ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ

Transcript

1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής; o Εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς μορφής ονομάζεται η εξίσωση με α και β= ή γ= Επίλυση εξισώσεων ου βαθμού. Π.χ Αν β= τότε. Αν αρνητικό τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν θετικό τότε η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) Αδύνατη Π.χ Αν γ= τότε a ή α+β= 6 9 ( ) ή ( χ-= χ=)

2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 6 6 (6 ) ή += =- Ασκήσεις.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 4 β) γ) -. Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 5 β)6 γ)4 8.Να λυθούν οι εξισώσεις: ) 6 β)4 6 γ) 9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις: ) 9 β) 4 γ) 4 5. Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) 6 γ) - 6.Να λυθούν οι εξισώσεις: a) β) + ) 7 δ) - 4 ε) +

3 Αν ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ τότε πρώτα υπολογίζουμε την Διακρίνουσα,, δηλαδή είναι της μορφής α 4 και ανάλογα με το πρόσημο της βρίσκουμε, αν υπάρχουν, τις ρίζες(λύσεις ) της εξίσωσης: 4 Η εξίσωση Δ> Δ= α Έχει δύο ρίζες άνισες, Έχει μία διπλή ρίζα την Δ< Είναι αδύνατη στο Παράδειγμα 5 6 a β=-5 γ=6 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες (λύσεις) άνισες, Δηλαδή υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί, το χ= και το χ= που αν το αντικαταστήσουμε στη θέση του χ στην εξίσωση, τότε το αποτέλεσμα είναι. Παράδειγμα 7

4 a β=-7 γ= ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις) άνισες:, 7 8 8: : : :6 4 Παράδειγμα a β= γ= [Προσέχω ότι δεν κάνω χρήση της ιδιότητας μπορεί η Δ να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο] Άρα η εξίσωση έχει ρίζες(λύσεις ) άνισες τις: για να, Παράδειγμα

5 a β=-8 γ=8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Δ=β Άρα η εξίσωση έχει ρίζα (διπλή) την Ασκήσεις.Να λύσετε τις εξισώσεις i ) 6 8 ii) 5 iii)5φ 9 iv s s ) 4 v)9 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i y y y y ) ii)9 ω iii) 4 9 iv) +4.Να λύσετε τις εξισώσεις i 6 iv)5 6 ) 9 ii) iii) 4.Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 6 ii) Παραγοντοποίηση τριωνύμου Τριώνυμο ονομάζεται η παράσταση f ( ) a 5

6 Αν ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4 θετική τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζες άνισες, f ( ) a και τότε η f()= γράφεται: [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] Αν 4 = τότε η εξίσωση f()= έχει ρίζα (διπλή) και η f() γράφεται f ( ) a a [προσέξτε μην ξεχνάτε το α μπροστά από τις παρενθέσεις] Αν 4 αρνητική τότε η εξίσωση f()= δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν παραγοντοποιείται. Παράδειγμα Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο f ( ) 6 5 a 6 β=-5 γ= Δ=β Άρα το τριώνυμο έχει ρίζες άνισες τις:, 5 6 6:6 5 5 : : 4 : 4 Επομένως f ( ) Παράδειγμα Να γίνει γινόμενο παραγόντων το παρακάτω τριώνυμο g( ) 4 8 6

7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Θα λύσω την αντίστοιχη εξίσωση 7 a β=-4 γ=8 Δ=β Άρα η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την f ( ) Άρα το τριώνυμο γράφεται : Ασκήσεις.Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f y y y g ( ) 8 5 ( ) h k y y y ( ) 5 ( ) 5. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) 5 g()=9 4 h y y ( ) k(y)=y 4. Να παραγοντοποιήσετε τα τριώνυμα: f ( ) g()=4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να λυθούν οι εξισώσεις a ) 5 5 β) 6 ) δ) 6 7

8 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ. Να λυθούν οι εξισώσεις + a) β) ) δ) Να λυθούν οι εξισώσεις a 4 4 ) 5 4 β) 7 4 ) 5 4 δ)-5 6 )6 5 στ)4 4.Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν δύο άνισες λύσεις: a a a ) β)α, α γ) ( a ) a δ)α a a 5. Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μία τουλάχιστον λύση: a a a a )4 β)α, α γ) a a δ) a 5a 6.Δίνεται η εξίσωση 4 α)να βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση. 7.Δίνεται η εξίσωση 5, λ α)να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μία διπλή λύση β)για την τιμή του λ που βρήκατε να λύσετε την εξίσωση 8.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης 4 8

9 9.Δίνεται η εξίσωση ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 5 8 α)να βρείτε την τιμή του λ για την οποία ο αριθμός είναι λύση της εξίσωσης β)για την τιμή του λ που βρήκατε, να λύσετε την εξίσωση.δίνεται η εξίσωση Αν η εξίσωση έχει μία διπλή λύση, τότε να αποδείξετε ότι: α)οι αριθμοί λ και μ είναι αντίστροφοι β)η διπλή λύση της εξίσωσης είναι =μ..αν μία ρίζα της εξίσωσης a 4 είναι ο αριθμός, να βρεθεί η άλλη ρίζα της.. Να λύσετε την εξίσωση 4 a 9 αν η εξίσωση αυτή έχει κοινή λύση με τη εξίσωση χ+=..να βρείτε το λ, ώστε η εξίσωση να έχει διπλή ρίζα και μετά να βρείτε τη διπλή ρίζα. 4. Να λύσετε την εξίσωση a για τις διάφορες τιμές των α,β. 5.Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 8 για τις διάφορες τιμές του λ Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 5 για τις διάφορες τιμές του λ. 7. Να λυθεί η εξίσωση: 8.Να λυθεί η εξίσωση : 4 4 9

10 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 9.Η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό να βρείτε το λ και κατόπιν να βρείτε την άλλη λύση.. Η εξίσωση 4 έχει διπλή ρίζα. Να βρεθεί το μ και μετά να βρείτε τη ρίζα..δίνεται η εξίσωση. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει άνισες ρίζες; ). Να λύσετε τις εξισώσεις: ). Δείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πάντα ρίζα ) a 9, a ) a,α 4. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της 5.Δίνεται η εξίσωση 9 a a,λ 4 Για ποια τιμή του λ η εξίσωση i) έχει άνισες ρίζες ii) διπλή iii)δεν έχει ρίζες.

11 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΤΥΠΟΙ VIETA Έστω, οι ρίζες της εξίσωσης a, α.αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα και με P το γινόμενο των ριζών αυτών τότε θα έχουμε: S και P (τύποι του Vieta ) Οι παραπάνω τύποι ονομάζονται τύποι του Vieta ( από τον Γάλλο μαθηματικό Franciscus Vieta(54-6)) με την βοήθεια των οποίων η εξίσωση a μπορεί να γραφεί στη μορφή Παράδειγμα S P Αν, είναι ρίζες της εξίσωσης 4 6 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : i) ii) iii) iv) v) + vi) ) viii) Λύση vii

12 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 4 6 ) ii) 4 4 iii) iv) v) 6 vi) vii) viii) 7 Παράδειγμα Να βρεθεί η εξίσωση ου βαθμού της οποίας οι ρίζες είναι οι αριθμοί και. Λύση Αφού οι ρίζες είναι οι αριθμοί και άρα S=+=5 και P 6 οπότε η εξίσωση ου βαθμού είναι η S P 5 6 Παράδειγμα Να βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 9 και γινόμενο -5 Λύση Έστω α,β οι αριθμοί. Άρα 9 και α β=-5. Οπότε οι αριθμοί α,β είναι οι ρίζες μιας εξίσωσης ου βαθμού με S=9 και Ρ=-5. Δηλαδή είναι οι ρίζες της εξίσωσης S P 9 5

13 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Με την χρήση της διακρίνουσας έχω ότι: Άρα , και β= 4 Ασκήσεις.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών στις παρακάτω εξισώσεις: ) β) 4 6 γ)- 7.Η εξίσωση 5 6 έχει ρίζες,. Να υπολογιστούν οι παραστάσεις : ) ii) iii) iv) v).να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς ) 4, ), ), 4.Δίνεται η εξίσωση 8 με α. Αν το άθροισμα των ριζών είναι 6 να βρείτε το α και το γινόμενο των ριζών. 5.Δίνεται η εξίσωση a a η οποία έχει ρίζες,. Να υπολογίσετε το α αν γνωρίζετε ότι 6.Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης να βρεθεί δευτεροβάθμια εξίσωση που να έχει ρίζες και ρ 7. Αν, είναι οι ρίζες ι)να υπολογιστούν οι παραστάσεις: 5, τότε χωρίς να βρεθούν οι ρίζες ii)να κατασκευάσετε εξίσωση που να έχει ρίζες τους αριθμούς,

14 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 8. Για ποιες τιμές του α η εξίσωση αντίθετες. 4 5a a a έχει ρίζες 9.Δίνεται η εξίσωση 6. Δείξτε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε τιμή του. Βρείτε για ποια τιμή του λ η εξίσωση έχει ρίζες α)αντίθετες β)αντίστροφες.να υπολογίσετε το α ώστε οι ρίζες της εξίσωσης 6a a 4a 7a να είναι α)αντίθετες β)αντίστροφες.δίνεται η εξίσωση, με ρίζες,. Να βρεθεί ο λ ώστε να ισχύει.έστω, οι ρίζες της εξίσωσης 4 a. Να βρείτε το α αν γνωρίζετε ότι 6. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η μια ρίζα της εξίσωσης a a να είναι διπλάσια της άλλης 4.Αν, είναι ρίζες της ρίζες τους αριθμούς ), ii), 5 να βρεθεί η εξίσωση που έχει 5Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης,, να αποδείξετε ότι 6.Δίνονται οι εξισώσεις, και S P, όπου S και P το άθροισμα και γινόμενο ριζών της (). Να αποδείξετε ότι S 4P 7.Η εξίσωση 5 a 5 έχει ρίζες,, Να βρεθεί ο α αν 6 8.Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 5 4 έχει 4

15 Α)μία διπλή ρίζα Β) ρίζες αντίστροφες Γ) ρίζες αντίθετες Δ) ρίζες ετερόσημες Ε) θετικές ρίζες Στ) αρνητικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 9. Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδό 6 τ.μ και περίμετρο μ. Να βρεθούν οι διαστάσεις του. Δύο ρίζες πραγματικές και άνισες και α Δύο ρίζες ίσες και α Καμία πραγματική ρίζα Δ< Δύο ρίζες ετερόσημες Ρ< Δύο ρίζες ετερόσημες (θετική η Ρ< και S> μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες ετερόσημες (αρνητική η Ρ< και S< μεγαλύτερη κατ απόλυτη τιμή) Δύο ρίζες θετικές και P και S> Δύο ρίζες θετικές και άνισες και P και S> Δύο ρίζες θετικές και ίσες και S> Μία ρίζα θετική και η άλλη και S> μηδέν Δύο ρίζες αρνητικές και Ρ και S< Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες και Ρ> και S< Δύο ρίζες αρνητικές και ίσες και S< Μία ρίζα αρνητική και η άλλη και S< μηδέν Μία ρίζα το μηδέν P= Δύο ρίζες ίσες με μηδέν Δ= και Ρ= Δύο ρίζες αντίστροφες και Ρ= Δύο ρίζες αντίθετες Ρ< και S= Δύο ρίζες ομόσημες και Ρ> Δύο ρίζες ομόσημες και και Ρ> διαφορετικές Δύο ρίζες ομόσημες και ίσες Δ= και Ρ> 5