ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ΦΥΕ 10-3 η. Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα. Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού.

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ - 3 η ΟΣΣ Όριο - Συνέχεια - Παράγωγος - Ακρότατα Βασικά θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Ανάπτυγμα Taylr Ολοκληρώματα τεχνικές ολοκλήρωσης ΟΔΠ -

2 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Α) Όριο συνάρτησης σε ένα σημείο Έστω f :D, όπου D=(α,β) με (α,β) ή D= ( α, ) (,β) Ορισμός (κλασσικός ε,δ ορισμός) Η συνάρτηση f έχει όριο την τιμή L για (του τείνοντος στο ) και θα το συμβολίζουμε με lim f()=l όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > (το οποίο εξαρτάται από το ε), για το οποίο: αν - < δ, τότε f()- L < ε Δηλαδή όταν τα πλησιάζουν το σημείο (σε απόσταση μικρότερη από δ, το οποίο πρέπει να υπολογίσουμε), τότε οι εικόνες y = f() πλησιάζουν τον αριθμό L(σε απόσταση μικρότερη από ε, για κάθε δοσμένο ε). (σχήμα ) Σχήμα

3 Παρατήρηση (α) Η συνάρτηση f δεν είναι απαραίτητο να είναι ορισμένη στο σημείο. Ακόμα, αν η f είναι ορισμένη στο σημείο, τότε η τιμή f( ) δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτει με το όριο L, δηλαδή f( ) L εν γένει (σχήμα ). Σχήμα Σχήμα 3 (β) Όταν το lim f() υπάρχει είναι και μοναδικό. (γ) Όταν το πλησιάζει το σημείο από τιμές μικρότερες του δηλαδή < (συμβ. _ ), τότε το - lim f() καλείται αριστερό πλευρικό όριο της συνάρτησης f στο σημείο. Ανάλογα, όταν το πλησιάζει το σημείο από τιμές μεγαλύτερες του δηλαδή > (συμβ. + ), τότε το + lim f() καλείται δεξιό πλευρικό όριο της συνάρτησης f στο σημείο. Τα πλευρικά όρια μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο, δεν είναι απαραίτητο να συμπίπτουν (σχήμα 3). Το lim f() υπάρχει τότε και μόνον τότε όταν υπάρχουν τα πλευρικά όρια της συνάρτησης f στο σημείο είναι ίσα: lim f()=l lim f()= lim f()=l - + Δηλαδή το lim f() είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο με τον οποίο πλησιάζουμε το σημείο. 3

4 Εφαρμογή (ε,δ, ορισμός) Να βρεθεί το όριο lim (3-) (ή Να δείξετε ότι το lim (3-)=). Λύση Έστω ότι μας δίνεται ε >. Θα πρέπει να υπάρχει δ(ε) > (το οποίο δ πρέπει να υπολογίσουμε), τέτοιο ώστε να ισχύει η πρόταση: αν < δ, τότε (3 ) < ε ε Αλλά, (3 ) = 3 3 = 3, οπότε εάν θεωρήσουμε ότι δ=, τότε: 3 ε (3 ) = 3 3 = 3 < 3 δ = 3 = ε 3 Ιδιότητες του ορίου Εάν f,g,h είναι συναρτήσεις των οποίων υπάρχει το όριο στο σημείο, τότε: (α) lim ( c f() ) = c lim f(), c. Ειδικότερα lim c = c (β) lim ( f() ± g() ) = lim f() ± lim g() (γ) lim ( f() g() ) (δ) f() = lim f() lim g() lim g(), εάν lim g() = lim f() lim g() n n * (ε) ( ) ( ) lim f() = lim f(), n Ειδικότερα lim n = n (στ) = όταν f() n lim f() n lim f() (ζ) (ισοσυγκλίνουσες συναρτήσεις) Εάν ισχύει: h() f() g() και (η) Εάν η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση, τότε: lim f() = f( ) lim h() = lim g()=l τότε lim f()=l 4

5 Παρατήρηση Στον ε,δ, ορισμό για τον υπολογισμού του ορίου θα πρέπει να ξέρουμε το όριο L εκ των προτέρων. Ακόμα, θα πρέπει για κάθε δοσμένο ε να υπολογίσουμε ένα δ έτσι ώστε να ισχύουν οι δύο ανισότητες του ορισμού (πράγμα όχι εύκολο, τις περισσότερες φορές). Όταν λοιπόν θέλουμε να υπολογίσουμε το lim f() δεν χρησιμοποιούμε (κατ αρχάς) τον ε,δ ορισμό, αλλά προσπαθούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα από τα ακόλουθα: ) Αντικαθιστούμε το με στον τύπο της f(). Εάν το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι ένας πεπερασμένος αριθμός Α, τότε ενδέχεται το Α να είναι το όριο της f() στο, δηλαδή: lim f() = A (για να είμαστε μαθηματικά σωστοί και αυστηροί, θα πρέπει να αποδείξουμε - με την βοήθεια του ε,δ ορισμού - ότι όντως το όριο που βρήκαμε είναι το «σωστό», πράγμα το οποίο τις περισσότερες φορές παραλείπεται). Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια: (α) lim ( 4 +3-) Λύση lim = 44 3 (α) ( ) 3 (β) lim + 4 = (β) lim = = =

6 ) (α) Προσπαθούμε να κάνουμε κάποιο είδος παραγοντοποίησης ή να χρησιμοποιήσουμε κάποια από τις γνωστές ταυτότητες. Εφαρμογή Να υπολογίσετε τα όρια: (α) Λύση (α) 3 lim sin (β) lim cs 3 ( )( + + ) lim = lim = lim( + + ) = 3 (β) sin cs ( cs )( + cs ) ( ) lim = lim = lim = lim + cs cs cs cs = + cs= + = (β) Εάν η συνάρτηση είναι ρητή (κλάσμα) και περιέχει ριζικά, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με την συζυγή παράσταση (αριθμητή ή παρονομαστή, ανάλογα με το που υπάρχουν τα ριζικά). Εφαρμογή Να υπολογιστεί, αν υπάρχει, το όριο: Λύση lim + 3 Πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας με την συζυγή παράσταση του αριθμητή έχουμε: 6

7 ( + + ) ( + + ) ( + + ) ( + + ) lim = lim = lim = = lim = lim = 3 3 ( ) = lim = lim = = ) Χρησιμοποιούμε οτιδήποτε άλλο κρίνουμε αναγκαίο. Π.χ. το θεώρημα των ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων, π π θεωρήματα από την άλγεβρα (όπως sin tan,, ) sin το όριο μερικών «βασικών» συναρτήσεων (όπως π.χ. lim = ) που έχουμε υπολογίσει με τον ε,δ ορισμό. Εφαρμογή sin Το lim = (είναι βασικό και) μας βοηθά να υπολογίσουμε το όριο συναρτήσεων που περιέχουν τριγωνομετρικές συναρτήσεις sin5 sin5 u= 5 sin u lim = 5 lim = 5 lim = 5 5 u u 7

8 (Β) Όριο της συνάρτησης στο άπειρο (πεπερασμένο) () Θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο την τιμή L για + (του τείνοντος στο συν άπειρο) και θα το συμβολίζουμε με lim f()=l, όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > (το οποίο εξαρτάται από το ε), για το + οποίο: αν >δ τότε: f()-l < ε Δηλαδή όταν τα γίνονται μεγάλα (μεγαλύτερα από ένα δ, το οποίο δ πρέπει να υπολογίσουμε), τότε οι εικόνες y=f() πλησιάζουν τον αριθμό L (σε απόσταση μικρότερη από ε, για κάθε δοσμένο ε). (σχήμα 4) Σχήμα 4 Σχήμα 5 () Όριο της συνάρτησης στο άπειρο (άπειρο) Θα λέμε ότι η συνάρτηση f έχει όριο το +, για + (του τείνοντος στο συν άπειρο) και θα το συμβολίζουμε με lim f()=+ όταν για κάθε ε > υπάρχει δ > (το οποίο εξαρτάται από το ε), για το + οποίο αν >δ τότε: f() >ε 8 Δηλαδή όταν τα γίνονται μεγάλα (μεγαλύτερα από ένα δ, το οποίο δ πρέπει να υπολογίσουμε), τότε οι εικόνες y = f() γίνονται μεγάλες (μεγαλύτερες από ε, για κάθε δοσμένο ε). (σχήμα 5)

9 Εφαρμογές (I) Όριο πολυωνυμικής Πρόταση Το όριο, του τείνοντος στο ± ( ± ) μιας πολυωνυμικής συνάρτησης f()=α +α α +α,α n n- n n- n είναι ίσο με το όριο του μεγιστοβάθμιου όρου της, δηλαδή lim ( α n n- ) ( n n +αn α+α = lim αn ) Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο: lim ( 4 +3-) Λύση + ± ( ) ( ) ( ) lim = lim 4 = 4 lim = 4 + = ± (II) Όριο ρητής συνάρτησης P() Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο μιας ρητής συνάρτησης, δηλαδή το lim ± Q() του, τότε είναι εύκολο να δει κανείς ότι θα ισχύει: όπου P(), Q() είναι πολυώνυμα. Αν ο βαθμός (P()) > του βαθμού (Q()) ισχύει P() lim = ± (εξαρτάται από το πρόσημο των συντελεστών των μεγιστοβάθμιων όρων)) Q() ± P(). Αν ο βαθμός (P()) < του βαθμού (Q()) ισχύει lim = ± Q() 9

10 3. Αν ο βαθμός (P()) = του βαθμού (Q()) ισχύει P() lim Q() ± = πηλίκο συντελεστών μεγιστοβάθμιων όρων Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα όρια των συναρτήσεων. (α) 4-3- lim (β) +5 4 lim (γ) lim (δ) lim Λύση (α) lim = lim = lim =+ (β) lim = lim = lim = (γ) lim = lim = (δ) lim 4 3 lim ( 4 3 ) lim ( 4 ) + + = + + = =+

11 (ΙΙΙ) Όριο ριζικών Εφαρμογή Για το όριο της μορφής lim ( ) + - παράστασης, οπότε: + πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τον συζυγή της ( ) + + ( +-)( + +) ( ++) ( +) - lim + - = lim = +- = lim = lim = lim = lim = = lim = lim = lim = =

12 Συνέχεια συνάρτησης Μια συνάρτηση f() καλείται συνεχής στο σημείο αν ισχύει lim f()=f( ) (α) η συνάρτηση f() να ορίζεται στο σημείο, άρα θα υπάρχει η τιμή f( ) (β) να υπάρχει το όριο lim f() (γ) τα (α) και (β) θα πρέπει να είναι ίσα (σχήμα 6) Δηλαδή θα πρέπει: Σχήμα 6 Σχήμα 7 Μια συνάρτηση καλείται συνεχής, αν είναι συνεχής σε κάθε σημείο. Παρατήρηση () Μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο, εάν συμβαίνει ένα από τα παρακάτω (α) υπάρχει το lim f() αλλά είναι διάφορο από την τιμή της συνάρτησης f στο σημείο (δηλαδή lim f() f( ) ). Η ασυνέχεια αυτή καλείται ασυνέχεια πρώτου είδους (ή αιρούμενη ασυνέχεια γιατί ορίζοντας την τιμή της συνάρτησης f κατάλληλα στο σημείο, η συνάρτηση γίνεται συνεχής). (σχήμα 7) (β) δεν υπάρχει το lim f(). Η ασυνέχεια αυτή καλείται ασυνέχεια δεύτερου είδους (σχήμα 3).

13 () Εάν υπάρχει το αριστερό πλευρικό όριο της συνάρτησης f στο σημείο και είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο (δηλαδή lim f()=f( - ) ), τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι αριστερά συνεχής στο σημείο. Ανάλογα, εάν υπάρχει το δεξιό πλευρικό όριο της συνάρτησης f στο σημείο και είναι ίσο με την τιμή της συνάρτησης στο σημείο (δηλαδή lim f()=f( + ) ), τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι δεξιά συνεχής στο σημείο. (3) Εάν η συνάρτηση f ορίζεται στο κλειστό διάστημα [α,β], λέμε ότι είναι συνεχής στο [α,β] εάν: (i) είναι συνεχής σε κάθε σημείο (α, β), (ii) είναι δεξιά συνεχής στο σημείο α και (iii) αριστερά συνεχής στο σημείο β. (4) (ε,δ, ορισμός συνέχειας). Λέμε ότι η συνάρτηση f() καλείται συνεχής στο σημείο αν ισχύει: lim f()=f( ) Δηλαδή εάν για κάθε ε > υπάρχει δ > - < δ τότε f()-f( ) < ε (το οποίο εξαρτάται από το ε), για το οποίο: αν Ο ορισμός είναι δύσχρηστος και σπάνια χρησιμοποιείται. Αντί γι αυτόν χρησιμοποιείται η επόμενη πρόταση και η συνέχεια μερικών βασικών (γνωστών) συναρτήσεων. 3

14 Ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων () Εάν f,g είναι συνεχείς συναρτήσεις στο σημείο, τότε είναι συνεχείς και οι συναρτήσεις (α) f ± g (β) α f, α (γ) f g (ε) η n f() όταν f() (δ) f g όταν ( ) g () Εάν η f είναι συνεχής στο gf είναι συνεχής στο και η g είναι συνεχής στο σημείο ( ) n (3) Η συνάρτηση f( ) =, n είναι συνεχής σε κάθε σημείο. Επομένως: f, τότε η και σύνθεσή τους (α) Μιά πολυωνυμική συνάρτηση σημείο. f()=α +α α +α,α είναι συνεχής σε κάθε n n- n n- n (β) Μιά ρητή συνάρτηση P() f()= Q(), όπου P(),Q() είναι πολυώνυμα του, είναι συνεχής (σαν πηλίκο συνεχών συναρτήσεων) σε κάθε σημείο σημείο που δεν μηδενίζει τον παρονομαστή της). του πεδίου ορισμού της (δηλαδή σε κάθε (4) Οι συναρτήσεις sin, cs, e, ln είναι συνεχείς σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού τους 4

15 Εφαρμογή Να βρείτε τις τιμές των πραγματικών αριθμών, α,β ώστε η συνάρτηση f, με τύπο: π -sin+, - π π f()= αsin+β-, - < < π cs +, να είναι συνεχής στο. Λύση π H συνάρτηση f για < - είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Είναι συνεχής, π π π ομοίως, και για - << όπως και για >. Άρα, για να είναι συνεχής στο, πρέπει να είναι και συνεχής και στα σημεία π/ και - π/. Για είναι συνεχής στο π/ και στο - π/ πρέπει: π lim f() = lim f() = f και π lim f() = lim f() = f π π π π άρα 5

16 π limf ( ) = lim( -sin + ) = -sin = += 3 π π - - π lim f ( ) = lim ( αsin + β -) =αsin - + β -=-α + β π π - - αρα ( ) - α + β -=3 -α + β =5 Α Από Α και Β έχουμε το σύστημα π lim f ( ) = lim( αsin + β -) =αsin β -=α + β - π π π lim f ( ) = lim( cs + ) = cs + = + + π π αρα α + β -= α + β =3 B ( ) -α + β =5 α + β =3 β =8 β =4 αρα α =- 6

17 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Θεώρημα (Blzan) Εάν f :[α,β] μιά συνεχής συνάρτηση και f(α) f(β)<, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο (α,β) τέτοιο ώστε f( ) = (δηλαδή η εξίσωση f()= έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β) ). (σχήμα 8) Σχήμα 8 7

18 Εφαρμογή 5 Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση +- 4= έχει μια τουλάχιστον (πραγματική) ρίζα στο διάστημα (,). Λύση 5 Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) = + - 4, η οποία σαν πολυωνυμική είναι συνεχής στο διάστημα 5 f( ) = = - [,]. Ακόμα: f() f( ) 5 < f( ) = + - 4= Οπότε, από το θεώρημα (Blzan) έπεται ότι η εξίσωση f( ) = + - 4= έχει μια τουλάχιστον (πραγματική) ρίζα στο διάστημα (,) (το ποιά είναι ακριβώς η ρίζα είναι ίσως δύσκολο να υπολογιστεί). Παρατήρηση Το παραπάνω θεώρημα μπορεί να χρησιμοποιηθεί επαναληπτικά, για τον προσεγγιστικό προσδιορισμό της ρίζας. 5 Π.χ. ( ) ( ) ( ) f,5 =,5 +,5-4 5,84 f f,5 <. Οπότε η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης βρίσκεται στο διάστημα (,,5) κ.ο.κ. 8

19 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Η συνάρτηση f : έχει παράγωγο ή είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = το όριο: f( )=lim το οποίο καλείται παράγωγος της f στο σημείο. f()-f( ) - όταν υπάρχει Πολλές φορές γράφουμε df ( ) d αντί για f( ). Το όριο: f()=lim + + f()-f( ) - ονομάζεται δεξιά (πλευρική) παράγωγος της f στο σημείο f()-f( ) f( - )=lim- - ονομάζεται αριστερή (πλευρική) παράγωγος της f στο σημείο = ενώ το όριο: =. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο σημείο όρια υπάρχουν και είναι ίσα. =, αν και μόνον αν τα παραπάνω πλευρικά 9

20 Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου Η παράγωγος της συνάρτησης f() στο σημείο εφαπτομένης στο σημείο ( ),f() (δηλαδή είναι ίση με την κλίση λ= tanθ της ' f() = λ = tanθ ) (θ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f() στο σημείο με τον άξονα των ). Η εξίσωση της εφαπτομένης της f() στο σημείο ( ) όπου f( )= κλίση της εφαπτομένης. y-f( )=f ( )(- ),f() δίνεται από τη σχέση :

21 Εφαρμογή Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=cs στο σημείο τους άξονες τρίγωνο εμβαδού Λύση π Έχουμε f()=cs, άρα η εφαπτομένη στο σημείο 8 π A, έχει εξίσωση : π A, έχει εφαπτομένη που σχηματίζει με π π y- = f - Αλλά π π π f () = -sin f = -sin f ) = και η εφαπτομένη γίνεται π π y = - - =-+ η οποία τέμνει τον άξονα των y στο σημείο B, π Το τρίγωνο ΑΟΒ που σχηματίζεται έχει εμβαδόν π π π E Δ = OA OB= = AOB 8

22 Πρόταση (κανόνες παραγώγισης) Εάν οι συναρτήσεις f,g :[ α,β] είναι παραγωγίσιμες σε ένα σημείο = (εσωτερικό του f διαστήματος [α,β]), τότε και οι συναρτήσεις f+g, f-g, f g, (με g( ) ) είναι g παραγωγίσιμες στο σημείο = και ισχύουν οι παρακάτω κανόνες: (α) (αθροίσματος) ( ) ' ' ' f+g ( )=f ( )+g ( ) (β) (διαφοράς) ( ) ' ' ' f-g ( )=f ( )-g ( ) (γ) (γινομένου) ( ) ' ' ' (δ) (πηλίκου) Ορισμός ης παραγώγου f g ( )=f ( ) g( )+f( ) g ( ) ' f ( )= g g ( ) ' ' f() g( )-f( ) g ( ) Η δεύτερη παράγωγος της f στο σημείο ορίζεται σαν : ' ( ) f( )= f() ή = df d df() ( )= d d d = Ανάλογα ορίζεται και η παράγωγος ανώτερης (της ης ) τάξης.

23 Πρόταση (κανόνας αλυσίδας ή σύνθετη παραγώγιση) Εάν f: [ α,β] είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη σε ένα σημείο = διαστήματος [α,β]) και η g: [ γ,δ] (έστω ότι f ([ α,β] ) [ γ,δ] z = f( ). Τότε η σύνθεσή τους g f :[ α,β] ( ) ' ' ' g f ( ) = g (f( )) f ( ) (εσωτερικό του ) είναι παραγωγίσιμη στο σημείο είναι παραγωγίσιμη στο σημείο = και ισχύει: = δεν χρειάζεται η γνώση των συναρτήσεων f και g που την ορίζουν (και ιδιαίτερα της g), αλλά μόνον η Για την παράγωγο δηλαδή της σύνθετης συνάρτησης ( gf )()=g(f()) σ ένα σημείο γνώση των τριών αριθμών: f(), f(), g (z ) όπου z = f( ). ' ' Παράδειγμα ο 3 Εάν g(y)=y +, y = f()=. Να υπολογιστεί η παράγωγος της συνάρτησης h()=g(f()). Λύση ος τρόπος: βρίσκουμε την σύνθετη συνάρτηση και μετά την παραγωγίζουμε ( ) ος τρόπος: εφαρμόζουμε τον κανόνα της αλυσίδας h()=g(f())= g = + h ()= 3 6 ' 5 h ()=g (y) f ()= 4y 3 = = ' ' ' 3 5 y=f() Παράδειγμα ο Εάν φ() h()=e τότε (ανάλογα) ' ' φ() h()=φ () e. 3

24 Συνέχεια και παραγωγισιμότητα Εάν μια συνάρτηση f : είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =, τότε είναι και συνεχής στο σημείο =. Παρατήρηση Εάν μια συνάρτηση f : είναι συνεχής σε ένα σημείο =, τότε δεν έπεται (απαραίτητα) ότι είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο =. Π.χ η συνάρτηση - < f()= = είναι συνεχής στο σημείο = γιατί lim f()= lim (-)= lim f()==f() lim f()= lim ()= + Η συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη όμως στο σημείο =, γιατί: f()-f() - f + ()= lim = lim = f + () f -() f()-f() -- f()=lim - =lim = f() 4

25 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Έστω ότι η συνάρτηση f ορίζεται σ ένα σύνολο Α. Η f καλείται γνήσια αύξουσα εάν, A, < f < f. ( ) ( ) Εάν, A, < f( ) f( ), η f καλείται αύξουσα. Ανάλογα, η f καλείται γνήσια φθίνουσα εάν, A, < f( ) f( ) Εάν, A, < f( ) > f( ), η f καλείται φθίνουσα.. Θεώρημα Έστω ότι η συνάρτηση f: [ α,β] είναι συνεχής. Τότε: Αν f()> (α,β) τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ α,β ]. Αν f() < (α,β) τότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ α,β ]. 5

26 Παράδειγμα Για τα διαστήματα μονοτονίας τη συνάρτησης: 3 f() = Έχουμε ' f () = = Και ' = - f () = = 6( + -) = + -= =

27 ΣΤΑΣΙΜΑ, ΚΡΙΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΜΕΓΙΣΤΑ, ΕΛΑΧΙΣΤΑ, ΑΚΡΟΤΑΤΑ Έστω ότι η συνάρτηση f: [ α,β] είναι συνεχής. Τότε:. Αν (-δ, +δ), f( ) f() τότε το καλείται τοπικό μέγιστο της f. -δ +δ Αν [α,β], f( ) f() τότε το καλείται ολικό μέγιστο της f.. Αν (-δ, +δ), f( ) f() τότε το καλείται τοπικό ελάχιστο της f. -δ +δ Αν [α,β], f( ) f() τότε το καλείται ολικό ελάχιστο της f. 3. Τα τοπικά μέγιστα και τα τοπικά ελάχιστα της f καλούνται τοπικά ακρότατα. 7

28 Παράδειγμα Να βρεθούν τα ακρότατα (εφ όσον υπάρχουν) της συνάρτησης f() = (3-ln) Λύση Κατ αρχάς το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα (, + )(ο ln ορίζεται για > ) Επίσης f () = (3-ln)+ (3-ln) = 3-ln+ (- ) =-ln και ' f () = -ln = ln = = e ' ' ' e + ' f() = -ln + - f() = (3-ln) Δηλαδή το σημείο = e είναι σημείο (ολικού) μεγίστου

29 Θεώρημα (Fermat) Αν η f: [ α,β] είναι παραγωγίσισμη και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο ( α,β) Παρατήρηση Αν f( ) = δεν συνεπάγεται (απαραίτητα) ότι το είναι σημείο ακρότατου. π.χ εάν 3 f()=,f()=3, f()= και το σημείο = δεν είναι ούτε τοπικό μέγιστο, ούτε τοπικό ελάχιστο., τότε f( ) =. Ορισμός. Αν ( α,β) είναι τέτοιο ώστε f( )=, το καλείται στάσιμο σημείο της f. α,β είναι είτε στάσιμο σημείο είτε δεν υπάρχει η f( ), τότε το καλείται κρίσιμο σημείο 9 της f.. Αν ( )

30 Εύρεση Ακρότατων (κριτήριο ης Παραγώγου) Αν η f: [ α,β] και ( α,β) τέτοιο ώστε f( ) = ( το είναι στάσιμο σημείο) αν f( )>τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο ίσο με το f( ) αν f( )<τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο ίσο με το f( ). Παράδειγμα (συνέχεια) Για την συνάρτηση f() = (3-ln) είδαμε Ακόμα ' f () = -ln = ln = =e '' f () = - < (γιατί > ) άρα και '' f(e)= - < e Δηλαδή το σημείο ολικού μεγίστου. = e είναι σημείο τοπικού μεγίστου, το οποίο όπως είδαμε, είναι και σημείο 3

31 ΚΟΙΛΗ-ΚΥΡΤΗ ΚΑΜΠΥΛΗ Θεώρημα Αν η f: [ α,β] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη τότε αν f()>, ( α,β ) τότε η f είναι κυρτή στο [ α,β ] (στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω) κυρτή συνάρτηση κοίλη συνάρτηση αν f() <, ( α,β ) τότε η f είναι κοίλη στο [ α,β ] (στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω) Σημείο καμπής Ένα σημείο ( α,β ). δεν υπάρχει η f( ) καλείται σημείο καμπής της f() αν συμβαίνει ένα από τα : (υπάρχει όμως η εφαπτομένη στο σημείο ( ). η f είναι κυρτή στο ( α, ] και κοίλη στο [ ),β ή αντίστροφα,f( ) ) Θεώρημα Αν ( ) f και το = σημείο καμπής f( ) = 3

32 Παράδειγμα (συνέχεια) Για την συνάρτηση: 3 f() = Είδαμε: ' f () = οπότε '' f () =+ 6 = = - Δηλαδή το σημείο = - είναι σημείο καμπής 3

33 Παρατήρηση (α) Από το θεώρημα γίνεται φανερό ότι τα σημεία καμπής της f() βρίσκονται ανάμεσα στις ρίζες της f () =. (β) Εάν Π.χ. εάν f( ) = τότε δεν συνεπάγεται ότι το είναι (απαραίτητα) σημείο καμπής. 4 ' 3 '' ' '' f() =,f () = 4, f () =, f ()= f ()= και το σημείο = δεν είναι σημείο καμπής (η συνάρτηση είναι κυρτή δεξιά και αριστερά του ). 33

34 Παράδειγμα Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, κυρτότητας, τα ακρότατα και τα σημεία καμπής της συνάρτησης 4 f() = -. Λύση Έχουμε η f() τέμνει τον άξονα των στα σημεία 4 - = ( -) = =, = & =-. η συνάρτηση f() είναι άρτια δηλαδή f()= f(-) είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα των y., που σημαίνει ότι το γράφημα της Ακόμα έχουμε ( ) ' Επίσης, f() =, f(-) = -= f() Κατασκευάζουμε τον πίνακα ' 4 3 f () = = 4( -)= =, =, =- =. 34

35 ' f() f() τοπικό ελάχιστο τοπικό μέγιστο τοπικό ελάχιστο Άρα η f() έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο = και τοπικά ελάχιστα στα σημεία = και = - Ακόμα '' f ()= 4 = 4( 3 ) = = = ή = Κατασκευάζουμε τον πίνακα 35

36 3 3 '' f() f() Βλέπουμε δηλαδή ότι τα σημεία σημείο καμπής =, = σημείο καμπής είναι σημεία καμπής. = ακρότατα / τοπικό μέγιστο στο = και τοπικά ελάχιστα στα σημεία = και =-. = σημεία καμπής =, =

37 Συνεχής συνάρτηση σε κλειστό διάστημα, μέγιστο & ελάχιστο Θεώρημα Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα [ ] ελάχιστο στο [ α,β ]. α,β, τότε η f έχει πάντα (ολικό) μέγιστο και (ολικό) Το μέγιστο ή ελάχιστο είναι (υποθέτουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α,β)): είτε σε ένα από τα στάσιμα σημεία (δηλαδή τις ρίζες της f()= ) είτε στα άκρα του διαστήματος. Βρίσκουμε λοιπόν τις τιμές της f() στα στάσιμα σημεία και τα άκρα του διαστήματος. Η μεγαλύτερη τιμή από αυτές είναι το μέγιστο και η μικρότερη το ελάχιστο. Εφαρμογή 3 Βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο (ολικά) της συνάρτησης f()= στο κλειστό διάστημα [, 5]. Λύση Η f είναι συνεχής στο κλειστό διάσημα [, 5], άρα έχει οπωσδήποτε (ολικό) μέγιστο και (ολικό) ελάχιστο τα οποία είναι είτε στα ακρότατα είτε στα άκρα του διαστήματος [, 5]. Για τα ακρότατα: ( ) ' ' 3 f ()= =6-3+36=6(-)(-3)= = ή =3 Υπολογίζοντας τις τιμές της f() στα σημεία και 3 και στα άκρα του διαστήματος και 5: 3 f()= = 3 3 f(3)= = 7 3 f()= = 8 3 f(5)= = 55 Η μέγιστη τιμή είναι 55 που συμβαίνει στο σημείο =5 και η ελάχιστη τιμή είναι 3 που συμβαίνει στο σημείο =. Άρα έχουμε μέγιστο στο σημείο 5 (άκρο διαστήματος) και ελάχιστο στο σημείο (άκρο διαστήματος). 37

38 Θεώρημα Μέσης Τιμής (Θ.Μ.Τ.) Έστω f: [ α,β] μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: (I) η f είναι συνεχής στο διάστημα [ α,β ] Τότε υπάρχει ένα σημείο ξ ( α,β) τέτοιο ώστε f(β)-f(α) f(ξ)=. β-α (II) η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ) Γεωμετρική Ερμηνεία του Θ.Μ.Τ. Εάν θεωρήσουμε τα σημεία A(α,f(α)), B(β,f(β)) τότε, το Θ.Μ.Τ. αναφέρει ότι, υπάρχει ένα (τουλάχιστον) σημείο (ξ,f(ξ)) της γραφικής f(β)-f(α) παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία που περνά από τα σημεία Α,Β (η οποία έχει κλίση λ= ). β-α Εφαρμογή Να βρεθεί το ξ του Θ.Μ.Τ. για τη συνάρτηση f()= +- για α= και β= Λύση Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο [, ], παραγωγίσιμη στο (, ), άρα από το Θ.Μ.Τ. υπάρχει κάποιο ξ (,) τ.ω. Αλλά f()=, f()=- και f(ξ)=ξ+ άρα f()-f() f(ξ)= - -(-) ξ+= ξ+=3 ξ= ξ= 38 -

39 Εφαρμογή (απόδειξη ανισοτήτων) Αποδείξτε ότι: < ln 3 < 3 Λύση 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση f με f()=ln στο, (γιατί 3 3 ln = ln ln, οπότε εξετάζουμε την 3 συνάρτηση ln στο διάστημα, ). Η 3 f είναι συνεχής στο R, άρα και στο, ως λογαριθμική. 3 f ()=(ln) =, δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο,. 3 Άρα ισχύει το Θ.Μ.Τ. και θα υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε: 3 f -f() 3 3 ln -ln ln f(ξ)= = = () 3 ξ ξ Όμως ξ, < ξ < > > () ξ 3 Από (), () 3 ln 3 < < < ln <

40 Παρατήρηση Στην περίπτωση που το f(α)=f(β), έχουμε την (ειδική) περίπτωση του λεγόμενου Θεωρήματος Rlle. Θεώρημα Rlle Έστω f: [ α,β] μια συνάρτηση για την οποία ισχύουν τα παρακάτω: η f είναι συνεχής στο διάστημα [ α,β ] η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α,β ) f(α)=f(β) Τότε υπάρχει ένα σημείο ξ ( α,β) τέτοιο ώστε f(ξ)=. Γεωμετρική Ερμηνεία του Θεωρήματος Rlle Εάν θεωρήσουμε τα σημεία A(α,f(α)), B(β,f(β)) τότε, το Θεώρημα Rlle μας αναφέρει ότι, υπάρχει ένα (τουλάχιστον) σημείο (ξ,f(ξ)) της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στν άξονα των. 4

41 Εφαρμογή 3 Αποδείξτε ότι η εξίσωση ανεξάρτητα από την τιμή του β Λύση 3 Ας υποθέσουμε ότι η Θεωρούμε την συνάρτηση -3+β= δεν έχει περισσότερες από μία ρίζες στο διάστημα [,] -3+β= έχει ρίζες στο διάστημα [,] 3 f()= -3+β, τότε f( ) = = f( ). Η f() ικανοποιεί τις συνθήκες του Θ. Rlle στο διάστημα [ ] τέτοιο ώστε f ( ξ ) = που είναι άτοπο γιατί και επειδή ξ,, έστω τις, και έστω ότι <., ξ (, ) [,] (ξ ± ) f ()=3-3=3( -) = 3(+)(-) = = ± f ξ =. ± δεν υπάρχει ξ τέτοιο ώστε ( ) Άρα η 3-3+β= έχει το πολύ μία ρίζα στο διάστημα [,] Παρατήρηση Τα σημεία = & = δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα ρίζες γιατί αν : 3 (-) -3(-)+β= +3+β= β = 3 δεν ισχύουν ταυτόχρονα. 4-3+β= 3 + β= β =

42 Κανόνας του L Hspital Παρατήρηση Ο κανόνας του L Hspital χρησιμοποιεί τις παραγώγους συναρτήσεων, όταν προσπαθούμε να υπολογίσουμε όρια (συναρτήσεων) τα οποία καταλήγουν σε απροσδιόριστες μορφές (, κ.α.). Εφαρμογή (ή επαναληπτική εφαρμογή) του κανόνα συνήθως μετατρέπει μιά απροσδιόριστη μορφή σε μιά άλλη (μη-απροσδιόριστη), της οποίας το όριο εύκολα μπορεί να υπολογιστεί. Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα όρια: (α) lim 4 Λύση (α) Επειδή lim( ) lim( 4) (β) sin lim sin 3 = =, έχουμε την απροσδιόριστη μορφή. Η απροσδιοριστία αίρεται παραγοποιώντας τον παρονομαστή. lim = lim = lim = = ( )( ) ( ) ( ) (β) Επειδή limsin = = limsin 3, έχουμε και εδώ την απροσδιόριστη μορφή. Η απροσδιοριστία αίρεται 3 (λίγο πιο δύσκολα), χρησιμοποιώντας τις ταυτότητες: sin=sin cs & sin3=3sin cs -sin Οπότε: sin sin cs sin cs cs lim = lim = lim = = 3 sin 3 3sin cs -sin sin (3cs -sin ) 3cs -sin 3 4 (μια δεύτερη λύση δίνεται παρακάτω χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L Hspital

43 Κανόνας L Hspital. Μορφή Αν lim f()== lim g() όπου α ή α=±, α α ' g() α και f() f() f () lim τότε: lim = lim α g() α g() α g () Εφαρμογή Να βρεθεί το όριο Λύση Για το lim ν - μ - ν,μ lim ν - μ - ν,μ Ν * Ν έχουμε: * ν ( -' ) ' μ ( -) ν μορφή ν- - ν ν lim = lim = lim = - μ μ μ μ- χρήση L'Hspital Εφαρμογή (συνέχεια) sin Να υπολογιστεί το όριο: lim sin 3 Λύση, μορφή ' sin ( sin) cs cs lim = lim = lim = = sin3 ' 3cs3 3cs 3 ( sin3) χρήση L'Hspital (το όριο υπολογίστηκε με παραγοντοποίηση παραπάνω) 43

44 . Μορφή ± ± Αν τότε lim f() =+ α ή και lim g() = + ή όπου α ή α=± και α f() f () lim = lim α g() α g () f() lim α g() Εφαρμογή Να βρεθεί το όριο: Λύση Έχουμε e lim + +ln ' μορφή μορφή e ( e ) e lim = lim = lim = +ln ' ( +ln) χρήση L'Hspital χρήση L'Hspital ' ( e ) e = lim = lim =+ + '

45 Άλλες απροσδιόριστες μορφές Άλλες απροσδιόριστες μορφές, με κατάλληλους μετασχηματισμούς, μπορούν να καταλήξουν στις μορφές ή ± ±. Ο παρακάτω πίνακας δίνει μερικές τέτοιες μορφές και τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς. Απροσδιόριστη Μορφή Συναρτήσεις f() g() f()-g() g() f() g() f() g() f() Μετατροπή f f g= g - g f fg g() lnf() g() lnf() e =e lnf() g() lnf()= g() Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο: Λύση lim - e- Το lim - e- είναι της απροσδιόριστης μορφής. Αφαιρούμε τα κλάσματα μορφή ' μορφή -e + (-e +) -e lim - = lim = lim ' = lim = e- e- χρήση L'Hspital (e-) e+e- -e -e - = lim = lim = lim = e +e + e e (+) (+) χρήση L'Hspital 45

46 Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο: Λύση Επειδή lim ln + Εφαρμογή 3 lim ln + =, έχουμε απροσδιόριστη μορφή (α.μ.) ( ). Το όριο μπορεί να γραφεί: lim ln = lim = lim = lim = lim - = μορφή 3 3 ln + (ln)' χρήση L'Hspital ' 3 4 Να υπολογιστεί το όριο: lim (-ln) + Λύση Έχουμε απροσδιόριστη μορφή ( + ) ( + ) (γιατί lim ln =+ ). Το + e e lim (-ln) = lim ln = ln lim Αλλά: + + μορφή μορφή + + e (e )' e e lim = lim = lim = lim =+ ( )' χρήση L'Hspital χρήση L'Hspital Οπότε: lim ( ln ) =+ 46 +

47 Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο: Λύση lim (-) + - Έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Το όριο: ln(-) lim ln(-) + = = Αλλά: + + lim (-) lim e e μορφή - ln(-) + = = χρήση L'Hspital (l n(-)) ' lim ln (-) lim{(-)ln(-)} lim = lim ' - = lim - = lim{-(-)} = (-) οπότε: - - lim ln(-) + lim (-) e e = + = =. Εφαρμογή Να υπολογιστεί το όριο: Λύση lim + - Έχουμε απροσδιόριστη μορφή. Το όριο: - ln lim ln lim = lim e = e + + μορφή ln (ln)' lim = lim - - ' = lim + = + Αλλά: ( ) χρήση + L'Hspital οπότε: lim + - = e. 47

48 ΣΕΙΡΑ TAYLOR Είναι γνωστό ότι, οι καλύτερες συναρτήσεις από πλευράς ιδιοτήτων (τιμές, ρίζες, παράγωγος, ολοκλήρωμα ακόμα και η γραφική παράσταση) είναι τα πολυώνυμα. Ένα πολυώνυμο n-οστού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει την μορφή: P() =α + α + +α +α, α, k=,,...,n, α n n- n n n- k n Όταν έχουμε μια «πολύπλοκη» συνάρτηση f, προσπαθούμε να την «προσεγγίσουμε» τοπικά με ένα πολυώνυμο (αντικαθιστούμε δηλαδή την συνάρτηση «τοπικά», δηλαδή γύρω από ένα σημείο =α, με ένα κατάλληλο πολυώνυμο έτσι ώστε το σφάλμα αυτής της αντικατάστασης να είναι μικρό). Το σφάλμα ή υπόλοιπο της αντικατάστασης (προσέγγισης) της συνάρτησης f από ένα πολυώνυμο P() δίνεται από την (συνάρτηση): n R ()= f() - P () n n Μια εκτίμηση του υπολοίπου αυτού δίνεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα εκτίμησης του υπολοίπου Αν υπάρχουν θετικές σταθερές M, r τέτοιες ώστε ικανοποιεί την ανισότητα: R () n (n+) n+ f (t) Mr, t (α,), τότε το υπόλοιπο R n (), Mr n+ -α n+ (n+)! Αν επιπλέον η f είναι n+ φορές παραγωγίσιμη, για κάθε n, σε μια περιοχή Ι του σημείου α, τότε το υπόλοιπο R () και η σειρά Taylr της f συγκλίνει στην συνάρτηση f. n n + 48

49 Ένα τέτοιο προσεγγιστικό πολυώνυμο, για προσέγγιση της συνάρτησης f στο σημείο α, είναι το λεγόμενο προσεγγιστικό πολυώνυμο Taylr n ου βαθμού της f (στο σημείο =α): f(α) f (α) P() n = f(α)+f (α)(-α)+ (-α) (-α)! n! (n) n Στην περίπτωση που το α= έχουμε το n ου βαθμού προσεγγιστικό πολυώνυμο Maclaurin της f, το οποίο θα έχει τη μορφή: f() f () P n () = f()+f () ! n! (n) n Το σφάλμα της προσέγγισης μπορεί να δειχθεί (ένας από τους τρόπους υπολογισμού του, υπάρχουν αρκετοί άλλοι) ότι είναι ίσο με: (n+) f ( ξ ) n+ R n () = (-α), ξ (α,) (n+)! Η συνάρτηση f είναι ίση με (στην περιοχή του σημείου =α, δηλαδή σε ένα ανοικτό διάστημα Ι που περιέχει το σημείο α): (n) (n+) f(α) f (α) n f ( ξ ) n+ f()=r n() +P n() = f(α)+f (α)(-α)+ (-α) (-α) + (-α)! n! (n+)! Η μορφή αυτή καλείται ανάπτυγμα Taylr της f στο σημείο =α. Αν α = τότε το ανάπτυγμα έχει την μορφή: f () f () f ( ξ ) f()=r n() +P n() = f()+f () ! n! (n+)! το οποίο καλείται ανάπτυγμα Μαclaurin της f. (n) (n+) n n+ 49

50 Αν η συνάρτηση f έχει παράγωγο κάθε τάξης, η σειρά Taylr της f στο σημείο =α είναι ίση με : f(α) f (α) f (α) f(α)+f (α)(-α)+ (-α) (-α) +... = (-α)! n! n! (n) (n) n n Αν α = η σειρά Taylr της f καλείται σειρά Μαclaurin. Δηλαδή η σειρά Maclaurin είναι ίση με: n= Παρατήρηση Εάν η συνάρτηση f : f () f () f () f()+f () =! n! n! (n) (n) n n n= έχει παράγωγο κάθε τάξης και το υπόλοιπο R n τείνει στο μηδέν, για κάθε που ανήκει στην περιοχή Ι που περιέχει το σημείο α, τότε η συνάρτηση f περιγράφεται σε ένα σημείο =α με την βοήθεια της σειράς Taylr (στο σημείο =α), δηλαδή: (n) (n) f(α) f (α) n f (α) n f()= f(α)+f (α)(-α)+ (-α) (-α) +... = (-α)! n! n! ή με την βοήθεια της σειράς Μαclaurin, στο σημείο =, δηλαδή: f () f () f () f() = f()+f ()(-)+ (-) (-) +... = (-)! n! n! n= (n) (n) n n n= Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι η σειρά (Taylr ή Μαclaurin) συγκλίνει στην συνάρτηση f. 5

51 Εφαρμογή (πολυώνυμο Taylr) Υπολογίστε το 3 ου βαθμού (προσεγγιστικό) πολυώνυμο Taylr στο σημείο α =- για την συνάρτηση f()= -. Επίσης το 4 ου και 6 ου βαθμού και να γίνει η γραφική παράσταση των πολυωνύμων και της συνάρτησης. Τι παρατηρείτε; Λύση Έχουμε ότι: f()= f(-)=- - ' ' f ()= f (-)= = ( -) 4 '' '' f ()=- f (-)= =! 3 3 ( -) 8 ''' ''' f ()= 3 f (-)= 3 =3! 4 4 ( -) 6... ( n) n- n! ( n) f ()=(-) f (-)= n! n+ n+ - ( ) Άρα το n ου βαθμού πολυώνυμο Taylr στο σημείο α =- για την f()= - είναι ίσο με: 5

52 (α) 3 ου βαθμού πολυώνυμο Taylr στο σημείο α =- για την f()= - : P 3()= ( ) ( ) ( ) (με κόκκινο χρώμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης) 5

53 (β) 4 ου βαθμού πολυώνυμο Taylr στο σημείο α =- για την f()= - : P4 = ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) (με κόκκινο χρώμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης) 53

54 (γ) 6 ου βαθμού πολυώνυμο Taylr στο σημείο α =- για την f()= - : P 6()= ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) (με κόκκινο χρώμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης) 54

55 Γραφική Παράσταση της f()= - και των πολυωνύμων Taylr στο σημείο α=- 3 ου, 4 ου και 6 ου βαθμού (με μαύρο χρώμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης) Από το σχήμα είναι φανερό ότι η εκτίμηση της f, με την βοήθεια των πολυωνύμων Taylr στο σημείο α=- 3 ου, 4 ου και 6 ου βαθμού, είναι πολύ καλή γύρω από το σημείο α=- 55

56 Εφαρμογή (Σειρά Taylr) (α) Να βρεθεί η σειρά Taylr της συνάρτησης f()= στο σημείο α=. (β) Για ποια σημεία (αν υπάρχουν) συγκλίνει η σειρά στο ; Ποιο το διάστημα σύγκλίσης και ποια η ακτίνα σύγκλισης της σειράς αυτής; Λύση (α) Βρίσκοντας τις διαδοχικές παραγώγους της f()= στο σημείο α=, έχουμε f()= f()= ' ' f ()=- f ()=- =(-) '' '' f ()= f ()= =(-)! ''' ''' 3 f ()=- 3 f ()=- 3 =(-) 3! f ( n) ()= n n! (- ) ( n) ( ) f ()= - n+ n+ n n! 56

57 Η σειρά Taylr της συνάρτησης ( ) n ( ) n n 3 n+ n= f()= στο σημείο α=, είναι: n n! (n)! 3 (-) n+ n n f () f () f()+f ()(-)+ (-) (-) +... = - (-)+ (-) (-)! n!! n! - (-)+ (-) (-) +... = = n - (-) n+ (β) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ρίζας, με ( ) n n εάν: αn = - (-), η παραπάνω σειρά συγκλίνει n+ lim n α n < n + Αλλά n ( ) n n - - = α n n n - (-) = < n+ n + 57

58 Δηλαδή η σειρά συγκλίνει εάν: - < - < < < 4 Το διάστημα (,4) καλείται διάστημα σύγκλισης της σειράς, ενώ το μισό του μήκους του εν λόγω διαστήματος (όταν το διάστημα είναι πεπερασμένο) καλείται ακτίνα σύγκλισης της σειράς και συμβολίζεται με R, δηλαδή εδώ R=. Για όλα τα : < < 4, επειδή η σειρά συγκλίνει στην συνάρτηση, έχουμε: f()= - (-) n+ Παρατήρηση (άκρα του διαστήματος σύγκλισης) (i) n= Εάν =, τότε η (δυναμο) σειρά γίνεται ( ) n n n n n n n ( -) (-) = n+ ( -) n+ (-) = = σειρά η οποία αποκλίνει n= n= n= (ii) (ii) Εάν =4, τότε η (δυναμο) σειρά γίνεται ( ) n n ( ) n n - (4-) = - = (-) n = +... n+ n+ σειρά η οποία αποκλίνει n= n= n= δηλαδή το διάστημα σύγκλισης είναι το ανοικτό διάστημα (,4). 58

59 Εφαρμογή (υπολογισμός αθροισμάτων σειρών) 3 4 -ln3+ ln3 ln3 + ln3 +...! 3! 4! Να υπολογιστεί το παρακάτω άθροισμα: ( ) ( ) ( ) Λύση Η σειρά «μοιάζει» με την! 3! 4! e = Άρα, το άθροισμα της δοθείσας σειράς είναι ίσο με : 3 4 -ln3 ( ) ( ) ( ) ln 3 -ln3+ ln3 ln3 + ln3 +...=e = e =! 3! 4! 3 Εφαρμογή (προσεγγιστική τιμή συνάρτησης) Βρείτε μια προσεγγιστική τιμή του ln,97 Λύση Είναι γνωστό ότι: n+ 3 4 n ln(+) = (-) = n= n+!! 3! 4! ( ) Άρα για =-,3 έχουμε (,3) (,3) (,3) 3 4 ln,97 = ln(,3) =, ! 3! 4!,

60 Εφαρμογή (προσεγγιστικός υπολογισμός ολοκληρώματος) Υπολογίστε (προσεγγιστικά) το Λύση Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Maclaurin sin d έχουμε = = + n+! 3! 5! 7! n n sin ( ) n= ( ) sin d = d = = 3! 5! 7! 3! 5! 7! d = , ! 55!77! Το σφάλμα της προσέγγισης χρησιμοποιώντας π.χ. του τέσσερις πρώτους όρους του αναπτύγματος Maclaurin είναι το πολύ,3(!!!). 6

61 Δυναμοσειρές Μια δυναμοσειρά είναι μια άπειρη σειρά της μορφής: + n= α (-c) =α +α (-c)+α (-c) +... n n όπου α n είναι ο συντελεστής του nου όρου, c είναι μια σταθερά, το δε μεταβάλλεται γύρω από το c (για τον λόγο αυτό, λέμε ότι η σειρά έχει κέντρο το c ή είναι δυναμοσειρά γύρω από το σημείο c). Η σειρά αυτή είναι συνήθως (όχι όμως απαραίτητα) η σειρά Taylr (ή Maclaurin) κάποιας γνωστής συνάρτησης. Παράδειγμα Η γεωμετρική σειρά - + n = = n= για <, είναι ένα από τα σπουδαιότερα παραδείγματα δυναμοσειράς. 6

62 Ακτίνα σύγκλισης Μια δυναμοσειρά θα συγκλίνει για μερικές τιμές του και θα αποκλίνει για άλλες. Όλες οι δυναμοσειρές συγκλίνουν στο σημείο = c. Εάν το c δεν είναι το μόνο σημείο που συγκλίνει η δυναμοσειρά, θα υπάρχει ένας αριθμός r με < r, τ.ω. η δυναμοσειρά να συγκλίνει όταν c < r και να αποκλίνει όταν c > r. Ο αριθμός r καλείται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς. Η ακτίνα σύγκλισης, εφ όσον το όριο υπάρχει, δίνεται από τον τύπο: =lim r n + α α n+ n Η δυναμοσειρά θα συγκλίνει απόλυτα όταν c < r. Για c = r, δεν μπορούμε να αποφανθούμε (γενικά) αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει. Αντικαθιστώντας όμως το =r+c ή =c-r προκύπτει μια σειρά της οποίας η σύγκλιση εξετάζεται με ένα από τα γνωστά κριτήρια. 6

63 Εφαρμογή Να υπολογιστεί η ακτίνα και το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς: + n= ( -) n n Να εξετάσετε τη σύγκλιση της δυναμοσειράς και στα άκρα του διαστήματος σύγκλισης. Λύση Πρώτος τρόπος: Είναι n n lim n+ = lim = lim = n + n + n + n+ n+ n Λίγο διαφορετικά (σελίδα 3, τόμος Β, σχέση 8.) = = n n lim n lim = n + n + n και από τα δύο αυτά όρια βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ίση με = και το διάστημα σύγκλισης είναι το (-, +)=(,), στο οποίο θα πρέπει να επισυνάψουμε ένα ή κανένα ή και τα δύο άκρα του. Για = η δυναμοσειρά γίνεται: + (-) n και συγκλίνει σύμφωνα με το κριτήριο του Leibniz. n= n Για = η δυναμοσειρά γίνεται: + και αποκλίνει γιατί είναι σειρά της μορφής n= n =+ n n + + n= n= + με p p n= n αλλά και γιατί είναι: Άρα το διάστημα σύγκλισης είναι το [,). 63

64 Δεύτερος τρόπος: Είναι ( -) ( -) n+ n+ n n lim = lim - = lim - = - n+ n+ n + n n + n + n Λίγο διαφορετικά (σελίδα, τόμος Β) ( ) n - lim n = lim - = - n + n + n n n Άρα η σειρά συγκλίνει όταν - < και αποκλίνει όταν - >. Και από τα δύο αυτά όρια βρίσκουμε ότι η ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς είναι ίση με και το διάστημα σύγκλισης είναι το (-, +)=(,), στο οποίο θα πρέπει να επισυνάψουμε ένα ή κανένα ή και τα δύο άκρα του. Συνεχίζουμε όπως με τον πρώτο τρόπο. 64

65 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισμός Εάν f :I (όπου Ι ένα διάστημα), και έστω ότι υπάρχει μια συνάρτηση F:I τέτοια ώστε: ' F ()=f(), I τότε, η F καλείται αρχική συνάρτηση ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος της f στο Ι. Παρατήρηση Εάν υπάρχει μια αρχική συνάρτηση F της f στο Ι, τότε υπάρχουν άπειρες και είναι οι συναρτήσεις της μορφής F+c, c. Ορισμός Εάν f:i, και έστω ότι υπάρχει μια αντιπαράγωγος F:I της f στο Ι. Τότε, το αόριστο ολοκλήρωμα της f στο Ι (συμβολίζεται με συναρτήσεων F+c, c., δηλαδή: Παρατήρηση ) Είναι φανερό ότι ισχύει: ' f ()d f()d = f()+c f()d = F()+c ) είναι το σύνολο όλων των αρχικών ) (ύπαρξη) Εάν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Ι, τότε έχει παράγουσα στο διάστημα αυτό. 65

66 Πρόταση (αόριστο ολοκλήρωμα βασικών συναρτήσεων) () d = +c () d = +c, n n+ { } α+ α α+ (3) d = +c, α - (4) d =ln +c, n n+ * (5) sin d =-cs+c (6) cs d = sin+c (7) d =tan+c (8) e d = e +c cs (9) α d = α +c, < α lnα Πρόταση (γραμμικότητα του ολοκληρώματος) Εάν f,g : I και c, τότε ισχύει: f()+g() d = f()d + g()d (β) c f()d = c f()d (α) ( ) Παρατήρηση Δεν ισχύει (εν γένει): ( ) Ακόμα, δεν ισχύει (εν γένει): f() g() d = f()d g()d f() d g() f()d = g()d 66

67 Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα + (α) (e + )d -cs (β) d (γ) cs Λύση (α) (- ) d (δ) cs d sin+cs + + (e + )d = e e d + d = e e d + d = e e d + + c =e e + +c=e + +c 3 3 (β) (γ) d = d = d - d = tan-+c = -cs cs cs cs cs cs 3 4 (- ) d = d - d + ( ) d = + +c 3 5 (δ) cs cs -sin (cs-sin)(cs+sin) d = d = d = sin+cs sin+cs sin+cs = (cs-sin)d = cs d - sin d =sin+cs+c 67

68 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ Πρόταση Εάν f,g : I δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες, με συνεχείς πρώτες παραγώγους, τότε ισχύει: f()g ()d = f()g()- f ()g()d Παρατήρηση Ολοκλήρωση κατά παράγοντες κάνουμε, συνήθως, όταν βρισκόμαστε στις ακόλουθες καταστάσεις: (η προς ολοκλήρωση συνάρτηση είναι) γινόμενο πολυωνυμικής με εκθετική γινόμενο πολυωνυμικής με τριγωνομετρική (ημίτονο ή συνημίτονο) γινόμενο εκθετικής με τριγωνομετρική (ημίτονο ή συνημίτονο) 68

69 Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα παρακάτω ολοκληρώματα (α) Λύση ed (β) ln d (γ) e cs d ' ' (α) ( ) ( ) ( ) e d= e d= e - e d= e - e d= e - e - e d = = e -e +e +c ' lnd= lnd= lnd=ln- ln d=ln- d= ln-+c (β) ( ) (γ) ' ( ) ( ) e cs d = e cs d=e cs- e cs d=e cs+ e sin d= ' Δηλαδή: ( ) ( ) = e cs+ e sin d=e cs+e sin- e sin d = = e cs+e sin- e cs d ' e cs d e cs+e sin- e cs d e cs d e cs+e sin = = ' e cs d e cs+e sin = + c 69

70 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Πρόταση Έστω g:i, f: g(i) όπου: η g είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και η f είναι συνεχής και έστω ότι f()d=f()+c. ' Το ολοκλήρωμα: ( ) ( ) = ( ) f g() g ()d = f u du F g() +c Εφαρμογή Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα 3 (α) 3 ( +) d (β) 3 - d (γ) Λύση (α) Θέτουμε (β) Θέτουμε 3 u = + du=3 d και u=- du = -4 d και e d u 3 3 u= + 3 ( +) 3 3 ( +) d= u du= +c = +c u 3 u 3 - d= d=- udu=- u du=- +c=- +c= (γ) Θέτουμε: u = du = d και 3 u=- 3 ( ) 3 =- u +c=- u +c = - - +c 4 u u e d = e d e du e +c e +c = = = 7

71 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων (κλασμάτων), δηλαδή ολοκληρώματα της μορφής: P() d Q() όπου P(), Q() πολυώνυμα ως προς και έστω ότι: deg (P()) < deg (Q()) Παραγοντοποιούμε τον παρανομαστή, Q(), οπότε περιέχει παράγοντες της μορφής: (Ι) (II) ή/και της μορφής k (+α),α, k =,,,... α +β+γ, α,β,γ (Α) Εάν P()= λ (σταθερά), έχουμε ολοκληρώματα της μορφής: λ (+α) Κάνουμε την αντικατάσταση u = +α, οπότε το ολοκλήρωμα γίνεται: k d λ u=+α λ -k+ λ -k+ d = λ du= u + c= (+α) + c k du=d k (+α) u -k+ -k+ 7

72 Εφαρμογή Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: Λύση Θέτουμε u= + du=d και ( +) 3 d d = du= u du= u + c = - +c ( +) u -3+ ( +) Παρατήρηση. Έστω ότι ο παρονομαστής Q() είναι ένα τριώνυμο της μορφής Q() =α +β+γ, α,β,γ το οποίο έχει δύο ρίζες πραγματικές και ίσες. Τότε το ολοκλήρωμα (γιατί Q() = α +β+γ =α(-p)(-p)=α(-p) ). P() d είναι της μορφής (α). Q() Εφαρμογή Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: d + 5 Λύση Το d = + 5 ( 5) d Θέτουμε u= 5. Τότε du = ( 5) d du = d και + u ( 5) u + u 5 d = du = u du = + c = + c = + c 7

73 (Β) Εάν P()= δεν είναι σταθερά, έχουμε ολοκληρώματα της μορφής: P() (+α) k d Αναλύουμε την προς ολοκλήρωση ποσότητα σε απλά κλάσματα, ως εξής: P() A A A = (+α) (+α) (+α) (+α) k k k Κατόπιν για καθένα από τα ολοκληρώματα που προκύπτουν, χρησιμοποιούμε το (Α). Εφαρμογή Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: d (+) Λύση Χρησιμοποιώντας απλά κλάσματα έχουμε: A B A= = + A(+)+B= (+) (+) (+) B=- οπότε: d = d- d = ln c (+) + (+) + 73

74 (Γ) Έστω ότι ο παρονομαστής είναι της μορφής Q() =α +β+γ, α,β,γ και το Q() παραγοντοποιείται (έχει δηλαδή δύο πραγματικές, άνισες, ρίζες) ως εξής: Q() =α +β+γ=α(-p )(-p ) Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε ανάλυση σε απλά κλάσματα ως εξής: P() P() A B = = + α +β+γ α(-p )(-p ) α (-p ) (-p ) καθένα δε από τα ολοκληρώματα που προκύπτουν είναι της μορφής (Α) Εφαρμογή 5- Να υπολογιστεί το d -3-4 Λύση Αναλύοντας την προς ολοκλήρωση συνάρτηση σε απλά κλάσματα έχουμε: Δηλαδή αν =4 5B= B= 5-5- A B = = + A(-4)+B(+)=5- αν =- -5A=-5 A=3-3-4 (+)(-4) = + d= d+ d= =3ln + +ln -4 +c=ln (+) (-4) +c

75 (Δ) Στην γενική περίπτωση, ο παρονομαστής Q() θα αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων και δευτεροβάθμιων παραγόντων. Στην περίπτωση αυτή αναλύουμε το κλάσμα P() σε απλά κλάσματα, για την δε ανάλυση Q() χρησιμοποιούμε κλάσματα, ανάλογα με την μορφή των παραγόντων του παρονομαστή (όπως είδαμε παραπάνω). Εφαρμογή +4 Να υπολογιστεί το 3 d - Λύση Αναλύοντας την προς ολοκλήρωση συνάρτηση σε απλά κλάσματα έχουμε: A B Γ = = + + A(-)+B(-)+ Γ = (-) - Δηλαδή: αν = B=4 B=- αν = 4 Γ=8 Γ= αν = A-B+ Γ=6 A= d= d+ + d= -ln + +ln - +c= +ln +c

76 Εφαρμογή (α) Να δείξετε ότι: f() d= ln f() +c f() + (β) Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: d ++ Λύση (α) Θέτουμε u=f() du=f()d και f() d= du= ln u +c =ln f() +c f() u + (β) για το ολοκλήρωμα d παρατηρούμε ότι: ++ f()= ++ f ()=+ οπότε (χρησιμοποιώντας το (α)): ( ++ ) ' + (α) d d = ln = ++ + c

77 Ορισμένο ολοκλήρωμα Είδαμε παραπάνω ότι εάν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Ι, τότε έχει παράγουσα (ας την ονομάσουμε F) στο διάστημα αυτό, δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωμα f()d = F()+c Εάν α,β I, α<β, τότε το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το σημείο α μέχρι το σημείο β (συμβολίζεται με β f()d ) είναι ο αριθμός F( β) -F( α ), δηλαδή α β α ( ) ( ) f()d = F β -F α Παρατήρηση Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πιο αυστηρά (μαθηματικά) σαν το κοινό όριο δύο ακολουθιών μερικών αθροισμάτων (εφ όσον υπάρχει). Αποδεικνύεται δε ότι, αυτός ο δεύτερο αυτός ορισμός του ορισμένου ολοκληρώματος είναι ισοδύναμος με αυτόν που δώσαμε παραπάνω. ο ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Θεώρημα Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Ι και α σημείο του, τότε Γενικότερα Θεώρημα Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Ι και α σημείο του, τότε d f(t)dt = f() d α d d g() ' f(t)dt = f(g()) g () α 77

78 Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας, αποδεικνύεται (γενικότερα): g () c g () g () g () d d d f(t)dt = f(t)dt+ f(t)dt = - f(t)dt+ f(t)dt = d g() d g() c d c c επομένως =-f(g ())g ()+f(g ())g ()=f(g ())g ()-f(g ())g () d d g () g() f(t)dt =f(g ())g ()-f(g ())g () Εφαρμογή 3 dt = = 3 = d t d 3 ' (Ι) ( 3 ) ( 3 3 ) dt = sin = sin d cs ' (ΙΙ) ( ) d 3 +t + sin + sin ' d d t = t ' (ΙΙΙ) ( ) dt = = (εδω f(t)=, g ()=, g ()=) 78