξίσωσης χ + χ +γ 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0. πόδειξη ι την πόδειξη του τύπου υτού θ εφρμόσουμε την μέθοδο «συμπλήρωσης τετργώνου» ι την εξίσωση λοιπόν χ + χ + γ 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς κι 0 έχουμε διδοχικά: χ + χ + γ 0(διιρούμε κι τ δύο μέλη της ισότητς με )

7 373 χ + χ + γ 0 γ χ + χ + 0 ( μετφορά όρου) χ + χ γ ( ημιουργί διπλάσιου γινομένου) χ + χ γ ( Πρόσθεση κι στ δύο μέλη του ) χ + χ + γ + (νάπτυγμ τετργώνου) χ + 4 4γ ( I ) Την πράστση 4γ ονομάζουμε δικρίνουσ κι την συμολίζουμε με. ν 0 πό την ( I ) έχουμε χ + χ + ± ή χ ± ή χ ± ν < 0 ή εξίσωση είνι δύντη φού είνι δύντον ν ισχύει η εξίσωση ( I ) πομένως οι λύσεις της εξίσωσης χ + χ + γ 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς ± κι 0 δίδοντι πό τον τύπο: χ 3. Πότε μί εξίσωση δευτέρου θμού: a. έχει δύο άνισες ρίζες; b. έχει μι διπλή ρίζ ; c. δεν έχει ρίζες; κι υπάρχουν μόνο εφ όσον 0 Η εξίσωση χ + χ + γ 0 με,, γ πργμτικούς ριθμούς, 0 κι δικρίνουσ 4γ: ± a. έχει δύο ρίζες άνισες που δίνοντι πό τον τύπο χ, ότν > 0 b. έχει δύο ρίζες ίσες που δίνοντι πό τον τύπο χ, ότν 0 c. δεν έχει ρίζες, ότν < 0

8 Τι ονομάζετι κλσμτική εξίσωση κι πότε ορίζετι υτή; Ονομάζετι κλσμτική εξίσωση, κάθε εξίσωση που περιέχει άγνωστο στον πρνομστή. ι ν ορίζετι μι κλσμτική εξίσωση, πρέπει οι πρνομστές των κλσμάτων της ν είνι διάφοροι του μηδενός. 5. Τι ονομάζετι Τρίγωνο κι ποι τ κύρι στοιχεί του; Ονομάζετι τρίγωνο το επίπεδο σχήμ που ορίζετι πό τρί μη συνευθεικά σημεί τ οποί συνδέοντι με ευθύγρμμ τμήμτ. Τ κύρι στοιχεί ενός τριγώνου είνι, οι πλευρές του κι οι γωνίες του Πλευρές του τριγώνου ονομάζοντι τ ευθύγρμμ τμήμτ που συνδέουν τις κορυφές του. ωνίες του τριγώνου ονομάζοντι οι γωνίες που ορίζοντι πό τις πλευρές του. γ 6. Ποι είνι τ είδη των τριγώνων ως προς τις πλευρές, κι ως προς τις γωνίες τους; Έν τρίγωνο που εξετάζετι ως προς τις πλευρές του λέγετι: σκληνό, ν οι πλευρές του είνι άνισες, ισοσκελές, ν δύο πλευρές του είνι ίσες, ισόπλευρο, ν κι οι τρεις πλευρές του είνι ίσες. σκληνό ισοσκελές ισόπλευρο Έν τρίγωνο που εξετάζετι ως προς τις γωνίες του λέγετι: οξυγώνιο, ν όλες του οι γωνίες είνι οξείες, ορθογώνιο, ν μί γωνί του είνι ορθή, οξυγώνιο ορθογώνιο μλυγώνιο, ν μί γωνί του είνι μλεί. >90 Ισογώνιο ν όλες οι γωνίες του είνι ίσες 7. Τι ονομάζετι διάμεσος, διχοτόμος, ύψος, τριγώνου. ιάμεσος ενός τριγώνου ονομάζετι το ευθύγρμμο τμήμ που συνδέει μι κορυφή του με το μέσο της πένντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διάμεσους που συμολίζοντι μ, μ, μ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι το ίδιο σημείο. μλυγώνιο μ ισογώνιο μ Κ μ γ Μ

9 375 Το σημείο τομής των διμέσων ενός τριγώνου ονομάζετι ρύκεντρο του τριγώνου. ιχοτόμος μις γωνίς ενός τριγώνου ονομάζετι το ευθύγρμμο τμήμ που συνδέει την κορυφή της γωνίς με την πένντι πλευρά κι διχοτομεί τη γωνί υτή. Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διχοτόμους που συμο- δ δ Ο δ γ λίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι πό το ίδιο σημείο. Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου ονομάζετι έγκεντρο του τριγώνου. Ύψος ενός τριγώνου ονομάζετι το ευθύγρμμο τμήμ που φέρετι πό μι κορυφή του προς την ευθεί της πένντι πλευράς. υ υ Η υ γ Κάθε τρίγωνο έχει τρί ύψη που συμολίζοντι δ, δ, δ γ ντίστοιχ κι διέρχοντι το ίδιο σημείο. Το σημείο τομής των υψών ενός τριγώνου ονομάζετι ορθόκεντρο του τριγώνου. 8. Πότε δύο τρίγων λέγοντι ίσ ; ύο τρίγων λέγοντι ίσ, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες κι τις ομόλογες πλευρές τους ( πλευρές πένντι πό ίσες γωνίες ) ίσες μί προς μί Έτσι ν τ τρίγων κι είνι ίσ τότε: ωνίες Ομόλογες πλευρές 9. Πότε δύο τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς τριγώνων) Κριτήριο (Π. Π. Π.) ύο τρίγων είνι ίσ, ότν οι τρεις πλευρές του ενός είνι ίσες με τις τρεις πλευρές του άλλου μί προς μί. Τ τρίγων κι έχουν

10 376 Κριτήριο ( Π.. Π. ) ύο τρίγων είνι ίσ ότν οι δύο πλευρές κι η περιεχόμενη σ υτές γωνί του ενός είνι ίσες με τις δύο πλευρές κι την περιεχόμενη σ υτές γωνί του άλλου ντίστοιχ. Τ τρίγων κι έχουν Κριτήριο (Π...) ύο τρίγων είνι ίσ, ότν η μί πλευρά κι οι προσκείμενες σ υτήν γωνίες του ενός είνι ίσες με την μί πλευρά κι τις προσκείμενες σ υτήν γωνίες του άλλου ντίστοιχ. Τ τρίγων κι έχουν 30. Πότε δύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ; ( Κριτήρι ισότητς ορθογωνίων τριγώνων ) ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν οι δύο κάθετες πλευρές του ενός είνι ίσες με τις δύο κάθετες πλευρές του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν : 90

11 377 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί κάθετη πλευρά του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μι κάθετη πλευρά του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν : 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευρά κι η προσκείμενη της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με τη μί κάθετη πλευρά κι την προσκείμενη της άλλου. οξεί γωνί του Τ τρίγων κι έχουν: 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η μί κάθετη πλευρά κι η πένντι της οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την μί κάθετη πλευρά κι την πένντι της οξεί γωνί του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν: 90 ύο ορθογώνι τρίγων είνι ίσ, ότν η υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του ενός είνι ίσες με την υποτείνουσ κι μί οξεί γωνί του άλλου. Τ τρίγων κι έχουν: 90

12 Ν ποδείξετε ότι ν πό το μέσο μις πλευράς ενός τριγώνου φέρουμε πράλληλη προς μί άλλη πλευρά του, υτή διέρχετι κι πό το μέσο της τρίτης πλευράς. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο κι το σημείο Μ μέσο της πλευράς του. πό το Μ φέρουμε πράλληλη προς την που τέμνει την στο σημείο Ν. Θ δείξουμε ότι Ν Ν. πό το σημείο φέρουμε μι οηθητική ευθεί ε //. Οι πράλληλες ευθείες ε, ΜΝ κι ορίζουν ίσ τμήμτ στην, άρ θ ορίζουν ίσ τμήμτ κι στην. πομένως Ν Ν. ε Μ Ν 3. Ν ποδείξετε ότι το ευθύγρμμο τμήμ που συνδέει τ μέσ δύο πλευρών ενός τριγώνου είνι πράλληλο προς την τρίτη πλευρά κι ίσο με το μισό της. πόδειξη Θεωρούμε τρίγωνο κι τ σημεί Μ, Ν μέσ των πλευρών του κι ντίστοιχ. Θ δείξουμε ότι ΜΝ // νωρίζουμε ότι η πράλληλη προς την πό το Μ, που είνι μέσο της, διέρχετι κι πό το μέσο Ν της. πομένως ΜΝ //. ν πό το Ν φέρουμε κι την ΝΡ //, το σημείο Ρ θ είνι μέσο της, δηλδή θ είνι Ρ. φού όμως έχουμε ΜΝ // κι ΝΡ //, το τετράπλευρο ΜΝΡ είνι πρλληλόγρμμο κι επομένως ΜΝ // Ρ. 33. Ν διτυπώσετε το θεώρημ του Θλή κι την πρότση που προκύπτει πό υτό γι έν τρίγωνο. Μ Ρ δ Ν ζ Ότν πράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, τότε τ τμήμτ που ορίζοντι στη μι είνι νάλογ προς τ ντίστοιχ τμήμτ της άλλης. ε 1 ε ηλδή ε 3

13 379 Κάθε πράλληλη προς μι πλευρά τριγώνου χω- ρίζει τις άλλες πλευρές του, σε ίσους λόγους. ηλδή 35. Πότε δύο πολύγων λέγοντι όμοι; ύο πολύγων λέγοντι όμοι, ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί προς μί κι τις πλευρές τους νάλογες. Έτσι τ πολύγων κι ΟΚΛΜΝ ονομάζοντι όμοι ότν: Ο Ν Ο, Κ, Λ, Μ, Ν Μ κι λ ΟΚ ΚΛ ΛΜ ΜΝ ΝΟ Κ Λ 36. Ποιες προτάσεις προκύπτουν πό τον ορισμό της ομοιότητ δύο πολυγώνων; πό τον ορισμό της ομοιότητς δύο πολυγώνων προκύπτουν οι επόμενες προτάσεις. ύο κνονικά πολύγων με τον ίδιο ριθμό πλευρών είνι όμοι μετξύ τους. ύο ίσ πολύγων είνι κι όμοι, με λόγο ομοιότητς 1. Κάθε πολύγωνο είνι όμοιο με τον ευτό του. ύο πολύγων όμοι προς τρίτο είνι κι όμοι μετξύ τους. 37. Πότε δύο τρίγων λέγοντι όμοι; ύο τρίγων λέγοντι όμοι ότν έχουν τις γωνίες τους ίσες μί προς μί κι τις ομόλογες (ντίστοιχες ) πλευρές τους νάλογες. ηλδή ν, τότε,, κι Ο λόγος των ντιστοίχων (ομολόγων) πλευρών τους ονομάζετι λόγος ομοιότητς κι συμολίζετι με λ.

14 Πότε δύο τρίγων είνι όμοι; ( Κριτήρι ομοιότητς τριγώνων) 1 ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όμοι, ότν δύο γωνίες του ενός είνι ίσες με δύο γωνίες του άλλου μί προς μί. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν κι, τότε κι επομένως κι ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όμοι, ότν μί γωνί του ε- νός είνι ίση με μί γωνί του άλλου κι οι πλευρές τους που περιέχουν τις ίσες γωνίες είνι νάλογες. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν κι, τότε., κι επομένως κι 3 ο Κριτήριο ύο τρίγων είνι όμοι, ότν οι πλευρές του ενός είνι νάλογες με τις πλευρές του άλλου. ν δηλδή τ τρίγων κι έχουν, τότε. κι επομένως, κι

15 Ποι θεωρήμτ νφέροντι στο λόγο των εμδών δύο ομοίων σχημάτων κι στο λόγο των όγκων δύο ομοίων στερεών σχημάτων; Ο λόγος των εμδών δύο ομοίων σχημάτων είνι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητς τους. Ο λόγος των όγκων δύο ομοίων στερεών σχημάτων είνι ίσος με τον κύο του λόγου ομοιότητς τους. 40. Πως ορίζοντι οι τριγωνομετρικοί ριθμοί μις οποισδήποτε γωνίς; Έστω ω ( 0 ω 360 )η γωνί που πράγετι πό τον ημιάξον Οχ, ότν υτός στρφεί κτά τη θετική φορά. ν πάρουμε έν οποιοδήποτε σημείο Μ( χ, ψ ) με χομ ω κι ΟΜ ρ τότε ορίζουμε: ψ ημω ρ χ συνω ρ χ Μ ( χ, ψ) ψ εφω χ ψ Το ημω κι συνω πίρνουν τιμές πό το 1 έως το +1. ρ ψ ω Ο χ ίνι δηλδή 1 ημω 1 κι 1 συνω 1 Η εφω πίρνει οποιδήποτε τιμή. ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 1 ο τετρτημόριο, τότε ημω> 0, συνω>0, εφω>0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο ο τετρτημόριο, τότε ημω> 0, συνω<0, εφω<0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 3 ο τετρτημόριο, τότε ημω< 0, συνω<0, εφω>0 ν το Μ(χ, ψ) ρίσκετι στο 4 ο τετρτημόριο, τότε ημω< 0, συνω>0, εφω<0 41. Ν ποδείξετε ότι γι μι οποιδήποτε γωνί ω ισχύουν οι τύποι: ημω a. ημ ω +συν ω 1 κι b. εφω συνω a. πόδειξη ψ χ ( ) ( ) ψ χ ημ ω + συν ω + + ρ ρ ρ ρ ψ +χ ψ + χ Ο +Ο ρ ρ ρ Μ +Ο ΟΜ ρ 1 ρ ρ ρ χ Μ ( χ, ψ) ( χ ) ρ ψ ( ψ ) Ο ψ ω χ

16 38 b. πόδειξη ψ ημω ρ ψ ρ ψ εφω συνω χ χ ρ χ ρ 4. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των ημιτόνων. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: γ ημ ημ ημγ πόδειξη Έστω τρίγωνο κι το ύψος του ( ) Στο Στο ( 90 ): ( 90 ): ημ ημ ( 1) ημ ημ ( ) πό ( 1 ), ( ) ημ ημ ( 3 ) ημ ημ γ γ Όμοι ποδεικνύουμε ότι ημ ημ ( 4 ) πό ( 3 ), ( 4 ) γ ημ ημ ημ 43. Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε τον νόμο των συνημιτόνων. Σε κάθε τρίγωνο ισχύει: + γ γσυν πόδειξη Έστω τρίγωνο κι το ύψος του ( ) Θ δείξουμε ότι + γ γσυν. Στο ( 90 ): συν συν ( 1 ) Στο ( 90 ): γ + + ( γ ) + γ γ + + γ γ ( ) πό την ( 1 ) η ( ) γίνετι + γ γσυν